Ведущую роль в развитии математики в средние века играли учёные стран Востока. Здесь, особенно в Индии и Китае, ещё в древности сложилась своеобразная математическая культура, которая длительное время развивалась самобытно, а затем вступила во взаимодействие с культурой других стран, в том числе античной Греции.

Издавна присущий математике Востока арифметический, вычислительный характер способствовал развитию в ней приёмов выполнения действий с числами, со временем всё большими. Использовались различные системы счисления, в основном десятичные. Именно с арифметикой связано одно из самых выдающихся научных достижений — создание учёными Индии десятичной позиционной системы счисления. Она сложилась около 500 г. Решающим моментом в этом явилось изобретение нуля. Выполнение арифметических действий, особенно умножения и деления, значительно упростилось. Появилась возможность решения более сложных задач, разработки более удобных приёмов решения уравнений, формирования понятий иррационального числа, отрицательного числа, чуждых древнегреческой математике с довлевшей над ней геометрической трактовкой величин.

Преемниками научного наследия Индии и Китая, а также Древней Греции прежде всего стали учёные стран Ближнего и Среднего Востока, вошедших в состав Арабского Халифата. В основном в течение VII столетия заселявшие Аравийский полуостров племена арабов покорили соседние народы. Вскоре их господство охватило громадные территории от отрогов Гималаев до Пиренейского полуострова, от южного Средиземноморья до закаспийских 239  пустынь. Завоевания проводились под знаменем новой религии — ислама. Язык этой религии, арабский, стал и государственным и основным научным языком. На нём в VII–XV столетиях сложилась и расцвела культура и наука стран ислама. Они создавались не только арабами, но и представителями завоёванных арабами стран, прежде всего среднеазиатских. Вклад побеждённых был весьма значительным, а в некоторых направлениях определяющим.

И в Арабском Халифате, и в многочисленных мусульманских государствах, сменивших его и сменявших часто одно другого в результате завоеваний турок, монголов, а также междоусобных войн, жизненно важными были вопросы орошения, строительства, караванной и морской торговли. Решение их требовало развития астрономии и математики. Преуспевающие правители создают обсерватории, которые становятся центрами развития точных наук. В них изучаются, переводятся на арабский язык и комментируются сочинения учёных Индии и особенно Древней Греции. Наряду с этим достигаются существенные дальнейшие продвижения, прежде всего в арифметике, алгебре и тригонометрии. Многие учёные принимали в этом участие. Опишем кратко деятельность некоторых из наиболее выдающихся.

Большое значение для дальнейшего развития математики имели труды Мухаммеда ал-Хорезми (787–~850). Его родиной было государство Хорезм в Средней Азии. Происходил он из зороастрийских жрецов. Благодаря своей учёности занимал видное положение в «Доме мудрости», созданном халифами в Багдаде. Здесь он был ведущим математиком и астрономом. Сочинения ал-Хорезми по арифметике и алгебре обессмертили его имя.

Книга ал-Хорезми «Об индийском счёте» являлась первой на арабском Востоке, в которой арифметика излагалась на основе позиционной десятичной системы счисления. Своей книгой он способствовал быстрому распространению этой системы во всём арабском мире, вплоть до мавританских государств Испании. В XII веке книга была переведена на латинский язык, и индийская арифметика стала известна в Западной Европе под названием алгоризма или алгоритма (по латинизированной форме имени автора). С конца XV века она становится здесь основной. К этому времени, в частности, унифицировалась благодаря книгопечатанию запись цифр (на гравюре А. Дюрера «Меланхолия», датируемой 1514 г., они имеют привычный нам вид). Издавна эти цифры не совсем удачно называются арабскими. В наше время алгоритмом стали называть точное предписание для решения определённого класса задач. Важность этого понятия трудно переоценить. Оно широко используется в математике, в её приложениях, в повседневной жизни.

