GIAN-CARLO ROTA, Editor
ENCYCLOPEDIA OF MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS
Volume 13, 14


   Section: Mathematics of Physics
   Peter A. Carruthers, Section Editor


Padé Approximants

Part I: Basic Theory
Part II: Extensions and Applications


George A. Baker, Jr.
Los Alamos National Laboratory
Los Alamos, New Mexico

Foreword by
Peter A. Carruthers
Los Alamos National Laboratory
Peter Graves-Morris
University of Kent
Canterbury, Kent, England





 

 
 Дж. БЕЙКЕР, мл.
П. ГРЕЙВС-МОРРИС
 

 АППРОКСИМАЦИИ
ПАДЕ


1. Основы теории
2. Обобщения и приложения
 

 
Перевод с английского
Е. А. Рахманова  и
С. П. Суетина

под редакцией
А. А. Гончара
1981

Addison-Wesley Publishing Co.

Advanced Book Program
Reading, Massachusetts


London · Amsterdam · Don Mills, Ontario · Sydney · Tokyo
 
  Москва «Мир»
1986
 





 
4031 Кб
 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА5
ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ7
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ8
ПРЕДИСЛОВИЕ10
 
ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
 
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ12
1.1. Введение и основные понятия12
1.2. Аппроксимации Паде экспоненциальной функции19
1.3. Последовательности и ряды. Трудности24
1.4. Определение Бейкера, C-таблица и блочная структура29
1.5. Двойственность и инвариантность42
1.6. Биградиенты и формула Адамара47
 
Глава 2. ПРЯМЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ52
2.1. Прямой метод нахождения аппроксимаций Паде52
2.2. Распознавание особенностей с помощью аппроксимаций Паде57
2.3. Предполагаемые ошибки67
2.4. Численные методы нахождения аппроксимаций Паде71
 
Глава 3. АППРОКСИМАЦИИ ПАДЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ79
3.1. Δ2-метод Эйткена как метод аппроксимаций Паде [L/1]79
3.2. Ускорение и сверхускорение сходимости83
3.3. ε-алгоритм и η-алгоритм85
3.4. Тождество Винна и ε-алгоритм93
3.5. Общие тождества и рекуррентные формулы98
3.6. Q.D.-алгоритм и проблема корней103
 
Глава 4. СВЯЗЬ С НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ110
4.1. Определения и рекуррентные соотношения110
4.2. Непрерывные дроби, связанные с рядом Тейлора114
4.3. Алгебраические и численные методы118
4.4. Различные представления непрерывных дробей122
4.5. Типы непрерывных дробей130
4.5.1. Регулярные дроби в невырожденных случаях130
4 5.2. Дроби общего вида в вырожденных случаях132
4.5.3. Алгоритм Висковатова в общем случае134
4.5.4. Некоторые специальные типы непрерывных дробей140
4.6. Примеры непрерывных дробей, являющихся аппроксимациями Паде141
4.7. Сходимость непрерывных дробей149
 
Глава 5. РЯДЫ СТИЛЬТЬЕСА И РЯДЫ ПОЙА158
5.1. Ряды Стильтьеса; введение158
5.2. Сходимость рядов Стильтьеса166
5.3. Проблема моментов и ортогональные полиномы177
5.4. Ряды Стильтьеса, сходящиеся в круге |z|<R185
5.4.1. Хаусдорфова проблема моментов192
5.4.2. Целочисленная проблема моментов193
5.5. Расходящиеся ряды Стильтьеса195
5.6. Ряды Гамбургера и проблема моментов Гамбургера205
5.7. Частотные ряды Пойа223
 
Глава 6. ТЕОРИЯ СХОДИМОСТИ231
6.1. Введение231
6.2. Теорема Монтессу234
6.3. Формула Эрмита и теорема Монтессу244
6.4. Единственность предела250
6.5. Сходимость по мере257
6.6. Лемнискаты, ёмкость и мера267
6.7. Паде-гипотеза276
 
