10972 Кб  
 

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие13
Обозначения15
 
 
ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
 
I. Теоремы из анализа
§ 1. Преобразование Абеля17
§ 2. Вторая теорема о среднем значении19
§ 3. Выпуклые кривые и выпуклые последовательности19
 
II. Числовые ряды, суммирование
§ 4. Ряды с монотонно убывающими членами21
§ 5. Линейные методы суммирования25
§ 6. Метод средних арифметических [или (C, 1)]26
§ 7. Метод Абеля27
 
III. Неравенства для чисел, рядов и интегралов
§ 8. Числовые неравенства31
§ 9. Неравенство Гёльдера32
§10. Неравенство Минковского35
§11. O- и o-соотношения для рядов и интегралов36
 
IV. Теория множеств и теория функций
§12. О верхнем пределе последовательности множеств39
§13. Сходимость по мере39
§14. Переход к пределу под знаком интеграла Лебега39
§15. Точки Лебега41
§16. Интеграл Римана–Стилтьеса43
§17. Две теоремы Хелли43
§18. Теорема Фубини44
 
V. Функциональный анализ
§19. Линейные функционалы в C44
§20. Линейные функционалы в Lp (p>1)45
§21. Сходимость по норме в пространствах Lp46
 
VI. Теория приближения функций тригонометрическими полиномами
§22. Элементарные свойства тригонометрических полиномов47
§23. Неравенство Бернштейна47
§24. Тригонометрический полином наилучшего приближения49
§25. Модуль непрерывности, модуль гладкости, интегральный модуль непрерывности50
 
 
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
 
§ 1. Понятие о тригонометрическом ряде; сопряжённые ряды54
§ 2. Комплексная форма тригонометрического ряда55
§ 3. Краткие исторические сведения56
§ 4. Формулы Фурье57
§ 5. Комплексная форма ряда Фурье58
§ 6. Проблемы теории рядов Фурье; ряды Фурье–Лебега58
§ 7. Разложение в тригонометрический ряд функций с периодом 2l59
§ 8. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций61
§ 9. Ряд Фурье по ортогональной системе61
§10. Полнота ортогональной системы64
§11. Полнота тригонометрической системы в пространстве L65
§12. Равномерно сходящиеся ряды Фурье68
§13. Минимальное свойство частных сумм ряда Фурье; неравенство Бесселя69
§14. Сходимость ряда Фурье в метрике L270
§15. Понятие о замкнутости системы. Связь между замкнутостью и полнотой71
§16. Теорема Фишера–Рисса73
§17. Теорема Фишера–Рисса и равенство Парсеваля для тригонометрической системы74
§18. Равенство Парсеваля для произведения двух функций75
§19. Стремление к нулю коэффициентов Фурье76
§20. Лемма Фейера77
§21. Оценка коэффициентов Фурье через интегральный модуль непрерывности функции79
§22. Коэффициенты Фурье для функций с ограниченным изменением80
§23. Формальные операции над рядами Фурье81
§24. Ряды Фурье от многократно дифференцируемых функций88
§25. О коэффициентах Фурье для аналитических функций88
§26. Простейшие случаи абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье91
§27. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими полиномами92
§28. Плотность класса тригонометрических полиномов в пространствах Lp (p≥1)93
§29. Ядро Дирихле и сопряжённое с ним ядро94
§30. Ряды по синусам или по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами95
§31. Интегральные выражения для частных сумм ряда Фурье и сопряжённого ряда103
§32. Упрощение выражений для Sn(x) и Sn(x)107
§33. Принцип локализации Римана110
§34. Теорема Штейнгауза111
§35. 
 ∞
Интеграл   sin x

