GRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS 50

HAROLD M. EDWARDS

FERMAT'S
LAST
THEOREM


A GENETIC INTRODUCTION
TO ALGEBRAIC
NUMBER THEORY


Work on this book was supported in part by
the James M. Vaughn, Jr., Vaughn Foundation Fund.

 
    Г. Эдвардс

ПОСЛЕДНЯЯ
ТЕОРЕМА
ФЕРМА


Генетическое введение
В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ


Перевод с английского
В.Л.КАЛИНИНА  и  А.И.СКОПИНА
под редакцией
Б.Ф.СКУБЕНКО
 
SPRINGER-VERLAG
NEW YORK  HEIDELBERG  BERLIN  1977
   

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1980
 
 




 
3714 Кб
 

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода5
Предисловие7
 
ГЛАВА 1. ФЕРМА
13

1.1. Ферма и его «Последняя теорема». Формулировка теоремы. История её открытия. 1.2. Пифагоровы треугольники. Пифагоровы тройки, которые были известны вавилонянам за 1000 лет до Пифагора. 1.3. Как находить пифагоровы тройки. Метод, основанный на том, что произведение двух взаимно простых чисел может быть квадратом только тогда, когда оба сомножителя являются квадратами. 1.4. Метод бесконечного спуска. 1.5. Случай n=4 Последней теоремы. В этом случае доказательство состоит в применении бесконечного спуска. Общая теорема сводится к случаю простых показателей. 1.6. Одно доказательство Ферма. Доказательство того, что пифагоров треугольник не может иметь площадь, равную квадрату, включает элементарные, но очень остроумные соображения. 1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы. Открытия Ферма, относящиеся к представлениям чисел в виде n = x² + ky² при k=1, 2, 3. Отличие в случае k=5. 1.8. Совершенные числа и теорема Ферма. Формула Евклида для совершенных чисел приводит к изучению простых Мерсенна 2n–1, которое в свою очередь ведёт к теореме Ферма apa (mod p). Доказательство теоремы Ферма. Числа Ферма. Ошибочное предположение о простоте числа ²+1. 1.9. Уравнение Пелля. Вызов Ферма англичанам. Циклический метод, изобретённый древними индийцами для решения уравнения Ax²+1=y² при данном A, не равном квадрату. Эйлер ошибочно назвал это уравнение «уравнением Пелля». Упражнения: доказательство того, что уравнение Пелля имеет бесконечное число решений и что циклический метод даёт все такие решения. 1.10. Другие открытия Ферма в теории чисел. Наследие Ферма, которое осталось в виде задач, предложенных им в качестве вызова. Решения этих задач, данные Лагранжем, Эйлером, Гауссом, Коши и другими.

 
ГЛАВА 2. ЭЙЛЕР
56

2.1. Эйлер и Последняя теорема Ферма при n=3. Эйлер не опубликовал правильного доказательства неразрешимости уравнения x³ + y³ = z³, однако эту теорему можно доказать, используя его методы. 2.2. Доказательство Эйлера для n=3. Сведение Последней теоремы Ферма в случае n=3 к утверждению, что p² + 3q² только тогда может быть кубом (p и q — взаимно простые), когда существуют такие a и b, что p = a³ – 9ab², q = 3a²b – 3b³. 2.3. Арифметика иррациональных чисел. Условие p² + 3q² = куб можно записать просто в виде p + q–3 = (a + b–3)³, т.е. p + q–3 является кубом. Ошибочное доказательство Эйлера, использующее однозначность разложения на множители, необходимость этого условия для того, чтобы p² + 3q² было равно кубу. 2.4. Эйлер о суммах двух квадратов. Эйлеровы доказательства основных теорем о представлениях чисел в виде x² + y² и x² + 3y². Упражнения: числа вида x² + 2y². 2.5. Завершение доказательства Последней теоремы Ферма при n=3. Использование методов Эйлера для доказательства неразрешимости уравнения x³ + y³ = z³. 2.6. Дополнение о суммах двух квадратов. Метод решения уравнения p = x² + y² при простом p вида 4n+1. Решение уравнений p = x² + 3y² и p = x² + 2y².

 
ГЛАВА 3. ОТ ЭЙЛЕРА ДО КУММЕРА
78

3.1. Введение. Лагранж, Лежандр и Гаусс. 3.2. Теорема Софи Жермен. Софи Жермен. Разделение Последней теоремы Ферма на два случая, случай I (x, y, z взаимно просты с показателем p) и случай II (когда это не так). Теорема Софи Жермен — достаточное условие для случая I. Оно даёт лёгкое доказательство случая I для всех небольших простых показателей. 3.3. Случай n=5. Доказательство того, что x5 + y5 ≠ z5. Совместное достижение Дирихле и Лежандра. Общая техника подобна эйлерову доказательству утверждения x³ + y³ ≠ z³, за исключением того, что из равенства выражения p² – 5q² пятой степени вытекает равенство p + q5 = (a + b5)5 только при дополнительном условии 5|q. 3.4. Случаи n=14 и n=7. Доказательства, полученные соответственно Дирихле и Ламе, здесь не приводятся. Для того чтобы продвинуться дальше и доказать Последнюю теорему Ферма для бо́льших показателей, очевидно, требуется новая техника. Упражнение: данное Дирихле доказательство случая n=14.

 
ГЛАВА 4. КУММЕРОВА ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
96

4.1. События 1847 года. «Доказательство» Ламе Последней теоремы Ферма. Возражение Лиувилля. Попытки доказательства, предпринятые Коши. Письмо Куммера Лиувиллю. Нарушение однозначности разложения. Новая теория Куммера идеальных комплексных чисел. 4.2. Круговые целые. Основные определения и действия. Норма кругового целого. Различие между «простым» и «неразложимым». Деление с использованием нормы. 4.3. Разложение простых чисел p≡1 (mod λ). Получение необходимых и достаточных условий того, что круговое целое является простым делителем такого простого p. 4.4. Вычисления для p≡1 (mod λ). Явные разложения таких простых при малых значениях p и λ. Разложения Куммера при λ≥19 и p≥1000. Невозможность разложения, когда λ=23 и p=47. Идея, лежащая в основе «идеальных» простых делителей Куммера. 4.5. Периоды. Сопряжение σ: α→αλ, соответствующее примитивному корню γ по модулю λ. Круговое целое тогда и только тогда образовано периодами длины  f, когда оно инвариантно относительно σe, где ef=λ–1. 4.6. Разложение простых p≠1 (mod λ). Если  f показатель числа p по модулю λ и если h(α) — любой простой делитель числа p, то все периоды длины  f  сравнимы с целыми числами по модулю h(α). Это позволяет легко проверять делимость круговых целых, образованных периодами, на h(α). 4.7. Вычисления при p≠1 (mod λ). Явные разложения для малых значений p и λ. 4.8. Расширение признака делимости. Проверка делимости произвольного кругового целого — не обязательно образованного периодами — на данное простое круговое целое h(λ). 4.9. Простые дивизоры. Признаки делимости на простые делители существуют во всех случаях, даже в тех, когда простого делителя вообще нет. Это является основой определения «идеального» простого делителя, или простого дивизора. Дефект в первоначальном доказательстве Куммера основного предложения. 4.10. Кратности и исключительное простое число. Определение кратности, с которой простой дивизор делит круговое целое. Один простой дивизор (1–α) числа λ. 4.11. Основная теорема. Круговое целое g(α) тогда и только тогда делит другое h(α), когда каждый простой дивизор, делящий g(α), делит h(α) с меньшей или, в крайнем случае, такой же кратностью. 4.12. Дивизоры. Определение дивизоров. Обозначение. 4.13. Терминология. Дивизор определён множеством всех объектов, которые он делит. «Идеалы». 4.14. Сопряжения и норма дивизора. Сопряжённые дивизора. Норма дивизора как дивизор и как целое число. Имеется N(A) классов круговых целых по модулю A. Китайская теорема об остатках. 4.15. Выводы.

 
ГЛАВА 5. ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ДЛЯ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТЫХ
182

5.1. Замечания Куммера о квадратичных целых. Понятие эквивалентности дивизоров. Упоминание Куммером теории дивизоров для квадратичных целых x+yD и связь её с гауссовой теорией бинарных квадратичных форм. 5.2. Эквивалентность дивизоров в частном случае. Изучение вопроса: какие дивизоры являются дивизорами круговых целых? — в частном случае. 5.3. Число классов. Определение и основные свойства эквивалентности дивизоров. Системы представителей. Доказательство конечности числа классов. 5.4. Два условия Куммера. Характер аргументации, использованной в доказательствах Последней теоремы Ферма для показателей 3 и 5, обусловливает выделение среди простых чисел λ тех, для которых (А) число классов не делится на λ и (В) единицы, сравнимые по модулю λ с целыми числами, являются λ-ми степенями. Такие простые названы регулярными. 5.5. Доказательство для регулярных простых. Куммеров вывод Последней теоремы Ферма для регулярных простых показателей. Для любой единицы e(α) единица e(α)/e–1) имеет вид αr. 5.6. Квадратичная взаимность. Теория Куммера ведёт не только к доказательству знаменитого квадратичного закона взаимности, но и к выводу формулировки этого закона. Символы Лежандра. Дополнительные законы.

 
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КЛАССОВ
216

6.1. Введение. Основная теорема, которую нужно доказать, — это теорема Куммера о том, что число λ тогда и только тогда регулярно, когда оно делит числители чисел Бернулли B2, B4, ..., Bλ–3. 6.2. Формула эйлерова произведения. Аналог формулы для случая круговых целых. Формула числа классов находится умножением обеих частей на (s–1) и вычислением предела при s→1+. 6.3. Первые шаги. Доказательство обобщённой формулы эйлерова произведения. Дзета-функция Римана. 6.4. Преобразование правой части. Правая часть равна ζ(s)L(s1)L(s2) ... L(sλ–2), где χi — неглавные характеры по модулю λ. 6.5. Проведённое Дирихле вычисление значений L(1,χ). Суммирование по частям. L(1,χ) как суперпозиция рядов для –ln (1–αj), j=1, 2, ..., λ–1. Явная формула для L(1,χ). 6.6. Предел правой части. Явная формула. 6.7. Необращение в нуль L-рядов. Доказательство того, что L(1,χ)≠0 для рассматриваемых характеров χ 6.8. Преобразование левой части. Предел при s→1 суммы слагаемых N(A)s по всем дивизорам A из класса дивизоров одинаков для любых двух классов. Программа вычисления общего предела таких сумм. 6.9. Единицы: несколько первых случаев. Явное извлечение всех единиц в случаях λ=3, 5, 7. Конечномерный анализ Фурье. Неявное извлечение единиц в случае λ=11. Второй сомножитель числа классов. 6.10. Единицы: общий случай. Метод нахождения (по крайней мере в принципе) всех единиц. Сумма по всем главным дивизорам, записанная как сумма по некоторому множеству круговых целых. 6.11. Вычисление интеграла. Решение одной задачи интегрального исчисления. 6.12. Сравнение интеграла с суммой. В вычисляемом пределе сумма может быть заменена интегралом. 6.13. Сумма по другим классам дивизоров. Доказательство того, что в пределе сумма по любым двум классам дивизоров одна и та же. 6.14. Формула числа классов. Объединение всех частей, разбросанных в предшествующих параграфах, и получение явной формулы числа классов. 6.15. Доказательство иррегулярности числа 37. Упрощение подсчёта первого сомножителя числа классов. Числа Бернулли и полиномы Бернулли. 6.16. Делимость первого сомножителя на λ. Обобщение техники предыдущего параграфа с тем, чтобы показать, что число λ тогда и только тогда делит первый сомножитель числа классов, когда оно делит числитель одного из чисел Бернулли B2, B4, ..., Bλ–3. 6.17. Делимость второго сомножителя на λ. Доказательство того, что λ только тогда делит второй сомножитель, когда оно делит также и первый сомножитель. 6.18. Лемма Куммера. Из (А) вытекает (В). 6.19. Краткие выводы.

 
ГЛАВА 7. ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНЫХ ЦЕЛЫХ
290

7.1. Простые дивизоры. Чем должны быть простые дивизоры, если мы хотим, чтобы существовала теория дивизоров для чисел вида x+yD. Модификация определения квадратичных целых при D≡1 (mod 4). 7.2. Теория дивизоров. Доказывается, что определённые в предыдущем параграфе дивизоры дают теорию дивизоров со всеми ожидаемыми свойствами. Эквивалентность дивизоров. 7.3. Знак нормы. При D>0 норма принимает как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае вводится дивизор с нормой –1. 7.4. Квадратичные целые с данными дивизорами. В отличие от кругового случая для квадратичных целых существует простой алгорифм, позволяющий определить, является ли данный дивизор главным, и, если это так, найти все квадратичные целые с данным дивизором. По существу, этот алгорифм совпадает с циклическим методом древних индийцев. Обоснование алгорифма при D<0. Упражнения: использование 2×2-матриц для сокращения вычислений циклического метода. 7.5. Обоснование циклического метода. Доказательство в случае D>0. Вычисление основной единицы. 7.6. Группа классов дивизоров: примеры. Явное нахождение группы классов дивизоров для нескольких значений D. 7.7. Группа классов дивизоров: общая теорема. Доказывается, что два дивизора эквивалентны только тогда, когда применение к ним циклического метода даёт один и тот же период приведённых дивизоров. Это упрощает нахождение группы классов дивизоров. 7.8. Теоремы Эйлера. Эйлер эмпирически обнаружил, что закон разложения простого числа p в квадратичных целых x+yD зависит только от класса p по модулю 4D). Он открыл также другие теоремы, которые упрощают нахождение тех классов простых по модулю 4D), которые содержат распадающиеся простые или простые, остающиеся простыми при переходе к квадратичным целым детерминанта D. Эти теоремы (не доказанные Эйлером) равносильны квадратичному закону взаимности. 7.9. Роды классов дивизоров. Необходимые условия Гаусса для эквивалентности двух дивизоров. Характер класса дивизоров. Возникающее при этом разбиение группы классов дивизоров на роды. 7.10. Двусторонние классы. Определение. Доказывается, что число двусторонних классов не превосходит половины числа возможных характеров. 7.11. Второе доказательство Гаусса квадратичного закона взаимности. Доказывается, что в действительности встречается не более половины возможных характеров. Из этой теоремы Гаусс выводит квадратичный закон взаимности.

 
ГЛАВА 8. ГАУССОВА ТЕОРИЯ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
363

8.1. Другие группы классов дивизоров. Если D не свободно от квадратов, то требуется изменить определение группы классов дивизоров. Порядки квадратичных целых. Эквивалентность относительно порядка. Группа классов дивизоров, соответствующих порядку. Упражнения: удобные числа Эйлера. 8.2. Другая интерпретация циклического метода. Интерпретация циклического метода как метода порождения эквивалентных бинарных квадратичных форм. Метод нахождения представлений данных целых чисел данными бинарными квадратичными формами. 8.3. Соответствие между дивизорами и бинарными квадратичными формами. Собственная эквивалентность бинарных квадратичных форм. Взаимно однозначное соответствие между классами собственной эквивалентности собственно примитивных форм (положительных при D>0) и классами дивизоров порядка {x+yD: x, y — целые}. 8.4. Классификация форм. Распространение теоремы из § 7.7 на случай не свободного от квадратов D. 8.5. Примеры. Нахождение группы классов дивизоров в нескольких случаях. 8.6. Гауссова композиция форм. Как Гаусс определил произведение двух классов бинарных квадратичных форм, не используя теории дивизоров. 8.7. Уравнения второй степени с двумя неизвестными. Полное решение (по существу, принадлежащее Лагранжу) уравнения ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0.

 
ГЛАВА 9. ФОРМУЛА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЧИСЛА КЛАССОВ
406

9.1. Формула эйлерова произведения. Аналог этой формулы для квадратичных целых. Разбиение на случаи для различных типов D. 9.2. Первый случай. Случай D<0, D≠1 (mod 4), D свободно от квадратов. Вывод формулы числа классов. Примеры. 9.3. Второй случай. Случай D>0, D≠1 (mod 4), D свободно от квадратов. Вывод. Примеры. 9.4. Случай D≡1 (mod 4). Изменения, которые требуются при D≡1 (mod 4), D свободно от квадратов. 9.5. Вычисление суммы (Dn)/n. Эту часть формулы числа классов можно подсчитать методами § 6.5. Преобразование Фурье характера (Dn) по модулю 4D кратно самому характеру. Этот факт используется для редукции формулы. Упражнения: дальнейшие упрощения Дирихле формулы числа классов при D<0, D свободно от квадратов. Знак гауссовой суммы и его связь с формулой Дирихле. 9.6. Подпорядки. Обобщение формулы числа классов на случай не свободного от квадратов D и, вообще, на случай групп классов дивизоров, соответствующих произвольным порядкам квадратичных целых. 9.7. Простые в арифметических прогрессиях. Приводится доказательство Дирихле теоремы о том, что формула an+b при b, взаимно простом с a, даёт бесконечно много простых чисел. Формула числа классов используется при доказательстве неравенства L(1,χ)≠0 для всех вещественных характеров χ по модулю a.

 
ПРИЛОЖЕНИЕ. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
439

A.1. Основные свойства. Сложение и умножение. Алгорифм Евклида. Сравнение по модулю натурального числа. Китайская теорема об остатках. Решение сравнения axb (mod c). Основная теорема арифметики. Целые числа. A.2. Примитивные корни по модулю p. Определение. Доказательство того, что каждое p имеет примитивный корень.

 
Ответы к упражнениям
448
Литература472
Указатель  477



ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Пожалуй, нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна среди математиков и особенно среди математиков-любителей, как проблема Ферма (или знаменитая «Великая теорема Ферма», или «Последняя теорема Ферма»).

На русском языке имеется не так много книг, специально посвящённых этой проблеме, да и книги эти из серии популярных. [После доказательства ПТФ в 1995 году Эндрю Уайлсом кое-какие книги появились. Например, П. Рибенбойм. «Последняя теорема Ферма для любителей» (М., Мир, 2003). См. также Ж. Остерле. «Новые подходы к "теореме Ферма"» в сб. «Труды семинара Бурбаки за 1988 г.» (Математика. Новое в зарубежной науке. Вып. 46. М., Мир, 1990) и Э. Кнэпп. «Эллиптические кривые» (М., Факториал, 2004). E.G.A.] Одиозность проблематики, первоначально вызванная Вольфскелевской премией, вынуждает каждого пишущего о теореме Ферма быть предельно осторожным. По крайней мере написанная книга не должна вызывать сомнения в том, что её автор не хочет иметь дело с «ферматистами». [Рибенбойм в вышеупомянутой книге более категоричен. В обращении к читателю он пишет:

Возможно, у Вас есть соблазн получить Ваше собственное (более простое) доказательство последней теоремы Ферма.

На этот счёт у меня есть твёрдое убеждение. В главе «Права человека» Всеобщей конституции государств и наций должно быть записано:

Каждый человек имеет неотъемлемое право на своё доказательство последней теоремы Ферма.

Однако это торжественное утверждение, касающееся последней теоремы Ферма (далее именуемой Теоремой), должно быть ограничено следующими статьями.

Статья 1. Никакое новое доказательство Теоремы не должно быть повторением уже известного.

Статья 2. Представление заведомо неверных доказательств Теоремы профессорам, которые еле зарабатывают на жизнь, обучая тому, как правильно строить доказательства, является уголовным преступлением.

За нарушение последней статьи полагается ссылка в ад. Возвращение в рай возможно только после того, как «преступник» поймёт и сможет воспроизвести доказательство Уайлса. (Жестокое наказание.)

E.G.A.]

Книга Эдвардса, предлагаемая вниманию читателей, настолько содержательна, что у любителей решать проблему Ферма примитивными методами она отобьёт всякое желание дискутировать. Кстати, и книга М. М. Постникова «Теорема Ферма» (М.: Наука, 1978), не столь объёмистая, как эта, наделена таким же иммунитетом.

Книга Эдвардса, как пишет сам автор в предисловии, не претендует на историчность. Это, конечно, верно, однако некоторые моменты истории математики в книге описаны весьма подробно. Достоинством книги является и то, что автор подробно излагает основы теории идеалов генетическим методом. Приятно узнавать, каким образом создавалась эта теория, какие математики в этом участвовали, какие возникали драматические, а порой и парадоксальные ситуации (например, случай с р=23), в итоге приведшие к гениальному открытию.

Изложение генетическим методом имеет и теневые стороны. Эдвардсу волей-неволей приходится пользоваться терминологией прошлого века, излагать доказательства теорем языком той эпохи, производить многочисленные арифметические вычисления, выписывать длинные цитаты — всё это в книге соткано в единое произведение, наделённое духом нашего времени. Такое сочетание затрудняет чтение книги в оригинале и делает её чрезвычайно сложной для перевода. Переводчики стремились сохранить свежесть и оригинальность стиля автора, и если это не всегда удалось им, то, во всяком случае, не из-за отсутствия старания. Предисловие, главы I, II, VII, VIII, IX и § 2 приложения переведены В. Л. Калининым. Главы III, IV, V, VI и § 1 приложения переведены А. И. Скопиным.

Б. Ф. Скубенко


ПРЕДИСЛОВИЕ

По-видимому, многие откроют эту книгу с желанием узнать, каково современное состояние знаний о Последней теореме Ферма, и, так как сама книга не даёт ответа на этот вопрос, стоит, вероятно, сказать об этом несколько слов в предисловии. Последняя теорема Ферма — это утверждение (не теорема), что уравнение xn + yn = zn при n>2 не имеет целых положительных решений. Легко доказать (см. § 1.5) неразрешимость уравнения x4 + y4 = z4. Поэтому исходное уравнение неразрешимо, когда n делится на 4. (Если n=4k, то равенство xn + yn = zn приводило бы к равенству X 4 + Y 4 = Z4, где X=xk, Y=yk, Z=zk, что невозможно.) Аналогично, если доказать неразрешимость уравнения xm + ym = zm при некотором значении m, отсюда будет следовать неразрешимость исходного уравнения для любого n, делящегося на m. Поскольку каждое n>2 делится либо на 4, либо на нечётное простое число, то для доказательства Последней теоремы Ферма достаточно доказать её для простых показателей n.

Для показателя n=3 доказать эту теорему не слишком трудно (см. гл. 2). Для показателей 5 и 7 возникают бо́льшие трудности (§ 3.3 и 3.4), однако методы остаются по существу элементарными. Основное содержание книги составляет мощная теория «идеального разложения», разработанная Куммером в 40-е годы XIX века и позволившая одним махом доказать Последнюю теорему для всех простых показателей, меньших 100, кроме 37, 59 и 67. Точнее, теорема Куммера утверждает следующее. Пусть p — нечётное простое число. Тогда достаточное условие для справедливости Последней теоремы Ферма при показателе p состоит в том, что p не делит числители чисел Бернулли B2, B4, ..., Bp–3 (см. § 5.5 и 6.19). Простое число, удовлетворяющее достаточному условию Куммера, называется «регулярным».

Начиная с 1850 года основные усилия были направлены на нахождение всё более мощных достаточных условий. Наилучшие известные теперь достаточные условия, с одной стороны, являются очень мощными в том смысле, что им удовлетворяют все простые числа, меньшие 100 000 [W1]. Однако, с другой стороны, все эти условия вызывают сильное разочарование, поскольку среди них нет ни одного, которому удовлетворяло бы бесконечное множество простых показателей. Таким образом, Последнюю теорему Ферма можно доказать для любого простого числа, лежащего в доступных для вычислений пределах, и тем не менее нельзя исключить возможность, что для всех простых чисел, превосходящих некоторую большую границу, теорема неверна.

Основным методом изложения в этой книге, как указывает её подзаголовок, является генетический метод. Словарь определяет «генетический» как «относящийся к генезису, происхождению». В этой книге я попытался объяснить основные методы и понятия алгебраической теории чисел и продемонстрировать их естественность и эффективность, прослеживая их происхождение и развитие в работах некоторых из великих мастеров: Ферма, Эйлера, Лагранжа, Лежандра, Гаусса, Дирихле, Куммера и других.

Важно отличать генетический метод от описания истории вопроса. Различие заключается в том, что генетический метод прежде всего занимается самим предметом изучения — его происхождением и развитием, тогда как основной целью исторического описания является аккуратная регистрация сведений о людях, идеях и событиях, которые играли роль в эволюции предмета изучения. В истории нет места для детального описания теории — если только это не является существенным для понимания событий. В генетическом методе нет места для внимательного изучения событий — если только это не способствует более глубокому проникновению в предмет.

Это означает, что генетический метод имеет тенденцию представлять историческую последовательность в искажённой перспективе. Игнорируются вопросы, которые так и не были успешно разрешены. Не рассматриваются идеи, ведущие в тупик. Генетический метод обходит молчанием месяцы бесплодных усилий и горы вспомогательных вычислений. Для того чтобы выявить действительно плодотворные идеи, приходится делать вид, что человеческий разум по прямой линии движется от задач к решениям. Я особенно хотел бы подчеркнуть, что представление о прямолинейном движении человеческого разума является настолько нелепой фикцией, что к ней ни на мгновение нельзя относиться серьёзно.

Сэмюэль Джонсон некогда так писал о работе над биографиями: «Если бы дозволялось показывать лишь светлые стороны характеров, то нам оставалось бы только впасть в уныние из-за полной невозможности в чём-либо следовать героям. Авторы жизнеописаний святых рассказывали как о дурных, так и о добродетельных поступках людей. Это удерживало человечество от отчаяния, в чём и заключалось моральное действие такого подхода». В этой книге по большей части мы показываем только светлые стороны, только плодотворные идеи и только правильные догадки. Читатель должен иметь в виду, что эта книга не является ни исторической, ни биографической, и, значит, ему не стоит впадать в отчаяние.

Возможно, вас заинтересует не столько разница между историческим описанием и генетическим методом, сколько отличие генетического метода от более обычного метода математического изложения. Как утверждал математик Отто Тёплиц, сущность генетического метода состоит в том, чтобы, рассмотрев исторические источники идеи, найти для неё наилучшую мотивировку, и, изучив контекст, в котором работал человек, первым выдвинувший эту идею, найти тот «жгучий вопрос», на который он жаждал ответить [T1]. В противоположность этому более обычный метод оставляет в стороне вопросы и приводит лишь ответы. С логической точки зрения нужны только ответы, однако с психологической точки зрения изучать ответы, не зная вопросов, очень трудно и даже практически невозможно. По крайней мере таков мой собственный опыт. Я обнаружил, что наилучший путь преодолеть трудности изучения абстрактной математической теории состоит в том, чтобы последовать совету Тёплица и игнорировать современные изложения до тех пор, пока не изучишь генезис и не узнаешь вопросов, которые привели к этой теории.

В первых трёх главах этой книги рассматриваются элементарные аспекты Последней теоремы Ферма. Эти главы написаны на более элементарном уровне, чем остальная часть книги. Я надеюсь, что читателю, обладающему достаточной математической зрелостью для чтения последних глав, эти первые три главы тоже покажутся интересным и достойным внимания, хотя и лёгким чтением. В то же время я надеюсь, что менее искушённый читатель, который потратит больше времени и сил на первые главы, в результате приобретёт достаточно опыта, чтобы, хотя и с трудом, но преодолеть и дальнейшие главы.

Следующие три главы 4–6 посвящены развитию куммеровой теории идеальных делителей и её приложению к доказательству сформулированной выше замечательной теоремы Куммера о том, что Последняя теорема Ферма верна для регулярных простых показателей. Это наивысшая точка, которая достигается в настоящей книге при изучении Последней теоремы Ферма. Я намереваюсь написать второй том, в котором будут изложены работы по Последней теореме Ферма, выходящие за пределы теоремы Куммера; однако эти более поздние исследования трудны, и теорема Куммера является естественной точкой для завершения этого тома.

В трёх последних главах рассматриваются вопросы, более косвенным образом связанные с Последней теоремой Ферма, а именно: теория идеального разложения для квадратичных целых, гауссова теория бинарных квадратичных форм и формула Дирихле для числа классов. Изучать работы Куммера по Последней теореме Ферма, не касаясь этих вопросов, столь же неразумно, как изучать историю Германии, не затрагивая истории Франции. С самого начала своей работы по теории идеалов Куммер сознавал, что она тесно связана с гауссовой теорией бинарных квадратичных форм. Применение к Последней теореме Ферма было лишь одним из мотивов, побудивших Куммера к развитию этой теории; другими мотивами (и, по его собственному свидетельству, более настоятельными) были поиски обобщения квадратичного, кубического и биквадратичного законов взаимности на высшие степени и попытки найти объяснение трудной гауссовой теории композиции форм. Кроме того, по словам самого Куммера, тем, что ему удалось удивительно быстро найти формулу для числа классов и открыть поразительную связь между Последней теоремой Ферма для показателя p и поведением чисел Бернулли по модулю p, он был обязан решению Дирихле аналогичной задачи в квадратичном случае. Генетический метод подсказывает — почти требует — изучить эти достижения и найти мотивировку трудной, но чрезвычайно плодотворной идеи «идеальных простых делителей», столь существенной для понимания работ Куммера по Последней теореме Ферма. Кроме того, материал трёх заключительных глав обеспечивает необходимую основу для изучения высших законов взаимности и теории полей классов, на которые в свою очередь опираются более поздние работы по Последней теореме Ферма, намеченные для изучения во втором томе.

