HIGHER
TRANSCENDENTAL
FUNCTIONS



BASED, IN PART, ON NOTES LEFT BY
HARRY BATEMAN

AND COMPILED BY THE
STAFF OF THE BATEMAN MANUSCRIPT PROJECT
DIRECTOR
ARTHUR ERDÉLYI

 
  СПРАВОЧНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА



Г. БЕЙТМЕН и А. ЭРДЕЙИ

ВЫСШИЕ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ
ФУНКЦИИ


Перевод с английского
Н. Я. ВИЛЕНКИНА
NEW YORK   TORONTO   LONDON
MC GRAW-HILL BOOK COMPANY, INC.
1953
  ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965-1967
 


Этот труд посвящён памяти
ГАРРИ БЕЙТМЕНА,
создавшего столь грандиозный
проект и продвинувшего свой
замысел столь далеко по пути
к завершению

 ШТАБ ПО ОСУЩЕСТВЛЕНИЮ ПРОЕКТА БЕЙТМЕНА 
Директор:
АРТУР ЭРДЕЙИ

Руководство штаба:
ВИЛЬГЕЛЬМ МАГНУС, ФРИЦ ОБЕРХЕТТИНГЕР, ФРАНЧЕСКО Д. ТРИКОМИ

Ассистенты:
Д. Бертин,   Д. Л. Томсон,   В. Б. Фалкс,   Мария А. Вебер,   А. Р. Харви,   Е. Л. Уитней




2550 Кб
 


2425 Кб
 


3670 Кб
 

ОГЛАВЛЕНИЕ

От переводчика9
Введение11
 
 Глава 1
ГАММА-ФУНКЦИЯ
  
1.1. Определение гамма-функции15
1.2. Функциональные уравнения, которым удовлетворяет Γ(z)17
1.3. Выражение некоторых бесконечных произведений через гамма-функцию19
1.4. Некоторые бесконечные ряды, связанные с гамма-функцией21
1.5. Бета-функция23
1.5.1. Определённые интегралы, выражаемые через бета-функцию24
1.6. Выражения гамма- и бета-функций в виде контурных интегралов28
1.7. Функция ψ(z)30
1.7.1. Функциональные уравнения для ψ(z)31
1.7.2. Интегральные представления для ψ(z)31
1.7.3. Теорема Гаусса34
1.7.4. Некоторые бесконечные ряды, связанные с функцией ψ(z)34
1.8. Функция G(z)35
1.9. Выражения для функции ln Γ(z)36
1.9.1. Ряды Куммера для ln Γ(z)38
1.10. Обобщённая дзета-функция40
1.11. 
Функция Φ(z, s, v) =     zn

 (v + n)s

 n=0
42
1.11.1. Дилогарифм Эйлера46
1.12. Дзета-функция Римана47
1.13. Числа и многочлены Бернулли50
1.13.1. Многочлены Бернулли высшего порядка54
1.14. Числа и многочлены Эйлера55
1.14.1. Многочлены Эйлера высшего порядка57
1.15. Некоторые интегральные формулы, связанные с многочленами Эйлера и Бернулли58
1.16. Полигамма-функция59
1.17. Некоторые выражения для ln Γ(1 + z), ψ(1 + z), G(1 + z) и Γ(z)60
1.18. Асимптотические разложения61
1.19. Интегралы Меллина–Бернса63
1.20. Разложения некоторых тригонометрических функций в степенные ряды65
1.21. Некоторые другие разложения и символы67
 
 Глава 2
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
   
Часть  первая.  Теория
 
2.1. Гипергеометрический ряд69
2.1.1. Гипергеометрическое уравнение69
2.1.2. Элементарные соотношения70
2.1.3. Основные интегральные представления72
2.1.4. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда74
2.1.5. Квадратичные и кубичные преобразования76
2.1.6. F(abcz) как функция параметров80
2.2. Вырожденный случай гипергеометрического уравнения81
2.2.1. Частное решение81
2.2.2. Полное решение в вырожденном случае82
2.3. Полное решение и асимптотическое разложение в общем случае85
2.3.1. Линейно независимые решения гипергеометрического уравнения в невырожденном случае85
2.3.2. Асимптотические разложения86
2.4. Интегралы, выражающие или содержащие гипергеометрические функции89
2.5. Различные результаты93
2.5.1. Производящая функция93
2.5.2. Произведения гипергеометрических рядов93
2.5.3. Соотношения, содержащие биномиальные коэффициенты и неполную бета-функцию96
2.5.4. Непрерывные дроби98
2.5.5. Частные случаи гипергеометрической функции99
2.6. Уравнение Римана100
2.6.1. Редукция гипергеометрического уравнения100
2.6.2. Квадратичные и кубичные преобразования102
2.7. Конформные преобразования103
2.7.1. Группа гипергеометрического уравнения103
2.7.2. Функция Шварца105
2.7.3. Униформизация108
2.7.4. Нули108
 