Приложение.  ПРОГРАММА НА ФОРТРАНЕ281
 
ЧАСТЬ 2. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
 
Глава 1. ОБОБЩЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ287
1.1. Многоточечные аппроксимации Паде287
1.2. Аппроксимации Бейкера–Гаммеля305
1.3. Анализ рядов315
1.4. Аппроксимация функций нескольких переменных323
1.5. Матричные аппроксимации Паде333
1.6. Аппроксимации Паде–Чебышёва, Паде–Фурье и т.д.339
 
Глава 2. СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКОЙ346
2.1. Общий метод и конечномерные ядра346
2.2. Аппроксимации Паде и интегральные уравнения с компактными ядрами349
2.3. Методы, основанные на проектировании355
2.4. Потенциальное рассеяние361
2.5. Связь аппроксимаций Паде с вариационными принципами372
2.6. Оценка погрешности аппроксимаций Паде в вариационных принципах383
2.7. Знакопостоянные потенциалы в теории рассеяния и т.д.385
2.8. Вариационные аппроксимации Паде392
2.9. Сингулярные потенциалы399
 
Глава 3. СВЯЗЬ С ЧИСЛЕННЫМ АНАЛИЗОМ405
3.1. Квадратура Гаусса405
3.2. Неравенства Чебышёва для функции плотности410
3.3. Метод коллокации и τ-метод416
3.4. Метод Кранка–Никольсона и близкие к нему методы решения уравнения диффузии423
3.5. Обратное преобразование Лапласа431
3.6. Связь с рациональной аппроксимацией433
3.7. Аппроксимации Паде для уравнения Риккати440
 
Глава 4. СВЯЗЬ С КВАНТОВОЙ ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ444
4.1. Возмущённые гармонические осцилляторы444
4.2. Пион-пион рассеяние450
4.3. Решёточное обрезание в λφ4-евклидовой теории поля или модель Изинга непрерывного спина455
 
ЛИТЕРАТУРА460
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ  496



ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

В последние годы резко возрос интерес к классическим методам рациональной аппроксимации аналитических функций и в первую очередь — к аппроксимациям Паде и их обобщениям. Это связано с тем, что такие аппроксимации нашли разнообразные применения в вычислительных задачах теоретической физики и механики.

Оригинальное издание настоящей книги вышло в известной «Энциклопедии математики и её приложений» под общей редакцией Дж.-К. Роты в серии «Математическая физика» (тт. 13 и 14). Ряд книг из этой Энциклопедии выпущен в русском переводе или готовится к печати издательствами «Наука» и «Мир»:

Авторы монографии широко известны своими работами по теории и, главным образом, приложениям метода аппроксимаций Паде к различным задачам математической физики. В целом монография имеет прикладную направленность, но даёт достаточно полное представление о сущности этого метода. И теоретические результаты и решения конкретных задач иллюстрируются разнообразными примерами, графиками и таблицами, приводится программа вычисления аппроксимаций Паде на языке Фортран IV. Обсуждаются различные трудности, которые могут возникнуть при реализации метода аппроксимаций Паде, и приёмы, с помощью которых эти трудности можно преодолеть.

Авторы не всегда ограничиваются строгими рамками теории — большой вычислительный опыт и физические соображения позволяют им сформулировать ряд важных выводов и рекомендаций, которые пока ещё не удаётся подкрепить теоретическими результатами.

В книге приводятся связи метода аппроксимаций Паде с другими численными методами. Особенно тесно этот метод связан с методом непрерывных дробей, которому посвящён отдельный том Энциклопедии, написанный У. Джоунсом и У. Троном; русское издание его недавно вышло в издательстве «Мир».

Нет сомнения, что эта богатая содержанием книга будет интересна как математикам, так и специалистам во многих прикладных областях, особенно механикам и физикам.

Перевод гл. 1–3 части 1 и гл. 1, 2 части 2 выполнен Р. А. Рахмановым, гл. 4–6 и приложение части 1 и гл. 3, 4 части 2 перевёл С. П. Суетин.



Полюсы и нули аппроксимации Паде высокого порядка экспоненциальной функции описывают замечательные траектории в комплексной плоскости. Эта иллюстрация, воспроизведенная с любезного разрешения профессоров Саффа и Варги, демонстрирует взаимодействие и общие характеристики большого числа таких траекторий. Для более подробного описания см. с.226–228.


ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ

Математика состоит главным образом из фактов, которые можно представить и описать подобно любому естественному явлению. Эти факты, иногда сформулированные явно в виде теорем, иногда используемые по ходу доказательств, и составляют основную часть приложений математики и будут существовать всегда, несмотря на изменчивость направлений и интересов в данной науке.

Цель настоящей энциклопедии — постараться осветить все области математики. От каждого автора требуется ясное и чёткое изложение, доступное для понимания широкого круга читателей, а также подробная библиография. Тома объединяются в серии, которые соответствуют различным областям современной математики; порядок выхода книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и серий время от времени будет пересматриваться.

Мы надеемся, что наше смелое предприятие будет способствовать ещё более широкому применению математики не только там, где без неё нельзя обойтись, но даже в тех областях, где её следовало бы применять и где из-за недостатка информации это пока почти не делается.

Джиан-Карло Рота 


ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ

Изучение представления функций степенными рядами приводит к новому, всё более глубокому проникновению в математические проблемы и физические приложения. Эта книга посвящена подробному описанию метода аппроксимаций Паде. Значение этого способа аппроксимации для изучения широкого спектра физических проблем существенно возросло в последние годы. Эта книга представляет собой хороший пример взаимодействия физики и математики, каждая из которых стимулирует другую к появлению новых понятий и методов.

Трудно представить более подходящих авторов для изложения теории и способов применения аппроксимаций Паде, чем Бейкер и Грейвс-Моррис, которые широко известны своими оригинальными работами как по математике, так и по физическим приложениям. Книга написана ясно, без ущерба для математической строгости и всё же легко доступна для современного физика-теоретика.

Нужно заметить, что их книга служит примером здоровой тенденции, наблюдаемой в последние годы, но которой современные математические исследования всё больше и больше инициируются самыми передовыми физическими теориями и даже излагаются на языке последних.

Например, повышение интереса к статистической механике и теории поля, наблюдаемое в последнее время, потребовало развития таких методов как метод Вильсона ренормализации групп и метод аппроксимаций Паде. Упомянем также, что серьёзное изучение непрерывных групп и их представлений вызвано попытками объединить слабые, электромагнитные, сильные и гравитационные взаимодействия. Эти же теории лучше всего формулируются в виде неабелевых теорий калибровочных полей, при построении которых существенно используются понятия дифференциальной геометрии и топологии.

Коротко говоря, аппроксимация Паде представляет функцию в виде отношения двух полиномов. Коэффициенты этих полиномов определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Таким образом, если задано разложение в степенной ряд

 f (z) = c0 + c1z + c2z2 + ... ,

то с помощью метода, описанного в тексте, можно оптимальным образом выбрать коэффициенты ai, bi и получить аппроксимацию Паде

 a0 + a1z + ... + azL

b0 + b1z + ... + bzM

 .

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось в настоящее время практически в фундаментальный метод исследования. Не будем, однако, портить впечатление от книги подробным пересказом её содержания.

По оглавлению книги можно судить, насколько подробно авторы излагают свойства аппроксимаций Паде. Вводимые понятия иллюстрируются многочисленными примерами. Некоторые сравнительно недавно полученные результаты излагаются в монографическом виде впервые. Среди них — усовершенствования надёжных алгоритмов (1; 2.1, 2.4, 4.5 и 2; 1.1), теоремы Саффа и Варги об аппроксимациях Паде экспоненциальной функции (1; 5.7), теория Поммеренке о сходимости по ёмкости (1; 6.6), аппроксимации Кентербери для двух переменных (2; 1.4) и результаты из евклидовой λφ4-теории поля, возникшие в связи с использованием аппроксимаций Паде. Кроме этого в (2; 3.7) рассматривается новый подход к методу Лагерра. Подробное обсуждение приложений делает их полезными для научного исследования. В главе 2 второй части изучается связь аппроксимаций Паде с интегральными уравнениями и квантовой механикой. Там же, в главе 3 обсуждается связь с численным анализом. Авторы рассматривают задачи с граничными условиями, приложения аппроксимаций Паде к задачам квантовой теории поля. Наконец, обширная библиография предоставляет читателю возможность для более детального изучения указанных проблем.

