4096 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ ♦ ♦ От редактора перевода 5 Предисловие 6   Глава 1. Банаховы пространства 9 1.1.  Введение 9 1.2.  Векторные пространства 11 1.3.  Нормированные векторные пространства 15 1.4.  Банаховы пространства 26 1.5.  Гильбертово пространство 35 Задачи 44   Глава 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Lp 47 2.1.  Введение 47 2.2.  Мера множества 49 2.3.  Измеримые функции 56 2.4.  Интегрирование 59 2.5.  Пространства Lp 66 2.6.  Некоторые приложения 69 Задачи 71   Глава 3. Основы теории линейных операторов 73 3.1.  Введение 73 3.2.  Основная терминология теории операторов 74 3.3.  Некоторые алгебраические свойства линейных операторов 77 3.4.  Непрерывность и ограниченность 81 3.5.  Некоторые фундаментальные свойства ограниченных операторов 89 3.6.  Первые результаты о решении уравнения Lf = g 97 3.7.  Введение в спектральную теорию 103 3.8.  Замкнутые операторы и дифференциальные уравнения 107 Задачи 116   Глава 4. Введение в теорию нелинейных операторов 121 4.1.  Введение 121 4.2.  Предварительные сведения 123 4.3.  Принцип сжимающих отображений 128 4.4.  Производная Фреше 136 4.5.  Метод Ньютона для нелинейных операторов 142 Задачи 149   Глава 5. Компактные множества в банаховых пространствах 153 5.1.  Введение 153 5.2.  Определения 154 5.3.  Некоторые следствия компактности 157 5.4.  Некоторые важные компактные множества функций 159 Задачи 163   Глава 6. Сопряжённый оператор 165 6.1.  Введение 165 6.2.  Сопряжённое к банахову пространству 166 6.3.  Слабая сходимость 174 6.4.  Случай гильбертова пространства 176 6.5.  Сопряжённый к ограниченному линейному оператору 178 6.6.  Ограниченные самосопряжённые операторы: спектральная теория 184 6.7.  Сопряжённый к неограниченному линейному оператору в гильбертовом пространстве 188 Задачи 194   Глава 7. Линейные компактные операторы 197 7.1.  Введение 197 7.2.  Примеры компактных операторов 198 7.3.  Альтернатива Фредгольма 203 7.4.  Спектр компактного оператора 208 7.5.  Компактные самосопряжённые операторы 211 7.6.  Численное решение линейных интегральных уравнений 215 Задачи 222   Глава 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность 225 8.1.  Введение 225 8.2.  Теорема Шаудера о неподвижной точке 228 8.3.  Положительные и монотонные операторы в частично упорядоченных банаховых пространствах 233 Задачи 246   Глава 9. Спектральная теорема 249 9.1.  Введение 249 9.2.  Предварительные сведения 251 9.3.  Подоплёка спектральной теоремы 258 9.4.  Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов 262 9.5.  Спектр и резольвента 267 9.6.  Неограниченные самосопряжённые операторы 271 9.7.  Решение эволюционного уравнения 273 Задачи 275   Глава 10. Разложения по обобщённым собственным функциям для обыкновенных дифференциальных уравнений 277 10.1.  Введение 277 10.2.  Расширения симметрических операторов 279 10.3.  Формальные обыкновенные дифференциальные операторы: предварительные сведения 288 10.4.  Симметрические операторы, ассоциированные с формальными обыкновенными дифференциальными операторами 289 10.5.  Построение самосопряжённых расширений 295 10.6.  Разложения по обобщённым собственным функциям 303 Задачи 311   Глава 11. Линейные эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными 313 11.1.  Введение 313 11.2.  Обозначения 315 11.3.  Слабые производные и соболевские пространства 318 11.4.  Обобщённая задача Дирихле 327 11.5.  Альтернатива Фредгольма для обобщённой задачи Дирихле 334 11.6.  Гладкость слабых решений 338 Задачи 341   Глава 12. Метод конечных элементов 345 12.1.  Введение 345 12.2.  Метод Ритца 346 12.3.  Скорость сходимости метода конечных элементов 353 Задачи 359   Глава 13. Введение в теорию степени 360 13.1.  Введение 360 13.2.  Степень в конечномерном случае 366 13.3.  Степень Лерэ–Шаудера 375 13.4.  Одна задача из теории радиационного переноса 380 Задачи 384   Глава 14. Теория бифуркаций 386 14.1.  Введение 386 14.2.  Локальная теория бифуркаций 389 14.3.  Глобальная теория собственных векторов 397 Задачи 409   Литература 411 Список обозначений 417 Именной указатель 421 Предметный указатель   424

Функциональный анализ возник на рубеже XIX-го и XX-го веков в трудах Гильберта, Фреше, Фредгольма, Лебега и др. После выхода в свет знаменитого трактата С. Банаха он стал самостоятельной дисциплиной. Появились специалисты по функциональному анализу, а затем и по отдельным его областям. Монографии и учебники по функциональному анализу постепенно становились всё более специализированными и более абстрактными. И сейчас читатель, заинтересованный в решении конкретной прикладной задачи, часто не в силах извлечь из имеющейся литературы нужную ему информацию.

С другой стороны, многие математики, успешно работающие в области функционального анализа, уже привыкли воспринимать такие понятия, как банахово пространство, линейный оператор, слабая сходимость и т.п., как априори заданные, не связанные ни с какой конкретной задачей.

Мне кажется, что монография В. Хатсона и Дж. С. Пима поможет уменьшить разрыв, образовавшийся между «прикладным» и «чистым» функциональным анализом. Большое количество хорошо подобранных задач в значительной степени способствует этому.

Авторы не ставят своей целью охватить все или хотя бы основные разделы функционального анализа. Наоборот, они справедливо считают, что уже довольно небольшой запас общих понятий и методов достаточен для многих практических применений. В то же время они не жалеют места и усилий для демонстрации того, как один и тот же общий принцип может применяться в различных конкретных ситуациях. Именно этого не хватает многим «потребителям» функционального анализа.

Отметим также, что книга содержит и такие разделы, которые обычно не включаются в университетский курс: топологические методы нелинейного анализа, теорию бифуркаций, теорию монотонных операторов.

В целом книга будет интересна не только «прикладникам», на которых в первую очередь рассчитывают авторы, но и широкому кругу математиков, желающих познакомиться с многочисленными конкретными проявлениями общих идей функционального анализа.

При переводе были исправлены некоторые опечатки и неточности. [Я тоже поправил с десяток и подозреваю, что далеко не все. Читайте осторожно! :) — E.G.A.] На часть из них указали авторы, за что мы хотели бы выразить им признательность. В библиографию добавлено несколько руководств по функциональному анализу, имеющихся на русском языке.

Главы 1–7 перевела Н. И. Плужникова, всё остальное — В. И. Авербух.

Уже давно общепризнано, что функциональный анализ — мощное средство для решения математических задач, возникающих в реальных ситуациях. Тем не менее, если кто-нибудь попытается применить методы функционального анализа к интересующей его области, не имея специальной математической подготовки, он быстро окажется перед отпугивающе высоким барьером — особенно в тех областях, где эти методы наиболее эффективны. Дело в том, что такое применение — скажем, к решению дифференциальных уравнений или нелинейных уравнений — связано с многочисленными техническими моментами, на первый взгляд чрезвычайно сложными. По нашему убеждению, однако, в большинстве случаев «чистого» функционального анализа нужно совсем не так уж много (например, обычно можно обойтись стандартной теорией банаховых пространств, без явного привлечения топологии), и неспециалисту вполне посильно овладеть набором методов, достаточным для весьма широкого диапазона приложений.

Первая цель этой книги — представить читателю те абстрактные методы, которые мы считаем самыми существенными для приложений. Это предопределило тщательный отбор теоретического материала. В то же время, желая сделать отобранный материал как можно более доступным, мы не скупимся на пояснения — их гораздо больше, чем это принято в стандартных руководствах, — и часто иллюстрируем абстрактную теорию на примерах конкретных объектов (множеств функций и т.п.), которые ближе читателю. Чтобы не затемнять суть рассуждений лишними деталями, мы иногда ведём рассмотрение не в максимальной возможной общности, а время от времени читателю предлагается даже принять тот или иной результат без доказательства, если используемые в нём рассуждения несущественны для основной линии изложения.

Вторая наша цель — показать, как работает абстрактная теория на практике. Поначалу исследуемые задачи по необходимости просты, но постепенно очередь доходит до серьёзных и довольно глубоких задач, занимающих центральное место в приложениях. За очевидной невозможностью охватить все области приложений мы решили сосредоточить внимание на одной основной области, которую, грубо говоря, можно назвать «решение уравнений». Так, мы рассматриваем приложения спектральной теории самосопряжённых операторов к обыкновенным дифференциальным уравнениям, вводную часть теории линейных эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными, ряд стержневых вопросов численного анализа и некоторые из основных разделов теории нелинейных уравнений. Пожалуй, именно вклад в теорию нелинейных уравнений — самый весомый из вкладов функционального анализа в приложения. Ввиду особой важности этой темы (которой и сейчас посвящено много исследований) мы сделали на ней наибольший акцент — нелинейная теория развивается в книге всякий раз, как только появляется соответствующий теоретический материал. Например, уже в одной из первых глав излагаются сравнительно элементарный метод сжимающих отображений (теорема Банаха о неподвижной точке) и метод Ньютона–Канторовича, а в последних главах обсуждаются глубокая теория степени Лерэ–Шаудера и её приложения к теории бифуркаций.

По нашему замыслу книга может служить основой курса для математиков-прикладников, физиков или инженеров с теоретическими интересами, а также пособием для всех научных работников, желающих самостоятельно ознакомиться с некоторыми из мощных методов функционального анализа. От читателей требуется определённое знакомство с теорией функций вещественной переменной и, в небольшом объёме, с линейной алгеброй. Значительная часть материала глав 1–5 должна быть известна всякому, кто слушал вводный курс функционального анализа, и всё же мы включили этот материал в книгу, потому что надеемся заинтересовать и читателей, не имеющих такой подготовки. Для неспециалистов камнем преткновения обычно является теория интеграла Лебега — очень нужные для приложений пространства L_p нельзя построить без этой теории, а подступиться к ней нелегко. В гл. 2 мы даём краткое изложение теории интегрирования по Лебегу, однако сразу хотим заверить читателей, не расположенных вдаваться в технические подробности: лишь немногие факты этой теории (главный из них — «полнота» пространств L_p) существенны для дальнейшего, и гл. 2 понадобится только для ссылок.

Несколько слов о принятой в книге системе нумерации. Все теоремы, леммы, определения и примеры нумеруются подряд трёхразрядными номерами (первый слева разряд — номер главы, второй — номер параграфа); так, за определением 3.5.7 идет пример 3.5.8. При ссылках всегда используются полные номера. Формулы нумеруются отдельно, также трёхразрядными номерами, но в скобках. Задача 3.15 — это пятнадцатая задача в конце гл. 3. Задачи повышенного уровня сложности помечены звёздочкой.

В конце книги дан список обозначений. Быть может, не лишне будет заранее подчеркнуть один момент: рукописные буквы применяются для обозначения векторных пространств, причем буквы B и C всегда обозначают банаховы пространства, а H — гильбертово пространство.

Авторы признательны д-рам Д. Бёрли, Ч. Аусвэйту и П. Харли за ценные советы и обсуждения. Особая наша благодарность — д-ру Дж. У. Бэйкеру, проф. Л. Э. Фрэнкелу и проф. И. С. Снеддону, потратившим много времени на помощь нам.

1.1. Введение

Одно из первых успешных применений «абстрактного» подхода к практическим задачам было связано с изучением линейного уравнения Lf = g с n×n-матрицей L и n-мерными векторами  f, g. Возможность рассматривать L как линейное отображение n-мерного векторного пространства позволяет обойтись без выбора какой-либо конкретной системы координат, а это приводит к упрощению рассуждений и идейной ясности теории. Однако в приложениях чаще всего приходится рассматривать дифференциальные или интегральные уравнения, которые обычно не сводятся к указанному конечномерному виду. Одна из главных задач функционального анализа состоит в том, чтобы выявить аналогичную простую алгебраическую структуру в этих более сложных ситуациях.

