Нарисовать график производной и график интеграла функции, заданной свободно начерченным графиком.

Найти критические значения и критические точки отображения z ® z² + 2z (нарисовать ответ).

Вычислить сотую производную функции

x2 + 1 x3 – x

.

Вычислить сотую производную функции

1 x2 + 3x + 2

в нуле с относительной погрешностью 10%.

Нарисовать на плоскости (x, y) кривую, заданную параметрически: x = 2t – 4t³,  y = t² – 3t⁴.

Сколько нормалей к эллипсу можно провести из данной точки плоскости? Исследовать область, в которой число нормалей максимально.

Сколько максимумов, минимумов и седел имеет функция x⁴ + y⁴ + z⁴ + u⁴ + v⁴ на поверхности x + … + v = 0, x² + … + v² = 1, x³ + … + v³ = C ?

Всякий ли положительный многочлен от двух вещественных переменных достигает своей нижней грани на плоскости?

Исследовать асимптотики решений  y  уравнения x⁵ + x²y² = y⁶, стремящихся к 0 при x ® 0.

Найти поток векторного поля r/r³ через поверхность (x – 1)² + y² + z² = 2.

Вычислить с относительной погрешностью 5%

10 ò 1

xx dx.

Вычислить с относительной погрешностью не более 10%

+ ¥ ò – ¥

(x4 + 4x + 4)–100 dx.

Вычислить с относительной погрешностью 10%

+ ¥ ò – ¥

cos (100 (x4 – x)) dx.

Какую долю от объема пятимерного куба составляет объем вписанного в него шара? А от десятимерного?

Найти расстояние от центра тяжести однородного 100-мерного полушара радиуса 1 до центра шара с односительной погрешностью 10%.

Вычислить

ò×××ò

– å 1 £ i £ j £ n xi xj   e   dx1 … dxn.

Исследовать ход лучей в плоской среде с показателем преломления n(y) = y⁴ – y² + 1, пользуясь законом Снеллиуса n(y)sina = const, где a – угол луча с осью y.

Найти производную решения уравнения x'' = x + A(x')² с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = 0 по параметру A при A = 0.

Найти производную решения уравнения x'' = (x')² + x³ с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = A по A при A = 0.

Исследовать границу области устойчивости (max Re l_j < 0) в пространстве коэффициентов уравнения x''' + ax'' + bx' + cx = 0.

Решить квазиоднородное уравнение

dy dx

= x +

x3 y

.

Решить квазиоднородное уравнение x'' = x⁵ + x² x'.

Может ли асимптотически устойчивое положение равновесия сделаться неустойчивым по Ляпунову при линеаризации?

Нарисовать образы решений уравнения x'' = – kx' – dU/dx на плоскости (x, E), где E = (x')²/2 + U (x), вблизи невырожденных критических точек потенциала U.

Нарисовать фазовый портрет и исследовать его изменение при изменении малого комплексного параметра e:

Заряд движется со скоростью 1 по плоскости под действием перепендикулярного ей сильного магнитного поля B(x, y). В какую сторону будет дрейфовать центр ларморовской окружности? Вычислить скорость этого дрейфа (в первом приближении). [Математически речь идет о кривых кривизны NB, где N ® ¥.]

Найти сумму индексов особых точек векторного поля zz ² + z⁴ + 2z ⁴, отличных от нуля.

Найти индекс особой точки 0 векторного поля с компонентами (x⁴ + y⁴ + z⁴, x³y – xy³, xyz²).

Найти индекс особой точки 0 векторного поля grad(xy + yz + zx).

Найти коэффициент зацепления фазовых траекторий уравнения малых колебаний x'' = –4x, y'' = –9y на поверхности уровня полной энергии.

Исследовать особые точки кривой y = x³ на проективной плоскости.

Нарисовать геодезические на поверхности (x² + y² – 2)² + z² = 1.

