Г.Хассе. Лекции по теории чисел


VORLESUNGEN ÜBER ZAHLENTHEORIE von H. HASSE		Г. Хассе ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
BERLIN 1950		Перевод с немецкого В. Б. ДЕМЬЯНОВА Под редакцией И. Р. ШАФАРЕВИЧА И * Л ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва — 1953

5000 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции			3
Из предисловия автора			5

Глава I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
§ 1.	Разложение на простые множители		7
	1.	Натуральные, целые и рациональные числа	7
	2.	Элементарная теория делимости	8
	3.	Простые числа	9
	4.	Основная теорема элементарной теории чисел	11
	5.	Видоизменения основной теоремы	13
	6.	Иррациональность n-х корней из целых чисел	18
§ 2.	Общий наибольший делитель		19
	1.	Критерии делимости и простого делителя	19
	2.	Определение общего наибольшего делителя	21
	3.	Определение общего наименьшего кратного	22
	4.	Свойства общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного	23
	5.	Взаимная простота и попарная взаимная простота	25
	6.	Представление несократимой дробью, представление с общим наименьшим знаменателем	26
	7.	Основная теорема об общем наибольшем делителе	29
	8.	Доказательство основной теоремы как основной теоремы об идеалах в области целостности Γ целых чисел	30
	9.	Алгоритм Евклида	33
	10.	Другое доказательство основной теоремы элементарной теории чисел	35
§ 3.	Совершенные числа, простые числа Мерсенна и Ферма		36
	1.	Определение совершенных чисел	36
	2.	Мультипликативная формула для суммы делителей	37
	3.	Достаточное условие для чётных совершенных чисел: теорема Евклида	38
	4.	Необходимое условие для чётных совершенных чисел: теорема Эйлера	39
	5.	Простые числа Мерсенна	40
	6.	Нечётные совершенные числа	41
	7.	Простые числа Ферма	43
	8.	Перечень вопросов, остающихся нерешёнными	44
§ 4.	Сравнимость, классы вычетов		44
	1.	Определение сравнимости и классов вычетов	44
	2.	Кольцо классов вычетов	46
	3.	Деление в кольце классов вычетов	49
	4.	Группа классов вычетов, взаимно простых с модулем	51
	5.	Малая теорема Ферма	52
	6.	Формула сложения для функции Эйлера	56
	7.	Формула обращения Мёбиуса	56
	8.	Формула умножения для функции Эйлера	59
	9.	Системы сравнений, разложение кольца классов вычетов в прямую сумму	62
	10.	Сравнимость для дробных чисел	66
	11.	Поле классов вычетов по простому модулю	69
	12.	Аддитивное представление классов вычетов по степени простого числа	71
	13.	Периодичность разложения рациональных чисел в m-ичную дробь	74
§ 5.	Структура группы классов вычетов, взаимно простых с модулем		78
	1.	Сведение к степеням простых чисел	78
	2.	Случай простого числа	79
	3.	К определению первообразных корней, гипотеза Артина	81
	4.	Циклический сдвиг периода в разложении в m-ичную дробь	82
	5.	Леммы о сравнениях по степени простого числа	84
	6.	Случай степени нечётного простого числа	85
	7.	Случай степени простого числа 2	90

Глава II. КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ
§ 6.	Определение, редукция к простейшим случаям, критерии		95
	1.	Определение квадратичных вычетов	95
	2.	Редукция к модулям, являющимся степенями простых чисел	96
	3.	Редукция к нечётным простым модулям	96
	4.	Первый критерий: символ Лежандра	100
	5.	Второй критерий: критерий Эйлера	102
	6.	Третий критерий: лемма Гаусса	103
§ 7.	Квадратичный закон взаимности: элементарное доказательство		105
	1.	Основной вопрос, сведение к простым числам	105
	2.	Два дополнения к закону взаимности	107
	3.	Общая форма закона взаимности	109
	4.	Символ Лежандра как функция своего знаменателя	114
	5.	Ведущий модуль символа Лежандра как функции его знаменателя	117
§ 8.	Квадратичный закон взаимности: доказательство с помощью гауссовых сумм		122
	1.	Корни простой степени из 1	122
	2.	Гауссовы суммы	124
	3.	Доказательство закона взаимности	126
	4.	Обоснование доказательства посредством теории сравнений в области корней из 1	127
	5.	Доказательство второго дополнения к закону взаимности	130
§ 9.	Обобщение символа Лежандра: символ Якоби		133
	1.	Определение символа Якоби	133
	2.	Символ Якоби как функция своего числителя	136
	3.	Дополнения к закону взаимности и общая форма закона	139
	4.	Рекуррентный метод для вычисления символа Якоби	142
	5.	Символ Якоби как функция своего знаменателя	146
	6.	Символ Кронекера	153
§ 10.	Вопросы распределения квадратичных вычетов по простому модулю		156
	1.	Количество решений квадратных сравнений	156
	2.	Последовательности с заданными значениями характера	161
	3.	Теоретико-вероятностное истолкование. Обзор результатов	163
	4.	Случай многочленов второй степени	167
	5.	Применение к двучленным последовательностям	170
	6.	Случай специального многочлена третьей степени	171
	7.	Применение к трёхчленным последовательностям	177
	8.	Разложение простых чисел p ≡ 1 mod 4 на сумму двух квадратов	179
	9.	Разложение простых чисел p ≡ 1 mod 3 на сумму квадрата и утроенного квадрата	183