В этой книге, как в основном тексте, так и в упражнениях, особенно большое место уделено вычислениям. Это необходимая составляющая генетического метода. Действительно, даже поверхностный взгляд на историю вопроса показывает, что Куммер и другие великие новаторы в теории чисел производили обширные вычисления и на этом пути достигали своих глубоких озарений. Я вынужден с прискорбием заметить, что современное математическое образование имеет тенденцию прививать студентам мысль, что вычисления являются унизительной нудной работой, которой следует избегать любой ценой. Если вы внимательно проследите за вычислениями в основном тексте и будете рассматривать упражнения вычислительного характера не только как отнимающие время (неизбежно они обладают этой особенностью), но и как представляющие интерес, доставляющие наслаждение и понимание, то я уверен, что вы сможете оценить как мощь, так и крайнюю простоту теории.

Я убеждён в том, что не бывает пассивного понимания математики. Только при активном чтении лекций, написании учебников или решении задач можно полностью овладеть математическими идеями. Именно по этой причине данная книга содержит так много упражнений, и именно по этой причине я считал, что серьёзный читатель должен решить их как можно больше. Некоторые из моих коллег указали мне, что, предлагая столь большое количество упражнений, я оттолкну от книги тех читателей, которые захотели бы прочитать её только ради удовольствия. На это я могу ответить, что упражнения только предлагаются, но не предписываются для обязательного решения. Делайте с ними что хотите, но, возможно, вы обнаружите, что они также способны доставить удовольствие.

Знаменитая премия за доказательство Последней теоремы Ферма была учреждена П. Вольфскелем в 1908 г. Одним из условий присуждения премии была публикация доказательства, и, по-видимому, главным результатом учреждения премии было чудовищное количество нелепых доказательств, предназначенных для печати или опубликованных частным образом. С очевидным удовольствием Морделл и другие специалисты по теории чисел объявили, что последовавшая после первой мировой войны инфляция в Германии свела первоначально внушительную премию практически к нулю. Однако экономическое возрождение ФРГ после второй мировой войны изменило ситуацию. Теперь премия Вольфскеля составляет около 10 000 западногерманских марок, или 4000 американских долларов. Для присуждения премии доказательство должно быть опубликовано и не менее чем через два года после публикации должно быть признано верным Гёттингенской Академией наук.

Если вы намерены попытаться заработать эту премию — примите мои наилучшие пожелания. Я был бы восхищён, если бы эта задача была решена, и особенно если бы человеку, решившему её, оказалась полезной моя книга. И хотя можно спорить о том, способна ли книга, излагающая идеи, которые не привели к решению задачи, оказаться полезной тому, кто надеется найти решение, я думаю, что безуспешных усилий многих первоклассных математиков (не говоря уже о многих не таких первоклассных) достаточно для того, чтобы считать наивный подход к этой проблеме совершенно безнадёжным. Приведённые в этой книге идеи позволяют решить проблему для всех показателей, меньших 37. Ничего подобного нельзя сказать ни об одном подходе, не использующем куммерову теорию идеального разложения. Однако прежде чем вы задумаете добиться получения премии Вольфскеля, стоит принять во внимание ещё одно обстоятельство. Мне кажется, что нет вообще никаких оснований считать Последнюю теорему Ферма верной, а условия присуждения премии не предлагают ни единого пфеннига за опровержение этой теоремы.

Благодарности

Просто сказать, что работа над книгой велась при финансовой поддержке фонда Вона, значило бы создать совершенно неправильное представление о том, до какой степени я обязан этому фонду и лично г-ну Джеймсу М. Вону, мл. Если бы я не получил от них предложения рассказать о Последней теореме Ферма, эта книга не только никогда не появилась бы, но у меня и не возникла бы мысль писать её. Я глубоко благодарен г-ну Вону и фонду за приглашение заняться этим столь увлекательным, полезным и приятным делом. Я хотел бы также поблагодарить Брюса Чендлера за дружескую поддержку и мудрые советы. Его семинар по истории математики в Нью-Йоркском университете стал замечательным местом встреч историков математики — встреч, которые я и многие другие считаем чрезвычайно полезными и вдохновляющими.

Кроме того, я признателен многим учёным, высказавшим свои замечания по рукописи. В частности, я хотел бы упомянуть Джона Бриллхарта, Эда Кертиса, Пьера Дюгака, Дж. М. Ганди, Линетт Ганим, Поля Халмоша, Жана Итара, Вальтера Кауфман-Бюлера, Морриса Клайна, Карлоса Морено, Эла Новикова, Гарольда Шапиро, Габриэля Штольценберга, Джеймса Вона и Андре Вейля.

Наконец, я благодарен Курантовскому институту математических наук при Нью-Йоркском университете за удобное рабочее место, отличную библиотеку и высококвалифицированную работу Элен Саморай и её коллег по перепечатке рукописи.

Гарольд М. Эдвардс



Глава 1

ФЕРМА


1.1. Ферма и его «Последняя теорема»

Пьер де Ферма умер в 1665 году. К этому времени он был одним из самых знаменитых математиков Европы. Сегодня имя Ферма неотделимо от теории чисел, но при жизни его работы по теории чисел были настолько революционными и настолько опережали своё время, что их значение было плохо понято современниками, и слава Ферма основывалась больше на его достижениях в других областях науки. Среди них были важные труды по аналитической геометрии (независимо от Декарта Ферма был одним из создателей этой науки), по теории касательных, вычисления площадей, максимумов и минимумов (эти работы послужили началом математического анализа) и по геометрической оптике (которую он обогатил открытием того, что законы преломления можно вывести из принципа наименьшего времени).

В славе Ферма как математика есть два удивительных факта. Во-первых, по профессии Ферма был юристом, а не математиком. В зрелом возрасте он занимал довольно важные судебные должности в Тулузе, посвящая математике лишь свободное время. Во-вторых, за всю свою жизнь он не опубликовал ни одной математической работы.1 Своей репутацией Ферма был обязан переписке с другими учёными и значительному количеству трактатов, которые распространялись в рукописном виде. Ферма часто убеждали опубликовать его работы, но по необъяснимым причинам он отказывался печатать свои труды, и многие из его открытий, особенно в теории чисел, так и не были приведены к виду, пригодному для публикации.

Поскольку Ферма отказывался публиковать свои работы, многие из его почитателей стали опасаться, что он скоро будет забыт, если не попытаться собрать его письма и неопубликованные трактаты и издать их посмертно. Такая попытка была предпринята его сыном, Самюэлем. Самюэль де Ферма занялся не только сбором писем и трактатов среди корреспондентов отца, но и разобрал его бумаги и книги, и именно этот путь привёл к публикации знаменитой «Последней теоремы» Ферма.

Книгой, первоначально вдохновившей Ферма на изучение теории чисел, была «Арифметика» Диофанта — одно из великих классических произведений древнегреческой математики, незадолго до того переоткрытое и переведённое на латинский язык. Самюэль обнаружил, что его отец сделал много замечаний на полях своего экземпляра книги Диофанта в переводе Баше, и для начала он выпустил новое издание «Арифметики» Диофанта [D3], которое в качестве приложения содержало сделанные Ферма заметки на полях. Второе из этих 48 «Замечаний к Диофанту» было написано на полях вслед за задачей 8 из Книги II. В этой задаче требуется «данное число, которое является квадратом, записать в виде суммы двух других квадратов».

Написанная на латинском языке заметка Ферма утверждает, что «с другой стороны, невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четвёртую степень — в виде суммы двух четвёртых степеней, или, вообще, любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Это простое утверждение, которое символически можно записать так: «для любого целого n>2 уравнение xn + yn = zn неразрешимо», — теперь известно как Последняя теорема Ферма. Если Ферма действительно знал доказательство этого утверждения, оно несомненно было «удивительным», поскольку за триста с лишним лет, прошедших со времён Ферма, никто больше не смог найти такого доказательства. Эту задачу безуспешно пытались решить многие великие математики, и хотя был достигнут некоторый прогресс, позволивший доказать утверждение Ферма для всех показателей n порядка многих тысяч, до сегодняшнего дня неизвестно, справедливо это утверждение или нет.

Происхождение названия «Последняя теорема Ферма» неясно. Неизвестно, в какой период жизни Ферма написал эту заметку на полях, но принято считать, что он написал её тогда, когда впервые изучал книгу Диофанта, т.е. в конце 1630-х годов, — за три десятилетия до смерти. В таком случае эта теорема, конечно, не была его последней теоремой. Вполне возможно, что это название обязано своим происхождением тому обстоятельству, что среди многих теорем, которые Ферма сформулировал без доказательства, эта теорема остаётся последней, до сих пор не доказанной. По-видимому, заслуживает внимания и соображение о том, что Ферма после дальнейших размышлений был, возможно, не вполне удовлетворён своим «удивительным доказательством», особенно если он действительно написал о нём в 1630-е годы. В самом деле, другие теоремы он вновь и вновь формулирует в своих письмах (иногда в виде своеобразного вызова на соревнование); среди них встречаются и частные случаи x3 + y3 ≠ z3, x4 + y4 ≠ z4. Последней теоремы, но сама эта теорема появилась лишь однажды как замечание номер 2 к Диофанту — загадочным сфинксом для потомков.

В «Арифметике» Диофанта рассматриваются исключительно рациональные числа, поэтому не следует сомневаться в том, что Ферма имел в виду отсутствие рациональных чисел x, y, z, таких, что xn + yn = zn (n>2). Если бы можно было рассматривать иррациональные числа, то для любой пары чисел x, y мы получили бы такое решение, просто положив z =xⁿ + yⁿ. С другой стороны, если бы уравнение xn + yn = zn имело рациональные решения, то оно имело бы и целые решения, или решения в целых числах: действительно, если x, y, z — рациональные решения уравнения xn + yn = zn и d — их наименьший общий знаменатель, то xd, yd, zd — целые числа и (xd)n + (yd)n = (xn + yn)dn = (zd)n, так что zd целое число, n степень которого равна сумме n степеней. Кроме того, как Диофант, так и Ферма имели дело с положительными числами — во времена Ферма к отрицательным числам и нулю ещё относились с подозрением, — поэтому молчаливо исключается также и тривиальный случай, когда x или y равно нулю. (Например, равенство 25 + 05 = 25, конечно, не противоречит Последней теореме Ферма.) Таким образом, Последняя теорема Ферма, по существу, сводится к утверждению о том, что если n — целое, большее двух, то невозможно найти такие положительные целые числа x, y, z, что xn + yn = zn. Именно в таком виде обычно и формулируется эта теорема.

За три столетия, прошедшие после смерти Ферма, его работы во всех областях, кроме теории чисел, были постепенно забыты, но не потому, что они оказались чем-либо плохи. Наоборот, это были первые серьёзные шаги в развитии важных теорий, которые теперь значительно яснее поняты и которые проще объяснить с использованием языка и символики, не существовавших во времена Ферма. В то же время работы Ферма по теории чисел пользуются непреходящей славой, и среди них не только его Последняя теорема, но и многие другие открытия и идеи, часть которых мы рассмотрим позже в этой главе. Такое отношение к наследию Ферма кажется вполне сообразным, поскольку, как явствует из его переписки, какими бы важными для развития математики ни считал он свои работы в других областях, его истинной любовью была теория чисел, изучение свойств положительных целых чисел, которые казались ему величайшим вызовом силе чистого математического рассуждения и величайшей сокровищницей чистых математических истин.


1.2. Пифагоровы треугольники

В предложении из «Арифметики» Диофанта, которое привело Ферма к его Последней теореме, рассматривается одна из самых старых математических задач: «записать квадрат в виде суммы двух квадратов». Одно решение этой задачи получается при помощи равенства 32 + 42 = 52, из которого следует, что для любого квадрата a2 справедливо тождество a2 = (3a/5)2 + (4a/5)2. Аналогично, любая тройка положительных целых x, y, z, таких, что x2 + y2 = z2, даёт решение a2 = (ax/z)2 + (ay/z)2, и, как легко видеть, любое решение получается таким образом. Короче говоря, задача Диофанта сводится к задаче нахождения троек положительных целых чисел, удовлетворяющих уравнению x2 + y2 = z2.

Если задачу Диофанта сформулировать таким образом, то станет очевидной её связь с теоремой Пифагора. По теореме Пифагора2 из равенства 32 + 42 = 52 следует, что треугольник, стороны которого находятся в отношении 3 : 4 : 5, является прямоугольным треугольником. Вообще, любая тройка положительных целых x, y, z, удовлетворяющая уравнению x2 + y2 = z2, определяет такое множество отношений x : y : z, что треугольник, стороны которого находятся в этом отношении, является прямоугольным треугольником. Это означает, что задачу Диофанта можно на геометрическом языке выразить как задачу нахождения прямоугольных треугольников с соизмеримыми3 длинами сторон, т.е. треугольников, для которых отношения длин сторон выражаются как отношения целых чисел. Ввиду такой геометрической интерпретации любую тройку положительных целых чисел, удовлетворяющую уравнению x2 + y2 = z2, называют пифагоровой тройкой.

Пифагорова тройка 32 + 42 = 52 — самый простой и наиболее известный пример. Другой пример: 52 + 122 = 132. Конечно, здесь важны только отношения, и тройка 6, 8, 10, которая образует те же отношения, что и 3, 4, 5, также является пифагоровой тройкой. Аналогично, 9, 12, 15 и 10, 24, 26 — пифагоровы тройки, которые существенно не отличаются от приведённых выше. Но тройка 7, 24, 25 отличается существенно. Задача Диофанта состоит в нахождении пифагоровых троек. За несколько веков до Диофанта (около 250 г. н.э.?) эту задачу рассмотрел Евклид (около 300 г. до н.э.) в своих «Началах» (Книга X, лемма 1 между предложениями 28 и 29). Однако, как показало одно из самых удивительных открытий археологии двадцатого века, более чем за тысячу лет до Евклида эту задачу изучали древние вавилоняне.

В археологической коллекции Колумбийского университета хранится клинописная табличка, датируемая приблизительно 1500 г. до н.э.; при изучении оказалось (см. Нейгебауэр [N1]), что она содержит список пифагоровых троек. Одна из троек в этом списке — 3, 4, 5, но среди других содержится также и 4961, 6480, 8161. (Возможно, читателю будет интересно провести вычисления и убедиться в том, что это действительно пифагорова тройка.) Эта тройка со всей достоверностью показывает, что список был составлен каким-то методом, отличным от метода проб и ошибок; значит, древние вавилоняне обладали каким-то способом решения задачи Диофанта. Мы не знаем ни того, что это был за способ, ни того, какие причины побудили вавилонян изучать пифагоровы тройки. По мнению Нейгебауэра, вполне вероятно, что им был известен геометрический смысл пифагоровых троек — другими словами, вавилоняне знали теорему Пифагора за тысячу лет до Пифагора, — и что они получали эти тройки каким-то методом, подобным использованному в книгах Диофанта и, с меньшей строгостью, Евклида. Этот метод мы рассмотрим в следующем параграфе.

Интересно, и, по-видимому, это не простое совпадение, что этой задаче из предыстории математики суждено было привести к одной из самых знаменитых математических задач нашего времени.


1.3. Как находить пифагоровы тройки

Хотя идеи следующего решения задачи нахождения пифагоровых троек, по существу, совпадают с идеями решения Диофанта,4 наши обозначения, терминология и изложение современны. Конечно, серьёзному студенту стоит прочитать собственное изложение Диофанта (имеется прекрасный английский перевод Хита [H1], русский перевод также имеется: см. [D3]. E.G.A.), но для того, чтобы восстановить обозначения и точку зрения Диофанта, требуются некоторые усилия, и, поскольку в нашей книге рассматривается более современная математика, мы не будем предпринимать попытку такой реконструкции. Рассуждение в этом доказательстве является очень важным, и его основная идея снова и снова встречается при изучении Последней теоремы Ферма.

Метод приводимого ниже решения известен в классической греческой математике как аналитический метод:5 предполагается, что задано некоторое решение уравнения x2 + y2 = z2 (x, y, z — положительные целые), и свойства данного решения анализируются с тем, чтобы найти такие характеристики этих решений, которые позволили бы их строить.

Заметим прежде всего, что если d — некоторое число, на которое делятся все три числа x, y, z, то уравнение x2 + y2 = z2 можно сократить на d2 и целые x/d, y/d, z/d также составляют пифагорову тройку. Если d — наибольший общий делитель чисел x, y, z, то x/d, y/d, z/d не имеют общих делителей, отличных от 1, и образуют так называемую примитивную пифагорову тройку, т.е. пифагорову тройку, входящие в которую числа не имеют общих делителей, отличных от 1. Таким способом — делением на наибольший общий делитель — каждую пифагорову тройку можно привести к примитивной. Обратно, если дана примитивная пифагорова тройка, скажем a2 + b2 = c2, то любая пифагорова тройка, которая приводится к ней, может быть получена путём выбора соответствующего целого d и умножения на него: x = ad, y = bd, z = cd. Следовательно, достаточно научиться находить примитивные пифагоровы тройки и с самого начала можно предположить, что данная тройка x, y, z примитивная.

Из этого предположения следует, что никакие два из трёх чисел x, y, z не имеют общих делителей, больших 1. Например, если бы d было делителем x и y, то из равенства z2 = x2 + y2 следовало бы, что d2 является делителем z2, а тем самым,6 что d делит z. Следовательно, d делило бы все три числа и, согласно примитивности тройки, равнялось бы 1. Аналогично, единственным общим делителем x и z или y и z служит 1.

В частности, никакие два из трёх чисел x, y, z не могут быть чётными (иметь общий делитель 2). Следовательно, по крайней мере два из них нечётны. Но очевидно, что все три числа не могут быть нечётными, так как тогда из x2 + y2 = z2 следовало бы, что «нечётное + нечётное = нечётное», а это невозможно. Поэтому в точности одно из них чётно. Рассматривая сравнения по модулю 4, легко видеть, что z не может быть чётным. Действительно, квадрат нечётного числа 2n + 1 на единицу больше некоторого числа, кратного 4, а именно, он равен 4n2 + 4n + 1. Квадрат чётного числа кратен 4: он равен 4n2. Таким образом, если бы x и y были нечётными, a z чётным, то равенство x2 + y2 = z2 давало бы нам число, кратное 4 и одновременно равное сумме двух чисел, каждое из которых на единицу больше, чем некоторое число, кратное 4, что, очевидно, невозможно. Следовательно, z нечётно, а x и y имеют противоположную чётность: одно из них нечётно, а другое — чётно. В случае необходимости меняя местами x и y, мы можем считать, что в данной примитивной пифагоровой тройке x чётно, тогда как y и z нечётны.

Теперь перепишем уравнение x2 + y2 = z2 в виде x2 = z2 – y2 и, разложив правую часть на множители, получим x2 = (z + y)(z – y). Поскольку все числа x, z+y, zy чётны, существуют такие положительные целые u, v, w, что x = 2u, z+y = 2v, zy = 2w. Тогда (2u)2 = (2v)(2w), или u2 = vw. Кроме того, наибольший общий делитель v и w равен 1, так как любое число, делящее как v, так и w, делило бы также и v+w = ½(z+y) + ½(zy) = z и vw = ½(z+y)½(zy) = y и потому могло бы равняться только 1. Другими словами, v и w взаимно просты.

Основной шаг нашего рассуждения состоит в следующем. Произведение двух взаимно простых чисел v и w может быть квадратом vw = u2 только тогда, когда v и w сами являются квадратами. Это утверждение становится очевидным, если мы рассмотрим разложение чисел v и w на простые множители. Действительно, поскольку v и w взаимно просты, то ни одно простое не входит одновременно в разложения v и w. Поэтому разложение числа vw на простые множители распадается на эти два разложения; если vw является квадратом, то все простые должны входить в разложение vw в чётных степенях, но тогда они должны входить уже в разложения v и w в чётных степенях. Следовательно, v и w — квадраты. Полное доказательство этого утверждения будет приведено в следующем параграфе.

Итак, существуют такие положительные целые p и q, что v = p2, w = q2. Кроме того, p и q взаимно просты, поскольку таковы v и w. Тогда

z = v + w = p2 + q2,
y = vw = p2q2.

Это показывает, что p больше q (y положительно) и что p и q должны иметь противоположную чётность (поскольку z и y нечётны). Далее, x легко выразить через p и q:

x2 z2y2 = p4 + 2p2q2 + q4p4 + 2p2q2q4 = 4p2q2 = (2pq)2,
x 2pq.

Таким образом, если дана произвольная примитивная пифагорова тройка, то найдутся такие взаимно простые положительные целые p и q, что p > q, p и q имеют противоположную чётность и данная тройка состоит из чисел 2pq, p2 – q2 и p2 + q2.

Это завершает анализ, поскольку легко доказать, что если дана произвольная пара p и q, такая, что (1)  p и q взаимно просты, (2)  p > q и (3)  p и q имеют противоположную чётность, то числа 2pq, p2 – q2, p2 + q2 образуют примитивную пифагорову тройку. Для этого достаточно заметить, что

(2pq)2 + (p2q2)2 = (p2 + q2)2

является алгебраическим тождеством, справедливым для всех p и q, и что из условий, наложенных на p и q, следует, что 2pq и p2 – q2 взаимно просты (и, значит, соответствующая тройка примитивна). Действительно, если бы эти числа имели общий делитель, больший 1, то они имели бы и простой общий делитель, скажем P. Поскольку p2 – q2 нечётно, P не равно 2; поэтому на P должно делиться p или q (так как на него делится 2pq), но не оба эти числа одновременно (так как p и q взаимно просты). Но это невозможно, поскольку это противоречило бы предположению о том, что P делит p2 – q2.

Это полностью решает задачу построения пифагоровых троек. Все пифагоровы тройки, соответствующие парам p и q с p ≤ 8, приведены в таблице 1.1. Заметим, что в эту таблицу входят стандартные примеры 3, 4, 5;  5, 12, 13 и 7, 24, 25. Заметим также, что легко продолжить эту таблицу на бо́льшие значения p, включая только те значения q, которые меньше p, взаимно просты с p и имеют противоположную чётность.

Таблица 1.1. Пифагоровы тройки 
( p, q) (x, y, z)
(2, 1)
(3, 2)
(4, 1)
(4, 3)
(5, 2)
(5, 4)
(6, 1)
(6, 5)
(7, 2)
(7, 4)
(7, 6)
(8, 1)
(8, 3)
(8, 5)
(8, 7)
(4, 3, 5)
(12, 5, 13)
(8, 15, 17)
(24, 7, 25)
(20, 21, 29)
(40, 9, 41)
(12, 35, 37)
(60, 11, 61)
(28, 45, 53)
(56, 33, 65)
(84, 13, 85)
(16, 63, 65)
(48, 55, 73)
(80, 39, 89)
    (112, 15, 113)    

Упражнения
1. 

Найдите значения p и q, которые соответствуют пифагоровой тройке из вавилонской таблички, приведённой в § 1.2.

2. 

Продолжите таблицу 1.1 до p = 12.

3. 

В следующем параграфе будет доказано, что если vw = u2 и vw взаимно просты, то v и w являются квадратами. Используйте это для доказательства того, что если d2 делит z2, то d делит z. [Пусть d = cD, z = cZ, где c наибольший общий делитель d и z. Тогда Z2 = kD2, где k и D2 взаимно просты.]



1.4. Метод бесконечного спуска

Метод бесконечного спуска изобрёл Ферма, и этим изобретением он чрезвычайно гордился. В длинном письме, написанном незадолго до смерти, он подвёл итог своим открытиям в теории чисел и с полной определённостью заявил, что во всех своих доказательствах пользовался этим методом. Коротко говоря, этот метод состоит в следующем: некоторые свойства или отношения невозможны для целых чисел, если исходя из предположения о том, что они выполняются для каких-либо чисел, удаётся доказать, что они выполняются для некоторых меньших чисел. Действительно, в таком случае то же самое рассуждение позволяет заключить, что они выполняются для ещё меньших чисел, и т.д.ad infinitum, — что невозможно, поскольку последовательность положительных целых чисел не может бесконечно убывать.

Например, рассмотрим предложение, которое мы использовали в предыдущем параграфе, а именно: если v и w взаимно просты и vw является квадратом, то и сами v и w должны быть квадратами. Как подчёркивал сам Ферма, метод бесконечного спуска — это метод доказательства невозможности. В рассматриваемом случае мы должны доказать, что невозможно найти такие числа v и w, что (1) v и w взаимно просты, (2) vw квадрат и (3) v или w не является квадратом.

Предположим, что можно найти такие v и w. В случае необходимости меняя местами v и w, мы можем предположить, что v не является квадратом. В частности, v ≠ 1. Следовательно, v делится по крайней мере на одно простое число. Пусть Pкакое-либо простое число, на которое делится v, скажем v = Pk. Тогда на P делится также число vw, которое является квадратом: vw = u2. Согласно основному свойству простых чисел (см. приложение А.1), если P делит u·u, то P должно делить u или u, т.е. P должно делить u: u = Pm. Тогда равенство vw = u2 можно переписать в виде Pkw = (Pm)2 = P 2m2; отсюда следует, что kw = Pm2. Так как P делит правую часть этого равенства, оно должно делить и левую. Следовательно, согласно основному свойству простых чисел, P должно делить либо k, либо w. Но P не делит w, поскольку оно делит v, a v и w взаимно просты. Поэтому P делит k, скажем k = Pv'. Тогда равенство kw = Pm2 превращается в Pv'w = Pm2; таким образом, v'w = m2. Так как v = Pk = P 2v', то любой делитель числа v' является делителем v, а следовательно, v' и w не могут иметь общих делителей, больших 1. Кроме того, если бы v' было квадратом, то число v = P 2v' также было бы квадратом, что не имеет места; поэтому v' не является квадратом. Таким образом, числа v', w обладают приведёнными выше свойствами (1), (2), (3) и v' < v. Тогда то же самое рассуждение показывает, что существует другое положительное целое v'' < v', такое, что v'', w обладают всеми этими тремя свойствами. Бесконечное повторение этих рассуждений привело бы нас к бесконечно убывающей последовательности положительных целых чисел v > v' > v'' > v''' > ... . Но такой последовательности не существует (само число v даёт верхнюю границу числа шагов, в течение которых оно может быть уменьшено), поэтому никакие два числа v и w не могут обладать тремя указанными свойствами. Это доказывает данное предложение.

Подводя итоги, можно сказать, что метод бесконечного спуска основывается на следующем принципе. Если из предположения, согласно которому данное положительное целое обладает данным множеством свойств, следует, что существует меньшее положительное целое с тем же множеством свойств, то ни одно положительное целое не может обладать этим множеством свойств.


1.5. Случай n=4 Последней теоремы

Для доказательства Последней теоремы Ферма при n = 4 достаточно, руководствуясь интуицией, сочетать методы двух предыдущих параграфов: метод бесконечного спуска и метод построения пифагоровых троек.

Предположим, что дано решение x, y, z уравнения x4 + y4 = z4. Как и в случае пифагоровых троек, можно с самого начала считать, что x, y, z не имеют общих делителей, больших 1, и даже что никакие два из них не имеют общих делителей, больших 1. Действительно, в противном случае из равенства x4 + y4 = z4 следовало бы, что и третье из чисел имеет тот же самый делитель и уравнение можно сократить на четвёртую степень этого делителя. Следовательно, числа x2, y2, z2 образуют примитивную пифагорову тройку и, в случае необходимости меняя местами x и y, можно написать

x2 = 2pq,     y2 = p2q2,     z2 = p2 + q2,

где p и q — взаимно простые числа противоположной чётности и p>q>0. Второе из этих уравнений можно записать в виде y2 + q2 = p2 и, поскольку p и q взаимно просты, y, q, p — примитивная пифагорова тройка. Таким образом, p нечётно, и так как p и q имеют противоположную чётность, то q чётно. Следовательно,

q = 2ab,     y = a2b2,     p = a2 + b2,

где a, b — взаимно простые числа противоположной чётности и a>b>0. Таким образом,

x2 = 2pq = 4ab(a2 + b2).