В конечномерном случае значительную часть теории можно развить без обращения к понятию сходимости последовательностей векторов. Напротив, в бесконечномерном случае это — основополагающее понятие. Чтобы его ввести, нужно наделить пространство какой-то мерой расстояния между точками. Для большинства приложений достаточно естественным образом обобщить понятие евклидова расстояния. Эта идея находит точное воплощение в определении нормы на векторном пространстве. Принимая абстрактный подход, мы обнаруживаем, что на заданном бесконечномерном пространстве функций часто имеется много разных норм. Это говорит о большой манёвренности теории. Однако, прежде чем удаётся в полной мере воспользоваться её широкими возможностями, приходится преодолеть определённые трудности. Если в конечномерном случае аналитические свойства пространства (например, то, что ограниченная последовательность всегда содержит сходящуюся подпоследовательность) автоматически следуют из свойств вещественных чисел, то в бесконечномерном случае это уже не так. Некоторые наиболее важные методы решения уравнений включают в себя итерации, и тогда возникает вопрос, какие последовательности заведомо сходятся. В конечномерных пространствах основной критерий сходимости — это критерий Коши, который, грубо говоря, утверждает, что если члены последовательности сближаются, то она сходится. Это условие, называемое полнотой, не всегда выполнено в нормированных бесконечномерных пространствах. Пространства, в которых оно выполнено, наиболее важны как в теории, так и на практике. Это банаховы пространства — основной объект изучения в данной главе.

Чтобы достичь наибольшей общности и идейной простоты, в функциональном анализе принят аксиоматический подход. В качестве источника аксиом выбираются те свойства конечномерных пространств, которые делают эти пространства удобными для изучения. Так, аксиомы векторного пространства навеяны алгебраическими правилами действий над «обычными» векторами, определение нормы — свойствами евклидова расстояния, а понятие полноты — одним важным свойством вещественных чисел. С другой стороны, понятие базиса, столь полезное в конечномерном случае, в более общих приложениях уже не так плодотворно и не будет играть никакой роли в нашем изложении (кроме специального случая гильбертовых пространств).

Сделаем ещё одно, последнее, замечание, касающееся системы понятий, в рамках которой рассматриваются бесконечномерные пространства. Можно провести полезное, хотя и не вполне чёткое различие между геометрическими и аналитическими свойствами их элементов. К геометрическим относятся свойства, имеющие аналогии в трёхмерном пространстве, например свойства прямых или сфер. Аналитическими обычно считаются свойства, в которых главную роль играют сходимость последовательностей, полнота и т.п. Разумеется, между анализом и геометрией нет ясно очерченной границы, и, более того, они тесно переплетаются между собой. Тем не менее, рассматривая функцию как точку некоторого векторного пространства, можно получить геометрическую картину, которая часто оказывается очень полезной, хотя и не всеобъемлющей.

Цель этой главы — изложить основы теории банаховых пространств. В § 1.2 мы напоминаем элементы теории векторных пространств. Мы не претендуем на исчерпывающее изложение и затрагиваем только те вопросы, которые имеют прямое отношение к последующему. Далее вводятся понятия расстояния и нормы и даётся несколько связанных с ними определений (уже знакомых читателю в случае вещественной прямой). В § 1.4 мы подходим к сердцевине теории банаховых пространств — понятию полноты — и приводим несколько примеров конкретных банаховых пространств. В ходе дальнейшего изложения этот список будет расширяться, однако важные пространства L_p появятся лишь после того, как в следующей главе будет кратко рассмотрена необходимая для их определения теория интегрирования. В последнем параграфе этой главы вводятся гильбертовы пространства. Это банаховы пространства с дополнительной структурой скалярного произведения (построенного по образцу скалярного произведения обычных векторов). Их геометрия во многих важных аспектах обнаруживает ещё большее сходство с геометрией евклидовых пространств.

В качестве общих руководств по теории векторных пространств и линейных операторов мы рекомендуем следующие книги: Фридман [1970], Тэйлор [1958], Люстерник и Соболев [1965]; две тысячи или около того страниц Данфорда и Шварца [1958, 1963] содержат почти всё, что известно в этой области. Следует упомянуть также прекрасный вводный курс Симмонса [1963], хотя с сугубо практической точки зрения он, пожалуй, не так полезен.

[· · ·]

2.1. Введение

В предыдущей главе мы пытались убедить читателя, что полные нормированные пространства — подходящие пространства для построения анализа, однако привели лишь несколько примеров полных пространств функций (C(Ω) с sup-нормой и родственные ему пространства) и не дали ни одного примера гильбертова пространства функций. Хотя C(Ω) и очень полезное пространство, ограничить анализ его рамками значило бы слишком сузить круг проблем, доступных решению, и в частности исключило бы применение мощных результатов абстрактной теории операторов в гильбертовых пространствах. В этой главе мы расширим наш перечень пространств, присоединив к нему банаховы пространства L_p и гильбертово пространство L₂. Вместе с C(Ω) это даёт уже достаточно широкий диапазон пространств для большинства приложений.

Чтобы построить новые банаховы пространства функций, естественнее всего попытаться ввести в C(Ω) другие нормы. Например, в C([0, 1]) можно испробовать

ясно, что || · ||₁ и в самом деле является нормой, и притом || f ||₁ есть физически важная величина — среднее значение | f |. К сожалению, C([0, 1]) не полно по этой норме (пример (1.4.2). Один путь обойти эту трудность заключается в том, чтобы рассмотреть «пополнение» C([0, 1]) по норме || · ||₁. Этот путь действительно приводит к банахову пространству, однако интуитивно не ясно, какими свойствами должна обладать функция, чтобы содержаться в нём, и, более того, совсем не очевидно, будут ли вообще элементы абстрактного пополнения функциями. Другой путь — расширить множество рассматриваемых функций, присоединив к нему все функции, интегрируемые по Риману. Однако этот путь не приводит к полному пространству — интегрируемых по Риману функций не хватает. Иначе говоря, предел последовательности непрерывных функций, являющейся последовательностью Коши по норме || · ||₁ может оказаться неинтегрируемым по Риману. Это обстоятельство подсказывает тактику, которой мы здесь и последуем: построить другое понятие интегрируемости, позволяющее охватить более широкий класс функций.

Теория, которая далее будет изложена, зародилась в работах Лебега, относящихся к началу XX века, и составляет ныне стандартную часть классической теории функций вещественной переменной. И действительно, во всех случаях, кроме самых простых, интеграл Лебега имеет заметное превосходство над интегралом Римана. Так, например, задачи, в которых интегрирование соединяется с предельным переходом, часто вызывают затруднения, если рассматривается интеграл Римана, и становятся почти тривиальными, если используется интеграл Лебега. И хотя нашим главным стимулом для изложения этой теории остаётся определение на её основе пространств L_p, сам интеграл Лебега также пригодится нам во многих других местах.

К сожалению, предварительный анализ, необходимый для построения интеграла Лебега, неспециалисту может показаться довольно трудным, ибо он занимает много места и требует привлечения малоизвестных методов, которые к тому же не используются почти ни в какой другой из областей, представляющих интерес. С другой стороны, сами результаты теории изящны по форме и просты для применения. Мы приняли ту точку зрения, что следует привести обзор основных моментов теории, чтобы читатель смог «почувствовать» предмет, а доказательства стоит опустить, во всяком случае если используемые в них рассуждения не потребуются в дальнейшем. Для удобства ссылок главные результаты собраны вместе в виде теорем. Ими можно пользоваться, не вдаваясь в лежащий в их основе анализ, который прагматически настроенный читатель может, следовательно, опустить.

Чтобы наш подход к построению интеграла Лебега был более понятен, напомним сначала один из методов построения интеграла вещественнозначной функции  f  по конечному промежутку [a, b], основанный на приближении функции  f  ступенчатыми функциями.

2.1.1. Определение. Пусть S — подмножество некоторого множества X. Функция χ_S, определённая условиями χ_S(x)=1 при xÎS и χ_S(x)=0 при xÏS, называется характеристической (или индикаторной) функцией множества S. Линейная комбинация конечного числа характеристических функций интервалов называется ступенчатой функцией.

Пусть X=[a, b]. Рассмотрим подынтервалы S₁ = [x₀, x₁], S₂ = (x₁, x₂], ..., S_n = [x_n–1, x_n], где x₀ = a, x_n = b, и определим интеграл ступенчатой функции

	n
g(x) =	∑	ci χ	Si
	i=1

как «площадь под её графиком»:

Этот интеграл называется нижней суммой (соотв. верхней суммой) для  f , если g(x) ≤ f (x) (соотв. g(x) ≥ f (x)) для xÎ[a, b]. Если верхняя грань всех нижних сумм обладает определённым свойством (а именно равна нижней грани всех верхних сумм), она называется интегралом  f . Это налагает на  f  некоторые ограничения; зато для таких интегрируемых по Риману функций интеграл сохраняет свои обычные приятные свойства, такие как аддитивность:

Чтобы мотивировать следующий шаг, введём несколько иной способ записи: длину S_i обозначим через μ(S_i). Тогда нижняя сумма примет вид

n
∑	ci μ(Si).
i=1

Основная идея при переходе к более общему интегралу состоит в том, чтобы ввести аналог понятия длины интервала (или площади прямоугольника в случае R² и т.д.) для более общих множеств; его называют мерой множества. Теория меры составляет основу теории интегрирования; ею мы и займёмся прежде всего.

План этой главы таков. В § 2.2 определяется некий достаточно обширный набор множеств и вводится понятие меры таких множеств. Затем рассматриваются измеримые функции (грубо говоря, это функции, для которых можно определить интеграл). В § 2.4 вводится интеграл и перечисляются его основные свойства. В § 2.5 рассматриваются пространства L_p. И наконец, в § 2.6 приводятся некоторые важные результаты, допускающие естественную формулировку в L_p.

Мы настоятельно рекомендуем обратиться к книгам Де Барра [1974] и Бартла [1966]; в них можно найти доказательства. Несколько другой подход применён в книге Бёркилла [1951], с которой также полезно ознакомиться.

[· · ·]

3.1. Введение

Теперь, когда в нашем распоряжении имеется подходящий набор конкретных банаховых пространств, можно приступить к изложению абстрактной теории операторов на этих пространствах, которая поможет решать уравнения, встречающиеся в приложениях. Большое число таких уравнений допускает запись в виде Af = g, где A — отображение одного банахова пространства в другое, и если это А в некотором смысле хорошо себя ведёт, то, используя структуру этих пространств и, в частности, их полноту, можно многое узнать о решении.

Лучше всего теория операторов отвечает на вопросы качественного характера и вопросы, касающиеся общих приближённых методов решения уравнений. Вот некоторые из самых важных вопросов:

1. Имеет ли решение данное уравнение, и если да, то единственно ли оно?
2. Устойчиво ли данное уравнение в том смысле, что малое изменение «входа» g влечёт за собой малое изменение «выхода»  f ?
3. Если уравнение линейно, нельзя ли перенести на него методы теории линейных операторов для конечномерного случая? В частности, нельзя ли разумным образом определить обратный линейный оператор A^–1 и хорошо ли он себя ведёт?
4. Если существует оператор A₀, в каком-то смысле аппроксимирующий A, будет ли решение  f₀ уравнения A₀ f₀ = g хорошим приближением к решению уравнения Af = g?
5. В случае дифференциального или интегрального уравнения будет ли численное решение, полученное каким-то конкретным методом, близко к точному решению и как оценить погрешность?
6. Существуют ли эффективные итерационные методы, позволяющие последовательно улучшать выбранное тем или иным способом начальное приближение?
7. В конечномерном случае диагонализация эрмитовых матриц приводит к простому и прозрачному описанию полезного класса операторов. Существует ли аналог этого класса для случая, скажем, линейных дифференциальных уравнений?
8. Дифференциальное уравнение  f ″ + λf = 0 с граничными условиями  f (0) =  f (π) = 0 имеет набор решений {sin nx}, отвечающих λ = n², n = 1, 2, ... . Широкий класс функций допускает представление в виде линейной комбинации этих решений, и такое представление в виде рядов Фурье часто оказывается очень полезным. Существуют ли соответствующие обобщения на другие дифференциальные уравнения и уравнения иных типов?

Желание ответить на эти вопросы во многом повлияло на выбор тем для последующего изложения. В этой главе мы закладываем фундамент теории линейных операторов, на котором в дальнейшем будет строиться изучение как линейных, так и нелинейных уравнений.

