Харди, Литлвуд, Пойа. "Неравенства"

4885 Кб

От переводчика
Из предисловия авторов к английскому изданию
Глава I. ВВЕДЕНИЕ
1.1.	Неравенства для конечных сумм, рядов и интегральные неравенства	13
1.2.	Обозначения	14
1.3.	Положительные неравенства	15
1.4.	Однородные неравенства	15
1.5.	Аксиоматическая основа алгебраических неравенств	17
1.6.	Сравнимые функции	18
1.7.	Выбор доказательств	19
1.8.	Выбор предмета	21
Глава II. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
2.1.	Обыкновенные средние	24
2.2.	Взвешенные средние	25
2.3.	Предельные случаи средних M_r(a)	26
2.4.	Неравенство Коши	28
2.5.	Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом	29
2.6.	Другие доказательства теоремы о средних	31
2.7.	Неравенство Гёльдера и его обобщения	35
2.8.	Неравенство Гёльдера и его обобщения (продолжение)	38
2.9.	Общие свойства средних M_r(a)	41
2.10.	Суммы S_r(a)	42
2.11.	Неравенство Минковского	44
2.12.	Аналог неравенства Минковского	47
2.13.	Иллюстрации и приложения основных неравенств	48
2.14.	Доказательства основных неравенств методом индукции	53
2.15.	Элементарные неравенства, связанные с теоремой 37	55
2.16.	Элементарное доказательство теоремы 3	58
2.17.	Неравенство Чебышёва	59
2.18.	Теорема Мюрхеда	61
2.19.	Доказательство теоремы Мюрхеда	62
2.20.	Другая теорема о сравнимости симметрических средних	65
2.21.	Дальнейшие теоремы о симметрических средних	66
2.22.	Элементарные симметрические функции от n положительных чисел	68
2.23.	Замечание о положительных формах	72
2.24.	Теорема о строго положительных формах	75
Разные теоремы и примеры		79
Глава III. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ТЕОРИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
3.1.	Определения	85
3.2.	Эквивалентные средние	86
3.3.	Одно характеристическое свойство средних M_r	88
3.4.	Сравнимость	90
3.5.	Выпуклые функции	91
3.6.	Непрерывные выпуклые функции	92
3.7.	Другое определение	93
3.8.	Случаи равенства в основных неравенствах	95
3.9.	Новая формулировка и обобщение теоремы 85	96
3.10.	Дважды дифференцируемые выпуклые функции	97
3.11.	Приложения свойств дважды дифференцируемых выпуклых функций	98
3.12.	Выпуклые функции от нескольких переменных	100
3.13.	Обобщения неравенства Гёльдера	103
3.14.	Некоторые теоремы о монотонных функциях	105
3.15.	Суммы с произвольной функцией, обобщения неравенства Иенсена	106
3.16.	Обобщения неравенства Минковского	107
3.17.	Сравнение последовательностей	111
3.18.	Дальнейшие общие свойства выпуклых функций	114
3.19.	Дальнейшие свойства непрерывных выпуклых функций	117
3.20.	Разрывные выпуклые функции	119
Разные теоремы и примеры		120
Глава IV. РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
4.1.	Введение	126
4.2.	Приложения формулы конечных приращений	126
4.3.	Дальнейшие приложения элементарных теорем дифференциального исчисления	128
4.4.	Максимумы и минимумы функций от одного переменного	131
4.5.	Приложения ряда Тейлора	132
4.6.	Приложения теории максимумов и минимумов функций от нескольких переменных	132
4.7.	Сравнение рядов и интегралов	135
4.8.	Неравенство Юнга	136
Глава V. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
5.1.	Введение	140
5.2.	Средние M_r	142
5.3.	Обобщения теорем 3 и 9	145
5.4.	Неравенство Гёльдера и его обобщения	146
5.5.	Средние M_r (продолжение)	148
5.6.	Суммы S_r	149
5.7.	Неравенство Минковского	150
5.8.	Неравенство Чебышёва	150
5.9.	Сводка результатов	151
Разные теоремы и примеры		151
Глава VI. ИНТЕГРАЛЫ
6.1.	Предварительные замечания об интегралах Лебега	154
6.2.	Замечания о нулевых множествах и нулевых функциях	156
6.3.	Дальнейшие замечания, относящиеся к интегрированию	157
6.4.	Замечания о методах доказательств	159
6.5.	Дальнейшие замечания о методе; неравенство Шварца	161
6.6.	Определение средних M_r( f ), когда r ≠ 0	163
6.7.	Среднее геометрическое функции	165
6.8.	Дальнейшие свойства среднего геометрического	168
6.9.	Неравенство Гёльдера для интегралов	169
6.10.	Общие свойства средних M_r( f )	173
6.11.	Общие свойства средних M_r( f ) (продолжение)	174
6.12.	Выпуклость r log M_r	176
6.13.	Неравенство Минковского для интегралов	176
