The Otto Dunkel Memorial Problem Book		ЗАДАЧИ И ОЛИМПИАДЫ   Избранные задачи  ИЗ ЖУРНАЛА  "AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLY" Перевод с английского  Ю. А. ДАНИЛОВА  Под редакцией и с предисловием В. М. АЛЕКСЕЕВА
NEW YORK   1957		ИЗДАТЕЛЬСТВО · МИР · МОСКВА · 1977

СОДЕРЖАНИЕ   Предисловие редактора русского издания 5 I.  Задачи 13 II.  Решения и ответы 117 III.  Дополнение редактора русского издания 545 Предметный указатель   591     2875 Кб + 2992 Кб + 2784 Кб

Очертить круг читателей, которых наша книга заинтересует и кому она принесёт пользу, не легко. Поскольку это сборник задач — а задачи надо решать, — читатель, несомненно, должен быть любителем математики, притом любителем активным, которому размышление над трудной задачей доставляет удовольствие. Подобным энтузиастам эта книга даст обильную и достаточно разнообразную пищу, возможно, даже слишком разнообразную и не всегда легко усвояемую. В наш просвещённый век любителей математики гораздо больше, чем одних профессионалов, однако наверняка далеко не все из них принадлежат к числу активных. Таким образом, интересующий нас круг читателей, простираясь широко, перестаёт быть отчётливо очерченным и, возможно, изобилует лакунами.

По сравнению с уже вышедшими в серии «Задачи и олимпиады» ¹ сборник «Избранные задачи» более труден и рассчитан на весьма подготовленного читателя. Совсем элементарных задач «ни про что», не требующих никаких или почти никаких специальных познаний в математике, здесь сравнительно мало, процентов 10–15. С другой стороны, большая часть задач всё же не выходит за рамки стандартных курсов высшей математики втузов и пединститутов и для студентов 1–2 курсов вполне может служить нестандартным дополнением к традиционным задачникам, а окончившим эти вузы настоящий сборник поможет вспомнить забытое и узнать кое-что новое. Этой категории читателей может также принести пользу разбор решений и небольшой теоретический комментарий, приведённый в конце книги. Поэтому я не сомневаюсь, что среди активных читателей будут не только те, кто избрал математику своей профессией или кто дружит с ней сегодня, но и те, для кого общение с ней было приятным эпизодом в прошлом и кто хотел бы освежить в памяти своё знакомство с «царицей наук».

Успеху «Избранных задач», как мне кажется, благоприятствует ещё одно обстоятельство. Уже состоялись две Всесоюзные студенческие олимпиады по математике и предстоит третья. Если школьные математические олимпиады разных уровней давно популярны и неплохо обеспечены литературой, то со студенческими олимпиадами дело обстоит далеко не так. С этой точки зрения «Избранные задачи» выходят весьма своевременно. Как сами задачи, так и в ещё большей степени содержащиеся в них идеи могут дать богатый материал и для тренировки «олимпийцев», и для деятельности оргкомитетов, обычно испытывающих нужду в подобном материале.

Профессор Отто Данкел (1869–1951), памяти которого посвящён сборник, в течение двадцати восьми лет, с 1919 по 1946 г., был одним из редакторов отдела задач в журнале «American Mathematical Monthly», а с 1934 г. возглавлял этот отдел. Его неутомимая энергия, добросовестность и внимание к мелочам издательской деятельности во многом определили весь стиль отдела задач, который с самого начала издания журнала и по сей день занимает там значительное место.

После смерти О. Данкела руководство Американской математической ассоциации, официальным органом которой является «American Mathematical Monthly», приняло решение издать мемориальный сборник, отобрав для него 400 лучших задач из числа нескольких тысяч, опубликованных в журнале за период 1918–1950 гг. Разумеется, понятие «лучшая задача» является очень субъективным и решить проблему выбора было нелегко. Издатели нашли следующий выход. Они предложили ряду математиков (всего их было 24) — активным сотрудникам и корреспондентам журнала, авторам многих задач и решений — представить списки задач, которые те считают лучшими. После этого окончательный отбор был произведён в соответствии с числом голосов, полученных той или иной задачей.