Настоящая книга представляет собой прекрасный пример обзора, ориентированного на творческую деятельность, ибо в ней сотканы воедино и живые идеи метода аппроксимаций Паде и их применения, а это создаёт основу для новых активных исследований как в теории, так и в приложениях. Эта книга с течением времени непременно выполнит свою роль.

Питер Э. Каррузерс
Главный редактор серии 
математической физики 





Нашим жёнам 
Элизабет Бейкер и Люсии Грейвс-Моррис 
и нашим семьям 


ПРЕДИСЛОВИЕ

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Pade.html
Henri Eugène Padé
1863 – 1953

Назначение этой книги — изложить основы одного из подходов к проблеме восстановления функции по степенному ряду. Мы попытались описать основные результаты и методы в наиболее ясном виде, следуя общей традиции Энциклопедии. Основная идея метода аппроксимаций Паде, который, в частности, является весьма эффективным методом построения и вычисления значений степенных рядов, была открыта независимо по крайней мере дважды. Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 г., в которой он изучил такие аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом особое внимание экспоненциальной функции. Он, по-видимому, не знал о более ранней работе Якоби (1846 г.), посвящённой упрощению метода рациональной аппроксимации Коши, где дано детерминантное представление решения этой задачи. Работе Паде предшествовала также работа Фробениуса (1881 г.), который вывел тождества между соседними рациональными функциями Якоби. Интересно отметить, что в 1740 г. Андерсон, вероятно случайно, натолкнулся на аппроксимации Паде логарифмической функции. Фотографию Паде можно найти в книге "The Padé Approximant Method and Its Application to Mechanics", изданной под редакцией А. Кабане. Копия диссертации Паде находится в библиотеке Корнельского университета.

Настоящая книга основана на обширной литературе и монографии "The Essentials of Padé Approximants", написанной одним из нас. Ссылки на неё делаются особенно часто, а для названия используются сокращения EPA. Хотя по содержанию обе книги имеют независимый характер, они в большей степени дополняют одна другую, а система обозначений настоящего издания, как правило, согласована с EPA. Существенное отличие заключается в расположении таблицы Паде: таблица в этой книге получается из таблицы в EPA отражением относительно главной диагонали. Изданные под редакцией второго из нас Труды кентерберийской летней школы и международной конференции содержат многочисленные результаты, которые способствовали появлению работ из самых разных дисциплин; мы надеемся, что нам удалось перенести этот общий подход и в настоящую книгу. Многие публикации, существенно использованные в этой книге, включены в список литературы. Мы благодарны нашим многочисленным коллегам в Брукхейвене, Кентербери, Корнелле, Лос-Аламосе и Сакле за непринуждённые дискуссии, которые расширили область наших исследований. Мы особенно признательны Р. Чисхольму, Дж. Гаммелю и Д. Бесису за многочисленные обсуждения; мы благодарим за гостеприимство C.E.A в Сакле, где частично была написана эта книга.

При написании этой книги труднее всего было выбрать такую форму изложения, которая сделала бы текст легко читаемым и в то же время не нанесла бы ущерба математической строгости. Использование языка теории множеств и чрезмерная строгость рассуждений отодвинули бы на второй план прикладные методы. С другой стороны, отсутствие формулировок условий, при которых справедливы теоремы, могло привести читателей к заблуждениям. Мы выбрали форму изложения, наиболее удобную для наших целей. Например, связность множеств упоминается только там, где это существенно, а в других случаях о ней не говорится. Полученные в последнее время приложения к физическим и инженерным задачам рассматриваются на конкретных примерах.

Ссылки на формулы в тексте делаются так, чтобы устранить всякую неопределённость: ссылка (1; 6.5.3) означает формулу (5.3), главы 6 части 1; если ссылка делается внутри части и главы, то их номера опускаются.

