MULTIPLICATIVE
NUMBER THEORY



H. DAVENPORT
  Г. ДЭВЕНПОРТ


МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ


 
 Перевод с английского
Е. П. ГОЛУБЕВОЙ

Под редакцией
Н. Г. ЧУДАКОВА
MARKHAM PUBLISHING COMPANY,
CHICAGO, 1967
 


ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО–МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 МОСКВА   1971 
 





 
1851 Кб
 
Оглавление
Предисловие редактора перевода3
Предисловие к русскому переводу5
Предисловие к английскому изданию5
1.Простые числа в арифметической прогрессии7
2.Сумма Гаусса19
3.Деление круга24
4.Простые числа в арифметической прогрессии; случай произвольного модуля34
5.Примитивные характеры44
6.Формула Дирихле для числа классов52
7.Распределение простых чисел64
8.Мемуар Римана69
9.Функциональное уравнение для L-функций75
10.Свойства Γ-функции82
11.Целые функции порядка 184
12.Бесконечные произведения для ξ(s) и ξ(s,χ)88
13.Граница нулей для ζ(s)94
14.Граница нулей для L(s,χ)98
15.Число N(T)109
16.Число N(T,χ)113
17.Точная формула для ψ(x)116
18.Асимптотический закон распределения простых чисел123
19.Точная формула для ψ(x,χ)127
20.Закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии (I)133
21.Теорема Зигеля138
22.Закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии (II)144
23.Метод большого решета147
24.Теорема Бомбьери: сведéние к оценке для N(α,T,χ)168
25.Применение теоремы Литлвуда175
26.Прямая σ = ½182
27.Прямая σ = 1186
28.Завершение доказательства теоремы Бомбьери187
29.Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем191
30.Краткий обзор других результатов194
Литература 198



Предисловие редактора перевода

На русском языке уже имеется достаточное количество монографий, излагающих современную теорию ζ-функции Римана и L-функций Дирихле. Перечень этих книг приложен.

Однако перевод небольшой книги английского математика Г. Дэвенпорта «Мультипликативная теория чисел» (лекции в Мичиганском университете в 1966 г.) оправдан тем, что в ней изложены подробно различные варианты метода большого решета, первоначальная идея которого принадлежит акад. Ю. В. Линнику. Автор посвятил целых 6 глав (гл. 23–28) изложению известных работ Бомбьери, который значительно уточнил этот метод в приложении к теории L-функций. Сам Дэвенпорт и его ученики Халберстам и Галлахер нашли более простые формы для теорем Бомбьери.

Метод большого решета позволяет получить сильные оценки числа нулей L-функций «в среднем», т.е. для всех характеров заданного интервала модулей. Подобные оценки весьма нужны для аддитивных задач с простыми числами; например, так называемая квази-гольдбахова проблема о представлении чисел суммами вида

n = p + a,

где p — простое, после работ Бомбьери и А. А. Бухштаба доведена до состояния, когда для почти всех n можно утверждать, что a состоит не более чем из двух простых сомножителей.

Эта же работа позволяет установить законы распределения простых чисел в арифметических прогрессиях «в среднем», т.е. для совокупности арифметических прогрессий, разности которых заключены в заданных интервалах.

Нужно отметить, что многочисленные применения большого решета были сделаны в работах советских математиков Ю. В. Линника, М. Б. Барбана, А. А. Бухштаба и др.

Наряду с указанной выше основной задачей автор книги излагает и классические факты теории L-функций: теорию характеров и функций Дирихле, вывод функционального уравнения для них, включая и исследование аналитических свойств этих функций; оценку числа N(T,χ) — числа нулей L(s,χ) в прямоугольнике высоты T, явные формулы для ψ(x,χ). Полученные результаты прилагаются к классической теории распределения простых в арифметической прогрессии.

Заключительная глава книги является обзором состояния исследования некоторых проблем распределения простых, например, иррегулярность поведения функции Чебышева ψ(x; q, a), оценка разности pn+1pn и др.

Изложение всех указанных вопросов отличается ясностью и точностью; от читателя требуется знание только элементарных сведений из теории чисел и анализа. Поэтому книга будет очень полезной для начинающих специалистов; но и опытный читатель также найдет в этой книге ценный материал справочного характера.

Н. Г. Чудаков


Предисловие к русскому переводу

Мне доставило большое удовольствие известие, что готовится русское издание моей книги под редакцией профессора Н. Г. Чудакова. Я надеюсь, что книга заинтересует советских математиков, которые внесли большой вклад в эту проблематику.

Я должен предупредить читателя, что книга не охватывает предмета в целом, поскольку я писал ее, имея в виду прежде всего ознакомить студентов с классическими результатами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях и затем с недавними работами Бомбьери, которые основаны на методе «большого решета».

Этот метод был открыт Ю. В. Линником в 1941 г., однако лишь в последнее время раскрылись все его возможности, которые, вероятно, далеко еще не исчерпаны.

