2149 Кб  
 

Предисловие7
 
 Глава I. Метод разделения переменных. Разложение по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля8
§ 1. Однородные граничные условия8
§ 2. Неоднородные граничные условия14
§ 3. Разложение по собственным функциям для эллиптического уравнения15
§ 4. Метод интегрального преобразования Фурье17
 
 Глава II. Задача Штурма-Лиувилля23
§ 1. Одномерный случай: отрезок.24
§ 2. Одномерный случай: периодические граничные условия29
§ 3. Собственные функции прямоугольника30
§ 4. Собственные функции прямоугольного параллелепипеда32
§ 5. Собственные функции круга33
§ 6. Собственные функции кругового сектора37
§ 7. Собственные функции кругового кольца39
§ 8. Собственные функции кругового кольцевого сектора43
§ 9. Собственные функции цилиндра44
§ 10. Собственные функции цилиндрического сектора46
§ 11. Собственные функции кругового тора прямоугольного сечения47
§ 12. Собственные функции сектора кругового тора прямоугольного сечения48
§ 13. Собственные функции шара48
§ 14. Собственные функции шарового слоя52
§ 15. Задачи на собственные функции для уравнения Шрёдингера55
§ 16. Задачи для самостоятельного решения62
 
 Глава III. Краевые задачи для уравнения Лапласа69
§ 1. Частные решения уравнения Лапласа в полярной системе координат71
§ 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга73
§ 3. Краевые задачи для уравнения Лапласа вне круга74
§ 4. Краевые задачи для уравнения Лапласа в круговом кольце75
§ 5. Краевые задачи для уравнения Лапласа в круговом секторе83
§ 6. Краевые задачи для уравнения Лапласа в кольцевом секторе84
§ 7. Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике86
§ 8. Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольном параллелепипеде90
§ 9. Краевые задачи для уравнения Лапласа в круговом цилиндре95
§ 10. Частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат106
§ 11. Краевые задачи для уравнения Лапласа в шаре107
§ 12. Краевые задачи для уравнения Лапласа вне шара108
§ 13. Краевые задачи для уравнения Лапласа в шаровом слое109
§ 14. Задачи для самостоятельного решения116
 
 Глава IV. Функция Грина оператора Лапласа123
 
 Глава V. Задачи для уравнения теплопроводности140
§ 1. Задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области с однородными граничными условиями141
§ 2. Задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области с неоднородными граничными условиями157
§ 3. Задачи для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой169
§ 4. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой177
1. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с однородными граничными условиями178
2. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с неоднородными граничными условиями186
3. Примеры решения задач196
§ 5. Задачи для уравнения теплопроводности в пространстве201
§ 6. Задачи для самостоятельного решения211
 
 Глава VI. Задачи для уравнения колебаний217
§ 1. Задачи для уравнения колебаний в ограниченной области с однородными граничными условиями218
§ 2. Задачи для уравнения колебаний в ограниченной области с неоднородными граничными условиями237
§ 3. Задачи для уравнения колебаний на бесконечной прямой244
§ 4. Задачи для уравнения колебаний на полупрямой255
1. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с однородными граничными условиями255
2. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с неоднородными граничными условиями266
§ 5. Задачи для уравнения колебаний на плоскости и в пространстве274
§ 6. Задачи для самостоятельного решения283
 
 Глава VII. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца288
§ 1. Частные решения уравнения Гельмгольца в полярной системе координат288
§ 2. Краевые задачи для уравнения Δu + k2u = 0 внутри круга291
§ 3. Краевые задачи для уравнения Δu + k2u = 0 вне круга293
§ 4. Краевые задачи для уравнения Δu + k2u = 0 в круговом кольце295
§ 5. Краевые задачи для уравнения Δu – k2u = 0 внутри круга297
§ 6. Краевые задачи для уравнения Δu – k2u = 0 вне круга298
§ 7. Краевые задачи для уравнения Δu – k2u = 0 в круговом кольце299
§ 8. Частные решения уравнения Гельмгольца в сферической системе координат300
§ 9. Краевые задачи для уравнения Δu + k2u = 0 внутри шара303
§ 10. Краевые задачи для уравнения Δu + k2u = 0 вне шара304
§ 11. Краевые задачи для уравнения Δu + k2u = 0 в шаровом слое305
§ 12. Краевые задачи для уравнения Δu – k2u = 0 внутри шара308
§ 13. Краевые задачи для уравнения Δu – k2u = 0 вне шара308
§ 14. Краевые задачи для уравнения Δu – k2u = 0 в шаровом слое309
§ 15. Примеры решения краевых задач для уравнения Гельмгольца310
§ 16. Задачи для самостоятельного решения317
 
 Приложение320
§ 1. Формула сложения для сферических функций320
§ 2. Теоремы сложения для цилиндрических функций323
§ 3. Суммирование некоторых рядов329
§ 4. Некоторые интегралы, содержащие цилиндрические функции333
§ 5. Справочный материал338
 
Литература  349



ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга является естественным дополнением пособия А. Г. Свешникова, А. Н. Боголюбова, В. В. Кравцова «Лекции по математической физике». Её основная цель — помочь студентам приобрести необходимые практические навыки исследования математических моделей физических явлений, являющихся краевыми или начально-краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С этой целью каждая глава пособия построена следующим образом. В начале каждого параграфа главы приводятся необходимые минимальные сведения теоретического характера, используемые для решения данного типа задач. Затем эти методы демонстрируются в работе, для чего даются примеры решения конкретных задач. В конце главы приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения.

Содержание пособия полностью соответствует курсу «Методы математической физики», читаемому на физическом факультете МГУ. Пособие написано на основе более чем двадцатилетнего опыта преподавания на физическом факультете Московского университета. Оно рассчитано в первую очередь на студентов физических специальностей университетов, но будет полезно и студентам инженерных специальностей и лицам, занимающимся математической физикой и прикладной математикой.

Авторы выражают свою глубокую благодарность заведующему кафедрой ВМ-1 Московского государственного института электронной техники (ТУ) профессору А. С. Поспелову, профессорам А. В. Ефимову, А. С. Ильинскому и С. Я. Секерж-Зеньковичу, взявшим на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний.


ЛИТЕРАТУРА

  1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
  2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. 1956.
  3. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Физматгиз, 1962.
  4. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.
  5. Владимиров B.C., Михайлов В.П., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1974.
  6. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1985.
  7. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1993.
  8. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложение. Гос. издательство физ-мат. лит-ры, 1963.
  9. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1–3. М.: Наука, 1965–1967.

Hosted by uCoz