АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР

~ КЛАССИКИ НАУКИ ~
  КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС


ТРУДЫ
ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
   

ОБЩАЯ РЕДАКЦИЯ
АКАДЕМИКА И. М. ВИНОГРАДОВА
КОММЕНТАРИИ
ЧЛЕНА-КОРР. АН СССР Б. Н. ДЕЛОНЕ
ПЕРЕВОД
КАНД. ФИЗ.-МАТЕМ. НАУК
В. Б. ДЕМЬЯНОВА



ИЗДАТЕЛЬСТВО  АКАДЕМИИ  НАУК  СССР
МОСКВА  ·  1959
 



 
  10270 Кб  
 


СОДЕРЖАНИЕ
 
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
(DISQUISITIONES ARITHMETICAE)
Предисловие автора9

Раздел I. О сравнимости чисел вообще

15

Сравнимые числа, модули, вычеты и невычеты (пп. 1–3). Наименьшие вычеты (п. 4). Элементарные теоремы о сравнениях (п. 5–11). Некоторые приложения (п. 12).

Раздел II. О сравнениях первой степени

21

Предварительные теоремы о простых числах, сомножителях и т.д. (пп. 13–25). Решение сравнений первой степени (пп. 26–31). Нахождение числа, которое сравнимо с заданными вычетами по заданным модулям (пп. 32–36). Линейные сравнения со многими неизвестными (п. 37). Различные теоремы (пп. 38–44).

Раздел III. О степенных вычетах

50

Вычеты членов геометрической прогрессии, начинающейся с единицы, образуют периодический ряд (пп. 45–48). Сначала рассматриваются модули, которые являются простыми числами (пп. 49–81). Теорема Ферма (пп. 50, 51). О количестве чисел, которым соответствуют периоды, у которых количество членов равно заданному делителю числа p–1 (пп. 52–56). Первообразные корни, основные числа, индексы (п. 57). Алгоритм индексов (пп. 58, 59). О корнях сравнения xnA (пп. 60–68). Связь между индексами в различных системах (пп. 69–71). Основные числа, служащие специальным целям (п. 72). Метод определения первообразных корней (пп. 73, 74). Различные теоремы о периодах и первообразных корнях (пп. 75–81). О модулях, которые являются степенями простых чисел (пп. 82–89). Модули, являющиеся степенями числа 2 (пп. 90, 91). Модули, составленные из нескольких простых чисел (пп. 92, 93).

Раздел IV. О сравнениях второй степени

94

Квадратичные вычеты и невычеты (пп. 94, 95). Если модуль есть простое число, то среди чисел, меньших его, количество вычетов равно количеству невычетов (пп. 96, 97). Ответ на вопрос, является ли составное число вычетом или невычетом заданного простого числа, зависит от свойств сомножителей (пп. 98, 99). О модулях, являющихся составными числами (пп. 100–105). Общий критерий того, является ли заданное число вычетом или невычетом по заданному простому модулю (п. 106). Исследование относительно простых чисел, по которым заданные числа являются вычетами или невычетами (пп. 107–150). Вычет –1 (пп. 108–111). Вычеты +2 и –2 (пп. 112–116). Вычеты +3 и –3 (пп. 117–120). Вычеты +5 и –5 (пп. 121–123). О вычетах ±7 (п. 124). Подготовка к общему исследованию (пп. 125–129). Индуктивным путем находится общая (фундаментальная) теорема и делаются выводы из нее (пп. 130–134). Строгое доказательство фундаментальной теоремы (пп. 135–144). Аналогичный метод для доказательства теоремы из п. 114 (п. 145). Решение общей проблемы (п. 146). О линейных формах, содержащих все простые числа, по которым заданное число является вычетом или невычетом (пп. 147–150). О работах других авторов, относящихся к этим исследованиям (п. 151). О сравнениях второй степени общего вида (п. 152).

