4885 Кб  
 

От переводчика
Из предисловия авторов к английскому изданию
 
Глава I.
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Неравенства для конечных сумм, рядов и интегральные неравенства13
1.2. Обозначения14
1.3. Положительные неравенства15
1.4. Однородные неравенства15
1.5. Аксиоматическая основа алгебраических неравенств17
1.6. Сравнимые функции18
1.7. Выбор доказательств19
1.8. Выбор предмета21
 
Глава II.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
2.1. Обыкновенные средние24
2.2. Взвешенные средние25
2.3. Предельные случаи средних Mr(a)26
2.4. Неравенство Коши28
2.5. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом29
2.6. Другие доказательства теоремы о средних31
2.7. Неравенство Гёльдера и его обобщения35
2.8. Неравенство Гёльдера и его обобщения (продолжение)38
2.9. Общие свойства средних Mr(a)41
2.10. Суммы Sr(a)42
2.11. Неравенство Минковского44
2.12. Аналог неравенства Минковского47
2.13. Иллюстрации и приложения основных неравенств48
2.14. Доказательства основных неравенств методом индукции53
2.15. Элементарные неравенства, связанные с теоремой 3755
2.16. Элементарное доказательство теоремы 358
2.17. Неравенство Чебышёва59
2.18. Теорема Мюрхеда61
2.19. Доказательство теоремы Мюрхеда62
2.20. Другая теорема о сравнимости симметрических средних65
2.21. Дальнейшие теоремы о симметрических средних66
2.22. Элементарные симметрические функции от n положительных чисел68
2.23. Замечание о положительных формах72
2.24. Теорема о строго положительных формах75
Разные теоремы и примеры79
 
Глава III.
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ТЕОРИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
3.1. Определения85
3.2. Эквивалентные средние86
3.3. Одно характеристическое свойство средних Mr88
3.4. Сравнимость90
3.5. Выпуклые функции91
3.6. Непрерывные выпуклые функции92
3.7. Другое определение93
3.8. Случаи равенства в основных неравенствах95
3.9. Новая формулировка и обобщение теоремы 8596
3.10. Дважды дифференцируемые выпуклые функции97
3.11. Приложения свойств дважды дифференцируемых выпуклых функций98
3.12. Выпуклые функции от нескольких переменных100
3.13. Обобщения неравенства Гёльдера103
3.14. Некоторые теоремы о монотонных функциях105
3.15. Суммы с произвольной функцией, обобщения неравенства Иенсена106
3.16. Обобщения неравенства Минковского107
3.17. Сравнение последовательностей111
3.18. Дальнейшие общие свойства выпуклых функций114
3.19. Дальнейшие свойства непрерывных выпуклых функций117
3.20. Разрывные выпуклые функции119
Разные теоремы и примеры120
 
Глава IV.
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
4.1. Введение126
4.2. Приложения формулы конечных приращений126
4.3. Дальнейшие приложения элементарных теорем дифференциального исчисления128
4.4. Максимумы и минимумы функций от одного переменного131
4.5. Приложения ряда Тейлора132
4.6. Приложения теории максимумов и минимумов функций от нескольких переменных132
4.7. Сравнение рядов и интегралов135
4.8. Неравенство Юнга136
 
Глава V.
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
5.1. Введение140
5.2. Средние Mr142
5.3. Обобщения теорем 3 и 9145
5.4. Неравенство Гёльдера и его обобщения146
5.5. Средние Mr (продолжение)148
5.6. Суммы Sr149
5.7. Неравенство Минковского150
5.8. Неравенство Чебышёва150
5.9. Сводка результатов151
Разные теоремы и примеры151
 