6.14.	Средние значения, зависящие от произвольной функции	182
6.15.	Определение интеграла Стилтьеса	184
6.16.	Частные случаи интеграла Стилтьеса	186
6.17.	Обобщения приведенных выше теорем	187
6.18.	Средние M_r( f ,φ)	188
6.19.	Функции распределения	189
6.20.	Характеристические свойства средних значений	190
6.21.	Замечания о характеристических свойствах	192
6.22.	Окончание доказательства теоремы 215	194
Разные теоремы и примеры		196
Глава VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
7.1.	Общие замечания	207
7.2.	Предмет настоящей главы	209
7.3.	Пример неравенства с недостижимым экстремумом	210
7.4.	Первое доказательство теоремы 254	212
7.5.	Второе доказательство теоремы 254	214
7.6.	Дальнейшие примеры применения методов вариационного исчисления	219
7.7.	Дальнейшие примеры: неравенство Виртингера	221
7.8.	Пример неравенства, содержащего вторые производные	225
7.9.	Более простая задача	232
Разные теоремы и примеры		232
Глава VIII. ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ
8.1.	Введение	237
8.2.	Одно неравенство для полилинейных форм с положительными коэффициентами и переменными.	237
8.3.	Одна теорема Юнга	239
8.4.	Обобщения и аналоги.	242
8.5.	Приложения к рядам Фурье	244
8.6.	Теорема выпуклости для положительных полилинейных форм	246
8.7.	Общие билинейные формы	247
8.8.	Определение ограниченной билинейной формы	249
8.9.	Некоторые свойства форм, ограниченных в [p, q]	252
8.10.	Свертка двух форм в [p, p']	253
8.11.	Некоторые специальные теоремы о формах в [2,2]	255
8.12.	Приложение к формам Гильберта	256
8.13.	Теорема выпуклости для билинейных форм с комплексными коэффициентами и переменными	258
8.14.	Дальнейшие свойства максимальной последовательности [x, y]	261
8.15.	Доказательство теоремы 295	261
8.16.	Приложения теоремы М. Рисса	264
8.17.	Приложения к рядам Фурье	266
Разные теоремы и примеры		267
Глава IX. НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ
9.1.	Теорема Гильберта о двойных рядах.	272
9.2.	Об одном общем классе билинейных форм.	273
9.3.	Интегральный аналог теоремы 318	276
9.4.	Обобщения теорем 318 и 319	278
9.5.	Наилучшие константы: доказательство теоремы 317	279
9.6.	Дальнейшие замечания к теоремам Гильберта	282
9.7.	Приложения теоремы Гильберта	285
9.8.	Неравенство Харди	288
9.9.	Дальнейшие интегральные неравенства	293
9.10.	Дальнейшие теоремы о рядах	296
9.11.	Вывод теорем о рядах из теорем об интегралах	298
9.12.	Неравенство Карлемана	299
9.13.	Теоремы с 0 < p < 1	301
9.14.	Теорема с двумя параметрами p и q	304
Разные теоремы и примеры		306
Глава X. ПЕРЕСТАНОВКИ
10.1.	Перестановки конечных систем переменных	313
10.2.	Теорема о перестановках двух систем	314
10.3.	Второе доказательство теоремы 368	316
10.4.	Другая формулировка теоремы 368	317
10.5.	Теоремы о перестановках трех систем	318
10.6.	Сведение теоремы 373 к частному случаю	319
10.7.	Окончание доказательства	322
10.8.	Другое доказательство теоремы 371	324
10.9.	Перестановки любого числа систем	328
10.10.	Еще одна теорема о перестановках любого числа систем	330
10.11.	Приложения	332
10.12.	Перестановка функции	332
10.13.	О перестановках двух функций	334
10.14.	О перестановках трех функций	335
10.15.	Окончание доказательства теоремы 379	338
10.16.	Другое доказательство	342
10.17.	Приложения	345
10.18.	Другая теорема о перестановке функции в убывающем порядке	349
10.19.	Доказательство теоремы 384	351
Разные теоремы и примеры		355
ДОПОЛНЕНИЯ
I.	Неравенства для выпуклых функций	361
II.	Неравенство Карлсона	367
III.	Неравенство Карлсона (продолжение)	377
IV.	Обобщения теоремы 256	382
V.	Аналоги неравенства Виртингера	384
VI.	Неравенства между верхними гранями производных	388
VII.	Неравенства для производных	393
VIII.	Неравенство Ингама о билинейных формах	397
IX.	Обобщения неравенства Харди	398
X.	Обобщения неравенства Карлемана	402
XI.	Уточнение неравенства Эллиота	409
XII.	Точные константы в неравенствах Харди и Литлвуда	413
XIII.	Аналоги неравенств Харди и Литлвуда	421
XIV.	Константы в двупараметрических неравенствах Гильберта	424
XV.	Интегральный аналог	431
XVI.	Разные теоремы	432
Библиография		442