Содержание этой главы таково. В § 3.2 вводится основная терминология. В § 3.3 начинается обсуждение линейных операторов. Мы выясняем возможности обобщения ключевых результатов конечномерной теории и приходим к выводу, что для успешного обобщения нельзя пренебрегать аналитической стороной дела. Значит, на пространства и операторы следует наложить дальнейшие ограничения. Самое простое и, вероятно, самое полезное из них — это условие, чтобы оператор был непрерывным отображением банаховых пространств. Непрерывные линейные операторы вводятся в § 3.4, а в § 3.5 устанавливаются их основные свойства. В § 3.6 нам удаётся наконец подступиться к проблеме действительного построения решений и, в частности, нахождения обратного оператора. Исследование основано на методе последовательных приближений, или, что то же самое, на рассмотрении ряда Неймана. Полученные результаты применяются к некоторым стандартным задачам. Изучение свойств обратных операторов естественным путём приводит к элементарной спектральной теории, которая обсуждается в § 3.7. В заключительном параграфе вводится более слабое понятие замкнутого оператора, позволяющее работать с дифференциальными операторами, ибо дифференциальные операторы не обладают свойством непрерывности на рассмотренных до сих пор банаховых пространствах.

[· · ·]

4.1. Введение

До сравнительно недавнего времени теория нелинейных уравнений представляла собой по сути дела набор разрозненных результатов, касающихся отдельных задач. Однако за последние годы были достигнуты большие успехи, и сейчас в нашем распоряжении имеются довольно общие результаты о нескольких широких классах уравнений. Важную роль в этом процессе сыграл функциональный анализ. Пожалуй, именно здесь вклад функционально-аналитических методов в приложения оказался наиболее ценным. В этой и последующих главах мы кратко опишем самые полезные для приложений разделы теории нелинейных операторов.

При изучении линейных операторов в банаховых пространствах большую помощь при отыскании плодотворных путей исследования оказывают весьма содержательные общие принципы, известные для конечномерного случая. Почти все трудности связаны здесь исключительно с переходом от конечного числа измерений к бесконечному и потому носят, по существу, аналитический характер. В случае нелинейных операторов тоже естественно обратиться сначала к конечномерным аналогиям. Однако конечномерные нелинейные задачи часто и сами очень сложны. Изучением таких задач активно занимаются и в настоящее время, причём многие из основных результатов в этой области получены лишь недавно; стандартное руководство по конечномерным нелинейным задачам — книга Ортеги и Рейнболдта [1970]. Теорию нелинейных операторов в конечномерном случае можно классифицировать как геометрическую теорию, ибо в ней исследуют «форму» функций. Поэтому можно сказать, что теория нелинейных операторов в банаховых пространствах состоит из геометрической и аналитической частей и что геометрическая часть играет более заметную роль, чем в линейной теории.

При отыскании методов решения нелинейных операторных уравнений обычно действуют следующим образом. Вначале на основе геометрической интуиции предлагается какой-нибудь подходящий метод для пространств малой размерности. При этом нужно убедиться, что соответствующая процедура имеет смысл и в банаховых пространствах. Отметим, что идейные трудности даже при работе с функциями из R² в R² столь велики, что часто лучше обратиться сначала к одномерному случаю. Затем делается попытка проверить, пригоден ли найденный метод для произвольного конечномерного пространства. И наконец нужно сделать аналитический шаг от конечной размерности к бесконечной, на этом этапе иногда помогает линейная теория.

Исходя из нужд приложений, естественно прежде всего искать общие конструктивные методы решения, включающие в себя численные методы, основанные на итерациях. Наверное, можно сказать, что для почти всех типов линейных уравнений конструктивные методы известны, однако для нелинейных уравнений положение гораздо хуже. Для определённых классов уравнений действительно имеются очень эффективные конструктивные методы. Однако для многих возникающих на практике уравнений таких методов нет, и часто приходится опираться лишь на качественные соображения, связанные с вопросами существования, единственности, устойчивости и т.п., которые позволяют тем не менее получить достаточно полное представление о поведении системы. Исследование подобных соображений составляет заметную часть нелинейной теории.

Изложение теории нелинейных операторов начинается в следующем параграфе с описания некоторых типичных задач для дифференциальных и интегральных уравнений; затем приводится их унифицированная формулировка в терминах «неподвижных точек» оператора. В остальной части главы изучаются простейшие результаты теории. Здесь не привлекается никаких более глубоких аналитических понятий, чем полнота банахова пространства, и по уровню трудности эта глава сравнима с предыдущей. Обсуждаются два родственных метода, обобщающие известные алгоритмы решения уравнений в одномерном случае. Первый основан на идее последовательных приближений исходя из правдоподобного первого приближения. Эта процедура с успехом применялась в гл. 3 для линейных операторов. Она приводит к знаменитому принципу сжимающих отображений (или теореме Банаха о неподвижной точке). Второй метод представляет собой бесконечномерный вариант алгоритма Ньютона. Для его описания нужно разработать подходящее определение «производной» оператора. Этим объясняется введение в § 4.4 производной Фреше.

Обоими указанными методами можно пользоваться для установления существования и единственности решений, и оба они конструктивны. Поэтому в случаях, когда они применимы, можно получить сколь угодно полные ответы на все интересующие нас вопросы. При этом выводы, к которым мы придём, очень напоминают полученные в § 3.6 для уравнения (I – L) f  = g, где ||L|| < 1. Таким образом, теория этой главы в некотором смысле параллельна изложенной выше линейной теории. Как и там, на оператор налагаются сильные ограничения; обсуждение более тонких методов нам придётся отложить до того, как будут введены дальнейшие понятия теории банаховых пространств.

Что касается ссылок, то здесь положение хуже, чем для линейных операторов, ибо ни одного исчерпывающего руководства по нелинейной теории не существует. Пожалуй, ближе всего подходят к полному изложению взятые вместе три книги Красносельского [1956, 1962, 1969] ¹⁾, дополненные книгой Бергера [1977], где описаны некоторые недавние достижения в этой области. Полезны также Смарт [1974], где даётся краткий обзор теорем о неподвижной точке, Крейн [1972] и Красносельский [1954], содержащие очерк многих важных направлений теории без особых технических подробностей, и Саати [1967], где главное место отведено приложениям. По поводу содержания этой главы см. Ролл [1969] и Красносельский и др. [1969].

[· · ·]

5.1. Введение

Как показывают две предыдущие главы, большинство основных результатов об операторных уравнениях легко переносится с конечномерного случая на бесконечномерный, если «градиент» фигурирующего в уравнении оператора A на банаховом пространстве не слишком велик. К сожалению, многие операторы, возникающие в приложениях, не удовлетворяют этому ограничению на градиент. С другой стороны, такие операторы часто обладают другими свойствами, компенсирующими этот недостаток. Чтобы эффективно использовать эти свойства, нужно сначала глубже изучить структуру самих банаховых пространств. В этой главе мы сосредоточим внимание на классе так называемых компактных подмножеств, определение которых подсказано одним полезным свойством вещественных чисел.

Доказательства многих стандартных результатов теории функций вещественной переменной опираются на теорему Гейне–Бореля. Она утверждает следующее: для всякого замкнутого ограниченного подмножества S Ì R из любого семейства открытых множеств, объединение которых содержит S, можно выбрать конечное подсемейство (т. е. подсемейство, содержащее конечное число множеств), объединение которого по-прежнему содержит S. К сожалению, для бесконечномерных банаховых пространств эта теорема неверна. Как принято в подобных случаях, мы возьмём утверждение этой теоремы в качестве определяющего свойства компактных множеств. Хотя компактных множеств не так много, как замкнутых ограниченных, и их гораздо труднее распознать, всё-таки в самых полезных банаховых пространствах функций их запас вполне достаточен. Поэтому имеется довольно большой класс операторов, множество значений которых (хотя и не область определения) обладает определёнными свойствами компактности. Так как по построению компактные множества ведут себя подобно замкнутым ограниченным подмножествам конечномерных пространств, то для таких операторов можно создать теорию, во многих отношениях сходную с конечномерной теорией.

Поскольку принятое нами определение компактности не даёт ни простого наглядного представления о компактных множествах, ни удобного способа распознавать такие множества, для прояснения ситуации мы поступим следующим образом. Сначала приведём несколько разных описаний компактных множеств. Затем изучим роль компактности при распространении некоторых важных, но простых результатов с конечномерного случая на бесконечномерный. И наконец, выведем ряд несложных критериев, позволяющих распознавать компактные множества в главных пространствах функций, что весьма существенно для применения понятия компактности в теории операторов.

[· · ·]

6.1. Введение

В теории линейных уравнений в конечномерных пространствах, в теориях линейных дифференциальных и линейных интегральных уравнений важную роль играют сопряжённые уравнения. В абстрактной теории им отвечает столь же важное понятие сопряжённого линейного оператора. Чтобы пояснить определение сопряжённого оператора, рассмотрим интегральное уравнение

где функция k вещественнозначна и непрерывна, и сопряжённое уравнение

в вещественном гильбертовом пространстве H  = L₂(0, 1). В очевидных обозначениях эти уравнения можно переписать соответственно в виде (I – L) f  = h и (I – L^*)g = h с линейными операторами L и L^*. Оператор L^*, полученный из сопряжённого уравнения, естественно тогда рассматривать как сопряжённый к L. Чтобы облечь определение L^* в абстрактную форму, заметим, что

откуда следует, что L^* должен удовлетворять уравнению

С другой стороны, для данного L эта формула, как легко видеть, однозначно определяет L^*. Это наводит на мысль взять формулу (6.1.1) в качестве определения сопряжённого оператора, и такой способ действительно годится для гильбертовых пространств.

При попытке перенести это определение на банаховы пространства перед нами сразу встаёт проблема — отсутствие скалярного произведения. Чтобы разрешить её, необходимо дальше углубиться в теорию банаховых пространств и ввести новое понятие — понятие пространства B^*, сопряжённого, или двойственного, исходному пространству B. Тогда на B ×B^* можно определить «внешнее» произведение á · , · ñ, сохраняющее некоторые свойства «внутреннего» ²⁾ произведения ( · , · ) (определённого на H ×H ), а затем, формально обобщая (6.1.1), положить

Таким способом определяется линейный оператор L^*, отображающий пространство B^* в себя; он и называется сопряжённым к L. С этим объектом не так удобно иметь дело, как с сопряжённым оператором в гильбертовом пространстве, поскольку он определён не на B, а на B^*. Тем не менее введение этого нового понятия открывает путь для заметного дальнейшего продвижения в теории линейных операторов.

В §§ 6.2–6.4 даётся обзор основных свойств сопряжённого пространства, который служит подготовкой к обсуждению сопряжённых операторов. Затем вводится понятие сопряжённого к непрерывному оператору, которое используется потом при доказательстве важных для дальнейшего результатов, касающихся решения операторного уравнения L f  = g. Далее показывается, как упрощаются эти результаты в случае самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве. Наконец, рассматривается сопряжённый неограниченного оператора; появление этого понятия мотивируется приложениями к дифференциальным уравнениям.

[· · ·]

7.1. Введение

В конце XIX века шведский математик Ивар Фредгольм установил группу результатов о линейных интегральных уравнениях, которым суждено было оказать глубокое влияние на развитие математического анализа. Здесь не место подробно излагать историю вопроса (интересующиеся могут обратиться к работам: Бернкопф [1966], Бурбаки [1969], Стин [1973], Монна [1973]). Достаточно сказать, что результаты Фредгольма послужили ключом к открытию той обширной области математики, которая ныне называется функциональным анализом. В данной главе мы кратко изложим теорию линейных компактных операторов, представляющую собой прямое обобщение результатов Фредгольма. Эта теория чрезвычайно важна для приложений, равно как и родственная ей теория нелинейных компактных операторов, о которой пойдёт речь несколько ниже.

Чтобы мотивировать направление исследований, напомним сначала некоторые главные результаты об интегральных уравнениях Фредгольма. Рассмотрим уравнения

где λÎC и g, k — заданные непрерывные функции. Они называются соответственно неоднородным и однородным интегральными уравнениями Фредгольма второго рода. Значения λ, при которых (7.1.2) имеет ненулевое непрерывное решение, называются собственными значениями, а сами решения — собственными функциями. Знаменитая альтернатива Фредгольма утверждает следующее: если λ ≠ 0 и однородное уравнение имеет только нулевое решение, то неоднородное уравнение имеет в точности одно решение; если же λ ≠ 0 является собственным значением, то неоднородное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда функция g ортогональна ко всем соответствующим собственным функциям сопряжённого уравнения, т.е. уравнения с ядром k(y, x).