Часть  вторая.  Формулы
 
2.8. Гипергеометрический ряд109
2.9. Ряды Куммера и соотношения между ними113
2.10. Аналитическое продолжение116
2.11. Квадратичные преобразования и преобразования высших степеней118
2.12. Интегралы123
 
 Глава 3
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
   
3.1. Введение125
3.2. Решение дифференциального уравнения Лежандра126
3.3.1. Соотношения между функциями Лежандра140
3.3.2. Некоторые дальнейшие связи с гипергеометрическим рядом142
3.4. Функции Лежандра на разрезе143
3.5. Тригонометрические разложения для Pνμ(cos θ) и Qνμ(cos θ)146
3.6.1. Частные значения μ и ν148
3.6.2. Многочлены Лежандра151
3.7. Интегральные представления155
3.8. Соотношения между смежными функциями Лежандра161
3.9.1. Асимптотические разложения163
3.9.2. Поведение функций Лежандра вблизи особых точек164
3.10. Разложения по функциям Лежандра166
3.11. Теоремы сложения169
3.12. Интегралы, содержащие функции Лежандра170
3.13. Функции кольца или тороидальные функции174
3.14. Функции конуса176
3.15. Функции Гегенбауэра177
3.15.1. Многочлены Гегенбауэра177
3.15.2. Функции Гегенбауэра180
3.16. Некоторые другие обозначения181
 
 Глава 4
ОБОБЩЁННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
   
4.1. Введение183
4.2. Дифференциальные уравнения184
4.3. Тождества и рекуррентные соотношения186
4.4. Обобщённый гипергеометрический ряд, аргумент которого равен единице в случае p=q+1188
4.5. Преобразования q+1Fq при значениях аргумента, отличных от единицы190
4.6. Интегралы192
4.7. Некоторые частные результаты193
4.8. Базисные гипергеометрические ряды195
 
 Глава 5
ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
   
5.1. Различные обобщения199
 
E-функция  Мак-Роберта
 
5.2. Определение E-функции200
5.2.1. Рекуррентные соотношения201
5.2.2. Интегралы202
 
G-функция  Мейера
 
5.3. Определение G-функции203
5.3.1. Простые тождества205
5.4. Дифференциальные уравнения206
5.4.1. Асимптотические разложения207
5.5. Ряды и интегралы208
5.5.1. Ряды G-функций208
5.5.2. Интегралы, содержащие G-функции209
5.6. Частные случаи G-функции210
 
Гипергеометрические функции многих переменных
 
5.7. Гипергеометрические ряды двух переменных218
5.7.1. Список Горна219
5.7.2. Сходимость рядов221
5.8. Интегральные представления224
5.8.1. Двойные интегралы типа Эйлера224
5.8.2. Обычные интегралы типа Эйлера225
5.8.3. Двойные интегралы типа Меллина–Бернса226
5.9. Системы дифференциальных уравнений в частных производных226
5.9.1. Исследования Айнса230
5.10. Формулы приведения231
5.11. Преобразования232
5.12. Символические формы и разложения234
5.13. Частные случаи236
5.14. Другие ряды236
 
 Глава 6
ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
   
6.1. Предварительные замечания237
6.2. Дифференциальные уравнения238
6.3. Общее решение вырожденного уравнения в окрестности начальной точки241
6.4. Элементарные соотношения для функций Φ242
6.5. Основные интегральные представления243
6.6. Элементарные соотношения для функции Ψ245
6.7. Фундаментальная система решений для вырожденного гипергеометрического уравнения246
6.7.1. Логарифмический случай247
6.8. Дальнейшие свойства функции Ψ249
6.9. Функции Уиттекера251
6.9.1. Функции Бесселя252
6.9.2. Другие частные случаи вырожденной гипергеометрической функции253
6.10. Преобразование Лапласа и вырожденная гипергеометрическая функция256
6.11. Интегральные представления259
6.11.1. Функция Φ259
6.11.2. Функция Ψ260
6.11.3. Функции Уиттекера262
6.12. Разложения по многочленам Лагерра и функциям Бесселя263
6.13. Асимптотическое поведение265
6.13.1. Поведение при больших значениях |x|265
6.13.2. Большие значения параметров266
6.13.3. Большие значения переменного и параметра268
6.14. Теоремы умножения271
6.15. Ряды и интегральные формулы272
6.15.1. Ряды272
6.15.2. Интегралы273
6.15.3. Произведения вырожденных гипергеометрических функций274
6.16. Вещественные нули для вещественных a и c277
6.17. Дескриптивные свойства при вещественных a, c, x279
 
Цитированная литература
281
Именной указатель289
Предметный указатель290
Указатель важнейших обозначений  293
 Глава 7
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
   