x

 dx. Константы Лебега
0
112
§36. Оценка частных сумм ряда Фурье от ограниченной функции117
§37. Критерий сходимости ряда Фурье118
§38. Признак Дини119
§39. Признак Жордана121
§40. Интегрирование рядов Фурье122
§41. Явление Гиббса123
§42. Определение величины скачка функции по ее ряду Фурье127
§43. Особенности рядов Фурье от непрерывных функций. Полиномы Фейера128
§44. Непрерывная функция с рядом Фурье, сходящимся всюду, но неравномерно130
§45. Непрерывная функция с рядом Фурье, расходящимся в одной точке (пример Фейера)132
§46. Расходимость в одной точке (пример Лебега)133
§47. Суммирование ряда Фурье методом Фейера137
§48. Следствия теоремы Фейера141
§49. Теорема Фейера–Лебега143
§50. Оценка частных сумм ряда Фурье144
§51. Множители сходимости146
§52. Сравнение ядер Дирихле и Фейера146
§53. Суммирование рядов Фурье методом Абеля–Пуассона152
§54. Ядро Пуассона и интеграл Пуассона152
§55. Поведение интеграла Пуассона в точках непрерывности функции154
§56. Поведение интеграла Пуассона в общем случае156
§57. Проблема Дирихле160
§58. Суммирование методом Пуассона продифференцированного ряда Фурье161
§59. Интеграл Пуассона–Стилтьеса163
§60. Фейеровские и пуассоновские суммы для различных классов функций165
§61. Общие тригонометрические ряды. Теоремы Лузина–Данжуа173
§62. Теорема Кантора–Лебега174
§63. Пример всюду расходящегося ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю175
§64. Изучение сходимости одного класса тригонометрических рядов177
§65. Лакунарные последовательности и лакунарные ряды178
§66. Гладкие функции181
§67. Вторая производная Шварца185
§68. Метод суммирования Римана187
§69. Приложение метода суммирования Римана к рядам Фурье190
§70. Теорема единственности Кантора191
§71. Принцип локализации Римана для общих тригонометрических рядов193
§72. Теорема дю Буа-Реймона198
 
 
ГЛАВА II
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
 
§ 1. Введение202
§ 2. Порядок коэффициентов Фурье для функций с ограниченным изменением. Критерий для непрерывности функции с ограниченным изменением203
§ 3. О коэффициентах Фурье для функций из класса Lip α208
§ 4. Связь между степенью суммируемости функции и коэффициентами Фурье210
§ 5. Обобщение равенства Парсеваля для произведения двух функций218
§ 6. О скорости стремления к нулю коэффициентов Фурье от суммируемых функций221
§ 7. Вспомогательные теоремы о системе Радемахера223
§ 8. Отсутствие критериев, налагаемых на модули коэффициентов226
§ 9. Некоторые необходимые условия для коэффициентов Фурье228
§10. Необходимые и достаточные условия Салема231
§11. Тригонометрическая проблема моментов234
§12. Коэффициенты тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами236
§13. Преобразования рядов Фурье243
 
 
ГЛАВА III
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
 
§ 1. Введение246
§ 2. Сравнение признаков Дини и Жордана246
§ 3. Признак Валле-Пуссена, сравнение его с признаками Дини и Жордана247
§ 4. Признак Юнга249
§ 5. Взаимоотношения между признаком Юнга и признаками Дини, Жордана, Валле-Пуссена251
§ 6. Признак Лебега254
§ 7. Сравнение признака Лебега со всеми предыдущими258
§ 8. Признак Лебега–Гергена263
§ 9. О необходимых условиях сходимости в точке267
§10. Достаточные признаки сходимости в точке при дополнительных ограничениях на коэффициенты ряда271
§11. Замечание о равномерной сходимости ряда Фурье на некотором отрезке273
 
 
ГЛАВА IV
РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
 
§ 1. Введение275
§ 2. Достаточные условия для равномерной сходимости, выраженные через коэффициенты Фурье276
§ 3. Достаточное условие для равномерной сходимости в терминах наилучших приближений279
§ 4. Признак Дини–Липшица280
§ 5. Признак Салема. Функции с Ф-ограниченным изменением283
§ 6. Тождество Рогозинского288
§ 7. Признак равномерной сходимости, использующий обынтегрированный ряд291
§ 8. Обобщение признака Дини–Липшица (в интегральной форме)293
§ 9. Равномерная сходимость на отрезке [ab]296
§10. Признаки Сато299
§11. О равномерной сходимости около каждой точки отрезка302
§12. Об операциях над функциями для получения равномерно сходящихся рядов Фурье303
§13. О равномерной сходимости при расстановке знаков у членов ряда306
§14. Экстремальные свойства некоторых тригонометрических полиномов307
§15. Подбор аргументов при заданных модулях членов ряда309
§16. О коэффициентах Фурье от непрерывных функций311
§17. Об особенностях рядов Фурье от непрерывных функций316
§18. Непрерывная функция с рядом Фурье, сходящимся неравномерно во всяком интервале317
§19. О множестве точек расходимости для тригонометрического ряда318
§20. Непрерывная функция с рядом Фурье, расходящимся на множестве мощности континуума319
§21. Расходимость на заданном счётном множестве320
§22. Расходимость на множестве мощности континуума при ограниченности частных сумм322
§23. Расходимость для ряда от  f 2(x)323
§24. Подпоследовательности частных сумм рядов Фурье от непрерывных функций327
§25. Разбиение на сумму двух рядов, сходящихся на множествах положительной меры329
 
