DIE GRUNDLEHREN
DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN


Band 148


K. CHANDRASEKHARAN

INTRODUCTION TO ANALYTIC
NUMBER THEORY
  К. ЧАНДРАСЕКХАРАН



ВВЕДЕНИЕ
В  АНАЛИТИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮ
ЧИСЕЛ


 

 Перевод с английского
С. А. СТЕПАНОВА

 Под редакцией 
А. И. ВИНОГРАДОВА



SPRINGER-VERLAG
 Berlin   Heidelberg   New York   1968 
 


ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
 МОСКВА   1974 
 





 
1230 Кб
 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ
 
Предисловие к русскому изданию
5
Предисловие6
 
Глава I. Теорема единственности разложения на простые сомножители
7
    § 1. Простые числа7
§ 2. Теорема единственности разложения на простые сомножители8
§ 3. Второе доказательство теоремы 210
§ 4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное12
§ 5. Последовательности Фарея14
§ 6. Бесконечность множества простых чисел17
 
Глава II. Сравнения
21
§ 1. Классы вычетов21
§ 2. Теоремы Эйлера и Ферма23
§ 3. Число решений сравнения27
 
Глава III. Аппроксимация иррациональных чисел рациональными и теорема Гурвица
30
§ 1. Аппроксимация иррациональных чисел30
§ 2. Суммы двух квадратов33
§ 3. Простые числа вида 4k±134
§ 4. Теорема Гурвица35
 
Глава IV. Квадратичные вычеты и представление чисел в виде суммы четырех квадратов
40
§ 1. Символ Лежандра40
§ 2. Теорема Вильсона и критерий Эйлера41
§ 3. Суммы двух квадратов44
§ 4. Суммы четырех квадратов47
 
Глава V. Квадратичный закон взаимности
50
§ 1. Квадратичная взаимность50
§ 2. Формула взаимности для обобщенных сумм Гаусса50
§ 3. Доказательство квадратичного закона взаимности56
§ 4. Некоторые приложения60
 
Глава VI. Арифметические функции и целые точки
63
§ 1. Общие замечания63
§ 2. Функция r(n)63
§ 3. Функция d(n)65
§ 4. Функция σ(n)74
§ 5. Функция Мёбиуса μ(n)77
§ 6. Функция Эйлера φ(n)81
 
Глава VII. Теорема Чебышёва о распределении простых чисел
87
§ 1. Функции Чебышёва87
§ 2. Теорема Чебышёва91
§ 3. Постулат Бертрана96
§ 4. Тождество Эйлера103
§ 5. Некоторые формулы Мертенса110
 
Глава VIII. Теоремы Вейля о равномерном распределении и теорема Кронекера
113
§ 1. Введение113
§ 2. Равномерное распределение в единичном интервале114
§ 3. Равномерное распределение по модулю 1116
§ 4. Теоремы Вейля118
§ 5. Теорема Кронекера123
 
Глава IX. Теорема Минковского о целых точках в выпуклых множествах
130
§ 1. Выпуклые множества130
§ 2. Теорема Минковского131
§ 3. Приложения137
 
Глава X. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
142
§ 1. Введение142
§ 2. Характеры145
§ 3. Суммы характеров. Соотношения ортогональности147
§ 4. Ряды Дирихле. Теорема Ландау150
§ 5. Теорема Дирихле159
 
Глава XI. Асимптотический закон распределения простых чисел
165
§ 1. Необращение в нуль функции ζ(1+it)165
§ 2. Теорема Винера–Икеары167
§ 3. Асимптотический закон распределения простых чисел173
 
Список литературы
176
Примечания177
Указатель  184



ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Эта книга предназначается для студентов старших курсов и призвана служить введением в ту простейшую область аналитической теории чисел, которая в основном восходит к знаменитой теореме Дирихле 1837 года о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии. Никакого предварительного знакомства с элементарной теорией чисел не предполагается.

Автор испытает чувство глубокого удовлетворения, если это русское издание, любезно подготовленное А. И. Виноградовым и С. А. Степановым, заинтересует студентов в Советском Союзе, который является родиной выдающихся специалистов по теории чисел.

21 марта 1973 г.   К. Чандрасекхаран


ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга возникла на основе курса лекций, прочитанных мною в Высшей технической школе в Цюрихе. Записи лекций, подготовленные в основном моими ассистентами, были опубликованы. Настоящая книга следует тому же общему плану, что и эти записи, однако и по стилю изложения (см., например, гл. III, V и VIII), и по степени подробностей они сильно различаются. Цель книги — познакомить неспециалистов с некоторыми основными результатами теории чисел, показать, как в теории чисел используются аналитические методы, и подготовить почву для последующего изучения более тонких вопросов. Книга опубликована в серии «Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften» благодаря интересу, проявленному к ней профессором Бено Экманом.