Раздел V. О формах и неопределенных уравнениях второй степени

151

Предмет исследования; определение форм и обозначения (п. 153). Представление чисел; определитель (п. 154). Значения выражения b²–ac (mod M), которым принадлежит представление числа M формой (abc) (пп. 155, 156). Форма, содержащая другую форму или содержащаяся в другой форме; преобразование, собственное и несобственное (п. 157). Эквивалентность, собственная и несобственная (п.158). Противоположные формы (п. 159). Соседние формы (п. 160). Общие делители коэффициентов форм (п. 161). Связь между всевозможными однотипными преобразованиями одной заданной формы в другую (п. 162). Двусторонние формы (п. 163). Теорема, касающаяся случая, когда одна форма содержится в другой одновременно собственно и несобственно (пп. 164, 165). Общее исследование о представлениях чисел формами и о связи этих представлений с преобразованиями (пп. 166–170). О формах с отрицательным определителем (пп. 171–182). Специальные приложения к разложению чисел на два квадрата, на простой и удвоенный и на простой и утроенный квадраты (п. 182). О формах с положительным неквадратным определителем (пп. 183–205). О формах с квадратным определителем (пп. 206–212). Формы, которые содержатся в других, и притом им не эквивалентны (пп. 213, 214). Формы с определителем 0 (п. 215). Общее решение в целых числах всех неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными (пп. 216–221). Исторические замечания (п. 222). Дальнейшие исследования о формах (пп. 223–265). Разбиение форм с заданным определителем на классы (пп. 223–225). Разбиение классов на порядки (пп. 226, 227). Деление порядков на роды (пп. 228–233). О композиции форм (пп. 234–244). Композиция порядков (п. 245). Композиция родов (пп. 246–248). Композиция классов (пп. 249–251). Для заданного определителя в отдельных родах из одного и того же порядка содержится по одинаковому числу классов (п. 252). Сравниваются количества классов, содержащихся в отдельных родах из различных порядков (пп. 253–256). О числе двусторонних классов (пп. 257– 260). Половине всех возможных для данного определителя характеров заведомо не могут соответствовать собственно примитивные (при отрицательном определителе положительные роды) (п. 261). Второе доказательство фундаментальной теоремы и остальных теорем, касающихся вычетов –1, +2, –2 (п. 262). Точнее определяется та половина характеров, которой не могут соответствовать роды (пп. 263, 264). Специальной метод для разложения простых чисел на два квадрата (п. 265). Отступление, содержащее исследование о тройничных формах (пп. 266–285). Некоторые приложения к теории двойничных форм (пп. 286–307). О нахождении формы, при удвоении которой получается заданная двойничная форма главного рода (п. 286). Всем характерам, за исключением тех, невозможность которых была доказана в пп. 263, 264, действительно соответствуют роды (п. 287). Теория разложения чисел и двойничных форм на три квадрата (пп. 288–292). Доказательство теоремы Ферма о том, что каждое целое число может быть разложено на три треугольных числа или на четыре квадрата (п. 293). Решение уравнения ax²+by²+cz²=0 (пп. 294, 295). О методе, которым Лежандр изложил фундаментальную теорему (пп. 296–298). Представление нуля любыми тройничными формами (п. 299). Общее решение в рациональных величинах уравнений второй степени с двумя неизвестными (п. 300). О среднем количестве родов (п. 301). О среднем количестве классов (пп. 302–304). Особый алгоритм для собственно примитивных классов; регулярные и иррегулярные определители и т.д. (пп. 305–307).

Раздел VI. Различные применения предыдущих исследований

468

Разложение дробей на более простые (пп.309–311). Превращение обыкновенных дробей в десятичные (пп. 312–318). Решение сравнения x²≡A методом исключения (пп 319–322). Решение неопределённого уравнения mx²+ny²=A методом исключения (пп. 323–326). Другой метод решения сравнения x²≡A в случае, когда A отрицательно (пп. 327, 328). Два метода отличать составные числа от простых и находить сомножители составных чисел (пп. 329–334).

Раздел VII. Об уравнениях, от которых зависит деление круга

509

Исследование сводится к простейшему случаю, когда число частей, на которые должен быть разбит круг, является простым (п. 336). Уравнения для тригонометрических функций дуг, составляющих одну или несколько частей полной окружности; сведение тригонометрических функций к корням уравнения xn–1=0 (пп. 337, 338). Теория корней уравнения xn–1=0 (в предположении, что n есть простое число). Если отбросить корень 1, то совокупность (Ω) остальных корней содержится в уравнении X = xn–1 + xn–2 + ... + x + 1 = 0 (пп. 339, 340). Функция X не может быть разложена на сомножители более низких степеней, все коэффициенты у которых рациональны (п. 341). Указывается цель дальнейших исследований (п. 342). Все корни из Ω разбиваются на некоторые классы (периоды) (п. 343). Различные теоремы о периодах корней из Ω (пп. 344–351). На предыдущих исследованиях основывается решение уравнения X=0 (пп. 352–354). Дальнейшие исследования о периодах корней. Суммы, у которых количество членов четно, являются вещественными величинами (п. 355). Об уравнении, определяющем разбиение корней из Ω на два периода (п. 356). Доказательство теоремы, упомянутой в разделе IV (п. 357). Об уравнении для разбиения корней из Ω на три периода (п. 358). Сведение уравнений, из которых находятся корни Ω, к чистым уравнениям (пп. 359, 360). Применение предыдущих исследований к тригонометрическим функциям. Метод различать углы, которым соответствуют отдельные корни из Ω (п. 361). Тангенсы, котангенсы, секансы и косекансы определяются по синусам и косинусам без помощи деления (п. 362). Метод постепенного понижения степеней уравнений для тригонометрических функций (пп. 363, 364). Деления круга, которые можно выполнить при помощи квадратных уравнений или посредством геометрических построений (пп. 365, 366).