Нарисовать эвольвенты кубической параболы y = x³ (эвольвента – это геометрическое место точек r(s) + (c – s)r'(s), где s – длина вдоль кривой r(s), c – константа).

Доказать, что поверхности в евклидовом пространстве ((A – λE)^–1x, x) = 1, проходящие через точку x и соответствующие разным значениям λ (A — симметричный оператор без кратных собственных чисел) попарно ортогональны.

Вычислить интеграл от гауссовой кривизны поверхности z⁴ + (x² + y² – 1)(2x² + 3y² – 1) = 0.

Вычислить интеграл Гаусса

Ì

É

òò

(dA, dB, A – B) |A – B|3

,

где A пробегает кривую x = cos α, y = sin α, z = 0, а B — кривую x = 2cos²β, y = ½ sin β, z = sin 2β.

Перенести параллельно направленный в Ленинграде (широта 60°) на север вектор с запада на восток вдоль замкнутой параллели.

Найти геодезическую кривизну прямой y = 1 на верхней полуплоскости с метрикой Лобачевского-Пуанкаре ds² = (dx² + dy²)/y².

Пересекаются ли в одной точке медианы треугольника на плоскости Лобачевского? А высоты?

Найти числа Бетти поверхности x₁² + ... + x_k² – y₁² – ... – y_l² = 1 и множества x₁² + ... + x_k² £ 1 + y₁² + ... + y_l² в k+l-мерном линейном пространстве.

Найти числа Бетти поверхности x² + y² = 1 + z² в трехмерном проективном пространстве. То же для поверхностей z = xy, z = x², z² = x² + y².

Найти индекс самопересечения поверхности x⁴ + y⁴ = 1 в проективной плоскости CP².

Отобразить конформно внутренность единичного круга на первый квадрант.

Отобразить конформно внешность круга на внешность данного эллипса.

Отобразить конформно полуплоскость без перпендикулярного ее краю отрезка на полуплоскость.

Вычислить

Ç

È

ò |z| = 2

dz Ö1 + z10

.

Вычислить

+ ¥ ò – ¥

e i k x 1 + x²

dx.

Вычислить интеграл

+ ¥ ò – ¥

e i k x

1 – ex 1 + ex

dx.

Вычислить первый член асимптотики при k ® ¥ интеграла

+ ¥ ò – ¥

e i k x Ö1 + x2n

dx.

Исследовать особые точки дифференциальной формы dt = dx/y на компактной римановой поверхности y²/2 + U (x) = E, где U – многочлен, а E – не критическое значение.

x'' = 3x – x³ – 1. В которой из ям больше период колебаний (в более мелкой или более глубокой) при равных значениях полной энергии?

Исследовать топологически риманову поверхность функции w = arctg z.

Сколько ручек имеет риманова поверхность функции w = Ö1 + zⁿ.

Найти размерность пространства решений задачи

¶u ¶z

= d(z – i) при Im z ³ 0,

Im u(z)|Im z = 0 = 0,

u|z ® ¥ ® 0.

Найти размерность пространства решений задачи

¶u ¶z

= ad(z – i) + bd(z + i) при |z| £ 2,

Im u(z)||z| = 2 = 0.

Исследовать существование и единственность решения задачи

y

¶u ¶x

= x

¶u ¶y

,

u|x = 1 = cos y

в окрестности точки (1, y₀).

Существует ли и единственно ли решение задачи Коши

x(x2 + y2)

¶u ¶x

+ y3

¶u ¶y

= 0,

u|y = 0 = 1

в окрестности точки (x₀, 0) оси x?

При каком наибольшем t решение задачи

¶u ¶t

+ u

¶u ¶x

= sin x,

u|t = 0 = 0

продолжается на интервал [0, t)?

Найти все решения уравнения

y

¶u ¶x

– sin x

¶u ¶y

= u2

в окрестности точки (0,0).

Существует ли решение задачи Коши

y

¶u ¶x

+ sin x

¶u ¶y

= y,

u|x = 0 = y4

на всей плоскости (x, y)? Единственно ли оно?

