4031 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА 5 ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ 7 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ 8 ПРЕДИСЛОВИЕ 10   ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ   Глава 1.  ВВЕДЕНИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 12 1.1.  Введение и основные понятия 12 1.2.  Аппроксимации Паде экспоненциальной функции 19 1.3.  Последовательности и ряды. Трудности 24 1.4.  Определение Бейкера, C-таблица и блочная структура 29 1.5.  Двойственность и инвариантность 42 1.6.  Биградиенты и формула Адамара 47   Глава 2.  ПРЯМЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 52 2.1.  Прямой метод нахождения аппроксимаций Паде 52 2.2.  Распознавание особенностей с помощью аппроксимаций Паде 57 2.3.  Предполагаемые ошибки 67 2.4.  Численные методы нахождения аппроксимаций Паде 71   Глава 3.  АППРОКСИМАЦИИ ПАДЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 79 3.1.  Δ2-метод Эйткена как метод аппроксимаций Паде [L/1] 79 3.2.  Ускорение и сверхускорение сходимости 83 3.3.  ε-алгоритм и η-алгоритм 85 3.4.  Тождество Винна и ε-алгоритм 93 3.5.  Общие тождества и рекуррентные формулы 98 3.6.  Q.D.-алгоритм и проблема корней 103   Глава 4.  СВЯЗЬ С НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 110 4.1.  Определения и рекуррентные соотношения 110 4.2.  Непрерывные дроби, связанные с рядом Тейлора 114 4.3.  Алгебраические и численные методы 118 4.4.  Различные представления непрерывных дробей 122 4.5.  Типы непрерывных дробей 130 4.5.1. Регулярные дроби в невырожденных случаях 130 4 5.2. Дроби общего вида в вырожденных случаях 132 4.5.3. Алгоритм Висковатова в общем случае 134 4.5.4. Некоторые специальные типы непрерывных дробей 140 4.6.  Примеры непрерывных дробей, являющихся аппроксимациями Паде 141 4.7.  Сходимость непрерывных дробей 149   Глава 5.  РЯДЫ СТИЛЬТЬЕСА И РЯДЫ ПОЙА 158 5.1.  Ряды Стильтьеса; введение 158 5.2.  Сходимость рядов Стильтьеса 166 5.3.  Проблема моментов и ортогональные полиномы 177 5.4.  Ряды Стильтьеса, сходящиеся в круге |z|<R 185 5.4.1. Хаусдорфова проблема моментов 192 5.4.2. Целочисленная проблема моментов 193 5.5.  Расходящиеся ряды Стильтьеса 195 5.6.  Ряды Гамбургера и проблема моментов Гамбургера 205 5.7.  Частотные ряды Пойа 223   Глава 6.  ТЕОРИЯ СХОДИМОСТИ 231 6.1.  Введение 231 6.2.  Теорема Монтессу 234 6.3.  Формула Эрмита и теорема Монтессу 244 6.4.  Единственность предела 250 6.5.  Сходимость по мере 257 6.6.  Лемнискаты, ёмкость и мера 267 6.7.  Паде-гипотеза 276   Приложение.  ПРОГРАММА НА ФОРТРАНЕ 281   ЧАСТЬ 2. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ   Глава 1.  ОБОБЩЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ 287 1.1.  Многоточечные аппроксимации Паде 287 1.2.  Аппроксимации Бейкера–Гаммеля 305 1.3.  Анализ рядов 315 1.4.  Аппроксимация функций нескольких переменных 323 1.5.  Матричные аппроксимации Паде 333 1.6.  Аппроксимации Паде–Чебышёва, Паде–Фурье и т.д. 339   Глава 2.  СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКОЙ 346 2.1.  Общий метод и конечномерные ядра 346 2.2.  Аппроксимации Паде и интегральные уравнения с компактными ядрами 349 2.3.  Методы, основанные на проектировании 355 2.4.  Потенциальное рассеяние 361 2.5.  Связь аппроксимаций Паде с вариационными принципами 372 2.6.  Оценка погрешности аппроксимаций Паде в вариационных принципах 383 2.7.  Знакопостоянные потенциалы в теории рассеяния и т.д. 385 2.8.  Вариационные аппроксимации Паде 392 2.9.  Сингулярные потенциалы 399   Глава 3.  СВЯЗЬ С ЧИСЛЕННЫМ АНАЛИЗОМ 405 3.1.  Квадратура Гаусса 405 3.2.  Неравенства Чебышёва для функции плотности 410 3.3.  Метод коллокации и τ-метод 416 3.4.  Метод Кранка–Никольсона и близкие к нему методы решения уравнения диффузии 423 3.5.  Обратное преобразование Лапласа 431 3.6.  Связь с рациональной аппроксимацией 433 3.7.  Аппроксимации Паде для уравнения Риккати 440   Глава 4.  СВЯЗЬ С КВАНТОВОЙ ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ 444 4.1.  Возмущённые гармонические осцилляторы 444 4.2.  Пион-пион рассеяние 450 4.3.  Решёточное обрезание в λφ4-евклидовой теории поля или модель Изинга непрерывного спина 455   ЛИТЕРАТУРА 460 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ   496