Дополнения574
Таблицы576
Оглавление580
 
ДРУГИЕ СОЧИНЕНИЯ

Новое доказательство одной арифметической теоремы

587

Суммирование некоторых рядов особого вида

594

Новые доказательства и обобщения фундаментальной теоремы в учении о квадратичных вычетах

636

Теория биквадратичных вычетов. Сочинение первое

655

Теория биквадратичных вычетов. Сочинение второе

686
 
НЕКОТОРЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ИЗ
РУКОПИСНОГО НАСЛЕДИЯ ГАУССА
Учение о вычетах757
I. Решение сравнения Xm – 1 ≡ 0757
II. Общие исследования о сравнениях773

Дальнейшее развитие исследований о чистых уравнениях

807

Доказательство некоторых теорем о периодах классов двойничных форм второй степени

836

О связи между числом классов, на которые распадаются двойничные формы второй степени, и их определителем

839

Более подробное рассмотрение некоторых вопросов, относящихся к делению круга

867
 
ПРИЛОЖЕНИЯ
От редакции874
И. М. Виноградов. Карл Фридрих Гаусс875
Б. Н. Делоне. Работы Гаусса по теории чисел879
   1. Теория чисел до Гаусса879
2. «Арифметические исследования» Гаусса880
3. О теории чисел вообще и о современных нам её методах882
4. О теории алгебраических чисел885
5. Первый, второй и третий разделы «Арифметических исследований» Гаусса895
6. Четвёртый раздел «Арифметических исследований». Первое доказательство закона взаимности897
7. Целые комплексные числа Гаусса и биквадратичный закон взаимности900
8. О законах взаимности вообще и о задаче, которую они решают902
9. О теореме Кронекера и о теории поля классов904
10. Первая часть пятого раздела «Арифметических исследований»906
11. Вторая часть пятого раздела «Арифметических исследований». Композиция классов и композиция родов квадратичных форм914
12. Третья часть пятого раздела «Арифметических исследований». Отступление о тройничных формах925
13. Четвёртая часть пятого раздела «Арифметических исследований», содержащая приложение теории тройничных квадратичных форм и исследования о числе классов939
14. Шестой раздел «Арифметических исследований». Различные приложения теории чисел956
15. Седьмой раздел «Арифметических исследований». Теория деления круга Гаусса957
16. Гауссовы суммы    967



АРИФМЕТИЧЕСКИЕ  ИССЛЕДОВАНИЯ

ПРЕДИСЛОВИЕ  АВТОРА

Содержащиеся в этом сочинении исследования относятся к той части математики, которая имеет дело с целыми числами, в то время как дробные числа остаются вне рассмотрения в большинстве случаев, а мнимые — всегда. Так называемый неопределённый или диофантов анализ, представляющий собой учение о том, как из бесконечного числа решений, удовлетворяющих неопределённому уравнению, выбирать те, которые являются целочисленными или хотя бы рациональными (а в большинстве случаев ещё и положительными), не исчерпывает этой дисциплины, а представляет собой лишь очень специальную её часть, которая относится ко всей дисциплине приблизительно так же, как учение о преобразовании и решении уравнений (алгебра) относится к анализу в целом. Именно, как все исследования, которые касаются общих свойств числовых величин и связей между ними, принадлежат к области анализа, так целые числа (а также и дробные, поскольку они определяются через целые) составляют предмет изучения арифметики. Но так как то, что обычно принято называть арифметикой, почти не выходит за пределы искусства считать и вычислять (т.е. представлять числа в определённом виде, например, в десятичной системе, и производить над ними арифметические операции) с добавлением ещё некоторых вопросов, которые или вовсе не относятся к арифметике, как, например, учение о логарифмах, или имеют силу не только для целых чисел, но и для любых числовых величин, то представляется целесообразным различать две части арифметики и только что упомянутое причислять к элементарной арифметике, а все общие исследования о внутренних связях между целыми числами относить к высшей арифметике, о которой одной здесь и будет идти речь.

К высшей арифметике относится то, что Эвклид с присущими древним изяществом и строгостью изложил в «Началах», в книге VII и следующих; однако это представляет собой лишь первые шаги этой науки. Знаменитое сочинение Диофанта, целиком посвящённое проблемам неопределённого анализа, содержит много исследований, которые вследствие их трудности и красоты методов заставляют быть высокого мнения об уме и проницательности их автора, особенно, если учесть незначительность вспомогательных средств, находившихся в его распоряжении. Так как, однако, эти задачи больше требуют находчивости и сообразительности, чем глубоких методов, и, кроме того, являются слишком специальными и редко приводят к более общим выводам, то эта книга рассматривается как эпоха в развитии математики скорее потому, что она содержит в себе первые следы искусства, характерного для алгебры, а не потому, что она обогатила новыми открытиями высшую арифметику. Главным образом более поздним исследователям, правда, немногочисленным, но завоевавшим непреходящую славу, — таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищнице этой божественной науки и показали, какими богатствами она наполнена. Я, однако, не буду здесь перечислять, какие открытия принадлежат каждому из этих математиков в отдельности, так как это можно узнать из предисловия к дополнениям, которыми Лагранж снабдил «Алгебру» Эйлера, и из недавно вышедшего сочинения Лежандра, о котором скоро будет упоминаться; кроме того, об этом говорится в соответствующих местах настоящих «Арифметических исследований».

