705 Кб
 
АЗБУКА ГРУППОВОГО АНАЛИЗА
 
Введение3
§1.Однопараметрические группы преобразований4
§2.Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями14
§3.Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу24
§4.Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений34
§5.Фундаментальные решения уравнений математической физики как инвариантные решения39
§6.Короткое отступление о группе Галуа42
Литература 44



ВВЕДЕНИЕ

Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX века Софуса Ли (1842–1899) и служил главной составной частью его важнейшего творения — теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений — была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.

Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, показав в своих работах 1958–1962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, — описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп — обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований (см. книги [7], [9] и обзор [10]). Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения.

К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках. Странность положения усугубляется тем, что в настоящее время разработаны и ждут применения новые мощные методы группового анализа. Поэтому знакомство с классическими его основами и современными методами становится важным элементом математической культуры для тех, кто имеет дело с построением и изучением математических моделей задач естествознания. Для этого наряду с имеющимися монографиями по групповому анализу нужен учебник, рассчитанный на широкую аудиторию и пригодный для первоначального ознакомления с предметом.

Данная брошюра, по замыслу автора, и должна сыграть роль такого учебника. При её чтении рекомендуется тщательно разобрать примеры и прорешать предлагаемые упражнения, так как групповой анализ относится к одной из тех областей, которые необходимо изучать на примерах. Сюда в полной мере относятся слова И. Ньютона о том, что «при изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила». Недостаточно лишь формально знать теорию групп, ею надо овладевать творчески, решая многочисленные упражнения и нестандартные задачи.

При работе над этой брошюрой основным источником послужили работы С. Ли, в частности его книга [8]. Хорошее представление о работах Ли по обыкновенным дифференциальным уравнениям и о его манере мышления можно получить по статье [5] Л. Диксона — одного из бывших слушателей лекций С. Ли.




 
797 Кб
 
ОПЫТ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА
 
Предисловие3
Глава первая. Исходные понятия и алгоритмы3
   

Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли

Глава вторая. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих двухпараметрическую группу12

Поучительный пример. Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с помощью двухмерной алгебры. Пример реализации алгоритма. Cherchez le groupe. Пример уравнения, не допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах

Глава третья. Групповая классификация уравнений второго порядка21

Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая классификация. Один замечательный класс уравнений. Признаки линеаризуемости. Заключительные замечания

Глава четвертая. Инвариантные решения28

Определение и примеры. Оптимальная система инвариантных решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих 3-мерную алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи. Сферические функции. Групповой штрих к методу Римана

Литература42
Приложение 43



ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта брошюра является продолжением «Азбуки группового анализа» и связана с ней единством замысла — дать общедоступное изложение теории Ли дифференциальных уравнений. Я по-прежнему стремился свести до минимума подготовительные теоретические построения и привести читателя к методам решения дифференциальных уравнений кратчайшим путём. Ибо как начинающему купальщику невозможно нырнуть вместе с надувным кругом, так отягощённое трактатностью и подчёркнутой строгостью изложение мало способствует погружению в необычный мир группового анализа.

Для первоначального ознакомления с предметом достаточно прочесть первые две главы. В первой главе собраны ключевые понятия группового анализа и сформулированы в виде теорем те факты, которые лежат в основе используемых алгоритмов. Этот раздел поможет читателю быстро научиться вычислять допускаемую группу и освоиться с другими простыми приёмами группового анализа. Во второй главе изложена основная схема Ли интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений методом теории групп. Ограничение уравнениями второго порядка вызвано не существом метода, а стремлением сосредоточиться на конкретном материале и привести к исчерпывающим результатам.

Остальные главы предназначены для желающих углубиться в предмет. Заинтересовавшийся читатель может перейти далее к изучению специальной литературы, указанной в библиографии.


ЛИТЕРАТУРА,

которая поможет заинтересованному читателю более подробно ознакомиться с теоретическими вопросами группового анализа, многообразием приложений и современным развитием, а также с биографией Софуса Ли.

  1. Э.Л.Айнс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков: ОНТИ, 1939. — Гл. IV. — С. 127–153.
  2. В.А.Байков, Р.К.Газизов, Н.X.Ибрагимов. Приближённые симметрии // Матем. сб. — 1988. — Т. 136. — Вып. 4. — С. 435–450.
  3. В.А.Галактионов, В.А.Дородницын, Г.Г.Еленин, С.П.Курдюмов, А.А.Самарский. Квазилинейное уравнение с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики: Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1987. — Т. 28. — С. 95–205.
  4. Э.Гурса. Курс математического анализа. — М.—Л.: ГТТИ, 1933. — Т. II. — Ч. II. гл. XIX. — Разд. IV. — С. 92–104.
  5. L.E.Dickson. Differential equations from the group standpoint // Annals of Math. — 1924. — V. 25. — P. 287–378. назад к тексту
  6. В.А.Дородницын, Г.Г.Еленин. Симметрия в решениях уравнений математической физики. — М.: Знание, 1984. — 64 с. См. также сб.: Компьютеры и нелинейные явления. — М.: Наука, 1988. — С. 123–191.
  7. Н.X.Ибрагимов. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983.— 280 с. назад к тексту
  8. S.Lie. Vorlesungen über continuierliche Gruppen. — Leipzig: Teubner, 1893. — 805 c. назад к тексту
  9. Л.В.Овсянников.
    1. Групповые свойства дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. — 240 с.
    2. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 с.
    3. назад к тексту
  10. Л.В.Овсянников, Н.X.Ибрагимов. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники: Общая механика. — М.: ВИНИТИ, 1975. — Т. 2. — С. 5–52. назад к тексту
  11. Е.М.Полищук. Софус Ли. — Л.: Наука, 1983. — 214 с.
  12. Н.Г.Чеботарев. Теория групп Ли. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1940. — 396 с.

Добавлю сюда ещё одну книгу — П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (М., Мир, 1989), — которую, благодаря достаточно недавнему (по сравнению с другими книгами) году выпуска, объёму в 600 с лишним страниц и ясности изложения, можно поставить в начало этого списка. E.G.A.


Hosted by uCoz