В последние годы резко возрос интерес к классическим методам рациональной аппроксимации аналитических функций и в первую очередь — к аппроксимациям Паде и их обобщениям. Это связано с тем, что такие аппроксимации нашли разнообразные применения в вычислительных задачах теоретической физики и механики.

Оригинальное издание настоящей книги вышло в известной «Энциклопедии математики и её приложений» под общей редакцией Дж.-К. Роты в серии «Математическая физика» (тт. 13 и 14). Ряд книг из этой Энциклопедии выпущен в русском переводе или готовится к печати издательствами «Наука» и «Мир»:

• Л. Сантало. Интегральная геометрия и геометрическая вероятность (т. 1).
• Дж. Эндрюс. Теория разбиений (т. 2).
• У. Миллер. Симметрия и разделение переменных (т. 4).
• Г. Минк. Перманенты (т. 6).
• У. Джоунс, У. Трон. Непрерывные дроби (т. 11).
• Н. Мартин, Дж. Ингланд. Математическая теория энтропии (т. 12).

Авторы монографии широко известны своими работами по теории и, главным образом, приложениям метода аппроксимаций Паде к различным задачам математической физики. В целом монография имеет прикладную направленность, но даёт достаточно полное представление о сущности этого метода. И теоретические результаты и решения конкретных задач иллюстрируются разнообразными примерами, графиками и таблицами, приводится программа вычисления аппроксимаций Паде на языке Фортран IV. Обсуждаются различные трудности, которые могут возникнуть при реализации метода аппроксимаций Паде, и приёмы, с помощью которых эти трудности можно преодолеть.

Авторы не всегда ограничиваются строгими рамками теории — большой вычислительный опыт и физические соображения позволяют им сформулировать ряд важных выводов и рекомендаций, которые пока ещё не удаётся подкрепить теоретическими результатами.

В книге приводятся связи метода аппроксимаций Паде с другими численными методами. Особенно тесно этот метод связан с методом непрерывных дробей, которому посвящён отдельный том Энциклопедии, написанный У. Джоунсом и У. Троном; русское издание его недавно вышло в издательстве «Мир».

Нет сомнения, что эта богатая содержанием книга будет интересна как математикам, так и специалистам во многих прикладных областях, особенно механикам и физикам.

Перевод гл. 1–3 части 1 и гл. 1, 2 части 2 выполнен Р. А. Рахмановым, гл. 4–6 и приложение части 1 и гл. 3, 4 части 2 перевёл С. П. Суетин.

Полюсы и нули аппроксимации Паде высокого порядка экспоненциальной функции описывают замечательные траектории в комплексной плоскости. Эта иллюстрация, воспроизведенная с любезного разрешения профессоров Саффа и Варги, демонстрирует взаимодействие и общие характеристики большого числа таких траекторий. Для более подробного описания см. с.226–228.

Математика состоит главным образом из фактов, которые можно представить и описать подобно любому естественному явлению. Эти факты, иногда сформулированные явно в виде теорем, иногда используемые по ходу доказательств, и составляют основную часть приложений математики и будут существовать всегда, несмотря на изменчивость направлений и интересов в данной науке.

Цель настоящей энциклопедии — постараться осветить все области математики. От каждого автора требуется ясное и чёткое изложение, доступное для понимания широкого круга читателей, а также подробная библиография. Тома объединяются в серии, которые соответствуют различным областям современной математики; порядок выхода книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и серий время от времени будет пересматриваться.

Мы надеемся, что наше смелое предприятие будет способствовать ещё более широкому применению математики не только там, где без неё нельзя обойтись, но даже в тех областях, где её следовало бы применять и где из-за недостатка информации это пока почти не делается.