Целью этого труда, издать который я обещал ещё пять лет назад, было довести до общего сведения те исследования по высшей арифметике, которыми я занимался частью ранее, частью позже указанного срока. Однако, чтобы никто не удивлялся, что я здесь повторяю предмет почти с самого начала и заново произвожу многие исследования, которыми уже занимались другие, я считаю необходимым указать на то, что когда я в начале 1795 г. впервые принялся за исследования такого рода, я ничего не знал о том, что было сделано за последнее время в этой области, и все средства, при помощи которых я получал свои результаты, я изобретал сам. Именно, занимаясь в то время другой работой, я случайно натолкнулся на одну изумительную арифметическую истину (если не ошибаюсь, она изложена в виде теоремы в п. 108), и так как она не только показалась мне прекрасной сама по себе, но и навела на мысль, что она связана и с другими выдающимися фактами, я со всей энергией взялся за то, чтобы выяснить принципы, на которых она основывается, и получить строгое её доказательство. После того как это желание, наконец, осуществилось, прелесть этих исследований настолько увлекла меня, что я уже не мог их оставить; так и получилось, что в то время как одни всё время пролагали дорогу другим в том, что изложено в первых четырёх разделах этого труда, я сам имел о подобных работах других математиков лишь приблизительное представление. Когда же мне, наконец, представилась возможность ознакомиться с работами этих выдающихся умов, то я понял, что большая часть моих рассуждений была посвящена уже давно известным вещам, но с тем большей охотой решился следовать по стопам этих учёных, которые двигали арифметику вперёд; так возникли различные исследования, часть которых составляют разделы V, VI, VII. Когда я, спустя некоторое время, принял решение опубликовать результаты моих усилий, то я, идя навстречу желаниям многих, тем охотнее решил не выбрасывать ничего также и из указанных более ранних исследований, что, во-первых, в то время ещё не было книги, по которой можно было бы ознакомиться с рассеянными по академическим изданиям работами других математиков по этому вопросу; затем, потому, что многие из этих исследований были совершенно новыми и проводились новыми методами, и, наконец, потому, что все они так тесно переплетались как между собой, так и с более поздними исследованиями, что новое неудобно было бы изложить достаточно ясно без того, чтобы сначала не напомнить некоторые другие вещи.

Тем временем появилось сочинение уже и до того имевшего большие заслуги в высшей арифметике ЛежандраEssai d'une theorie des nombres», Paris, a. VI), в котором он не только тщательно обработал и привел в порядок всё, что было сделано в этой науке до сих пор, но и привнёс очень много своего собственного. Так как эта книга попала ко мне в руки слишком поздно, когда большая часть моего сочинения была уже готова, я её нигде не упоминал в тех случаях, когда аналогия рассматриваемых вопросов могла бы дать к этому повод; лишь в отношении нескольких её мест я счёл необходимым сделать некоторые замечания в дополнениях, которые, как я надеюсь, любознательный читатель не оставит без внимания.

Во время печатания этого сочинения, которое несколько раз прерывалось и из-за многочисленных задержек растянулось на четыре года, я не только продолжил далее те исследования, которые начал ещё ранее, но опубликование которых решил отложить до другого случая, чтобы не делать книгу слишком объёмистой, но и принялся за многие новые исследования. Кроме того, несколько исследований, которые я по той же причине только вскользь упоминал, так как более подробное рассмотрение представлялось менее необходимым (например, те, о которых говорится в пп. 37, 82 и следующих, и в других местах), в дальнейшем были продолжены и дали повод к более общим исследованиям, которые представляются достойными опубликования (ср. также сказанное в дополнениях относительно п. 306). Наконец, так как книга вследствие значительного размера раздела V оказалась гораздо объёмистее, чем я ожидал, — многое, что первоначально для неё предназначалось, и в частности весь восьмой раздел (который в этом сочинении уже упоминается в нескольких местах, и который содержит общее изложение теории алгебраических сравнений любой степени), пришлось выбросить, Все эти вещи, которые легко могут заполнить том, равносильный настоящему, я опубликую, как только для этого представится случай.

То, что во многих трудных исследованиях я пользовался синтетическими доказательствами и опускал анализ, при помощи которого они были найдены, объясняется главным образом требованиями краткости, которым я, насколько это возможно, должен был стремиться удовлетворить.

Теория деления круга или теория правильных многоугольников, которая рассматривается в разделе VII, сама по себе не принадлежит арифметике; однако её принципы следует черпать только в высшей арифметике; это будет для математиков, быть может, столь же неожиданным, сколь, надо надеяться, приятными бывают для них обычно истины, черпаемые из этого источника.