 
ГЛАВА V
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ
 
§ 1. Введение331
§ 2. Теорема Колмогорова–Селиверстова и Плесснера332
§ 3. Признак сходимости, выраженный через первые разности коэффициентов337
§ 4. Множители сходимости338
§ 5. Другие формы условия, входящего в теорему Колмогорова–Селиверстова и Плесснера339
§ 6. Следствия теоремы Плесснера340
§ 7. Об эквивалентности некоторых условий, выражаемых через интегралы и через ряды342
§ 8. Признак сходимости почти всюду для функций из Lp (1≤p≤2)346
§ 9. Выражение условий сходимости почти всюду через квадратичные модули непрерывности и наилучшие приближения347
§10. Признаки сходимости почти всюду на отрезке длины, меньшей чем 2π350
§11. Индексы сходимости354
§12. Выпуклая ёмкость множеств362
§13. Признак сходимости, использующий обынтегрированный ряд378
§14. Признак Салема379
§15. Признак Марцинкевича380
§16. Признак сходимости, выраженный через логарифмическую меру множества384
§17. Ряды Фурье, расходящиеся почти всюду391
§18. Невозможность усиления признака Марцинкевича402
§19. О ряде, сопряжённом к почти всюду расходящемуся ряду Фурье406
§20. Ряд Фурье, расходящийся в каждой точке412
§21. О принципе локализации для множеств421
§22. О сходимости ряда Фурье на заданном множестве и расходимости вне его425
§23. Проблема сходимости и принцип локализации для рядов Фурье с переставленными членами434
 
 
ГЛАВА VI
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ
 
§ 1. Введение438
§ 2. Две элементарные леммы438
§ 3. Лемма о множителе Дирихле440
§ 4. «Исправление» функции для получения равномерно сходящегося ряда Фурье448
§ 5. Усиленное C-свойство457
§ 6. Проблемы, связанные с «исправлением» функций458
§ 7. «Исправление» суммируемой функции вне заданного совершенного множества459
 
 
ГЛАВА VII
СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ.
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСОВ О СХОДИМОСТИ

 
§ 1. Введение472
§ 2. Применение к рядам Фурье методов суммирования с треугольными матрицами473
§ 3. Суммирование рядов Фурье методами (C, α)482
§ 4. Метод суммирования Бернштейна–Рогозинского483
§ 5. Метод суммирования Лебега485
§ 6. Понятие сильной суммируемости и суммируемости (Hk)488
§ 7. Суммируемость (Hk) для рядов Фурье от функций из класса Lp490
§ 8. Суммируемость (H, 2)493
§ 9. Суммируемость (Hk) с переменным показателем500
§10. Об одном видоизменении понятия сильной суммируемости503
§11. Усиленная сходимость функционального ряда509
§12. Усиленная сходимость тригонометрических рядов510
§13. Суммируемость (C*, 0)516
 
 
ГЛАВА VIII
СОПРЯЖЁННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
 
§ 1. Введение518
§ 2. Сходимость в точке; признак Дини519
§ 3. Принцип локализации521
§ 4. Теорема Юнга521
§ 5. Суммируемость (C, 1) ряда σf )524
§ 6. Суммируемость методом Абеля–Пуассона526
§ 7. Существование сопряжённой функции528
§ 8. Смысл существования сопряжённой функции531
§ 9. Критерий Лузина для сходимости рядов Фурье от функций с интегрируемым квадратом534
§10. Условия для того, чтобы два сопряжённых ряда были рядами Фурье538
§11. Коэффициенты степенного ряда для функций класса H1545
§12. Степенные ряды с ограниченным изменением547
§13. Свойства двух сопряжённых функций554
§14. Функции класса Lp. Теорема М. Рисса564
§15. Теорема Зигмунда568
§16. Суммируемость | f (x)| p при p<1572
§17. Ряды Фурье для сопряжённых суммируемых функций582
§18. A-интеграл и сопряжённые ряды585
§19. Равномерная сходимость двух сопряжённых рядов591
§20. Сходимость в метрике Lp593
§21. Случай p<1595
§22. Проблема сходимости в метрике L598
§23. Сходимость сопряжённых рядов на множестве положительной меры604
 