И последнее: вся книга проникнута безграничной верой в силу метода аппроксимаций Паде. В 1963 г. в одном обзоре, посвящённом рациональным аппроксимациям утверждалось, что метод Паде неприменим для приближений на всём отрезке (0, ∞); [Класс! Я, собственно, и изучать-то аппроксимации Паде (двухточечные) стал из-за того, что они как раз дают решение таких задач. Второй причиной было то, что они позволяют придать смысл расходящимся рядам: ведь не всегда в подобных вещах можно сходу углядеть, что это аналитическое продолжение какой-то хорошей функции, записанное в бредовом виде (типа формул Рамануджана для дзета-функции Римана в отрицательных точках). Наконец, аппроксимации Паде — это конструктивное знание, а я всегда предпочитаю know how, чем просто know. E.G.A.] мы убеждены, что пересмотр такого рода утверждений давно назрел.

Джордж А. Бейкер, мл. 
Питер Грейвс-Моррис
 

Часть  1. ОСНОВЫ  ТЕОРИИ

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

 1.1. Введение и основные понятия

Пусть задан степенной ряд
 f (z) =    czk,
k=0
(1.1)

представляющий функцию  f (z). Разложение (1.1) является исходным пунктом любого анализа, использующего аппроксимации Паде. Всюду в дальнейшем через c, k = 0, 1, 2, ..., обозначаются данные коэффициенты ряда, а через  f (z) — соответствующая функция.

Аппроксимация Паде — это рациональная функция вида

 [L/M] =   a0 + a1z + ... + azL

b0 + b1z + ... + bzM

 ,
(1.2)

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением (1.1) до тех пор, пока это возможно. Более полное и точное определение мы дадим в § 1.4. Отметим, что функция вида (1.2) имеет L + 1 коэффициентов в числителе и M + 1 в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя, и мы для определённости положим b0 = 1. Такой выбор станет затем существенной чертой точного определения, и мы условимся считать, что в записи (1.2) он подразумевается. Теперь мы имеем L + 1 свободных параметров в числителе и M в знаменателе формулы (1.2); всего L + M + 1 свободных параметров. Это означает, что в общем случае коэффициенты тейлоровского разложения функции [L/M] при степенях 1, z, z2, ..., zL+M должны совпадать с соответствующими коэффициентами ряда (1.1); другими словами, должно выполняться соотношение
   czk =   a0 + a1z + ... + azL

b0 + b1z + ... + bzM

 + O(zL+M+1).
k=0
(1.3)

Пример.
 f (z) = 1 – z/2 + z2/3 + ..., 
 [1/0] = 1 – z/2 =  f (z) + O(z2), 
 [0/1] = 1

1 + z/2

=  f (z) + O(z2), 
 [1/1] = 1 + z/6

1 + 2z/3

=  f (z) + O(z3). 

Умножая (1.3) на знаменатель дроби, находим, что

 (b0 + b1z + ... + bzM) (c0 + c1z + ...) =
a0 + a1z + ... + azL + O(zL+M+1).
(1.4)

Сравнивая коэффициенты при zL+1, zL+2, ..., zL+M, получим равенства

 bcLM +1 + bM – 1cLM +2 + ... + bcL+1 = 0,
 bcLM +2 + bM – 1cLM +3 + ... + bcL+2 = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 bcL + bM – 1cL +1 + ... + bcL + M = 0.
(1.5)

Для полноты мы положим cj = 0 при j<0. С учётом соглашения b0 = 1 равенства (1.5) можно переписать в виде системы M линейных уравнений с M неизвестными коэффициентами знаменателя:

  cLM +1
cLM +2
cLM +3
. . .
cL
   cLM +2
cLM +3
cLM +4
. . .
cL +1
   cLM +3
cLM +4
cLM +5
. . .
cL +2
  . . .  
. . .
. . .
. . .
. . .
cL
cL +1
cL +2
. . .
cL + M –1
      bM
bM –1
bM –2
. . .
b1
   = –    cL +1
cL +2
cL +3
. . .
cL + M
   .
(1.6)

Отсюда могут быть найдены b. Коэффициенты числителя a0, a1, ..., aL находятся теперь из (1.4) сравнением коэффициентов при 1, z, z2, ... , zL:

 a0 = c0,
 a1 = c1 + b1c0,
 a2 = c2 + b1c1 + b2c0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 aL = cL +
min(L,M)
  
k=1
bcL – k .
(1.7)