Часть  первая.  Теория
 
7.1. Введение9
7.2. Дифференциальное уравнение Бесселя12
7.2.1. Функции Бесселя произвольного порядка12
7.2.2. Модифицированные функции Бесселя любого порядка13
7.2.3. Функции Кельвина и связанные с ними функции14
7.2.4. Функции Бесселя целого порядка14
7.2.5. Модифицированные функции Бесселя целого порядка17
7.2.6. Сферические функции Бесселя17
7.2.7. Произведения функций Бесселя19
7.2.8. Различные результаты20
7.3. Интегральные представления22
7.3.1. Коэффициенты Бесселя22
7.3.2. Интегральные представления типа Пуассона22
7.3.3. Представления с помощью контурных интегралов23
7.3.4. Интегральные представления Шлефли, Гублера и связанные с ними представления25
7.3.5. Интегралы Зоммерфельда27
7.3.6. Интегралы Бернса30
7.3.7. Интегралы Эйри31
7.4. Асимптотические выражения31
7.4.1. Случай большого независимого переменного32
7.4.2. Случай, когда порядок принимает большие значения33
7.4.3. Промежуточные области37
7.4.4. Равномерные асимптотические разложения. Методы, связанные с дифференциальным уравнением39
7.5. Функции, связанные с функциями Бесселя40
7.5.1. Многочлены Неймана и связанные с ними многочлены41
7.5.2. Многочлены Ломмеля43
7.5.3. Функции Ангера–Вебера44
7.5.4. Функции Струве46
7.5.5. Функции Ломмеля49
7.5.6. Некоторые другие обозначения и функции52
7.6. Теорема сложения52
7.6.1. Теорема сложения Гегенбауэра52
7.6.2. Теорема сложения Графа53
7.7. Интегральные формулы55
7.7.1. Неопределённые интегралы55
7.7.2. Определённые интегралы по конечным отрезкам55
7.7.3. Интегралы с бесконечными пределами, содержащие показательную функцию58
7.7.4. Разрывный интеграл Вебера–Шафхейтлина61
7.7.5. Интегралы Сонина и Гегенбауэра и их обобщения63
7.7.6. Формулы Макдональда и Никольсона64
7.7.7. Интегралы от функций Бесселя по индексу66
7.8. Соотношения между функциями Бесселя и Лежандра67
7.9. Нули функций Бесселя70
7.10. Представления произвольных функций в виде рядов и интегралов74
7.10.1. Ряды Неймана74
7.10.2. Ряды Каптейна78
7.10.3. Ряды Шлемильха79
7.10.4. Ряды Фурье–Бесселя и Дини82
7.10.5. Интегральные представления произвольных функций84
 
Часть  вторая.  Формулы
 
7.11. Элементарные соотношения и различные формулы89
7.12. Интегральные представления92
7.13. Асимптотические разложения98
7.13.1. Большое значение переменного98
7.13.2. Большое значение порядка99
7.13.3. Переходные области102
7.13.4. Равномерные асимптотические разложения103
7.14. Интегральные формулы103
7.14.1. Интегралы по конечным отрезкам103
7.14.2. Несобственные интегралы106
7.15. Ряды функций Бесселя114
 
 Глава 8
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА И ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ
   
8.1. Введение121
 
Функции  параболического  цилиндра
 
8.2. Определения и элементарные свойства122
8.3. Интегральные представления и интегралы125
8.4. Асимптотические разложения129
8.5. Выражение различных функций через Dν(x)130
8.5.1. Ряды130
8.5.2. Представления в виде интегралов по параметру131
8.6. Нули и дескриптивные свойства132
 
Функции  параболоида  вращения
 
8.7. Решения вырожденного гипергеометрического уравнения в некоторых частных случаях133
8.8. Интегралы и ряды, содержащие функции параболоида вращения135
 
 Глава 9
НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
   
9.1. Введение138
 
Неполные  гамма-функции
 
9.2. Определения и элементарные свойства139
9.2.1. Случай целого значения α141
9.3. Интегральные представления и формулы интегрирования142
9.4. Ряды143
9.5. Асимптотические представления144
9.6. Нули и дескриптивные свойства145
 
Частные  случаи  неполных  гамма-функций
 
9.7. Интегральная показательная функция и интегральный логарифм147
9.8. Интегральные синус и косинус149
9.9. Интеграл вероятности151
9.10. Интегралы Френеля и обобщения154
 
 Глава 10
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
   
10.1. Системы ортогональных функций156
10.2. Проблема аппроксимации159
10.3. Общие свойства ортогональных многочленов160
10.4. Механические квадратуры163
10.5. Непрерывные дроби165
10.6. Классические многочлены166
10.7. Общие свойства классических ортогональных многочленов168
10.8. Многочлены Якоби170
10.9. Многочлены Гегенбауэра175
10.10. Многочлены Лежандра179
10.11. Многочлены Чебышёва184
10.12. Многочлены Лагерра188
10.13. Многочлены Эрмита192
10.14. Асимптотическое поведение многочленов Якоби, Гегенбауэра и Лежандра196
10.15. Асимптотическое поведение многочленов Лагерра и Эрмита199
10.16. Нули многочленов Якоби и связанных с ними многочленов202
10.17. Нули многочленов Лагерра и Эрмита204
10.18. Неравенства для классических многочленов205
10.19. Задачи разложения209
10.20. Примеры разложений211
10.21. Некоторые классы ортогональных многочленов216
10.22. Ортогональные многочлены дискретного переменного219
10.23. Многочлены Чебышёва дискретного переменного и их обобщения220
10.24. Многочлены Кравчука и аналогичные им многочлены221
10.25. Многочлены Шарлье223
 