Сборник «The Otto Dunkel Memorial Problem Book» появился в виде дополнительного выпуска журнала (American Mathematical Monthly, 64, № 7, Part II, 1957). Он содержит краткую биографию О. Данкела, очерк истории отдела задач журнала за 1894–1954 гг., условия 400 лучших задач, предметный указатель к задачам, опубликованным в журнале с 1918 по 1952 г., и указатель дат публикаций решений.

Настоящее издание «Избранных задач» из журнала «American Mathematical Monthly» не является переводом в буквальном смысле слова, поскольку для него не существует оригинала. Указанный выше мемориальный сборник послужил лишь прототипом, на основе которого была создана новая книга, входящая в серию «Задачи и олимпиады» и имеющая ту же композицию, что и две её предшественницы. По традиции условия задач составляют в ней первую часть. Далее переводчик книги Ю. А. Данилов собрал из различных выпусков журнала решения большинства задач, которые составили вторую часть книги. Поскольку задачи и их решения публиковались в течение нескольких десятилетий, собрать их было делом не лёгким. Дополнительные трудности вызывало отсутствие единства стиля, обусловленное как пестротой содержания, так и сменой поколений математиков. Поэтому условия задач (хотя и в небольшой степени) и особенно решения являются в этой книге не столько переводом американских оригиналов, сколько достаточно свободным их переложением. В условиях задач иногда приходилось менять реалии, иногда же текст редактировался и уточнялся, если того требовало решение.

Я прочитал все собранные решения задач и попытался взглянуть на них глазами современного читателя, этакого «среднего любителя» решать задачи, получившего стандартное математическое образование. Некоторые решения, оказавшиеся неудовлетворительными или мало понятными просто потому, что «хорошо известное» и «очевидное» математику 20-х годов не обязано быть таковым в 70-х, мною были переделаны или написаны заново. (В этих случаях после номера задачи стоит знак *.) При этом всюду, где можно, я старался сохранить идею и общий план оригинального рассуждения. Ряд задач оставлен без решения либо потому, что я не располагаю таковым (например, задачи 138 и 139), либо потому, что известное мне строгое решение (например, для задачи 260) не является достаточно простым для понимания и изложения. В нескольких случаях (задачи 150, 277 и все задачи на разрезание) приведено неполное решение (отсутствует доказательство минимальности), и тем самым читателю предоставляется возможность улучшить книгу. Все подобные места отмечены подстрочными примечаниями.

Встречающиеся в некоторых задачах ссылки на литературу мы, как правило, оставляли и по возможности указывали издания, более доступные советскому читателю.

Наконец, в тех случаях, когда мне казалось, что «средний любитель» математики может оказаться в затруднении и ему понадобится справка, относящаяся к какому-либо мало популярному ныне разделу математики, я дополнял решение сведениями из теории или небольшим комментарием. В совокупности это составило третью часть книги. Как правило, здесь изложены лишь факты, а доказательства если и приводятся, то самые краткие. Активный читатель, зная формулировки, может попытаться найти доказательства самостоятельно, и, следовательно, он получает ещё некоторое число задач сверх четырёхсот.

Конечно, содержание третьей части весьма субъективно, и, возможно, какие-то места книги останутся для читателя не вполне ясными, а какие-то покажутся слишком разжёванными. Не исключая подобной возможности, я всё же надеюсь, что большинство читателей найдёт задачи и их решения вполне удовлетворительными.

История создания этого сборника объясняет пестроту его содержания. К тому же мы сохранили порядок задач оригинала, приблизительно хронологический, а не тематический. Поэтому прежде всего я рекомендую читателю просмотреть хотя бы бегло, но от начала до конца весь раздел «Условия задач». Предметный указатель также может помочь отобрать те задачи, которые вам по вкусу.