Этот результат является мощным средством для установления существования и единственности решения уравнения (7.1.1). Ограничение λ ≠ 0 необходимо (см. пример 7.4.4), зато в этом случае имеет место полная аналогия со случаем операторов в конечномерном пространстве (см. теорему 7.3.7).

Теория Фредгольма даёт, кроме того, подробную информацию о собственных функциях и собственных значениях, которые, очевидно, оказывают решающее влияние на поведение уравнения (7.1.1). Она устанавливает, что собственные значения образуют счётное множество {λ_n}, что единственной предельной точкой этого множества является нуль и что каждому ненулевому собственному значению отвечает конечное число линейно-независимых собственных функций. В случае когда ядро эрмитово, имеются дальнейшие мощные теоремы об обобщённом разложении Фурье произвольной функции по собственным функциям, а при определённых обстоятельствах удаётся даже получить аналог результата о том, что всякий n-мерный вектор можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов эрмитовой n×n-матрицы.

Мы хотим показать, что все эти результаты верны и для компактных линейных операторов на банаховых пространствах. Эта теория имеет многочисленные приложения, и самое очевидное среди них — простой вывод основных результатов Фредгольма об интегральных уравнениях. Однако эта тема очень широко освещена в литературе (см., например, Рисс и Сёкефальви-Надь [1955]), поэтому здесь мы избрали для иллюстрации другие приложения. Отметим особо три из них. Во-первых, при помощи теории компактных самосопряжённых операторов, развиваемой в § 7.5, для широкого класса дифференциальных уравнений можно построить теорию разложений по ортогональным собственным функциям таких уравнений. Во-вторых, теория, кратко излагаемая в § 7.6, позволяет охватить вопросы численного решения интегральных уравнений. Наконец, в гл. 11 будет показано, как применение теории компактных операторов в пространствах Соболева приводит к элегантному прямому подходу к линейным эллиптическим дифференциальным уравнениям с частными производными. Этот подход особенно важен потому, что он вскрывает несколько существенных моментов теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными.

[· · ·]

8.1. Введение

Преимущество описанных в гл. 4 методов исследования нелинейных уравнений состоит в том, что они дают весьма много информации о решениях. К сожалению, класс уравнений, к которым они применимы, очень ограничен. Поэтому значительные усилия были потрачены на разработку других методов. Основная часть этих усилий была направлена на изучение компактных операторов. К тому имеются две главные причины. Во-первых, эти операторы часто встречаются в приложениях. Например, в терминах таких операторов часто можно формулировать краевые задачи для дифференциальных уравнений в ограниченных областях — либо при помощи функции Грина, либо привлекая некоторые специальные банаховы пространства, такие как пространства Соболева. Вторая причина заключается в том, что, как и в линейном случае, компактные нелинейные операторы имеют много общего с операторами в конечномерных пространствах и потому сравнительно легко поддаются изучению. О компактных нелинейных операторах сейчас известно много, и в этой и последующих главах будут намечены наиболее важные части теории таких операторов. В случае вещественной прямой R очевидно, что всякий непрерывный оператор, отображающий отрезок D = [–1, 1] в себя, имеет в D неподвижную точку. Если попытаться обобщить этот факт на многомерный случай, то естественно заменить отрезок, скажем, замкнутым шаром. Ситуацию в R² можно проиллюстрировать на чашке чая. Представим себе, что поверхность чая непрерывно преобразуется в результате плавного помешивания. Спрашивается, осталась ли в данный момент хоть одна точка этой поверхности на прежнем месте. Если чай «крепкий», вязкий, то очевидно, что каждая точка у стенки чашки останется на месте, но если чай «жидкий» и не прилипает к стенке, то совсем не легко решить, существует ли неподвижная точка. Таким образом, даже обобщение на случай двух измерений не является непосредственным. Тот факт, что указанный одномерный результат в действительности обобщается на случай любого конечного числа измерений, составляет содержание глубокой и важной теоремы, доказанной Брауэром в 1910 г. Мы опустим прямое доказательство этой теоремы, поскольку используемые в нём рассуждения не понадобятся нам в дальнейшем; простое доказательство, основанное на теории степени, будет представлено в гл. 13 (пример 13.2.15). С практической точки зрения интересно, что недавно были найдены конструктивные алгоритмы для нахождения неподвижных точек; см. Тодд [1976].

8.1.1. Теорема Брауэра о неподвижной точке. Пусть D — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество конечномерного нормированного векторного пространства. Если A — непрерывное отображение D в себя, то A имеет неподвижную точку в D.

Следующий естественный вопрос — это нельзя ли отказаться от ограничения конечности размерности. К сожалению, нельзя, как показывает контрпример (задача 4.6). Простейший способ обойти это затруднение состоит в том, чтобы наложить какое-нибудь условие на скорость изменения оператора, как в принципе сжимающих отображений. Первым нашим результатом, не привлекающим условий такого типа, будет теорема Шаудера о неподвижной точке, в которой в качестве мостика между конечномерным и бесконечномерным используется компактность. Этот классический результат, служащий предметом следующего параграфа, нашёл множество приложений в нелинейном анализе.

При всей силе теоремы Шаудера о неподвижной точке её практическое применение наталкивается на ряд трудностей. Например, первым шагом любого такого применения должно быть нахождение подмножества D области определения оператора A, удовлетворяющего условию A(D) Ì D, а это может оказаться не простым делом. Выбор множества D доставляет особенные хлопоты, когда A обладает тривиальной неподвижной точкой (скажем, когда A0=0); действительно, поскольку утверждается лишь существование одной неподвижной точки, то в случае, если 0ÌD, теорема Шаудера не даст никакой новой информации. Далее, в ситуациях, когда теорема применяется к операторам, которые могут иметь любое число неподвижных точек (как в примере с чашкой чая), она не даёт никаких указаний о единственности неподвижной точки. Наконец, неконструктивный характер результата также доставляет неудобства в приложениях. В последнем параграфе главы будет изучена одна группа методов, предназначенных для преодоления указанных трудностей. В общих чертах эти методы основаны на следующих соображениях.

Хорошо известно, что как в теоретических, так и в численных исследованиях особенно удобно работать с положительными монотонными вещественнозначными функциями вещественной переменной. Например, пусть φ — монотонно возрастающая непрерывная функция на отрезке [u, v] и φ(u)≥u, φ(v)≤v (рис. 8.1). Тогда не только гарантировано существование неподвижной точки, но и можно методом последовательных приближений получить последовательность {x_n}, которая является возрастающей и сходится к некоторой неподвижной точке x.

Рис. 8.1. Метод последовательных приближений для монотонной функции.

При обобщении этого факта на многомерный случай возникает одно затруднение: в то время как для вещественных чисел имеется естественное упорядочение, для векторов в пространстве размерности выше 1 никакого естественного упорядочения нет. В случае x, yÎR², x = (x₁, x₂), y = (y₁, y₂), одно из возможных упорядочений такое: x ≥ y, если как x₁ ≥ y₁, так и x₂ ≥ y₂. Существует естественное обобщение этого упорядочения на вещественнозначные функции:  f  ≥ g, если  f (t) ≥ g(t) для всех t из области определения наших функций. Указанные упорядочения являются лишь частичными (например, не все векторы из R² сравнимы между собой в указанном смысле), но оказывается, что это не служит серьёзным препятствием, и мы благополучно можем ввести монотонные операторы (Af  ≥ Ag при  f  ≥ g) и положительные операторы (Af  ≥ 0 при  f  ≥ 0). В случае когда оператор A вдобавок компактен, многие конечномерные результаты распространяются на банаховы пространства.

Часто успех этого метода в приложениях связан с сочетаемостью упорядочения в рассматриваемом пространстве и некоторого упорядочения, неявно заключённого в самом интересующем нас уравнении. Так обстоит дело для следующей краевой задачи, которой мы уделим особое внимание:

здесь ψ — вещественнозначная непрерывная функция на [0, 1]×(–∞, ∞), а решение ищется в C ²([0, 1]). Прежде всего эту систему можно переписать в виде интегрального уравнения  f  = Af, где

и k — функция Грина (4.2.5). Дальнейшее рассуждение основано на том, что функция k неотрицательна. Действительно, в таком случае A будет положительным оператором, если функция ψ неотрицательна. Если же ψ[x,·] — неубывающая функция при каждом x, то A будет монотонным. На первый взгляд указанное условие монотонности, наложенное на ψ, может показаться чересчур суровым. Однако наше дифференциальное уравнение можно переписать в виде

и поскольку функция Грина для оператора –d²/dx² + ω неотрицательна для любого ω≥0, то соответствующий модифицированный интегральный оператор будет монотонным, если ψ[x, z] + ωz будет при некотором ω неубывающей функцией от z для каждого x. Это уже гораздо менее ограничительное условие, которое заведомо выполняется, если производная ∂ψ/∂z ограничена снизу.

Эти рассуждения могут быть проведены в гораздо более общей постановке. Решающее условие неотрицательности функции k будет выполнено, если для рассматриваемого дифференциального оператора справедлив принцип максимума; последнее имеет место для широкого класса эллиптических дифференциальных операторов с частными производными. В сочетании с изобретённым Перроном методом взятия решения в «вилку» при помощи дифференциальных неравенств метод монотонности особенно полезен в случае сильно нелинейных ψ. Для простоты мы ограничимся здесь рассмотрением обыкновенных дифференциальных уравнений.

Классическим руководством по операторам в частично упорядоченных пространствах является монография Красносельского [1956]. Превосходный обзор современного состояния теории дан в статье Аманна [1976]. В книгах Анселоне [1964], Ролла [1971] и Саати [1967] описано большое число интересных приложений.

[· · ·]

9.1. Введение

Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, объектом основного физического интереса служит спектр рассматриваемого оператора. Вполне достаточным подтверждением этого высказывания служит повсеместное использование термина «спектр» как в физическом, так и в математическом смысле. Например, в квантовой механике физический спектр энергетических состояний атома и спектр соответствующего дифференциального уравнения тесно связаны между собой. Для произвольного линейного оператора часто бывает трудно получить информацию даже просто качественного характера, но для самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве это задача намного меньшей трудности. В действительности, как показывают дальнейшие исследования в области спектральной теории, в последнем случае часто может быть получено весьма полное описание решений уравнений, содержащих самосопряжённые операторы. Сердцевиной любого обсуждения таких уравнений является один результат — спектральная теорема. Эта теорема, принадлежащая Гильберту и фон Нейману, позволяет объединить великое множество внешне различных результатов и представляет собой одно из главных достижений теории линейных операторов.

Общеизвестна важность результата, утверждающего, что всякую эрмитову матрицу (а тем самым и всякую эрмитову квадратичную форму) можно диагонализовать при помощи подходящего выбора базиса; превосходное изложение этого конечномерного результата дано в книге Халмоша [1948]. Спектральная теорема представляет собой, в сущности, далеко идущее обобщение этого результата на случай самосопряжённых операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве H . На пути к этому обобщению первым шагом, где важную роль играет бесконечномерность, служит теорема Гильберта–Шмидта 7.5.1 о компактных самосопряжённых операторах. Эта теорема утверждает, что для всякого такого оператора T ортонормированное множество {ψ_n} его собственных векторов образует базис пространства H . Таким образом, произвольное gÎH  можно представить в виде

откуда немедленно следует, что

где λ_n — собственное значение, отвечающее ψ_n. Формула (9.1.2) осуществляет в очевидном смысле диагонализацию оператора T. Дальнейшее наблюдение состоит в том, что если p — многочлен, то

Определение полиномиальной функции от T, разумеется, не представляет никаких трудностей, но оказывается, что (9.1.3) доставляет удовлетворительное определение произвольной непрерывной функции от Т. Такие функции интересны по целому ряду причин; с точки зрения приложений особенно важны экспоненциальные функции, ибо они входят в решение задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения u'(t)=Lu(t) (см. пример 3.5.10).

Какой вид должны принять соотношения (9.1.1) и (9.1.2) в случае, когда оператор самосопряжён, но не компактен? Ключ к решению вопроса дают две хорошо известные формулы разложения для дифференциальных уравнений. Пусть L — самосопряжённый оператор, получаемый из оператора l=id/dx при наложении граничного условия  f (0)=f (2π) (пример 6.7.9), и пусть λ_n, ψ_n (n=1, 2, ...) — собственные значения и соответствующие собственные функции оператора L, т.е. λ_n=n, ψ_n=(2π)^–1/2e^–inx, (n=1, 2, ...). Общеизвестная формула разложения в ряд Фурье записывается так:

			2π
g(x) =	∑	ψn(x)	∫	g(y) ψλ(y) dy;
	n		0

В H =L₂((0, 2π)) она принимает вид

Областью определения оператора L служит не всё H , но по крайней мере для гладких g мы имеем

Последние два соотношения и являются искомыми аналогами соотношений (9.1.1) и (9.1.2).