 
ГЛАВА IX
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
 
§ 1. Введение607
§ 2. Достаточные условия в терминах модулей непрерывности и наилучших приближений608
§ 3. Случай функций с ограниченным изменением613
§ 4. Необходимые условия618
§ 5. Общие замечания о связи между модулем непрерывности функции и абсолютной сходимостью её ряда Фурье629
§ 6. Критерий абсолютной сходимости Шилова632
§ 7. Критерий абсолютной сходимости М. Рисса634
§ 8. Критерий абсолютной сходимости Стечкина636
§ 9. Простейшие операции над функциями с абсолютно сходящимися рядами Фурье637
§10. Роль локальных свойств функции в абсолютной сходимости638
§11. Суперпозиции функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье640
§12. Некоторые обобщения вопроса об абсолютной сходимости646
 
 
ГЛАВА X
РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
 
§ 1. Введение649
§ 2. Условия для того, чтобы ряды с монотонными коэффициентами были рядами Фурье650
§ 3. Ряды Фурье для функций из класса Lp657
§ 4. A-интегрируемость сумм рядов с монотонными коэффициентами658
§ 5. Суммируемость | f (x)| p и | f (x)| p при 0<p<1.664
§ 6. Равенство Рисса664
§ 7. Поведение около точки x=0668
§ 8. Дифференциальные свойства функций  f (x) и  f (x)676
§ 9. Ряды с монотонными коэффициентами для функций из класса Lip α678
 
 
ГЛАВА XI
ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
 
§ 1. Введение680
§ 2. Свойства лакунарных последовательностей680
§ 3. Лакунарные ряды, суммируемые на множестве положительной меры684
§ 4. Поведение суммы лакунарного ряда там, где она существует689
§ 5. Степень суммируемости функций, определяемых лакунарными рядами Фурье690
§ 6. Непрерывные функции с лакунарными рядами Фурье691
§ 7. Абсолютная сходимость лакунарных рядов693
§ 8. Теорема Зигмунда696
§ 9. Лакунарные ряды, сходящиеся на множестве не первой категории703
§10. Теорема Эрдёша703
§11. Теорема единственности для лакунарных рядов708
§12. О наилучшем приближении функций, заданных лакунарными тригонометрическими рядами713
§13. Локальные теоремы для обобщённых лакунарных рядов714
 
 
ГЛАВА XII
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
 
§ 1. Введение721
§ 2. Коэффициенты всюду расходящихся тригонометрических рядов722
§ 3. Расходимость на множестве второй категории728
§ 4. Множества типа R730
§ 5. Множества типа H732
§ 6. Множества типа Hσ. Теорема Райхмана735
§ 7. Достаточные условия для R-множеств736
§ 8. Базисы738
§ 9. О мере Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа для R-множеств743
§10. Необходимый признак для замкнутых R-множеств746
§11. Сумма двух R-множеств747
 
 
ГЛАВА XIII
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
 
§ 1. Введение749
§ 2. Влияние точек абсолютной сходимости на сходимость ряда750
§ 3. Теорема Лузина о категории множества точек абсолютной сходимости752
§ 4. Простейшие свойства N-множеств. Редукция к ряду из синусов752
§ 5. Базисы и абсолютная сходимость757
§ 6. Общие свойства N- и R-множеств757
§ 7. Взаимоотношение между классами множеств N, N0 и R759
§ 8. Сумма двух N-множеств761
§ 9. Дополнение Салема к теореме Лузина–Данжуа764
§10. Выпуклая ёмкость множеств и абсолютная сходимость768
§11. Абсолютная сходимость для рядов специального вида773
 