Изучение представления функций степенными рядами приводит к новому, всё более глубокому проникновению в математические проблемы и физические приложения. Эта книга посвящена подробному описанию метода аппроксимаций Паде. Значение этого способа аппроксимации для изучения широкого спектра физических проблем существенно возросло в последние годы. Эта книга представляет собой хороший пример взаимодействия физики и математики, каждая из которых стимулирует другую к появлению новых понятий и методов.

Трудно представить более подходящих авторов для изложения теории и способов применения аппроксимаций Паде, чем Бейкер и Грейвс-Моррис, которые широко известны своими оригинальными работами как по математике, так и по физическим приложениям. Книга написана ясно, без ущерба для математической строгости и всё же легко доступна для современного физика-теоретика.

Нужно заметить, что их книга служит примером здоровой тенденции, наблюдаемой в последние годы, но которой современные математические исследования всё больше и больше инициируются самыми передовыми физическими теориями и даже излагаются на языке последних.

Например, повышение интереса к статистической механике и теории поля, наблюдаемое в последнее время, потребовало развития таких методов как метод Вильсона ренормализации групп и метод аппроксимаций Паде. Упомянем также, что серьёзное изучение непрерывных групп и их представлений вызвано попытками объединить слабые, электромагнитные, сильные и гравитационные взаимодействия. Эти же теории лучше всего формулируются в виде неабелевых теорий калибровочных полей, при построении которых существенно используются понятия дифференциальной геометрии и топологии.

Коротко говоря, аппроксимация Паде представляет функцию в виде отношения двух полиномов. Коэффициенты этих полиномов определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Таким образом, если задано разложение в степенной ряд

то с помощью метода, описанного в тексте, можно оптимальным образом выбрать коэффициенты a_i, b_i и получить аппроксимацию Паде

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось в настоящее время практически в фундаментальный метод исследования. Не будем, однако, портить впечатление от книги подробным пересказом её содержания.

По оглавлению книги можно судить, насколько подробно авторы излагают свойства аппроксимаций Паде. Вводимые понятия иллюстрируются многочисленными примерами. Некоторые сравнительно недавно полученные результаты излагаются в монографическом виде впервые. Среди них — усовершенствования надёжных алгоритмов (1; 2.1, 2.4, 4.5 и 2; 1.1), теоремы Саффа и Варги об аппроксимациях Паде экспоненциальной функции (1; 5.7), теория Поммеренке о сходимости по ёмкости (1; 6.6), аппроксимации Кентербери для двух переменных (2; 1.4) и результаты из евклидовой λφ⁴-теории поля, возникшие в связи с использованием аппроксимаций Паде. Кроме этого в (2; 3.7) рассматривается новый подход к методу Лагерра. Подробное обсуждение приложений делает их полезными для научного исследования. В главе 2 второй части изучается связь аппроксимаций Паде с интегральными уравнениями и квантовой механикой. Там же, в главе 3 обсуждается связь с численным анализом. Авторы рассматривают задачи с граничными условиями, приложения аппроксимаций Паде к задачам квантовой теории поля. Наконец, обширная библиография предоставляет читателю возможность для более детального изучения указанных проблем.

Настоящая книга представляет собой прекрасный пример обзора, ориентированного на творческую деятельность, ибо в ней сотканы воедино и живые идеи метода аппроксимаций Паде и их применения, а это создаёт основу для новых активных исследований как в теории, так и в приложениях. Эта книга с течением времени непременно выполнит свою роль.

Henri Eugène Padé
1863 – 1953

Назначение этой книги — изложить основы одного из подходов к проблеме восстановления функции по степенному ряду. Мы попытались описать основные результаты и методы в наиболее ясном виде, следуя общей традиции Энциклопедии. Основная идея метода аппроксимаций Паде, который, в частности, является весьма эффективным методом построения и вычисления значений степенных рядов, была открыта независимо по крайней мере дважды. Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 г., в которой он изучил такие аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом особое внимание экспоненциальной функции. Он, по-видимому, не знал о более ранней работе Якоби (1846 г.), посвящённой упрощению метода рациональной аппроксимации Коши, где дано детерминантное представление решения этой задачи. Работе Паде предшествовала также работа Фробениуса (1881 г.), который вывел тождества между соседними рациональными функциями Якоби. Интересно отметить, что в 1740 г. Андерсон, вероятно случайно, натолкнулся на аппроксимации Паде логарифмической функции. Фотографию Паде можно найти в книге "The Padé Approximant Method and Its Application to Mechanics", изданной под редакцией А. Кабане. Копия диссертации Паде находится в библиотеке Корнельского университета.