В только что рассмотренном примере оператор L, хотя сам и не компактен, но обладает компактным обратным, и указанные выше результаты могут быть выведены из теоремы 7.5.4. В качестве примера, когда это уже не так, возьмем снова оператор l=id/dx, но предположим теперь, что рассматриваемым интервалом служит (–∞, ∞). В этом случае имеет место следующая формула обращения для преобразования Фурье:

	∞		∞
g(x) =	∫	ψλ(x) dλ	∫	g(y) ψλ(y) dy;
	–∞		–∞

здесь ψ_λ = (2π)^–1/2e^iλx. Если H =L₂((–∞, ∞)) и g имеет компактный носитель, то эту формулу можно переписать в виде

∞  g(x) =  ∫  (g, ψλ) ψλ(x) dλ. –∞

(9.1.4)

Замечая, что уравнение lf =λf  имеет решение ψ_λ, при каждом вещественном λ, можно попробовать принять такую гипотезу: под спектром нужно понимать всю вещественную ось, а под собственными функциями оператора l — функции ψ_λ. Тогда (9.1.4) можно интерпретировать как обобщение соотношения (9.1.1), получаемое заменой суммирования интегрированием по спектру. Чтобы сделать эту интерпретацию строгой, надо, конечно, преодолеть много трудностей. Во-первых, не очевидно, как следует определить самосопряжённый оператор L, отвечающий дифференциальному оператору l. Во-вторых, ψ_λ не принадлежат L₂((–∞, ∞)) и потому заведомо не являются собственными векторами самого оператора L. Однако трудно отказаться от мысли, что (9.1.4) представляет собой в некотором смысле разложение по «обобщённым собственным функциям», аналогичное разложению, доставляемому теоремой Гильберта–Шмидта.

Наша непосредственная цель — получить абстрактный вариант разложения по обобщённым собственным функциям для произвольного (не обязательно ограниченного) самосопряжённого оператора и воспользоваться этим разложением для определения функций от операторов. В следующей главе мы займёмся вопросом о построении самосопряжённых операторов, отвечающих формальным обыкновенным дифференциальным операторам. Тогда станет ясно, что обширный список различных разложений в ряды по ортогональным функциям и различных «преобразований» представляет собой не что иное, как перечень частных случаев разложений по обобщённым собственным функциям, получаемых применением спектральной теоремы.

[· · ·]

10.1. Введение

В качестве одной из причин нашего интереса к спектральной теореме был указан тот факт, что широкий класс внешне различных формул разложения, содержащих ряды или интегралы, может быть получен применением этой теоремы к самосопряжённым операторам, ассоциированным с определёнными формальными обыкновенными дифференциальными операторами l. Докажем теперь справедливость этого утверждения. Чтобы подчеркнуть близкое сродство всех этих формул, мы будем называть их «разложениями по обобщённым собственным функциям». Оправданием для такого названия служит то, что все эти разложения представляют собой суммы или интегралы (либо, возможно, комбинации сумм и интегралов) решений уравнений lf  = λf , слово же «обобщённые» призвано напоминать, что эти решения не обязаны быть собственными функциями самогó нашего самосопряжённого оператора ³⁾.

Очевидно, что, прежде чем применять спектральную теорему, надо сперва найти подходящий самосопряжённый оператор L, ассоциированный с l. Иногда, как, скажем, в примере 6.7.9, L можно построить просто по догадке, но это не всегда удаётся.

10.1.1. Пример. Как и в примере 6.7.9, возьмем l=id/dx, но на этот раз пусть рассматриваемым интервалом будет [0, ∞]. Для иллюстрации возникающих здесь трудностей достаточно провести некоторые чисто формальные рассуждения, поэтому предположим, что области определения всех фигурирующих ниже операторов содержат лишь гладкие функции из L₂(0, ∞). Пусть L, M — любые операторы, такие что Lf  = lf  и Mf  = lf  на D(L) и D(M) соответственно. Интегрирование по частям даёт

если принять предположение (вполне разумное, поскольку  f , gÎL₂(0, ∞)), что фигурирующий в этом соотношении предел равен нулю. При заданной области определения D(L) оператор M будет сопряжён к L, если D(M) есть максимальная область, для которой  f (0)g(0) обращается в нуль при всех  f ÎD(L). Отсюда следует, что если на D(L) не налагается никаких условий (помимо упомянутого выше требования гладкости), то для того, чтобы функция g принадлежала области определения L^*, необходимо, чтобы g(0) = 0; в таком случае L^* будет собственным сужением L, и L не будет самосопряжённым. С другой стороны, если мы предположим, что  f (0) = 0 для всех  f ÎD(L), то единственным ограничением, которое надо наложить на элемент g из D(L^*), является требование, чтобы он был достаточно гладким; в этом случае L^* будет собственным расширением L, и снова L не будет самосопряжённым. Никаких других простых способов получить самосопряжённый оператор L не видно, и можно высказать гипотезу (которая будет подтверждена ниже в примере 10.5.5), что такого оператора вообще не существует.

Таким образом, даже для простых l при построении ассоциированного оператора возникают трудности, и есть даже сомнения относительно самого существования такого оператора. Для операторов l высших порядков, да ещё если они действуют на бесконечном интервале или имеют старший коэффициент, обращающийся в нуль в какой-нибудь концевой точке, эти трудности весьма велики, и основная часть технического материала данной главы связана именно с их преодолением. Очевидно, что нашей первой целью должна быть разработка систематической процедуры для решения вопроса о том, существует ли в данном конкретном случае самосопряжённый оператор и как его построить.

Разумный первый шаг в этом направлении состоит в том, чтобы отправиться от оператора L₀ с областью определения, ограниченной настолько жёстко, чтобы она содержалась в областях определения всех вероятных кандидатов в самосопряжённые операторы, и попытаться построить эти операторы, расширяя первоначальную область, другими словами, рассматривая самосопряжённые расширения оператора L₀. Например, для случая интервала (a, b) разумным выбором D(L₀) могло бы быть C ^∞((a, b)). Такой оператор L₀ не является самосопряжённым, однако удовлетворяет более слабому условию симметричности. Поэтому сначала мы займёмся подробным изучением расширений самосопряжённых операторов, имея в виду поставленную выше цель. Затем мы применим эту теорию для решения вопроса о том, обладает ли L₀ самосопряжёнными расширениями, и для построения таковых расширений, если они существуют. Заключительный шаг получения разложений по обобщённым собственным функциям, состоящий в применении спектральной теоремы, сам по себе осуществляется уже довольно непосредственно.

Стандартными руководствами по тематике этой главы служат обширная глава 13 из второго тома трёхтомника Данфорда и Шварца [1963] и монография Наймарка [1969]. Другой подход, основанный на классическом анализе, проведён у Титчмарша [1962], где дано множество примеров. Широкий спектр приложений описан у Снеддона [1972]. Для многих приложений представляет интерес качественное описание спектра; эта тема широко освещена в первых трёх указанных работах и обсуждается с точки зрения квантовой механики в книгах Рида и Саймона [1972, 1975]. Точка зрения теории возмущений представлена в монографии Като [1966]. Обзор спектральной теории для дифференциальных уравнений с частными производными дан в работе Александряна, Березанского, Ильина и Костюченко [1975].

[· · ·]

11.1. Введение

Стандартный классический подход к граничным задачам для эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными состоит в том, что данное уравнение переформулируют, используя функцию Грина, в виде интегрального уравнения, а затем привлекают теорию интегральных уравнений. Хотя этот подход и привёл к значительным успехам, всё же представляется несколько искусственным основывать теорию на интегральном уравнении, а не на самом дифференциальном уравнении, и недавние исследования показали, что прямая атака на дифференциальное уравнение часто даёт больше информации и в то же время позволяет избежать скучных технических моментов, связанных с построением интегрального уравнения. Одна из областей, где преимущество прямого подхода очевидно, — это нахождение численных решений. Действительно, использование интегрального уравнения плохо увязывается со стандартными численными процедурами, и потому явно неестественно привлекать интегральные уравнения для численного решения дифференциальных. Цель настоящей главы — дать вводное изложение прямого подхода.

Отправной точкой служит замена исходной краевой задачи некоторым её слабым аналогом. Для иллюстрации рассмотрим уравнение Пуассона

в ограниченной открытой области Ω, для которого ищется решение  f ÎC ²(Ω)∩C(Ω), обращающееся в нуль на границе области ∂Ω. Умножая это уравнение на произвольную функцию φÎC₀^∞(Ω) и интегрируя, получаем

∫  (Ñ2f  – g) φ dx = 0     для     φÎC0∞(Ω). Ω

(11.1.2)

Так как C₀^∞(Ω) плотно в L₂(Ω), то (11.1.1) и (11.1.2) эквивалентны. Интегрирование по частям даёт (поскольку φ вместе со всеми своими производными обращается в нуль на ∂Ω)

∫  f Ñ2φ dx =  ∫  gφ dx. Ω  Ω

(11.1.3)

Итак, (11.1.3) и (11.1.1) эквивалентны для гладких  f . Однако (11.1.3) прекрасно имеет смысл для любых  f  из L₂(Ω), в то время как само уравнение (11.1.1) для таких  f  прямого смысла не имеет и никаких очевидных интерпретаций не допускает. Это эвристическое рассуждение приводит к следующему слабому варианту исходной задачи: для заданной функции g найти функцию  f , обращающуюся в нуль на ∂Ω и удовлетворяющую соотношению (11.1.3) для всех φÎC₀^∞(Ω).

Сразу же видны две привлекательные черты такой слабой задачи. Во-первых, она имеет смысл для весьма широкого класса правых частей g — заведомо для любых gÎL₂(Ω). Во-вторых, поскольку производные от  f  в (11.1.3) не фигурируют, гладкость  f  не составляет (по крайней мере на первых порах) столь настоятельной проблемы, как это было бы, рассматривай мы исходное уравнение. На самом деле, проведённое в предыдущем абзаце рассуждение грешит небольшой неточностью, а именно: условие  f =0 на ∂Ω не имеет смысла для произвольных  f ÎL₂(Ω), и, чтобы придать этому граничному условию смысл, приходится всё же наложить на f кое-какие требования в отношении гладкости, хотя и не такие большие, как в исходной формулировке.

При решении описанной выше слабой краевой задачи (известной как обобщённая задача Дирихле) ключ к успеху — в выборе подходящего пространства. Задача естественным образом «укладывается» в определённое соболевское пространство функций, удовлетворяющих сравнительно слабым требованиям гладкости, и тот факт, что это пространство гильбертово, существенно упрощает анализ. Соболевские пространства служат в настоящее время основным инструментом в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Хотя здесь для простоты мы рассматриваем лишь сравнительно несложный пример — однородную задачу Дирихле для линейного эллиптического уравнения, излагаемая ниже теория соболевских пространств находит применения при изучении как линейных, так и нелинейных уравнений, эллиптических и эволюционных.

Преимущества постановки задачи в соболевском пространстве становятся особенно очевидными, когда исследуется проблема существования и единственности для общего эллиптического уравнения, потому что эту проблему удаётся тогда сформулировать в терминах некоего ограниченного линейного оператора, свойства которого изучить сравнительно просто. В определённых случаях, например для уравнения Пуассона в ограниченной области, легко показать, что этот оператор обладает ограниченным обратным, откуда следует, что обобщённая задача Дирихле имеет ровно одно решение для всякой разумной правой части g. В общем случае, однако, однородное уравнение может иметь и нетривиальные решения, и тогда уже нельзя ожидать существования решения при произвольной правой части g. Самое большее, на что можно надеяться, — это на существование и единственность при условии, что соответствующее однородное уравнение обладает лишь нулевым решением, иными словами, на результат, аналогичный альтернативе Фредгольма. При некоторых предположениях, главное из которых — ограниченность области, некий родственный оператор имеет компактный обратный, и желаемую теорему об альтернативе легко получить. Интересно заметить, что теория компактных операторов, первоначально придуманная для того, чтобы исследовать интегральное уравнение, возникающее при подходе с функцией Грина, по-прежнему остаётся основным рабочим инструментом и в прямом подходе, где, однако, она применяется к «оператору Грина», точный вид которого вычислять не нужно. Доказательство этой теоремы об альтернативе будет нашим главным делом в данной главе; мы будем заниматься им в §§ 11.4 и 11.5 после того как проведём предварительно обсуждение соболевских пространств в § 11.3. Указанный выше метод даёт критерии существования и единственности решений в некотором соболевском пространстве для эллиптического оператора порядка 2m. Однако эти решения не обязаны принадлежать C ^2m(Ω), и потому их нельзя рассматривать как решения в классическом смысле. Для того чтобы определить, когда эти решения имеют классический смысл, требуется дополнительное исследование, и некоторые результаты в этом направлении приводятся в § 11.6.