Имеет ли задача Коши u_{½y = x²} = 1, (Ñu)² = 1 гладкое решение в области y ³ x²? В области y £ x²?

Найти среднее значение функции ln r   на окружности (x – a)² + (y – b)² = R² (функции 1/r   на сфере).

Решить задачу Дирихле

Du = 0		при   x2 + y2 < 1;
u = 1		при   x2 + y2 = 1,   y > 0;
u = –1		при   x2 + y2 = 1,   y < 0.

Какова размерность пространства непрерывных при x² + y² ³ 1 решений задачи

Du = 0   при   x2 + y2 > 1;

¶u ¶n

= 0   при   x2 + y2 = 1?

Найти

inf	òò	(	¶u ¶x	)	2	+	(	¶u ¶y	)	2	dxdy
	x² + y² £ 1

по C^¥-функциям u, равным 0 в 0 и 1 при x² + y² = 1.

Доказать, что телесный угол, опирающийся на заданный замкнутый контур, – гармоническая вне контура функция вершины угла.

Вычислить среднее значение телесного угла, под которым виден круг x² + y² £ 1, лежащий в плоскости z = 0, из точек сферы x² + y² + (z – 2)² = 1.

Вычислить плотность заряда на проводящей границе полости x² + y² + z² = 1, в которую помещен заряд q = 1 на расстоянии r от центра.

Вычислить в первом приближении по e влияние сжатия Земли (e » 1/300) на гравитационное поле Земли на расстоянии Луны (считая Землю однородной).

Найти (в первом приближении по e) влияние несовершенства почти сферического конденсатора R = 1 + ej(j, q) на его емкость.

Нарисовать график u(x,1), если 0 £ x £ 1,

¶u ¶t

=

¶2u ¶x2

,

u|t = 0 = x2,

u|x² = x = x2.

Вследствие годовых колебаний температуры земля в городе N промерзает на глубину 2 м. На какую глубину она промерзла бы вследствие суточных колебаний такой же амплитуды?

Исследовать поведение при t ® + ¥   решения задачи

ut + (u sin x)x = euxx

,

u|t = 0 = 1,

e << 1.

Найти собственные числа оператора Лапласа D º div grad   на сфере радиуса R в евклидовом пространстве размерности n и их кратности.

Решить задачу Коши

¶2A ¶t2

= 9

¶2A ¶x2

– 2B,

¶2B ¶t2

= 6

¶2B ¶x2

– 2A,

A|t = 0 = cos x,

B|t = 0 = 0,

¶A ¶t

t = 0

=

¶B ¶t

t = 0

= 0.

Сколько решений имеет краевая задача

uxx + λu = sin x,

u(0) = u(π) = 0?

Решить уравнение

1 ò 0

(x + y)2 u(x) dx = λu(y) + 1.

Найти функцию Грина оператора d ²/dx² – 1 и решить уравнение

+ ¥ ò – ¥

e– | x – y | u(y) dy = e–x².

При каких значениях скорости c уравнение u_t = u – u² + u_xx имеет решение в виде бегущей волны u = φ(x – ct), φ(–∞) = 1, φ(∞) = 0, 0 ≤ u ≤ 1?

Найти решения уравнения u_t = u_xxx + uu_x, имеющих вид бегущей волны u = φ(x – ct), φ(±∞) = 0.

Найти число положительных и отрицательных квадратов в нормальной форме квадратичных форм

å 1 ≤ i < j ≤ n

(xi – xj)2

и

å 1 ≤ i < j ≤ n

xi xj .

Найти длины главных осей эллипсоида

å 1 ≤ i ≤ j ≤ n

xi xj = 1.

Через центр куба (тетраэдра, икосаэдра) провести прямую так, чтобы сумма квадратов расстояний до вершин была: а) минимальной, б) максимальной.

Найти производные длин полуосей эллипсоида x² + y² + z² + xy + yz + zx = 1 + εxy   по ε при ε = 0.

