Graduate Texts in Mathematics 84

Kenneth Ireland
Michael Rosen

 A Classical Introduction to 
Modern Number Theory
    К.Айерлэнд
М.Роузен



Классическое
введение
в современную
теорию чисел



Перевод с английского
С. П. Демушкина

под редакцией
А. Н. Паршина
  Springer-Verlag
New York   Heidelberg   Berlin
   


Москва «Мир» 1987
 





 
1823 Кб
 

Книгу набирал я сам, за правильностью набора старался следить, однако кое-какие ляпы остались от распознавания или привнесены мной самим. Далее идёт список исправлений:

1. Поправлен индексный указатель. Ранее часть ссылок указывала на страницы печатного экземпляра (416 с.), а не электронного (428 с.).

2. В списке добавленной при переводе литературы поправлена позиция 16.

3. На стр.56 (предложение 4.1.1, первая строка после выключной формулы) знак равенства исправлен на минус.

Если что ещё обнаружите, пишите – поправлю.

В качестве не то что бы оправдания, а "по случаю", укажу на пару неточностей печатного издания, которые пока помню (всякие мелочи с индексами уже забыл): в книжке формулы из упражнения 15a (глава 13) и упражнений 21, 22 (глава 15) слегка ошибочны, в файле они пофиксены.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода5
Предисловие6
 
Глава 1. Однозначное разложение на множители
9
  § 1. Однозначное разложение на множители в Z9
§ 2. Однозначное разложение на множители в k[x]14
§ 3. Однозначное разложение на множители в областях главных идеалов17
§ 4. Кольца Z[i] и Z[ω]22
Замечания23
Упражнения24
 
Глава 2. Применения однозначного разложения на множители
28
§ 1. В Z бесконечно много простых чисел28
§ 2. Некоторые арифметические функции29
§ 3. Ряд Σ 1/p расходится33
§ 4. Рост функции π(x)34
Замечания38
Упражнения39
 
Глава 3. Сравнения
43
§ 1. Элементарные наблюдения43
§ 2. Сравнения в Z44
§ 3. Сравнение axb(mod m)46
§ 4. Китайская теорема об остатках49
Замечания52
Упражнения53
 
Глава 4. Структура группы U(Z/nZ)
55
§ 1. Примитивные корни и структура группы U(Z/nZ)55
§ 2. n-степенные вычеты62
Замечания64
Упражнения66
 
Глава 5. Квадратичный закон взаимности
68
§ 1. Квадратичные вычеты68
§ 2. Квадратичный закон взаимности73
§ 3. Доказательство квадратичного закона взаимности79
Замечания83
Упражнения85
 
Глава 6. Квадратичные суммы Гаусса
89
§ 1. Алгебраические числа и целые алгебраические числа89
§ 2. Квадратичный характер числа 293
§ 3. Квадратичные суммы Гаусса94
§ 4. Знак квадратичной суммы Гаусса97
Замечания100
Упражнения101
 
Глава 7. Конечные поля
104
§ 1. Основные свойства конечных полей104
§ 2. Существование конечных полей108
§ 3. Приложение к квадратичным вычетам110
Замечания111
Упражнения111
 
Глава 8. Суммы Гаусса и Якоби
114
§ 1. Мультипликативные характеры114
§ 2. Суммы Гаусса117
§ 3. Суммы Якоби119
§ 4. Уравнение xn + yn = 1 в Fp125
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах Якоби126
§ 6. Применения129
§ 7. Общая теорема130
Замечания132
Упражнения134
 
Глава 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
138
§ 1. Кольцо Z[ω]139
§ 2. Кольца классов вычетов141
§ 3. Характер кубического вычета142
§ 4. Доказательство кубического закона взаимности146
§ 5. Другое доказательство кубического закона взаимности148
§ 6. Характер кубического вычета числа 2150
§ 7. Биквадратичный закон взаимности: предварительные сведения151
§ 8. Символ вычета степени 4153
§ 9. Биквадратичный закон взаимности155
§ 10. Рациональный биквадратичный закон взаимности160
§ 11. Построение правильных многоугольников163
§ 12. Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера164
Замечания166
Упражнения168
 
Глава 10. Уравнения над конечными полями
172
§ 1. Аффинное пространство, проективное пространство и многочлены172
§ 2. Теорема Шевалле178
§ 3. Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями181
Замечания184
Упражнения185
 
Глава 11. Дзета-функция
188
§ 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности188
§ 2. След и норма в конечных полях196
§ 3. Рациональность дзета-функции гиперповерхности a0x0m + a1x1m + ... + anxnm = 0199
§ 4. Доказательство соотношения Хассе—Дэвенпорта202
§ 5. Последняя запись204
Замечания207
Упражнения208
 
Глава 12. Теория алгебраических чисел
212
§ 1. Алгебраические подготовительные результаты212
§ 2. Однозначность разложения на множители в полях алгебраических чисел215
§ 3. Ветвление и степень222
Замечания226
Упражнения228
 