Стандартные руководства по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными — Агмон [1965] и Фридман [1969]; из других полезных работ отметим недавние книги Фоллэнда [1976], Шехтера [1977], Шоуолтера [1977] и Трева [1975]. Значительная часть известных к настоящему времени результатов о линейных и нелинейных эллиптических уравнениях второго порядка содержится в монографии Гилбарга и Трудингера [1977].

[· · ·]

12.1. Введение

Первым методом, использовавшимся для численного решения эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными, был метод конечных разностей. В дальнейшем изучение сложных и нерегулярных границ, возникающих в инженерных задачах, привело к изобретению метода конечных элементов. В этом методе заданная область заменяется некоторым набором «элементов» достаточно простой формы, на которых тем или иным способом аппроксимируется неизвестная функция. Физические соображения равновесия, применённые к каждому элементу, дают систему линейных уравнений, решение которой можно вычислить. Главным практическим достоинством такого подхода является его гибкость; элементы можно подгонять к геометрии задачи и ожидаемым физическим характеристикам решения. Метод конечных элементов вскоре стал пользоваться наибольшим предпочтением в широком круге задач.

На первых порах численные методы для решения дифференциальных уравнений с частными производными можно было в достаточной мере обосновать на интуитивном уровне. Однако самая сложность задач, к которым мог быть применён метод конечных элементов, и широкий диапазон возможных элементов и аппроксимаций для неизвестной функции иногда приводили к трудностям, которые уже не могли быть разрешены на таком уровне. Поэтому естественно было попытаться подыскать соответствующую математическую теорию, в рамках которой можно было бы исследовать вопросы пригодности и точности рассматриваемых методов. К сожалению, такой теории, которая подходила бы для решения этой трудной проблемы, вначале не было. Поворотным пунктом в математическом развитии метода конечных элементов было, пожалуй, сознание того, что этот метод является в сущности своей вариационным. Было показано, что упомянутые выше системы уравнений можно получать, выбирая простые пробные функции, аппроксимирующие неизвестную функцию, и используя соображения минимизации энергии, т.е. применяя метод Ритца. После этого стало возможным понять, что теоретический анализ метода конечных элементов естественно укладывается в рамки вариационного подхода к изучению дифференциальных уравнений с частными производными, использующего соболевские пространства. В результате была развита обширная теория, способная ответить на многие вопросы большой практической важности.

Для того чтобы ввести читателя в эту теорию, не обременяя его техническими подробностями, мы рассмотрим сравнительно простую ситуацию — однородную задачу Дирихле для формального оператора l = Ѳ + p в двумерном случае. Эта задача может быть разобрана методом Ритца; для общих эллиптических операторов надо использовать более сложные методы типа метода Галёркина. Главная цель исследования — получить глобальные оценки для ошибки.

Хорошее общее руководство по методу конечных элементов — книга Стренга и Фикса [1973]; полезны также монографии Прентера [1975] и Митчелла и Уэйта [1977]. В двухтомнике Уайтмэна [1973, 1977] охвачен широкий круг тем, включая нестационарные и нелинейные задачи, а также помещен интересный исторический обзор, написанный Зенкевичем. Более глубокое изложение теории можно найти у Азиза [1972], Обэна [1972], Одена и Редди [1976], Темама [1970].

[· · ·]

13.1. Введение

Для ряда важных нелинейных уравнений, возникающих в приложениях, неизвестно никаких общих конструктивных методов решения, и в настоящее время приходится довольствоваться методами, которые дают лишь качественную информацию о поведении системы, описываемой уравнением. Мы рассмотрим сейчас один из самых эффективных таких методов — теорию степени Лерэ–Шаудера.

Вначале, чтобы пояснить используемые в дальнейшем рассуждения, мы разберём некоторые простые ситуации, причём наше обсуждение будет пока носить чисто формальный характер. Пусть D — ограниченный открытый интервал (a, b) и φ: D → R — непрерывная функция. Задавшись целью использовать как можно меньше информации относительно φ, попробуем выяснить, что можно сказать о существовании решения уравнения φ(x) = p, зная одни только значения φ на границе ∂D. Одно из возможных соображений такое. Если φ есть тождественное отображение I, то наше уравнение принимает просто вид x = p, а это уравнение имеет решение в D, если pÎD. В случае произвольной функции φ геометрически очевидно, что если кривую y = φ(x) можно непрерывно деформировать в прямую y = Iх без того, чтобы какая-либо из концевых её точек пересекала прямую y = p, то уравнение φ(x) = p, также будет иметь решение при условии, что pÎD (рис. 13.1). Возможности этого утверждения как принципа существования чрезвычайно велики, ибо, поскольку используются лишь значения φ на ∂D, нет никаких ограничений ни на коэффициент наклона функции φ, ни на абсолютную величину её значений. Далее, этот принцип во всяком случае допускает разумную переформулировку для случая высших размерностей, хотя отнюдь не легко предложить, даже хотя бы формально, геометрические соображения в его обоснование. С другой стороны, надо признать, что в качестве неизбежного следствия своей общности этот метод имеет определённые недостатки: он неконструктивен и не пригоден сам по себе для доказательства единственности решения, а при некоторых граничных условиях (таких, как на рис. 13.2) он вообще не действует и никаких заключений о существовании решения сделать с его помощью нельзя.

Рис. 13.1.

Рис. 13.2.

К указанному выше принципу существования мы пришли, используя соображения типа возмущений, и будет поучительным попытаться для сравнения получить тот же результат при помощи стандартного метода непрерывности, основанного на теореме о неявной функции 4.4.9. Пусть {h_t} — некоторое семейство гладких функций, непрерывно зависящих от параметра t, причём h₁ = φ, h₀ = I. Теорема о неявной функции показывает, что если pÎD, то при определённых условиях на ∂h_t/∂x существование решения уравнения h_t(x) = p для достаточно малых t следует из того факта, что уравнение h₀(x) = p имеет решение; повторяя эту процедуру, можно расширить диапазон таких t. Однако теорема о неявной функции — локальный результат, и нет никакой гарантии, что мы достигнем значения t = 1. Кроме того, эта процедура не проходит, если ∂h_t/∂x обращается в нуль. Напротив, соображения, развитые в предыдущем абзаце, не страдают ни одним из этих недостатков и могут быть положены в основу теории больших возмущений, значительно более сильной, чем теория, основанная на методе непрерывности.

Чтобы развить сделанные выше наблюдения в систематическую теорию, естественно спросить, не существует ли некоего целого числа d(φ, p, D), — которое можно было бы рассматривать в некотором смысле как результат счёта числа решений уравнения φ(x) = p и которое мы будем называть степенью ⁴⁾, — обладающего следующими свойствами:

1. Степень d(φ, p, D) определена для любого ограниченного открытого множества D и любой функции φ, непрерывной на D, такой что φ(x)≠p при xÎ∂D, и зависит лишь от p и значений φ на ∂D.
2. Степень инвариантна относительно любого непрерывного возмущения данной функции, при котором решение не переходит через границу. Это условие можно сформулировать точно следующим образом. Пусть h_t(x) непрерывно зависит от t и x для xÎD и tÎ[0, 1], причём h_t(x)≠p для любых xÎ∂D и tÎ[0, 1]. Тогда d(h_t, p, D) не зависит от t. Такое семейство {h_t} называют гомотопией, а сформулированное выше свойство — свойством гомотопической инвариантности степени.
3. d(I, p, D) = 0, если pÏD и 1, если pÎD.
4. Если d(φ, p, D)≠0, то уравнение φ(x)=p имеет решение в D.

Предположив, что такое целое число существует, нетрудно заново получить предыдущий результат для функции на рис. 13.1. Действительно, в силу (ii) с h_t = t_φ + (1–t)I и (iii), d(φ, p, D)=1, и существование решения следует из (iv). Заметим, что (iv) не даёт никакой информации о существовании решений, если d(φ, p, D)=0; как видно из рис. 13.2, уравнение φ(x)=p может при этом иметь решения, а может и не иметь.

Посмотрим теперь, как можно было бы дать явное определение степени. На рис. 13.1 функции φ и I гомотопны, тем не менее уравнение φ(x)=p имеет три решения, а уравнение Ix=p — всего одно. Следовательно, если мы хотим, чтобы выполнялось условие (ii), то, очевидно, d(φ, p, D) не может непосредственно равняться числу решений. Более обещающим выглядит подход, при котором каждому решению приписывается знак, зависящий от направления, в котором график функции φ пересекает прямую y=p, и степень определяется как суммарное число решений с учётом их знаков. Тогда в приведённом выше примере, хотя два решения — одно со знаком плюс, другое со знаком минус — и теряются, когда φ превращается в I, но степень остаётся неизменной. Итак, положим

d(φ, p, D) =  ∑  sgn φ'(xj), j

(13.1.1)

где сумма берётся по всем решениям x_j уравнения φ(x)=p, лежащим в D; если в D решений нет, то полагаем d(φ, p, D)=0. Это определение имеет смысл, только если функция φ дифференцируема, φ′(x_j)≠0 для любого j и существует лишь конечное число решений, но мы пока игнорируем все эти технические затруднения и просто заметим, что степень, определённая таким образом, удовлетворяет приведённым выше условиям (i)–(iv), если функция φ хорошо себя ведёт.

В одномерном случае геометрическая картина легко обозрима и проверить, что формула (13.1.1) даёт целое число, обладающее желаемыми свойствами, нетрудно. В высших размерностях представить себе геометрию происходящего гораздо труднее и не получается даже обойтись чисто формальным обобщением определения 13.1.1, поскольку неясно, как интерпретировать правую часть. К счастью, для двумерного случая есть один результат из теории функций комплексной переменной, который подсказывает, каким должно быть искомое обобщение.

Пусть D — ограниченная открытая область в R², граница которой представляет собой простой замкнутый контур (в смысле теории функций комплексной переменной), и φ: D → R² — отображение (ξ η) → (u, v). Предположим сперва, что u и v — соответственно вещественная и мнимая части некоторой аналитической функции φ от x=ξ+iη, причём φ(x)≠p на ∂D и пусть x₁, ..., x_k — решения уравнения φ(x)=p в D. Положим

d(φ, p, D) =  1 2πi ∫ φ′(x) φ(x) – p  dx. ∂D

(13.1.2)

По теореме Коши

где C_j для каждого j — маленькая окружность с центром x_j, не содержащая внутри себя никаких других решений, кроме x_j. Теорема о вычетах показывает, что d(φ, p, D) есть неотрицательное целое число, равное сумме кратностей решений, и, как нетрудно проверить с помощью стандартных методов теории функций комплексной переменной, все условия (i)–(iv) действительно выполняются. Таким образом, мы движемся в нужном направлении. Однако, если мы хотим, чтобы сфера действия определения степени не ограничивалась одними аналитическими функциями, формулу (13.1.3) надо видоизменить.

Чисто формально это видоизменение проводится так. Перепишем (13.1.3) в виде

где p=α+iβ. Теперь, когда аналитичность больше не предполагается, интегралы не обязательно будут положительными. Тем не менее, поскольку каждый интеграл равен, очевидно, числу оборотов вектора, идущего от точки p=(α, β) в точку φ=(u, v), когда (ξ, η) совершает один оборот вокруг решения, несложное рассуждение с использованием линеаризации позволяет вычислить d(φ, p, D), по крайней мере для случая, когда нули функции φ(x)–p простые. Действительно, по теореме Тейлора, в соответствующей окрестности точки x_j

где φ′(x_j) — матрица Якоби функции φ в точке x_j, а r — малый остаточный член. Если x_j — простой нуль, то матрица φ′(x_j) невырожденна и, значит, задаёт линейную биекцию R² на себя; следовательно, когда точка x делает один оборот по окружности C_j, её образ φ′(x_j)(x–x_j) совершает один оборот по некоторому эллипсу C_j', в направлении, определяемом знаком якобиана J_φ(x_j). Итак, значение j-го интеграла в (13.1.4) равно sgn J_φ(x_j). Тем самым мы получаем следующее определение степени:

если решений в D нет, то полагаем d(φ, p, D) = 0. По сравнению с одномерным определением (13.1.1) это гораздо более перспективная формула, поскольку якобиан имеет чёткий смысл для любого конечного числа измерений.