Настоящая книга основана на обширной литературе и монографии "The Essentials of Padé Approximants", написанной одним из нас. Ссылки на неё делаются особенно часто, а для названия используются сокращения EPA. Хотя по содержанию обе книги имеют независимый характер, они в большей степени дополняют одна другую, а система обозначений настоящего издания, как правило, согласована с EPA. Существенное отличие заключается в расположении таблицы Паде: таблица в этой книге получается из таблицы в EPA отражением относительно главной диагонали. Изданные под редакцией второго из нас Труды кентерберийской летней школы и международной конференции содержат многочисленные результаты, которые способствовали появлению работ из самых разных дисциплин; мы надеемся, что нам удалось перенести этот общий подход и в настоящую книгу. Многие публикации, существенно использованные в этой книге, включены в список литературы. Мы благодарны нашим многочисленным коллегам в Брукхейвене, Кентербери, Корнелле, Лос-Аламосе и Сакле за непринуждённые дискуссии, которые расширили область наших исследований. Мы особенно признательны Р. Чисхольму, Дж. Гаммелю и Д. Бесису за многочисленные обсуждения; мы благодарим за гостеприимство C.E.A в Сакле, где частично была написана эта книга.

При написании этой книги труднее всего было выбрать такую форму изложения, которая сделала бы текст легко читаемым и в то же время не нанесла бы ущерба математической строгости. Использование языка теории множеств и чрезмерная строгость рассуждений отодвинули бы на второй план прикладные методы. С другой стороны, отсутствие формулировок условий, при которых справедливы теоремы, могло привести читателей к заблуждениям. Мы выбрали форму изложения, наиболее удобную для наших целей. Например, связность множеств упоминается только там, где это существенно, а в других случаях о ней не говорится. Полученные в последнее время приложения к физическим и инженерным задачам рассматриваются на конкретных примерах.

Ссылки на формулы в тексте делаются так, чтобы устранить всякую неопределённость: ссылка (1; 6.5.3) означает формулу (5.3), главы 6 части 1; если ссылка делается внутри части и главы, то их номера опускаются.

И последнее: вся книга проникнута безграничной верой в силу метода аппроксимаций Паде. В 1963 г. в одном обзоре, посвящённом рациональным аппроксимациям утверждалось, что метод Паде неприменим для приближений на всём отрезке (0, ∞); [Класс! Я, собственно, и изучать-то аппроксимации Паде (двухточечные) стал из-за того, что они как раз дают решение таких задач. Второй причиной было то, что они позволяют придать смысл расходящимся рядам: ведь не всегда в подобных вещах можно сходу углядеть, что это аналитическое продолжение какой-то хорошей функции, записанное в бредовом виде (типа формул Рамануджана для дзета-функции Римана в отрицательных точках). Наконец, аппроксимации Паде — это конструктивное знание, а я всегда предпочитаю know how, чем просто know. — E.G.A.] мы убеждены, что пересмотр такого рода утверждений давно назрел.

Пусть задан степенной ряд

∞  f (z) =  ∑  ck zk, k=0

(1.1)

представляющий функцию  f (z). Разложение (1.1) является исходным пунктом любого анализа, использующего аппроксимации Паде. Всюду в дальнейшем через c_k , k = 0, 1, 2, ..., обозначаются данные коэффициенты ряда, а через  f (z) — соответствующая функция.

Аппроксимация Паде — это рациональная функция вида

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением (1.1) до тех пор, пока это возможно. Более полное и точное определение мы дадим в § 1.4. Отметим, что функция вида (1.2) имеет L + 1 коэффициентов в числителе и M + 1 в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя, и мы для определённости положим b₀ = 1. Такой выбор станет затем существенной чертой точного определения, и мы условимся считать, что в записи (1.2) он подразумевается. Теперь мы имеем L + 1 свободных параметров в числителе и M в знаменателе формулы (1.2); всего L + M + 1 свободных параметров. Это означает, что в общем случае коэффициенты тейлоровского разложения функции [L/M] при степенях 1, z, z², ..., z^L+M должны совпадать с соответствующими коэффициентами ряда (1.1); другими словами, должно выполняться соотношение

∞  ∑  ck zk =   a0 + a1z + ... + aL zL b0 + b1z + ... + bM zM  + O(zL+M+1). k=0

(1.3)

Пример.

f (z) =	1 – z/2 + z2/3 + ...,
[1/0] =	1 – z/2 =  f (z) + O(z2),
[0/1] =	1 1 + z/2	=  f (z) + O(z2),
[1/1] =	1 + z/6 1 + 2z/3	=  f (z) + O(z3).