 Глава 11
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
   
11.1. Предварительные замечания225
11.1.1. Векторы225
11.1.2. Многочлены Гегенбауэра228
11.2. Гармонические многочлены229
11.3. Сферические гармоники232
11.4. Теорема сложения235
11.5. Случай p = 1,  h(np) = 2n + 1241
11.5.1. Производящая функция для сферических гармоник в трёхмерном случае241
11.5.2. Теория полюсов Максвелла243
11.6. Случай p = 2,  h(np) = (n + 1)2244
11.7. Формула преобразования для сферических гармоник247
11.8. Многочлены Эрмита – Кампе де Ферье250
 
 Глава 12
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
   
12.1. Введение253
12.2. Общие свойства ортогональных многочленов от двух переменных254
12.3. Дальнейшие свойства ортогональных многочленов от двух переменных256
 
Ортогональные  многочлены  в  треугольнике
 
12.4. Многочлены Аппеля258
 
Ортогональные  многочлены  на  круге  и  шаре
 
12.5. Многочлены V261
12.6. Многочлены U264
12.7. Проблема разложения и дальнейшие исследования267
 
Многочлены  Эрмита  от  многих  переменных
 
12.8. Определение многочленов Эрмита269
12.9. Основные свойства многочленов Эрмита271
12.10. Дальнейшие исследования274
 
Цитированная литература
277
Именной указатель289
Предметный указатель290
Указатель важнейших обозначений  294
 Глава 13
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
   
13.1. Введение9
 
Часть  первая.  Эллиптические  интегралы
 
13.2. Эллиптические интегралы9
13.3. Приведение эллиптических интегралов11
13.4. Периоды и особенности эллиптических интегралов14
13.5. Приведение G(x) к нормальной форме16
13.6. Вычисление эллиптических интегралов Лежандра22
13.7. Некоторые дальнейшие свойства нормальных эллиптических интегралов Лежандра23
13.8. Полные эллиптические интегралы26
 
Часть  вторая.  Эллиптические  функции
 
13.9. Обращение эллиптических интегралов29
13.10. Двояко-периодические функции30
13.11. Общие свойства эллиптических функций32
13.12. Функции Вейерштрасса34
13.13. Дальнейшие свойства функций Вейерштрасса36
13.14. Выражение эллиптических функций и эллиптических интегралов через функции Вейерштрасса39
13.15. Дескриптивные свойства и вырожденные случаи функций Вейерштрасса42
13.16. Эллиптические функции Якоби43
13.17. Дальнейшие свойства эллиптических функций Якоби46
13.18. Дескриптивные свойства и вырожденные случаи эллиптических функций Якоби50
13.19. Тета-функции53
13.20. Выражение эллиптических функций и эллиптических интегралов через тета-функции. Проблема обращения57
13.21. Теория преобразования эллиптических функций61
13.22. Унимодулярные преобразования62
13.23. Преобразования второго порядка65
13.24. Эллиптические модулярные функции67
13.25. Конформные отображения68
 
 Глава 14
АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
   
14.1. Разрывные группы и дробно-линейные преобразования73
14.1.1. Дробно-линейные преобразования73
14.1.2. Неподвижные точки. Классификация преобразований75
14.1.3. Разрывные группы76
14.1.4. Фундаментальная область76
14.2. Определение автоморфных функций78
14.3. Группа икосаэдра79
14.4. Параболические преобразования81
14.5. Бесконечная циклическая группа с двумя неподвижными точками83
14.6. Эллиптические модулярные функции84
14.6.1. Модулярная группа84
14.6.2. Модулярная функция J(z)85
14.6.3. Подгруппы модулярной группы88
14.6.4. Модулярные уравнения90
14.6.5. Приложения к теории чисел91
14.7. Общая теория автоморфных функций91
14.7.1. Классификация групп91
14.7.2. Общие теоремы об автоморфных функциях92
14.8. Существование и конструкция автоморфных функций93
14.8.1. Общие замечания93
14.8.2. Римановы поверхности94
14.8.3. Автоморфные формы. Тета-ряды Пуанкаре94
14.9. Униформизация96
14.10. Некоторые частные виды автоморфных функций97
14.10.1. Функции треугольника Римана–Шварца97
14.10.2. Автоморфные функции Бернсайда98
14.11. Модулярные группы Гильберта98
14.12. Функции Зигеля99
 
 Глава 15
ФУНКЦИИ ЛАМЕ
   
15.1. Введение103
15.1.1. Координаты, связанные с конфокальными областями второго порядка103
15.1.2. Координаты конфокальных конусов106
15.1.3. Координаты конфокальных циклид вращения107
15.2. Уравнение Ламе111
15.3. Уравнение Гойна112
15.4. Решения общего уравнения Ламе116
15.5. Функции Ламе117
15.5.1. Вещественные периоды функции Ламе117
15.5.2. Функции Ламе с чисто мнимым периодом. Формулы преобразования122
15.5.3. Интегральные уравнения для функций Ламе124
15.5.4. Вырожденные случаи126
15.6. Функции Ламе–Вангерина126
15.7. Эллипсоидальные и сферо-конические гармоники130
15.8. Гармоники, связанные с циклидами вращения133
 