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

До выхода в свет в 1934 г. английского оригинала предлагаемой русскому читателю книги Г. Харди, Дж. Литлвуда и Г. Полиа в мировой математической литературе не существовало монографии, посвящённой неравенствам как таковым. Появление этой книги способствовало повышению интереса к неравенствам среди математиков и вызвало ряд новых работ в этой области. Несмотря на то, что многие из рассмотренных в этой книге неравенств приводятся в качестве вспомогательного аппарата в уже существующих на русском языке книгах по различным вопросам, и несмотря на то, что выбор материала в предлагаемой книге по необходимости ограничен и далеко не содержит всех типов неравенств, применяемых в анализе, книга эта оказалась весьма полезной не только тем читателям, которые заинтересованы в неравенствах как в специальном предмете математического исследования, но и тем, для которых неравенства являются лишь необходимым орудием при исследовании других вопросов.

Содержание настоящей книги достаточно полно освещено в предисловии авторов и во введении.

Книга снабжена дополнениями, которые содержат новые результаты, появившиеся с 1934 г. Эти дополнения никоим образом не претендуют на полноту; они содержат лишь отчёты о тех новых исследованиях в области неравенств, которые по своему характеру близки к содержанию книги.

Дополнения I, V, VI, VII, XI, XII, XIII написаны С. Б. Стечкиным, дополнения II, III, VIII, X, XIV, XV — переводчиком. Остальные дополнения написаны совместно. Часть результатов, содержащихся в дополнениях, публикуется здесь впервые.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящая книга была задумана и начата в 1929 г. По первоначальному плану она должна была выйти в серии Cambridge Tracts, но вскоре стало ясно, что размеры последних далеко не достаточны для наших целей.

Задачи, которые мы поставили себе при составлении настоящей книги, достаточно разъяснены в вводной главе. Здесь мы добавим лишь несколько слов к истории и библиографии нашего предмета. Исторические и библиографические вопросы особенно трудны в такого рода предмете, который имеет применение в каждой области математики, но никогда ещё систематически не разрабатывался.

В самом деле, иногда бывает действительно трудно проследить историю возникновения даже какого-нибудь общеизвестного неравенства. Весьма возможно, что оно появилось сначала как вспомогательное предложение в каком-либо труде по геометрии или астрономии, часто даже не сформулированное в явном виде. Много лет спустя оно могло быть вновь найдено несколькими авторами, и всё же все опубликованные формулировки его могут быть неполными. Мы почти всегда находили, что даже к самым известным неравенствам можно прибавить нечто новое.

Мы не предпринимали систематического исследования библиографических вопросов, но привели все ссылки на литературу, которые были нам доступны. Неравенства, обычно связываемые с именем тех или иных математиков, мы также называем по имени этих математиков; так, мы говорим о неравенствах Шварца, Гёльдера и Иенсена, хотя все эти неравенства, как можно проследить в литературе, были известны до них. Отметим ещё, что мы не оговариваем всех небольших дополнений, которые необходимы для исчерпывающей полноты.

Библиография содержит все книги и работы, ссылки на которые были сделаны в тексте, но не выходит за эти пределы ¹.

Кембридж и Цюрих
Июль 1934 г.

Г. Г. ХАРДИ
ДЖ. И. ЛИТЛВУД
Г. ПОЛИА

¹	В библиографию русского перевода внесены также все работы, цитированные в дополнениях. (Прим. ред.)