Среди задач сборника есть более и менее удачные, совсем лёгкие и довольно трудные. Некоторые задачи (например, 167, 209, 289) мне так понравились, что я усиленно рекламировал их своим друзьям и знакомым.

Значительное место в сборнике занимают задачи по математическому анализу и алгебре, которые можно отнести также к задачам по курсу высшей математики втуза (определители, вычисление интегралов, простейшие дифференциальные уравнения, ряды). Впрочем, иногда для решения этих задач совсем неожиданно приходится прибегать к помощи других разделов математики. Например, в задаче 256 пришлось воспользоваться теорией разложения целых чисел в сумму двух квадратов.

Не менее значительное место занимает теория чисел (делимость, диофантовы уравнения и пр.). Мне лично доставило большое удовольствие разобраться в задаче 209 о целочисленных точках на сфере.

Богато представлена в сборнике почти вышедшая ныне из моды синтетическая проективная геометрия. Например, задача 167 о прямых, касающихся одной параболы, может быть рекомендована любителям изящных задач. Наконец, и любители развлекательных задач, несомненно, найдут для себя кое-что интересное (задача 312 о служащих банка, прекрасная задача 277 про беспосадочный перелёт, неизменно вызывающая улыбку задача 303 о «чёрной пятнице» и др.).

В оригинальном сборнике, кроме указания имени автора задачи, что мы сохранили в переводе ², даётся ещё и её номер в оригинале; более элементарные задачи нумеруются отдельно, и перед номером у них ставится буква E (в нашем сборнике задачи 301–400 относятся к числу элементарных). Эти сведения мы опустили; заинтересованный читатель может обратиться к оригиналу. Пользуясь номером и указателем дат публикации решений, он при желании сможет разыскать оригиналы условий задач и решений. Некоторый интерес, впрочем, представляет суммарная хронология (приведённые ниже даты относятся к публикациям решений задач, номера — к настоящему изданию):

В решениях задач знак *, помещённый в тексте, означает рекомендацию обратиться к части III, к тому её пункту, который снабжён указанием на номер комментируемой задачи. Ссылки на другие пункты части III даются так: см. III.17.

Мне остаётся выразить благодарность всем, чьи усилия способствовали появлению этой книги и её совершенствованию. Читателям же (надеюсь, многочисленным!) я пожелаю успеха в решении задач и удовольствия от занятия математикой.

Автоморфизмы групп 243

Алгебраические уравнения 147

— —, корни 24, 25, 34, 90, 164

— —, система 67

Аналитическая функция 36, 128, 237, 262

Аналитический критерий вписанности многоугольника III.20

Арифметическая прогрессия 5, 305

Ареатангенс 396

Арккотангенс 29, 127

Арктангенс 52, 396

Базис Гамеля III.15

— матриц идемпотентный 97

Барицентр треугольника III.1

Барицентрические координаты III.28

Бернулли многочлены второго рода 248

— числа 28

Бертрана постулат III.41

Бесконечное возведение в степень 386

— отношение 272

— произведение 182, 197, 228, 253, 308

Бесконечный спуск, метод 107

Бином 208

Биномиальные коэффициенты 24, 46, 54, 65, 66, 79, 81, 82, 105, 124, 259, 311, 332, 352, 356, 368

Брианшона теорема III.4

Брокара угол 160

Булево кольцо 205

Вариационное исчисление 45

Великая теорема Ферма 48, 309

Вероятность 71, 84, 142, 187, 201, 240, 271, 303, 397

Верхняя плотность числовой последовательности 232

Взаимно простые числа 134

Взаимно-однозначное соответствие между точками открытого и замкнутого отрезков 86