На это я хотел обратить внимание читателя. О самом предмете судить не мне. Я ничего не желаю столь горячо, как того, чтобы эти исследования понравились тем, кто принимает близко к сердцу успехи науки, как те, которые восполняют имевшиеся до сих пор пробелы, так и те, что открывают путь к новому.


Академик  И. М. Виноградов
КАРЛ  ФРИДРИХ  ГАУСС

Речь акад. И. М. Виноградова на торжественном заседании, организованном Всесоюзным обществом культурной связи с заграницей и Отделением физико-математических наук АН СССР 23 февраля 1955 г., по случаю столетия со дня смерти К. Ф. Гаусса

Великому немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу принадлежат глубокие и основополагающие исследования почти во всех основных областях математики: в теории чисел, в геометрии, в теории вероятностей, в анализе, в алгебре, а также важные исследования в астрономии, в геодезии, в механике и в теории магнетизма.

Математический гений Гаусса развивался на исследованиях по теории целых чисел, завершившихся опубликованием в 1801 г. его знаменитой книги «Disquisitiones arithmeticae». В дальнейшем Гаусс возвращался к этим исследованиям и дал в области теории чисел ещё две важные работы.

В «Disquisitiones arithmeticae» Гаусс изложил всё существенное, что было известно в теории чисел до него, но часто исходя из более общих и более принципиальных соображений. Кроме того, «Disquisitiones arithmeticae» в четвёртом, пятом и седьмом своих разделах заключают три крупнейших открытия самого Гаусса: доказательство квадратичного закона взаимности, композицию классов и родов квадратичных форм и теорию деления круга.

Квадратичный закон взаимности является центральной теоремой теории квадратичных вычетов, доказательство которой долго и безуспешно пытались получить крупнейшие математики того времени. Исследования Гаусса по квадратичному и, позже, по биквадратичному закону взаимности послужили исходным пунктом длинного ряда работ, приведших в конечном итоге к отысканию общего закона взаимности, представляющего собой одну из важных теорем теории алгебраических чисел.

Исследования Гаусса по композиции классов и родов квадратичных форм явились важным первым этапом в труднейшем вопросе о построении арифметики полей алгебраических чисел. Исследования Гаусса по целым комплексным числам, опубликованные позже (в 1832 г.), дали пример поля алгебраических чисел, отличного от рационального, в котором действуют законы обычной арифметики. Продолжение обоих этих исследований привело во второй половине XIX столетия к построению общей теории алгебраических чисел, которая является в настоящее время одним из основных методов теории чисел.

Теория деления круга, занимающая последний, седьмой раздел «Disquisitiones arithmeticae», содержит подробное рассмотрение двучленного уравнения xn = 1, в котором, применяя методы теории чисел, Гаусс сводит решение этого уравнения на цепь уравнений низших степеней. Это исследование представляет собой частный, но вполне завершённый случай теории, построенной впоследствии Галуа, которая является одной из основных теорий алгебры. Теория деления круга дала замечательный чисто геометрический результат. К тем правильным многоугольникам, которые умели строить при помощи циркуля и линейки древние математики, Гаусс прибавил ещё правильный семнадцатиугольник. Более того, он нашёл вообще все те правильные многоугольники, которые можно построить при помощи циркуля и линейки. Теорема о правильном семнадцатиугольнике была опубликована Гауссом без доказательства, когда он был ещё 19-летним студентом, и создала ему первую известность.

В связи с теорией деления круга Гаусс рассмотрел в 1811 г. особые тригонометрические суммы, называемые теперь суммами Гаусса. Дальнейшее обобщение этого исследования привело впоследствии к рассмотрению более общих тригонометрических сумм, которые являются сейчас одним из самых сильных средств аналитической теории чисел и способствовали доказательству важных теорем, касающихся обыкновенных целых чисел.

О работах Гаусса, не относящихся к области теории чисел, я скажу уже более кратко. Подобно тому, как это было у Архимеда, Ньютона, Эйлера и, впоследствии, у Чебышёва, большинство из этих работ было вызвано задачами, которые ставили естествознание и практическая деятельность. Так, работы по геодезической съёмке, которые были поручены Гауссу, привели его к исследованиям по внутренней геометрии поверхностей. Они были опубликованы в 1828 г. в знаменитом мемуаре «Disquisitiones generates circa superficies curvas». В этом мемуаре содержится также доказательство важной теоремы Гаусса о неизменяемости кривизны при изгибании поверхностей. Непосредственным обобщением идеи Гаусса о внутренней геометрии поверхностей явилась впоследствии геометрия Римана, послужившая в свою очередь основным аппаратом для общей теории относительности.

Обширные приближённые вычисления, которые приходилось практически производить лично Гауссу при решении задач, относящихся к астрономии и к геодезии, привели его к более глубокой разработке способа наименьших квадратов и к выяснению центрального значения нормальной кривой распределения в вопросах, связанных с теорией вероятностей.