Уравнения (1.6), (1.7) называются уравнениями Паде; в случае когда система (1.6) разрешима, они определяют коэффициенты числителя и знаменателя аппроксимации Паде [L/M]. Коэффициенты тейлоровского разложения этой функции при 1, z, z2, ..., zL+M совпадают с соответствующими коэффициентами ряда (1.1). Поскольку исходной точкой наших рассуждений являются коэффициенты ряда
   czk,
k=0

то нет необходимости заранее считать эти коэффициенты коэффициентами Тейлора какой-либо функции. Конечно, мы ожидаем, что с помощью аппроксимаций Паде ряда
   czk
k=0

можно приблизить функцию  f (z), для которой этот ряд является рядом Тейлора, но здесь важно подчеркнуть различие между проблемой сходимости аппроксимаций Паде и проблемой их построения. Для решения второй из этих проблем требуются только коэффициенты ряда; способ построения указывают формулы (1.6), (1.7).

Каждый степенной ряд имеет круг сходимости |z|<R (при |z|<R ряд сходится, при |z|>R расходится). Если R=∞, то ряд представляет функцию, аналитическую всюду в комплексной плоскости (такие функции называют целыми); значение функции в любой точке z может быть получено непосредственным суммированием ряда. Если R=0, то ряд расходится всюду (кроме z=0) и является только формальным. Такой ряд может содержать информацию о функции, но не всегда сразу ясно, как можно использовать эту информацию. В этом случае когда последовательность аппроксимаций Паде формального степенного ряда сходится к функции g(z) для zÎD, есть основания считать, что g(z) — функция, соответствующая данному ряду. В определённых предположениях мы сможем дать точные формулировки и доказательства таких утверждений (см. гл. 5). Однако в этой книге мы не будем обращать большого внимания на недостаточную строгость тех или иных рассуждений и в известных пределах будем принимать во внимание наличие эмпирической сходимости. Если данный ряд сходится к функции  f (z) в круге |z|<R, где 0<R<∞, то последовательность аппроксимаций Паде может сходиться в более широкой области. Часто это даёт практический подход к задачам аналитического продолжения. В этой связи отметим, что метод Вейерштрасса, основанный на переразложении рядов, является скорее общим принципом, чем практическим методом. Чтобы продемонстрировать, насколько хорошо срабатывают аппроксимации Паде в естественных ситуациях, рассмотрим следующий пример.

Пример.
 f (z) =

1 + z/2

1 + 2z

 = 1 –  3

 4 

 z 39

 32 

 z2 – ... .

Вычислим аппроксимацию Паде [1/1]. Уравнение (1.6) в данном случае имеет вид (–3/4)b1 = –39/32, и, следовательно, b1 = 13/8. Уравнение (1.7) даёт a0 = 1, a1 = 7/8; правильность вычислений проверяется равенством

( 1 +  13

 8 

 z ) ( 1 +  3

 4 

 z 39

 32 

 z2 )  = 1 +  7

 8 

 z + O(z3).

Таким образом, мы нашли, что

 [1/1] =  1 + (7/8)z

1 + (13/8)z

 .

На рис. 1 приведены для сравнения графики функций  f (z) и [1/1](z) при z≥0. В частности, имеем  f(∞) = 0.5, [1/1](∞) = 7/13 = 0.54..., т.е. значение в бесконечности аппроксимация Паде [1/1] даёт с точностью 8%. Этот пример показывает замечательную точность, достигаемую аппроксимацией, которая использует всего три члена разложения.

Рис. 1. Графики функций  f (z) = √(1 + z/2)/(1 + 2z), отрезка её ряда Тейлора 1 – 3z/4 + 39z2/32 и соответствующей аппроксимации Паде [1/1].

Следует сразу подчеркнуть одну особенность, связанную с приближёнными вычислениями аппроксимаций Паде: эти вычисления требуют большей точности, чем можно было бы заранее предположить. Аппроксимации Паде экстраполируют всю последовательность коэффициентов по их конечному числу, поэтому исходные коэффициенты должны быть вычислены достаточно точно. Мы рассмотрим проблему точности вычислений в § 2.4.