Какие фигуры могут получиться при пересечении бесконечномерного куба { |x_k| £ 1,   k = 1, 2, ...} двумерной плоскостью?

Вычислить сумму векторных произведений [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y].

Вычислить сумму коммутаторов матриц [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]], где [A, B] = AB – BA.

Найти жорданову нормальную форму оператора e^d/dt в пространстве квазимногочленов {e^ltp(t)}, где степени многочленов p меньше 5; оператора ad_A, B ® [A, B] в пространстве (n × n)-матриц B, где A – диагональная матрица.

Найти порядки подгрупп группы вращений куба и ее нормальные делители.

Разложить пространство функций, заданных в вершинах куба, на инвариантные подпространства, неприводимые относительно группы а) его симметрий, б) его вращений.

Разложить пятимерное вещественное линейное пространство на неприводимые инвариантные подпространства группы, порожденной циклической перестановкой базисных векторов.

Разложить пространство однородных многочленов пятой степени от (x, y, z) на неприводимые подпространства, инвариантные относительно группы вращений SO(3).

Каждый из 3600 абонентов телефонной станции вызывает ее в среднем раз в час. Какова вероятность того, что в данную секунду поступит 5 или более вызовов? Оценить средний промежуток времени между такими секундами (i, i + 1).

Частица, блуждающая по целым точкам полуоси x ³ 0, с вероятностью a сдвигается на 1 вправо, с вероятностью b влево, в остальных случаях остается на месте (при x = 0 вместо сдвига влево точка остается на месте). Определить установившееся распределение вероятностей, а также математическое ожидание x и математическое ожидание x² через большое время, если вначале частица находилась в точке 0.

Каждый из участников игры в очко на пальцах, стоящих по кругу, выбрасывает несколько пальцев правой руки, после чего для определения победителя суммарное число выкинутых пальцев отсчитывается по кругу от водящего. При каком числе участников N вероятность выигрыша хотя бы одного из подходящих N/10 участников становится больше 0,9? Как ведет себя при N ® ¥ вероятность выигрыша водящего?

Один из игроков прячет монету в 10 или 20 копеек, а другой отгадывает. Отгадавший получает монету, не отгадавший платит 15 копеек. Честная ли это игра? Каковы оптимальные смешанные стратегии обоих участников?

Найти математическое ожидание площади проекции куба с ребром 1 на плоскость при изотропно распределенном случайном направлении проектирования.

Первый день

Один из 6 вариантов.

Найти образ вектора (1,0), приложенного в точке (p,0), под действием преобразования за время t = 1 фазового потока системы x' = y,   y' = sin x.

В каких координатах разделяются переменные в уравнении

dy dx

= xy2 + x3y3 ?

Имеет ли задача Коши

y

¶u ¶x

+ (x3 – x)

¶u ¶y

= y2,

u(0, y) = 0,

решение в окрестности точки (0, y₀) и единственно ли оно?

Устойчиво ли по Ляпунову решение системы

x' = yz,

y' = –xz,

z' = 0.

с начальным условием (x₀, y₀, z₀) ?

Второй день

Дана система (6 вариантов):

{

x' = y, y' = –x2.

{

x' = y3, y' = –x.

{

x' = y, y' = x4.

{

x' = –y2, y' = x2.

{

x' = y4, y' = –x.

{

x' = y2, y' = x2.

Найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.

Все ли решения системы продолжаются неограниченно?

Сколько ненулевых решений, для которых y(0) = x(1) = 0, имеет система?

Найти производную решения с начальным условием x(0) = y(0) = a, по a при a = 0.

Третий день

Дана система (6 вариантов):

{

x' = x2y, y' = –xy2.

{

x' = – x2y2, y' = xy3.

{

x' = – x2y3, y' = xy4.

{

x' = – xy2, y' = x2y.

{

x' = xy3, y' = – x2y2.

{

x' = – xy4, y' = x2y3.

