1525 Кб

Оглавление Предисловие редактора перевода Предисловие   Часть первая. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ   Глава I. Конечные поля § 1. Общие положения 9 § 2. Уравнения над конечным полем 12 § 3. Квадратичный закон взаимности 14 Приложение 19   Глава II. p-адические поля § 1. Кольцо Zp и поле Qp 22 § 2. p-адические уравнения 25 § 3. Мультипликативная группа поля Qp 30   Глава III. Символ Гильберта § 1. Локальные свойства 36 § 2. Глобальные свойства 43   Глава IV. Квадратичные формы над Qp и над Q § 1. Квадратичные формы 48 § 2. Квадратичные формы над Qp 61 § 3. Квадратичные формы над Q 70 Приложение 78   Глава V. Целые квадратичные формы с дискриминантом ±1 § 1. Предварительные сведения 82 § 2. Формулировки результатов 90 § 3. Доказательства 95   Часть вторая. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ   Глава VI. Теорема об арифметической прогрессии § 1. Характеры конечных абелевых групп 101 § 2. Ряды Дирихле 106 § 3. Дзета-функция и L-функции 112 § 4. Плотность и теорема Дирихле 119   Глава VII. Модулярные формы § 1. Модулярная группа 124 § 2. Модулярные функции 128 § 3. Пространство модулярных форм 136 § 4. Разложения в бесконечные ряды 144 § 5. Операторы Гекке 154 § 6. Тэта-функции 168   Литература 176 Указатель обозначений 179 Предметный указатель 181 Именной указатель 182

Читателя не должно ввести в заблуждение название книги: это курс основ теории чисел, предполагающий известной теорию делимости и элементы теории сравнений целых рациональных чисел, а также требующий владения некоторыми терминами и результатами общей алгебры. Для успешного изучения книги Серра в основном достаточно общего курса алгебры, читающегося студентам наших университетов и педагогических институтов в первые два года обучения. Правда, система алгебраического образования во Франции несколько отличается от нашей, но недостающие сведения читатель может найти, например, в соответствующих выпусках «Элементов математики» Н. Бурбаки и в книге С. Ленга «Алгебра» (конечно, систематическое изучение этих сочинений не предполагается).

Ж.-П. Серр известен не только как один из крупнейших современных математиков, но и как автор многих содержательных и ясно написанных книг (некоторые из них переведены на русский язык). Предлагаемая книга — одно из наиболее удачных произведений этого выдающегося автора. Она составлена из записей двух курсов лекций, читанных автором для студентов второго года обучения Высшей нормальной школы.

Нет нужды останавливаться на содержании книги, ибо оно подробно описано в предисловии автора. По тематике ее можно сравнить с известной книгой З. И. Боревича и И. Р. Шафаревича «Теория чисел». Однако книга Серра значительно отличается от последней как по отбору материала, так — и особенно — по манере изложения. В то время как книга Боревича–Шафаревича представляет собой монографию, небольшая книга Серра является современным университетским учебником.

Выход в свет русского перевода книги Серра тем более актуален, что сейчас идет активная перестройка университетского математического образования. Традиционный обязательный курс теории чисел в ряде университетов ликвидирован. Большая часть его материала включена в курс высшей алгебры, где кольцо целых чисел играет роль модели, на которой демонстрируются абстрактные алгебраические понятия и конструкции, однако при этом ряд важных результатов теории чисел естественно оказывается опущенным. Книга Серра заполняет появившийся пробел. Ее можно рассматривать как первый спецкурс, обязательный для всех, кто хочет специализироваться по теории чисел и смежным с нею дисциплинам. Конечно, отбор материала для такого курса, предлагаемый автором, очень интересен, но не единственно возможен. Представляется, что материал первых трех глав (конечные поля, p-адические поля, символ Гильберта) должен войти в той или иной мере в любой курс основ теории чисел. Содержание же остальных глав может быть развито и в самостоятельные более специализированные курсы арифметики квадратичных форм, теории L-рядов, теории модулярных форм.

Нет сомнения, что предлагаемую книгу Серра будут с пользой и интересом читать студенты средних и старших курсов университетов и педагогических институтов, специализирующиеся в области алгебры, теории чисел и смежных областях математики. Она будет полезна преподавателям и научным работникам — и знающие материал книги читатели с удовольствием познакомятся с изложением Серра.

Эта книга делится на две части.

Первая часть — чисто алгебраическая. Ее целью является классификация квадратичных форм над полем рациональных чисел (теорема Минковского–Хассе); этой теме посвящена глава IV. Предыдущие три главы содержат различные предварительные сведения: квадратичный закон взаимности, p-адические поля, символы Гильберта. В главе V предыдущие результаты прилагаются к квадратичным формам с целыми коэффициентами и определителем ±1; такие формы используются в различных вопросах: модулярные функции, дифференциальная топология, конечные группы.

Вторая часть (главы VI и VII) использует «аналитические» средства (голоморфные функции). В главе VI дается доказательство теоремы Дирихле об арифметической прогрессии; кстати, эта теорема используется в одном узловом пункте первой части (п. 2.2 гл. III). Глава VII посвящена модулярным формам, в частности, тэта-функциям; здесь вновь появляются некоторые квадратичные формы главы V.

Эти две части соответствуют курсу, прочитанному в 1962 и 1964 гг. студентам второго года обучения Высшей нормальной школы. Предварительная редакция курса, размноженного на ротаторе, принадлежит Сансу (главы I–IV) и Рами и Руже (главы VI–VII). Она была существенно использована мною; я приношу благодарность этим авторам.