[· · ·]

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгоритм Бейкера 76

— биортогональный 358

Висковатова 119, 134–140

Евклида 76, 138

Кленшоу–Лорда 341–343

Кронекера 293–295

— надёжность 73, 136, 293

Тэчера–Тьюки 296–298

Q.D. 108, 128–130

— — для T-дробей 305

— — обобщённый 298

— ε 85–89, 39–98

— — для векторных последовательностей 338

— — обобщённый 299–301

— η 89–93

Алгоритмы для рациональной интерполяции 293–301

Анализ рядов 315–323

Ангармонический осциллятор 448— 449

Аппроксимации Бейкера–Гаммеля 305–315

— для случая многих переменных 323–333

Паде–Бореля 313

Паде вариационные 392–399

— — знаменатель 16

— — матричные 333–339

— — многоточечные 248, 287–305

— — определение 30, 31

Паде–Фурье 344

Паде–Чебышёва 339–344

— — числитель 17

Фишера 330

Чисхолма 324–328

Эрмита–Паде 319

Асимптотическая сходимость 197–198

Ассоциированная непрерывная дробь 131

Биградиенты 47–51, 139

— полиномиальные 47–48

Биномиальная функция 142, 146

Блоки 33–41

Вариационный принцип (метод) Бессиса 381–382

— — Кона 377–379

— — Рэлея–Ритца 373–374, 380

— — Швингера 379

Вещественно-симметричная функция 160–161

Вронскиан 368

Гамма-функция 200–202

Гауссова квадратура 405–410

Гиперболический тангенс 142, 146

Гипергеометрическая функция 144–148

2F1(·) 52, 144

1F1(·) 52, 145

2F0(·) 52, 144, 195

Гипотеза Бейкера, Гаммеля и Уиллса 276

Двойственность 42

Детерминантные неравенства для коэффициентов ряда Гамбургера 205–206

— — — — — Стильтьеса 162–163, 176

— тождества для коэффициентов ряда Стильтьеса 165–166

— формулы для аппроксимаций Паде 16–19, 53–56

Дефект 63

Диагональные последовательности 230

Диффузионные процессы 423–431

Дополнительная функция ошибок 230

C-дроби 130

— общего вида 133

— регулярные 130

J-дроби 132, 221

P-дроби 130

S-дроби 131, 165, 203–204

— для рядов Стильтьеса 165, 103–204

T-дроби 141, 302–305

Дробно линейная инвариантность 42— 43

Ёмкость 267–276

Звезда Миттаг–Леффлера 58

«Звёздное» тождество 33

Интеграл Доусона 144

— обобщённый 304

Интегральная показательная функция первого порядка 184

— — — разложение в непрерывную дробь 143

Интегральные уравнения 346–360

Интерполяционные полиномы Ньютона 288–289

Квазианалитические функции 62–64

Коллокация 416–422

Компактная форма Натолла для аппроксимаций Паде 26

Контрпример Гаммеля 277

Перрона 233

Критерий Карлемана для рядов Гамбургера 220

— — — — Стильтьеса 198–199

— — приложения 447

Лемма Картана 267, 275

Шварца 187–188

Лемнискаты 267–271

Логарифмическая ёмкость, трансфинитный диаметр 275

Лучевые последовательности 189

Матрица Ганкеля, число обусловленности 75

K-матрица 366, 387

S-матрица 387

T-матрица 363, 387

Мера, сходимость по мере 257

α-мера Хаусдорфа 275

Модель Пири 445

Моменты Гамбургера 205

— оценки для них 410–416

— — Стильтьеса 159, 177

— — Хаусдорфа 193

Метод Висковатова 119, 134–140

Йоста 399

Кранка–Никольсона 423

— критической точки 456–316

Лагерра 441–443

Ланцоша 416–358

— обратных разностей Тиле 295

— — рекуррентных соотношений 120

— отношений 316

— прямых рекуррентных соотношений 119–120

τ-метод Ланцоша 416

Δ2-метод Эйткена 79–83

Методы гильбертовых пространств 355–361

Натуральный логарифм 143, 146

Неполная гамма-функция 144

