VORLESUNGEN
ÜBER  ZAHLENTHEORIE


von
H. HASSE
  Г. Хассе

ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРИИ
ЧИСЕЛ
BERLIN
1950
   

Перевод с немецкого
В. Б. ДЕМЬЯНОВА

Под редакцией
И. Р. ШАФАРЕВИЧА



И * Л

ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва — 1953
 





 
5000 Кб
 

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции3
Из предисловия автора5
 
Глава I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
§ 1. Разложение на простые множители7
1. Натуральные, целые и рациональные числа7
2. Элементарная теория делимости8
3. Простые числа9
4. Основная теорема элементарной теории чисел11
5. Видоизменения основной теоремы13
6. Иррациональность n-х корней из целых чисел18
§ 2. Общий наибольший делитель19
1. Критерии делимости и простого делителя19
2. Определение общего наибольшего делителя21
3. Определение общего наименьшего кратного22
4. Свойства общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного23
5. Взаимная простота и попарная взаимная простота25
6. Представление несократимой дробью, представление с общим наименьшим знаменателем26
7. Основная теорема об общем наибольшем делителе29
8. Доказательство основной теоремы как основной теоремы об идеалах в области целостности Γ целых чисел30
9. Алгоритм Евклида33
10. Другое доказательство основной теоремы элементарной теории чисел35
§ 3. Совершенные числа, простые числа Мерсенна и Ферма36
1. Определение совершенных чисел36
2. Мультипликативная формула для суммы делителей37
3. Достаточное условие для чётных совершенных чисел: теорема Евклида38
4. Необходимое условие для чётных совершенных чисел: теорема Эйлера39
5. Простые числа Мерсенна40
6. Нечётные совершенные числа41
7. Простые числа Ферма43
8. Перечень вопросов, остающихся нерешёнными44
§ 4. Сравнимость, классы вычетов44
1. Определение сравнимости и классов вычетов44
2. Кольцо классов вычетов46
3. Деление в кольце классов вычетов49
4. Группа классов вычетов, взаимно простых с модулем51
5. Малая теорема Ферма52
6. Формула сложения для функции Эйлера56
7. Формула обращения Мёбиуса56
8. Формула умножения для функции Эйлера59
9. Системы сравнений, разложение кольца классов вычетов в прямую сумму62
10. Сравнимость для дробных чисел66
11. Поле классов вычетов по простому модулю69
12. Аддитивное представление классов вычетов по степени простого числа71
13. Периодичность разложения рациональных чисел в m-ичную дробь74
§ 5. Структура группы классов вычетов, взаимно простых с модулем78
1. Сведение к степеням простых чисел78
2. Случай простого числа79
3. К определению первообразных корней, гипотеза Артина81
4. Циклический сдвиг периода в разложении в m-ичную дробь82
5. Леммы о сравнениях по степени простого числа84
6. Случай степени нечётного простого числа85
7. Случай степени простого числа 290
 
Глава II. КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ
§ 6. Определение, редукция к простейшим случаям, критерии95
1. Определение квадратичных вычетов95
2. Редукция к модулям, являющимся степенями простых чисел96
3. Редукция к нечётным простым модулям96
4. Первый критерий: символ Лежандра100
5. Второй критерий: критерий Эйлера102
6. Третий критерий: лемма Гаусса103
§ 7. Квадратичный закон взаимности: элементарное доказательство105
1. Основной вопрос, сведение к простым числам105
2. Два дополнения к закону взаимности107
3. Общая форма закона взаимности109
4. Символ Лежандра как функция своего знаменателя114
5. Ведущий модуль символа Лежандра как функции его знаменателя117
§ 8. Квадратичный закон взаимности: доказательство с помощью гауссовых сумм122
1. Корни простой степени из 1122
2. Гауссовы суммы124
3. Доказательство закона взаимности126
4. Обоснование доказательства посредством теории сравнений в области корней из 1127
5. Доказательство второго дополнения к закону взаимности130
§ 9. Обобщение символа Лежандра: символ Якоби133
1. Определение символа Якоби133
2. Символ Якоби как функция своего числителя136
3. Дополнения к закону взаимности и общая форма закона139
4. Рекуррентный метод для вычисления символа Якоби142
5. Символ Якоби как функция своего знаменателя146
6. Символ Кронекера153
§ 10. Вопросы распределения квадратичных вычетов по простому модулю156
1. Количество решений квадратных сравнений156
2. Последовательности с заданными значениями характера161
3. Теоретико-вероятностное истолкование. Обзор результатов163
4. Случай многочленов второй степени167
5. Применение к двучленным последовательностям170
6. Случай специального многочлена третьей степени171
7. Применение к трёхчленным последовательностям177
8. Разложение простых чисел p ≡ 1 mod 4 на сумму двух квадратов179
9. Разложение простых чисел p ≡ 1 mod 3 на сумму квадрата и утроенного квадрата183
 