Взаимности закон III.7

Вильсона теорема III.6, 398

Вписанная сфера тетраэдра 47, 281

Выпуклая функция III.13

Выпуклый многогранник 148

— многоугольник 59, 117, 365

— четырёхугольник 363

Вычеты квадратичные III.7, III.40

Вычисление корней квадратного уравнения, графический метод 80

— — многочлена по методу Ньютона 244

— циркулянта III.17

Гамеля базис III.15

Гамильтонов цикл 358

Гамма-функция Эйлера III.11, 77, 179

Гармоническая функция 27

Гармоническая четвёрка прямых III.3

— — точек III.2

Гармонический ряд 304, 338, 380, 381

Гаусса признак сходимости ряда III.16

— сумма III.26

— формула III.26

Гауссово кольцо III.10

— число III.10

— —, норма III.10

Геометрические задачи на максимум и минимум 11, 19, 74, 102, 176, 265, 390

Геометрические построения без линейки 21

— — при помощи линейки 31, 35, 375

Гессиан 14, 36

Гипербола 129, 184

Гиперболические функции 118

Главная часть бесконечно малой 385

Группа 243, 246, 255

Движение под действием центральных сил 399

Двойное отношение III.2

Дезарга теорема III.4

Декарта правило 90

Делимость чисел 42, 75, 93, 112, 139, 144, 224, 231, 236, 247, 263, 264, 274, 279, 288, 291, 299, 306, 325, 347, 351, 391