Глава 13. Квадратичные и круговые поля
232
§ 1. Квадратичные числовые поля232
§ 2. Круговые поля238
§ 3. Снова квадратичный закон взаимности246
Замечания247
Упражнения248
 
Глава 14. Соотношение Штикельбергера и закон взаимности Эйзенштейна
251
§ 1. Норма идеала251
§ 2. Символ степенного вычета252
§ 3. Соотношение Штикельбергера256
§ 4. Доказательство соотношения Штикельбергера258
§ 5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна265
§ 6. Три приложения271
Замечания276
Упражнения277
 
Глава 15. Числа Бернулли
281
§ 1. Числа Бернулли; определения и приложения281
§ 2. Сравнения для чисел Бернулли288
§ 3. Теорема Хербранда297
Замечания302
Упражнения304
 
Глава 16. L-функции Дирихле
307
§ 1. Дзета-функция307
§ 2. Частный случай310
§ 3. Характеры Дирихле312
§ 4. L-функции Дирихле315
§ 5. Ключевой шаг318
§ 6. Значения L(s,χ) в отрицательных целых числах323
Замечания329
Упражнения330
 
Глава 17. Диофантовы уравнения
333
§ 1. Общие сведения и первые примеры333
§ 2. Метод спуска336
§ 3. Теорема Лежандра337
§ 4. Теорема Софи Жермен340
§ 5. Уравнение Пелля342
§ 6. Сумма двух квадратов344
§ 7. Сумма четырех квадратов347
§ 8. Уравнение Ферма: экспонента 3351
§ 9. Кубические кривые с бесконечным числом рациональных точек353
§ 10. Уравнение y2 = x3 + k355
§ 11. Первый случай гипотезы Ферма для регулярных показателей357
§ 12. Диофантовы уравнения и диофантово приближение360
Замечания362
Упражнения363
 
Глава 18. Эллиптические кривые
366
§ 1. Общие замечания366
§ 2. Локальная и глобальная дзета-функции эллиптической кривой371
§ 3.  y2 = x3 + D, локальный случай375
§ 4.  y2 = x3Dx, локальный случай377
§ 5. L-функции Гекке378
§ 6.  y2 = x3Dx, глобальный случай381
§ 7.  y2 = x3 + D, глобальный случай384
§ 8.  Заключительные замечания387
Замечания390
Упражнения391
Указания к отдельным упражнениям394
Литература404
Предметный указатель  419



ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Теория алгебраических чисел возникла во второй половине XIX в. из целого ряда не связанных друг с другом задач теории чисел. Первое место среди них занимали задачи о диофантовых уравнениях, таких, как уравнение Ферма или вопросы о представимости чисел квадратичными формами. Другой не менее важный круг идей, стимулировавший развитие алгебраической теории чисел — теория делимости и законы разложения простых чисел в кольцах целых алгебраических чисел. Впрочем, отделить друг от друга конкретные факты, идеи и конструкции, приведшие к созданию теории алгебраических чисел, вряд ли возможно. Классический период теории завершается созданием теории полей классов, описывающей абелевы расширения полей алгебраических чисел и законы разложения в них.

Существует много учебных изложений теории алгебраических чисел. Предлагаемая вниманию читателя книга отличается элементарностью и насыщенностью конкретными фактами и примерами. Ряд вопросов, например, кубический и биквадратичный законы взаимности излагаются в учебной литературе с такой степенью подробности, пожалуй, впервые. Помимо основ теории авторы включили в книгу ряд глав, излагающих более современные достижения, связанные с применением методов алгебраической геометрии к диофантовым уравнениям. Сюда относятся определение дзета-функций алгебраических многообразий, гипотеза Римана—Вейля для многообразий над конечными полями, связь группы рациональных точек на эллиптической кривой с ее дзета-функцией. Подробно разобранные частные случаи являются хорошим введением в общую теорию, с которой читатель может познакомиться по сочинениям более общего характера (см. библиографические указания в конце глав).

Последние годы принесли теории чисел заметное оживление: доказана гипотеза Морделла о рациональных точках на кривых рода больше 1, первый случай теоремы Ферма решен для бесконечного числа простых показателей, найдены первые примеры эллиптических кривых с конечной группой Шафаревича. Можно не сомневаться, что книга Айерлэнда и Роузена будет ценным подспорьем для начинающих математиков, желающих принять участие в дальнейшем развитии теории чисел.

А. Н. Паршин


ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга является пересмотренным и сильно расширенным вариантом нашей книги «Элементы теории чисел», опубликованной в 1972 г. Как и в первой книге, основная аудитория, к которой мы обращаемся, состоит из студентов-математиков старших курсов и аспирантов. Мы предполагаем некоторое знакомство с материалом стандартного курса по абстрактной алгебре. Большую часть гл. 1–11 можно читать даже без такой предварительной подготовки, используя небольшое количество дополнительного материала. Последующие главы предполагают некоторое знание теории Галуа, а для гл. 16 и 18 необходимо знакомство с теорией функций комплексной переменной.