Умножая (1.3) на знаменатель дроби, находим, что

Сравнивая коэффициенты при z^L+1, z^L+2, ..., z^L+M, получим равенства

Для полноты мы положим c_j = 0 при j<0. С учётом соглашения b₀ = 1 равенства (1.5) можно переписать в виде системы M линейных уравнений с M неизвестными коэффициентами знаменателя:

Отсюда могут быть найдены b_k . Коэффициенты числителя a₀, a₁, ..., a_L находятся теперь из (1.4) сравнением коэффициентов при 1, z, z², ... , z^L:

Уравнения (1.6), (1.7) называются уравнениями Паде; в случае когда система (1.6) разрешима, они определяют коэффициенты числителя и знаменателя аппроксимации Паде [L/M]. Коэффициенты тейлоровского разложения этой функции при 1, z, z², ..., z^L+M совпадают с соответствующими коэффициентами ряда (1.1). Поскольку исходной точкой наших рассуждений являются коэффициенты ряда

∞
∑	ck zk,
k=0

то нет необходимости заранее считать эти коэффициенты коэффициентами Тейлора какой-либо функции. Конечно, мы ожидаем, что с помощью аппроксимаций Паде ряда

∞
∑	ck zk
k=0

можно приблизить функцию  f (z), для которой этот ряд является рядом Тейлора, но здесь важно подчеркнуть различие между проблемой сходимости аппроксимаций Паде и проблемой их построения. Для решения второй из этих проблем требуются только коэффициенты ряда; способ построения указывают формулы (1.6), (1.7).

Каждый степенной ряд имеет круг сходимости |z|<R (при |z|<R ряд сходится, при |z|>R расходится). Если R=∞, то ряд представляет функцию, аналитическую всюду в комплексной плоскости (такие функции называют целыми); значение функции в любой точке z может быть получено непосредственным суммированием ряда. Если R=0, то ряд расходится всюду (кроме z=0) и является только формальным. Такой ряд может содержать информацию о функции, но не всегда сразу ясно, как можно использовать эту информацию. В этом случае когда последовательность аппроксимаций Паде формального степенного ряда сходится к функции g(z) для zÎD, есть основания считать, что g(z) — функция, соответствующая данному ряду. В определённых предположениях мы сможем дать точные формулировки и доказательства таких утверждений (см. гл. 5). Однако в этой книге мы не будем обращать большого внимания на недостаточную строгость тех или иных рассуждений и в известных пределах будем принимать во внимание наличие эмпирической сходимости. Если данный ряд сходится к функции  f (z) в круге |z|<R, где 0<R<∞, то последовательность аппроксимаций Паде может сходиться в более широкой области. Часто это даёт практический подход к задачам аналитического продолжения. В этой связи отметим, что метод Вейерштрасса, основанный на переразложении рядов, является скорее общим принципом, чем практическим методом. Чтобы продемонстрировать, насколько хорошо срабатывают аппроксимации Паде в естественных ситуациях, рассмотрим следующий пример.

Пример.

f (z) =

√

1 + z/2 1 + 2z

= 1 –

3  4

z +

39  32

z2 – ... .

Вычислим аппроксимацию Паде [1/1]. Уравнение (1.6) в данном случае имеет вид (–3/4)b₁ = –39/32, и, следовательно, b₁ = 13/8. Уравнение (1.7) даёт a₀ = 1, a₁ = 7/8; правильность вычислений проверяется равенством

Таким образом, мы нашли, что

На рис. 1 приведены для сравнения графики функций  f (z) и [1/1](z) при z≥0. В частности, имеем  f(∞) = 0.5, [1/1](∞) = 7/13 = 0.54..., т.е. значение в бесконечности аппроксимация Паде [1/1] даёт с точностью 8%. Этот пример показывает замечательную точность, достигаемую аппроксимацией, которая использует всего три члена разложения.