 
ГЛАВА XIV
ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
 
§ 1. Введение781
§ 2. Вспомогательные теоремы о верхней и нижней производной Шварца783
§ 3. Законность почленного интегрирования тригонометрического ряда786
§ 4. Обобщение теоремы дю Буа-Реймона; теорема Валле-Пуссена788
§ 5. Теорема Юнга. Постановка проблемы единственности792
§ 6. Свойства нуль-рядов; сумма замкнутых U-множеств793
§ 7. H-множества. Теорема Райхмана796
§ 8. Множества типа H*799
§ 9. Подобное преобразование U-множеств801
§10. Преобразование U-множества в U-множество802
§11. Критерий для совершенных M-множеств803
§12. Пример Меньшова804
§13. Достаточные условия для M-множеств807
§14. Достаточные условия для замкнутых U-множеств812
§15. Множества типа H(s)814
§16. Существование U-множества, не содержащегося ни в каком H(s)818
§17. О точности достаточных условий для совершенных M-множеств822
§18. M-множества в узком смысле823
§19. Симметричные совершенные множества827
§20. Совершенные множества «с постоянным отношением»829
§21. Несимметричные совершенные множества «с постоянным разбиением»836
§22. Краткий обзор результатов, относящихся к симметричным совершенным множествам с переменным отношением836
§23. Проблемы, связанные с классификацией множеств меры нуль838
§24. О быстроте стремления к нулю коэффициентов нуль-ряда840
§25. О единственности для различных методов суммирования844
§26. Множества относительной единственности847
§27. Множества относительной единственности для различных методов суммирования851
 
 
ГЛАВА XV
ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ
 
§ 1. Введение852
§ 2. Изображение функции, конечной почти всюду853
§ 3. Изображение функций, обращающихся в +∞ или –∞ на множестве положительной меры864
§ 4. О пределах неопределённости частных сумм тригонометрического ряда865
§ 5. О множестве предельных функций для тригонометрического ряда869
§ 6. Универсальные тригонометрические ряды870
§ 7. Сходимость по мере тригонометрических рядов875
 
 
ДОБАВЛЕНИЯ
 
К главе II
§ 1. Принцип Фрагмена–Линделёфа877
§ 2. Модуль непрерывности и модуль гладкости в Lp (p≥1)878
§ 3. Обращение неравенства Гёльдера878
§ 4. Теорема Банаха–Штейнгауза880
 
К главе IV
§ 5. Категория множества880
§ 6. Теоремы Римана и Каратеодори881
§ 7. Связь между модулем непрерывности и наилучшим приближением функции881
 
К главе V
§ 8. μ-меры и интегралы883
 
К главе VII
§ 9. Чезаровские средние (C, α)884
§10. Сравнение методов (C, α) с методом A*887
§11. Применение линейных методов суммирования к функциональным рядам888
§12. Теоремы тауберова типа889
§13. Лемма о точках плотности892
§14. О точках Лебега в Lp893
§15. Слабая сходимость линейных функционалов894
 
К главе VIII
§16. Образ множества895
§17. Сингулярные функции895
§18. Неравенство Бернштейна в пространстве Lp (p≥1)895
§19. Неравенство Привалова896
§20. Теорема Бэра898
§21. Неравенство Иенсена899
 
К главе X
§22. Некоторые неравенства для функций из класса Lp899
 
К главе XI
§23. Вспомогательные теоремы из метрической теории множеств901
 
К главе XII
§24. Теорема Минковского903
§25. Несколько теорем из теории рядов904
 
К главе XIII
§26. Равномерное распределение907
 
К главе XIV
§27. Мажорантные и минорантные функции910
§28. Теорема Минковского о системе линейных форм911
§29. Теорема Пизо911
§30. Об одной диофантовой задаче916
§31. О множествах типа (H(s))*919
 
Библиография
922
Алфавитный указатель  933



Посвящаю этот труд
светлой памяти моего учителя
НИКОЛАЯ НИКОЛАЕВИЧА
ЛУЗИНА

ПРЕДИСЛОВИЕ

Известная книга А. Зигмунда «Тригонометрические ряды» [6] содержит более или менее исчерпывающее изложение тех результатов по теории тригонометрических рядов, которые были получены до 1935 года 1). С тех пор интерес математиков к тригонометрическим рядам не уменьшился и достигнутый прогресс настолько значителен, что представляется необходимым изложить современное состояние наших познаний в этой области.