 Глава 16
ФУНКЦИИ МАТЬЕ,
СФЕРОИДАЛЬНЫЕ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
   
16.1. Введение136
16.1.1. Координаты эллиптического цилиндра136
16.1.2. Координаты вытянутого эллипсоида вращения (вытянутого сфероида)138
16.1.3. Координаты сжатого эллипсоида вращения (сжатого сфероида)139
16.1.4. Эллипсоидальные координаты140
 
Функции  Матье
 
16.2. Общее уравнение Матье и его решение141
16.3. Приближения, интегральные соотношения и интегральные уравнения для решений общего уравнения Матье146
16.4. Периодические функции Матье151
16.5. Разложения функций Матье и функций второго рода155
16.6. Модифицированные функции Матье158
16.7. Приближения и асимптотические формы162
16.8. Ряды, интегралы, задачи разложения165
 
Сфероидальные  волновые  функции
 
16.9. Дифференциальное уравнение для сфероидальных волновых функций и его решение169
16.10. Дальнейшие разложения, приближения, интегральные соотношения175
16.11. Сфероидальные волновые функции179
16.12. Приближения и асимптотические формы для сфероидальных волновых функций183
16.13. Ряды и интегралы, содержащие сфероидальные волновые функции187
 
Эллипсоидальные  волновые  функции
 
16.14. Волновое уравнение Ламе189
 
 Глава 17
ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
   
17.1. Элементарные теоретико-числовые функции, порождаемые дзета-функцией Римана194
17.1.1. Обозначения и определения194
17.1.2. Явные выражения и производящие функции196
17.1.3. Соотношения и свойства197
17.2. Разбиения200
17.2.1. Обозначения и определения200
17.2.2. Разбиения и производящие функции201
17.2.3. Свойства сравнений203
17.2.4. Асимптотические формулы и родственные вопросы204
17.3. Представления в виде суммы квадратов204
17.3.1. Определения и обозначения204
17.3.2. Формулы для rk(n)206
17.4. Функция Рамануджана207
17.5. Символ Лежандра–Якоби209
17.6. Тригонометрические суммы и связанные с ними вопросы210
17.7. Дзета-функция Римана и распределение простых чисел211
17.8. Характеры и L-ряды215
17.9. Дзета-функция Эпштейна217
17.10. Целочисленные решетки218
17.11. Тождества для функций Бесселя219
 
 Глава 18
РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
   
18.1. Функция Миттаг-Лефлера Eα(z) и связанные с ней функции221
18.2. Тригонометрические и гиперболические функции порядка n226
18.3. Функция ν(x) и родственные функции229
 
 Глава 19
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
  
Часть  первая.  Общий  обзор
 
19.1. Введение236
19.2. Типичные примеры применения производящих функций237
19.3. Общие теоремы242
19.4. Символические соотношения246
19.5. Асимптотические представления249
 
Часть  вторая.  Формулы
 
19.6. Рациональные и алгебраические функции. Степени с произвольными показателями250
19.7. Показательные функции253
19.8. Логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Другие элементарные функции и их интегралы261
19.9. Функции Бесселя. Вырожденные гипергеометрические функции и их частные случаи (функции параболического цилиндра и др.)264
19.10. Гамма-функция. Функции Лежандра и гипергеометрическая функция Гаусса. Обобщённые гипергеометрические функции266
19.11. Производящие функции для многих переменных269
19.12. Некоторые производящие функции, связанные с ортогональными многочленами271
19.13. Производящие функции для некоторых непрерывных ортогональных систем274
 
Цитированная литература
278
Именной указатель291
Предметный указатель293
Указатель важнейших обозначений  298


ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

Вряд ли есть необходимость много говорить о важности специальных функций для любого учёного и инженера, имеющего дело с практическим применением дифференциальных уравнений. Решение самых разных задач, относящихся к теплопроводности и динамике, электромагнитным колебаниям и аэромеханике, квантовой механике и теории потенциала, приводит к специальным функциям. Чаще всего они появляются при решении дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных.

Разнообразие задач, приводящих к специальным функциям, вызвало быстрый рост числа функций, применяемых в приложениях. Уже давно появились многочисленные руководства по теории специальных функций. К числу таких руководств, сравнительно полно охватывающих состояние науки на период составления, принадлежит известный «Курс современного анализа» Уиттекера и Ватсона (Физматгиз, 1961–1962). Ряд книг посвящён теории отдельных классов специальных функций (функций Бесселя, Лежандра, Матье и т.д.). Однако объём этих книг делает их не слишком удобными для использования (например, трактат Ватсона по функциям Бесселя содержит почти 800 страниц). Поэтому наряду с монографиями стали появляться справочники, содержащие формулы и самые краткие пояснения (одним из лучших справочников такого типа является книга: И. С. Градштейн и И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, изд. 4, Физматгиз, 1963). Но такими справочниками можно пользоваться, лишь владея уже теорией соответствующего класса функций.