Работы Гаусса по теории магнетизма привели его к важным теоремам теории потенциала.

Размышляя над основными принципиальными вопросами механики, Гаусс пришёл к известному своему принципу наименьшего действия.

Ещё в самый первый период своей научной деятельности, в связи с необходимостью обнаружить на небе потерянную малую планету Цереру, Гаусс придумал замечательный метод определения орбиты по трём наблюдениям. Успех этого метода, давшего возможность снова найти Цереру, был первым обстоятельством, которое сделало имя Гаусса всемирно известным.

Сделаю несколько общих замечаний об особенностях стиля творчества Гаусса. Все общие математические идеи появлялись у Гаусса в связи с решением совершенно конкретных задач. Но эти задачи большей частью относились к важным узловым вопросам современной ему математики. В дальнейшем, в руках его продолжателей, идеи Гаусса привели к созданию новых областей математики. В частности, работы Гаусса по теории чисел предопределили развитие теории чисел более чем на столетие; такую же роль сыграли и работы Гаусса по внутренней геометрии поверхностей.

После Гаусса осталось обширное рукописное наследие, которое было опубликовано много позже его смерти. В рукописях Гаусса математики с изумлением нашли целый ряд теорем, данных без доказательства и касающихся самых различных отделов математики: аналитической теории чисел, теории эллиптических и, в частности, модулярных функций, неэвклидовой геометрии и т.д. Некоторые из этих теорем были, задолго до обнародования посмертных рукописей Гаусса, независимо от Гаусса, открыты и опубликованы другими математиками, а многие не были ещё известны и послужили стимулом для работ последующих учёных.

Русские математики всегда высоко ценили и глубоко изучали работы Гаусса. Некоторые исследования русских математиков являлись непосредственным продолжением работ Гаусса, например: исследования русских математиков о минимумах определённых и неопределённых квадратичных форм, работы по общей теории алгебраических чисел, а в последнее время — работы по общему закону взаимности и исследования, переносящие гауссову внутреннюю геометрию поверхностей на случай неаналитических поверхностей.

Указанная глубокая связь, которая всегда существовала между немецкими и русскими математиками, должна служить примером того дружеского сотрудничества, к которому мы стремимся во всех областях нашей жизни и которое принесёт пользу обоим нашим великим народам.



Б. Н. Делоне
РАБОТЫ  ГАУССА  ПО  ТЕОРИИ  ЧИСЕЛ 

1. Теория чисел до Гаусса

Важные теоремы о целых числах были доказаны уже в древности. Так, например, в школе Пифагора (V в. до н.э.) были найдены в бесконечном числе такие взаимно простые квадраты целых чисел, сумма которых тоже квадрат x2 + y2 = z2. В «Началах» Эвклида (III в. до н.э.) мы находим доказательство бесконечности числа простых чисел. В сочинении Диофанта (III в. н.э.) рассмотрены способы решения различных неопределённых уравнений в рациональных числах.

Первый, кто в новое время начал глубокие исследования целых чисел, был Пьер Ферма (1601–1665) из Тулузы. Задачи, решённые Ферма, и особенно теоремы, высказанные им, но доказательства которых он скрыл по обычаю того времени, произвели большое впечатление на последующих математиков. Ферма имел особую способность проникать в самые глубокие тайны чисел. Укажем два примера. В 1651 г. Ферма, в виде вызова всем современным ему математикам, поставил задачу доказать, что если Δ — целое положительное число, отличное от полного квадрата, то уравнение x2 — Δy2 = 1 (которое теперь называется уравнением Пелля) всегда имеет решения в целых числах x, y (y≠1). Теорема эта в руках Эйлера и Лагранжа, который первый её доказал в 1768 г., оказалась ключом ко всему неопределённому анализу 2-й степени. Другой пример: на полях своего экземпляра книги Диофанта Ферма записал утверждение, что, тогда как сумма двух квадратов целых чисел может быть опять квадратом целого числа, сумма двух кубов или двух одинаковых высших степеней не может быть такой же степенью целого числа (так называемая великая теорема Ферма). Теорема эта в общем виде не доказана и не опровергнута до сих пор, но уже самые попытки её доказать привели к созданию глубоких теорий.