Своим сочинением «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы» ал-Хорезми положил начало формированию того раздела математики, который получил название алгебры (от соответствующего 240  слова в наименовании книги). Операция ал-джабр (восполнение) означала перенос вычитаемых членов уравнения в другую часть его в виде прибавляемых членов; ал-мукабала (противопоставление) — сокращение равных членов в обеих частях. Эти операции позволяли любое уравнение первой или второй степени привести к одному из шести канонических типов, рассмотренных в книге. Для каждого типа ал-Хорезми даёт лишь правило для нахождения положительных корней уравнений. Всё излагается словесно на примерах с числовыми коэффициентами, без какой-либо символики. Типы уравнений, характеризуемые такими их представителями, как

(у ал-Хорезми, соответственно, «квадрат и корни равны числу», «квадрат и число равны корням», «корни и число равны квадрату», — так что допускались лишь положительные коэффициенты), охватывали все случаи, когда в уравнение входят и член с неизвестным, и член с его квадратом, и член в виде числа. Ал-Хорезми отмечает, что свою книгу он написал потому, что изложенное в ней «необходимо людям при разделе наследства, составлении завещаний, разделе имущества и в судебных делах, в торговле и всевозможных соглашениях, а также когда измеряют землю, прокладывают каналы, в геометрии и других подобных делах». В книге много примеров решения задач такого рода.

Омар Хайям (1048–1131) получил широкую известность как автор своих знаменитых четверостиший. Вместе с тем он был великим математиком своего времени. Если в сочинениях ал-Хорезми главным образом систематизируются большей частью уже известные в другой форме результаты, то в трудах Хайяма много нового, ранее неизвестного. Это прежде всего относится к его сочинению «О доказательствах задач алгебры и ал-мукабалы» (1074). Здесь он, в частности, пишет: «...искусство алгебры и ал-мукабалы есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесённые к какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить... Алгебраические решения производятся с помощью уравнения, т.е., как это хорошо известно, приравнивания одних степеней другим». Так Хайям представляет новую математическую науку алгебру — науку об уравнениях (указанного вида). Его личный вклад в эту науку — создание общей теории решения уравнений третьей степени.

Математики Востока, предшественники Хайяма, решали, вслед за Архимедом, отдельные уравнения третьей степени. При этом использовался геометрический метод: неизвестное строилось путём нахождения точки пересечения двух конических сечений, которые подбираются соответственно решаемой задаче. Хайям показывает, что этим методом можно решить любое уравнение третьей 241  степени. Основой его теории, геометрической по методу, является данная им классификация уравнений не выше третьей степени. Хайям выделяет 25 их различных типов. Среди них 6, рассмотренных ал-Хорезми, и 5, сводящихся к ним. Для решения всех их, как отмечает Хайям, достаточно «двух сочинений Евклида «Начала» и «Данные»», т.е. построений с помощью циркуля и линейки. Для решения остальных 14 типов требуется ещё и то, что «содержится в двух книгах «Конических сечений»» Аполлония. Требуется использовать параболы, равносторонние гиперболы, окружности. Для каждого типа Хайямом указываются требуемая пара этих кривых, их построение с точками пересечения, определяющими корни, а также выясняются возможное число и границы положительных корней. Так, уравнение типа «куб и корни равны квадратам и числу» решается с помощью окружности и равносторонней гиперболы. Именно, на современном языке, решение уравнения

сводится к решению системы уравнений

К сожалению, когда Декарт и его современники занялись геометрическим построением корней уравнений, теория Хайяма оставалась для них неизвестной и им также пришлось отправляться от наследия древних греков. Свою геометрическую теорию Хайям построил после того, как ему не удалось получить их «числовое», собственно алгебраическое, в радикалах, решение. Это сделали лишь в XVI веке итальянцы Ферро и Тарталья, а опубликовал Кардано (1545).

Хайямом проводились глубокие исследования и в самой геометрии. Здесь его внимание привлекла теория параллельных. В сочинении «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида» (1077), пытаясь доказать постулат параллельных, Хайям рассматривал четырёхугольник, о котором шла речь в главе о Лобачевском. При опровержении гипотез острого и тупого углов, Хайям пользовался предположениями, которые равносильны постулату Евклида. По существу, рассмотрения Хайяма показали, что постулат Евклида следует из утверждения, что сумма внутренних углов плоского треугольника равна двум прямым. Они оказали влияние на Насир ад-Дина ат-Туси, о котором речь дальше. Исследования ат-Туси стали известны в Европе, где и свершилось открытие неевклидовой геометрии. Работы Хайяма и ат-Туси оставили заметный след в её предыстории.

Совершенствуя античную теорию отношений, Хайям и вслед за ним ат-Туси подошли к обобщению понятия числа на любые положительные вещественные числа, которые они трактовали как отношения величин, в том числе несоизмеримых. Это способствовало устранению установившегося после древних греков противопоставления 242  геометрических несоизмеримых величин и числовых иррациональностей, преодолённому после трудов Декарта и Ньютона.

