Бурбаки

Сначала заглянем в словарь...

БУРБАКИ Никола — собирательный псевдоним, под которым группа математиков разных стран, преимущественно французских, выступила с попыткой дать систематическое изложение современной математики на основе аксиоматического метода, примерно так, как Евклид систематически изложил математику своего времени в «Началах». Образовалась группа в 1937 г. из бывших питомцев Высшей нормальной школы. Численность и точный состав группы не разглашался, но известно, что в неё входили такие известные математики, как А. Вейль, А. Картан, Ж. Дьёдонне, К. Шевалле. В многотомном (и далёком от завершения) трактате «Элементы математики», выходящем с 1939 г., развивается формальная аксиоматическая система, которая, по замыслу авторов, должна охватить главнейшие разделы математики. Изложение носит сугубо абстрактный характер. Основу изложения составляют т.н. структуры, определяемые посредством аксиом, например: структуры порядка, группы, топологические структуры. Способ рассуждения — от общего к частному. Классификация математики, производимая по типам структур, значительно отличается от традиционной. Деятельность этого коллектива принесла существенные плоды в таких областях математики, как топология, топологическая алгебра, алгебра, теория алгебраических чисел, функциональный анализ и др. Во Франции написано более 40 книг этого трактата. С 1958 г. отдельные книги трактата начали переводить на русский язык. Задуманный трактат остался незаконченным ввиду того, что группа Бурбаки объявила о прекращении своей деятельности в ноябре 1968 г. [Вероятно, отражением этого обстоятельства явилось заключение в траурную рамку имени автора задачи М5 при публикации в Задачнике «Кванта» № 1 за 1970 год. E.G.A.]

Книга исторических очерков Бурбаки — ценное введение в историю математики конца XIX в. – первой половины XX в. На «Семинаре Бурбаки» помимо подготовки трактата заслушивались доклады учёных из разных стран. Бурбаки проявляли также интерес к работе международного общества по изучению и улучшению преподавания математики.

А. И. Бородин, А. С. Бугай
Биографический словарь
деятелей в области математики
.
Киев, «Радянська школа», 1979

Сам я не поклонник изложения в стиле Бурбаки. Чрезмерная абстрактность, присущая их книгам, не добавляет интереса к излагаемому предмету и навевает скуку, хотя отдельные книги отдельных представителей этого собирательного образа (например, «Курс арифметики» Ж.-П. Серра или «Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру» А. Вейля) я читал и перечитывал с удовольствием. Тем не менее, влияние Бурбаки на современную математику несомненно, а среди моих знакомых есть и такие, кто в восторге от «Элементов математики».

Предлагаю вашему вниманию три статьи. Первая из них — «Николай Бурбаки — математический феномен XX века» — сплошной анекдот. Она появилась в 1966 году в Антологии таинственных случаев журнала «Техника — молодёжи». Вторая — доклад «О деятельности Бурбаки», читанный в 1968 году, принадлежит перу Ж. Дьёдонне, одного из «отцов-основателей» Бурбаки. Третья статья — «Twenty five years with Nicolas Bourbaki» А. Бореля в каком-то смысле мемориально-завершающая: пик популярности Бурбаки пройден (хотя парижский семинар Бурбаки по-прежнему действует) и можно подводить итоги.

Самый печальный среди них — жуткая формализация преподавания математики, к чему мсье Николя несомненно руку приложил, если не лично, то через своих адептов. Бразильская школа, упоминаемая в первой статье, лучший (или худший?) тому пример. Тема преподавания обсуждается и у Р. Фейнмана в «бразильской» главе воспоминаний (отрывки были в «Успехах физических наук», теперь «РХД» собирается выпустить воспоминания целиком). И нашу страну эта напасть не обошла стороной (я учился в школе во времена конгруэнтности и гомотетии), и французам досталось. Ещё в 70е-80е годы в советской печати шла большая дискуссия о преподавании математики. Касалась она, правда, преподавания в средней школе. Отрывок из статьи тех времён (Л. С. Понтрягин. «О математике и качестве её преподавания» // журнал «Коммунист», № 14, 1980 или книга «Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим», М., ИЧП «Прима В», 1998):

Иногда официальные лица министерства просвещения СССР, защищая теоретико-множественный подход как «современный» в школьной педагогике, ссылаются на пример западноевропейских стран: мол, там этот подход вошел в жизнь, а мы-де отстаем от передового опыта. А между тем Парижская Академия наук, например, еще в 1972 году обнаружила, что подобная модернизация преподавания математики приводит к появлению неудовлетворительных и ошибочных учебников и методов преподавания, что обучение математике во французских школах не приносит общему образованию той пользы, которой от него следовало бы ожидать.