Глава III. ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
§ 11.	Элементарные частные случаи		189
	1.	Следствия из теории квадратичных вычетов	189
	2.	Многочлен деления круга	193
	3.	Случай единичного класса вычетов r ≡ 1 mod m	198
	4.	Случай класса вычетов r ≡ –1 mod m	201
§ 12.	Метод Дирихле		206
	1.	Эйлеровское доказательство бесконечности множества простых чисел	206
	2.	Метод доказательства Дирихле для модулей 3 и 4	210
	3.	Подход Дирихле к доказательству общего случая теоремы	214
	4.	Дзета-ряд и видоизменение эйлеровского доказательства, сделанное Дирихле	216
	5.	Замечания относительно закона распределения простых чисел	220
§ 13.	Характеры конечных абелевых групп. Характеры по модулю		221
	1.	Определение характеров и доказательство их существования	221
	2.	Соотношения между характерами	223
	3.	Принцип двойственности	225
	4.	Характеры и подгруппы	228
	5.	Характеры по модулю	231
	6.	Ведущий модуль, собственные характеры	232
	7.	Чётные и нечётные характеры	239
§ 14.	Доказательство Дирихле		242
	1.	L-ряды	242
	2.	Выделение множеств простых чисел, лежащих в отдельных классах вычетов	244
	3.	Предельное поведение L-рядов	247
	4.	Плотность Дирихле и натуральная плотность	250
§ 15.	Необращение L-рядов в нуль		252
	1.	Произведения L-рядов	252
	2.	Элементарно-аналитическое доказательство для неквадратичных характеров	265
	3.	Элементарно-аналитическое доказательство для квадратичных характеров	268
	4.	Теоретико-функциональный метод доказательства	274
	5.	Алгебраически-теоретико-числовой метод доказательства	283

Глава IV. КВАДРАТИЧНЫЕ ПОЛЯ
§ 16.	Элементарная теория делимости		300
	1.	Основные алгебраические сведения	300
	2.	Геометрическая иллюстрация	304
	3.	Целые числа, дискриминант	307
	4.	Единицы	313
	5.	Вычисление основной единицы	321
	6.	Квадратичные поля с однозначным разложением на простые множители	340
§ 17.	Теория дивизоров		355
	1.	Структура кольца классов вычетов по простому модулю	355
	2.	Теория делимости и сравнений для степеней простых дивизоров	363
	3.	Основные теоремы арифметики	378
	4.	Сравнимость, классы вычетов, идеалы	386
	5.	Конечность числа классов	396
§ 18.	Определение числа классов		409
	1.	Предельная формула	409
	2.	Суммирование L-рядов	418
	3.	Общая формула для числа классов	422
	4.	Формула для числа классов квадратичного поля	428
	5.	Рациональное представление формулы для числа классов в случае положительного простого дискриминанта	443
§ 19.	Квадратичные поля и квадратичный закон взаимности		456
	1.	Квадратичные поля как поля классов	456
	2.	Взгляд на общую теорию полей классов	457
	3.	Доказательство закона взаимности путём вложения в поле корней из единицы	461
	4.	Чисто квадратичное доказательство квадратичного закона взаимности	463
§ 20.	Систематическая теория гауссовых сумм		468
	1.	Общее определение, редукция к простейшим случаям	468
	2.	Разложение на компоненты, формула для абсолютной величины гауссовой суммы	474
	3.	Внутренний смысл собственных гауссовых сумм	478
	4.	Связь гауссовых сумм с суммами для характеров в случае нечётного простого модуля	485
	5.	Определение знака для случая квадратичного характера	494
	6.	Гипотеза Куммера для кубических характеров по простому модулю	503
	7.	Аналог для бикубических и биквадратичных характеров	512

Литература			518
Указатель			520

ОТ РЕДАКЦИИ

«Лекции по теории чисел» Г. Хассе занимают положение, промежуточное между элементарным руководством по теории чисел и монографией по какому-либо из её специальных разделов. Первая и вторая главы содержат материал, исторически давно сложившийся. Вторая половина книги вводит читателя в основные области современной теории чисел — теорию алгебраических чисел, теорию алгебраических функций с конечным полем констант и (в меньшей степени) в аналитическую теорию чисел. Эти области не рассматриваются в книге систематически, но характерные для них постановки вопросов, некоторые основные результаты и связи с элементарной теорией чисел выясняются на важнейших частных случаях. Книга может, таким образом, служить для первоначального ознакомления с теорией чисел, но представляет также интерес и для лиц, с теорией чисел уже знакомых.