Это показывает, что ab(a2 + b2) является квадратом, а именно квадратом половины чётного числа x. Но ab и a2 + b2 взаимно просты, поскольку любое простое P, делящее ab, делит a или b (по основному свойству простых чисел), но не оба этих числа одновременно (так как a и b взаимно просты), и поэтому не может делить a2 + b2. Следовательно, как ab, так и a2 + b2 должны быть квадратами. Однако ab является квадратом, а целые a и b взаимно просты, поэтому как a, так и b должны быть квадратами, скажем a = X2, b = Y2. Следовательно, X4 + Y4 = a2 + b2 является квадратом. Теперь для того, чтобы привести в движение бесконечный спуск, достаточно заметить, что из исходного предположения x4 + y4 = z4 мы использовали лишь то, что z4 является квадратом, а не четвёртой степенью. Другими словами, если x и y — такие положительные целые, что x4 + y4 — квадрат, то приведённая выше последовательность шагов даёт новую пару положительных целых X, Y, такую, что X4 + Y4 является квадратом. Кроме того, X4 + Y4 = a2 + b2 = p < p2 + q2 = z2 < z4 = x4 + y4. Тем самым мы указали бесконечную убывающую последовательность положительных целых чисел, существование которой невозможно. Следовательно, сумма двух четвёртых степеней не может быть даже квадратом, не говоря уже о четвёртой степени. Это доказывает Последнюю теорему Ферма для четвёртых степеней.

Отсюда, очевидно, следует, что при произвольном положительном целом m уравнение xm + ym = zm неразрешимо. Действительно, в противном случае тройка X = xm, Y = ym, Z = zm была бы решением уравнения X4 + Y4 = Z4. Таким образом, Последняя теорема Ферма справедлива для всех показателей n, которые делятся на 4. Показатель n>2, который не делится на 4, не является степенью двойки и, следовательно, должен делиться на некоторое простое число p≠2; например, n = pm. По той же причине, что и выше, для доказательства неразрешимости уравнения xn + yn = zn, очевидно, достаточно доказать, что неразрешимо уравнение xp + yp = zp. Таким образом, поскольку Последняя теорема Ферма доказана в случае n=4, доказательство общего случая сводится к доказательству для простых n>2. По этой причине в оставшейся части книги будут рассматриваться только те случаи Последней теоремы Ферма, в которых n — простое число, n≠2.


1.6. Одно доказательство Ферма

По-видимому, во всех дошедших до нас работах Ферма по теории чисел можно найти только одно доказательство. Это доказательство частного утверждения, которое Ферма неоднократно7 формулировал в своей переписке, но которое, как это характерно для Ферма, он не доказывал, оставляя эту задачу своим корреспондентам. Это доказательство, как и формулировка Последней теоремы, было обнаружено его сыном Самюэлем на полях всё той же книги Диофанта; оно было включено в посмертно опубликованные работы как Замечание 45 к Диофанту.

В своих письмах Ферма часто повторяет, что у него нет желания скрывать свои работы, что, по его мнению, прогресс науки зависит от совместных усилий многих учёных и что он был бы счастлив открыть свои методы любому, кто пожелает. Однако факты красноречивее слов. То, что ни одно из многочисленных дошедших до нас писем Ферма не даёт сколько-нибудь верного представления об используемых им методах, конечно, свидетельствует о том, что, сознательно или бессознательно, Ферма, как и все его современники, ревниво оберегал от соперников секреты своего ремесла.

В предложении, которое доказывает Ферма, утверждается, что площадь прямоугольного треугольника не может быть квадратом; здесь, конечно, имеется в виду, что площадь рационального прямоугольного треугольника не может равняться рациональному квадрату. Используя арифметическую операцию умножения всех длин на их наименьший общий знаменатель, или, что то же самое, геометрическую операцию выбора новой единицы длины, в которой стороны треугольника и квадрата задаются целыми числами (возвращаясь к греческой идее соизмеримости), можно переформулировать это предложение так: не существует такой пифагоровой тройки x2 + y2 = z2, что xy/2 является квадратом. (Заметим, что x и y одновременно не могут быть нечётными, и поэтому xy/2 обязательно будет целым числом.) Именно в этом виде Ферма доказывает данное предложение.

Как характерно для задач, которыми занимался Ферма, эта задача не возникает из ничего, а основывается на предшествующей литературе. В Книге VI «Арифметики» Диофанта есть несколько задач, где требуется найти пифагоровы треугольники, площади которых удовлетворяют различным условиям, например отличаются от квадратов на данное положительное или отрицательное число. Однако Диофант, как всегда, удовлетворяется тем, что даёт решение частных случаев своих задач, но не изучает условия, при которых данная задача имеет или не имеет решения. Ферма пользовался изданием книги Диофанта в переводе Баше (1581–1638), который не только перевёл Диофанта с греческого на латынь, но и добавил к основному тексту многочисленные комментарии и дополнения. В своём дополнении к Книге VI Баше приводит необходимое и достаточное условие для того, чтобы число A было площадью пифагорова треугольника. Это условие состоит в существовании такого числа K, что (2A)2 + (K)4 является квадратом.8 Таким образом, когда Ферма спрашивал, может ли треугольник иметь площадь, равную квадрату, он продолжал линию исследований, явно начатую Баше, который в свою очередь был вдохновлён на это Диофантом.

Приведённое Ферма доказательство этого предложения основано на более тонких соображениях, чем доказательство Последней теоремы для n = 4 из предыдущего параграфа. Оно звучит следующим образом.

«Если бы площадь прямоугольного треугольника была квадратом, то существовали бы два биквадрата, разность которых была бы квадратом. Следовательно, существовали бы два квадрата, сумма и разность которых были бы квадратами. Поэтому мы получили бы квадрат, равный сумме некоторого квадрата и удвоенного другого квадрата, тогда как квадраты, из которых составлена эта сумма, сами давали бы в сумме квадрат. Но если квадрат составлен из квадрата и удвоенного другого квадрата, то его сторона, как я могу очень легко доказать, также составлена из квадрата и удвоенного другого квадрата. Отсюда мы заключаем, что указанная сторона является суммой сторон, прилежащих к прямому углу в прямоугольном треугольнике, и что простой квадрат, содержащийся в этой сумме, является основанием, а удвоенный квадрат — перпендикуляром.

Таким образом, этот прямоугольный треугольник образован из двух квадратов, сумма и разность которых также квадраты. Но можно доказать, что оба эти квадрата меньше, чем те квадраты, о которых мы первоначально предположили, что их сумма и разность являются квадратами. Следовательно, если существуют два таких квадрата, что их сумма и разность являются квадратами, то существуют также и два других целых квадрата с тем же свойством, но с меньшей суммой. Используя то же самое рассуждение, мы находим ещё меньшую сумму, и так можно продолжать до бесконечности, находя всё меньшие и меньшие квадраты целых чисел, обладающие тем же свойством. Это, однако, невозможно, поскольку не существует бесконечной последовательности чисел, меньших любого данного целого. Поля эти слишком узки для того, чтобы я мог дать доказательство полностью и со всеми деталями.» (Перевод на английский с латинского оригинала см. у Хита [H1, стр. 293].)


Это доказательство, как вы обнаружите, если проследите его шаг за шагом, совершенно неясно в двух важных моментах.

В первом предложении разобраться достаточно легко. Самая общая пифагорова тройка имеет вид x = (2pq)d, y = (p2 – q2)d, z = (p2 + q2)d  p и q — взаимно простые положительные целые числа противоположной чётности с p>q, d положительное целое), и задача состоит в том, чтобы представить ½ xy = pq(p2 – q2)d2 в виде квадрата. Это возможно тогда и только тогда, когда pq(p2 – q2) является квадратом. (Если Ad2 является квадратом, то A должно быть квадратом; см. упр. 1.) Поскольку  p и q взаимно просты, каждое из них должно быть взаимно просто с p2 – q2. Следовательно, pq(p2 – q2) может быть квадратом только тогда, когда все числа  p, q и p2 – q2 являются квадратами. Другими словами, треугольник, площадь которого является квадратом, приводит к паре таких взаимно простых чисел  p и q противоположной чётности, что  p, q и p2 – q2 являются квадратами. Поскольку  p и q — квадраты,  p2 – q2 является разностью четвёртых степеней (биквадратов); это те самые «два биквадрата» Ферма, «разность которых равна квадрату». Кроме того, p2 – q2 = (p – q)(p + q) — разложение числа p2 – q2 на два взаимно простых множителя. Действительно, любой общий делитель чисел pq и p+q должен также делить (pq) + (p+q) = 2p и (p+q) – (pq) = 2q. Поскольку  p и q взаимно просты, этот общий делитель может быть равен только числам 2 или 1. Однако  p и q имеют противоположную чётность, следовательно,  pq и  p+q нечётны и у них нет общего делителя, отличного от 1. Поэтому из предположения о том, что p2 – q2 является квадратом, следует, что  pq и  p+q также являются квадратами. Это «два квадрата» Ферма, «сумма и разность которых являются квадратами». Третье предложение Ферма относится к равенствам (pq) + 2q = p+q, (pq) + q = p, в которых числа  p, q,  pq и  p+q — квадраты.

В следующих двух предложениях разобраться уже трудно. Пусть p+q = r2, pq = s2. В первом из этих двух предложений утверждается, что r можно представить в виде r = u + v, где одно из чисел u, v является квадратом, а второе — удвоенным квадратом. Во втором предложении говорится, что u и v являются сторонами прямоугольного треугольника, т.е. что u2 + v2 — квадрат. О доказательстве первого утверждения9 Ферма говорит лишь то, что он может «легко» его доказать; но даже если это и так, то не видно никакого пути для того, чтобы из первого утверждения «вывести» справедливость второго. Поэтому интерпретация этих предложений может быть лишь предположительной. Следующая интерпретация (по существу, принадлежащая Диксону [D2, т. 2, стр. 615–616]) может совпадать или не совпадать с той, которую имел в виду Ферма. В любом случае она очень легко доказывает оба утверждения.

Так как  p и q имеют противоположную чётность, то числа p+q = r2, pq = s2 нечётны; следовательно, нечётны и r, s. Кроме того, r и s взаимно просты, поскольку, как показано выше, взаимно просты  pq и  p+q. Определим положительные целые числа u и v равенствами

u  rs

2

 ,       v  r + s

2

 .

Тогда u и v взаимно просты; действительно, любой их общий делитель был бы общим делителем их суммы и разности r = u + v, s = v – u, но r и s взаимно просты. Кроме того,

uv  r² – s²

4

 =   (p + q) – (pq)

4

 =   q

2

 .

Поскольку q является квадратом, q/2 может быть целым числом только тогда, когда оно будет чётным целым. Следовательно, uv/2 = q/4 — целое, и это число является квадратом как отношение двух квадратов. Тогда либо u, либо v должно быть чётным (поскольку uv/2 — целое), но не оба одновременно (так как они взаимно просты). Но половина чётного из этих чисел взаимно проста с нечётным, а их произведение uv/2 является квадратом; поэтому сами множители должны быть квадратами, и, следовательно, чётное из этих чисел является удвоенным квадратом, а нечётное — квадратом. Таким образом, равенство r = u + v даёт, как и требовалось, представление r в виде суммы квадрата и удвоенного квадрата. Кроме того,

u2 + v2  r² – 2rs + s²

4

 +   r² + 2rs + s²

4

 =   r² + s²

2

 =   (p + q) + (pq)

2

 = p.

Таким образом, u2 + v2 является квадратом, и оба утверждения Ферма доказаны.

За оставшейся частью доказательства проследить легко. Пифагорова тройка со «сторонами» u, v примитивна, поскольку u, v взаимно просты; следовательно, она имеет вид 2PQ, P2 – Q2, P2 + Q2, где P и Q — взаимно простые числа противоположной чётности и P>Q. Так как uv/2 = PQ(P2 – Q2) является квадратом, то, как и раньше, отсюда следует, что все числа P, Q, PQ и P+Q должны быть квадратами. Но

P + Q ≤ (P + Q)PQ(PQ) =   uv

2

 =   q

4

 < q < p + q,

и этот процесс можно повторить и найти ещё два квадрата P', Q' таких, что P' – Q' и P' + Q' также являются квадратами и P' + Q' < P + Q. Этот процесс может быть продолжен бесконечно; он даст бесконечно убывающую последовательность p + q > P + Q > P' + Q' > ... . Поскольку такой бесконечный спуск невозможен, то пифагоров треугольник не может иметь площадь, равную квадрату.

Интересно, что это единственное дошедшее до нас доказательство Ферма доказывает также Последнюю теорему при n = 4. Действительно, оно показывает, что z4 – x4 не может быть даже квадратом, не говоря уже о четвёртой степени (см. упр. 2). Однако неразрешимость уравнения x4 + y4 = z4 можно доказать значительно проще методом предыдущего параграфа, и есть все основания полагать, что Ферма знал это более простое доказательство.

Упражнения
1. 

Докажите, что если Ad2 — квадрат, то и A — квадрат.

2. 

Докажите, что уравнение x4 – y4 = z2 неразрешимо в ненулевых целых числах.



1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы

Одной из первых задач в теории чисел, которую изучал Ферма, была задача представления чисел в виде сумм двух квадратов. Эта задача привела его ко многим другим важным вопросам. Как это часто случалось, интерес Ферма к этому предмету возник при чтении «Арифметики» Диофанта.

В книге Диофанта есть по крайней мере три места, связанные с представлениями в виде суммы двух квадратов; они показывают, что Диофант, бесспорно, хорошо знал этот предмет. В одном месте (III, 19) он замечает, что число 65 можно двумя способами записать в виде суммы двух квадратов: 65 = 12 + 82 = 42 + 72, и объясняет это тем, что «65 является произведением чисел 13 и 5, каждое из которых равно сумме двух квадратов». В другом месте («необходимое условие» из V, 9) он фактически формулирует необходимое условие представимости данного числа в виде суммы двух квадратов; однако, как утверждает его переводчик и издатель Хит, «к несчастью, текст дополнительного условия неясен». Наконец, в третьем месте (VI, 14) Диофант по ходу дела замечает, что число 15 не является суммой двух (рациональных) квадратов.

Основную роль в изучении чисел, которые являются суммами двух квадратов, играет формула

(a2 + b2)(c2 + d2) = (acbd)2 + (ad + bc)2. (1)

Она показывает, что если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также будет суммой двух квадратов. Формула (1) является простым следствием коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов, согласно которым обе её части равны a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2. Если двумя различными способами применить её к 5 = 22 + 12 и 13 = 32 + 22, то (как и утверждал Диофант) число 65 = 5 · 13 можно будет двумя способами представить в виде суммы двух квадратов, а именно:

65 = 5 · 13 = (22 + 12)(32 + 22) = (2·3 – 1·2)2 + (2·2 + 1·3)2 = 42 + 72 

и

65 = 5 · 13 = (22 + 12)(22 + 32) = (2·2 – 1·3)2 + (2·3 + 1·2)2 = 12 + 82.

В XIII веке эта формула была известна Леонардо из Пизы (Фибоначчи); неявно она присутствует в алгебре древней Индии (см. далее § 1.9), и, конечно, в том или ином виде Диофант знал её.

Ферма не был первым учёным, который попытался сделать ясными те места в книге Диофанта, где говорится о суммах двух квадратов. Такую же попытку, увенчавшуюся частичным успехом, предпринял Баше в своих комментариях к Диофанту. Другим комментатором был Франсуа Виет (1540–1603) — один из отцов-основателей современной алгебры. Третьим был Альбер Жирар (1595–1632), которому удалось дать необходимые и достаточные условия представимости данного числа в виде суммы двух квадратов за несколько лет до самых ранних известных нам записей Ферма по этому вопросу (см. Хит [H1], стр. 106). Жирар, очевидно, считал квадратом 02 = 0, и его условия состоят в том, что данное число можно представить в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оно является (1) квадратом, или (2) простым числом, которое на 1 больше, чем некоторое кратное 4, или (3) числом 2, или (4) любым произведением таких чисел. Справедливость этих условий подтверждается таблицей 1.2, в которой приведены все числа, меньшие 250, которые можно представить в виде суммы двух квадратов.

Таблица 1.2. Все числа, меньшие 256, которые являются суммами двух квадратов. Простые числа выделены жирным шрифтом 
y²   x² 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
1 2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226
4 8 13 20 29 40 53 68 85 104 125 148 173 200 229
9 18 25 34 45 58 73 90 109 130 153 178 205 234
16 32 41 52 65 80 97 116 137 160 185 212 241
25 50 61 74 89 10 125 146 169 194 221 250
36 72 85 100 117 136 157 180 205 232
49 98 113 130 149 170 193 218 245
64 128 145 164 185 208 233
81 162 181 202 225 250
100 200 221 244
121 242

Неясно, опирался ли Жирар только на подобные эмпирические данные или действительно знал доказательство. Кажется, Жирар и не претендовал на то, что может доказать необходимость и достаточность своих условий.

Ферма же, с другой стороны, утверждал, что он может доказать необходимость и достаточность условий Жирара.10 Более трудная часть этой теоремы — доказательство достаточности. Поскольку a2, очевидно, представляется в виде a2 + 02, поскольку 2 = 12 + 12 и поскольку формула (1) показывает, что произведения сумм двух квадратов сами являются суммами двух квадратов, доказательство достаточности сводится к доказательству того, что каждое простое число вида 4n + 1 можно записать как сумму двух квадратов. Ферма неоднократно приводил формулировку этой теоремы и с полной определённостью утверждал, что может строго доказать её, хотя, как обычно, неизвестно ни одной записи его доказательства. Ферма также пошёл дальше Жирара, утверждая, что он может доказать единственность представления такого простого числа в виде суммы двух квадратов и что у него есть общий метод нахождения такого представления, не прибегающий к перебору. Доказательства этих теорем (возможно, те самые, которые имел в виду Ферма, а быть может, другие) приведены в § 2.4 и 2.6.

Необходимость условий Жирара можно переформулировать как утверждение о том, что если частное от деления числа на наибольший содержащийся в нём квадрат делится на простое число вида 4n + 3, то данное число нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Это также одна из теорем Ферма. Она значительно проще, чем вторая часть теоремы о представлении чисел в виде суммы двух квадратов, но ни в коем случае не тривиальна. (Доказательство этой теоремы см. в упр. 2 к § 1.8.)

Другой задачей, которую детально рассмотрел Ферма, была задача о нахождении числа представлений данного числа в виде суммы двух квадратов. Эта задача не имеет отношения к теме нашей книги, и мы не будем рассматривать её здесь, однако суть её решения изложена в § 2.5.

Ферма обнаружил, что представления чисел в виде x2 + 2y2 или x2 + 3y2 управляются теми же законами, что и представления в виде сумм двух квадратов. Представления в виде x2 + 2y2 не понадобятся при изучении Последней теоремы Ферма, и мы ограничимся здесь лишь кратким обзором относящихся к ним фактов. В таблице 1.3 приведены все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде x2 + 2y2.

Таблица 1.3. Все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде x2 + 2y2. Простые числа выделены жирным шрифтом 
2y²   x² 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
2 2 3 6 11 18 27 38 51 66 83 102 123 146 171 198 227
8 8 9 12 17 24 33 44 57 72 89 108 129 152 177 204 233
18 18 19 22 27 34 43 54 67 82 99 118 139 162 187 214 243
32 32 33 36 41 48 57 68 81 96 113 132 153 176 201 228
50 50 51 54 59 66 75 86 99 114 131 150 171 194 219 246
72 72 73 76 81 88 97 108 121 136 153 172 193 216 241
98 98 99 102 107 114 123 134 147 162 179 198 219 242
128 128 129 132 137 144 153 164 177 192 209 228 249
162 162 163 166 171 178 187 198 211 226 243
200 200 201 204 209 216 225 236 249
242 242 243 246 251

Изучение этой таблицы показывает, что, как и в предыдущем случае, входящие в эту таблицу числа можно описать как (1) квадраты, или (2) простые, которые входят в таблицу, или (3) любое произведение таких чисел. Следовательно, процедура, которая позволяет записать данное число в виде x2 + 2y2, должна состоять в том, чтобы записать его в виде квадрата, умноженного на произведение первых степеней простых чисел, и выяснить, представимы ли входящие в это произведение простые в виде x2 + 2y2. Если они представимы в таком виде, то аналог формулы (1), а именно

(a2 + 2b2)(c2 + 2d2) = (ac – 2bd)2 + 2(ad + bc)2

(обе части равны a2c2 + 2a2d2 + 4b2d2), показывает, как записать исходное число в таком виде. Если хотя бы одно из них не представимо в виде x2 + 2y2, то по аналогии со случаем x2 + y2 и как подсказывает таблица следует ожидать, что и само исходное число не представимо в виде x2 + 2y2. Для полной аналогии со случаем x2 + y2 необходимо доказать эту теорему (если число, делённое на наибольший содержащийся в нём квадрат, имеет простой множитель, который не записывается в виде x2 + 2y2, то и само число не записывается в таком виде) и охарактеризовать все простые, которые представимы в виде x2 + 2y2. Ферма утверждал (и явно претендовал на то, что у него есть строгое доказательство), что нечётное простое можно представить в виде x2 + 2y2 тогда и только тогда, когда оно имеет вид 8n + 1 или 8n + 3. Доказательство того, что простые числа, не имеющие вида 8n + 1 или 8n + 3, не представимы в виде x2 + 2y2, — более лёгкая часть этой теоремы (см. упр. 3); обратное утверждение труднее (см. упр. 6 и 7 к § 2.4).

В отличие от представлений в виде x2 + 2y2 представления в виде x2 + 3y2 играют важную роль в изучении Последней теоремы, особенно в доказательстве Эйлера случая n=3, поэтому аналогичные теоремы о таких представлениях будут подробно доказаны в следующей главе. В таблице 1.4 приведены все числа вида x2 + 3y2, меньшие 256.

Таблица 1.4. Все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде x2 + 3y2. Простые числа выделены жирным шрифтом 
3y²   x² 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
3 3 4 7 12 19 28 39 52 67 84 103 124 147 172 199 228
12 12 13 16 21 28 37 48 61 76 93 112 133 156 181 208 237
27 27 28 31 36 43 52 63 76 91 108 127 148 171 196 223 252
48 48 49 52 57 64 73 84 97 112 129 148 169 192 217 244
75 75 76 79 84 91 100 111 124 139 156 175 196 219 244
108 108 109 112 117 124 133 144 157 172 189 208 229 252
147 147 148 151 156 163 172 183 196 211 228 247
192 192 193 196 201 208 217 228 241

Изучение этой таблицы показывает, что опять данное число можно представить в виде x2 + 3y2 тогда и только тогда, когда оно является (1) квадратом, или (2) простым числом такого вида, или (3) произведением таких чисел. Далее, легко заметить, что все входящие в таблицу простые числа, кроме числа 3 = 02 + 3·12, которое явно является здесь исключительным, отличаются одно от другого на кратные 6, а на самом деле каждое из них на единицу больше, чем некоторое кратное 6. Поскольку все простые вида 6n + 1 рано или поздно окажутся в этой таблице (но не вообще все числа такого вида, так как отсутствует 55), то естественно догадаться, что любое простое, отличное от 3, можно представить в виде x2 + 3y2 тогда и только тогда, когда оно имеет вид 6n + 1. Снова легко (см. упр. 2) доказать часть «только тогда» этой теоремы. Имеется аналог формулы (1), а именно

(a2 + 3b2)(c2 + 3d2) = (ac – 3bd)2 + 3(ad + bc)2,

который делает очевидной часть «тогда» первой из приведённых теорем. Далее, каждое простое, отличное от 3, можно представить в виде 3n + 1 или 3n + 2, и простые числа вида 3n + 1 должны иметь вид 6n + 1. Действительно, если n нечётно, то 3n + 1 чётно и, следовательно, не может быть простым.

Эти наблюдения сводят две приведённые выше теоремы к следующим утверждениям: если число, разделённое на наибольший содержащийся в нём квадрат, имеет простой делитель вида 3n + 2, то его нельзя представить в виде x2 + 3y2; каждое простое число вида 3n + 1 можно записать в виде x2 + 3y2. Эти теоремы доказываются в следующей главе.

Однако уже рассмотрение следующего случая показывает, что эти свойства представлений чисел в виде x2 + y2, x2 + 2y2, x2 + 3y2 являются чем-то исключительным. Выражение x2 + 4y2 является суммой двух квадратов, поэтому следующим случаем будет не x2 + 4y2, а x2 + 5y2. В таблице 1.5 приведены все числа, меньшие 256, которые представимы в виде x2 + 5y2.

Таблица 1.5. Все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде x2 + 5y2. Простые числа выделены жирным шрифтом 
5y²   x² 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
5 5 6 9 14 21 30 41 54 69 86 105 126 149 174 201 230
20 20 21 24 29 36 45 56 69 84 101 120 141 164 189 216 245
45 45 46 49 54 61 70 81 94 109 126 145 166 189 214 241
80 80 81 84 89 96 105 116 129 144 161 180 201 224 249
125 125 126 129 134 141 150 161 174 189 206 225 246
180 180 181 184 189 196 205 216 229 244
245 245 246 249 254

Заметим, что 21 встречается дважды (как 12 + 5·22 и 42 + 5·12), а его простые делители 3 и 7 не входят вообще. Это показывает, что в данном случае утверждения, подобные приведённым выше, не имеют места. Ферма высказал очень глубокую гипотезу о числах вида x2 + 5y2, которая свидетельствует о том, что он изучил эту задачу и осознал её коренное отличие от предыдущих. Гипотеза Ферма состоит в том, что если два простых числа p1 и p2 оба имеют вид 4n + 3, а их последняя цифра есть либо 3, либо 7, то pp2 представимо в виде x2 + 5y2. (Простые 3, 7, 23, 43, 47, 67, ... сравнимы с 3 по модулю 4 и оканчиваются на 3 или 7. Гипотеза состоит в том, что произведение любых двух этих чисел имеет вид x2 + 5y2. Например, 3·3 = 22 + 5·12, 3·7 = 42 + 5·12, 7·7 = 22 + 5·32, 3·23 = 82 + 5·12, 3·43 = 22 + 5·52, 7·23 = 92 + 5·42 и т.д.) Эта гипотеза не только верна, но и является основным фактом о числах вида x2 + 5y2 (см. упр. 1 к § 8.6). Это ещё одно подтверждение гениальности Ферма именно в теории чисел.

Упражнения
1. 

Докажите, что если x2 + y2 — нечётное простое число, то оно представимо в виде 4n + 1.

2. 

Докажите, что если x2 + 3y2 — простое, отличное от 3, то оно имеет вид 6n + 1.

3. 

Докажите, что если x2 + 2y2 — нечётное простое, то оно имеет вид либо 8n + 1, либо 8n + 3.

4. 

Докажите, что необходимость условия Жирара можно, как указано в тексте, переформулировать в виде утверждения о том, что если частное от деления числа на наибольший содержащийся в нём квадрат делится на простое вида 4n + 3, то данное число нельзя записать как сумму двух квадратов.

5. 

Покажите, что из теоремы Жирара следует утверждение Диофанта, согласно которому нельзя найти такие  рациональные числа x и y, что x2 + y2 = 15.

6. 

Докажите, что произведение двух чисел вида x2 + 5y2 также имеет такой вид.



1.8. Совершенные числа и теорема Ферма

Изучение «совершенных чисел» берёт своё начало в предыстории теории чисел, когда числам приписывали некие магические свойства. Число называется «совершенным», если оно равно сумме своих собственных делителей. Например, число 6 совершенно, поскольку 6=1+2+3. Современному математику это понятие уже не кажется ни слишком захватывающим, ни слишком интересным. Однако в течение многих веков оно пленяло и завораживало учёных. Дискуссия о совершенных числах велась в широком масштабе: от такой мистики, как утверждение Алкуина (735–804) из Йорка и Тура о том, что совершенством числа 6 объясняется сотворение мира за 6 дней, до более близких к науке попыток найти все совершенные числа. Во времена Ферма интерес к совершенным числам ещё далеко не угас, и в конце 1630-х годов между Ферма, Мерсенном, Декартом, Френиклем и другими велась обширная переписка по поводу совершенных чисел и родственных вопросов.

Евклид в «Началах» показал (Книга IX, предложение 36), что если 1+2+4+... + 2n–1 = 2n – 1 — простое число, то число 2n–1(2n – 1) совершенно. Например, 3=1+2 — простое, поэтому 2·3=6 — совершенное; 7=1+2+4 — простое, поэтому совершенно 22·7 = 28. В современных обозначениях это утверждение доказывается очень просто. Действительно, если p = 2n – 1 — простое, то собственными делителями числа 2n–1 p являются 1, 2, 4, ..., 2n–1, p, 2p, 4p, ..., 2n–2 p, и их сумма равна

1 + 2 + 4 + ... + 2n–1 + p(1 + 2 + 4 + ... + 2n–2) = p + p(2n–1 – 1) = 2n–1 p,

что и требовалось доказать. Условие Евклида является достаточным для того, чтобы число было совершенным. Никакие примеры других совершенных чисел неизвестны. Декарт утверждал (а Эйлер доказал это утверждение), что совершенное число имеет евклидов вид тогда (и, конечно, только тогда), когда оно чётно. [Читателю предлагается доказать эту теорему в качестве упражнения.] Вопрос о том, существуют ли нечётные совершенные числа, является знаменитой нерешённой проблемой. К счастью, здесь мы можем без неё обойтись.