Глава VI.
ИНТЕГРАЛЫ
6.1. Предварительные замечания об интегралах Лебега154
6.2. Замечания о нулевых множествах и нулевых функциях156
6.3. Дальнейшие замечания, относящиеся к интегрированию157
6.4. Замечания о методах доказательств159
6.5. Дальнейшие замечания о методе; неравенство Шварца161
6.6. Определение средних Mrf ), когда r ≠ 0163
6.7. Среднее геометрическое функции165
6.8. Дальнейшие свойства среднего геометрического168
6.9. Неравенство Гёльдера для интегралов169
6.10. Общие свойства средних Mrf )173
6.11. Общие свойства средних Mrf ) (продолжение)174
6.12. Выпуклость r log Mr176
6.13. Неравенство Минковского для интегралов176
6.14. Средние значения, зависящие от произвольной функции182
6.15. Определение интеграла Стилтьеса184
6.16. Частные случаи интеграла Стилтьеса186
6.17. Обобщения приведенных выше теорем187
6.18. Средние Mrf ,φ)188
6.19. Функции распределения189
6.20. Характеристические свойства средних значений190
6.21. Замечания о характеристических свойствах192
6.22. Окончание доказательства теоремы 215194
Разные теоремы и примеры196
 
Глава VII.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
7.1. Общие замечания207
7.2. Предмет настоящей главы209
7.3. Пример неравенства с недостижимым экстремумом210
7.4. Первое доказательство теоремы 254212
7.5. Второе доказательство теоремы 254214
7.6. Дальнейшие примеры применения методов вариационного исчисления219
7.7. Дальнейшие примеры: неравенство Виртингера221
7.8. Пример неравенства, содержащего вторые производные225
7.9. Более простая задача232
Разные теоремы и примеры232
 
Глава VIII.
ТЕОРЕМЫ О БИЛИНЕЙНЫХ И ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ
8.1. Введение237
8.2. Одно неравенство для полилинейных форм с положительными коэффициентами и переменными.237
8.3. Одна теорема Юнга239
8.4. Обобщения и аналоги.242
8.5. Приложения к рядам Фурье244
8.6. Теорема выпуклости для положительных полилинейных форм246
8.7. Общие билинейные формы247
8.8. Определение ограниченной билинейной формы249
8.9. Некоторые свойства форм, ограниченных в [p, q]252
8.10. Свертка двух форм в [p, p']253
8.11. Некоторые специальные теоремы о формах в [2,2]255
8.12. Приложение к формам Гильберта256
8.13. Теорема выпуклости для билинейных форм с комплексными коэффициентами и переменными258
8.14. Дальнейшие свойства максимальной последовательности [x, y]261
8.15. Доказательство теоремы 295261
8.16. Приложения теоремы М. Рисса264
8.17. Приложения к рядам Фурье266
Разные теоремы и примеры267
 
Глава IX.
НЕРАВЕНСТВО ГИЛЬБЕРТА, ЕГО АНАЛОГИ И ОБОБЩЕНИЯ
9.1. Теорема Гильберта о двойных рядах.272
9.2. Об одном общем классе билинейных форм.273
9.3. Интегральный аналог теоремы 318276
9.4. Обобщения теорем 318 и 319278
9.5. Наилучшие константы: доказательство теоремы 317279
9.6. Дальнейшие замечания к теоремам Гильберта282
9.7. Приложения теоремы Гильберта285
9.8. Неравенство Харди288
9.9. Дальнейшие интегральные неравенства293
9.10. Дальнейшие теоремы о рядах296
9.11. Вывод теорем о рядах из теорем об интегралах298
9.12. Неравенство Карлемана299
9.13. Теоремы с 0 < p < 1301
9.14. Теорема с двумя параметрами p и q304
Разные теоремы и примеры306
 
Глава X.
ПЕРЕСТАНОВКИ
10.1. Перестановки конечных систем переменных313
10.2. Теорема о перестановках двух систем314
10.3. Второе доказательство теоремы 368316
10.4. Другая формулировка теоремы 368317
10.5. Теоремы о перестановках трех систем318
10.6. Сведение теоремы 373 к частному случаю319
10.7. Окончание доказательства322
10.8. Другое доказательство теоремы 371324
10.9. Перестановки любого числа систем328
10.10. Еще одна теорема о перестановках любого числа систем330
10.11. Приложения332
10.12. Перестановка функции332
10.13. О перестановках двух функций334
10.14. О перестановках трех функций335
10.15. Окончание доказательства теоремы 379338
10.16. Другое доказательство342
10.17. Приложения345
10.18. Другая теорема о перестановке функции в убывающем порядке349
10.19. Доказательство теоремы 384351
Разные теоремы и примеры355
 
