3893 Кб  
 

Предисловие3
 
 Глава I.
Функциональный анализ и операторные методы
§ 1. Пространства Соболева. Обобщённые функции5
§ 2. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Фурье12
§ 3. Линейные операторы в пространствах Соболева15
§ 4. Метод Хевисайда решения обыкновенных дифференциальных уравнений18
§ 5. Операторный метод решения разностных уравнений с постоянными коэффициентами21
 
 Глава II.
Уравнение Гамильтона–Якоби
§ 6. Эволюционное уравнение Гамильтона–Якоби в малом24
§ 7. Решение задачи Коши с помощью лагранжевых поверхностей27
§ 8. Преобразование Лежандра и его связь с уравнением Гамильтона–Якоби29
§ 9. Лагранжевы поверхности, гамильтоновы векторные поля, симплектическая структура на фазовом пространстве34
§10. Лагранжева задача Коши37
§11. Лагранжева задача Коши для эволюционного уравнения Гамильтона–Якоби39
 
 Глава III.
Редукция дифференциальных уравнений с симметриями и метод разделения переменных
§12. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби42
§13. Симметрии уравнения Гамильтона–Якоби45
§14. Применение симметрий для решения дифференциальных уравнений первого порядка49
 
 Глава IV.
Метод ВКБ
§15. Метод стационарной фазы52
§16. Метод ВКБ для одномерного уравнения Шрёдингера55
§17. Метод A-характеристик построения асимптотических решений дифференциальных уравнений в малом58
§18. Обобщённый метод ВКБ для систем A-дифференциальных уравнений в малом66
 
 Глава V.
Канонический оператор Маслова. Построение асимптотических решений A-дифференциальных уравнений в целом
§19. Канонические элементы на лагранжевом многообразии73
§20. Канонический оператор на лагранжевом многообразии77
§21. Асимптотические решения (в целом) уравнений математической физики80
§22. Асимптотика собственных значений и собственных функций h–1-дифференциальных операторов84
 
Ответы и решения
88
Литература263
Указатель обозначений  266



ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый читателю сборник задач составлен на основе материала практических занятий по курсу «Уравнения математической физики» и ряду специальных курсов, которые читаются кафедрой прикладной математики Московского института электронного машиностроения. В книге отражены три круга вопросов: теория обобщённых функций и операторные методы, методы интегрирования уравнения Гамильтона–Якоби, асимптотические методы.

В главе I собраны задачи, в которых обобщённые функции рассматриваются как элементы нормированных пространств Соболева. Преобразование Фурье используется в качестве инструмента теоретического исследования и решения дифференциальных уравнений. Теория операторов представлена операторными методами решения дифференциальных и разностных уравнений.

В главе II даны задачи на построение решений уравнения Гамильтона–Якоби в координатном, импульсном и координатно-импульсном представлении с помощью лагранжевых многообразий.

В главе III рассмотрен метод разделения переменных для уравнения Гамильтона–Якоби и его современный вариант, основанный на применении симметрии дифференциальных уравнений.

Глава IV содержит задачи на применение стандартного метода ВКБ построения асимптотических решений дифференциальных уравнений и его обобщение на так называемые A-дифференциальные уравнения и системы уравнений, играющие важную роль в математической физике (уравнения Максвелла, Шрёдингера, магнитной гидродинамики, квантовой химии и т.д.).

Глава V посвящена применению канонического оператора Маслова для решения асимптотических задач математической физики. По трудности материала задачник неоднороден. Это объясняется тем, что часть задач соответствует общему курсу «Уравнения математической физики», а часть — специальным курсам. Последние задачи могут служить темами курсовых работ (в работах списка дополнительной литературы более подробно обсуждаются проблемы, затронутые в задачах повышенной трудности).

Во время работы над книгой авторы постоянно ощущали дружеское участие сотрудников и студентов кафедры прикладной математики МИЭМ, пользовались их советами и критическими замечаниями в адрес ротапринтной версии задачника. Мы благодарны всем своим коллегам и особенно В. Л. Дубнову, М. В. Карасёву, В. П. Маслову, Ю. А. Уханову. Авторы признательны В. С. Буслаеву за ряд полезных замечаний по рукописи книги и рецензентам за обстоятельные отзывы. Авторы благодарят научного редактора В. В. Кучеренко, оказавшего значительное влияние на содержание и характер излагаемого материала.

В книге В. В. Беловым написаны §§ 11, 18 и гл. V, Е. М. Воробьёвым §§ 1, 13, 14, 15, 16, остальной материал написан совместно.

Авторы

Hosted by uCoz