Хайям прожил сложную, трудную жизнь. Смуты того времени заставили его много скитаться, познать и богатство и нужду. Он родился в городе Нишапур области Хорасан, исторически общей для таджиков и персов, жил и работал в разных городах Средней Азии и Ирана. Сельджукский султан и его визирь пригласили Хайяма в 1074 г. возглавить новую астрономическую обсерваторию в Исфахане. Уточнение астрономических таблиц, подготовка реформы календаря неожиданно прерываются. После убийства визиря и смерти султана обсерватория была закрыта. Блюстители догм ислама преследовали Хайяма. Спасая свою жизнь, ему пришлось в старости совершить паломничество в Мекку. Умер Хайям в своём родном городе.

Свои беды и радости Хайям воспел в бессмертных стихах. Вот одно его четверостишие:

Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.
Два важных правила запомни для начала.
Ты лучше голодай, чем что попало ешь,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

Другое он заключает стихами:

Яд, мудрецом тебе предложенный, прими,
Из рук же дурака не принимай бальзама.

Знаменитый учёный-энциклопедист Средней Азии Мухаммед ал-Беруни (973–~1050), современник великого Ибн-Сины, родился в городе Кяте, столице Хорезма (ныне город Бируни в Узбекистане). Здесь, в крупном центре науки того времени, он учился и работал. Афганский султан Махмуд, захвативший Хорезм в 1017 г., принудил его переехать в свою столицу Газни, где ал-Беруни возглавил работу учёных, собранных Махмудом из покорённых стран. Несколько лет ал-Беруни жил в завоёванной султаном Северной Индии, где глубоко изучил научные работы на санскрите.

Среди многочисленных работ ал-Беруни особое место занимает его огромный энциклопедический труд, посвящённый сыну Махмуда Мас'уду и известный под названием «Канон Мас'уда». Помимо астрономии, хронологии, географии и других естественных наук, в нём много внимания было уделено тригонометрии — было подытожено её развитие в сочинениях многочисленных предшественников ал-Беруни. Он, «пересёкший моря древнегреческой и индийской философии», приобрёл огромную славу на средневековом Востоке.

Тригонометрия зародилась в связи с потребностями астрономии и многие столетия трактовалась как введение в эту науку. Начала тригонометрии были изложены в Александрии Клавдием Птолемеем (II веке н.э.) в его труде «Великое математическое построение астрономии» (арабизированное название «Алмагест»). Стержнем 243  труда было построение геоцентрической системы мира, господствовавшей в науке почти полтора тысячелетия.

Освещая свойства треугольников и их использование при решении задач астрономии, Птолемей рассматривал величину хорды дуги окружности (эквивалент удвоенного синуса половины центрального угла, стягивающего дугу). Выражения хорд некоторых дуг через радиус окружности легко находятся как стороны соответствующих вписанных в неё правильных многоугольников (треугольника, квадрата, шестиугольника и других, что для хорд дуг в 120°, 90°, 60° и других даёт R√3/2, R√2/2, R/2 и т.д.). Птолемей составил довольно точную таблицу хорд дуг от 0 до 180° через 1° равнозначную таблице синусов углов от 0 до 90° через ½°.

Учёные Индии вместо хорды дуги — «тетивы лука» стали рассматривать её половину, которая в результате не совсем точных переводов получила название синус, а также две другие тригонометрические величины, названные в дальнейшем косинусом (синус угла, дополняющий рассматриваемый до 90°) и синусом-верзусом (дополнение косинуса до радиуса окружности). В V веке индийцы располагали таблицей синусов от 0 до 90° через 3¾°. Для определения высот и расстояний, а затем и решения астрономических задач они пользовались тенью вертикального шеста — гномона.

Отправляясь от этих рассмотрений, учёные арабского мира ввели эквиваленты остальных тригонометрических величин — тангенса, котангенса, секанса и косеканса. Следуя традиции александрийских и индийских астрономов, восходящей к древним вавилонянам, линии синуса и косинуса измеряли в 60-х долях радиуса. Таблицы синусов составлял ал-Хорезми. В астрономических таблицах его времени встречались уже значения всех остальных тригонометрических величин. Учение о тригонометрических величинах, о решении с их помощью сферических и плоских треугольников становится разветвлённым, приобретающим всё большую самостоятельность разделом математики. Ценные пополнения к нему дали Сабит ибн-Корра (836–901), Мухаммед ал-Баттани ( — 850–929), Абу-л-Вафа (940–998), ал-Беруни и другие учёные.