Наша первая цель в этой главе — показать, что степень с указанными выше свойствами (i)–(iv) может быть определена для некоторых определённых классов операторов в банаховых пространствах. Сначала степень будет определена для непрерывных операторов в конечномерных пространствах; отправной точкой здесь служит формула (13.1.5). Именно на этом этапе приходится преодолевать наибольшие технические трудности. В качестве демонстрации силы теории даётся простое доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке. Следующий шаг — переход к бесконечномерному случаю. Оказывается, что прямое обобщение на произвольные непрерывные операторы невозможно. Самый известный и самый полезный класс операторов, для которых можно определить степень, образуют операторы вида I + A, где A — компактный оператор; для распространения конечномерной теории на бесконечномерный случай используется соответствующая предельная процедура. Получаемые таким образом результаты можно трактовать как теорию (больших) компактных возмущений тождественного оператора. Результат, приносящий наибольшую пользу, — это знаменитая теорема Лерэ–Шаудера о неподвижной точке 13.3.6, (iii), бесконечномерный аналог приведённого выше свойства (iv) с φ, заменённым на I + A.

Стоит отметить два общих момента. Во-первых, хотя формула (13.1.5) и является отправной точкой для нашего определения, саму её не используют для вычисления степени ни в каких приложениях. В самом деле, в (13.1.5) предполагается, что решения уже известны, в то время как цель всего исследования — найти их. Когда теоретическое изучение вопроса завершено, эта формула уже не играет больше никакой роли, поскольку практическое вычисление степени основано на указанном выше свойстве (ii) гомотопической инвариантности степени. Во-вторых, с точки зрения приложений самих по себе обычно неважно знать довольно-таки технические подробности анализа, лежащего в основе теории. В самом деле, результаты теории, суммированные в теореме 13.3.6, элегантны и просты, а их применение осуществляется непосредственно — по крайней мере в принципе.

Теория степени нашла с течением лет множество приложений и является теперь стандартным методом нелинейного анализа. Она чрезвычайно полезна при исследовании нелинейных уравнений с частными производными, таких как уравнения Навье–Стокса, для которых она и была первоначально изобретена. Однако для таких уравнений весьма труден этап предварительного анализа, и мы ограничимся здесь задачами, для которых требующиеся приготовления не так дорого стоят, — по существу теми, в которых рассматриваемые дифференциальные уравнения легко сводятся к интегральным. В § 13.4 даётся одно приложение к H-уравнению радиационного переноса Чандрасекхара, которое в простом контексте позволяет подчеркнуть основные моменты рассуждений. Развитая теория будет затем играть существенную роль в последующем обсуждении нелинейных задач на собственные функции.

Первоначально теория степени опиралась в своём развитии на глубокие результаты алгебраической топологии. Хотя этот подход и позволяет лучше выявить лежащую в основе геометрическую структуру, он требует значительной теоретической подготовки, и здесь мы следуем аналитическому подходу, как он описан, например, у Бергера и Бергера [1968] или Дж. Шварца [1969]. По поводу приложений к интегральным уравнениям см. книгу Красносельского [1956], к дифференциальным уравнениям — книгу Бергера [1977] и недавний обзор Серрина [1976]. Стандартное руководство по уравнениям Навье–Стокса — монография Ладыженской [1970], а сравнительно элементарное введение в теорию этих уравнений представлено у Сэттингера [1973].

[· · ·]

14.1. Введение

Среди великого множества физических явлений, моделируемых нелинейными уравнениями, особенно важны и особенно трудны для анализа те, которые приводят к задачам на собственные функции. Следующий классический пример является типическим. Предположим, что идеальная жидкость течёт без завихрений по каналу с плоским дном. Могут ли существовать периодические волны неизменяющейся формы? Такое течение можно моделировать уравнением вида λ f = Af , где A — нелинейный оператор с A0 = 0, а λ — некоторый параметр. Одно из возможных течений — равномерное (отвечающее тривиальному решению  f = 0), но, конечно, физический интерес представляют как раз нетривиальные решения. Наличие тривиального решения существенно усложняет математическое рассмотрение вопроса, и далеко не просто придумать метод, достаточно тонкий для того, чтобы он «различал» тривиальные и нетривиальные решения. Цель этой главы — дать обзор некоторых из таких методов.

Для случая, когда оператор A линеен, изучение уравнения λ f = Af  уже было проведено ранее как часть спектральной теории. Хотя нашей задачей и является обобщить эту теорию, в нелинейном случае удобно изменить обозначения и вместо параметра λ использовать параметр μ = λ^–1. В некоторых приложениях сам рассматриваемый оператор зависит от μ, и эта возможность предусматривается следующим определением:

14.1.1. Определение. Пусть D — подмножество вещественного банахова пространства B, причём 0ÎD. Для каждого вещественного μ пусть A_μ — оператор из D в B, удовлетворяющий условию A0 = 0. (Вещественные) значения μ для которых уравнение  f = μA_μ f имеет ненулевые решения, называет характеристическими значениями оператора A_μ, а соответствующие решения  f  — собственными векторами (или собственными функциями, если речь идёт о пространстве функций). Как и в линейном случае, название «собственное значение» сохраняется за величиной, обратной к характеристическому значению.

14.1.2. Пример. Рассмотрим для иллюстрации следующие три случая, в каждом из которых φ: R → R.

Случай A. Пусть φ — линейное отображение, задаваемое формулой φ(x) = αx, где α — отличное от нуля вещественное число. Ясно, что уравнение x = μφ(x) имеет ненулевое решение в том и только том случае, если μ = α^–1, и в этом случае каждое вещественное число будет решением; см. рис. 14.1, (а), где решения, отложенные напротив соответствующих μ, представлены жирными линиями.

Случай B. Для φ(x) = x/(1 + |x|), уравнение x = μφ(x) имеет ненулевые решения (x = ±(μ – 1)) тогда и только тогда, когда μ > 1. Аналогичная диаграмма для этого случая дана на рис. 14.1, (b).

Случай C. Для φ(x) = x³ уравнение x = μφ(x) имеет ненулевые решения (x = ±μ^–1/2) тогда и только тогда, когда μ > 0 (см. рис. 14.1, (c)).

Рис. 14.1. Бифуркационные диаграммы для (a) φ(x) = αx, (b) φ(x) = x/(1 + |x|), (c) φ(x) = x3.

Из сравнения этих трёх случаев вытекают интересные выводы:

1. В каждом из случаев можно указать фиксированный шар в R с центром в начале, не содержащий при малых μ ни одного собственного вектора.
2. В линейном случае множество характеристических значений состоит из одной-единственной точки. Для нелинейных операторов это множество представляет собой интервал: μ > 1 в случае B и μ > 0 в случае C. Таким образом, в разительном контрасте с линейным случаем «нелинейный спектр» недискретен, даже если рассматриваемый оператор компактен.
3. В случае линейной функции φ уравнение x – μφx = a имеет решение при каждом вещественном a тогда и только тогда, когда μ не является характеристическим значением. Соответствующие нелинейные уравнения обладают решениями для всех μ; альтернатива Фредгольма для них очевидным образом не имеет места.
4. В случаях A и B при увеличении μ достигается точка, в которой решения «разветвляются» ⁵⁾ — от тривиального решения «ответвляются» другие решения. Такое поведение является общим правилом, однако, как показывает рис. 14.1, (c), бывают и исключения из этого правила. В любом случае поведение решений как функций от μ изящно и лаконично представляется бифуркационными диаграммами типа приведённых на рис. 14.1. Хотя в многомерном случае решения уже нельзя изобразить с помощью одной-единственной оси, часто имеется величина, важная по физическим или каким-нибудь иным причинам, — это может быть, скажем, норма решения, — которую можно с успехом использовать для построения аналогичной бифуркационной диаграммы.

Приведённые выше примеры вместе с примерами из задачи 14.1 дают некоторое представление о разнообразии возможностей, имеющихся даже в одномерном случае, а в многомерном случае возникают дальнейшие усложнения. Бесконечномерный случай вообще поддаётся рассмотрению, только если принять какие-либо дополнительные предположения, и мы ограничимся здесь изучением компактных операторов A. В этом случае для линейных A бифуркационную диаграмму легко построить на основе спектральной теории компактных операторов (рис. 14.2).

Рис. 14.2. Бифуркационная диаграмма для линейного компактного оператора; μ1, μ2, ... — характеристические значения.

Если A нелинеен, то зависимость от μ редко бывает столь простой, и, в частности, поведение при малых и больших || f || может быть совершенно разным. В последующем мы будем использовать термин «локальный» для случая, когда допускаются лишь малые значения || f ||, и термин «глобальный» для случая, когда никаких ограничений на || f || не налагается.

Для исследования локальных задач часто применяется формальный приём, основанный на линеаризации: исходное нелинейное уравнение заменяется линейным уравнением, решения которого используются в качестве приближений к малым решениям исходного уравнения. Применение этого приёма к указанному выше случаю B показывает, что единственным характеристическим значением линеаризованного уравнения является единица и что, в самом деле, это единственная точка ветвления для A. В следующем параграфе будет изложена локальная теория бифуркаций, основанная на этом методе линеаризации. Мы увидим, что хотя этот метод и не всегда работает, он применим для достаточно широкого класса операторов. Среди приложений, которые мы обсудим, будет и упомянутая выше задача о распространении волн, для которой с помощью локальной теории бифуркаций можно получить простое доказательство существования периодического цуга малых нелинейных волн.

Во многих приложениях локальная теория, хоть и оказывается полезной, не даёт полного решения проблемы. Например, в случае задачи о распространении волн целый ряд эвристических соображений указывает на то, что могут существовать периодические волны не изменяющейся формы с максимальным углом наклона вплоть до π/6, и, чтобы подтвердить это, нужна, очевидно, глобальная теория. Построение такой теории представляет гораздо большие технические трудности, тем не менее в § 14.3 мы получим некоторые результаты в этом направлении, эксплуатируя глобальный характер теории степени Лерэ–Шаудера. Главной нашей целью будет вывод мощной теоремы Красносельского о монотонной миноранте; в качестве одного из её приложений мы подтвердим приведённое выше предсказание для задачи о распространении волн.

Нелинейные задачи на собственные функции подробно обсуждаются в книгах Красносельского [1956] и Бергера [1977]. В журнале Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1973, 3, № 2, содержится целый ряд интересных статей о последних достижениях в этой области; к ним можно добавить ещё работы Стакголда [1971] и Сэттингера [1973]. В сборнике под редакцией Келлера и Антмана [1969] дан обзор ряда приложений к физическим задачам, а у Дикки [1976] — к задачам теории упругости. Обсуждение важного вопроса устойчивости решений эволюционных уравнений можно найти у Сэттингера [1973], а гидродинамическую интерпретацию соответствующих результатов — у Бенджамена [1976]. Наконец, заметим, что для одного специального класса нелинейных операторов построена теория типа теории Фредгольма; см. Фучик, Нечас, Соучек и Соучек [1973].

[· · ·]

Звёздочкой помечены работы, добавленные при переводе. Для переводных книг в квадратных скобках указан год оригинального издания. Если он больше года выхода перевода, это означает, что перевод делался с более раннего издания, чем то, которое приводит автор. В тексте при ссылках на работы, имеющиеся в переводе на русский, страницы указываются по переводу. — Прим. перев.