Я считаю своим долгом выразить признательность профессору Карлу Людвигу Зигелю, который прочитал рукопись и корректуру и сделал много ценных замечаний и предложений. Профессор Рагхаван Нарасимхан неоднократно помогал мне сделать изложение более ясным и доступным. Доктор Гарольд Даймонд прочитал корректуру и помог устранить некоторые неточности. Я считаю себя обязанным выразить им свою благодарность.

К. Ч.


УКАЗАТЕЛЬ

Абсцисса абсолютной сходимости ряда Дирихле 154

— сходимости ряда Дирихле 153

Арифметическая функция 25

— — вполне мультипликативная 103

— — мультипликативная 25

— — d(n) 65

— — D(N) 69

— — r(n) 63

— — R(N) 64

— — J(x) 89

— — Λ(n) 77

— — μ(n) 77

— — π(x) 87

— — σ(n) 74

— — φ(n) 23

— — Φ(t) 82

— — ψ(x) 89

Асимптотический закон распределения простых чисел 165

Бора доказательство теоремы Кронекера 126

Взаимно простые числа 10

Группа абелева 145

— циклическая 145

Делимость 7

Делитель 7

Дирихле L-функция 159

Дробная часть 113

Дробь 14

— несократимая 14

— правильная 14

— Фарея 14

Единственность ряда Дирихле 158

Зигеля доказательство теоремы Минковского 131

Каноническое разложение числа 8

Квадратичный вычет 40

— закон взаимности 50

— невычет 40

Класс вычетов 21

— — приведенный 22

Коэффициенты ряда Дирихле 105, 150

Кратное 7

Критерий Эйлера 43

Лемма Биркгофа 135

— Чебышёва 93

Линейно независимые числа 123

Медианта 16

Множество выпуклое 130

— симметричное 130

Модуль 10

— тривиальный 10

Наибольший общий делитель 10

Наименьшее общее кратное 12

Неравенство Чебышёва 101

Обобщенная сумма Гаусса 50

Образующий элемент группы 145

Определитель квадратичной формы 140

— решетки 137

Остаток 7

Отклонение 114

— по модулю 1   117

Положительно определенная квадратичная форма 140

Полоса условной сходимости ряда Дирихле 154

Полуплоскость сходимости ряда Дирихле 153

Последовательность Фарея 14

Постоянная Эйлера 71

Постулат Бертрана 97

Представление непримитивное 45

— примитивное 45

Произведение рядов Дирихле 157

Простое число 7

Простые числа Мерсенна 76

Прямая сходимости ряда Дирихле 153

Равномерно распределенная последовательность 114

— — — по модулю 1   116

Решетка 137

Римана дзета-функция 145

Ряд Дирихле 105, 150

Символ Лежандра 41

Система вычетов полная 23

— — — приведенная 23

Совершенное число 76

Соотношения ортогональности 146

Составное число 7

Сравнение 21

Сравнимость по модулю m   21

— по модулю 1   113

Сумма Гаусса 50

Теорема Адамара 166

— Валле-Пуссена 166

— Вейля 118

— Вильсона 41

— Винера–Икеары 168

— Гурвица 37

— Дирихле 113, 163

— Евклида 11

Теорема единственности разложения на простые сомножители 8

Теорема Кронекера 123

— Лагранжа о сравнениях 28

— Лагранжа о сумме квадратов 47

— Ландау 156

— Мертенса 82

— Минковского 131

— Пойа 19

— Ферма 24

— Чебышёва 91

— Эйлера 24

Тождество Эйлера 103

Трансляция множества 130

Формальное произведение рядов Дирихле 157

Формула Дирихле 73

— Зигеля 133

— Мертенса 110

— обращения Мёбиуса первая 78

— — — вторая 80

— Стирлинга 110

— суммирования Абеля 106

Функции Чебышёва 89

Функция Мангольдта 79

— Мёбиуса 77

— сумматорная 63

— Эйлера 23

Характер абелевой группы 145

— главный 145, 149

— по модулю m   149

Хинчина доказательство теоремы Гурвица 37

Целая точка 63

— часть 30

Целое кратное 7

Частное 7

Числа Мерсенна 76

— Ферма 18


Hosted by uCoz