Четыре года назад крупнейший французский математик Жан Лере, выступая в Рабате на первом панафриканском Математическом конгрессе, критически оценил постановку школьного дела в развитых капиталистических странах, отметив, что преподаватели и учебники там все с большим трудом передают детям те знания, которые им необходимы для жизни. Вот что сказал он о математике, преподаваемой в школах Франции: «Развитие понятия множества в последнее время значительно расширило область применения и силу математических методов, но значит ли это, что преподавание математики юношам и девушкам должно быть основано на этом понятии, то есть проходить по схеме, принятой в прекрасном трактате Н. Бурбаки? [Как же французу-математику без реверансов в сторону Бурбаки?! ;) E.G.A.] Ответ может быть только отрицательным... Можно ли строить курс математики для юношества логически на теории множеств, то есть выразить сущность этой теории на простом и доступном языке? Во Франции это пытались сделать с самонадеянностью, основанной на непонимании, что не могло не привести к катастрофе... Торжество методики, основанной на повторении многословных определений, имеет самые серьезные социальные последствия. С одной стороны, это отваживает от научного образования способных юношей, которые лишены привилегии иметь взрослого руководителя, способного объяснить им, что они правы, не понимая того, что им преподают, с другой стороны, это привлекает к занятиям как раз наименее способных и думающих учеников, которые учат наизусть и повторяют, не понимая смысла... Извращенная ситуация, в которой оказалось преподавание математических дисциплин во Франции, в большей степени, чем в англо-саксонских странах, возникла из вполне законного стремления к прогрессу. Наши самые искренние и цельные реформаторы не сумели отстранить от этого дела шарлатанов, которые использовали их инициативу, например, тех, кто с легкостью написал толстые учебники, полные ошибок, и получил преимущественное право на их переиздание, то есть воспроизведение ошибок. Сами учителя были подготовлены интенсивной пропагандой... Методисты боятся потерять авторитет, если исправят допущенные ошибки. Я прочел двум, сменившим один другого, министрам национального образования Франции основное содержание министерских инструкций, имеющих целью ошеломить наших детей научными определениями прямой... Они признали, что не понимают сами того, что предлагают в качестве обязательных инструкций, однако инструкций не отменили».

Более свежий пример относится уже к вузовскому преподаванию (В. И. Арнольд. «О преподавании математики» // УМН, № 1, 1998), но и в нём упоминается Бурбаки. PDF-файл можно скачать с сайта УМН (для россиян бесплатно, если зарегистрируетесь), я же приведу особо запомнившиеся места:

Ученик французской начальной школы на вопрос «сколько будет 2+3» ответил: «3+2, так как сложение коммутативно».

. . .

Уже Якоби заметил, как самое восхитительное свойство математики, что в ней одна и та же функция управляет и представлениями целого числа в виде суммы четырёх квадратов, и истинным движением маятника. [Только прочитав, понял, что и правда, а до этого оба результата никак не соотносил. E.G.A.]

Эти открытия связей между разнородными математическими объектами можно сравнить с открытием связи электричества и магнетизма в физике или сходства восточного берега Америки с западным берегом Африки в геологии.

Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоценить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные явления единства всего сущего.

. . .

Перефразируя известные слова об электроне и атоме, можно сказать, что гипоциклоида столь же неисчерпаема, как идеал в кольце многочленов. Но учить идеалам студентов, никогда не видевших гипоциклоиды, столь же нелепо, как учить складывать дроби детей, никогда не разрезавших (хотя бы мысленно) на равные доли ни яблоко, ни пирог. Неудивительно, что дети предпочтут складывать числитель с числителем и знаменатель со знаменателем.

От моих французских друзей я слышал, что склонность к сверхабстрактным обобщениям является их традиционной национальной чертой. Я не исключаю, что здесь действительно идет речь о наследственной болезни, но всё же хотел бы подчеркнуть, что пример с яблоком и пирогом я заимствовал у Пуанкаре.

. . .

Возвращение преподавания математики на всех уровнях от схоластической болтовни к изложению важной естественнонаучной области — особенно насущная задача для Франции. Для меня было удивительным, что студентам здесь практически неизвестны (и, кажется, не переводились на французский язык) все самые лучшие и важные в методическом отношении математические книги: «Числа и фигуры» Радемахера и Тёплица, «Наглядная геометрия» Гильберта и Кон-Фоссена, «Что такое математика» Куранта и Роббинса, «Как решать задачу» и «Математика и правдоподобные рассуждения» Полиа, «Лекции о развитии математики в XIX столетии» Ф. Клейна. [Хм... На русском-то они есть, но у нас из хороших книг тоже до чертá не переводилось, а во Франции эти книги хоть на английском, я думаю, общедоступны. E.G.A.]

Ну, скажут, начал с анекдота, а закончил драмой. Что делать, жизнь такова... :)

Добавление от 27.12.2000

Уже выложив материалы по Бурбаки, я наткнулся на статью «Умер ли Никола Бурбаки?», опубликованную в журнале «Математическое просвещение» № 2 за 1998 год. Несомненно, её автор А. Б. Сосинский гораздо более меня сведущ в данном вопросе, так что я не смог преодолеть искушения утянуть эту статью на свою страничку, хотя при работающих линках стараюсь этого не делать.

Hosted by uCoz