абсолютно непрерывная функция 64

— сходящийся ряд 28

автономное уравнение 93

алгебра 53

алгебраическая кратность собственного значения 374

аналитическая операторнозначная функция 104

антиизоморфизм 177

антилинейность 177, 195

аппроксимативная единица 70

априорная оценка 352, 358, 382

Арцела–Асколи теорема 161, 163

аффинное многообразие 14

базис 12, 34

— в гильбертовом пространстве 42, 211, 212, 304

Банаха–Алаоглу теорема 175–176

— теорема о неподвижной точке см. принцип сжимающих отображений

— Штейнгауза теорема см. принцип равномерной ограниченности

банахово пространство 28

Бесселя неравенство 40

— оператор 300–302, 309, 311

биективный оператор 76

билинейная форма 195

— — ассоциированная с l 329

— — коэрцитивная 331, 332, 343

бифуркационное значение 390

бифуркация 387

борелевское множество 50–51

Бореля мера 54

Брауэра теорема о неподвижной точке 226, 365, 374, 375

Брэмбла–Хилберта лемма 354

Вейерштрасса теорема 33

Вейля альтернатива 299

векторная сумма 14

векторное пространство 11

верхнее решение 243

вещественное векторное пространство 11

— граничное условие 301

вложение 88

внешнее произведение 171

внутреннее произведение см. скалярное произведение

внутренность, внутренняя точка 19

Вольтерры интегральный оператор 118, 210

вполне непрерывный оператор см. компактный оператор

— ограниченное подмножество 156

второе сопряжённое к банахову пространству 172

второй сопряжённый оператор 191

выпуклая оболочка 15

выпуклое подмножество 15

выпучивание сжатого стержня 395–397, 404

вырожденные ядра 92

Гаммерштейна интегральное уравнение 124–126, 149, 150, 241, 401–403, 410

— оператор 127

Гейзенберга принцип неопределённости 275

Гейне–Бореля теорема 154

Гёльдера неравенство 20, 67

Гильберта–Шмидта теорема 43, 211, 212, 249, 251, 258–260

гильбертово пространство 38

гиперболическое дифференциальное уравнение с частными производными 151, 273–275

главная часть дифференциального оператора 317, 338

гомеоморфизм 127

гомотопическая инвариантность степени 362, 372, 378–379

гомотопия 362, 372

Гординга неравенство 335

Грама–Шмидта процесс 43, 45–46

граница, граничная точка 19

граничное условие 294

график и обратный график оператора 112, 191

Грина операторы 333

— функция 124, 201

дефектные подпространства 281

диагональный процесс 156

диаметр 17

Дирака мера (δ-функция) 52

Дирихле задача классическая 318

— — обобщённая 314, 323, 325, 327–334, 346, 350

— принцип 344

дифференциальный оператор 109

дифференцируемая векторнозначная функция 93

дифференцируемость по Фреше 137

допустимая триангуляция 353

Дугунджи теорема о продолжении 373, 378

Дуффинга уравнение 248

евклидова норма 17

единичный шар 17

замкнутая линейная оболочка 32

замкнутое подмножество 18

— подпространство 14, 32

замкнутый оператор 112

— шар 17

замыкаемый оператор 113, 279

замыкание множества 18

— оператора 113

измеримая функция 57

измеримое множество 50

изометрический изоморфизм 88

изометрия 88

изоморфизм 88

индекс 384

— дефекта 281

интеграл 59–60

— в банаховом пространстве 258

интегральные операторы 86, 91, 117, 119, 196–198, 210, 215–223, 276

— уравнения 78–79, 101, 107, 117, 119, 196–198, 210, 215–223

интегрируемая функция 60

интегрируемость по Риману–Стилтьесу 258

интерполянта 353

инъективный оператор 76

каноническая форма компактного самосопряжённого оператора 212

каноническое спаривание см. внешнее произведение

канторово множество 44

касательная гиперплоскость 194

касательный элемент 194

Каччополи теорема 134

квадратичная форма 195

квадратный корень из оператора 276

квадратурные формулы 95

квазилинеаризация 148

классическое решение 318

коллективно-компактная последовательность операторов 217

компактное подмножество 154

компактный оператор линейный 198

— — нелинейный 229

комплексное векторное пространство 11

компонента открытого множества 366

конус в банаховом пространстве 233

конуса свойство 326

Коши последовательность 26, 28–30

коэрцитивная билинейная форма 331

Красносельского теорема о неподвижной точке 246

критическая точка 367

Лакса–Милгрэма теорема 331

Лапласа уравнение 332

Лебега интеграл 61, 62, 65

— мера 55

— Стилтьеса интеграл 61

— — мера 55

— теорема о мажорированной сходимости 63

Лежандра полиномы 46

— ряд 311

Лейбница формулы 340, 342

Лерэ–Шаудера теорема о неподвижной точке 365, 379

— — теория степени 360, 375, 378

линеаризация 388

линейная оболочка 14

линейное подпространство 14

линейно-зависимое и линейно-независимое множества 12

линейно-независимое относительно D(L₀) множество 286

линейный оператор 77

Липшица константа, условие 129, 130

локальное условие Липшица 130

локально-интегрируемая функция 60

локально-липшицева функция 243

мажоранта 241

мера 52–53

метод заплат 359

— конечных элементов 345

— последовательных приближений 97, 131

метрика, метрическое пространство 16

Минковского неравенство 20, 67

миноранта 241

множество значений 75

монотонная последовательность самосопряжённых операторов 252

монотонно возрастающая (убывающая) последовательность 238

монотонный оператор 236

мультииндекс 316

Неймана ряд 98

неограниченный оператор 82

неподвижная точка 125

непрерывная ветвь 398

— функция 21

непрерывные линейные функционалы 167

непрерывный оператор 76

— спектр 104

несогласованные элементы 359

нижнее решение 243

Нитче приём 359

норма вектора 16, 17

нормальный конус 235

нормированное векторное пространство 16

носитель функции 24

нуль-пространство 80

Ньютона метод 143–149

— последовательность 143

область определения 74

обобщённые собственные функции 277

образ 75

обратный к линейному оператору 79–80

— — нелинейному оператору 127

ограниченная эрмитова форма 195

ограниченное подмножество 17

ограниченный оператор 82

одинаково направленные векторы 398

однородный оператор 402

окрестность 19

оператор 75

— гармонического сопряжения 406

— конечного ранга 203

операторная норма 82, 90

операторнозначная функция 272

ортогональное дополнение 38, 173

ортогональные векторы 37

— проекторы 256

ортонормированное множество 40

ортонормированный базис 42

остаточный спектр 104

открытое подмножество 19

открытый шар 17

относительно компактное подмножество 154

— секвенциально компактное подмножество 155

Парсеваля формула 42, 69, 306

Пеано теорема 231

перестановочность неограниченных операторов 271

периодический цуг волн 395, 405, 409

Пикара теорема 134–135, 151

пирамидальная функция 354

Планшереля формула 69, 306, 308, 309

плотное множество 33

пограничный слой 354

полная энергия 344, 349

полное множество 28

— — в гильбертовом пространстве 40

положительный оператор 210

— нелинейный оператор 236

— — самосопряжённых операторов 252

полугрупповое свойство 94, 275

полунепрерывная функция 255

порядковая граница 238

порядково-ограниченная последовательность 238

— — самосопряжённых операторов 252

порядковый интервал 235

почти всюду (п.в.) 56

— сжимающее отображение 246

правило трапеций 221

предгильбертово пространство 36

предел последовательности векторов 18

предельная точка, предельный круг 299

принцип линеаризации 390

— равномерной ограниченности 91

— сжимающих отображений 130

— сохранения энергии 275

— строгого диагонального преобладания 100

пробная функция 348

пробное подпространство 348

продолжение нулём 323

— оператора см. расширение оператора

— по непрерывности 83

проектор, проекция 256

производная векторнозначной функции 93

прообраз 75

простая функция 58

простое собственное значение 392

пространство последовательностей 13

— пробных функций см. пробное подпространство

— с мерой 52

— со скалярным произведением см. предгильбертово пространство

прямая сумма 14

прямое произведение 15

Пуанкаре–Боля теорема 384

— неравенство 332, 343

Пуассона–Больцмана уравнение 151

— уравнение 313, 328

равномерная норма см. sup-норма

— сильная эллиптичность 318

— сходимость 91, 94

равномерно выпуклое банахово пространство 45

— непрерывная функция 22

— непрерывный функционал 157

равностепенно непрерывное множество 160

радиационный перенос 380

разделённые условия 297, 301

разложение единицы см. спектральное семейство

распадающаяся система граничных условий 301

расширение оператора 76

расширенная вещественная прямая 52, 56

регулярная концевая точка 288

регулярность внутри области 338

— вплоть до границы 338

регулярный конус 239

— формальный дифференциальный оператор 288

резольвента 103, 267

резольвентное множество 103

— ядро 119

Реллиха теорема вложения 325

рефлексивность 172

Римана интеграл 48–49, 62, 63

— Стилтьеса интеграл 258

Рисса теорема о представлении 177

— Фишера теорема 67

Ритца метод 346

— приближение 348, 351–353

— теорема 348–349

Роте теорема о неподвижной точке 246

самосопряжённое линейное подпространство 283

— расширение 296

самосопряжённый оператор 182, 192

Сарда лемма 368

свёртка 70

свойство наилучшего приближения 41

сглаживатель 70

секвенциально компактное подмножество 154

сепарабельное банахово пространство 34

сжимающий оператор 130

сильная сходимость 95

сильно эллиптический дифференциальный оператор 317, 338

сильный предел 95

симметрический линейный оператор 279

симметрическое подпространство 283

симметричное ядро 182

сингулярная концевая точка 288

сингулярный формальный дифференциальный оператор 288

скалярное произведение 35

слабая производная 319–320

— секвенциальная компактность 176

— — — относительная 176

— сходимость 174, 178

слабое решение 319

слабый предел 174

смешанные граничные условия 297, 298

Соболева теорема вложения 327

соболевское пространство (пространство Соболева) 321, 322

собственное значение 103, 336

— подпространство 103

— расширение 76

собственные векторы (собственные функции) 103, 386

солитон 396

сопряжённое к банахову пространству 167

— подпространство 283

сопряжённые индексы 20

сопряжённый оператор 165

— к ограниченному оператору в банаховом пространстве 179

— — — — — гильбертовом пространстве 181

— — неограниченному оператору в гильбертовом пространстве 189

спектр 103, 267

спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов 265

— — — неограниченных операторов 271

спектральное исчисление 267

— семейство 266

спектральный проектор 266

— радиус 106

сужение оператора 76

сумма ряда 28

существенная верхняя грань 61

степень 362, 364, 367, 372, 373

строго положительный самосопряжённый оператор 252

ступенчатая функция 48

сходящаяся последовательность векторов 18

сходящийся ряд 28

счётная аддитивность 52

сюръективный оператор 76

sup-норма 22

теорема о замкнутом графике 113

— — монотонной миноранте 402

— — — сходимости 62

— — неявной функции 141

— — проекции 39

— — спектральном отображении 106, 273

— об открытом отображении 89

теория возмущений для замкнутых операторов 115–116, 120

— — — нелинейных операторов 131

— — — ограниченных линейных операторов 99

Титце теорема о продолжении 373

тождественный оператор 80

тождество параллелограмма 45

Тонелли теорема 65

точечный спектр 103

точка бифуркации см. бифуркационное значение

триангуляция 353

узел 349

Урысона интегральное уравнение 124, 247

— оператор 127, 138

Фату лемма 63

Фёппля–Хенки уравнения 236, 237

формально самосопряжённый оператор 288, 317

формальный дифференциальный оператор обыкновенный 109, 288

— — — с частными производными 316–317, 338

— сопряжённый оператор 189, 288, 317, 338

формула трапеций 96

Фредгольма альтернатива 197

— — (обобщение) 203, 207

— — для обобщенной задачи Дирихле 332, 334, 336

— интегральное уравнение 79

— — — однородное и неоднородное второго рода 197

— — — первого рода 210–211

Фреше производная 137, 329

Фубини теорема 65

фундаментальная последовательность см. Коши последовательность

функционал 75

функция-колпак 351

Фурье–Бесселя ряд 300, 311

— Дини ряд 300

— коэффициенты 40

— преобразование 69, 306

— ряд 40

— — по синусам 305

Хана–Банаха теорема 169

Ханкеля преобразование 309

характеристическая функция 48

характеристическое значение 125, 386

Чандрасекхара H-уравнение 380

частичное упорядочение в банаховом пространстве 233–234

численное интегрирование 95, 96, 221

— решение интегральных уравнений 102, 215–222, 224

— — эллиптических уравнений 345–359

Шаудера теорема о неподвижной точке 226, 229, 231, 232

шаудеров проекционный оператор 230

Шварца неравенство 36

Шрёдингера уравнение 275

эволюционное уравнение 273–275

эквивалентные нормы 33

эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными 207, 313–344

энергетическая норма 347

эрмитова матрица 182

— форма 195

эрмитово ядро 182

Юнга неравенство 67

ядро интегрального уравнения 92

— оператора см. нуль-пространство

Якоби матрица, якобиан 366–367