Согласно условию Евклида, для нахождения совершенных чисел достаточно11 найти простые числа в последовательности 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, ... . Эта последняя задача уже представляет для нас значительный интерес. Короче говоря, для каких значений n число 2n – 1 является простым? Решая эту задачу, Ферма сделал важное открытие, известное теперь как теорема Ферма.

Во-первых, числа 15, 63, 255, 1023 (= 3 · 341), 4095, очевидно, не являются простыми. Вообще, если n чётно и больше 2, то 2n – 1 = 22k – 1 = (2k – 1)(2k + 1) — не простое. Нечётные значения n = 3, 5, 7 приводят к простым 7, 31, 127, но нечётное значение n = 9 даёт 511 и, как легко видеть, 511 делится на 7. Это приводит к предположению, что если n — не простое, то число 2n – 1 также не является простым. Это предположение легко проверяется, если заметить, что

2km – 1 = (2k – 1)(2k(m–1) + 2k(m–2) + ... + 2k + 1).

Последнее замечание сводит рассматриваемый вопрос к вопросу о том, для каких простых p число 2p – 1 является простым. Простые числа вида 2p – 1 называются простыми Мерсенна в честь постоянного корреспондента Ферма преподобного Марэна Мерсенна (1588–1648).

Простым 2, 3, 5, 7 соответствуют простые Мерсенна 3, 7, 31, 127 (и, следовательно, совершенные числа 6, 28, 496, 8128). Проверим, является ли простым 211 – 1. На этот вопрос легко ответить, найдя число 211 – 1 = 2047 в явном виде и пробуя делить его на все простые, меньшие √2047, чтобы узнать, делит ли какое-нибудь из них 2047 нацело. Однако поучительнее подойти к этой задаче другим способом, который можно использовать затем для больших, чем 11, показателей р.

Посмотрим, делится ли 211 – 1 на 7. Представим себе, что степени числа 2 записаны в одну строку, а под ними записаны их остатки при делении на 7:

n
2n
0
   1
1
   2
2
   4
3
   8
4
  16
5
  32
6
  64
7
 128
8
 256
9
 512
 ...
 ...
2n (mod 7) 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1  ...

Закономерность в расположении остатков очевидна, и ясно, что остаток от деления 2n на 7 равен 1 тогда и только тогда, когда n делится на 3, т.е. 7 делит 2n – 1 тогда и только тогда, когда 3 делит n. Следовательно, 7 не делит 211 – 1. Тот же метод можно использовать и для других простых. Некоторые результаты приведены в таблице 1.6.

Таблица 1.6. 
n
2n
0
   1
1
   2
2
   4
3
   8
4
  16
5
  32
6
  64
7
 128
8
 256
9
 512
10
 1024
11
 2048
12
 4096
13
 8192
 ...
 ...
2n (mod 3) 1 2 1 2 1 2 1   ... d = 2
2n (mod 5) 1 2 4 3 1 2 4   ... d = 4
2n (mod 11) 1 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 2   ... d = 10
2n (mod 13) 1 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 1 2   ... d = 12
2n (mod 17) 1 2 4 8 16 15 13 9 1 2 4 8   ... d = 8

Ясно, что для каждого простого p остатки расположены в циклическом порядке и существует такое целое d, что p делит 2n – 1 тогда и только тогда, когда d делит n. Как только этот факт замечен, его легко доказать. Поскольку при делении на p возможны только p–1 остатков, в последовательности остатков по крайней мере два остатка должны совпадать; пусть, скажем, числа 2n и 2n+m имеют один и тот же остаток. Тогда p делит их разность 2n+m – 2n = 2n (2m – 1), но p — простое число и не делит 2, следовательно, p делит 2m – 1. Поэтому остаток от деления числа 2m на p равен 1. Следовательно, число 1 входит в последовательность остатков. Пусть 2d — наименьшая степень числа 2, которая даёт в остатке 1. Тогда 2md при делении на p также даёт в остатке 1, поскольку

2md – 1 = (2d – 1)(2(m–1)d + 2(m–2)d + ... + 2d + 1)

делится на p. Обратно, единственными степенями числа 2, которые дают в остатке 1, являются степени, соответствующие кратным d. Действительно, если 2m даёт в остатке 1 и если m = qd + r  (q≥0, 0≤r<d), то как 2m = 2qd 2r, так и 2qd дают в остатке 1, и их разность 2qd (2r – 1) делится на p. Так как 2qd не делится на p, то это противоречит определению d (напомним, что 0≤r<d), за исключением случая, когда r=0 и m кратно d, что и требовалось доказать. Кроме того, выше мы заметили, что 2n+m и 2n дают одинаковые остатки только тогда, когда 2m даёт в остатке 1, т.е. остатки повторяются только через интервалы, длина которых делится на d. Следовательно, существует в точности d различных остатков и они циклически повторяются, как и в рассмотренных примерах.

Из этого замечания об остатках следует, что если мы хотим определить, делится ли 211 – 1 на p, достаточно найти соответствующее значение d и выяснить, делится ли 11 на d. Поскольку 11 — простое число, последнее условие равносильно тому, что d = 11. Для всех рассмотренных до сих пор простых ответ на этот вопрос отрицателен.

Существует более простой способ нахождения последовательности остатков, который не требует прямого вычисления 2n и деления его на p (для n = 1, 2, 3, ...). Например, поскольку известно, что при делении 128 на 13 получается остаток 11, то остаток от деления 256 на 13 легко найти путём удвоения 11 и вычитания 13 из полученного результата; таким образом, следующий остаток равен 22 – 13 = 9. Далее получится остаток 2·9 – 13 = 5, а за ним 2·5. Вообще, каждый остаток равен либо удвоенному предыдущему, либо удвоенному предыдущему минус p и любой из них лежит в области значений остатков 1≤rp–1. Действительно, если 2n – r делится на p, то 2n+1 – 2r делится на p, и отсюда немедленно следует, что 2n+1 и 2r имеют один и тот же остаток при делении на p. Таким образом, для p = 19 остатками являются 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, ..., поэтому d = 18 ≠ 11; следовательно, 211 – 1 не делится на 19. Для следующего простого p = 23 получаются остатки 1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12, 1, 2, 4, ...; отсюда следует, что d = 11 и 23 делит 211 – 1. Таким образом, 211 – 1 не является простым, и действительно, 211 – 1 = 2047 = 23·89.

Аналогичным образом можно подойти к задаче, является ли число 213 – 1 простым (а тем самым является ли число 212 (213 – 1) совершенным). Мы должны выяснить, существует ли простое p, для которого d = 13. Все рассмотренные до сих пор простые можно исключить (поскольку соответствующие им d оказались отличными от 13), и нам остаётся проверить, равно ли d числу 13 для p = 29, 31, 37, ... до последнего простого, которое меньше чем 2¹³ – 1 = √8191 < 91. Ферма заметил одну несложную закономерность в значениях d, которая позволяет немедленно исключить из рассмотрения все, кроме очень небольшого числа таких простых. Попробуйте обнаружить её самостоятельно! Вот несколько первых значений  d:

 p
d
  3
2
  5
4
  7
3
 11
10
 13
12
 17
8
 19
18
 23
11
 29
28
 31
5
 37
36

Конечно, поскольку d — число различных остатков, то d не превосходит p–1. Ферма заметил, что на самом деле d делит p–1. Отсюда следует, что d может равняться 13, только если 13 делит p–1. Поэтому возможными значениями p являются 13+1, 26+1, 39+1, 52+1, ... . Из них только нечётные числа 27, 27 + 26 = 53, 53 + 26 = 79, ... могут быть простыми. Поскольку 27 не является простым, а 79 + 26 больше чем 2¹³ – 1, то это означает, что нужно испытать только два простых, а именно: 53 и 79. Соответствующие им значения d, которые определяются использованным выше методом, равны 52 и 39. Таким образом, если мы убеждены в том эмпирическом факте, что d делит p–1, то из этих кратких вычислений мы сразу получаем, что 213 – 1 = 8191простое число.

Учитывая, что d делит m тогда и только тогда, когда 2m – 1 делится на p (см. выше), мы можем утверждение о том, что d делит p–1, переформулировать в виде «p делит 2p–1 – 1», или «p делит 2p – 2». Ферма формулирует свою теорему как в последнем виде, так и в виде d | (p–1).12 Как обычно, Ферма утверждает, что у него есть доказательство этой теоремы, но опускает его. Возможно, его доказательство было следующим.

Согласно определению, существуют в точности d возможных остатков 1, 2, 3, ..., p–1, которые могут встретиться при делении степеней 2 на  p. Если каждый из них встречается на самом деле, то d = p–1 и требуемое заключение d | (p–1) справедливо. В противном случае среди них найдётся хотя бы одно число k, не попадающее в число остатков. Среди возможных остатков 1, 2, 3, ..., p–1 рассмотрим те, которые получаются при делении на  p чисел вида k, 2k, 4k, 8k, ..., 2k, ... . Таких остатков в точности d, и ни один из них не входит в исходное множество из d остатков. Первое из этих двух утверждений следует из того, что 2n+m k и 2k дают один и тот же остаток тогда и только тогда, когда 2k(2m – 1) делится на  p, а это верно в том и только в том случае, когда mn делится на d. Для доказательства второго достаточно заметить, что если бы 2n и 2mk давали один и тот же остаток, то тем же свойством обладали бы 2n+1 и 2m+1k (поскольку 2n – 2mk делится на  p тогда и только тогда, когда 2(2n – 2mk) делится на  p), а также 2n+2 и 2m+2k, и т.д.; отсюда следует (если выбрать m+j делящимся на d), что 2n+j и k при делении на  p дают один и тот же остаток, а это противоречит выбору k. Если эти два множества остатков исчерпывают все p–1 возможных остатков, то p–1 = 2d и d | (p–1), что и требовалось доказать. В противном случае найдётся ещё один возможный остаток k', который не принадлежит ни тому ни другому множеству. Тогда, так же как и раньше, остатки чисел k', 2k', 4k', ..., 2nk', ... образуют множество, состоящее ещё из d различных остатков, ни один из которых не принадлежит никакому из двух уже найденных множеств. Продолжив этот процесс, мы разобьём множество всех p–1 возможных остатков на подмножества, каждое из которых состоит из d элементов. Отсюда, конечно, следует, что d обязательно делит  p–1, что и требовалось доказать.

Например, при p = 31 степени 2 дают остатки 1, 2, 4, 8, 16. В этот список не входит 3, и числа 3, 2·3, 4·3, 8·3, ... дают остатки 3, 6, 12, 24, 17. Ни один из этих списков не включает 5; при делении чисел 5, 2·5, 4·5, 8·5, ... в остатке получаются 5, 10, 20, 9, 18. Если продолжить таким образом, то остатки 1, 2, ..., 30 сгруппируются в шесть множеств из пяти элементов: три перечисленных выше и множества (7, 14, 28, 25, 19), (11, 22, 13, 26, 21), (15, 30, 29, 27, 23). Тот факт, что p–1 остатков всегда распадаются таким образом на множества из d элементов, гарантирует, что d всегда делит p–1.

Ни одно из этих рассуждений не зависит от каких-либо специальных свойств числа 2, которое было выбрано только потому, что оно появляется в связи с нахождением совершенных чисел, и для любого другого положительного целого a те же самые рассуждения доказывают такую теорему: если  p — простое, которое не делит a, то существует такое целое d, что p делит am – 1 тогда и только тогда, когда d делит m. Теорема Ферма утверждает, что d делит p–1. Согласно определяющему свойству d, это утверждение сводится к тому, что  p делит ap–1 – 1, или, что то же самое, что  p делит ap – a. Последнее утверждение самое краткое, поскольку в него вообще не входит d и поскольку оно справедливо, даже если p делит a. Это обычная формулировка теоремы Ферма: если p простое число и a произвольное целое, то  p делит ap – a.

Теорема Ферма — одно из самых важных арифметических свойств целых чисел; мы будем существенно пользоваться ею в последующих главах этой книги. Остальная часть данного параграфа, напротив, посвящена вопросу, который представляет лишь исторический интерес. Это вопрос о так называемых числах Ферма 21 + 1, 22 + 1, 24 + 1, 28 + 1, 216 + 1, 232 + 1, ... . В переписке Ферма неоднократно выражал своё убеждение в том, что все эти числа — простые. (Заметим, что 2n + 1 не является простым, если n не есть степень двойки; действительно, если n имеет нечётный делитель k, например n = km, то

2n + 1 = (2m + 1)(2m(k–1) – 2m(k–2) + ... + 22m – 2m + 1).

Таким образом, он полагал, что решил древнюю задачу нахождения формулы, которая даёт сколь угодно большие простые числа. В конце жизни Ферма даже заявил,13 что может доказать простоту всех таких чисел.

Несколько первых чисел Ферма — простые. Числа 21 + 1 = 3, 22 + 1 = 5 и 24 + 1 = 17, несомненно, простые. Простоту 28 + 1 = 257 можно доказать следующим образом. Если p делит 28 + 1, то оно делит (28 + 1)(28 – 1) = 216 – 1. Следовательно, соответствующее ему d (при a = 2) должно делить 16. Но делителями 16 являются только 1, 2, 4, 8, 16, и d не может равняться 1, 2, 4 или 8, поскольку в этом случае  p делило бы 28 – 1, а это противоречит предположению, что p делит 28 + 1. Следовательно, d = 16 и по теореме Ферма  p = 16n + 1 для некоторого целого n. Но наименьшее такое простое p = 17 уже больше чем 28 + 1, поэтому 28 + 1 не имеет собственных делителей, что и требовалось доказать.

Аналогично, единственными простыми делителями 216 + 1 могут быть только простые вида  p = 32n + 1. Поскольку 216 + 1 лишь немного больше чем 28 = 256, то мы должны испытать только простые числа в списке 33, 65, 97, 129, 161, 193, 225, в котором лишь два простых 97, 193. Ни одно из них не делит 216 + 1, поскольку остатки, которые получаются при делении степеней 1, 2, 4, 8, 16, ..., 216 на 97, равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 31, 62, 27, 54, 11, 22, 44, 88, 79, 61, так что при делении 216 + 1 на 97 получается в остатке 62, а остатки при делении этих степеней на 193 равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 63, 126, 59, 118, 43, 86, 172, 151, 109, и при делении 216 + 1 на 193 в остатке получается 110. Следовательно, 216 + 1 — простое число.

Аналогичное доказательство для 232 + 1 гораздо длиннее, и Ферма, должно быть, не пытался всерьёз его провести либо допустил ошибку в вычислениях. Согласно такому же рассуждению, как и выше, единственными простыми делителями 232 + 1 могут быть числа вида  p = 64n + 1. Если 232 + 1 не является простым, то его наименьший простой делитель не может быть больше чем 216. Поскольку числа 64n + 1 расположены через интервалы в 64 = 26 единицы, грубо говоря, надо проверить 210 = 1024 числа. Однако каждое третье из них делится на 3, каждое пятое — на 5, и т.д.; поэтому количество простых p = 64n + 1, лежащих в критической области, только порядка 500 или в этом роде. Доказывать таким способом, что 232 + 1 — простое число, — довольно долгое дело, хотя оно и займёт не больше нескольких дней. Однако число 232 + 1 не является простым; оно делится на 641. Если следовать описанной выше процедуре, то мы должны проверить последовательно 193, 257, 449, 577, а затем 641. Таким образом, 641 — всего лишь пятое14 простое число, которое следует проверить. Делитель 641 числа 232 + 1 был обнаружен Эйлером.

Эта неудача, кажется, — единственное серьёзное пятно на репутации Ферма как специалиста по теории чисел. Дело усугубляется тем, что, как нам теперь известно, следующие несколько чисел Ферма: 264 + 1, 2128 + 1, 2256 + 1 и несколько других — все составные. Не найдено ни одного простого числа Ферма за пределами 216 + 1. Однако даже здесь есть смягчающее обстоятельство, ещё одно подтверждение безошибочного инстинкта Ферма при выборе задачи. Через полтора века после того, как Ферма выдвинул свою гипотезу, юный Гаусс показал, что евклидово построение пятиугольника при помощи циркуля и линейки тесно связано с тем фактом, что 5 = 22 + 1 является числом Ферма. Вообще, Гаусс доказал, что если nпростое число Ферма, то правильный n-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки. Обратно, как утверждал Гаусс и доказал Ванцель (см. [K1a]), при помощи циркуля и линейки можно построить только те правильные n-угольники, для которых n = 2k pp... pm, где p1, p2, ..., pm — различные простые числа Ферма и k≥0.

Упражнения
1. 

Докажите, что число 237 – 1 не является простым. [При проверке данного простого не обязательно находить d; достаточно определить, делит ли это простое 237 – 1. Для этого не надо находить остатки, получающиеся при делении всех чисел 1, 2, 4, 8, 16, ... , так как достаточно найти только те остатки, которые получаются при делении чисел 2, 22, 24, 28, 216, 232, 232+4, 237.]

2. 

Докажите, что число, которое не удовлетворяет условиям Жирара, нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Точнее, докажите, что если p делит x2 + y2 и p — простое вида 4n + 3, то p делит как x, так и y. [Если p делит x2 + y2, то оно делит число (x2)2n+1 + (y2)2n+1. Если же p не делит хотя бы одно из x, y, то это число на 1 или 2 больше чем некоторое кратное p и, следовательно, не может делиться на p.]

3. 

Покажите, как можно построить правильный треугольник при помощи циркуля и линейки. Рассмотрите евклидово построение правильного пятиугольника («Начала», Книга IV, предложение 11). Покажите, как, используя эти два построения, можно построить правильный 15-угольник. Применяя теорему Гаусса и Ванцеля, найдите все такие значения n ≤ 30, что правильный n-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки.



1.9. Уравнение Пелля

В 1657 году — в довольно поздний период своей деятельности — Ферма в качестве вызова разослал другим математикам, в частности английским, одну задачу: он надеялся найти среди них кого-нибудь, кто разделял бы его интерес к теории чисел.

«Сейчас едва ли найдётся кто-нибудь, кто предлагает арифметические вопросы, и кто-нибудь, кто их понимает. Не потому ли это происходит, что до сих пор арифметику рассматривали скорее с геометрической, чем с арифметической точки зрения? Так было всегда — и в древних, и в современных работах; примером тому является даже Диофант. Ибо хотя он и более чем другие освободился от геометрии в том отношении, что ограничивает свой анализ рассмотрением рациональных чисел, однако даже у него геометрия не полностью отсутствует, как достаточно доказала Zetetica Виета, где метод Диофанта распространяется на непрерывные величины и тем самым на геометрию.

Теперь арифметика имеет, так сказать, собственную область изучения — теорию целых чисел. Евклид лишь слегка затронул её в своих «Началах», а его последователи недостаточно занимались этой теорией (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых мы лишились вследствие разрушительного действия времени); следовательно, арифметикам предстоит развивать или восстанавливать её.

Поэтому арифметикам, дабы осветить тот путь, по которому надо следовать, предлагаю я эту теорему, чтобы они доказали её, или эту задачу, чтобы они решили её. Если же преуспеют они в её доказательстве или решении, то им придётся признать, что вопросы такого рода ничем не уступают в отношении красоты, трудности или метода доказательства самым знаменитым вопросам геометрии.

Если дано произвольное число, которое не является квадратом, то найдётся также и бесконечное количество таких квадратов, что если этот квадрат умножить на данное число и к произведению прибавить единицу, то результат будет квадратом.

Пример. Пусть 3, которое не является квадратом, будет данным числом. Если умножить его на квадрат, равный 1, и к произведению добавить 1, то в результате получится 4, что является квадратом.

Если то же самое 3 умножить на квадрат 16, то получится произведение, которое при увеличении на 1 превращается в 49, тоже квадрат.

И кроме 1 и 16 можно найти бесконечное количество квадратов с тем же самым свойством.

Но я спрашиваю об общем правиле решения — когда дано произвольное число, не являющееся квадратом.

Например, требуется найти такой квадрат, что если произведение этого квадрата и числа 149, или 109, или 433 и т.д. увеличить на 1, то в результате получится квадрат». (Перевод на английский с латинского оригинала см. у Хита [H1, стр. 285—286].)


Вступление Ферма к формулировке этой задачи ясно показывает, что он делает чёткое различие между диофантовой традицией решения в рациональных числах и традицией, с которой он теперь ассоциирует самого себя, решения в целых числах. (По иронии судьбы в современной терминологии «диофантово» означает «целое», тогда как Диофант ни в одной дошедшей до нас части его работы не занимался решениями в целых числах.) Как это ни странно, вступление было опущено одним из посредников в том экзепляре письма, который был переправлен английским математикам; в результате они сочли эту задачу глупой, имеющей тривиальное диофантово решение

Ax2 + 1 = y2       (дано A, найти x, y),
 y = 1 +   m

 n

x       (например),
Ax2 + 1 = 1 +   2m

 n

x  m2

 n2

x2,
 An2x2m2x2 = 2mnx,
 x  2mn

 An2m2

,       y  An2 + m2

 An2m2

,

которое даёт бесконечно много рациональных ответов. Когда же дополнительное требование, что x и y должны быть целыми числами, дошло до них, они обнаружили, что это «решение» не имеет никакой ценности, и пожаловались, что Ферма изменил условие задачи. Конечно, их жалоба оправдана в свете сильной диофантовой традиции, но, как указал Ферма, с их стороны было наивно полагать, что он предложил столь тривиальную задачу.

Конечно, Ферма не был первым, кто начал изучать свойства целых чисел. В тех книгах «Начал» Евклида, которые посвящены арифметике, рассматриваются исключительно целые числа; Платон тоже неоднократно говорил о предпочтительности с философской точки зрения изучения целых чисел. Но Ферма возродил эту древнюю традицию и пытался при помощи своей задачи пробудить в других такой же интерес. Поскольку ему не удалось заинтересовать сограждан — например Паскаля — своими занятиями арифметикой целых чисел, теперь он был готов войти в международную переписку, пытаясь найти других учёных, которые разделяли бы его интересы.

Мотивировка задачи: «доказать, что для данного положительного целого A, не являющегося квадратом, найдётся бесконечно много целых x, для которых Ax2 + 1 является квадратом» — лежит в собственных работах Ферма, а так как Ферма был очень скрытным во всём, что касалось его математической деятельности, то теперь невозможно реконструировать тот путь, который привёл его к этой задаче. В какой-то мере эта задача неявно присутствует в некоторых местах у Диофанта (см. Диксон [D2, т. 2, стр. 345–346]), и довольно ясно, что некоторые задачи Диофанта и комментарии Баше к ним привели Ферма к задачам, которые включали целочисленные решения квадратных уравнений с двумя неизвестными, но детали этой связи непонятны. С определённостью можно лишь сказать, что эта задача была выбрана не случайно. Как обнаружили позднейшие исследования, это частное квадратное уравнение в целых числах  y2 – Ax2 = 1 играет важную роль в решении произвольных квадратных уравнений с двумя неизвестными в целых числах.

Конечно, Ферма не был первым, кто распознал важность этой задачи. Есть указания на то, что интерес к ней проявляли ещё древнегреческие математики — об этом свидетельствует пифагорово решение15 для случая A = 2, связанное с иррациональностью 2, а в немотивированном утверждении Архимеда, что 1351/780 > √3, проявляется знание решения 3·7802 + 1 = 13512 задачи Ферма при A = 3. Многие историки полагали, что древние греки обладали значительными знаниями этого предмета, которые не дошли до нас. Доказательства интереса, проявляемого к этой задаче в древней Индии, документированы полнее. (См. [D2, т. 2, стр. 346–350], [C3] или [H1, стр. 281–285].) В очень давние времена (за несколько веков до н.э.) в древней Индии было известно решение 2·4082 + 1 = 5772, а решение 92·1202 + 1 = 11512, являющееся наименьшим в случае A = 92, вместе с изощрённой техникой его вывода было получено Брахмагуптой (родился в 598 году н.э.). Общий способ решения этого уравнения (так называемый «циклический метод») дал Бхаскара Акхария (родился в 1114 году н.э.). Сущность этого метода состоит в следующем.

Предположим, что A = 67, т.е. задача состоит в том, чтобы найти такое целое x, что 67x2 + 1 является квадратом, или, что то же самое, найти такие целые x и y, что y2 – 67x2 = 1. Поскольку 82 – 67·12 = –3 достаточно близко к 1, в качестве первого приближения к таким числам x и y можно взять 1, 8. Рассмотрим теперь аналог формулы (1) из § 1.7 для этого случая, а именно формулу

(a2 – 67b2)(c2 – 67d2) = (ac + 67bd)2 – 67(ad + bc)2.

Применив её к равенствам 82 – 67·12 = –3 и r2 – 67·12 = s (где r, а тем самым и s должны быть определены позже), мы получим, что

(8r + 67)2 – 67(r + 8)2 = –3s.

Попытка сделать это число как можно меньше только за счёт выбора наименьшего возможного s привела бы к выбору r = 8, s = –3, и мы получили бы 1312 – 67·162 = 9. Ясно, что это никуда не ведёт. «Циклический метод» состоит в том, чтобы выбрать такое r, чтобы r + 8 делилось на 3, и в то же время сделать s возможно меньшим. Когда это сделано, последнее уравнение показывает, что 8r + 67 должно делиться на 3 и, следовательно, левая часть этого уравнения должна делиться на 32. Таким образом, s должно делиться на 3, и обе части уравнения должны делиться на 9. Это приводит к существенно новому случаю, в котором  y2 – 67x2 является маленьким числом.

Проведём эти рассуждения явно. Для того чтобы r+8 делилось на 3, r должно принимать одно из значений 1, 4, 7, 10, 13, ... . Выбор r = 7, s = –18 даёт наименьшее (по абсолютной величине) s; этим r и s соответствует равенство 1232 – 67·152 = 54, которое после сокращения на 9 превращается в

412 – 67 · 52 = 6.

Теперь этот процесс можно повторить. Умножая обе части последнего равенства на r2 – 67·12 = s, получим (41r + 67·5)2 – 67(5r + 41)2 = 6s. Если, как и раньше, выбрать такое r, что 5r + 41 делится на 6, то мы сможем обе части уравнения сократить на 62. Для того чтобы 5r + 41 делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы r + 1 = 6(r + 7) – (5r + 41) делилось на 6, что справедливо при r = 5, 11, 17, 23, ... . Выбор r = 5 даёт наименьшее значение s, и мы получаем 5402 – 67·662 = 6·(–42), что после сокращения на 62 превращается в

902 – 67 · 112 = –7.

Конечно, не ясно, привела ли эта процедура нашу задачу хоть немного ближе к решению, но по крайней мере понятно, что её продолжение может в конце концов привести к уравнению, правая часть которого, как и требуется, равна 1. В данной задаче дело обстоит именно так; продолжение процесса «циклического метода» в нашем случае даёт её решение:

12 – 67 · 02 +1        r = 8
 r = 7
 r = 5
 r = 9
 r = 9
 r = 5
 r = 7
 r = 8
82 – 67 · 12 –3
412 – 67 · 52 +6
902 – 67 · 112 –7
2212 – 67 · 272 –2
18992 – 67 · 2322 –7
35772 – 67 · 4372 +6
90532 – 67 · 11062 –3
488422 – 67 · 59672 +1

(Оригинальное индийское решение этой задачи использует приём, сокращающий вычисления. Обе части формулы 2212 – 67·272 = –2 возводятся в квадрат, что приводит к равенству (2212 + 67·272)2 – 67·(2·27·221)2 = 22, после сокращения которого на 22 получается окончательное решение 488422 – 67·59672. Заметим, что это есть приведённое выше диофантово решение с m = 221, n = 27, An2 – m2 = 2.) Коротко говоря, если A = 67 — данное число, то x = 5967 обладает тем свойством, что Ax2 + 1 является квадратом. «Бесконечное число» решений, которых требует Ферма, можно получить либо продолжая этот процесс и находя всё больше равенств, в которых правая часть равна 1 (и тогда окажется, что числа в правой части будут циклически повторяться: 1, –3, 6, –7, –2, –7, 6, –3, 1, –3, 6, — возможно поэтому такой процесс называется «циклическим методом»), либо используя уже найденное решение и получая другие возведением в квадрат:

= (488422 – 67 · 59672)2 =
= (488422 + 67 · 59672)2 – 67(2 · 5967 · 48842)2,

в куб

= [(488422 + 67 · 59672)2 – 67(2 · 5967 · 48842)2] (488422 – 67 · 59672) =
= [48842(488422 + 67 · 59672) + 67 · 2 · 48842 · 59672]2
              – 67[5967(488422 + 67 · 59672) + 488422 · 2 · 5967]2 =
= (488423 + 3 · 67 · 48842 · 59672)2 – 67(3 · 488422 · 5967 + 67 · 59673)2,

в четвёртую степень, и т.д. Это решает задачу Ферма в частном случае A = 67.