Глава III. ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
§ 11. Элементарные частные случаи189
1. Следствия из теории квадратичных вычетов189
2. Многочлен деления круга193
3. Случай единичного класса вычетов r ≡ 1 mod m198
4. Случай класса вычетов r ≡ –1 mod m201
§ 12. Метод Дирихле206
1. Эйлеровское доказательство бесконечности множества простых чисел206
2. Метод доказательства Дирихле для модулей 3 и 4210
3. Подход Дирихле к доказательству общего случая теоремы214
4. Дзета-ряд и видоизменение эйлеровского доказательства, сделанное Дирихле216
5. Замечания относительно закона распределения простых чисел220
§ 13. Характеры конечных абелевых групп. Характеры по модулю221
1. Определение характеров и доказательство их существования221
2. Соотношения между характерами223
3. Принцип двойственности225
4. Характеры и подгруппы228
5. Характеры по модулю231
6. Ведущий модуль, собственные характеры232
7. Чётные и нечётные характеры239
§ 14. Доказательство Дирихле242
1. L-ряды242
2. Выделение множеств простых чисел, лежащих в отдельных классах вычетов244
3. Предельное поведение L-рядов247
4. Плотность Дирихле и натуральная плотность250
§ 15. Необращение L-рядов в нуль252
1. Произведения L-рядов252
2. Элементарно-аналитическое доказательство для неквадратичных характеров265
3. Элементарно-аналитическое доказательство для квадратичных характеров268
4. Теоретико-функциональный метод доказательства274
5. Алгебраически-теоретико-числовой метод доказательства283
 
Глава IV. КВАДРАТИЧНЫЕ ПОЛЯ
§ 16. Элементарная теория делимости300
1. Основные алгебраические сведения300
2. Геометрическая иллюстрация304
3. Целые числа, дискриминант307
4. Единицы313
5. Вычисление основной единицы321
6. Квадратичные поля с однозначным разложением на простые множители340
§ 17. Теория дивизоров355
1. Структура кольца классов вычетов по простому модулю355
2. Теория делимости и сравнений для степеней простых дивизоров363
3. Основные теоремы арифметики378
4. Сравнимость, классы вычетов, идеалы386
5. Конечность числа классов396
§ 18. Определение числа классов409
1. Предельная формула409
2. Суммирование L-рядов418
3. Общая формула для числа классов422
4. Формула для числа классов квадратичного поля428
5. Рациональное представление формулы для числа классов в случае положительного простого дискриминанта443
§ 19. Квадратичные поля и квадратичный закон взаимности456
1. Квадратичные поля как поля классов456
2. Взгляд на общую теорию полей классов457
3. Доказательство закона взаимности путём вложения в поле корней из единицы461
4. Чисто квадратичное доказательство квадратичного закона взаимности463
§ 20. Систематическая теория гауссовых сумм468
1. Общее определение, редукция к простейшим случаям468
2. Разложение на компоненты, формула для абсолютной величины гауссовой суммы474
3. Внутренний смысл собственных гауссовых сумм478
4. Связь гауссовых сумм с суммами для характеров в случае нечётного простого модуля485
5. Определение знака для случая квадратичного характера494
6. Гипотеза Куммера для кубических характеров по простому модулю503
7. Аналог для бикубических и биквадратичных характеров512
 
Литература518
Указатель  520



ОТ РЕДАКЦИИ

«Лекции по теории чисел» Г. Хассе занимают положение, промежуточное между элементарным руководством по теории чисел и монографией по какому-либо из её специальных разделов. Первая и вторая главы содержат материал, исторически давно сложившийся. Вторая половина книги вводит читателя в основные области современной теории чисел — теорию алгебраических чисел, теорию алгебраических функций с конечным полем констант и (в меньшей степени) в аналитическую теорию чисел. Эти области не рассматриваются в книге систематически, но характерные для них постановки вопросов, некоторые основные результаты и связи с элементарной теорией чисел выясняются на важнейших частных случаях. Книга может, таким образом, служить для первоначального ознакомления с теорией чисел, но представляет также интерес и для лиц, с теорией чисел уже знакомых.