и 2. – как в предыдущий день.

Найти диффеоморфизм плоскости, выпрямляющий поле направлений фазовых кривых в окрестности точки (1,1).

Найти все непрерывные на всей плоскости первые интегралы, совпадающие с y на оси y.

Четвёртый день

Дана система (6 вариантов):

z' = i z2

,

z' = z2

,

z' = i z2 z

,

z' = z z2

,

z' = i z z2

,

z' = i z2

.

– как в предыдущие дни.

Найти все начальные условия, для которые решения продолжаются неограниченно вперёд.

Найти образ вектора (0,1), приложенного в точке 0, под действием преобразования фазового потока за время 1.

Найти все первые интегралы, непрерывные в окрестности точки z = 1 и равные 1 на вещественной оси.

Пятый день

Рассматривается задача (один из 6 вариантов):

x

¶u ¶x

– (1 + x4 + y2)

¶u ¶y

= 2u,

u(0, y) = 0.

Имеет ли задача определённое на всей плоскости неограниченное решение?

Ограничена ли величина u на характеристиках?

Все ли характеристики пересекают поверхность y = x + u²?

Имеет ли уравнение характеристик первый интеграл, производная которого по u в начале координат равна 1? Найти производную этой производной по u вдоль характеристического вектора.

Шестой день

Дано уравнение (6 вариантов):

x'' + x = sh3x. x'' + sin x = x3. x'' + x = 2x3.

x'' + x = sh3x/2. x'' + sin x = x3/2. x'' + x = x3/2.

Продолжается ли решение с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = 0 на всю ось t?

Ограничена ли третья производная по a при a = 0 решения с начальным условием x(0) = a, x'(0) = 0?

Вычислить значение этой производной при t = 2p.

Вычислить десятую производную решения с начальным условием x(0) = a, x'(0) = 0 по a при a = 0.

Седьмой день

Дано уравнение (6 вариантов):

x' = x2 – sin2t. x' = sin2t – x2. x' = sh2x – sin2t.

x' = x2 – cos2t. x' = cos2t – x2. x' = sh2x – cos2t.

Найти третью производную решения с начальным условием x(0) = 0 в нуле.

Продолжается ли это уравнение на всю ось t?

Имеет ли уравнение неограниченные решения?

Найти число асимптотически устойчивых периодических решений уравнения.

Рассмотрим линейное уравнение

(1)	(at + a) d3y dt3  + pa d2y dt2  – (a – 1)t2 × tg t × y = ln e + t e – t

с дополнительными условиями

(2)	y(a) = 1,   y'(a) = A,   y''(a) = a;

здесь a, a, A – действительные параметры.

a) (2 балла) Укажите все значения параметров a, a, A, при которых теорема существования и единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения 3-го порядка (1) с начальными условиями (2).

b) (1 балл) Какова область определения непродолжаемого решения начальной задачи (1)-(2) в случае a = –1, a = –2, A = –3?

c) (1 балл) Представьте начальную задачу (1)-(2) в форме задачи Коши для нормальной линейной системы дифференциальных уравнений.

Обозначим через (3) линейное однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (1) при значении a = –1. Рассмотрим для этого уравнения (3) три задачи Коши соответственно с начальными условиями:

(4)	y(1) = 2,   y'(1) = 0,   y''(1) = 0;
(5)	y(1) = –1,   y'(1) = 1,   y''(1) = –1;
(6)	y(1) = 0,   y'(1) = 0,   y''(1) = –2.

Пусть j₁(t), j₂(t), j₃(t), t Î I – непродолжаемые решения этих задач.

a) (1 балл) Укажите явно интервал I и докажите, что { j₁(t), j₂(t), j₃(t) } – фундаментальная система решений уравнения (3) на I.

b) (1 балл) Получите выражение для определителя Вронского решений j₁(t), j₂(t), j₃(t), справедливое на интервале I.

c) (2 балла) Запишите решение задачи Коши для уравнения (3) с начальными условиями y(1) = y₀,   y'(1) = y₁,   y''(1) = y₂ через функции j₁(t), j₂(t), j₃(t).