Непрерывные дроби 110–157

— — ассоциирование 131

— — определение 111

— — периодические непрерывные дроби 122

— — подходящие дроби 111

— — рекуррентные соотношения 112–113

— — сжатие непрерывной дроби 131

— — условие расходимости 150

— — формула суммирования 121

— — эквивалентное преобразование 112

— — элементы непрерывной дроби 111

Неравенства Чебышёва для функции плотности 410–416

Определение Фробениуса 30

Определённость проблемы моментов 177–178, 192

Определитель Вандермонда 239–241

Ганкеля 18, 50

C(L/M) 32

D(m,n) 162

Ортогональные полиномы 181–184, 206, 249

Основная неполная гамма-функция 143

Парадиагональные последовательности 41, 185–187, 231

Парциальная волна ???

Пион-пион рассеяние 450–454

Полиномы Лагерра 184

Чебышёва 267–271

Порядок аппроксимации 12–14, 287

Последовательность аппроксимаций Паде, взятая по столбцу 41

— — — диагональная 27, 42

— — — лучевая 189

— — — парадиагональная 41, 185–187, 231

— — — строчная 41

Штурма 167

Построение аппроксимаций Паде, алгебраические методы 24–29, 52— 57, 76–78

— — — численные методы 71–78

Потенциалы знакопостоянные 385–392

— сингулярные 399–405

Потенциальное рассеяние 361–369

Правило ромба 127–129

Преобразование Лапласа 431–433

Проблема Коши–Якоби 287

Маркова 415

— корней 103–109

— моментов 177–178

— — хаусдорфова 192

— — целочисленная 193

Равностепенная непрерывность 173

Разделённые разности 288

Разложение по сильным полям 458

Разложение Эйлера в непрерывную дробь 140

Рациональная аппроксимация 305–315

— интерполяция 287–305

— — алгоритмы построения 293–315

Ряд Гамбургера 205

Грегори 37

Стильтьеса 158

Свойство чередования нулей 168–169, 412

Таблица Паде 19, 37–42

C-таблица 29–42

Q.D.-таблица 128–129

Тангенс 142

Тёплицевы матрицы 77–78

Теорема Адамара об определителях 50

Арцела 174

Бейкера, Гаммеля и Уиллса 43

Бирдона 232

Ван Флека 153

Вейерштрасса о равномерной сходимости 175

— — о существенно особой точке 60

Гамбургера 217

Лорана 57

Монтессу 234–248

— — обобщённая 248, 439

Натолла 262

— о параболе для непрерывных дробей 152

Поммеренке 204

Рунге 435

Саффа и Варги о параболе 225

Сильвестра 33–34

Труди 51

Уолша 439

— усечения 45

Эйлера о рекуррентных соотношениях 112

Теория рассеяния 361–370

Тождество Винна 93

для соседних аппроксимаций 98–103

Корделье 96

Унитарность 45–46, 326, 336

Уравнение Бете–Солпитера 386, 391

Липпмана–Швингера 363, 391

Риккати 440

Уравнения Паде 13–14

Ускорение сходимости 24–29

A-устойчивость 529

L-устойчивость 529

Формула Коши–Бине 235

— обращения 217

— остатка для аппроксимаций Паде 245

— — ряда Стильтьеса 183–184,406–407

— суммирования 121

— — Эйлера–Маклорена 408

Эрмита 244–246

Функция Гамбургера 205

Герглотца 222

Грина 369

— — для решения Йоста 370

— — — стоячих волн 369, 388

— — — S-волны 379

— — свободная 379

— и ряд Эйлера 28, 198

Ле Руа 315

— ошибок 143, 304

— плотности 178–180

Стильтьеса 158

Характеристическая функция 406–407

Хаусдорфова проблема моментов 192

Частотные ряды Пойа 223–230

Экспоненциальная функция аппроксимации Паде 19–24

— — разложения в непрерывные дроби 142

— — теоремы Саффа и Варги 225–227

Ядра вполне непрерывные 351

— — компактные 351

— конечномерные 347


Hosted by uCoz