Рис. 1. Графики функций  f (z) = √(1 + z/2)/(1 + 2z), отрезка её ряда Тейлора 1 – 3z/4 + 39z2/32 и соответствующей аппроксимации Паде [1/1].

Следует сразу подчеркнуть одну особенность, связанную с приближёнными вычислениями аппроксимаций Паде: эти вычисления требуют большей точности, чем можно было бы заранее предположить. Аппроксимации Паде экстраполируют всю последовательность коэффициентов по их конечному числу, поэтому исходные коэффициенты должны быть вычислены достаточно точно. Мы рассмотрим проблему точности вычислений в § 2.4.

[· · ·]

Алгоритм Бейкера 76

— биортогональный 358

— Висковатова 119, 134–140

— Евклида 76, 138

— Кленшоу–Лорда 341–343

— Кронекера 293–295

— надёжность 73, 136, 293

— Тэчера–Тьюки 296–298

— Q.D. 108, 128–130

— — для T-дробей 305

— — обобщённый 298

— ε 85–89, 39–98

— — для векторных последовательностей 338

— — обобщённый 299–301

— η 89–93

Алгоритмы для рациональной интерполяции 293–301

Анализ рядов 315–323

Ангармонический осциллятор 448— 449

Аппроксимации Бейкера–Гаммеля 305–315

— для случая многих переменных 323–333

— Паде–Бореля 313

— Паде вариационные 392–399

— — знаменатель 16

— — матричные 333–339

— — многоточечные 248, 287–305

— — определение 30, 31

— Паде–Фурье 344

— Паде–Чебышёва 339–344

— — числитель 17

— Фишера 330

— Чисхолма 324–328

— Эрмита–Паде 319

Асимптотическая сходимость 197–198

Ассоциированная непрерывная дробь 131

Биградиенты 47–51, 139

— полиномиальные 47–48

Биномиальная функция 142, 146

Блоки 33–41

Вариационный принцип (метод) Бессиса 381–382

— — Кона 377–379

— — Рэлея–Ритца 373–374, 380

— — Швингера 379

Вещественно-симметричная функция 160–161

Вронскиан 368

Гамма-функция 200–202

Гауссова квадратура 405–410

Гиперболический тангенс 142, 146

Гипергеометрическая функция 144–148

— ₂F₁(·) 52, 144

— ₁F₁(·) 52, 145

— ₂F₀(·) 52, 144, 195

Гипотеза Бейкера, Гаммеля и Уиллса 276

Двойственность 42

Детерминантные неравенства для коэффициентов ряда Гамбургера 205–206

— — — — — Стильтьеса 162–163, 176

— тождества для коэффициентов ряда Стильтьеса 165–166

— формулы для аппроксимаций Паде 16–19, 53–56

Дефект 63

Диагональные последовательности 230

Диффузионные процессы 423–431

Дополнительная функция ошибок 230

C-дроби 130

— общего вида 133

— регулярные 130

J-дроби 132, 221

P-дроби 130

S-дроби 131, 165, 203–204

— для рядов Стильтьеса 165, 103–204

T-дроби 141, 302–305

Дробно линейная инвариантность 42— 43

Ёмкость 267–276

Звезда Миттаг–Леффлера 58

«Звёздное» тождество 33

Интеграл Доусона 144

— обобщённый 304

Интегральная показательная функция первого порядка 184

— — — разложение в непрерывную дробь 143

Интегральные уравнения 346–360

Интерполяционные полиномы Ньютона 288–289

Квазианалитические функции 62–64

Коллокация 416–422

Компактная форма Натолла для аппроксимаций Паде 26

Контрпример Гаммеля 277

— Перрона 233

Критерий Карлемана для рядов Гамбургера 220

— — — — Стильтьеса 198–199

— — приложения 447

Лемма Картана 267, 275

— Шварца 187–188

Лемнискаты 267–271

Логарифмическая ёмкость, трансфинитный диаметр 275

Лучевые последовательности 189

Матрица Ганкеля, число обусловленности 75

K-матрица 366, 387

S-матрица 387

T-матрица 363, 387

Мера, сходимость по мере 257

α-мера Хаусдорфа 275

Модель Пири 445

Моменты Гамбургера 205

— оценки для них 410–416

— — Стильтьеса 159, 177

— — Хаусдорфа 193

Метод Висковатова 119, 134–140

— Йоста 399

— Кранка–Никольсона 423

— критической точки 456–316

— Лагерра 441–443

— Ланцоша 416–358

— обратных разностей Тиле 295