Точно так же можно применять циклический метод для нахождения решения задачи Ферма при произвольном A, которое не является квадратом. Коротко говоря, процедура заключается в следующем. На первом шаге берём равенство 12 – A·02 = 1. Предположим, что на n-м шаге мы имеем равенство p2 – Aq2 = k. Для того чтобы перейти к (n+1)-му шагу, умножим это равенства на r2 – A = s; получим (pr + qA)2 – A(p + qr)2 = ks, где r, а тем самым и s ещё должны быть определены. В качестве r выберем положительное целое, для которого p + qr делится на k и которому соответствует наименьшее возможное s. Тогда pr + qA делится16 на k, и, сократив обе части (pr + qA)2 – A(p + qr)2 = ks на k2, мы получим равенство следующего шага P2 – AQ2 = K, где P = (pr + qA)/|k|, Q = (p + qr)/|k| и K = s/k. Этот процесс продолжается до тех пор, пока на некотором шаге мы не придём к равенству требуемого вида p2 – Aq2 = 1. Тогда x = q является решением задачи Ферма, так как Aq2 + 1 = p2 — квадрат. Затем можно получить бесконечную серию решений, либо продолжая работать циклическим методом для нахождения других равенств p2 – Aq2 = k с k = 1, либо, как и выше, последовательно возводя в степени первое полученное решение.

В действительности этим методом удаётся получить решения задачи Ферма для всех значений A, которые не являются квадратами. В таблице 1.7 приведён список наименьших решений x уравнения Ax2 + 1 = квадрат для A = 2, 3, 5, 6, ... . Эта таблица показывает, что предложенные Ферма частные случаи A = 149, A = 109 являются чрезвычайно трудными. Случай A = 61 — несомненно, труднейший при всех A < 100 — был также выделен17 Ферма, когда он предложил эту задачу Френиклю примерно в то же самое время. Если и могли быть какие-то сомнения, то этот факт достоверно показывает, что Ферма владел процедурой решения, которая позволяла ему находить самые трудные случаи. (Хотя случай A = 433 не кажется особенно трудным: решение имеет 19 разрядов, а при A = 421 разрядов 33.)

Таблица 1.7. Наименьшие решения x уравнения Ax2 + 1 = квадрат. 
A x   A x   A x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

2
1

4
2
3
1

6
3
2
180
4
1

8
4
39
2
12
42
5
1

10
5
24
1820
2
273
3
4
6
1

12
6
4
3
320
2
531
30
24
3588
7
1

14
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
7
90
9100
66
12
2
20
2574
69
4
226153980
8
1

16
8
5967
4
936
30
413
2
267000
430
3
6630
40
6
9
1

18
9
6
30996
1122
3
21
53000
2
165
120
1260
221064
4
5
6377352
10
1
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
20
10
22419
5
4
3115890
93
130
15140424455100
2
28
12
113296
96
105
910
60
28254
11
1

22
11
414960
83204
40
419775
51
1484
570
927
2
224460
12606
21
3
519712
4
6578829
6
8
12
1

24
12
8
6
2113761020
4

К чести англичан, надо сказать, им удалось не только найти частные решения в предложенных Ферма трёх случаях, но и разработать общую процедуру получения решений для любого значения A. Кто сделал это — достоверно неизвестно. Хотя Джон Валлис первым дал описание процедуры и получил решения в трёх частных случаях, он приписывает авторство виконту Уильяму Броункеру. В опубликованной переписке Валлиса нет никаких указаний на то, что Броункер когда-либо сообщал ему что-либо об этом методе, кроме нескольких простых замечаний, которые, быть может, послужили зародышем идеи, развитой впоследствии Валлисом. Вполне возможно, Валлису было чрезвычайно важно завоевать расположение Броункера и добиться его покровительства, и потому он назвал этот метод методом Броункера; Броункер не только принадлежал к знати, он был также первым президентом Королевского общества.18

Концепция английского метода существенно отличается от концепции описанного выше «циклического метода», хотя вычисления очень похожи. В частности, оба метода обладают тем свойством, что их можно применять для нахождения решений в частных случаях, не будучи заранее уверенным, что это приведёт к успеху. Например, выше нам удалось найти решение в случае A = 67, когда мы получили равенство с правой частью 1; аналогично будет установлено, что при применении циклического метода к любому другому частному случаю мы получим в конце концов равенство с правой частью 1 и тем самым найдём решение поставленной задачи. Однако нет никаких очевидных причин, по которым равенство с правой частью 1 должно обязательно получаться во всех случаях; аналогично, нет очевидных причин, по которым всегда должен приводить к успеху английский метод.

Таким образом, англичане в действительности не решили задачу Ферма, которая заключалась в том, чтобы доказать, что «при данном A, отличном от квадрата, существует бесконечно много таких x, что Ax2 + 1 является квадратом», — несмотря на то, что им удалось дать процедуру нахождения x при данном A. Конечно, недостаёт доказательства того, что эта процедура всегда ведёт к успеху. Англичане не дали такого доказательства и, кажется, даже не осознавали, что оно необходимо. Однако это обстоятельство далеко не второстепенное, поскольку даже Эйлеру не удалось доказать, что английский метод всегда приводит к успеху. Лишь через 110 лет после того, как Валлис послал ответ на вызов Ферма, Лагранж дал первое доказательство этого утверждения. Доказательство Лагранжа в общих чертах намечено в упражнениях, которые следуют за этим параграфом.

Не вполне ясно, знал ли Ферма об этом недостатке решения Валлиса, и ещё менее очевидно, что его собственный метод был свободен от подобного недостатка. Ферма написал письмо, в котором признал, что англичанам в конце концов удалось решить его задачу; в нём он не проявил ни малейшей неудовлетворенности их методом, несмотря на отсутствие доказательства того, что этот метод всегда приводит к решению. Однако главным для Ферма в этом письме было убедить англичан признать, что перед ними была поставлена интересная и достойная их внимания задача. Короче говоря, Ферма по-прежнему надеялся пробудить в Валлисе и его окружении интерес к изучению целых чисел и, быть может, намеренно не обратил внимания на их упущения, чтобы воодушевить их на дальнейшие исследования.

Несколько лет спустя, подводя в письме к Каркави итоги некоторым своим открытиям в теории чисел, Ферма указал, что англичане получили решение его задачи Ax2 + 1 = квадрат только в отдельных частных случаях и что им не удалось дать «общее доказательство». Очевидная интерпретация этого замечания заключается в том, что Ферма заметил отсутствие доказательства того, что предложенный ими процесс всегда приводит к решению; с другой стороны, в нём можно видеть и менее глубокую критику того, что этот процесс описан в недостаточно общих терминах. Ферма утверждает, что он мог бы дать нужное здесь «общее доказательство», «надлежащим образом» применяя метод бесконечного спуска. Трудно понять, как можно использовать бесконечный спуск для доказательства того, что этот процесс — либо метод Валлиса, либо тесно связанный с ним индийский циклический метод — всегда приводит к решению. По этой причине утверждение Ферма нельзя считать несомненным свидетельством в пользу того, что он действительно имел совершенно удовлетворительное решение своей задачи.

В результате ошибки Эйлера эта задача Ферма известна теперь как «уравнение Пелля». Почему-то — возможно, по причине смутных воспоминаний, оставшихся от чтения «Алгебры» Валлиса, — у Эйлера создалось ошибочное впечатление, будто Валлис приписывает метод решения этой задачи не Броункеру, а Пеллю — современнику Валлиса, который часто упоминается в его работах, но, как оказалось, не имеет ничего общего с решением задачи Ферма. Эйлер впервые сделал эту ошибку ещё в 1730 году, когда ему было только 23 года, но она попала и в окончательное издание его «Введения в алгебру» [E9], написанного около 1770 года. Эйлер был самым популярным математическим автором своего времени, и с тех пор метод Валлиса–Броункера связан с именем Пелля, а задача, которая решается при помощи этого метода, т.е. задача нахождения всех целых решений уравнения  y2 – Ax2 = 1 с данным числом A, отличным от квадрата, известна как «уравнение Пелля», несмотря на то, что именно Ферма первым указал на важность этой задачи, а Пелль вообще не имел к ней никакого отношения.


1.10. Другие открытия Ферма в теории чисел

Многочисленные недоказанные утверждения Ферма остались вызовом для тех, кто пришёл ему на смену, и хотя ему не удалось пробудить интерес к теории чисел ни у Валлиса, ни у других математиков следующего поколения, на более поздних математиков, особенно начиная с Эйлера, попытки доказать или опровергнуть эти утверждения оказали огромное стимулирующее влияние. Как впоследствии выяснилось, все они, за исключением утверждения о том, что числа 232 + 1, 264 + 1, 2128 + 1, ... являются простыми, и, возможно, Последней теоремы xn + yn ≠ zn (n > 2), справедливы. Эти утверждения (кроме тех, которые обсуждались выше) не оказали непосредственного влияния на дальнейшую историю Последней теоремы Ферма, поэтому мы не будем рассматривать их подробно. Однако некоторые из них стоит упомянуть хотя бы для того, чтобы дать представление о размахе деятельности Ферма.

Одно из этих утверждений, согласно которому каждое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов, неявно содержится в книге Диофанта и явно сформулировано в комментариях Баше. Ферма утверждал, что он может доказать не только это утверждение, но и его обобщение, согласно которому каждое число можно представить в виде суммы трёх треугольных чисел, или четырёх квадратных чисел, или пяти пятиугольных, или шести шестиугольных чисел, и т.д. — ad infinitum. Здесь треугольными числами называются 0, 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15 и т.д.; квадратными — числа 0, 0 + 1 = 1, 1 + 3 = 4, 4 + 5 = 9, 9 + 7 = 16, 16 + 9 = 25, ..., а пятиугольными — числа 0, 0 + 1 = 1, 1 + 4 = 5, 5 + 7 = 12, 12 + 10 = 22, 22 + 13 = 35 и т.д. Вообще, n-угольные числа 0, 1, a2, a3, a4, ... получаются при последовательном сложении членов арифметической прогрессии 1, n – 1, 2n – 3, 3n – 5, ... . Таким образом, a0 = 0, a1 = 1, a2 = n, a3 = 3n – 3, a4 = 6n – 8, a0 = 10n – 15, ..., ak = ½k(k–1)n – k(k–2). (Многоугольные числа рассматривались в различных древних трактатах, включая трактат Диофанта, от которого до наших времён сохранились только фрагменты.) Впоследствии с этой красивой теоремой были связаны некоторые из величайших имён в истории математики: Лагранж первым доказал утверждение для квадратов, Гаусс — для треугольных чисел, а Коши впервые получил доказательство в общем случае.

Среди других недоказанных утверждений Ферма содержится теорема о том, что 25 + 2 = 27 является единственным целочисленным решением уравнения x2 + 2 = y3, а 4 + 4 = 8 и 121 + 4 = 125 — единственные решения уравнения x2 + 4 = y3. Казалось бы, эти простые утверждения возникли из ничего, и не видно никакого естественного пути, на котором можно было бы попытаться их доказать.19 Согласно другому утверждению такого типа, 1 + 1 + 1 + 1 = 4 и 1 + 7 + 49 + 343 = 400 являются единственными решениями уравнения 1 + x + x2 + x3 = y2 (упр. 1).

Адресованное Валлису и другим английским математикам предложение решить уравнение Пелля в действительности было вторым вызовом Ферма. Первый вызов был ещё труднее и оказался, по-видимому, выше их понимания. Ферма предложил две задачи. (1) Найти куб, который в сумме со всеми его собственными делителями даёт квадрат. [Например, сумма числа 343 и всех его собственных делителей (343 + 49 + 7 + 1 = 400) является квадратом. Найдите другой куб, обладающий тем же самым свойством.] (2) Найти квадрат, который в сумме со всеми его собственными делителями даёт куб. Решение этих задач можно найти в книге Диксона [D2, т. 1, стр. 54–58].

Ещё одна задача Ферма, заинтересовавшая Эйлера, состоит в следующем: дано число, которое является суммой двух кубов; запишите его в виде суммы двух кубов другим способом. Здесь кубы предполагаются рациональными, однако можно обычным образом избавиться от знаменателей и свести задачу к нахождению всех целочисленных решений уравнения x3 + y3 = u3 + v3. Френикль, перед которым Ферма поставил эту задачу, нашёл несколько решений, например 1729 = 93 + 103 = 13 + 123 и 40 033 = 163 + 333 = 93 + 343 (по-видимому, испытанным методом проб и ошибок).

В заключение ещё одна теорема, которую легко сформулировать, но далеко не легко доказать: ни одно треугольное число, большее 1, не является четвёртой степенью. Другими словами, при x>2 уравнение ½ x(x–1) = y4 не имеет решений в целых числах. Первое доказательство этого факта примерно через сто пятьдесят лет было опубликовано в «Теории чисел» Лежандра.

В письме к Каркави Ферма завершает подведение итогов своим любимым открытиям в теории чисел следующими словами: «Потомки, возможно, будут благодарны мне за то, что я показал, что Древние знали не всё». Какое драматичное свидетельство пропасти во взглядах между временем Ферма и нашим временем! Невозможно представить себе математика двадцатого века, который считал бы, что Древние знали всё. Напротив, в наше время считается (по крайней мере в том, что касается математики), что Древние вообще ничего не знали. Скорее мы можем быть благодарны Ферма за то, что он показал нам, какое стимулирующее влияние оказывает изучение работ великих деятелей науки прошлого и как оно способствует более глубокому проникновению в предмет.

Упражнение
1. 

Докажите утверждение Ферма о том, что единственными натуральными числами x, для которых 1 + x + x2 + x3 — квадрат, являются x=1 и x=7. Кроме них единственными целыми решениями являются x=0, –1. [Это прекрасная, но очень трудная задача. Воспользуйтесь тем, что x4 + y4 не может быть квадратом (§ 1.5), а уравнение x4 – y4 = z2 разрешимо только в тривиальных случаях  y = 0 или z = 0 (§ 1.6, упр. 2).]



Глава 2

ЭЙЛЕР


2.1. Эйлер и Последняя теорема Ферма при n=3

Леонард Эйлер (1707–1783), несомненно, был величайшим математиком своего времени. Он внёс вклад во все мыслимые области математики — от прикладной математики до алгебраической топологии и теории чисел, причём не только в виде новых теорем и методов, но и в виде целой серии учебников по алгебре, анализу, математической физике и другим областям. Эти учебники составили основу математического образования для нескольких последующих поколений.

О величии Эйлера как математика можно судить хотя бы по тому, что при изучении теории чисел создаётся впечатление, что Эйлер в основном интересовался теорией чисел; если же изучаешь расходящиеся ряды или дифференциальные уравнения, то кажется, что именно расходящиеся ряды или дифференциальные уравнения были для Эйлера любимым предметом исследования и т.д. Конечно, в этой книге мы будем главным образом интересоваться вкладом Эйлера в теорию чисел и, в частности, его достижениями, связанными с Последней теоремой Ферма. Независимо от того, была или не была теория чисел любимым предметом Эйлера, в течение всей своей жизни он проявлял к ней неослабевающий интерес, и одних только его результатов в этой области было бы достаточно, чтобы его имя навсегда осталось в анналах математики.

В истории Последней теоремы Ферма имеются противоречивые мнения о том, удалось ли Эйлеру доказать эту теорему при n = 3. Обычно считается, что Эйлер привёл доказательство случая n = 3, но оно было «неполным» в некотором важном отношении. В нескольких словах невозможно сформулировать суть дела точнее. Подробное объяснение значительно сложнее. Доказательство Эйлера содержало фундаментальный пробел, о котором Эйлер, очевидно, не подозревал. Исправить это доказательство непосредственно, т.е. предложить другое доказательство того утверждения, при доказательстве которого Эйлер допустил ошибку, далеко не просто. Однако, как мы покажем в § 2.5, это доказательство можно исправить косвенным образом — при помощи рассуждений, которые Эйлер применил при доказательстве других утверждений Ферма. Такой метод не даёт ответа на вопрос о том, можно ли залатать первоначальное доказательство Эйлера — что весьма желательно ввиду элегантности и общности этого доказательства — но он по крайней мере показывает, что уравнение x3 + y3 = z3 неразрешимо в целых положительных числах x, y, z.


2.2. Доказательство Эйлера для n=3

В своём доказательстве Последней теоремы Ферма при n = 3 Эйлер применяет принадлежащий Ферма метод бесконечного спуска. Он показывает, что если можно найти положительные целые числа x, y, z, удовлетворяющие уравнению x3 + y3 = z3, то существуют меньшие положительные целые с тем же свойством; таким образом, в случае разрешимости этого уравнения можно было бы найти убывающую бесконечную последовательность таких троек целых положительных чисел. Ясно, что такой последовательности не существует. Следовательно, нельзя найти таких чисел x, y, z.

Итак, предположим, что x3 + y3 = z3. Из этого уравнения следует, что любой делитель двух из трёх чисел x, y, z делит также и третье из них. Следовательно, обе части этого уравнения можно сократить на все общие делители и с самого начала считать, что числа x, y, z попарно взаимно просты, т.е. что наибольший общий делитель x, y, или x, z, или y, z равен 1. В частности, не более чем одно из чисел x, y, z может быть чётным. В то же время ясно, что по крайней мере одно из этих чисел является чётным: если x и y оба нечётны, то z чётно. Поэтому в точности одно из этих чисел является чётным.

Сначала предположим, что x, y нечётны, a z чётно. Тогда x+y и xy — чётные числа, скажем 2p и 2q соответственно, и x = ½(2p + 2q) = p + q, y = ½(2p – 2q) = p – q. Если x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) выразить через p и q, то получим

2p[(p + q)2 – (p + q)(pq) + (pq)2] = 2p(p2 + 3q2).

Числа p и q имеют противоположную чётность (поскольку p+q и pq нечётны) и взаимно просты: действительно, любой общий делитель этих чисел обязан делить x = p+q и y = pq и поэтому должен равняться 1. Кроме того, можно предположить, что p и q положительны. (Если x<y, то, меняя местами x и y, можно получить q>0. С другой стороны, xy, поскольку в противном случае x = y = 1, z3 = 2.) Следовательно, из предположения о существовании нечётных x, y, удовлетворяющих уравнению x3 + y3 = z3, следует, что существуют такие взаимно простые положительные целые p и q противоположной чётности, что

2p(p2 + 3q2) = куб целого числа.

К такому же выводу можно прийти при нечётном z и чётном x или y. В этом случае нечётное число, скажем y3, можно перенести в правую часть:

x3 = z3y3 = (zy)(z2 + zy + y2).

Тогда  zy = 2p,  z+y = 2q,  z = q+p,  y = qp и

x3 = 2p[(q + p)2 + (q + p)(qp) + (qp)2],

что приводит к тому же самому заключению:

2p(p2 + 3q2) = куб целого числа,

где p и q — взаимно простые положительные целые противоположной чётности.

Следующий шаг в нашем рассуждении, грубо говоря, состоит в том, чтобы заметить, что числа 2p и  p2 + 3q2 взаимно просты, и из этого замечания заключить, что их произведение может быть кубом тогда и только тогда, когда каждый из сомножителей является кубом. Обратите внимание на аналогию с методом из § 1.3, где анализируются решения уравнения x2 + y2 = z2. Однако утверждение, что 2p и  p2 + 3q2 взаимно просты, не вполне обосновано. Так как  p и q имеют противоположную чётность, то  p2 + 3q2 — нечётное число, и каждый общий делитель чисел 2p,  p2 + 3q2 обязан быть общим делителем чисел p,  p2 + 3q2, а потому и  p, 3q2. Но  p и q взаимно просты, поэтому отсюда следует, что единственным общим делителем может быть число 3. Однако если 3 делит  p, то оно делит и  p2 + 3q2 и 2p; поэтому 2p и  p2 + 3q2 не взаимно просты. Следовательно, доказательство распадается на два случая: в первом случае 3 не делит p, а потому 2p и  p2 + 3q2 взаимно просты, а во втором 3 делит p. Сначала мы рассмотрим первый случай; второй окажется простой модификацией первого.

Итак, предположим, что 3 не делит  p, и, следовательно, 2p и  p2 + 3q2 являются кубами. Применяя формулу

(a2 + 3b2)(c2 + 3d2) = (ac – 3bd)2 + 3(ad + bc)2

из § 1.7, можно найти кубы вида  p2 + 3q2:

(a2 + 3b2)3  = (a2 + 3b2)[(a2 – 3b2)2 + 3(2ab)2] =
= [a(a2 – 3b2) – 3b(2ab)]2 + 3[a(2ab) + b(a2 – 3b2)]2 =
= (a3 – 9ab2)2 + 3(3a2b – 3b3)2.

Таким образом, один из способов нахождения кубов вида  p2 + 3q2 состоит в том, чтобы выбрать произвольные числа a, b и положить

 p = a3 – 9ab2,       q = 3a2b – 3b3,

так что p2 + 3q2 = (a2 + 3b2)3. Главный пробел, который надо заполнить в доказательстве Эйлера, заключается в доказательстве утверждения, что такой способ даёт все кубы вида p2 + 3q2, т.е. если p2 + 3q2 является кубом, то существуют такие a и b, что p и q задаются приведёнными выше формулами. Эйлер обосновывает этот вывод при помощи ошибочного рассуждения, изложенного в следующем параграфе, однако он мог бы опираться и на рассуждение из § 2.5, которое, по существу, тоже принадлежит ему самому. В любом случае, считая это утверждение справедливым, оставшуюся часть доказательства провести сравнительно легко.

Выражения для  p и q можно разложить на множители:

 p = a(a – 3b)(a + 3b),       q = 3b(ab)(a + b).

Числа a и b, конечно, взаимно просты, ибо каждый их общий делитель обязан делить p и q, а потому равен 1. Кроме того,

 2p = 2a(a – 3b)(a + 3b) = куб целого числа.

Числа a и b имеют противоположную чётность, поскольку в противном случае  p и q оба были бы чётными. Следовательно, a – 3b, a + 3b — нечётные числа, и все возможные общие делители чисел 2a, a ± 3b обязаны делить a, a ± 3b, а потому и a, ±3b. Аналогично, каждый общий делитель чисел a + 3b, a – 3b обязан делить a и 3b. Короче говоря, единственным возможным общим делителем является число 3. Но 3 не делит a, поскольку в противном случае оно делило бы  p, что противоречит предположению. Следовательно, 2a, a – 3b, a + 3b взаимно просты, и каждое из этих чисел должно быть кубом, скажем 2a = α3, a – 3b = β3, a + 3b = γ3. Тогда β3 + γ3 = 2a = α3, и это даёт решение уравнения x3 + y3 = z3, состоящее из меньших чисел, чем исходное решение.

Точнее, α3β3γ3 = 2a(a – 3b)(a + 3b) = 2p. Число 2p положительно и делит z3, если z чётно, или x3, если х чётно. Тогда в любом случае α3β3γ3 меньше z3. Числа α, β и γ не обязаны быть положительными, но (–α)3 = –α3, поэтому отрицательные кубы можно перенести в другую часть уравнения, и мы получим уравнение вида X 3 + Y 3 = Z3, где X, Y, Z положительны и Z3 < z3. Итак, в случае когда 3 не делит p, спуск произведён.

Наконец, рассмотрим случай, когда 3 | p. Тогда  p = 3s и 3 не делит q. В этом случае 2p(p2 + 3q2) = 32 · 2s(3s2 + q2). Легко видеть, что числа 32 · 2s и 3s2 + q2 взаимно просты; следовательно, каждое из них является кубом. Согласно лемме, которую мы докажем позже, 3s2 + q2 может быть кубом только тогда, когда

 q = a(a – 3b)(a + 3b),       s = 3b(ab)(a + b)

при некоторых целых a и b. Число 32 · 2s является кубом, поэтому кубом будет 33 · 2b(a – b)(a + b) а следовательно, и 2b(a – b)(a + b). Легко видеть, что множители, входящие в последнее выражение, взаимно просты; таким образом, 2b = α3, a – b = β3, a + b = γ3, α3 = 2b = γ3 – β3. Как и выше, отсюда можно получить равенство вида X 3 + Y 3 = Z3, где Z3 < z3.

Итак, в любом случае из существования куба, представимого в виде суммы двух кубов, следует существование меньшего куба такого же вида, что невозможно. Для завершения доказательства остается только показать, что если существуют взаимно простые целые  p и q, для которых  p2 + 3q2 является кубом, то найдутся такие целые a и b, что  p = a3 – 9ab2 и q = 3a2b – 3b3. Доказательство этого утверждения приведено в § 2.5.


2.3. Арифметика иррациональных чисел

Метод, который Эйлер использовал при попытке доказать приведённое в § 2.2 утверждение о кубах вида p2 + 3q2, основывается на смелой идее распространения арифметики целых чисел при помощи операций сложения, вычитания и умножения на «числа» вида a + b–3 с целыми a и b. Ясно, как складывать, вычитать и умножать такие числа (особого упоминания заслуживает только правило умножения

(a + b–3)(c + d–3) = (ac – 3bd) + (ad + bc)√–3 );

в этой арифметике выполняются обычные законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности и, кроме того,

1 · (a + b–3) = a + b–3.

Говоря языком современной алгебры, «числа» a + b–3 образуют коммутативное кольцо с единицей.

Идея использования в вычислениях иррациональностей вида a + b–3 упрощает вывод достаточных условий для того, чтобы число p2 + 3q2 было кубом. Вместо применения формулы

(a2 + 3b2)(c2 + 3d2) = (ac – 3bd)2 + 3(ad + bc)2

можно рассуждать следующим образом. Разложим p2 + 3q2 на множители: (p + q–3)(p – q–3). Если один из этих множителей является кубом, скажем p + q–3 = (a + b–3)3, то легко проверить, что сопряжённый к нему, который получается заменой –3 на –√–3, является кубом сопряжённого к a + b–3, т.е. p – q–3 = (a – b–3)3. Следовательно, согласно коммутативности умножения, (p + q–3)(p – q–3) = [(a + b–3)(a – b–3)]3, т.е. p2 + 3q2 = (a2 + 3b2)3. Другими словами, для того чтобы найти куб вида p2 + 3q2, достаточно положить p + q–3 = (a + b–3)3. Разложив (a + b–3)3 по формуле бинома Ньютона:

p + q–3 = a3 + 3a2b–3 + 3ab2(–3) + b3(–3)√–3,

мы получим, что, для того чтобы записать p2 + 3q2 в виде куба некоторого числа, достаточно найти такие числа a и b, что  p = a3 – 9ab2, q = 3a2b – 3b3. Это и есть достаточное условие, найденное в предыдущем параграфе.

В этой части своей «Алгебры» [E9] Эйлер всерьёз путает необходимые и достаточные условия; поэтому очень трудно установить, что же он в действительности имел в виду. В примерах Эйлер, кажется, большей частью имеет дело с достаточными условиями: начиная с a и b, находит  p и q. Но иногда он допускает совершенно ошибочные утверждения. Например, Эйлер пишет: «Если число x2 + cy2 должно быть кубом, то отсюда, конечно, можно заключить, что каждый из его иррациональных множителей, а именно x + yc и x – yc, обязан быть кубом, поскольку эти множители взаимно просты в том смысле, что x и y не имеют общих делителей»; при этом Эйлер не доказывает, что x + yc и x – yc обязаны быть кубами. В заключении к тому же самому параграфу (§ 191 из последней части) Эйлер совершенно недвусмысленно утверждает: «Если ax2 + cy2 нельзя разложить на два рациональных множителя, то нет других решений, кроме приведённых здесь», т.е. ax2 + cy2 только тогда может быть кубом, когда существуют такие целые  p и q, что xa + yc = (pa + qc)3. Единственный намёк на доказательство этого утверждения состоит в приведённом выше рассуждении по аналогии, а именно: если AB является кубом и A и B взаимно просты, то A и B должны быть кубами. Последнее утверждение является теоремой, которую можно доказать20 для целых A и B; однако если A и B являются числами вида p + q–3 или xa + yc, то это доказательство непригодно. В частном случае a = 1, c = 3 утверждение Эйлера действительно справедливо (хотя доказательство совсем не такое, как для целых чисел), но существуют значения a и c, при которых оно неверно.