Бóльшая часть задач, оставленных Ферма последующим поколениям математиков, была решена Эйлером (1707–1783) и Лагранжем (1736–1813), которые также поставили и решили многие дальнейшие собственные задачи. Эйлер, в частности, построил теорию степенных вычетов; доказал (в его доказательстве, правда, есть пробел), что уравнение x3 + y3 = z3 не имеет решений в целых числах; нашёл на числовых примерах (однако не смог этого доказать), что простые числа p, такие, для которых заданное целое число a есть «квадратичный вычет» (т.е. те p, для которых существуют такие квадраты x2, что число a отличается от них лишь на кратности p), суть те и только те простые числа, которые содержатся в некоторых определённых арифметических прогрессиях (так называемый квадратичный закон взаимности в рациональном поле), а также многое и многое другое. Лагранж глубоким и тонким методом доказал утверждение Ферма об уравнении Пелля и показал, что этот метод даёт способ для полного решения в целых числах любого неопределённого уравнения 2-й степени с двумя неизвестными ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0. Кроме того, Лагранж доказал замечательную теорему, верность которой утверждал уже Ферма, что любое целое положительное число N есть сумма четырёх квадратов целых чисел: N = x2 + y2 + z2 + t2, частный случай так называемой общей теоремы Варинга, доказанной в общем виде только в 1909 г. Гильбертом.

Лежандр (1752–1833) опубликовал первый большой трактат о теории чисел, в котором собрал всё сделанное до него и добавил много нового.

Таково было положение теории чисел до Гаусса.


2. «Арифметические исследования» Гаусса

Гаусс (1777–1855) с самого раннего возраста обнаруживал необыкновенные способности к математике. Сохранилось предание, что он, когда ему едва минуло 3 года, присутствовал при расчёте своего отца, бывшего водопроводным мастером, с подсобными рабочими и заметил, что расчёт сделан неверно, а верно так-то. Расчёт был проверен, и присутствующие с неподдельным удивлением увидели, что число, указанное трёхлетним мальчиком, правильное. Уже 18 лет Гаусс получил в математике результаты первостепенной важности. С 1797 г. Гаусс начал печатать свою знаменитую книгу «Арифметические исследования» («Disquisitiones arithmeticae») (С. F. Gauss. Werke, Bd. I; см. также: С. F. Gauss. Untersuchungen uber höhere Arithmetik. Deutsch. hrsg. von H. Maser, 1889). По тогдашним условиям печатание шло медленно, и в течение этого времени Гаусс дорабатывал разные части книги, особенно пятый её раздел. «Арифметические исследования» вышли в свет в 1801 г., когда Гауссу было 24 года. «Арифметические исследования» — первая книга, в которой теория чисел, или, как говорит Гаусс, высшая арифметика, излагается как стройная наука, причём во всех вопросах Гаусс обращает особое внимание на принципиальную сторону дела. Книга Гаусса оказывала решающее влияние на работы всех математиков мира по теории чисел в течение целого столетия, а многие идеи, в ней заложенные, оказали влияние на всю математику в целом. Все результаты работ в теории чисел предыдущих учёных, таких, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, включены в тот или иной из семи разделов, на которые разделено это фундаментальное сочинение, имеющее более 600 страниц, но большей частью эти результаты изложены, исходя из более общих, глубоких и объединяющих принципов. Кроме того, книга содержит в четвёртом, пятом и седьмом разделах три совершенно различных первоклассных и фундаментальных для теории чисел и алгебры новых открытия самого Гаусса: 1) доказательство закона взаимности, 2) теорию композиции квадратичных форм и теорию их родов и 3) теорию деления круга. Два других крупнейших открытия Гаусса в теории чисел: 4) гауссовы суммы и 5) арифметика целых комплексных чисел, были сделаны уже позже, после выхода в свет «Арифметических исследований», и опубликованы соответственно в 1811 и в 1828–1832 гг. Относительно общего стиля «Арифметических исследований» Гаусса надо сказать следующее. Гаусс был несравненным вычислителем и, подобно тому, как это делали многие другие выдающиеся арифметики, обычно получал свои новые результаты, исходя из обширных численных вычислений, которые позволяли ему подмечать новые, глубоко скрытые арифметические истины, доказательства которых он получал затем нередко лишь в результате упорной, продолжительной, иногда многолетней работы. Книга Гаусса проникнута стремлением решить каждый вопрос так, чтобы получить удобнейший вычислительный алгоритм. Многие места книги поясняются численными примерами и небольшими численными табличками, которые делают непосредственно ясным то, о чём идет речь и, так сказать, вводят в самую практику рассматриваемых арифметических вопросов.

Когда углубляешься в изучение книги Гаусса, то прямо недоумеваешь, как мог двадцатилетний молодой человек создать такой грандиозный комплекс сложнейших и глубочайших методов и теорем, так хорошо слаженный и построенный и, кроме того, содержащий, как было указано выше, три первоклассных открытия, каждое из которых уже одно обессмертило бы имя любого математика. Несомненно, что умственный подвиг молодого Гаусса, приведший к написанию «Арифметических исследований», имеет мало себе равных в мировой науке.

Попробуем теперь по порядку рассмотреть открытия Гаусса в теории чисел и выяснить то значение, которое каждое из них имело для дальнейшего развития математики. Но прежде, чем это делать, нам придётся довольно много сказать о теории чисел вообще и о теории алгебраических чисел в частности.