Тригонометрии ал-Беруни посвящает третью книгу своего «Канона». Десять глав этой книги содержат обширный материал, включая теоремы синусов плоской и сферической тригонометрии, таблицы синусов через 15', тангенсов и котангенсов через 1° с правилами пользования ими, в том числе правилами линейного, общепринятого со времён Птолемея, и менее известного квадратичного интерполирования. Ал-Беруни проявил искусство в решении важных задач: вычисление стороны правильного вписанного девятиугольника, хорды дуги в 1°, отношения окружности к диаметру 244  (число π) и других. Первая задача привела к уравнению, которое записывается теперь в виде

Ал-Беруни решает его путём последовательных приближений. По существу, это уравнение трисекции угла.

Вслед за «Каноном» ал-Беруни стали появляться другие сводные изложения тригонометрии. Венцом их явился «Трактат о полном четырехстороннике» (1260) Насира ад-Дина ат-Туси. Он впервые представляет тригонометрию как самостоятельную науку, содержит довольно полное и целостное построение всей её системы, а также способы решения всех типичных задач, в том числе труднейших, решённых самим ат-Туси. Сочинение ат-Туси существенно повлияло на развитие тригонометрии в Европе, где в 1462–1464 гг. Иоганн Мюллер (Региомонтан) написал по арабским источникам сочинение «Пять книг о всевозможных треугольниках». Оно включало тригонометрию на плоскости и на сфере. Некоторые задачи на построение треугольников Региомонтан решал алгебраически. Систематическое изложение обширного материала он часто дополнял своими доказательствами. Современный вид тригонометрии придал Л. Эйлер в своём знаменитом трактате «Введение в анализ» (1748).

Уроженец города Туса в Хорасане Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) был выдающимся учёным своего времени. Потерпев неудачу у нескольких правителей, он стал советником Хулагу-хана. Возглавленные этим внуком Чингиз-хана монголы покорили Иран. Своей столицей Хулагу-хан сделал город Марагу под Тавризом (Южный Азербайджан), где по совету ат-Туси была построена в 1258–1259 гг. обсерватория — одна из лучших в средние века. К работе в обсерватории были привлечены учёные из разных мест. Под руководством ат-Туси они проводили наблюдения, обрабатывали их, исследовали вопросы математики, связанные с астрономией. Уже отмечалось, что наибольших успехов ат-Туси достиг в области геометрии и тригонометрии. Ему принадлежит также первое известное нам описание извлечения корня любой степени; оно опирается на правило разложения бинома.

Последним крупным научным центром средневекового Востока был Самарканд. Его правитель, внук Тимура, Улугбек (1394–1449) серьёзно занимался астрономией и математикой. Он собрал вокруг себя большую группу видных учёных своего времени. При их участии была построена прославившаяся в веках обсерватория. Выполненные на ней работы по своей точности оставались непревзойдёнными длительное время.

Ведущим математиком астрономической школы Улугбека был Джемиш ал-Каши (умер — 1430), «перл славы и чести своего времени». Он был уроженцем города Катана в Иране. Его труды поражают высоким вычислительным искусством. Написанное в 245  Самарканде сочинение ал-Каши «Ключ арифметики» (1427) знаменует завершение десятичной арифметики. В нём она, ранее разработанная для целых чисел, распространена на дроби; здесь дано учение о десятичных дробях, которыми ал-Каши постоянно пользовался. В отрывочном виде они встречались и раньше, а общепринятыми стали после выхода в Европе книги С. Стевина «Десятая» (1585). «Трактат об окружности» (1424) ал-Каши является блестящим образцом выполнения приближённых вычислений. Используя правильные вписанный и описанный многоугольники с числом сторон 3·2²⁸ (для вычисления стороны проводятся последовательные извлечения квадратных корней), ал-Каши для отношения длины окружности к диаметру (число π) получил значение 3,14159265358979325, верное до 17-го знака. В другой своей работе он сосчитал, что sin 1° = 0,017452406437283571 (все знаки верные! — это примерно в два раза точнее, чем у ал-Беруни). По существу, указанное значение найдено путём проведения итераций для нахождения корня уравнения

Вычисленные в Самарканде таблицы давали значения синусов от 0 до 45° через 1° с точностью до девяти десятичных знаков. В Европе такая точность была получена полтора столетия спустя.

Как и другие учёные, о которых здесь говорилось, ал-Каши — ярко сверкающая звезда на математическом небосклоне. 246