Эйлер рассматривает задачу «x2 + cy2 = куб» вслед за несколько более полным обсуждением случая «x2 + cy2 = квадрат». В первом случае он утверждает, что «если произведение двух чисел, например  pq, должно быть квадратом, то либо  p = r2 и q = s2, т.е. оба множителя должны быть квадратами, либо  p = mr2 и q = ms2, т.е. сомножители являются квадратами, умноженными на одно и то же число». Здесь снова это утверждение справедливо, если под «числами» понимаются «целые числа», и мы доказали его в § 1.4; однако Эйлер сразу же применяет этот принцип к числам, которые не являются обыкновенными целыми числами, а имеют вид x + yc. Обсуждение квадратов является более полным, чем обсуждение кубов, в том отношении, что Эйлер приводит нечто похожее на альтернативное доказательство утверждения, согласно которому для любого квадрата вида x2 + cy2 с взаимно простыми целыми числами x и y при некоторых целых a и b справедливо равенство x + yc = (a + bc)2. Это «доказательство» следует стандартному методу Диофанта, при котором квадратный корень из x2 + cy2 записывается в виде x + (p/q)y с некоторыми целыми числами  p и q, а затем производятся следующие упрощения:

( x  p

 q

 y ) 2 = x2 + cy2,
 2p

 q

 xy  p²

 q²

 y2 = cy2,
 2p

 q

   x

 y

 =   cq² – p²

 q²

 ,
 x

 y

 =   cq² – p²

 2pq

 .

«Но x и y должны быть взаимно простыми (так же, как  p и q), следовательно, x = cq2 – p2 и y = 2pq», так что21 x + yc = (p + qc)2. Эйлер утверждает, что этот альтернативный вывод «подтверждает22 правильность метода», однако из естественного предположения о взаимной простоте  p и q не следует взаимная простота cq2 – p2 и 2pq, а потому не следует и заключение Эйлера о том, что x = cq2 – p2 и y = 2pq. На самом деле пример 49 = 22 + 5·32 не только показывает неадекватность этого рассуждения, но и говорит о том, что само заключение неверно. Действительно, уравнения 2 = 5q2 – p2, 3 = 2pq не имеют рациональных решений  p и q, не говоря уже о целых решениях. (Эти гиперболы пересекаются при  p = √5/2, q = √9/10 и  p = –√5/2,  q = –√9/10.)

Высказывалось мнение ([D2, т. 2, гл. XX, а также стр. xiv]), что сам Эйлер замечает ошибочность предложенного им метода, когда (в § 195) он говорит, что при решении уравнения 2x2 – 5 = куб его методом потребовалось бы положить x2 + √5 = (a2 + b5)3 = a3·2√2 + 3a2b·2√5 + 3ab2·5√2 + b3·5√5 и, следовательно, x = 2a3 + 15ab2, 1 = 6a2b + 5b3. Из последнего уравнения следует, что b = ±1 и 6a2 + 5b2 = ±1. Ясно, что это невозможно. Следовательно, этот метод показывает, что 2x2 – 5 не может быть кубом, несмотря на то что это выражение является кубом при x = 4. Первоначальная реакция Эйлера на это противоречие заключалась в замечании: «Чрезвычайно важно установить причины этого противоречия». Естественно считать, что в этом замечании Эйлер признаёт важный недочёт своего метода и предлагает изучить его причины. Однако, как ясно показывают следующие два параграфа (§§ 196, 197), Эйлер был убеждён в том, что источник затруднений заключается в знаке минус в выражении 2x2 – 5y2 и в связанном с этим обстоятельством наличии решений уравнения Пелля x2 – 10y2 = 1, отличных от тривиального решения x = ±1, y = 0 (см. упр. 2). Не вникая в детали, достаточно сказать, что Эйлер, по-видимому, был уверен в том, что подобные трудности не возникнут в тех случаях, когда соответствующее выражение имеет знак плюс. Однако, как было указано выше, его метод не приводит к успеху в случае 49 = 22 + 5 · 32, а здесь второе слагаемое положительно и соответствующее уравнение x2 + 5y2 = 1 имеет только тривиальное решение.

В 1753 году Эйлер заявил, что он может доказать Последнюю теорему Ферма при n = 3 (письмо от 4 августа 1753 года к Гольдбаху, приведённое в [F6]); однако единственным опубликованным им доказательством является доказательство из «Алгебры» (1770). Размышляя об этом ошибочном доказательстве, разумно предположить, что в своём первоначальном методе он использовал менее оригинальное рассуждение, показывающее, что x2 + 3y2 = куб только тогда, когда x = a3 – 9ab2, y = 3a2 – 3b3, и что лишь позже ему пришла в голову элегантная — но неверная — идея доказать это утверждение, используя тот «факт», что произведение двух взаимно простых сомножителей x + y–3 и x – y–3 является кубом, только если кубами являются оба сомножителя. Независимо от того, правильно или нет это предположение, тех идей, которые Эйлер использовал в более ранней работе, достаточно для доказательства необходимой леммы о кубах вида x2 + 3y2.

Упражнения
1. 

«Число» x + yc называется единицей, если оно является делителем 1, т.е. если существует другое «число» такого же вида, произведение которого на данное число равно 1. Докажите, что единицы взаимно однозначно соответствуют решениям уравнения x2 + cy2 = ±1. Найдите все единицы вида x + y2. (Укажите способ нахождения бесконечного числа единиц и попытайтесь найти их все. Не нужно доказывать, что вы нашли все единицы.) Найдите все единицы вида x + y–41; вида x + y–7; вида x + y7; вида x + y–1.

2. 

Предположим, что  f 2 – 10g2 = 1 и x2 + y5 = f  + g10)(a2 + b5)3. Докажите, что 2x2 – 5y2 является кубом, даже если x2 + y5 не равно кубу вида (u2 + v5)3. Эйлер считал, что это явление объясняет, почему его методом не удаётся найти решение x = 4 уравнения 2x2 – 5 = куб. Покажите, что 4√2 + √5 имеет такой вид при a = 2, b = –1.



2.4. Эйлер о суммах двух квадратов

В 1747 году сорокалетнему Эйлеру удалось доказать теорему Ферма о том, что каждое простое число вида 4n + 1 является «суммой двух квадратов. В письме Гольдбаху от 6 мая 1747 года [F6], в котором он приводит доказательство этой теоремы, Эйлер говорит, что его основная цель состояла в доказательстве другой теоремы Ферма, согласно которой каждое число можно представить в виде суммы не более четырёх квадратов. Однако доказательство последней теоремы ускользало от Эйлера до тех пор, пока её не доказал Лагранж в 1770 году (после чего Эйлеру удалось значительно упростить доказательство), а доказанные Эйлером теоремы о суммах двух квадратов представляют значительную ценность. В частности, развитые для их доказательства методы позволили Эйлеру доказать основные факты о числах вида x2 + 3y2, а как будет показано в следующем параграфе, те же методы можно использовать для доказательства утверждений о кубах вида x2 + 3y2, которые требуются при доказательстве Последней теоремы Ферма в случае n = 3.

Доказательство Эйлера теоремы о том, что каждое простое число вида 4n + 1 можно представить в виде суммы двух квадратов, не требует много места и совершенно элементарно. (См. письма к Гольдбаху, а также [E8].)

[· · ·]

Применение тех же рассуждений к представлениям в виде a2 + 2b2 позволяет доказать следующее утверждение: для того чтобы данное число было представимо в виде a2 + 2b2, необходимо, чтобы частное от деления этого числа на наибольший содержащийся в нём квадрат не имело простых делителей вида 8n + 5 или 8n + 7. Для доказательства достаточности этого условия нужно только показать, что все простые вида 8n + 1 или 8n + 3 можно представить в виде a2 + 2b2. Именно это последнее утверждение, аналогичное (6'), Эйлеру не удалось доказать; впервые его доказал Лагранж. (Доказательство приведено ниже в упр. 6 и 7.)

Упражнения
1. 

Предположим, что некоторое простое представимо в виде a2 + b2. Докажите единственность такого представления. [Используйте доказательство утверждения (2).] Справедливо ли это утверждение для простых вида a2 + 2b2 или a2 + 3b2?

2. 

Докажите, что n-я разность от xn равна n! (и, следовательно, все более высокие разности тождественно равны нулю). [Докажите, что первая разность от многочлена n степени является многочленом (n–1)-й степени.]

3. 

Используя арифметику иррациональностей, получите формулу (a2 + 3b2)(c2 + 3d2) = (ac – 3bd)2 + 3(ad + bc)2. Проделайте то же самое и выведите аналогичную формулу для чисел вида a2 + kd2.

4. 

Докажите, что каждый делитель числа вида a2 – 2b2 при взаимно простых a и b представим в таком же виде (т.е. c2 – 2d2).

5. 

В § 1.7 было замечено, что 21 представимо в виде a2 + 5b2, но ни 3, ни 7 не представимы в таком виде. Найдите, в каком месте перестают работать методы данного параграфа, если попытаться применить их для доказательства утверждения, согласно которому каждый делитель данного числа вида a2 + 5b2 со взаимно простыми a и b представим в виде c2 + 5d2.

6. 

Следующим образом докажите, что каждое простое вида 8n + 3 представимо в виде a2 + 2b2. Пусть p = 8n + 3 — простое число. Через x обозначим целое (p+1)/2. Так как x8n+2 – 1 делится на  p, то x8n(p+1)2 – 4 делится на  p и, следовательно, (x4n – 2)(x4n + 2) делится на  p. Используя упр. 4, покажите, что  p не может делить x4n – 2. Следовательно,  p делит x4n + 2. Заключите отсюда, что  p = a2 + 2b2.

7. 

Следующим образом докажите, что каждое простое вида 8n + 1 представимо в виде a2 + 2b2. Пусть p = 8n + 1 — простое. Последовательные разности чисел 1, 28n, 38n, 48n, ... можно разложить в произведения a8n – b8n = (a4n – b4n)(a4n + b4n) и второй множитель можно записать в виде (a2n – b2n)2 + 2(anbn)2. Доказательство получается из этих замечаний при помощи методов данного параграфа.

8. 

Покажите, что эйлерово доказательство утверждения (2) можно получить при попытке произвести деление (a + b–1)/(p ± q–1).

9. 

Дайте другое доказательство утверждения (5), показав, что сравнение (x + 1)2n – x2n ≡ 0 (mod p) имеет не более 2n различных корней по модулю  p (в действительности число корней не превосходит 2n – 1). Вообще, если хотя бы один коэффициент многочлена  f (x) степени m не сравним с нулём по модулю  p, то сравнение  f (x) ≡ 0 (mod p) имеет не более m различных решений. [Не ограничивая общности, можно предположить, что старший коэффициент  f (x) не сравним с нулём по модулю  p. Если r — произвольное решение сравнения  f (r) ≡ 0 (mod p), то  f (x) = (x – r)q(x) + c, где q(x) — многочлен степени m–1, старший коэффициент которого совпадает со старшим коэффициентом многочлена  f (x), а c — целое число, сравнимое с нулём по модулю  p. Каждое решение s сравнения  f (s) ≡ 0 (mod p) (за возможным исключением s = r) является решением сравнения q(s) ≡ 0 (mod p). При m = 0 доказываемое предложение, очевидно, справедливо.]

10. 

В § 1.8 было указано, что все простые делители числа 232 + 1 сравнимы с 1 по модулю 64, так что 641 является только пятым простым, которое может делить 232 + 1. Покажите, что в действительности простые делители числа 232 + 1 должны быть сравнимы с 1 по модулю 128, так что 641 — только второе простое число, подлежащее рассмотрению. [Пусть p — простой делитель числа 232 + 1. Так как  p ≡ 1 (mod 64), то  p делит x2 – 2 для некоторого x. Но xp–1 ≡ 1 (mod p), поэтому предыдущие рассуждения показывают, что 64 делит (p – 1)/2.]

11. 

Разложите 232 – 1 на простые делители и получите отсюда, что 257 не делит 232 + 1. [Здесь не требуется никаких вычислений.]



2.5. Завершение доказательства Последней теоремы Ферма при n=3

Идея Эйлера проводить вычисления с «числами» вида a + bc тесно связана с использованием формулы

(x2 + cy2)(u2 + cv2) = (xucyv)2 + c(xv + yu)2,

которая неоднократно встречалась выше. Эта формула утверждает следующее. Предположим, что целое число A является произведением целых B и C, представимых в виде a2 + cb2, скажем B = x2 + cy2, C = u2 + cv2. Тогда A тоже можно записать в таком виде, используя для нахождения a и b формулу

a + bc = (x + yc)(u + vc).

Лемма, необходимая для доказательства Последней теоремы Ферма при n = 3, утверждает, что если a и b взаимно просты и a2 + 3b2 является кубом, то a + b–3 = (p + q–3)3 при некоторых целых p и q. Для доказательства этого утверждения естественно продолжить рассуждения Эйлера лишь на один шаг дальше и «разложить» a + b–3 следующим образом.

[· · ·]

Упражнения
1. 

Для доказательства следующего утверждения требуется только незначительная модификация проведённых выше рассуждений. Пусть a и b — взаимно простые числа; предположим, что a2 + 2b2 является кубом. Тогда существуют такие целые p и q, что a + b–2 = (p + q–2)3. Используйте это предложение для доказательства утверждения Ферма, согласно которому единственным решением уравнения x2 + 2 = y3 в целых числах является 52 + 2 = 33.

2. 

Аналогично, пусть a и b взаимно просты; предположим, что a2 + b2 является кубом. Докажите, что a + b–1 = (p + q–1)3. Доказательство этого утверждения при a = 0, b = 1 требует особого внимания. Докажите, что единственным решением уравнения x2 + 4 = y3 в целых числах при нечётном x является 112 + 4 = 53. [Это доказательство и доказательство упр. 1, по существу, предложены Эйлером, однако Эйлер, кажется, не заметил того, что этот метод решения уравнения a2 + b2 = куб предполагает взаимную простоту a и b. Поэтому его доказательство того, что x = 2, 11 являются единственными решениями уравнения x2 + 4 = y3, неполно.]

3. 

Дополните доказательство утверждения о том, что 112 + 4 = 53 и 22 + 4 = 23 являются единственными решениями уравнения x2 + 4 = y3, доказав, что если x2 + 4 = y3, и x чётно, то x = ±2. [Данное уравнение приводит к уравнению u2 + 1 = 2v3. Используйте деление числа u + √–1 на 1 + √–1 для того, чтобы записать v3 = (u2 + 1)/2 в виде суммы двух квадратов, скажем a2 + b2. Поскольку a и b отличаются на 1, они взаимно просты и можно получить равенство 1 = (p + q)(p2 – 4pq + q2), где p и q целые. Таким образом, p + q = p2 – 4pq + q2 = ±1 и –6pq = 0 или –2. Следовательно, p или q должно равняться 0, что приводит к x = ±2.]

4. 

Докажите, что в утверждении (3) самое большее одно из чисел pk+ 3qk2 равно 4.

5. 

Найдите все представления в виде a2 + 3b2 (a, b не обязательно взаимно простые) следующих чисел: (a) 91; (b) 49; (c) 336.



2.6. Дополнение о суммах двух квадратов

В одном письме от 1654 года Паскалю [F3], которое почти наверное не было известно Эйлеру, Ферма сформулировал некоторые свои теоремы, среди которых была теорема о представимости каждого простого числа вида 4n + 1 в виде суммы двух квадратов. Список приведённых в этом письме теорем почти совпадает со списком теорем из упомянутого выше письма к Дигби (§ 2.4), однако есть и важное различие. В письме к Паскалю Ферма дополнительно ставит задачу нахождения разложений в виде суммы двух квадратов, а именно: «для любого данного простого числа такого вида, скажем 53, найти по общему правилу два квадрата, из которых это число составлено» (курсив наш). Конечно, такое разложение всегда можно найти методом проб и ошибок (в примере Ферма решение таким методом: 53 = 4 + 49 — получается почти мгновенно). Ясно, однако, что Ферма придавал особую важность нахождению более методичного и эффективного способа.

Доказательство Эйлера является косвенным; оно использует рассуждение от противного, которое показывает, что если бы простое число вида 4n + 1 не было суммой двух квадратов, то можно было бы указать бесконечно убывающую последовательность положительных целых чисел. Следовательно, это доказательство не решает предложенную Ферма задачу нахождения конструктивного метода. Однако, как часто бывает в таких ситуациях, более тщательный анализ этого доказательства от противного показывает, что его можно видоизменить и получить конструктивное доказательство, причём эта модификация придаёт и самому доказательству бо́льшую ясность.

[· · ·]

Упражнения
1. 

Запишите 97 в каждой из трёх форм a2 + b2, a2 + 3b2, a2 + 2b2.

2. 

Запишите 193 в каждой из трёх форм упр. 1.

3. 

Запишите 7297 во всех трёх формах.

4. 

В статье Якоби [J1] содержатся обширные таблицы представления простых в виде a2 + b2, a2 + 2b2 и a2 + 3b2. Просмотрите эти таблицы и выведите несколько приведённых в них представлений.



Глава 3

ОТ ЭЙЛЕРА ДО КУММЕРА


3.1. Введение

Когда Эйлер в письме Гольдбаху от 4 августа 1753 года говорил, что ему удалось доказать Последнюю теорему Ферма в случае n = 3, он отметил, что это доказательство представляется ему совершенно отличным от того, которое было в случае n = 4, и что доказательство общего случая кажется весьма далёким. В последующие 90 лет было получено ещё несколько — очень немного — частных случаев и частичных результатов, но общий случай всё ещё казался абсолютно недостижимым. Затем, в 1840-е годы, Куммер развил свою теорию идеальных делителей и с её помощью получил новые глубокие результаты, касающиеся Последней теоремы Ферма, которые породили надежду, что и сам общий случай вскоре будет доказан.

Эта глава посвящена наиболее важным результатам, полученным в течение этого девяностолетнего периода. В § 3.2 формулируется и доказывается теорема Софи Жермен, § 3.3 посвящён доказательству Последней теоремы Ферма в случае n = 5, полученному Лежандром и Дирихле, а § 3.4 — нескольким замечаниям о доказательствах, которые получили Дирихле и Ламе в случаях n = 14 и n = 7 соответственно. Теорема Софи Жермен имеет важное значение, и хотя позже она была обобщена и улучшена, она не была ничем заменена со времени её открытия. В то же время доказательства случаев n = 5 и n = 7 были заменены доказательствами Куммера Последней теоремы Ферма для «регулярных простых» (а случай n = 14 — более общим случаем n = 7). Сейчас они представляют интерес лишь как примеры того, что можно сделать более элементарными средствами, не обращаясь к теории идеальных делителей, и как развитие теории привело к великим открытиям Куммера.

Хотя на протяжении этого периода прогресс на пути к доказательству Последней теоремы Ферма был невелик, развитие теории чисел в целом достигло громадных успехов. В эту эпоху жили трое из крупнейших за всю историю теоретиков в области чисел — Лагранж, Лежандр и Гаусс.

Лагранж был уже упомянут выше как в связи с решением уравнения Пелля (§ 1.9), так и в связи с доказательством того, что каждое число может быть записано в виде суммы четырёх квадратов (§ 2.4). Выдающиеся способности Лагранжа были признаны Эйлером, когда Лагранж был ещё совсем молод, и сотрудничество между ними было весьма плодотворным. Когда Эйлер оставил двор Фридриха Великого, чтобы в 1766 году вернуться в Россию, Лагранж заменил его в Берлине. Более того, когда в 1783 году Эйлер умер, Лагранж бесспорно занял его место крупнейшего европейского математика. Подобно Эйлеру, он был необычайно разносторонен. Ему принадлежат фундаментальные результаты в небесной механике, вариационном исчислении, алгебре, анализе и т.д., но, как и у Эйлера, в его работах видна особая любовь к теории чисел.

Лежандр — которого из-за имени легко спутать с Лагранжем — определённо не достиг уровня Эйлера и Лагранжа, но был прекрасным математиком, проделавшим важную работу в широком разнообразии областей, особенно в теории эллиптических функций, алгебре и теории чисел. Но ещё важнее, быть может, то, что он был очень плодотворным автором, работы которого охватили большой диапазон тем и достигли широкой аудитории. Его «Теория чисел» (Théorie des Nombres), впервые опубликованная в 1798 году, выдержала несколько изданий и оказала глубокое влияние на математическую культуру эпохи.

Гаусс опубликовал свои великие «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae) в 1801 году (ему было в то время 24 года) и сразу же завоевал признание23 как гений первой величины. Он также был великим универсалом — о нём говорили, что не было ни одного направления в развитии математики XIX века, которое бы он не предвидел в своей работе, — но он также считал теорию чисел — высшую арифметику, как он предпочитал называть её, — царицей математики. В дополнение к Disquisitiones Arithmeticae он опубликовал два классических мемуара по биквадратичной взаимности в 1828 и 1832 годы, которые оказали большое влияние на развитие теории чисел.

Деятельность этих учёных не имеет в большей части непосредственного отношения ни к самой Последней теореме Ферма, ни к методам, которые позже были успешно применены для её изучения. Однако косвенно их деятельность оказала очень большое влияние на развитие этих методов. Помимо общего влияния, из-за которого целое поколение математиков было воспитано в убеждении, что высшая арифметика является царицей всей математики, имеется по крайней мере два весьма частных аспекта, которые будут изучены в следующих главах. Теория идеальных делителей, развитая Куммером для исследования высших законов взаимности, и выведенная Дирихле аналитическая формула числа классов бинарных квадратичных форм с данным детерминантом — обе выросли на почве работ этих трёх теоретиков и обе стали впоследствии основой исследования Последней теоремы Ферма.

Таким образом, краткость этой главы не означает, что период от Эйлера до Куммера был малоплодотворным. Наоборот, этот период во многих отношениях был золотым веком теории чисел. Краткость этой главы означает лишь, что в течение этого периода исследование Последней торемы Ферма отошло на задний план, пока развивались другие разделы теории чисел — главным образом бинарные квадратичные формы и законы взаимности, — что только позже принесёт плоды в исследовании Последней теоремы Ферма.


3.2. Теорема Софи Жермен

Одной из очень немногих женщин, которым вплоть до настоящего времени удалось преодолеть предубеждение и дискриминацию, направленные на отстранение женщин от занятий высшей математикой, была Софи Жермен (1776–1831). Она вела активную переписку с Гауссом, жившим в Гёттингене, и была лично знакома с Лежандром в Париже. В письмах Гауссу она вначале подписывалась мужским псевдонимом, опасаясь, что иначе Гаусс не воспринял бы её всерьёз. Как бы он поступил — неясно. Известно лишь, что она добилась его расположения, не пытаясь заинтриговать его тем фактом, что она — женщина-математик, и когда обман раскрылся, Гаусс пришёл в полный восторг.

«Но как описать Вам моё восхищение и изумление, когда я увидел, что мой уважаемый корреспондент г-н Лебланк превратился в эту выдающуюся личность [Софи Жермен, которой он писал после раскрытия обмана], преподнёсшую столь яркий пример того, во что, я бы сказал, трудно поверить. Склонность к абстрактным наукам вообще, а к таинствам чисел в особенности — исключительно редкое качество: это не тот предмет, который поражает каждого; захватывающее очарование этой возвышенной науки открывается только тем, кто имеет мужество углубиться в неё. Но когда особа женского пола, которой на этом тернистом пути, в соответствии с нашими обычаями и предрассудками, приходится сталкиваться с неизмеримо большими, чем мужчинам, трудностями, всё же добивается успеха в преодолении этих препятствий и проникает в самые тёмные области исследований,— она несомненно должна обладать самым доблестным мужеством, совершенно необычайными личными качествами и высшей одарённостью. В самом деле, ничто не могло бы убедить меня столь лестным и недвусмысленным образом в том, что притягательная сила этой науки, обогатившей мою жизнь таким количеством радостей, не является плодом фантазии, как преданность, которой удостоили её Вы». (См. [G8].)


Взаимоотношения между Гауссом и Лежандром всегда были натянутыми, и, к чести Софи Жермен, нужно сказать, что её отношения с ними обоими были наилучшими. Именно Лежандр сделал её знаменитой,24 упомянув о ней в своей «Теории чисел» [L7] и присвоив её имя очень важному результату по Последней теореме Ферма, который под её именем известен и сейчас. Эта теорема приведена ниже, вслед за обсуждением нескольких частных вопросов.

[· · ·]


Глава 4

КУММЕРОВА ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ


4.1. События 1847 года

Сообщения Парижской Академии и Прусской Академии в Берлине за 1847 год рассказывают о драматическом эпизоде в истории Последней теоремы Ферма. Эпизод начинается докладом, сделанным 1 марта на собрании Парижской Академии ([A1, стр. 310]), в котором Ламе объявил, испытывая, вероятно, сильное волнение, что он нашёл доказательство невозможности равенства xn + yn = zn для n > 2 и, следовательно, полностью решил эту давнюю знаменитую проблему. Краткий набросок доказательства, который дал Ламе, был, как он несомненно осознал позже, увы, недостаточным, и нет необходимости рассматривать его здесь в подробностях. Однако его основная идея была простой и убедительной и оказалась центральной в последующем развитии теории. Доказательства случаев n = 3, 4, 5, 7, которые были найдены к тому времени, все опирались на такие алгебраические разложения, как x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) в случае n = 3. Ламе ощущал, что всё большие затруднения при переходе к большим n вызываются ростом степени одного из сомножителей в этом разложении, и высказал мысль, что их можно преодолеть, полностью разложив выражение xn + yn на n линейных сомножителей. Это можно сделать посредством введения такого комплексного числа r, что rn = 1, и использования алгебраического тождества

xn + yn = (x + y)(x + ry)(x + r2y) ... (x + rn–1y)     (n нечётно). (1)

Например, если r = cos (2π/n) + i sin (2π/n) = ei/n, то полином X n – 1 имеет n различных корней: 1, r, r2, ..., rn–1, и на основании элементарных алгебраических соображений мы имеем:

X n – 1 = (X – 1)(Xr)(Xr2) ... (Xrn–1);

полагая X = –x/y и умножая на –yn, получаем искомое тождество (1). Если говорить очень коротко, то идея Ламе состоит в применении технических приёмов, использовавшихся ранее для элементарного, неполного разложения выражения xn + yn (в частных случаях), к его полному разложению. Именно, он собирался показать, что если x и y таковы, что сомножители x + y, x + ry, ..., x + rn–1y попарно взаимно просты, то равенство xn + yn = zn обязывает каждый сомножитель x + y, x + ry, ... быть n степенью, и извлечь отсюда невозможный бесконечный спуск. Если же x + y, x + ry, ... не взаимно просты, то он собирался показать, что они имеют такой общий для них всех множитель m, что числа (x + y)/m, (x + ry)/m, ..., (x + rn–1y)/m уже взаимно просты, а затем и к этому случаю применить сходный приём.

Ни на минуту не сомневаясь в том, что идея такого привлечения комплексных чисел — это ключ, который мог бы отпереть дверь к Последней теореме Ферма, Ламе восторженно сказал, что он не может отнести этот успех целиком на свой счёт, поскольку идея была ему подсказана его коллегой Лиувиллем в случайном разговоре за несколько месяцев до этого. Однако Лиувилль со своей стороны не разделил энтузиазма Ламе. Он взял слово после выступления Ламе лишь затем, чтобы высказать некоторые сомнения относительно предложенного доказательства. Он отказывался признать какой бы то ни было свой приоритет в идее введения комплексных чисел, указывая, что многие другие математики, и среди них Эйлер, Лагранж,25 Гаусс, Коши и «более всех Якоби», использовали в прошлом комплексные числа сходным образом. Сказанное им практически сводилось к тому, что замысел Ламе входит в число первых идей, которые пришли бы в голову компетентному математику, впервые соприкоснувшемуся с этой проблемой. Более того, он отметил, что предложенное Ламе доказательство содержит весьма важный, по его мнению, пробел. Прав ли Ламе, спрашивал он, утверждая, что каждый сомножитель является n степенью, если он доказал лишь, что сомножители взаимно просты и что их произведение есть n степень? Конечно, в случае обычных целых чисел это утверждение было бы справедливо, но доказательство опирается26 на разложение целых чисел на простые сомножители, и никоим образом не ясно, что необходимые технические средства применимы к тем комплексным числам, для которых эти средства были нужны Ламе. Лиувилль чувствовал, что никакой восторг не оправдан, если (или пока) этот трудный вопрос не решён.

Коши, выступивший после Лиувилля, казалось, поверил в то, что Ламе, возможно, добьётся успеха, поскольку он поторопился напомнить, что им самим в октябре 1846 года на заседании Академии была высказана идея, могущая, как он считал, привести к доказательству Последней теоремы Ферма, но ему не хватило времени для её дальнейшего развития.

Сообщения о собраниях последующих недель свидетельствуют о большой активности со стороны Коши и Ламе в попытках осуществления своих идей. Ламе признавал логическую законность критики Лиувилля, но ни в коей мере не разделял его сомнений относительно правильности окончательного результата. Он утверждал, что его «леммы» дают способ разложения рассматриваемых комплексных чисел на множители и что все изученные им примеры подтверждают единственность разложения на простые множители. Он был уверен, что «не может быть непреодолимого препятствия между таким полным подтверждением и строгим доказательством».