3. О теории чисел вообще и о современных нам её методах

Обыкновенные целые числа ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... являются основой всей математики. В отношении сложения они образуют весьма простую совокупность (бесконечную циклическую абелеву группу), а именно: ..., –1 – 1, –1, 0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ..., единственным исходным кирпичом которой является число 1. В отношении же к умножению тот же ряд целых чисел имеет уже вовсе не простую структуру. А именно тех простейших кирпичей, из которых строятся умножением все целые числа, бесконечно много — это простые числа, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... Натуральные числа, большие 1, получаются из них умножением так: 2, 3, 2·2, 5, 2·3, 7, 2·2·2, 3·3, 2·5, 11, 2·2·3, 13, 2·7, 3·5, 2·2·2·2, 17, ... Для того же, чтобы умножением получить все целые рациональные числа, надо ещё привлечь обе единицы; 1 и –1 и число 0.

Уже даже самый простой вопрос, как идут в ряду натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... простые числа, до настоящего времени представляет непреодолимые трудности. Со времён Эвклида доказано, что их бесконечно много. Но только Чебышёву в 1849 г. удалось показать, что число π(N) простых чисел, меньших данного предела N, приблизительно равно N/ln N, а затем Адамару и Валле-Пуссену — что отношение π(N):N/ln N стремится к пределу 1. Лишь совсем недавно, в 1937 г., И. М. Виноградову в знаменитой работе удалось доказать, что любое достаточно большое натуральное число N есть сумма четырёх простых чисел. Но, например, до сих пор не удаётся выяснить, встречаются ли сколь угодно далеко так называемые «близнецы», т.е. простые числа, отличающиеся друг от друга на число 2, как пара 101 и 103 или пара 8004119 и 8004121.

Вся трудность теории чисел состоит в том, что свойства целых чисел относительно умножения (мультипликативные свойства) е их свойствами относительно сложения (с их аддитивными свойствами) связаны очень сложно.

Перейдём теперь к рассмотрению современных нам методов теории чисел.

На современном нам этапе теории чисел для решения вопросов теории обыкновенных целых рациональных чисел используются, кроме элементарного, в основном четыре метода:

1) теория алгебраических чисел (и других алгебр);

2) теория алгебраических функций;

3) аналитическая теория чисел;

4) геометрия чисел.

Отметим тех главнейших математиков, кроме Гаусса, которые до настоящего времени создавали эти методы.

К использованию метода алгебраических чисел относятся работы Валлиса об уравнении Пелля, работы Лагранжа о неопределённых уравнениях 2-й степени, доказательство Эйлера теоремы Ферма для кубов, работы Эйзенштейна и Куммера о законе взаимности, работы Дирихле о теории единиц, работы Куммера об идеальных числах, работы Дедекинда, Золотарёва, Кронекера по теории простых делителей, работы Гильберта, Такаги, Артина, Хассе по теории поля классов, работы Фробениуса и Чеботарёва, обобщающие теорему Дирихле о прогрессии, работы Шафаревича об общем законе взаимности и работы Тэйта о группах когомологий.

К обобщению этого метода на теорию квадратичных форм с многими переменными относятся работы Венкова, Хассе, Гекке, Зигеля, Витта, Эйхлера.

Основные сводки по этому методу принадлежат Гильберту (1896) — по общей теории алгебраических чисел, Хассе (1924) — по специальному вопросу теории алгебраических чисел, теории поля классов, и Эйхлеру (1952) — по применению алгебр к арифметике квадратичных форм со многими переменными.

Использование теории алгебраических функций, родственной теории алгебраических чисел, но имеющей свои специфические методы, начал Пуанкаре, затем в этом направлении работали Морделл, А. Вейль, Хассе и др.

Аналитическая теория чисел ведёт свое начало от Эйлера. Дирихле и Чебышёв продолжали развитие этих идей в вещественной области. Новую струю влил Риман, который вышел в комплексную плоскость и начал использовать аналитичность функции и аналитическое продолжение. Методы аналитической теории чисел употребляли в теории алгебраических чисел Дирихле, Дедекинд, Кронекер, Фробениус, Чеботарёв, Гекке, Зигель, Хейльбронн и др. Важный приём для аддитивных задач придумал Вороной. Блестящее развитие та же идея, хотя, по-видимому, и независимо от Вороного, получила в работах Рамануджана и Харди и Литлвуда.

Важной главой аналитической теории чисел является оценка тригонометрических сумм, первый далеко идущий результат в которой был получен в 1914 г. Г. Вейлем. Наиболее глубокие новые идеи в этой области были развиты Виноградовым, который, между прочим, получил оценки тригонометрических сумм по простым числам.

Основателями геометрии чисел были Минковский, Вороной и Клейн. Её методами работали у нас автор этих строк и Венков, а также их используют многие современные математики.

Работы Гаусса по теории чисел дают первые образчики почти во всех этих направлениях, но наибольшее значение они имеют для развития метода алгебраических чисел и метода тригонометрических сумм.


4. О теории алгебраических чисел

[· · ·]


Hosted by uCoz