Делительное свойство 276

Дзета-функция Римана III.11, III.37

Диаграммы Эйлера 354

Диатомическая последовательность Штерна 219

Диофантовы уравнения 6, 23, 65, 95

Дирихле, теорема III.31

Дифференциальный оператор, факторизация 168

Дифференциальные уравнения обыкновенные 61, 122, 254, 372

— — в частных производных первого порядка 136

Дроби 1, 15, 302, 334

— непрерывные 244

— Фарея III.34

Естественная граница функции 262

Жергона точка III.1

Задача Банаха 271

— о бильярдном шаре 329

— Льюиса Кэррола 8, 376

— на определение фальшивой монеты при помощи взвешивания 212, 359

— Платона 346

— на разрезание (планиметрическая) 16, 326

— — — (стереометрическая) 301, 344, 388

— Эддингтона о четырёх лжецах 240

Замечательные точки и линии в треугольнике III.1

Закон взаимности III.7

Закон всемирного тяготения Ньютона 285

Закон обращения теоретико-числовых функций III.8

Игра 142, 150, 187

— в 14   187

— на совпадение чисел 211

Идемпотентный базис матриц 97

Измеримые множества 103

Инверсор Поселье 220

Интеграл несобственный 119, 210, 213, 293

— определённый 3, 230

Интерполяционный многочлен Ньютона III.14

Иррациональные числа 233

Касательные к окружности 35

— к параболе III.29

Квадрат 16, 57, 126, 166, 260

— магический 374, 378

Квадратичная форма, приведение к сумме квадратов 99

Квадратичный вычет III.7, III.40

— невычет III.7, 107

Комплексные числа 69, 291, 341

Конгруэнтные пучки прямых III.3

Конечные разности III.14, 20, 77

Коническое сечение III.3

— — вырожденное III.3

— — невырожденное II 1.3

Конкурентные прямые 62

Контактная схема 317

Континуум-гипотеза Кантора 229

Конус 17, 371

Кольцо булево 205

— гауссово III.10

— с делением 269

Корни алгебраического уравнения 24, 25, 34, 90, 164

— характеристического уравнения 116

Кривизна 162

Кривые постоянной ширины 349

Криптарифм 310, 366

Критерий Эйлера III.7

Куб 391

Кубический многочлен 32, 318, 328

Лемнискатное множество 289

Линия «погони» 154

— сгиба 324

Логарифм, натуральный 157

Логические задачи 110, 252, 312, 370

Магический квадрат 374, 378

Малая теорема Ферма III.6, 257

Мартышка и кокосовые орехи 42

Матрицы 12, 192, 337, 357, 393

Мёбиуса функция III.8, 189

Медианы симплекса 92

Менелая теорема III.25

Мера 103

Мерсенна числа 267

Метод бесконечного спуска 107

Многогранники 358, 400

— выпуклые 148

Многоугольники 72, 145, 185, 390

— выпуклые 59, 117, 365

Многочлен 24, 278, 343

— Бернулли второго рода 248

— Ньютона интерполяционный 111.14

— однородный 14, 36

— —, разложение на множители 88, 101

— симметрический 159

— четвёртой степени 379

Множество точек минимума функции двух переменных 273

Модуль непрерывности 153

— функции вещественного переменного 132

— — комплексного переменного 133, 217, 250, 292

Нагеля точка III.1

Наиболее экономичное сопротивление 60

Наибольший общий делитель 188, 392

Наименьшее общее кратное 138

Направляющие косинусы 106

Натуральные числа 361, 364

Неассоциативное умножение 155

Невычет квадратичный III.40

Недесятичная система счисления 177, 221, 287

«Незаконное» сокращение 302

Необычное умножение 130

Непрерывная дробь 244

— функция 33

Непрерывность по Чезаро 214

Неравенства 33, 118, 132, 138, 139, 156, 157, 166, 181, 185

Неравенство для концов отрезков на числовой оси 141

— треугольника 202

— Шура III.39

Неспрямляемая кривая 137

Норма гауссова числа III.10

Обезьяна и груз 8

Объем симплекса 216

— тела вращения 307

Огибающая семейства кривых 51

Окружность девяти точек 261, 315

Описанная гиперсфера симплекса 140

— окружность 315

— сфера тетраэдра 281

Ортоцентр треугольника III.1, 227

Определитель 5, 18, 34, 49, 66, 67, 68, 73, 82, 87, 93, 124, 125, 151, 169, 170, 188, 300, 353, 368, 378, 384