На собрании 15 марта Ванцель заявил, что он доказал единственность разложения на простые, но его доводы покрывали только легко проверяемые случаи n ≤ 4 (n = 2 есть случай обычных целых чисел, n = 3 по существу представляет собой случай, исследованный в § 2.5, а случай n = 4 был наскоро доказан Гауссом в его классической статье о биквадратичных вычетах); относительно остальных случаев он просто сказал, что, «как легко видеть», те же рассуждения применимы при n > 4. Однако это не так, и Коши сообщил об этом 22 марта. Начиная с этого времени Коши пускается в длинную серию статей, в которых он сам пытается обосновать алгоритм деления для рассматриваемых комплексных чисел — «радикальных полиномов», как он их называет, — из которого он мог бы заключить, что единственность разложения имеет место.

В сообщениях от 22 марта зарегистрировано, что Коши и Ламе оба депонировали в Академию «секретные пакеты». Депонирование секретных пакетов было неким установлением Академии, которое позволяло её членам прибегать к регистрации, в качестве их собственности, некоторых идей в некоторый момент времени — не раскрывая самих этих идей — на случай, если позже возникнет дискуссия о приоритете. В свете событий марта 1847 года почти нет сомнений в содержании этих двух пакетов. Однако, как оказалось, никаких приоритетных споров по поводу единственности разложения и Последней теоремы Ферма не возникло.

В последующие недели Ламе и Коши оба опубликовали заметки в сообщениях Академии; эти заметки досадно неясные, неполные и неубедительные. Затем, 24 мая, Лиувилль опубликовал в сообщениях письмо Куммера из Бреслау, которое заканчивало или должно было закончить всю дискуссию. Куммер написал Лиувиллю, чтобы сообщить ему, что его сомнения относительно неявного использования Ламе единственности разложения были вполне обоснованными. Куммер не только утверждал, что единственность разложения не имеет места, он включил в свое письмо копию статьи [K6], которую опубликовал27 тремя годами раньше и в которой продемонстрировал отсутствие единственности разложения как раз там, где Ламе утверждал, что она имеет место. Тем не менее, писал далее Куммер, теория разложения может быть «спасена» введением нового типа комплексных чисел, которые он назвал «идеальными комплексными числами»; эти его результаты были опубликованы годом раньше в сообщениях Берлинской Академии28 в форме резюме [K7], а полное изложение их появилось в Журнале Крелля [K8]. В течение долгого времени он занимался приложениями этой новой теории к Последней теореме Ферма. В письме он сообщил, что ему удалось свести её доказательство для данного n к проверке двух условий для этого n. Относительно деталей этого приложения и его двух условий он отсылал к заметке, опубликованной им в том же месяце в сообщениях Берлинской Академии (15 апреля 1847 года). Там он действительно приводит полностью эти два условия и говорит, что у него «есть основания полагать», что n = 37 не удовлетворяет им.

Записей о реакции учёных мужей Парижа на такие потрясающие новости не сохранилось. Ламе просто замолк. Что же касается Коши, он, то ли из упрямства, то ли потому, что вложил меньше усилий в успех единственности разложения, продолжал публиковать свои неясные и неубедительные статьи в течение ещё нескольких недель. В своей единственной прямой ссылке на Куммера он говорит: «То немногое, что [Лиувиллем] было сказано [о работе Куммера], убеждает меня в том, что выводы, к которым пришёл г-н Куммер, по крайней мере отчасти совпадают с теми, к которым я сам пришёл, продолжая свои прежние исследования. Если г-н Куммер продвинул этот вопрос на несколько шагов дальше и если он действительно преуспел в преодолении всех препятствий, я первым буду аплодировать его усилиям; больше всего мы желали бы, чтобы усилия всех друзей науки объединились для познания и распространения истины». А затем он продолжает игнорировать — вместо того, чтобы пропагандировать — работу Куммера и пускается в погоню за своими собственными идеями, изредка лишь обещая при случае связать свои утверждения с работой Куммера. Но эти обещания так и не были выполнены. К концу лета он тоже впал в молчание по поводу Последней теоремы Ферма. (Однако Коши отнюдь не был молчальником; просто он интенсивно начал печатать поток статей по математической астрономии.) Тем самым поле битвы осталось за Куммером, за которым оно фактически и было уже в течение трёх лет.

Принято думать, что Куммер пришёл к своим «идеальным комплексным числам» под влиянием интереса к Последней теореме Ферма, но это убеждение безусловно ошибочно. То что Куммер для обозначения простого числа использовал букву λ, для записи «корня λ-й степени из единицы», т.е. для решения уравнения αλ = 1,букву α, и то, что он изучал29 разложения простых чисел p ≡ 1 (mod λ) на «комплексные числа, составленные из корней λ-й степени из единицы», — всё это явно указывает на статью Якоби [J2], которая посвящена высшим законам взаимности. Мемуар Куммера 1844 года был адресован Университетом Бреслау Кёнигсбергскому университету в честь празднования его юбилея, и этот мемуар определённо посвящался Якоби, который в течение многих лет был профессором в Кёнигсберге. Правда, Куммер в 1830-е годы занимался Последней теоремой Ферма и, по всей вероятности, осознавал, к каким последствиям для этой теоремы могла бы привести его теория разложения, однако предмет, которым интересовался Якоби, а именно, высшие законы взаимности, был для него безусловно более важным и тогда, и позднее. В то самое время, когда он положил конец попыткам доказательства, предпринятым Ламе, и предложил взамен своё собственное частичное доказательство, он относился к Последней теореме Ферма скорее как к «любопытной диковинке из теории чисел, чем к важному вопросу», а позже, когда он опубликовал свой вариант высшего закона взаимности в форме недоказанной гипотезы, он говорил о высших законах взаимности как о «главном предмете и о вершине современной теории чисел».

Часто рассказывают легенду о том, что Куммер, подобно Ламе, верил в то, что он доказал Последнюю теорему Ферма, до тех пор, пока ему не сказали — по легенде, это был Дирихле, — что его аргументация опирается на недоказанное утверждение о единственности разложения на простые. Хотя эта легенда и не находится в явном противоречии с тем фактом, что Куммера интересовали прежде всего высшие законы взаимности, имеются другие причины усомниться в её достоверности. Впервые она появилась в лекции памяти Куммера, прочитанной Гензелем в 1910 году, и хотя Гензель аттестовал свои источники как достоверные и назвал их имена, всё же не стоит забывать, что легенда пересказывалась из третьих рук и через 65 лет после событий, о которых в ней говорилось. Кроме того, лицо, рассказавшее её Гензелю, по-видимому, не было математиком, и легко вообразить, как из неправильно понятых фактов могла вырасти эта история. Легенда Гензеля могла бы подтвердиться, если бы нашёлся «подготовленный к публикации черновик», который Куммер якобы написал и отправил Дирихле. Но пока этого не произошло, к этой истории следует относиться с большой долей скептицизма. Сомнительно, чтобы Куммер допустил единственность разложения, и ещё более сомнительно, что он сделал это неосознанно в статье, которую он собирался опубликовать.

Эта глава целиком посвящена теории разложения комплексных чисел вида

a0 + a1α + a2α2 + ... + aλ–1αλ–1     (a0, a1, ..., aλ–1 — целые),

«построенных» из комплексного корня α уравнения αλ = 1, и теории «идеальных комплексных чисел», или дивизоров, которые Куммер ввёл, чтобы «спасти» единственность разложения на простые для таких чисел. Следующая глава посвящается дальнейшему развитию этой теории, и только в последнем её параграфе мы займёмся приложением этой теории к Последней теореме Ферма. К этому моменту мы сможем очень просто сформулировать два условия Куммера и сможем доказать Последнюю теорему Ферма для всех простых чисел, которые им удовлетворяют. Вся эта работа была завершена Куммером к 11 апреля 1847 года, через несколько недель после 1 марта, когда Ламе сделал своё сообщение.


4.2. Круговые целые

В этой главе мы попытаемся показать, что Куммер, жадный до вычислений подобно всем другим великим математикам, шёл к своим открытиям не при помощи абстрактных размышлений, а накапливанием опыта в проведении многочисленных конкретных вычислительных примеров. Умение хорошо считать ценится теперь не слишком высоко, и мысль о том, что вычисления могут доставлять удовольствие, редко высказывается вслух. Однако Гаусс когда-то сказал, что он считает излишней публикацию полной таблицы классификации бинарных квадратичных форм, «поскольку (1) кто угодно, после приобретения небольшого навыка, может легко и без большой затраты времени вычислить, если ему это понадобится, таблицу любого конкретного детерминанта... (2) поскольку такая работа имеет прелесть сама по себе, так что получаешь истинное удовольствие, потратив четверть часа на её выполнение для самого себя, тем более что (3) слишком редко представляется случай этим заняться».30 Можно было бы назвать ещё Ньютона и Римана, проводивших длинные вычисления только ради развлечения. Материал этой главы, поскольку речь идёт о более абстрактном понятии «числа», чем понятие положительного целого числа, по необходимости оказывается несколько более трудным, чем материал предыдущих глав. Тем не менее каждый, кто уделит время проведению вычислений, несомненно убедится в том, что и сами эти вычисления и теория, которую развил из них Куммер, вполне ему посильны, а может быть, он найдёт, не обязательно признавая это вслух, такую деятельность даже приятной.

Куммер использует букву λ для обозначения простого числа и букву α для обозначения «мнимого» корня уравнения αλ = 1, т.е. комплексного корня этого уравнения, отличного от 1. Проблема, которую он ставит, заключается в разложении на простые сомножители чисел, «построенных» (gebildeten) из α повторным применением сложения, вычитания и умножения, т.е. чисел вида

a0 + a1α + a2α2 + ... + aλ–1αλ–1, (1)

где a0, a1, ..., aλ–1целые. (Чтобы понизить все степени числа α с показателями больше λ–1, мы пользуемся равенствами αλ = 1, αλ+1 = α, αλ+2 = α2, ... . Значение λ фиксировано на протяжении всего обсуждения.) Эти числа, которые Коши называл «радикальными полиномами», а Куммер и Якоби рассматривали как специального типа «комплексные числа», теперь называют круговыми целыми31 ввиду геометрической интерпретации числа α как такой точки на окружности |z|=1 комплексной z-плоскости, которая производит деление окружности на λ равных частей, а также ввиду важной роли, которую эти комплексные числа играют в гауссовой теории деления круга. Таким образом, в современной терминологии, проблема, поставленная Куммером — а до него Якоби,— это проблема разложимости круговых целых.

Вычисления над круговыми целыми выполняются очевидным образом с использованием коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов и равенства αλ = 1. Например, при λ=5,

(α + α2 + 3α4)(α2 – 2α3) = (α + α2 + 3α4) · α2 – (α + α2 + 3α4) · 2α3 =
= α3 + α4 + 3α6 – 2α4 – 2α5 – 6α7 =
= α3 + α4 + 3α – 2α4 – 2 – 6α2 = –2 + 3α – 6α2 + α3 – α4.

Далее, так как круговые целые являются частным случаем комплексных чисел, обе части равенства можно сокращать на ненулевой общий сомножитель, т.е. если  f (α)h(α) = g(α)h(α) и h(α) ≠ 0, то  f (α) = g(α).

Эти правила вычислений имеют несколько неожиданное следствие: представление круговых целых в виде (1) не однозначно. Например, из 1 + α + α2 + ... + αλ–1 = αλ + α + α2 + ... + αλ–1 = α(1 + α + α2 + ... + αλ–1) вытекает, что либо

1 + α + α2 + ... + αλ–1 = 0, (2)

либо α = 1. Так как специально потребовано, что α ≠ 1, то соотношение (2) есть следствие основных предположений. Но из него вытекает, что

a0 + a1α + ... + aλ–1αλ–1 = (a0 + c) + (a1 + c)α + ... + (aλ–1 + cλ–1 (3)

для любого целого c, т.е. круговое целое, записанное в виде (1), не изменится, если ко всем коэффициентам ak добавить одно и то же целое число c. Отсюда получается (если взять c = –aλ–1), что каждое круговое целое может быть записано в виде (1) с aλ–1 = 0; в практических вычислениях оказывается неудобным настаивать на приведении круговых целых к такому виду, а лучше работать с ними в форме (1), имея в виду соотношение (3).

Естественно возникает вопрос, нет ли других непредвиденных соотношений среди чисел вида (1). Ответ отрицателен, и именно для этого и предполагается, что λ — простое. (Если λ = 4, то α = ±i (Þ 1 + α2 = 0) или α = –1 (Þ 1 + α = 0). В более общем случае, если λ = jk, то 0 = 1 – αλ = (1 – α j)(1 + α j + α2j + ... + αλ–j) и один из сомножителей должен быть нулём.) Итак, если

a0 + a1α + ... + aλ–1αλ–1 = b0 + b1α + ... + bλ–1αλ–1,

то обязательно a0 – b0 = a1 – b1 = ... = aλ–1 – bλ–1, так что это соотношение соответствует формуле (3). Эта теорема, являющаяся, конечно, основной в изучении круговых целых, была доказана Гауссом в начале раздела, посвящённого циклотомии, в его Disquisitiones Arithmeticae. Простое доказательство приведено в упр. 15.

[· · ·]

Такова в общих чертах арифметика круговых целых. Прежде чем перейти в следующем параграфе к подробному изучению их разложения, стоит, может быть, сделать паузу и обсудить подоплёку этой арифметики. Куммер неизменно ссылается на круговые целые как на «комплексные числа», и, по крайней мере на современный слух, это наводит на мысль рассматривать их как точки «комплексной плоскости». Этот взгляд на круговые целые имеет то преимущество, что делает некоторые свойства — в первую очередь свойство Nf (α) ≥ 0 — легко доказываемыми; однако он ничем не помогает в понимании других свойств, например свойств разложения круговых целых, которые являются главным предметом этой главы. Кронекер, который был студентом и близким сотрудником Куммера, много лет спустя предлагал (см. [K2] и [K3]) подходить к круговым целым абстрактно и алгебраически как к множеству всех выражений вида (1) со сложением, вычитанием и умножением, определёнными очевидным образом, и с единственным соотношением 1 + α + α2 + ... + αλ–1 = 0. Этот подход более в духе алгебры сегодняшнего дня, и читатель, изучавший современную алгебру, узнает в этой конструкции факторкольцо кольца полиномов от одной переменной с целыми коэффициентами по идеалу, порождённому полиномом 1 + α + α2 + ... + αλ–1. Главное достоинство этого подхода в том, что он выделяет алгебраические правила вычислений в арифметике круговых целых (которые легко усваиваются даже теми, кто не привык к комплексным числам) и отодвигает на задний план все другие рассмотрения.

[· · ·]


Глава 5

ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ДЛЯ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТЫХ


5.1. Замечания Куммера о квадратичных целых

Крупные нововведения часто совершаются не сторонниками радикальных изменений, а людьми, которые питают большое почтение к тому, что сделано раньше, и руководствуются желанием хранить и продолжать традиции своих предшественников. Именно так обстояло дело в случае с Куммером. Как указывает К.-Р. Бирманн в написанной им биографии Куммера (Dictionary of Scientific Biography), Куммер по характеру был очень консервативен, но не в каком-то узком политическом смысле, а в том смысле, что он был предан созиданию на основе существующих традиций. Чтобы правильно понять побуждения деятельности Куммера, важно уяснить, что он не имел намерений вводить новые абстрактные структуры ради них самих; напротив, как он говорит в начале сообщения [K7] по своей новой теории, его целью были «дополнение и упрощение» существующих структур.

Эта глава посвящена доказательству Куммером Последней теоремы Ферма для широкого класса простых показателей λ, которые сейчас известны как регулярные простые. Это доказательство требует ещё одного важного сделанного Куммером нововведения, а именно, понятия эквивалентности двух дивизоров (двух идеальных комплексных чисел). Имея в виду личность Куммера, нужно думать, что это новое понятие эквивалентности было обусловлено неким весьма существенным соображением; Куммер не стал бы вводить его лишь потому, что это было бы «интересной» возможностью. Хотя соблазнительно предположить, что определение эквивалентности дивизоров было обусловлено настойчивой попыткой доказать Последнюю теорему Ферма, в действительности оно было включено в качестве весьма важной части в куммерово первоначальное сообщение по теории идеальных делителей в 1846 году, заведомо до поспешной публикации Ламе, подтолкнувшей Куммера к подробному развитию выводов своей теории для Последней теоремы Ферма. Поэтому вряд ли эта деятельность играла главную роль как источник первоначального определения эквивалентности.

По-видимому, по крайней мере два соображения обусловили это определение. Во-первых, при применении теории дивизоров к реальным задачам — например, задачам о круговых целых, которые Куммер рассматривает в своём сообщении 1846 года, — приходится почти сразу столкнуться с вопросом: «Когда данный дивизор является дивизором реально существующего кругового целого?». Решение этого вопроса, как будет показано в следующем параграфе, совершенно естественно приводит к понятию эквивалентности. Второе соображение, как это явствует из высказываний самого Куммера, было для него почти столь же важным, как и первое. Дело в том, что это понятие эквивалентности очень тесно связано с гауссовым понятием эквивалентности квадратичных форм.

И вот опять появляется возможность объяснить нововведение Куммера его «консервативностью». Изучение уравнения Пелля и других уравнений второй степени с двумя неизвестными совершенно естественно приводит к понятию эквивалентности бинарных квадратичных форм (см. § 8.2). Гаусс в Disquisitiones Arithmeticae ввёл более сильное понятие собственной эквивалентности (см. § 8.3). Куммер замечает, что в теории бинарных квадратичных форм это понятие всегда кажется натянутым и искусственным — оно требует, например, считать, две формы ax2 + 2bxy + cy2 и cx2 + 2bxy + ay2 не эквивалентными в собственном смысле, несмотря на то, что «нужно признать гауссову классификацию точнее отражающей существо дела». Таким образом, неявно заключает Куммер, гауссово понятие собственной эквивалентности нужно спасти от этой искусственности. Он говорит, что теория идеальной факторизации выполняет эту роль, поскольку «всю теорию бинарных квадратичных форм можно интерпретировать как теорию комплексных чисел вида x + yD (D гауссово обозначение детерминанта b2 – ac квадратичной формы ax2 + 2bxy + cy2) и в результате такой интерпретации эта теория с необходимостью приводит к идеальным комплексным числам (дивизорам) такого же типа». Далее он, по существу, говорит, что понятие эквивалентности, определённое им для идеальных комплексных чисел вида a0 + a1α + a2α2 + ... + aλ–1αλ–1, применимо и к идеальным комплексным числам вида x + yD, и, когда последние интерпретируются как бинарные квадратичные формы, это понятие эквивалентности совпадает с гауссовым понятием собственной эквивалентности. Это и есть, как он заключает, «истинный смысл» гауссова понятия.

Совершенно таинственным выглядит то, что Куммер никогда не публиковал никаких подробностей этой связи между бинарными квадратичными формами и идеальными комплексными числами (дивизорами) вида x + yD. Несколько нечётких замечаний в его сообщении 1846 года и ещё несколько отрывочных указаний в более поздних трактатах ([K8], стр. 366, и [K11], стр. 114) — вот и всё, что он сказал по этому поводу, или, во всяком случае, всё, что сохранилось. Таким образом, хотя кажется вполне определённым, что аналогия с гауссовой теорией сыграла некоторую роль в возникновении понятия эквивалентности дививоров, точную роль этой аналогии мы уже не сможем установить. В §§ 5.2 и 5.3 понятие эквивалентности дивизоров развивается без каких бы то ни было ссылок на гауссову теорию, однако, как будет видно в гл. 7 и 8, центральный вопрос § 5.2 очень тесно связан с ней. По моему личному мнению, приводимое здесь изложение очень близко к тому, которому в действительности следовал Куммер, но я берусь утверждать лишь то, что такой подход делает понятие эквивалентности весьма естественным и полезным.

В дальнейших параграфах этой главы даются два приложения теории Куммера. Первое, более важное из них, представляет собой доказательство Последней теоремы Ферма для всех простых показателей λ, которые удовлетворяют некоторым условиям (А) и (В). Вторым является доказательство знаменитого закона взаимности. Это доказательство следует рассматривать скорее как некое отступление. Оно является естественным продолжением хода рассуждений § 5.2, которые приводят не только к доказательству закона квадратичной взаимности, но даже к открытию формулировки этого закона. Однако здесь это оказывается полным анахронизмом, поскольку работа Куммера вышла через 50 лет после появления первого доказательства квадратичной взаимности, и это приложение его теории, насколько мы знаем, не рассматривалось Куммером.

[· · ·]


Глава 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КЛАССОВ


6.1. Введение

В апреле 1847 года Куммер опубликовал своё доказательство того, что из условий

(A)  

число классов не делится на λ,

(B)  

любая единица, сравнимая по модулю λ с целым числом, является λ-й степенью


для заданного показателя λ вытекает Последняя теорема Ферма. Для того чтобы применить эту теорему к доказательству самой теоремы Ферма для конкретного простого показателя λ, нужно иметь какой-нибудь способ проверки условий (A) и (B) для данного λ. Куммер утверждал, что им строго доказано выполнение этих условий для λ = 3, 5, 7 и что они, по-видимому, выполняются хотя и не для всех простых λ, но для бесконечного множества их. Естественный путь подойти к проверке условия (А) — попытаться сосчитать число классов для данного значения λ. Эту задачу определения числа классов Куммер упомянул уже в своём самом первом сообщении 1847 года по теории идеальных комплексных чисел, однако лишь затем, чтобы сказать, что он ею не занимался, поскольку ему устно сообщили, что Дирихле уже преуспел в нахождении формулы для числа классов. Куммер ещё раз сослался на этот факт, когда сообщал Дирихле о своей апрельской работе 1847 года, говоря, что сам он не в состоянии сказать, какие простые λ удовлетворяют условиям (A) и (B), «но для Вас это, вероятно, не составит труда». Однако Дирихле в замечаниях, которые он сделал к этому сообщению, говорит лишь, что у него есть формула для числа классов, позволяющая в частных случаях проверять, выполнено ли условие (A); он не приводит никаких значений λ, для которых он проверил это условие, и признаёт, что этот способ проверки непрактичен для условия (B) при λ > 7 и что он не в состоянии сказать, верна ли гипотеза Куммера о том, что (B) вытекает из (A). Наконец, в сентябре 1847 года Куммер послал Дирихле и в Берлинскую Академию статью [K10], в которой дал вполне исчерпывающую теорему относительно условий (A) и (B).

Теорема. Из (A) вытекает (B). Условие (A) равносильно утверждению, что λ не делит числители ни одного из чисел Бернулли B2, B4, ..., Bλ–3. (Числа Бернулли определяются32 равенством
   
x

ex – 1

 =      Bn xn

 n!

 .)
   n=0  

Эта теорема и известные значения чисел Бернулли дали Куммеру возможность сказать, что (A) и (B) выполняются для всех простых чисел, меньших 37, но что они не имеют места для λ = 37, поскольку 37 делит числитель B32. Находить значения чисел Бернулли совсем не просто, но во времена Куммера они были протабулированы вплоть до B60, и это позволило проверить все простые числа λ до λ = 61. Но Куммер, по-видимому, не провёл такой проверки, прежде чем послал свою статью в Берлин, поскольку он не сообщает о том факте, что единственным вторым простым λ ≤ 61, для которого (A) и (B) не выполняются, является λ = 59.

При всём почтении Куммера к Дирихле и его признании, что он получил лично от Дирихле некоторую полезную информацию, успешное нахождение им в течение лета 1847 года как формулы для числа классов, так и приведённой выше теоремы относительна условий (A) и (B), следует рассматривать как невероятное достижение. Читатель сам сможет судить об уровне вычислительного мастерства и упорства, необходимых, чтобы получить результаты этой главы — а они все являются результатами Куммера — между маем и сентябрём одного и того же года.


6.2. Формула эйлерова произведения

В основе фактически всей аналитической теории чисел, в которой формула числа классов играет важную роль, лежит формула эйлерова произведения
 
   1

 ns

 =     1

 1 – 1/ps

      (s > 1).
 n=1    p  
(1)

Здесь произведение справа ведётся по всем простым p = 2, 3, 5, 7, 11, ... . Легко показать, что как произведение, так и сумма сходятся для положительных вещественных чисел s, больших 1. Доказательство того, что они равны, является простым упражнением по использованию абсолютной сходимости и основной теоремы арифметики (каждое положительное целое число n точно одним способом может быть записано в виде произведения степеней простых чисел: n = p1μp2μ2 ... pkμk) для проверки справедливости формальных преобразований:

   ( 1 –  1

 ps

) –1  =     ( 1 +  1

 ps

 +  1

 p2s

 + ... )  =        1

 p1μ1p2μ2... pkμk

 =     1

 ns

 .
 p    p    p μ1, μ2, ...    n  

Из этой формулы непосредственно следует бесконечность множества простых чисел, поскольку из
   ∞  
   1

 ns

 >     dx

xs

 =  1

 s – 1

 n=1   1  

вытекает, что левая часть равенства (1) стремится к ∞ при s ↓ 1, а этого не могло бы быть, если бы произведение в правой части содержало лишь конечное число сомножителей.

Говоря коротко, идея вывода формулы числа классов заключается в следующем. Будем искать аналог формулы (1), когда вместо основной теоремы арифметики для положительных целых чисел рассматривается тривиальное утверждение о том, что дивизор может быть записан точно одним способом в виде произведения простых дивизоров. Так как норма произведения есть произведение норм, то это нам даст
 
   1

 N(A)s

 =     1

 1 – 1/N(P)s

 ,
 A    P  
(2)

где A пробегает все дивизоры, а P — все простые дивизоры. Функция от s в этом равенстве стремится к ∞ при s ↓ 1 как постоянная, умноженная на 1/(s–1). Постоянную можно подсчитать двумя способами — по-разному для каждой части равенства; то, что получится слева, включит в себя число классов, а справа — не включит. Приравнивание этой постоянной, подсчитанной двумя способами, и даст формулу числа классов. Написать формулу числа классов в замкнутой форме не так легко и требует длинных выкладок (см. § 6.14), однако всё это делается на основе только одной этой несложной идеи.

На формулу эйлерова произведения опираются многие работы Дирихле, включая его знаменитую теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии и его столь же важную формулу для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным детерминантом. Действительно, в обеих теоремах проводится исследование, как стремятся к ∞ при s ↓ 1 функции, аналогичные функции ∑ 1/ns. Таким образом, идея Куммера богата прецедентами, и исторический подход, подобный принятому в этой книге, казалось бы, требует исследования этих прецедентов с тем, чтобы раскрыть основные замыслы в их простейшей форме. Однако подробное изучение работы Дирихле скорее мешает, чем помогает усилиям показать идеи в их простейшей форме. Причина этого в том, что Дирихле, следуя Гауссу, формулировал определение числа классов в терминах бинарных квадратичных форм. Лишь в работах Куммера выяснилось, что эту теорию можно изложить значительно изящнее на языке дивизоров (идеальных комплексных чисел), благодаря чему стало возможным увидеть прямую связь (менее прямая связь была понятна и Дирихле) между формулой эйлерова произведения и формулой Дирихле числа классов. В терминах теории Куммера формула Дирихле «есть не что иное, как предельный случай при s ↓ 1 обобщения (2) формулы (1), когда дивизоры и простые дивизоры, встречающиеся в (2), берутся из арифметики квадратичных целых x + yD (см. гл. 9).

По этой причине естественно пропустить работу Дирихле и перейти прямо от формулы эйлерова произведения к куммерову обобщению (2) в случае круговых целых. Достаточно отметить, что работа Дирихле дала много ценных указаний, в каких направлениях следует двигаться дальше. Из неё выяснилась не только важность предельного перехода s ↓ 1, но и тот факт, что если сумма ∑ N(A)s разбита на конечное число частичных сумм по классам эквивалентности дивизоров A, то предел при s ↓ 1 каждой из этих частичных сумм будет одним и тем же, и т.д. Добавим, что Куммер признавал полезность советов, полученных им от Дирихле при обсуждениях, касающихся нахождения числа классов.

Однако в письме Якоби от 27 сентября 1847 года Куммер говорит: «По-видимому, я вывел эту формулу совершенно не так, как Дирихле, поскольку я никогда не сталкивался с теми трудностями, о которых говорил Дирихле. Трудности, которые преодолевал я, носили более субъективный характер и заключались лишь в малоинтересных выкладках такого типа, с которым я столкнулся, применяя технику, уже изложенную Дирихле в его исследовании квадратичных форм». Далее он говорит, что не решается публиковать свой вывод формулы, поскольку, сделав это, он мог бы лишить математический мир работы Дирихле, которому он, Куммер, не может никоим образом дать ничего равноценного.