Для чтения книги необходима сравнительно небольшая предварительная математическая подготовка. Автор широко пользуется алгебраической терминологией, однако для понимания книги не требуется глубокого владения алгеброй, а достаточно лишь знакомства с основными алгебраическими понятиями — кольцо, поле, группа, идеал и т.д. Из курса анализа достаточно знать основы дифференциального и интегрального исчисления. Только в нескольких местах, понимание которых не является необходимым для дальнейшего чтения книги, автор пользуется основами теории функций комплексного переменного и основной теоремой теории Галуа.



ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Настоящая книга представляет собой несколько расширенный годовой курс лекций. На опыте прошлых лет я убедился, что строго систематический аксиоматико-алгебраический метод построения арифметики полей алгебраических чисел и полей алгебраических функций представляет слишком большие трудности для читателя, приступающего к изучению теории чисел впервые. Чтобы иметь возможность полностью понять и оценить этот метод, в значительной степени пронизанный абстрактными понятиями и являющийся результатом длительного исторического развития, необходимо, конечно, известное знакомство с конкретным материалом, лежащим в основе теории. В том, чтобы дать такое знакомство и тем самым содействовать приобретению достаточного опыта для понимания абстрактных понятий и внутренних связей теории чисел, и состоит цель настоящих «Лекций».

Исходя из этого я избрал в основном индуктивный способ изложения. В каждой из четырёх глав книги я подвожу к современной точке зрения и к трудно доступным проблемам, исходя из простейших понятий и следуя, в основном, историческому развитию вопроса. При этом требования, предъявляемые к читателю, к концу главы каждый раз возрастают. При такой форме изложения нельзя избежать того, что уже затронутые ранее вопросы возникают ещё раз в более глубоком аспекте и связываются с новыми понятиями. Такие обобщения не всегда проводятся во всех подробностях. Подход к современным исследованиям порой заканчивается указанием на современную журнальную литературу.

Что касается приводимого в книге материала, то я обращал особое внимание на то, чтобы поставить на первое место предмет собственно теории чисел, именно, свойства натуральных чисел, а теоретические обобщения представить как вытекающие из них. Это соответствует моему глубокому убеждению, что достижения теории чисел имеют тем большее значение, чем больше они обогащают наши знания о свойствах натуральных чисел. Исходя из этой точки зрения, я изложил ряд вопросов более или менее выходящих за рамки систематического изложения; так, например, в гл. I рассматриваются вопросы о совершенных числах, о простых числах Мерсенна и Ферма, о гипотезе Артина относительно первообразных корней; в гл. II рассматриваются вопросы о распределении квадратичных вычетов; в гл. IV рассматриваются вопросы о вычислении единиц с помощью непрерывных дробей, о чисто арифметических формулах для числа классов и о гипотезе Куммера относительно кубических характеров. Я смею надеяться, что это будет содействовать оживлению интереса к этим чисто теоретико-числовым вопросам, которыми до сих пор в учебной литературе до некоторой степени пренебрегали.

Между четырьмя главами книги существует тесная внутренняя связь, что видно из многочисленных ссылок в тексте на предыдущее и из указаний на последующее. Особенно тесная связь существует между гл. II и на первый взгляд совершенно отличной от неё гл. III; благодаря Дирихле эта связь его теоремы о простых числах с теорией квадратичных вычетов стала уже классической. Эта связь ещё глубже проявляется в гл. III и IV; относительно этого мне хотелось бы отметить следующее. Понятие дивизора, столь важное для теории чисел, впервые вводится мной в п. 5 § 15 в связи с аналитическим представлением для произведения L-рядов Дирихле; это, конечно, не соответствует ни историческому развитию, ни систематическому обоснованию теории дивизоров. Однако это имеет то преимущество, что вновь вводимое понятие дивизоров сразу становится ясным, по крайней мере, с формальной точки зрения. Кроме того, становятся понятными корни установленной Дирихле связи между анализом и теорией чисел.

Арифметика полей алгебраических чисел для общего случая дана лишь в наброске, без доказательств. Исчерпывающим образом разбираются только квадратичные поля в гл. IV. При этом я пользуюсь несправедливо забытым методом Куммера, который лучше всего соответствует требованию предельной близости содержательного определения дивизоров к натуральным числам.


Hosted by uCoz