Для чтения книги необходима сравнительно небольшая предварительная математическая подготовка. Автор широко пользуется алгебраической терминологией, однако для понимания книги не требуется глубокого владения алгеброй, а достаточно лишь знакомства с основными алгебраическими понятиями — кольцо, поле, группа, идеал и т.д. Из курса анализа достаточно знать основы дифференциального и интегрального исчисления. Только в нескольких местах, понимание которых не является необходимым для дальнейшего чтения книги, автор пользуется основами теории функций комплексного переменного и основной теоремой теории Галуа.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Настоящая книга представляет собой несколько расширенный годовой курс лекций. На опыте прошлых лет я убедился, что строго систематический аксиоматико-алгебраический метод построения арифметики полей алгебраических чисел и полей алгебраических функций представляет слишком большие трудности для читателя, приступающего к изучению теории чисел впервые. Чтобы иметь возможность полностью понять и оценить этот метод, в значительной степени пронизанный абстрактными понятиями и являющийся результатом длительного исторического развития, необходимо, конечно, известное знакомство с конкретным материалом, лежащим в основе теории. В том, чтобы дать такое знакомство и тем самым содействовать приобретению достаточного опыта для понимания абстрактных понятий и внутренних связей теории чисел, и состоит цель настоящих «Лекций».

Исходя из этого я избрал в основном индуктивный способ изложения. В каждой из четырёх глав книги я подвожу к современной точке зрения и к трудно доступным проблемам, исходя из простейших понятий и следуя, в основном, историческому развитию вопроса. При этом требования, предъявляемые к читателю, к концу главы каждый раз возрастают. При такой форме изложения нельзя избежать того, что уже затронутые ранее вопросы возникают ещё раз в более глубоком аспекте и связываются с новыми понятиями. Такие обобщения не всегда проводятся во всех подробностях. Подход к современным исследованиям порой заканчивается указанием на современную журнальную литературу.

Что касается приводимого в книге материала, то я обращал особое внимание на то, чтобы поставить на первое место предмет собственно теории чисел, именно, свойства натуральных чисел, а теоретические обобщения представить как вытекающие из них. Это соответствует моему глубокому убеждению, что достижения теории чисел имеют тем большее значение, чем больше они обогащают наши знания о свойствах натуральных чисел. Исходя из этой точки зрения, я изложил ряд вопросов более или менее выходящих за рамки систематического изложения; так, например, в гл. I рассматриваются вопросы о совершенных числах, о простых числах Мерсенна и Ферма, о гипотезе Артина относительно первообразных корней; в гл. II рассматриваются вопросы о распределении квадратичных вычетов; в гл. IV рассматриваются вопросы о вычислении единиц с помощью непрерывных дробей, о чисто арифметических формулах для числа классов и о гипотезе Куммера относительно кубических характеров. Я смею надеяться, что это будет содействовать оживлению интереса к этим чисто теоретико-числовым вопросам, которыми до сих пор в учебной литературе до некоторой степени пренебрегали.

Между четырьмя главами книги существует тесная внутренняя связь, что видно из многочисленных ссылок в тексте на предыдущее и из указаний на последующее. Особенно тесная связь существует между гл. II и на первый взгляд совершенно отличной от неё гл. III; благодаря Дирихле эта связь его теоремы о простых числах с теорией квадратичных вычетов стала уже классической. Эта связь ещё глубже проявляется в гл. III и IV; относительно этого мне хотелось бы отметить следующее. Понятие дивизора, столь важное для теории чисел, впервые вводится мной в п. 5 § 15 в связи с аналитическим представлением для произведения L-рядов Дирихле; это, конечно, не соответствует ни историческому развитию, ни систематическому обоснованию теории дивизоров. Однако это имеет то преимущество, что вновь вводимое понятие дивизоров сразу становится ясным, по крайней мере, с формальной точки зрения. Кроме того, становятся понятными корни установленной Дирихле связи между анализом и теорией чисел.

Арифметика полей алгебраических чисел для общего случая дана лишь в наброске, без доказательств. Исчерпывающим образом разбираются только квадратичные поля в гл. IV. При этом я пользуюсь несправедливо забытым методом Куммера, который лучше всего соответствует требованию предельной близости содержательного определения дивизоров к натуральным числам.