Предлагаемая вниманию читателя книга занимает как бы промежуточное положение между этими двумя типами изданий. Она содержит краткие, но весьма ясно написанные выводы основных свойств изучаемых функций, по которым человек, не владеющий теорией, может её изучить. Но, кроме того, в неё включены многочисленные списки формул, касающихся наиболее важных специальных функций. Наконец, каждая глава книги сопровождается списком использованной литературы (помещённым в конце книги), что позволяет читателю найти дополнительную информацию об изучаемых функциях.

Эта книга была задумана (в несколько ином и более обширном виде) профессором Калифорнийского технологического института Гарри Бейтменом, одним из крупнейших американских специалистов в области классического анализа и его приложений к аэро- и гидромеханике, электромагнитной теории, термодинамике, геофизике и т.д. В течение двух десятков лет он собирал рассеянные по различным монографиям и периодической литературе сведения о специальных функциях: их свойствах, интегральных и иных представлениях, связях между различными классами специальных функций, определённых интегралах, содержащих специальные функции, и т.д. В результате этой работы была составлена гигантская картотека, содержавшая почти всё, что касалось указанных вопросов, а также теории дифференциальных уравнений математической физики, интегральных уравнений и т.д.

Последовавшая в 1946 году смерть Бейтмена прервала его работу над задуманной энциклопедией классического анализа. Для обработки собранного материала был создан штаб во главе с известным английским математиком А. Эрдейи, в который вошли немецкие учёные В. Магнус и Ф. Оберхеттингер и итальянский математик Ф. Трикоми.

Эти учёные вместе с руководимой ими группой молодых математиков создали, используя материалы Бейтмена, уникальный труд по теории специальных функций и интегральных преобразований. Он состоит из трёх томов под общим названием «Высшие трансцендентные функции» и двух томов «Интегральных преобразований». Первые три тома охватывают все важные классы специальных функций: гамма- и бета-функции, гипергеометрическая функция и вырожденная гипергеометрическая функция, всевозможные обобщения гипергеометрических функций (функции Мейера, Мак-Роберта и др.), функции и многочлены Лежандра, функции Бесселя, функции параболического цилиндра, неполная гамма-функция, интегральный синус и косинус, интеграл вероятности, всевозможные классы ортогональных многочленов от одного и нескольких переменных, гармонические функции нескольких переменных, эллиптические функции и интегралы, автоморфные функции, функции Ламе и Матье, дзета-функция Римана и т.д. Для каждого из этих классов функций даны рекуррентные соотношения, дифференциальные уравнения, интегральные представления, асимптотические формулы, различные теоремы сложения, неравенства и т.д.

Как уже говорилось, к этому трёхтомнику примыкает двухтомник «Интегральные преобразования». Он содержит подробные таблицы для преобразования Фурье (обычного, а также по синусам и косинусам), Лапласа (прямого и обратного), Меллина, Ганкеля, Канторовича–Лебедева, Гильберта, Стилтьеса и многочисленных других интегральных преобразований. Таким образом, пять томов справочника охватывают в своей совокупности почти весь гигантский материал, накопленный в теории специальных функций и интегральных преобразований за двухсотлетнюю историю их развития (до конца 40-х годов). По полноте охвата материала и плотности информации справочник не имеет себе равных в мировой литературе.

Несомненно, что эта энциклопедия классического математического анализа окажется полезной весьма широкому кругу читателей. Физики-теоретики и экспериментаторы, исследователи в области прикладного анализа и уравнений математической физики, инженеры, сталкивающиеся с решением дифференциальных уравнений, будут пользоваться этой книгой наряду с математиками самых различных специальностей.

Настоящий выпуск содержит теорию гипергеометрической функции и её обобщений и частных случаев (в частности, функций и многочленов Лежандра). Кроме того, в нём изложена теория гамма- и бета-функций.

Для облегчения пользования книгой многие применяемые авторами обозначения были заменены на обозначения, принятые в Советском Союзе (например, мы пишем arcsin x вместо sin–1x, ln x вместо log x и т.д.).

Доктор физико-математических наук,
профессор
Н. Я. Виленкин 


ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемая вниманию читателя книга является первой частью труда, который может рассматриваться как современная версия знаменитого «Курса современного анализа» Уиттекера и Ватсона, точнее, второй части этого курса, посвящённой теории трансцендентных функций. Бейтмен (который был учеником Уиттекера) задумал свой «Путеводитель по функциям» в гигантских масштабах. Кроме детального изложения свойств наиболее важных функций, труд должен был содержать историю их возникновения, основные относящиеся к ним формулы и библиографию, касающуюся всех специальных функций. Эти функции были каталогизированы и расклассифицированы в зависимости от способа их определения: с помощью степенных рядов, производящих функций, бесконечных произведений, последовательного дифференцирования, неопределённых интегралов, определённых интегралов, дифференциальных уравнений, разностных уравнений, функциональных уравнений, тригонометрических рядов, рядов по ортогональным функциям и интегральных уравнений. Таблицы интегральных представлений специальных функций и таблицы значений для некоторых новых функций должны были войти в этот «Путеводитель». Наконец, он должен был содержать подробные таблицы определённых интегралов от специальных функций и список таблиц значений для этих функций.