— произведения прямоугольных матриц III.33

— функциональный 43, 151, 218

Парабола 10, 13, 85, 114, 152, 167

Параболоид вращения 355

Паскаля теорема III.4

— треугольник 66

Пелля уравнение III.9

Перестановка 190

— с повторениями 109

— циклическая 165

— членов ряда 197

Пифагоровы треугольники 78, 323, 377

Плоская кривая с экстремальным свойством 45

Площадь треугольника на комплексной плоскости II 1.21

Показательная функция 182

Полный четырёхсторонник III.2

— четырёхугольник III.2

Полуправильные тетраэдры III.38

Полюс III.5

Полярное соответствие III.5

Последовательность числовая 30, 38, 294, 348

Постоянная Эйлера III.12, 171, 172, 238, 275, 380

Постулат Бертрана III.41

Правило Декарта 90

Предел 55, 72, 77, 394

— последовательности 30, 226, 268, 348

Представление натуральных чисел в виде суммы двух квадратов III.10

— — — — — — k-й степени целого числа и простого числа 239

Проверка правильности утверждения 22, 39, 229, 385

Проективное преобразование III.2

— соответствие III.2

— — между прямыми в двух пучках III.3

Произведение бесконечное 182, 197, 228, 253, 308

—— отражений 395

— последовательных целых чисел 98, 144

Простота числа, условие 332

Простые числа 100, 107, 199, 266, 335

—— — в арифметической прогрессии 305

— —, распределение 183

Прямая Симсона III.22, 85

— Эйлера III.1, 261

Прямоугольные треугольники рациональные 78

Прямые и точки 178

Равнобедренные n-точечники 360

Равномерно ограниченные суммы 284

Равносторонний треугольник 10, 16, 53

Разбиение на классы 190

— числа на слагаемые 180

Разложение в степенной ряд 7

— целого числа в произведение целых чисел 215

— числа ln 2 в ряд 111

— — π в ряд 29, 52, 111, 249, 256, 387

Распределение простых чисел 183

— — — специального вида 297

Рациональные точки на окружности 383

— числа 70, 78, 383

Решение уравнений в целых числах 6, 23, 44, 65, 95, 194, 209, 331

Римана дзета-функция III.11, III.37

Род графа 345

Ряд гармонический 304, 338, 380, 381

—, признак сходимости Гаусса III.16

— расходящийся 235

— степенной 20, 186, 228, 253. 321

— функциональный 286

— Фурье 241

— числовой 2, 50, 64, 161, 197, 198, 223, 242, 258, 298, 362

Символ Лежандра III.7

Симметрические функции 159, 189

Система линейных уравнений 290

Спрямляемая кривая 137

Сравнение III.6, 60, 91, 120, 196, 327, 332, 398

Среднее квадратичное 41

Степени натуральных чисел 124, 245, 319, 322

Строго выпуклая функция III.13

Ступенчатая функция 282

Сумма Гаусса III.26

— последовательных целых чисел 144

— степеней натуральных чисел 58

— чисел, обратных целым 70

Сфера 26, 330

Теорема Брианшона III.4

— Вильсона III.6, 398

— Дезарга III.4

— Дирихле III.31

— Паскаля III.4

— о среднем значении 204, 282

— Фейербаха III.1

— Ферма великая 48, 309

— — малая III.6, 257

— Хелли 278

— Чебышёва III.32

— Чевы III.1, 123

— Эйлера III.1

Теоретико-числовая функция 163

Тетраэдр 47, 143, 281, 320, 342

— полуправильный III.38

Тождество 49, 105

— Эйлера III.30

Точка Жергона III.1

Точки Фейербаха III.1

— Эйлера III.1

Трансверсали 115, 123

Трансцендентное уравнение 295

Треугольник 32, 40, 53, 62, 85, 108, 113, 115, 121, 123, 152, 156, 158; 160, 167, 173, 176, 181, 202, 225, 227, 315, 316, 320, 369, 389

— Паскаля 66

— с целочисленными сторонами 321

— — — и площадью 173

Тригонометрические многочлены 203

— уравнения 174, 175, 195

— функции 234, 283

Угол Брокара 160

— наклона касательной 162

Умножение неассоциативное 155

— необычное 130

Уравнение Клеро 254

— Пелля III.9

— алгебраическое 24, 25, 34, 67, 90, 147, 164

— дифференциальное в частных производных первого порядка 136

— обыкновенное дифференциальное 61, 122, 254, 372

— функциональное 4, 9, 83, 94, 131

Факториал 56, 90, 146, 191, 224, 350

Факторизация дифференциального оператора 168

Фарея дроби III.34

Фейербаха теорема III.1

— точки III.1

Ферма великая теорема 48, 309

— малая теорема III.6, 257

Фибоначчи числа 127, 267, 339, 384

Формула Гаусса III.26

— Эйлера 373

Функция аналитическая 36, 128, 237, 262

— выпуклая III.13

— гармоническая 27

—, естественная граница 262

— Мёбиуса III.8, 189

— непрерывная 33

— симметрическая 159, 189

— строго выпуклая III.13

— ступенчатая 282

— Эйлера III.8, 251

— — dl⁽ⁿ⁾(x) 296

Функциональное уравнение Коши III.15

Функциональные уравнения 4, 9, 83, 94, 131

Ханойская башня 150

Хелли теорема 278

Целая часть числа 270, 294

Цилиндр 314

Циркулянт III.17, 5

Чебышёва теорема III.32

Чевы теорема III.1, 123

Чевианы III.1, 389

Четырёхсторонник полный III.2

Четырёхугольник выпуклый 363

— полный III.2

Числа Бернулли 28

— взаимно простые 134

— Гаусса III.10

— иррациональные 233

—, обратные целым 125, 258, 280, 382

— простые 100, 107, 183, 199,266, 305, 335

— рациональные 383

— Фибоначчи 127, 267, 339, 384

Числовая последовательность 30, 38, 294, 348

Штейнера эллипс III.23

Эллипс 74, 76, 104, 176, 367

Эйлера гамма-функция III.11, 77, 179

— критерий III.7

— постоянная III.12, 171, 172, 238, 275, 380

— теорема III.1

— тождество III.30

— точки III.1