Круг вопросов, которые следовало бы рассмотреть, настолько велик, что приходится сразу же его ограничить. Поэтому я совершенно исключаю интегралы Фурье 2), тригонометрические ряды от нескольких переменных 3) и лишь очень мало касаюсь исследований по наилучшим приближениям функций тригонометрическими полиномами.

Я говорю также об ортогональных системах лишь в тех случаях, где получение теорем теории тригонометрических рядов из более общих, касающихся ортогональных систем, оказывается проще; если же перенос теорем на общие ортогональные системы требует специального изучения, я ограничиваюсь их формулировкой для тригонометрических рядов 4).

Несмотря на указанное здесь ограничение материала, его всё ещё остаётся очень много. Когда в 1915 году Н. Н. Лузин написал свою замечательную диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд» [9, 10], где им был решён и поставлен целый ряд существенных проблем, он отметил, что «понятие ряда Фурье не есть понятие вполне определённое и устойчивое, но всецело зависит от понятия интеграла. Принимая в формулах Фурье всё более и более общее определение интеграла (Коши, Римана, Дирихле, Гарнака, Лебега, Данжуа), мы расширяем всё более и более класс тригонометрических рядов Фурье». В настоящей книге под словами «ряд Фурье» я всегда буду понимать ряд Фурье–Лебега. Известно, что существуют тригонометрические ряды, сходящиеся в каждой точке, но имеющие сумму неинтегрируемую не только по Лебегу, но и по Данжуа, в том смысле, как интеграл был определён самим Данжуа и А. Я. Хинчиным в 1916 году. Чтобы суметь выразить коэффициенты такого ряда через его сумму по формулам Фурье, Данжуа позже изобрёл новый процесс: тотализацию с двумя индексами (см. [27]).

Я не сочла возможным осветить в своей книге эту хотя и очень важную тему, так как на это потребовалось бы слишком много места. Более того, я не касаюсь даже и рядов Фурье–Данжуа, если понимать интеграл Данжуа в смысле первоначального определения: уже на изложение материала по рядам Фурье–Лебега и общим тригонометрическим рядам (т.е. не являющимся рядами Фурье) понадобилось очень много страниц. Ведь если в первое время после создания интеграла Лебега принято было думать, что множествами меры нуль всегда можно пренебречь, то в настоящее время совершенно ясно обратное: в целом ряде вопросов теории тригонометрических рядов некоторые множества меры нуль ведут себя так, как множества положительной меры. Таким образом, если прежде об общих тригонометрических рядах можно было сказать очень мало, то теперь им посвящён ряд интересных работ, где появились не только новые результаты, но и существенно новые методы (в частности, в теории тригонометрических рядов иногда значительную роль играет теория чисел).

Сказанное здесь имеет целью хоть отчасти объяснить объём настоящей книги. Конечно, желая его сократить, можно было бы пойти по пути лаконичного изложения, но я сознательно от этого отказываюсь. Мне кажется, что в последнее время авторы математических работ слишком злоупотребляют словами «легко видеть», в результате чего читатель часто не понимает доказательств теорем или упускает некоторые важные моменты. Я же старалась сделать изложение вполне доступным для аспирантов и студентов старших курсов. Особенно это относится к материалу главы I. Я предполагаю, что её сможет понимать всякий, кто знает лишь теорию интеграла Лебега в объёме обычного курса теории функций для университетов 5). В следующих главах содержатся уже более углублённые исследования по теории тригонометрических рядов; для их понимания иногда требуются дополнительные сведения. Для удобства читателей доказательства ряда теорем, на которые я ссылаюсь в тексте, помещены в «Добавлениях». Во «Вводный материал» отнесены некоторые весьма элементарные теоремы из анализа, теории рядов и теории функций, которыми я пользуюсь в тексте систематически; я даю ссылки на наиболее употребительные учебники, где можно найти их доказательства. Вводный материал написан в виде отдельных теорем, причём я не ставила себе целью их формулировать в самой общей форме, а лишь так, как это понадобится в дальнейшем тексте.

Считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность П. Л. Ульянову, который прочёл всю книгу ещё в рукописи и сделал ряд ценных указаний как в смысле подбора материала, так и в смысле устранения некоторых недочётов. Он дал также во многих случаях ряд собственных доказательств теорем других авторов.

27 декабря 1957 г.  Н. Бари

Примечания
1.

