А.Н.Боголюбов, В.В.Кравцов. "Задачи по мат.физике"

2149 Кб

Предисловие			7

Глава I. Метод разделения переменных. Разложение по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля			8
§ 1.	Однородные граничные условия		8
§ 2.	Неоднородные граничные условия		14
§ 3.	Разложение по собственным функциям для эллиптического уравнения		15
§ 4.	Метод интегрального преобразования Фурье		17

Глава II. Задача Штурма-Лиувилля			23
§ 1.	Одномерный случай: отрезок.		24
§ 2.	Одномерный случай: периодические граничные условия		29
§ 3.	Собственные функции прямоугольника		30
§ 4.	Собственные функции прямоугольного параллелепипеда		32
§ 5.	Собственные функции круга		33
§ 6.	Собственные функции кругового сектора		37
§ 7.	Собственные функции кругового кольца		39
§ 8.	Собственные функции кругового кольцевого сектора		43
§ 9.	Собственные функции цилиндра		44
§ 10.	Собственные функции цилиндрического сектора		46
§ 11.	Собственные функции кругового тора прямоугольного сечения		47
§ 12.	Собственные функции сектора кругового тора прямоугольного сечения		48
§ 13.	Собственные функции шара		48
§ 14.	Собственные функции шарового слоя		52
§ 15.	Задачи на собственные функции для уравнения Шрёдингера		55
§ 16.	Задачи для самостоятельного решения		62

Глава III. Краевые задачи для уравнения Лапласа			69
§ 1.	Частные решения уравнения Лапласа в полярной системе координат		71
§ 2.	Краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга		73
§ 3.	Краевые задачи для уравнения Лапласа вне круга		74
§ 4.	Краевые задачи для уравнения Лапласа в круговом кольце		75
§ 5.	Краевые задачи для уравнения Лапласа в круговом секторе		83
§ 6.	Краевые задачи для уравнения Лапласа в кольцевом секторе		84
§ 7.	Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике		86
§ 8.	Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольном параллелепипеде		90
§ 9.	Краевые задачи для уравнения Лапласа в круговом цилиндре		95
§ 10.	Частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат		106
§ 11.	Краевые задачи для уравнения Лапласа в шаре		107
§ 12.	Краевые задачи для уравнения Лапласа вне шара		108
§ 13.	Краевые задачи для уравнения Лапласа в шаровом слое		109
§ 14.	Задачи для самостоятельного решения		116

Глава IV. Функция Грина оператора Лапласа			123

Глава V. Задачи для уравнения теплопроводности			140
§ 1.	Задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области с однородными граничными условиями		141
§ 2.	Задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области с неоднородными граничными условиями		157
§ 3.	Задачи для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой		169
§ 4.	Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой		177
	1.	Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с однородными граничными условиями	178
	2.	Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с неоднородными граничными условиями	186
	3.	Примеры решения задач	196
§ 5.	Задачи для уравнения теплопроводности в пространстве		201
§ 6.	Задачи для самостоятельного решения		211

Глава VI. Задачи для уравнения колебаний			217
§ 1.	Задачи для уравнения колебаний в ограниченной области с однородными граничными условиями		218
§ 2.	Задачи для уравнения колебаний в ограниченной области с неоднородными граничными условиями		237
§ 3.	Задачи для уравнения колебаний на бесконечной прямой		244
§ 4.	Задачи для уравнения колебаний на полупрямой		255
	1.	Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с однородными граничными условиями	255
	2.	Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с неоднородными граничными условиями	266
§ 5.	Задачи для уравнения колебаний на плоскости и в пространстве		274
§ 6.	Задачи для самостоятельного решения		283

Глава VII. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца			288
§ 1.	Частные решения уравнения Гельмгольца в полярной системе координат		288
§ 2.	Краевые задачи для уравнения Δu + k²u = 0 внутри круга		291
§ 3.	Краевые задачи для уравнения Δu + k²u = 0 вне круга		293
§ 4.	Краевые задачи для уравнения Δu + k²u = 0 в круговом кольце		295
§ 5.	Краевые задачи для уравнения Δu – k²u = 0 внутри круга		297
§ 6.	Краевые задачи для уравнения Δu – k²u = 0 вне круга		298
§ 7.	Краевые задачи для уравнения Δu – k²u = 0 в круговом кольце		299
§ 8.	Частные решения уравнения Гельмгольца в сферической системе координат		300
§ 9.	Краевые задачи для уравнения Δu + k²u = 0 внутри шара		303
§ 10.	Краевые задачи для уравнения Δu + k²u = 0 вне шара		304
§ 11.	Краевые задачи для уравнения Δu + k²u = 0 в шаровом слое		305
§ 12.	Краевые задачи для уравнения Δu – k²u = 0 внутри шара		308
§ 13.	Краевые задачи для уравнения Δu – k²u = 0 вне шара		308
§ 14.	Краевые задачи для уравнения Δu – k²u = 0 в шаровом слое		309
§ 15.	Примеры решения краевых задач для уравнения Гельмгольца		310
§ 16.	Задачи для самостоятельного решения		317

Приложение			320
§ 1.	Формула сложения для сферических функций		320
§ 2.	Теоремы сложения для цилиндрических функций		323
§ 3.	Суммирование некоторых рядов		329
§ 4.	Некоторые интегралы, содержащие цилиндрические функции		333
§ 5.	Справочный материал		338

Литература			349

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга является естественным дополнением пособия А. Г. Свешникова, А. Н. Боголюбова, В. В. Кравцова «Лекции по математической физике». Её основная цель — помочь студентам приобрести необходимые практические навыки исследования математических моделей физических явлений, являющихся краевыми или начально-краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С этой целью каждая глава пособия построена следующим образом. В начале каждого параграфа главы приводятся необходимые минимальные сведения теоретического характера, используемые для решения данного типа задач. Затем эти методы демонстрируются в работе, для чего даются примеры решения конкретных задач. В конце главы приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения.

Содержание пособия полностью соответствует курсу «Методы математической физики», читаемому на физическом факультете МГУ. Пособие написано на основе более чем двадцатилетнего опыта преподавания на физическом факультете Московского университета. Оно рассчитано в первую очередь на студентов физических специальностей университетов, но будет полезно и студентам инженерных специальностей и лицам, занимающимся математической физикой и прикладной математикой.

Авторы выражают свою глубокую благодарность заведующему кафедрой ВМ-1 Московского государственного института электронной техники (ТУ) профессору А. С. Поспелову, профессорам А. В. Ефимову, А. С. Ильинскому и С. Я. Секерж-Зеньковичу, взявшим на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний.

ЛИТЕРАТУРА

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. 1956.
Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Физматгиз, 1962.
Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.
Владимиров B.C., Михайлов В.П., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1974.
Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1985.
Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1993.
Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложение. Гос. издательство физ-мат. лит-ры, 1963.
Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1–3. М.: Наука, 1965–1967.