(3 балла) Имеется ли во множестве всех действительных решений уравнения

y''' + y = a cos t,

a = const > 0

периодическая функция?

(5 баллов) Вычислите основную матрицу e^tA для линейной однородной системы x' = Ax, (x Î R³) с постоянной матрицей

A =

(

–2   1   3

1   –2   –3

–2 2 5

)

.

(4 балла) Пусть K(t,t) – матрица Коши (фундаментальная матрица, нормированная в точке t) для линейной однородной системы x' = A(t)x, (x Î Rⁿ), где матрица A(t) непрерывна на R. Выразите производную ¶K(t,t)/¶t через матрицы A и K.

(3 балла) Известно, что функция u(t) Î C([0,¥]) удовлетворяет двойному неравенству

0 £ u(t) £

1 p

+

t ò 0

exp(–pt) u2(t) dt

при всех t Î [0,¥). Укажите оценку сверху для величины sup_[0,¥] u(t).

Может ли уравнение 3-го порядка x''' = f(t, x, x', x'') с непрерывно дифференцируемой правой частью f(t, x, u, v) иметь обе функции

x1 = 3 + sin t – 2cos t,    t Î R,
x2 = 1/(1 – t),	–1 < t < ½,

среди своих решений? Ответ обоснуйте.

При каких (действительных) значениях параметра a тривиальное решение системы дифференциальных уравнений

{	x' = ax + y + (a + 1)x2,
	y' = x + ay

является

a) (1 балл) асимптотически устойчивым?

b) (2 балла) устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически устойчивым?

c) (1 балл) неустойчивым?

Рассматривается фазовый портрет урaвнения x'' + 2dx' – x = 0 на фазовой плоскости (x, y = x').

a) (1 балл) Определите тип фазового портрета этого уравнения при каждом (действительном) значении параметра d.

b) (2 балла) Нарисуйте фазовые портреты указанного уравнения при d = –1 и при d = 1.

c) (1 балл) Для исследуемого уравнения при d = 0 найдите положение равновесия на фазовой плоскости и выясните, будет ли оно асимптотически устойчивым, устойчивым по Ляпунову или неустойчивым (ответ обоснуйте). Сколько прямолинейных траекторий имеется в этом случае у фазового портрета?

a) (1 балл) Сформулируйте теорему о дифференцируемости решений системы дифференциальных уравнений по параметру.
b) (4 балла) Вычислите производную от решения x = j(t, l) задачи Коши

x'' + x = l sin t + lx2,

x(0) = 0,

x'(0) = 0

по параметру l при значении l = 0.

При каких постоянных a и b все решения системы

{	x' = 2y – 4x + a,
	y' = 2x – y + b

ограничены при t > 0 ?

a) Дать определение устойчивости по Ляпунову.
b) Для системы

{	x' = x – y,
	y' = 2x – y + 6sin2 t

найти решение с периодом p.
c) Устойчиво ли это решение?

Для уравнения x'' + 4x – 6x² = 0
a) найти траекторию на фазовой плоскости, проходящую через точку (1,0);
b) найти решение уравнения с начальными условиями x(0) = 1, x'(0) = 0.

Найти производную по параметру m при m = 0 от решения задачи

y' = mx +

1 2y

,

y(1) = 1 – 2m,

x > 0.

a) Сформулировать теорему о существовании решения задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными.
b) Решить задачу Коши

xy

¶z ¶x

+ xz

¶z ¶y

= yz,

линия L:   x = 1,   z = 1 + y2.

В.И.Арнольд. Математический тривиум // УМН, 1991, т. 46, № 1, с. 225–232. назад к тексту

В.И.Арнольд. Математический тривиум-II // УМН, 1993, т. 48, № 1, с. 211–222. назад к тексту