Наконец, Дирихле так и не опубликовал никакого обобщения своей формулы числа классов, выходящего за рамки квадратичного случая. Было бы, конечно, интересно узнать, какую форму приняло бы такое обобщение, но скорее из чистого любопытства, чем по каким-либо математическим соображениям. Кажется более правдоподобным, что без упрощающих дело понятий теории Куммера результаты Дирихле были более трудными и менее общими, чем результаты Куммера, и именно поэтому Дирихле не публиковал их.

[· · ·]


6.15. Доказательство иррегулярности числа 37

[· · ·]

Формула для суммы последовательных n-х степеней была выведена Якобом Бернулли в XVIII веке. В современных обозначениях эту формулу можно вкратце описать следующим образом. При любом n = 0, 1, 2, ... обозначим через Bn(x) полином, для которого
 x+1  
   Bn(t) dt = xn.
 x  

Легко видеть, что это тождество определяет единственный полином n степени (упр. 3). Тогда ясно, что
   M+1    M+2    N+1    N+1  
 M n + (M+1)n + ... + N n =    Bn(t) dt +    Bn(t) dt + ... +    Bn(t) dt =    Bn(t) dt,
   M    M+1    N    M  

и нахождение формулы для суммы последовательных n степеней, по существу, сводится к нахождению формулы для Bn(x). Далее, дифферен­циро­вание опре­деляю­щего уравнения по пределам интег­риро­вания даёт
   x+1    x+1  
Bn(x+1) – Bn(x) = nxn–1     Û        d

dt

Bn(t) dt = n    Bn–1(t) dt,
   x    x  

откуда следует, что

d

dt

Bn(t) = nBn–1(t).

Значит, для того чтобы найти полином Bn(t), достаточно знать Bn–1(t) и Bn(0). В явном виде, обозначив через Bn постоянную Bn(0), получаем

 B0(x) =  1 = B0, 
 B1(x) = 
 B0(x) dx + const = x + B1,
 B2(x) = 
 2B1(x) dx + const = x2 + 2B1x + B2,
 B3(x) = 
 3B2(x) dx + const = x3 + 3B1x2 + 3B2x + B3,
 B4(x) =  x4 + 4B1x3 + 6B2x2 + 4B3x + B4,

и, вообще,
   n  
 Bn(x) =     (  n
 k
)  Bxnk = xn + nB1xn–1 + ... + Bn,     где   (  n
 k
)  =   n!

(nk)! k!

.
   k=0  

Следовательно, вопрос заключается в нахождении так называемых чисел Бернулли B0, B1, B2, ... . Нахождение этих чисел облегчается, если заметить, что при n≥1
   1  
 0n    Bn(t) dt =   Bn+1(1) – Bn+1(0) 

n + 1 

    (n ≥ 1),
   0  

откуда вытекает, что при n≥1

Bn+1(1) = Bn+1(0)     Þ

 B0 + (n+1)B1 + ... +  (  n+1
 k
) Bk + ... + (n+1)Bn + Bn+1 = Bn+1     Þ 

 Bn = –  1

n+1

  B0 + (n+1)B1 + ... +   n(n+1)

2

 Bn–1   .

Таким образом,33

B1 = –
 1 

2

 [1] = –   1 

2

 ,
B2 = –
 1 

3

    1 + 3 ( –   1 

2

)    =   1 

6

 ,
B3 = –
 1 

4

    1 + 4 ( –   1 

2

)  + 6 (  1 

6

)    = 0,
B4 = –
 1 

5

    1 + 5 ( –   1 

2

)  + 10 (  1 

6

)  + 10 · 0    = –   1 

30

 ,
B5 = –
 1 

6

    1 + 6 ( –   1 

2

)  + 15 (  1 

6

)  + 20 · 0 + 15 ( –   1 

30

)    = 0,

и т.д. Эйлер вычислил значения Bn для n ≤ 30. Для нечётных n, больших 1, Bn = 0 (упр. 5). Для чётных n числа Bn имеют чередующиеся знаки (упр. 6) и очень быстро растут по абсолютной величине при n → ∞. Например, последнее из вычисленных Эйлером чисел равно

 B30 8 615 841 276 005

14 322

 .

В 1842 году М. Ом опубликовал в известном журнале Крелля [O1] значения всех чисел Бернулли до B62 включительно, так что эти значения наверняка были в распоряжении Куммера в 1847 году.

[· · ·]

Примечания
1.

Есть одно небольшое исключение. В 1660 году он разрешил опубликовать второстепенную работу в качестве приложения к трактату, который написал его коллега. Однако это исключение лишь подтверждает правило: работа была опубликована анонимно. назад к тексту

2.

Если теорема Пифагора сформулирована в своём обычном виде как утверждение о том, что «в прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах», то здесь требуется теорема, обратная к теореме Пифагора. Однако из более сильной формы теоремы: «если a, b, c — стороны треугольника, то угол, противолежащий стороне c, является острым, прямым или тупым в зависимости от того больше, равно или меньше a2 + b2 чем c2», следует обратное утверждение: «если a2 + b2 = c2, то данный треугольник является прямоугольным». назад к тексту

3.

Концепция соизмеримости является центральной в греческой математике; рассмотрению этого понятия посвящена значительная часть «Начал» Евклида. Одной из основных вдохновляющих идей греческой математики было открытие Пифагора, согласно которому стороны равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмеримы, или, что то же самое, число √2 иррационально. назад к тексту

4.

Довольно странно, что это решение появляется у Диофанта не как решение задачи «записать квадрат в виде суммы двух квадратов» из Книги II, а как одно из решений задач, связанных с прямоугольными треугольниками. См. стр. 93 издания Хита книги Диофанта [H1]. назад к тексту

5.

См. «Собрание» Паппа. назад к тексту

6.

Доказательство этого факта см. в упр. 3. Кратко его идея такова: квадрат несократимой дроби сам является несократимой дробью, следовательно, (z/d)2 может быть целым числом только тогда, когда z/d — целое. назад к тексту

7.

См. Диксон [D2, т. 2, стр. 616]. назад к тексту

8.

См. Диксон [D2, т. 2, начало гл. XXII]. назад к тексту

9.

Приведённое Ферма утверждение неточно, поскольку 152 = 52 + 2·102, но 15 не равно квадрату плюс удвоенный квадрат. Однако в рассматриваемом случае его заключение справедливо, так как r2 = (pq) + 2q, где pq и qвзаимно простые квадраты. назад к тексту

10.

Нет оснований считать, что Ферма знал о работе Жирара. Он сформулировал эти условия независимо и несколько иным способом. назад к тексту

11.

Смешение необходимых и достаточных условий — кажется, основная слабость человеческого интеллекта. Даже Ферма утверждал, что не существует совершенных чисел, состоящих из 20 или 21 цифры, имея в виду, что не существует таких чисел евклидова типа. назад к тексту

12.

Вертикальная черта означает «делит», и d | (p–1) читается как «d делит p–1». Перечёрк­нутая вертикальная черта  | означает «не делит». назад к тексту

13.

Э. Т. Белл ([B1], стр. 256) настаивает на том, что Ферма никогда не делал такого заявления. Я не вижу другой интерпретации его письма Каркави [F5]. назад к тексту

14.

Улучшение этого рассуждения см. в упр. 10 к § 2.4. назад к тексту

15.

Это решение можно получить из формулы

(a2 – 2b2)(c2 – 2d2) = (ac + 2bd)2 – 2(ad + bc)2

и равенства 12 – 2·12 = –1. Действительно,

1 = (–1)(–1) = (12 – 2·12)(12 – 2·12) = 32 – 2·22,
–1 = (–1)·1 = (12 – 2·12)(32 – 2·22) = 72 – 2·52,
1 = (12 – 2·12)(72 – 2·52) = 172 – 2·122,

и т.д.; n-е равенство даёт

dn2 – 2·sn2 = (–1)n,

где dn = dn–1 + 2sn–1 и sn = dn–1 + sn–1. Равенства с чётными номерами дают решения s2k задачи Ферма: «2·s2k2 + 1 является квадратом». См. Диксон, [D2, т. 2, стр. 341]. назад к тексту

16.

Ясно, что k делит (pr + qA)2. Для большинства значений k отсюда следует, что k делит pr + qA, а именно для всех значений k, которые не делятся на квадраты простых чисел. Здесь же утверждается, что при использовании циклического метода k всегда делит pr + qA (даже если получаются значения k, которые делятся на квадраты простых). Это, как и тот факт, что всегда можно достичь шага, когда k = 1, и надо доказать, если мы хотим обосновать циклический метод. назад к тексту

17.

Бхаскара Акхария также выделил случай A = 61 и привёл правильное решение x = 226 153 980 за пять веков до Ферма. назад к тексту

18.

По крайней мере двое видных учёных сказали мне, что они не согласны с этим мнением — один по той причине, что есть веские основания считать лорда Броункера весьма способным математиком, другой — основываясь на оценке личных качеств Валлиса, который скорее мог приписать себе чужие заслуги, чем отказаться от своих заслуг в пользу другого. Некоторая поддержка моей точки зрения имеется в классическом труде Смита [S3, § 96, стр. 193], где говорится, что Валлис изложил этот метод, «приписывая его лорду Броункеру, хотя, кажется, и ему самому принадлежит некоторая доля в этом изобретении». назад к тексту

19.

Ещё до Ферма Баше изучал рациональные решения x, y уравнения x2 + 2 = y3 (см. Диксон [D2, т. 2, стр. 533]). Доказательства этих утверждений Ферма можно найти в упражнениях к § 2.5. назад к тексту

20.

Доказательство аналогичного утверждения для квадратов, приведённое в § 1.4, немедленно обобщается на кубы. назад к тексту

21.

Незначительное несовпадение в знаке можно исправить, положив x = cq2 – p2 и y = 2pq, так что x + yc = (p – qc)2. назад к тексту

22.

Обратите внимание на то, что это высказывание явно свидетельствует о неуверенности Эйлера в правильности его метода. назад к тексту

23.

31 мая 1804 года Лагранж [L4] писал Гауссу: «Ваши Disquisitiones сразу же поставили Вас в ряд лучших геометров». (В те времена «геометр» означало «чистый математик».) назад к тексту

24.

Она заслужила также премию Парижской Академии за статью по теории упругости, но, насколько мне известно, эта работа не пользовалась в дальнейшем большим успехом. назад к тексту

25.

Лиувилль не говорил об этом и мог этого не знать, но Лагранж действительно явно упоминал разложение

(x + y)(x + ry) ... (x + rn–1y) = xn + yn

в связи с Последней теоремой Ферма [L3]. назад к тексту

26.

Тот факт, что Лиувилль сразу заметил этот пробел и тотчас же увидел, что он связан с проблемой доказательства однозначности разложения на простые сомножители тех комплексных чисел, о которых идёт речь, указывает, как мне кажется, на то, что Лиувилль, а возможно, и другие математики того времени хорошо знали о недостатках рассуждения на эту тему в «Алгебре» Эйлера (см. § 2.3). Тем не менее я не знаю ни одного автора того или более раннего периода, который бы критиковал доводы Эйлера. назад к тексту

27.

Нужно признать, однако, что Куммер избрал для её опубликования малоизвестное место. Лиувилль перепечатал её в своём Журнале чистой и прикладной математики (Journal de Mathematiques Pures et Appliquées) в 1847 году, и тогда она, должно быть, впервые дошла до широкой аудитории. назад к тексту

28.

Эта заметка была также перепечатана в Журнале Крелля в 1847 году. (Английский перевод с большим количеством ошибок содержится в книге [S2].) Креллевская перепечатка даёт неправильную дату первоначальной публикации — 1845 год; точная дата — 1846 год. назад к тексту

29.

Мемуар 1844 года касался разложения только таких p. Общая проблема разложения охватывалась последующими работами 1846 и 1847 года. назад к тексту

30.

Цитируется по Смиту [S3], стр. 261, из письма Шумахеру. назад к тексту

31.

Возникает некий терминологический нюанс из-за того, что должно подразумеваться некоторое значение λ. Сказать: «данное комплексное число является круговым целым» недостаточно, нужно ещё добавить «для такого-то λ». В после­дующем тексте пред­пола­гается, что всегда будет понятно, каково конкрет­ное значение λ, и исполь­зуется краткий термин «круговое целое». назад к тексту

32.

Куммер пользуется другим определением чисел Бернулли, и его Bn здесь обозначены через B2n. назад к тексту

33.

Из этой формулы легко следует описание чисел Бернулли через разложение функции x/(ex – 1), которое было упомянуто в § 6.1. назад к тексту

ЛИТЕРАТУРА

Выделенные жирным шрифтом цифры указывают страницы этой книги, где цитируются соответствующие источники

[A1]

Comptes Rendus de l'Academie des Sciences, Paris, vol. 24 (1847), p. 310 et seq. 96.

[B1]

Bell E. T., The Last Problem, Simon and Schuster, New York, 1961. 39.

[B2]

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1964. 277, 289.

[B3]

Bourbaki N., Élements d'Histoire des Mathématiques, 2-ème éd., Hermann, Paris, 1969. [Имеется перевод 1-го изд.: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: ИЛ, 1963.] 296.

[C1]

Cayley A., Tables des formes quadratiques binaires, Jour. für Math. (Crelle), 60 (1862), 357–372 (Mathematical Papers, vol. 5, Cambridge, 1892, Johnson Reprint Corp., New York and London, 141–156). 396.

[C2]

Cohn H., A Second Course in Number Theory, Wiley, New York and London, 1962. 396.

[C3]

Colebrooke H. Т., Algebra with Arithmetic and Mensuration from the Sanskrit of Brahmegupta and Bhaskara, London, 1817. 44.

[D1]

Dedekind R., см. [D7].

[D2]

Dickson L. E., History of the Theory of Numbers (3 vols.), Carnegie Institute of Washington, 1919, 1920, and 1923 (reprint, Chelsea Pub. Co., New York, 1971). 24, 25, 27, 43, 43, 44, 54, 54, 62, 90, 95, 371, 442.

[D3]

Diophanti Alexandrini arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C. G. Bacheti V. C. et observationibus D. P. de Fermat Senatoris Tolosani, Toulouse, 1670. [Имеется перевод: Диофант Александ­рийский. Арифметика и книга о много­уголь­ных числах. — М.: Наука, 1974.] 14, 17.

[D4]

Dirichlet P. G. L., Mémoire sur l'impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré. Jour. für Math. (Crelle) 3 (1828), 354–375 (Werke, vol. 1, 21–46).

[D5]

Dirichlet P. G. L., Demonstration du theoreme de Fermat pour le cas des 14iemes puissances, Jour. für Math. (Crelle) 9 (1832), 390–393 (Werke, vol. 1, 189–194). 94.

[D6]

Dirichlet P. G. L., Über eine neue Anwendung bestimmter Integrale auf die Summation endlicher oder unendlicher Reihen, Abh. König. Preuss. Akad. Wiss. (1835), 391–407. 425.

[D7]

Dirichlet P. G. L., Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben und mit Zusätzen versehen von R. Dedekind, Vieweg und Sohn, Braunscheweig, 1893 (reprint Chelsea Pub. Co., New York, 1968). [Имеется перевод: Дирихле Петер Густав Лежен. Лекции по теории чисел в обработке и с добавлением Р. Дедекинда. — М.–Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936.] 367, 388, 407, 424, 425, 431.

[E1]

Edwards H. M., Advanced Calculus, Houghton Mifflin, Boston, 1969. 172, 257.

[Е2]

Edwards H. M., Riemann's Zeta Function, Academic Press, New York, 1974.

[E3]

Edwards H. M., The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes, Arch. Hist. Exact. Sci., 14 (1975), 219–236. 101, 155.

[E4]

Edwards H. M., Postscript to «The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes» (to appear). 101, 119.

[E5]

Euclid, Elements, (ed. T. L. Heath), Cambridge Univ. Press, New York, 1908, 3 vols. (reprint Dover, New York, 1956). [Имеется перевод: Евклид, Начала Евклида. — М.–Л.: Гостех­теор­издат, 1950.]

[Е6]

Euler L., Introductio in Analysin Infinitorum, Bousquet et Socios., Lausanne, 1748 (Opera (1), vol. 8). [Имеется перевод: Эйлер Леонард, Введение в анализ бесконечных. — М.: Физматгиз, 1961.] 416.

[Е7]

Euler L., Theoremata circa divisores numerorum in hac forma paa±qbb contentorum, Comm. Acad. Sci. Petrop. 14 (1751), 151–181; Opera (1), 2, 194–222. 340.

[E8]

Euler L., De numeris, qui sunt aggregata duorum quadratorum, Nov. Comm. Acad. Sci. Petrop. 4 (1758), 3–40; Opera (1), 2, 295–327. 64.

[E9]

Euler L., Vollständige Anleitung zur Algebra, СПб., 1770; Opera (1), vol. I. 50, 61.

[E10]

Euler L., Extrait d'une lettre de M. Euler à M. Beguelin en mai 1778, Nouv. Mém. Acad. Sci. Berlin, 1776, 1779, 337–339; Opera (1), 3, 418–420. 370.

[E11]

Euler L., Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos, Opuscula Analytica, 1 (1783), 64–84; Opera (1), 3, 497–512. 341.

[E12]

Euler L., Opera (1), 4, Vorwort des Herausgebers (III. Grosse Primzahlen) and related papers 708, 715, 718, 719, and 725 of Euler. 370, 371.

[F1]

de Fermat P., Oeuvres, 3 vols., Gauthier–Villars, Paris, 1891, 1894, 1896.

[F2]

de Fermat P., Observations on Diophantus, originally published in [D3]; also [F1], 1, 291–342; French transl. [F1], 3, 241–274.

[F3]

de Fermat P., Letter to Pascal, 25 Sept. 1654. Oeuvres de Pascal, 4, 437–441; also [F1], 2, 310–314. 74.

[F4]

de Fermat P., Letter to Digby, sent by Digby to Wallis on 19 June 1658, published by Wallis in [W3]; republished [W2] and [F1], 2, 402–408; French transl. [F1], 3, 314–319. 66.

[F5]

de Fermat P., Letter to Carcavi, dated August 1659, [F1], 2, 431–436. 39, 75.

[F6]

Fuss P.-H., ed., Correspondance Mathématique et Physique, Имп. Академия наук, СПб., 1843, vol. 1 (reprint, Johnson Reprint Corp., New York and London, 1968). 63, 64, 340.

[G1]

Gauss C. F., Disquisitiones Arithmeticae, Leipzig, 1801; republished, 1863, as vol. 1 of Werke; French transl., Recherches Arithmétiques, Paris, 1807; republished, Hermann, Paris, 1910; German transl. in [G2]; English transl., Yale, New Haven and London, 1966. [Имеется перевод: Гаусс Карл Фридрих. Труды по теории чисел. — М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1959.]

[G2]

Gauss C. F., Untersuchungen über Höhere Arithmetik (German transl. of [G1] and other works on number theory) H. Maser, transl., Springer-Verlag, Berlin, 1889 (reprint, Chelsea Pub. Co., New York, 1965). 394, 410.

[G3]

Gauss C. F., Theorematis arithmetici demonstratio nova, Comm. Soc. Reg. Sci. Gött., 16 (1808); Werke, 2, 3–8; German transl. in [G2]. 341, 359.

[G4]

Gauss C. F., Summatio quarumdam serierum singularium, Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec. 1 (1811); Werke, 2, 11–45; German transl. in [G2]. 425, 426.

[G5]

Gauss C. F., Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadratici demonstrations et ampliationes novae, Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec. 4 (1818); Werke, 2, 49–64; German transl. in [G2]. 208.

[G6]

Gauss C. F., Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec. 6 (1828), Commentatio secunda, 7 (1832); Werke, 2, 67–148; German transl. in [G2]. 107.

[G7]

Gauss C. F., De nexu inter multitudinem classium, in quas formae binariae secundi gradus distribuunter, earumque determinantem, commentatio prior Societati Regiae exhibita, 1834; Werke, 2, 269–303; German transl. in [G2].

[G8]

Gauss C. F., Letter to Sophie Germain, Werke, 10 (part 1), 70–73; also in Oeuvres Philosophiques de Sophie Germain, Paris, 1896, p. 275. 80.

[G9]

Grube F., Über einige Eulersche Sätze aus der Theorie der quadratischen Formen, Zeitschr. Math. Phys., 19 (1874), 492–519. 371.

[H1]

Heath T. L., Diophantus of Alexandria, Cambridge University Press, 1910 (reprint, Dover, New York, 1964). 17, 26, 29, 42, 44.

[H2]

Hecke E., Vorlesungen über die Theorie der Algebraischen Zahlen, Akad. Verlag, Leipzig, 1923 (reprint, Chelsea Pub. Co., New York, 1948). [Имеется перевод: Гекке Эрих. Лекции по теории алгебраических чисел. М.–Л.: Гостехиздат, 1940.] 208.

[H3]

Hilbert D., Die Theorie der algebraischen Zahlkörper (called «the Zahlbericht»), Jahresber. der Deut. Math. Verein, 4 (1897), 175–546; Gesammelte Abhandlungen, 1, 63–363. 206.

[I1]

Ince E. L., Cycles of Reduced Ideals in Quadratic Fields, Brit. Assn. for the Advancement of Science, Mathematical Tables, vol. 4, Cambridge Univ. Press, New York 1966. 396.

[J1]

Jacobi C. G. J., Über die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin, 1837, 127–136; also Jour. für Math. (Crelle) 30 (1846), 166–182; and Werke, 6, 254–274. 77, 345.

[J2]

Jacobi C. G. J., Über die complexen Primzahlen, welche in der theorie der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der Akad. Wiss. Berlin, 1839, 86–91; also Jour. für Math. (Crelle) 19 (1839), 314–318; and Werke, 6, 275–280; French transl., Jour. de Math., 8 (1843), 268–272. 100, 111.

[J3]

Jacobi C. G. J., Canon Arithmeticus, Academie-Verlag, Berlin, 1956 (originally published by Typis Academicus Berolini, 1839). 447.

[J4]

Johnson W., Irregular primes and cyclotomic invariants, Math. of Computation, 29 (1975), 113–120. 289.

[K1a]

Kline M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford, New York, 1972. 41.

[K1]

Kronecker L., Zur Geschichte des Reciprocitätsgesetzes, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin, 1875, 267–274; Werke, vol. 2, 1–10. 346.

[K2]

Kronecker L., Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik, Jour. für Math. (Crelle) 100 (1887), 490–510; Werke, vol. 3, 211–240. 107.

[K3]

Kronecker L., Über den Zahlbergriff, Jour. für Math. (Crelle) 101 (1887), 337–355; Werke, vol. 3, 251–274. 107.

[K4]

Kummer E. E., Collected Papers, (ed. André Weil), vol. I, Contributions to Number Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975.

[K5]

Festschrift zur Feier des 100. Geburtstages Eduard Kummers, Abh. Gesch. Math. Wiss., Teubner, Berlin and Leipzig, 1910; reprint, [K4], 31–133. 398.

[K6]

Kummer E. E., De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg; reprint, Jour. de Math., 12 (1847), 185–212, and [K4], 165–192. 99, 125.

[K7]

Kummer E. E., Zur Theorie der Complexen Zahlen, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin, 1846, 87–96; also Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847), 319–326, and [K4], 203–210. 99, 172, 182, 398.

[K8]

Kummer E. E., Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847), 327–367; also [K4], 211–251. 99, 155, 171, 172, 183, 296.

[K9]

Kummer E. E., Extrait d'une lettre de M. Kummer a M. Liouville, Jour. de Math., 12 (1847), p. 136; also [K4], p. 298.

[K10]

Kummer E. E., Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von xλ + yλ = zλ für eine unendliche [sic] Anzahl Primzahlen λ, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin, 1847, 132–141, 305–319; also [K4], 274–297. 216.

[K11]

Kummer E. E., Bestimmung der Anzahl nicht äquivalenter Classen für die aus λten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen, Jour. für Math. (Crelle) 40 (1850), 93–116; also [K4], 299–322. 183, 296.

[K12]

Kummer E. E., Zwei besondere Untersuchungen über die Classen-Anzahl und über die Einheiten der aus λten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen, Jour. für Math. (Crelle) 40 (1850), 117–129; also [K4], 323–335.

[K13]

Kummer E. E., Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung xλ + yλ = zλ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ–3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen, Jour. für Math. (Crelle) 40 (1850), 130–138; also [K4], 336–344.

[K14]

Kummer E. E., Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l'unité et de nombres entiers, Jour. de Math. 16 (1851), 377–498; also [K4], 363–484. 269, 276.

[K15]

Kummer E. E., Über die Irregularität von Determinanten, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin, 1853, 194–200; also [K4], 539–545. 269.

[K16]

Kummer E. E., Über die den Gaussischen Perioden der Kreistheilung entsprechenden Congruenzwurzeln, Jour. für Math. (Crelle) 53 (1857), 142–148; also [K4], 574–580. 155.

[K17]

Kummer E. E., Über diejenigen Primzahlen λ, für welche die Klassenzahl der aus λen Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen durch λ teilbar ist, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin, 1874, 239–248; also [K4], 945–954. 269.

[L1]

Lagrange J. L., Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré, Mém. de l'Acad. Roy. Sci. et Belles-Lettres, Berlin, 23 (1769) (Oeuvres, 2, 377–535). 215, 403.

[L2]

Lagrange J. L., Additions to Euler's Algebra. First published 1774, Lyon, in vol. 2 of a French translation of Euler's Algebra [E9]; republished in vol. 7 of Lagrange's Oeuvres, 5–180, and in vol. (1) 1 of Euler's Opera. 354.

[L3]

Lagrange J. L., Oeuvres, vol. 2, Paris, 1868, 531–535. 97.

[L4]

Lagrange J. L., Oeuvres, vol. 14, Paris, 1892, 298–299. 79.

[L5]

Lamé G., Démonstration général du théorème de Fermat, Comptes Rendus, 24 (1847), 310–315.

[L6]

Lamé G., Mémoire sur la résolution, en nombres complexes, de l'équation A5 + B5 + C5 = 0, Jour. de Math. 12 (1847), 137–184. 121.

[L7]

Legendre A. M., Sur quelques objets d'analyse indéterminée et particuliérement sur le théorème de Fermat, Mém. Acad. R. Sc. de l'Institut de France, 6, Paris 1827; also appeared as 2nd Supplement to 1808 edition of [L8]. 81, 90.

[L8]

Legendre A. M., Théorie des Nombres, vol. 2, Paris, 1830, pp. 361–368 (reprint, Blanchard, Paris, 1955).

[M1]

Mordell L. J., On a simple summation of the series ∑ e2s²πi/n, Messenger of Math., 48 (1919), 54–56. 425.

[N1]

Neugebauer O., The Exact Sciences in Antiquity, Brown University Press, Providence, 1957, Chapter 2. 17.

[N2]

Newton I., The Correspondence of Isaac Newton, vol. 2, (ed. H. W. Turnbull), Cambridge, 1960, 110–160. 410.

[N3]

Nörlund N. E., Differenzenrechnung, Springer-Verlag, Berlin, 1924.

[O1]

Ohm M., Etwas über die Bernoullischen Zahlen. Jour. für Math. (Crelle) 20 (1840), 11–12. 274.

[S1]

Shanks D., Five Number-theoretic Algorithms, Proceedings of the 2nd Manitoba Conference on Numerical Mathematics, 51–70, Univ. of Manitoba, Winnipeg, 1972. 215.

[S2]

Smith D. E., A Source Book in Mathematics, McGraw-Hill, New York, 1929 (reprint, Dover, New York, 1959). 99.

[S3]

Smith H. J. S., Report on the Theory of Numbers, originally published in six parts as a Report of the British Assn.; reprinted, 1894, in The Collected Mathematical Papers of H. J. S. Smith; (reprinted, both separately and as part of the Mathematical Papers, Chelsea Pub. Co., New York, 1965). 48, 101, 276, 340, 359, 425.

[S4]

Steinig J., On Euler's idoneal numbers, Elemente der Math., 21 (1966) 73–88. 370.

[T1]

Toeplitz O., Die Entwicklung der Infinitesimal Rechnung, Springer-Verlag, Berlin–Göttingen–Heidelberg, 1949; English transl. The Calculus: A Genetic Approach, Univ. of Chicago, Chicago, 1963. 9.

[W1]

Wagstaff S., Fermat's Last Theorem is true for any exponent less than 100 000 (Abstract), AMS Notices, No. 167 (1976) p. A-53. 7, 289.

[W2]

Wallis J., Opera Mathematica, 3 vols., Oxford, 1695–1699 (reprint, G. Olms, Hindesheim–New York, 1972).

[W3]

Wallis J., ed., Commercium Epistolicum, Oxford, 1658 (reprint, [W2]; French transl., [F1]).

[W4]

Weil A., La cyclotomie jadis et naguère, L'Enseignment Mathématique (2) 20 (1974), 247–263. 425.


Hosted by uCoz