Г. Дэвенпорт


Предисловие к английскому изданию

Основная цель этих лекций — дать связное изложение аналитической теории чисел в приложении к мультипликативным задачам, причем особое внимание уделено здесь вопросу о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Большинство излагаемых фактов ныне уже стали классическими и я в значительной степени следовал историческому порядку их открытия. Я также включил сюда материал, который хотя и известен специалистам, но тем не менее не содержится в существующих курсах.

Второй моей целью было доказать в этой книге все результаты, на которые ссылается Бомбьери в своей работе «О методе большого решета» (Mathematika, 1965, 12, 201–225) о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем, и закончить лекции изложением самой работы Бомбьери, которая, несомненно, сыграет важную роль в дальнейших исследованиях. Выбор материала, включенного сюда, в значительной мере определялся этим соображением. Все же я добавил короткий параграф, в котором приводятся ссылки на другие работы.

При подготовке лекций к печати я стремился создать как можно более доступное изложение предмета, даже ценой отказа от некоторых подробностей. Я надеюсь, что эта книга окажется полезной в качестве введения в существующую литературу по аналитической теории чисел.

Содержание §23 и §29 составляет работа, принадлежащая проф. Халберстаму и мне, и я признателен проф. Халберстаму за разрешение включить ее сюда. В первом из этих параграфов содержится изложение нашего варианта метода большого решета, а во втором теорема о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем, которая, по-видимому, явится полезным дополнением к результатам Бомбьери. В книге не рассматриваются другие методы решета, поскольку им посвящен следующий том этой серии, написанный профессорами Халберстамом и Ричертом.

Г. Дэвенпорт


1. Простые числа в арифметической прогрессии

Аналитическая теория чисел фактически началась с трудов Дирихле, в частности, с его работы 1837 г. о существовании простых чисел в данной арифметической прогрессии.

Задолго до Дирихле предполагали, что в каждой арифметической прогрессии

a,   a + q,   a + 2q,   ...,

в которой a и q взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел. Лежандр, который основывал некоторые из своих утверждений на этом предположении, безуспешно пытался доказать его. Впервые этот факт доказал Дирихле в упомянутой работе (Dirichlet's Werke I, стр. 313–342), и то, строго говоря, его доказательство было полным только в случае, когда q — простое число. В общем случае Дирихле вынужден был предположить справедливость своей формулы для числа классов, которую он доказал в статье 1839–1840 гг. (Werke I, стр. 411–496). В конце работы 1837 г. Дирихле утверждал, что у него есть другое, очень сложное и запутанное, доказательство нужного ему результата (т.е. того факта, что L(1,χ) ≠ 0 для любого неглавного действительного характера χ; см. §4), но мне неизвестны никакие другие указания на этот счет. Следуя Дирихле, я рассмотрю сначала более простой случай, когда q — простое число. Мы будем предполагать, что q>2, так как если q=2, то арифметическая прогрессия содержит все достаточно большие нечетные числа и утверждение тривиально.

Отправным пунктом для Дирихле, по его словам, явилось доказательство Эйлера существования бесконечного множества простых чисел. Пусть
ζ(s) =  n–s
n=1

для вещественных s>1; тогда тождество Эйлера имеет вид

ζ(s) =   (1 – p–s)–1,
 p

где s>1, а p пробегает все простые числа; это тождество эквивалентно утверждению о том, что любое натуральное число допускает единственное разложение на простые множители. Из этого тождества следует, что
ln ζ(s) =     m–1p–ms,
 pm=1

а поскольку ζ(s) → ∞  при  s → 1 + 0  и
    m–1p–ms     p–m =    1

 p(p – 1)

 < 1,
 p m=2  p m=2  p

то
    p–s → ∞
 p

при s → 1 + 0. Этим доказано существование бесконечного множества простых чисел и, более того, что ряд Σ p–1, где суммирование распространено на все простые числа, расходится. Дирихле намеревался доказать аналогичное утверждение, когда pa(mod q).

[· · ·]


30. Краткий обзор других результатов

Основным пробелом в этих лекциях является отсутствие какого-либо рода результатов об иррегулярности в распределении множества всех простых чисел или простых чисел в различных арифметических прогрессиях с данной разностью q.

В связи с вопросом об иррегулярности в распределении множества всех простых чисел, прежде всего следует заметить, что здесь уже не существует связи между поведением ψ(x) и π(x).

В 1903 г. Э. Шмидт доказал элементарными методами, что

ψ(x) – x = Ω±(√ x ),

где последнее выражение означает, что существуют произвольно большие x такие, что

ψ(x) – x > c x ,

где c — положительная постоянная и произвольно большие x такие, что

ψ(x) – x < –c x .

Однако аналогичная задача для π(x) – li x оказалась гораздо более трудной. На основе вычислений было высказано предположение, что π(x) < li x для больших x. Оно было опровергнуто Литлвудом в 1914 г. Он показал, что

 π(x) – li x = Ω±  (  x  ln ln ln x

ln x

)  .