ДОПОЛНЕНИЯ
I. Неравенства для выпуклых функций361
II. Неравенство Карлсона367
III. Неравенство Карлсона (продолжение)377
IV. Обобщения теоремы 256382
V. Аналоги неравенства Виртингера384
VI. Неравенства между верхними гранями производных388
VII. Неравенства для производных393
VIII. Неравенство Ингама о билинейных формах397
IX. Обобщения неравенства Харди398
X. Обобщения неравенства Карлемана402
XI. Уточнение неравенства Эллиота409
XII. Точные константы в неравенствах Харди и Литлвуда413
XIII. Аналоги неравенств Харди и Литлвуда421
XIV. Константы в двупараметрических неравенствах Гильберта424
XV. Интегральный аналог431
XVI. Разные теоремы432
Библиография 442

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

До выхода в свет в 1934 г. английского оригинала предлагаемой русскому читателю книги Г. Харди, Дж. Литлвуда и Г. Полиа в мировой математической литературе не существовало монографии, посвящённой неравенствам как таковым. Появление этой книги способствовало повышению интереса к неравенствам среди математиков и вызвало ряд новых работ в этой области. Несмотря на то, что многие из рассмотренных в этой книге неравенств приводятся в качестве вспомогательного аппарата в уже существующих на русском языке книгах по различным вопросам, и несмотря на то, что выбор материала в предлагаемой книге по необходимости ограничен и далеко не содержит всех типов неравенств, применяемых в анализе, книга эта оказалась весьма полезной не только тем читателям, которые заинтересованы в неравенствах как в специальном предмете математического исследования, но и тем, для которых неравенства являются лишь необходимым орудием при исследовании других вопросов.

Содержание настоящей книги достаточно полно освещено в предисловии авторов и во введении.

Книга снабжена дополнениями, которые содержат новые результаты, появившиеся с 1934 г. Эти дополнения никоим образом не претендуют на полноту; они содержат лишь отчёты о тех новых исследованиях в области неравенств, которые по своему характеру близки к содержанию книги.

Дополнения I, V, VI, VII, XI, XII, XIII написаны С. Б. Стечкиным, дополнения II, III, VIII, X, XIV, XV — переводчиком. Остальные дополнения написаны совместно. Часть результатов, содержащихся в дополнениях, публикуется здесь впервые.


ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящая книга была задумана и начата в 1929 г. По первоначальному плану она должна была выйти в серии Cambridge Tracts, но вскоре стало ясно, что размеры последних далеко не достаточны для наших целей.

Задачи, которые мы поставили себе при составлении настоящей книги, достаточно разъяснены в вводной главе. Здесь мы добавим лишь несколько слов к истории и библиографии нашего предмета. Исторические и библиографические вопросы особенно трудны в такого рода предмете, который имеет применение в каждой области математики, но никогда ещё систематически не разрабатывался.

В самом деле, иногда бывает действительно трудно проследить историю возникновения даже какого-нибудь общеизвестного неравенства. Весьма возможно, что оно появилось сначала как вспомогательное предложение в каком-либо труде по геометрии или астрономии, часто даже не сформулированное в явном виде. Много лет спустя оно могло быть вновь найдено несколькими авторами, и всё же все опубликованные формулировки его могут быть неполными. Мы почти всегда находили, что даже к самым известным неравенствам можно прибавить нечто новое.

Мы не предпринимали систематического исследования библиографических вопросов, но привели все ссылки на литературу, которые были нам доступны. Неравенства, обычно связываемые с именем тех или иных математиков, мы также называем по имени этих математиков; так, мы говорим о неравенствах Шварца, Гёльдера и Иенсена, хотя все эти неравенства, как можно проследить в литературе, были известны до них. Отметим ещё, что мы не оговариваем всех небольших дополнений, которые необходимы для исчерпывающей полноты.

Библиография содержит все книги и работы, ссылки на которые были сделаны в тексте, но не выходит за эти пределы 1.

Кембридж и Цюрих
Июль 1934 г.
Г. Г. ХАРДИ
ДЖ. И. ЛИТЛВУД
Г. ПОЛИА


1

В библиографию русского перевода внесены также все работы, цитированные в дополнениях. (Прим. ред.)


Hosted by uCoz