1230 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ   Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие 6   Глава I. Теорема единственности разложения на простые сомножители 7     § 1.  Простые числа 7 § 2.  Теорема единственности разложения на простые сомножители 8 § 3.  Второе доказательство теоремы 2 10 § 4.  Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 12 § 5.  Последовательности Фарея 14 § 6.  Бесконечность множества простых чисел 17   Глава II. Сравнения 21 § 1.  Классы вычетов 21 § 2.  Теоремы Эйлера и Ферма 23 § 3.  Число решений сравнения 27   Глава III. Аппроксимация иррациональных чисел рациональными и теорема Гурвица 30 § 1.  Аппроксимация иррациональных чисел 30 § 2.  Суммы двух квадратов 33 § 3.  Простые числа вида 4k±1 34 § 4.  Теорема Гурвица 35   Глава IV. Квадратичные вычеты и представление чисел в виде суммы четырех квадратов 40 § 1.  Символ Лежандра 40 § 2.  Теорема Вильсона и критерий Эйлера 41 § 3.  Суммы двух квадратов 44 § 4.  Суммы четырех квадратов 47   Глава V. Квадратичный закон взаимности 50 § 1.  Квадратичная взаимность 50 § 2.  Формула взаимности для обобщенных сумм Гаусса 50 § 3.  Доказательство квадратичного закона взаимности 56 § 4.  Некоторые приложения 60   Глава VI. Арифметические функции и целые точки 63 § 1.  Общие замечания 63 § 2.  Функция r(n) 63 § 3.  Функция d(n) 65 § 4.  Функция σ(n) 74 § 5.  Функция Мёбиуса μ(n) 77 § 6.  Функция Эйлера φ(n) 81   Глава VII. Теорема Чебышёва о распределении простых чисел 87 § 1.  Функции Чебышёва 87 § 2.  Теорема Чебышёва 91 § 3.  Постулат Бертрана 96 § 4.  Тождество Эйлера 103 § 5.  Некоторые формулы Мертенса 110   Глава VIII. Теоремы Вейля о равномерном распределении и теорема Кронекера 113 § 1.  Введение 113 § 2.  Равномерное распределение в единичном интервале 114 § 3.  Равномерное распределение по модулю 1 116 § 4.  Теоремы Вейля 118 § 5.  Теорема Кронекера 123   Глава IX. Теорема Минковского о целых точках в выпуклых множествах 130 § 1.  Выпуклые множества 130 § 2.  Теорема Минковского 131 § 3.  Приложения 137   Глава X. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии 142 § 1.  Введение 142 § 2.  Характеры 145 § 3.  Суммы характеров. Соотношения ортогональности 147 § 4.  Ряды Дирихле. Теорема Ландау 150 § 5.  Теорема Дирихле 159   Глава XI. Асимптотический закон распределения простых чисел 165 § 1.  Необращение в нуль функции ζ(1+it) 165 § 2.  Теорема Винера–Икеары 167 § 3.  Асимптотический закон распределения простых чисел 173   Список литературы 176 Примечания 177 Указатель   184

Эта книга предназначается для студентов старших курсов и призвана служить введением в ту простейшую область аналитической теории чисел, которая в основном восходит к знаменитой теореме Дирихле 1837 года о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии. Никакого предварительного знакомства с элементарной теорией чисел не предполагается.

Автор испытает чувство глубокого удовлетворения, если это русское издание, любезно подготовленное А. И. Виноградовым и С. А. Степановым, заинтересует студентов в Советском Союзе, который является родиной выдающихся специалистов по теории чисел.

Эта книга возникла на основе курса лекций, прочитанных мною в Высшей технической школе в Цюрихе. Записи лекций, подготовленные в основном моими ассистентами, были опубликованы. Настоящая книга следует тому же общему плану, что и эти записи, однако и по стилю изложения (см., например, гл. III, V и VIII), и по степени подробностей они сильно различаются. Цель книги — познакомить неспециалистов с некоторыми основными результатами теории чисел, показать, как в теории чисел используются аналитические методы, и подготовить почву для последующего изучения более тонких вопросов. Книга опубликована в серии «Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften» благодаря интересу, проявленному к ней профессором Бено Экманом.

