805 Кб

СОДЕРЖАНИЕ   Глава I. Геометрические основания 4 §1. Дробно-линейные преобразования 4 §2. Модулярная группа 5 §3. Главные конгруэнц-подгруппы 9 §4. Римановы поверхности, ассоциированные с подгруппами модулярной группы 11 §5. Примеры 14   Глава II. Модулярные формы 17 §6. Введение 17 §7. Некоторые результаты теории функций на римановых поверхностях 20 §8. Размерность пространства модулярных форм 21   Глава III. Ряды Пуанкаре 25 §9. Построение модулярных форм 25 §10. Скалярное произведение Петерсона 29 §11. Полнота системы рядов Пуанкаре 31 §12. Коэффициенты Фурье параболических форм 33   Глава IV. Ряды Эйзенштейна 35 §13. Построение рядов Эйзенштейна 35 §14. Коэффициенты Фурье рядов Эйзенштейна 39 §15. Модулярные формы относительно модулярной группы 41   Глава V. Модулярные соответствия 44 §16. Операторы Гекке 44 §17. Операторы Гекке и коэффициенты Фурье 49 §18. Арифметические свойства коэффициентов Фурье 51   Глава VI. Квадратичные формы 54 §19. Введение 54 §20. Обобщённая формула обращения Якоби 56 §21. Представления чисел суммами квадратов 58 §22. Чётные целочисленные квадратичные формы 60 §23. Арифметические приложения 66   Литература 67

Эти заметки основаны на курсе лекций по теории модулярных форм одной комплексной переменной, прочитанном в Принстонском университете в течение весеннего семестра 1959 г. Интерес к этой тематике недавно снова возродился, что вызвано, несомненно, новыми результатами и методикой Сельберга и Эйхлера; однако не существует никакого вводного руководства, которое излагало бы необходимые для понимания этих последних достижений сведения, в частности соответствующие результаты Гекке и Петерсона. Лекции были предназначены в некоторой мере восполнить этот пробел. Я пытался дать не исчерпывающее изложение, а скорее краткий обзор, иллюстрирующий методы и проблемы некоторых аспектов теории. Поэтому были рассмотрены только простейшие случаи — модулярные формы чётного веса, главные конгруэнц-подгруппы, операторы Гекке для полной модулярной группы.