Трудно переоценить значение задуманного Бейтменом труда. Не имеющая себе равных осведомлённость его в математической литературе, как современной, так и давно опубликованной, а также его непревзойдённое усердие должны были сделать этот труд наиболее авторитетным изложением широкой области классического анализа и, во многих отношениях, устанавливающим общепризнанные стандарты — своеобразным Большим оксфордским словарём для теории специальных функций.

Реалистическая оценка наших возможностей и отведённого времени привела к коренному пересмотру планов Бейтмена. Лишь сам Бейтмен обладал достаточной эрудицией для того, чтобы охватить теорию всех функций. Таким образом, нам пришлось ограничиться изложением (вероятно, менее подробным, чем это было задумано Бейтменом) самых существенных свойств тех специальных функций, которые мы рассматривали как наиболее важные. Разумеется, происшедшее в результате этого пересмотра обеднение содержания книги весьма прискорбно. Однако мы позволяем себе надеяться, что оно в некоторой мере уравновешивается достигнутым в результате сокращением объёма и большей прозрачностью структуры. Мы надеемся, что хотя получившаяся книга по широте охвата материала уступает задуманной Бейтменом, но в пределах намеченной нами сферы она окажется более удобной для использования.

Составление книги. Изложим кратко, как была написана эта книга. Сначала мы составили подробный перечень содержания книги. После этого каждый из руководящих работников штаба взял на себя написание определённых глав. В выполнении этой задачи им помогали более молодые сотрудники штаба. Однако главной обязанностью последних было составление таблиц интегральных преобразований, которые будут опубликованы отдельно. Наконец, написанные главы были просмотрены и отредактированы, чтобы достигнуть их согласованности. Из шести глав, вошедших в первую часть книги, Магнус писал гл. 2 и 4, Оберхеттингер — 1 и 3, Эрдейи — 5 и Трикоми — 6. Взаимозависимость отдельных глав делала желательным сотрудничество авторов. Например, в теории функций Лежандра используются гипергеометрические ряды и, в соответствии с этим, Магнус и Оберхеттингер планировали свою работу так, чтобы достичь необходимой согласованности. Точно так же взаимозависимы гл. 2, 4 и 5, а потому Магнус и Эрдейи согласовывали свои планы.

В результате получился труд, содержащий главы весьма различного характера. Различие в изложении зависит в некоторой степени от индивидуальных вкусов основных авторов, но в значительно большей степени от того, что каждый класс функций требовал особого подхода. В тех случаях, когда рассматриваемые функции часто встречаются и имеют важные приложения, мы старались давать достаточно подробное дедуктивное изложение, сопровождаемое ссылками на литературу. Такие главы носят скорее характер учебника, за исключением того, что доказательства в них часто лишь намечаются, а не проводятся детально. С другой стороны, в случаях, когда изучаемые функции не играют большой роли в прикладной математике, мы ограничивались кратким изложением сведений об этих функциях, не выводя, как правило, их свойств. Наиболее характерным примером такого стиля изложения в этом томе является, вероятно, гл. 5. Встречаются и функции, общая теория которых может быть весьма кратко изложена, но практическое применение их связано с громадным набором формул, которые трудно изложить в удобном виде. В этих случаях мы включали в главу списки соответствующих формул либо как часть текста, либо как дополнение к главе. В связи с этим надо отметить, что, насколько нам известно, воспроизведённая в гл. 2 таблица Гурса всех квадратичных преобразований гипергеометрического ряда была ранее весьма труднодоступной; это же справедливо и относительно полного анализа вырожденного случая гипергеометрического уравнения (см. 2.2.2). В случае функций Бесселя проблема состояла в том, что результаты, полученные до 1922 года, были полно и систематично изложены в известном трактате Ватсона, в то время как многочисленные результаты, полученные после 1922 года, были рассеяны по различным источникам. В этом случае мы приняли решение менее подробно излагать результаты, содержащиеся в книге Ватсона, сосредоточив усилия на результатах, которые не были столь легко доступны читателю. Коротко говоря, практически каждый класс функций требовал особого подхода, и мы без колебаний решали возникавшие проблемы индивидуально в каждом случае. Для каждого случая мы искали решение, казавшееся нам наилучшим, жертвуя во многих случаях единством изложения.

Каждая глава сопровождается списком литературы [Весь список литературы вынесен в конец книги. Прим. ред.], содержащим не только материалы, на которых было основано изложение в этой главе, но и те, которые необходимы читателю для поисков дальнейшей информации. Степень полноты этих списков зависела от индивидуальных вкусов авторов, а также от степени важности и характера функций. Следует отметить, однако, что ни в одном случае список литературы не исчерпывает всей библиографии, относящейся к данному классу функций. Задача составления систематической библиографии, относящейся к изучаемым функциям, неразрешима с помощью имевшихся в наличии сил; кроме того, такая библиография слишком увеличила бы объём книги.