В доказательстве Литлвуда 1 отдельно рассматривались два случая в зависимости от того, справедлива гипотеза Римана или нет, причём в первом случае возникают бóльшие трудности. Ввиду того, что доказательство носит не конструктивный характер, оно не даёт возможности указать число x0, обладающее тем свойством, что π(x) > li x для некоторого x < x0. Только в 1955 г. Скьюз 2 нашёл такое число; оно оказалось равным 104(2), где 101(x) = 10x, 102(x) = 10101(x) и так далее.

Вопрос об иррегулярности в распределении простых чисел по различным классам вычетов по модулю q был подробно изучен в недавних работах по относительной теории чисел Турана и Кнаповского 3. Невозможно изложить здесь все их результаты, но один простой результат мы всё-таки приведём. Предположим, что функция L(s,χ) при любом характере  χ (mod q) не имеет нулей в прямоугольнике

0 < σ < 1,     |t| < δ.

Тогда, если a1a2 (mod q), то разность

ψ(x, q, a1) – ψ(x, q, a2)

по меньшей мере один раз меняет знак в интервале

ω ≤ x ≤ exp(2√ω)

при условии, что ω больше некоторой известной функции от q и δ. Некоторые из их результатов не опираются на какие-либо недоказанные гипотезы. Работа Турана и Кнаповского частично основана на некоторых из методов, созданных недавно Тураном и изложенных в его книге Eine neue Methode in der Analysis und deren Anwendungen, (Budapest, 1953).

Задача о нахождении верхней границы для наименьшего простого числа в данной арифметической прогрессии была вполне удовлетворительно (учитывая её трудность) решена Ю. В. Линником 4. Он доказал, что существует абсолютная положительная постоянная C такая, что для взаимно простых a и q существует простое число p, удовлетворяющее условиям pa (mod q) и p < qC. Доказательство этого факта является сложным 5.

Задача о поведении pn+1pn, где pn обозначает n простое число, всегда привлекала большое внимание, однако все результаты, касающиеся её, далеки от желаемых. Первый общий результат о верхней границе этой разности получил Хосхайзель, который доказал, что существует постоянная α, меньшая 1, такая, что pn+1pn = O(pnα). Наилучший из известных сейчас результатов принадлежит Ингаму 6, который показал, что эта оценка справедлива при всех α, больших чем 38/61. В обоих этих случаях доказано, что

π(x + xα) – π(x) ~  xα

 ln x 

      при  x → ∞.

Грубо говоря, можно утверждать, что из асимптотического закона следует, что среднее значение для pn+1pn равно ln pn. Эрдёш первым доказал, что существует бесконечно много n, для которых pn+1pn существенно больше, чем ln pn, а Ранкин 7 доказал, что существует бесконечно много n, для которых

 pn+1pn > c ln pn   ln2 pn · ln4 pn 

(ln3 pn)2

 ,

где ln 2 x = ln ln x  и так далее, а c — положительная постоянная. С другой стороны, Бомбьери и я 8 доказали недавно, что существует бесконечно много p таких, что

pn+1pn < 0,46...·ln pn.

Разумеется, если верна гипотеза о простых близнецах, то существует бесконечно много n таких, что

pn+1pn = 2.

Совершенно парадоксальная ситуация сложилась в связи с вопросом о предельных точках последовательности

 pn+1pn

ln pn


Эрдёш и Риччи независимо показали, что множество предельных точек этой последовательности имеет положительную меру Лебега, и тем не менее не известно ни одного числа, которое принадлежало бы этому множеству.

Что касается источников, где можно ознакомиться с обзорами других работ по мультипликативной теории чисел, то тут прежде всего следует обратиться к работам Бора, Крамера и Хуа.

ПРИМЕЧАНИЯ
1.

См. Ингам, гл. 5, или Прахар, гл. 7 § 8. назад к тексту

2.

Proc. London Math. Soc. (3) 5, 48–69 (1955). назад к тексту

3.

Первая серия из восьми работ напечатана в Acta Math. Hungaricae 13 (1962) и 14 (1963), затем три работы в Acta Arithmetica 9, 10, 11 (1964–1965) и ещё одна работа в J. Analyse Math. 14 (1965). назад к тексту

4.

См. Прахар, гл. 10. назад к тексту

5.

См. так. Acta Arithmetica, IX (1964), стр. 375. назад к тексту

6.

Quarterly J. of Math. 8, 255–266 (1937); Прахар, гл. 9. назад к тексту

7.

J. London Math. Soc. 13, 242–247 (1938). назад к тексту

8.

Proc. Royal Soc. (London) A293, 1–18 (1966). назад к тексту



Литература

На приведенные ниже работы в тексте даны лишь краткие ссылки на фамилию автора или название.


Дополнительная литература на русском языке

Hosted by uCoz