Я считаю своим долгом выразить признательность профессору Карлу Людвигу Зигелю, который прочитал рукопись и корректуру и сделал много ценных замечаний и предложений. Профессор Рагхаван Нарасимхан неоднократно помогал мне сделать изложение более ясным и доступным. Доктор Гарольд Даймонд прочитал корректуру и помог устранить некоторые неточности. Я считаю себя обязанным выразить им свою благодарность.

Абсцисса абсолютной сходимости ряда Дирихле 154

— сходимости ряда Дирихле 153

Арифметическая функция 25

— — вполне мультипликативная 103

— — мультипликативная 25

— — d(n) 65

— — D(N) 69

— — r(n) 63

— — R(N) 64

— — J(x) 89

— — Λ(n) 77

— — μ(n) 77

— — π(x) 87

— — σ(n) 74

— — φ(n) 23

— — Φ(t) 82

— — ψ(x) 89

Асимптотический закон распределения простых чисел 165

Бора доказательство теоремы Кронекера 126

Взаимно простые числа 10

Группа абелева 145

— циклическая 145

Делимость 7

Делитель 7

Дирихле L-функция 159

Дробная часть 113

Дробь 14

— несократимая 14

— правильная 14

— Фарея 14

Единственность ряда Дирихле 158

Зигеля доказательство теоремы Минковского 131

Каноническое разложение числа 8

Квадратичный вычет 40

— закон взаимности 50

— невычет 40

Класс вычетов 21

— — приведенный 22

Коэффициенты ряда Дирихле 105, 150

Кратное 7

Критерий Эйлера 43

Лемма Биркгофа 135

— Чебышёва 93

Линейно независимые числа 123

Медианта 16

Множество выпуклое 130

— симметричное 130

Модуль 10

— тривиальный 10

Наибольший общий делитель 10

Наименьшее общее кратное 12

Неравенство Чебышёва 101

Обобщенная сумма Гаусса 50

Образующий элемент группы 145

Определитель квадратичной формы 140

— решетки 137

Остаток 7

Отклонение 114

— по модулю 1   117

Положительно определенная квадратичная форма 140

Полоса условной сходимости ряда Дирихле 154

Полуплоскость сходимости ряда Дирихле 153

Последовательность Фарея 14

Постоянная Эйлера 71

Постулат Бертрана 97

Представление непримитивное 45

— примитивное 45

Произведение рядов Дирихле 157

Простое число 7

Простые числа Мерсенна 76

Прямая сходимости ряда Дирихле 153

Равномерно распределенная последовательность 114

— — — по модулю 1   116

Решетка 137

Римана дзета-функция 145

Ряд Дирихле 105, 150

Символ Лежандра 41

Система вычетов полная 23

— — — приведенная 23

Совершенное число 76

Соотношения ортогональности 146

Составное число 7

Сравнение 21

Сравнимость по модулю m   21

— по модулю 1   113

Сумма Гаусса 50

Теорема Адамара 166

— Валле-Пуссена 166

— Вейля 118

— Вильсона 41

— Винера–Икеары 168

— Гурвица 37

— Дирихле 113, 163

— Евклида 11

Теорема единственности разложения на простые сомножители 8

Теорема Кронекера 123

— Лагранжа о сравнениях 28

— Лагранжа о сумме квадратов 47

— Ландау 156

— Мертенса 82

— Минковского 131

— Пойа 19

— Ферма 24

— Чебышёва 91

— Эйлера 24

Тождество Эйлера 103

Трансляция множества 130

Формальное произведение рядов Дирихле 157

Формула Дирихле 73

— Зигеля 133

— Мертенса 110

— обращения Мёбиуса первая 78

— — — вторая 80

— Стирлинга 110

— суммирования Абеля 106

Функции Чебышёва 89

Функция Мангольдта 79

— Мёбиуса 77

— сумматорная 63

— Эйлера 23

Характер абелевой группы 145

— главный 145, 149

— по модулю m   149

Хинчина доказательство теоремы Гурвица 37

Целая точка 63

— часть 30

Целое кратное 7

Частное 7

Числа Мерсенна 76

— Ферма 18