Мы старались включать в эту книгу в основном функции, встречающиеся в прикладной математике. Выбор включаемых функций, равно как и выбор обозначений, делался исходя из принятого в математике. Например, для вырожденной гипергеометрической функции есть много обозначений. Мы использовали лишь два из них, обычно применяемые в математических работах, и кратко указали на другие обозначения; однако мы не касались обозначений, используемых в квантовой механике. Мы исключали малоизученные в математике специальные функции даже в тех случаях, когда для них существуют подробные таблицы, или они полезны в некоторых практических вопросах. С другой стороны, мы включили некоторые специальные функции, которых обычно не касаются в трудах подобного рода, например функции, встречающиеся в теории чисел, или некоторые специальные виды автоморфных функций. Главы, посвящённые этим функциям, следует рассматривать как пробные, и мы вполне отдаём себе отчёт в том, насколько проблематичным является такое добавление к обычному семейству специальных функций.

По большей части мы не смогли широко использовать обширные заметки Бейтмена; нам оказалось легче составить разделы, касающиеся различных функций, используя свои знания об этих функциях и дополняя их путём обычных поисков в доступной нам литературе. Однако в некоторых случаях заметки Бейтмена были широко использованы. Глава о производящих функциях возникла благодаря составленному Бейтменом каталогу производящих функций, и при её составлении мы широко пользовались этим каталогом.

Обозначения и ссылки. При выборе обозначений возникли своеобразные затруднения. Существуют специальные функции, например функции Бесселя первого рода, для которых есть общепринятые стандартные обозначения. В то же время в некоторых случаях, например для вырожденных гипергеометрических функций, имеется много существенно различных и независимых обозначений. Наиболее затруднительные проблемы возникали в связи с функциями, для которых более или менее одинаковые символы применяются в нескольких различных смыслах. Многочлены Эрмита обычно обозначают через Hn(x) или Hen(x), но иногда этими символами обозначают многочлены, возникающие при повторном дифференцировании функции ехр(–x2), а иногда — при повторном дифференцировании exp(–x2/2). Кроме того, одни авторы включают множитель n!, а другие этого не делают. Мы старались придерживаться на протяжении всей книги одних и тех же обозначений. Наиболее существенное отклонение от этого принципа произошло для вырожденной гипергеометрической функции: в большей части книги мы обозначаем её 1F1, но в гл. 6 (и некоторых следующих главах) тот же ряд обозначается символом Φ (а второе решение вырожденного гипергеометрического уравнения — символом Ψ).

Насколько это возможно, мы следовали обычным обозначениям. Для функций Бесселя были использованы обозначения, применявшиеся Ватсоном в его монументальном труде, для ортогональных многочленов мы использовали обозначения Сегё (за исключением обозначения Cnν для ультрасферических многочленов). Что касается функций Лежандра, то мы, следуя книгам Янке–Эмде и Магнуса–Оберхеттингера, а также некоторым другим авторам, различали определение функций Лежандра, применимое для отрезка [–1, 1], и определение, применимое во всей комплексной плоскости, исключая этот отрезок. В сомнительных случаях мы использовали обозначения, применённые в более удобных или более обширных таблицах. Мы придерживались обозначений, применяемых в таблицах, и в случаях, когда считали, что с математической точки зрения предпочтительнее были бы иные обозначения. Все обозначения истолковываются в том месте, где они впервые встречаются. В конце тома приложены указатель обозначений, который должен помочь читателю выяснить смысл каждого обозначения, применяемого в этой книге, и предметный указатель, в котором приведены обозначения для любой функции, встречающейся в тексте.

Многие главы книги можно читать независимо от остальных, но встречаются и многочисленные перекрестные ссылки. Внутри каждого пункта равенства обозначаются просто с помощью номеров. Если данное равенство используется в другом пункте, оно обозначается с помощью номера пункта, дополненного номером равенства. Таким образом (3) обозначает равенство (3) пункта, в котором делается ссылка, а 2.1(3) обозначает ссылку на равенство (3) из пункта 2.1. Ссылки на литературу даются путём указания фамилии автора и года публикации.

Сложность и объём выполненной работы делают тщетной надежду на то, что нам удалось полностью избежать ошибок в выводах и опечаток. Подписавшийся будет благодарен за все исправления, которые могут оказаться весьма полезными в случае, если понадобится второе издание книги.

В заключение я хочу выразить благодарность от имени всего штаба проекта Калифорнийскому технологическому институту и особенно декану Е. Ватсону за то, что они начали эту работу и оказывали нам большую поддержку во всех проблемах, с которыми нам пришлось сталкиваться. Я выражаю также благодарность всем моим коллегам, без содействия которых этот труд не мог бы появиться в свет.

А. Эрдейи 

Hosted by uCoz