— — рекуррентных соотношений 120

— отношений 316

— прямых рекуррентных соотношений 119–120

τ-метод Ланцоша 416

Δ²-метод Эйткена 79–83

Методы гильбертовых пространств 355–361

Натуральный логарифм 143, 146

Неполная гамма-функция 144

Непрерывные дроби 110–157

— — ассоциирование 131

— — определение 111

— — периодические непрерывные дроби 122

— — подходящие дроби 111

— — рекуррентные соотношения 112–113

— — сжатие непрерывной дроби 131

— — условие расходимости 150

— — формула суммирования 121

— — эквивалентное преобразование 112

— — элементы непрерывной дроби 111

Неравенства Чебышёва для функции плотности 410–416

Определение Фробениуса 30

Определённость проблемы моментов 177–178, 192

Определитель Вандермонда 239–241

— Ганкеля 18, 50

— C(L/M) 32

— D(m,n) 162

Ортогональные полиномы 181–184, 206, 249

Основная неполная гамма-функция 143

Парадиагональные последовательности 41, 185–187, 231

Парциальная волна ???

Пион-пион рассеяние 450–454

Полиномы Лагерра 184

— Чебышёва 267–271

Порядок аппроксимации 12–14, 287

Последовательность аппроксимаций Паде, взятая по столбцу 41

— — — диагональная 27, 42

— — — лучевая 189

— — — парадиагональная 41, 185–187, 231

— — — строчная 41

— Штурма 167

Построение аппроксимаций Паде, алгебраические методы 24–29, 52— 57, 76–78

— — — численные методы 71–78

Потенциалы знакопостоянные 385–392

— сингулярные 399–405

Потенциальное рассеяние 361–369

Правило ромба 127–129

Преобразование Лапласа 431–433

Проблема Коши–Якоби 287

— Маркова 415

— корней 103–109

— моментов 177–178

— — хаусдорфова 192

— — целочисленная 193

Равностепенная непрерывность 173

Разделённые разности 288

Разложение по сильным полям 458

Разложение Эйлера в непрерывную дробь 140

Рациональная аппроксимация 305–315

— интерполяция 287–305

— — алгоритмы построения 293–315

Ряд Гамбургера 205

— Грегори 37

— Стильтьеса 158

Свойство чередования нулей 168–169, 412

Таблица Паде 19, 37–42

C-таблица 29–42

Q.D.-таблица 128–129

Тангенс 142

Тёплицевы матрицы 77–78

Теорема Адамара об определителях 50

— Арцела 174

— Бейкера, Гаммеля и Уиллса 43

— Бирдона 232

— Ван Флека 153

— Вейерштрасса о равномерной сходимости 175

— — о существенно особой точке 60

— Гамбургера 217

— Лорана 57

— Монтессу 234–248

— — обобщённая 248, 439

— Натолла 262

— о параболе для непрерывных дробей 152

— Поммеренке 204

— Рунге 435

— Саффа и Варги о параболе 225

— Сильвестра 33–34

— Труди 51

— Уолша 439

— усечения 45

— Эйлера о рекуррентных соотношениях 112

Теория рассеяния 361–370

Тождество Винна 93

для соседних аппроксимаций 98–103

— Корделье 96

Унитарность 45–46, 326, 336

Уравнение Бете–Солпитера 386, 391

— Липпмана–Швингера 363, 391

— Риккати 440

Уравнения Паде 13–14

Ускорение сходимости 24–29

A-устойчивость 529

L-устойчивость 529

Формула Коши–Бине 235

— обращения 217

— остатка для аппроксимаций Паде 245

— — ряда Стильтьеса 183–184,406–407

— суммирования 121

— — Эйлера–Маклорена 408

— Эрмита 244–246

Функция Гамбургера 205

— Герглотца 222

— Грина 369

— — для решения Йоста 370

— — — стоячих волн 369, 388

— — — S-волны 379

— — свободная 379

— и ряд Эйлера 28, 198

— Ле Руа 315

— ошибок 143, 304

— плотности 178–180

— Стильтьеса 158

Характеристическая функция 406–407

Хаусдорфова проблема моментов 192

Частотные ряды Пойа 223–230

Экспоненциальная функция аппроксимации Паде 19–24

— — разложения в непрерывные дроби 142

— — теоремы Саффа и Варги 225–227

Ядра вполне непрерывные 351

— — компактные 351

— конечномерные 347