Английское издание книги Зигмунда [6] сдано в печать в 1935 году; русский перевод появился в 1939 году. [Примечание при корректуре. В последнее время вышла фундаментальная монография А. Зигмунда «Trigonometric series», 2-е издание, Кембридж, 1959.] назад к тексту

2.

Этому вопросу посвящены специальные книги, например Титчмарш [23]. назад к тексту

3.

Основные сведения по этому вопросу можно найти в книге Hobson [29], т. II или в книге Tonelli [33]. Изложение современных результатов, по моему мнению, является в настоящий момент преждевременным, так как теория кратных тригонометрических рядов ещё недостаточно разработана. назад к тексту

4.

Общей теории ортогональных рядов посвящена книга Качмаж и Штейнгауз [7], русский перевод которой, снабжённый дополнительными статьями, освещающими современное состояние этой теории, вышел в 1958 году. назад к тексту

5.

Например, в объёме книги П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова [1] или книги И. П. Натансона [16]. назад к тексту



БИБЛИОГРАФИЯ
МОНОГРАФИИ И УЧЕБНИКИ

 1. 

Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, ГОНТИ, 1938.

 2. 

Ахиезер Н. И. и Крейн М. Г., О некоторых вопросах теории моментов, ГОНТИ, Харьков, 1938.

 3. 

Бернштейн С. Н., Собрание сочинений, Изд. АН СССР, т. I, 1952 г., т. II, 1954 г.

 4. 

Бернштейн С. Н., Экстремальные свойства полиномов, Москва, 1937.

 5. 

Валле-Пуссен Ш. Ж., Курс анализа бесконечно малых, перев. с франц., ГТТИ, Москва, 1933.

 6. 

Зигмунд А., Тригонометрические ряды, перев. с англ., ГОНТИ НКТП СССР, 1939.

 7. 

Качмаж С. и Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, перев. с нем., Физматгиз, Москва, 1958.

 8. 

Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, перев. франц., ГТТИ, 1934.

 9. 

Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, Москва, 1915.

 10. 

Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, изд. 2-е, Гостехиздат, Москва, 1951.

 11. 

Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, Учпедгиз, 1940.

 12. 

Люстерник Л. А. и Соболев В. И., Элементы функционального анализа, Гостехиздат, Москва, 1951.

 13. 

Мандельбройдт С., Квазианалитические классы функций, перев. с франц., ОНТИ, 1937.

 14. 

Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, Гостехиздат, Москва, 1950.

 15. 

Натансон И. П., Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949.

 16. 

Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1957.

 17. 

Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, перев. с нем., Гостехиздат, Москва–Ленинград, 1941.

 18. 

Привалов И. И., Интеграл Cauchy, Саратов, 1919.

 19. 

Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, Гостехиздат, Москва–Ленинград, 1950.

 20. 

Риман Б., Сочинения, Гостехиздат, Москва–Ленинград, 1948.

 21. 

Рисс Ф. и Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, перев. с франц., ИЛ, Москва, 1954.

 22. 

Сакс С., Теория интеграла, перев. с англ., ИЛ, Москва, 1949.

 23. 

Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, перев. с англ., Гостехиздат, 1948.

 24. 

Харди Г., Расходящиеся ряды, перев. с англ., ИЛ, Москва, 1951.

 25. 

Харди Г., Литлвуд Д. и Полиа Г., Неравенства, перев. с англ., ИЛ, Москва, 1948.

 26. 

Banach S., Théorie des opérations linéaires, Warszawa, 1932.

 27. 

Denjoy A., Calcul des coefficients d'une série trigonométrique, Paris, 1941–1949.

 28. 

Hardy G. H. and Rogosinski W., Fourier Series, Cambridge, 1944.

 29. 

Hobson E. W., Theory of functions of a real variable and the Theory of Fourier series, Cambridge, 1921.

 30. 

Lebesgue H., Leçons sur les séries trigonométriques, Paris, 1906.

 31. 

Minkowski H., Diophantische Approximationen, Leipzig, 1907.

 32. 

Plessner A., Trigonometrische Reihen Pascals, «Repertorium der höheren Analysis», т. I3, Leipzig und Berlin, 1929.

 33. 

Tonelli L., Serie trigonometriche, Bologna, 1928.

 34. 

Vallee-Poussin Ch. J., Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle, Paris, 1919.



Hosted by uCoz