Теория чисел — древний предмет, и содержание его обширно. Для всякой вводной книги следует в силу необходимости произвести очень строгий отбор возможных тем из их громадного многообразия. Мы сосредотачиваемся на темах, связанных с теорией алгебраических чисел и арифметической алгебраической геометрией. Тщательный отбор материала дает нам возможность изложить некоторые довольно сложные вопросы без больших технических приготовлений. Значительная часть этого материала является классической в том смысле, что она была открыта в XIX в. и ранее, но этот материал и современен, так как тесно связан с важными исследованиями, продолжающимися вплоть до настоящего времени.

В гл. 1–5 мы обсуждаем простые числа, однозначное разложение на простые множители, арифметические функции, сравнения и квадратичный закон взаимности. Предварительных знаний здесь требуется очень мало. Удивительно, однако, как малая толика теории групп и колец прирносят в излагаемый материал неожиданный порядок. Например, многие разрозненные результаты оказываются частями ответа на естественный вопрос: какова структура группы единиц в кольце Z/nZ.

Законы взаимности составляют основную тему последующих глав. Квадратичный закон взаимности, красивый сам по себе, является первым в серии, завершающейся законом взаимности Артина — одним из основных достижений теории алгебраических чисел. Выбранный нами путь изложения после биквадратичного закона взаимности проходит через формулировки и доказательства кубического и биквадратичного законов взаимности. В качестве подготовки к этим вопросам развивается техника теории алгебраических чисел: алгебраические числа и алгебраические целые числа, конечные поля, разложение простых чисел и т.д. Другим важным инструментом в этом исследовании (и в других тоже!) является теория сумм Гаусса и Якоби. Этот материал изложен в гл. 6–9. Далее в этой книге мы формулируем и доказываем более глубокое частичное обобщение этих результатов — закон взаимности Эйзенштейна.

Вторая главная тема — диофантовы уравнения, сначала над конечными полями, а затем над полем рациональных чисел. Обсуждение полиномиальных уравнений начинается в гл. 8 и 10 и достигает кульминации в гл. 11 при изложении части статьи «Число решений уравнений над конечными полями» А. Вейля. Опубликованная в 1948 г., эта статья оказала очень сильное влияние на современное развитие как алгебраической геометрии, так и теории чисел. В гл. 17 и 18 мы рассматриваем диофантовы уравнения над полем рациональных чисел. В гл. 17 излагаются многие стандартные темы, начиная с сумм квадратов и кончая последней теоремой Ферма. Однако, используя предыдущий материал, мы можем трактовать некоторые из этих вопросов с новой точки зрения. Глава 18 посвящена арифметике эллиптических кривых. Она отличается от остальных глав тем, что это в основном обзор, содержащий много определений и утверждений, но мало доказательств. Тем не менее, концентрируя внимание на некоторых важных частных случаях, мы надеемся приобщить читателей к красоте достигнутого в этой области, где проделана большая работа, но осталось много тайн.

Третья (и последняя) из главных тем — дзета-функции. В гл. 11 мы обсуждаем конгруэнц-дзета-функции, связанные с многообразиями над конечными полями. В гл. 16 рассматриваются дзета-функции Римана и L-функции Дирихле. В гл. 18 излагаются результаты о дзета-функциях алгебраических кривых над полем рациональных чисел и L-функциях Гекке. Дзета-функции сводят обширную арифметическую информацию к одной функции и дают возможность применить мощные методы анализа к теории чисел.

На протяжении всей книги мы уделяем большое внимание истории излагаемых вопросов. В замечаниях в конце каждой главы мы приводим краткие исторические справки и ссылки на литературу. Обширная библиография затрагивает многие области, как классические, так и современные. Мы хотим снабдить читателя обильным материалом для дальнейшего изучения.

В книге много упражнений, как стандартных, так и требующих больших усилий. Некоторые из упражнений дополняют основной текст доказательствами важных результатов. В последних главах ряд упражнений основан на результатах последнего времени. Мы надеемся, что работа над упражнениями будет одновременно как приятной, так и поучительной.

При написании этой книги нам существенно помогли заинтересованность и поддержка многих наших друзей и знакомых — математиков. Мы благодарим всех их. В частности, мы хотели бы выразить признательность Г. Полмэну, настоявшему на том, чтобы мы довели некоторые темы до логического завершения, Д. Госсу, позволившему включить часть его работы в гл. 16, а также О. Макгинессу за полезное содействие при подготовке гл. 18. Мы благодарим также Д. Кавано, Д. Филлипс и особенно К. Ферейру за терпеливую и квалифицированную перепечатку больших кусков рукописи. Наконец, второй из авторов хочет выразить свою признательность «Vaughn Foundation Fund» за финансовую поддержку в течение его годичного отпуска, проведенного в Беркли, Калифорния (1979/1980).

25 июля 1981 г. К. Айерлэнд
М. Роузен


Hosted by uCoz