1823 Кб   Книгу набирал я сам, за правильностью набора старался следить, однако кое-какие ляпы остались от распознавания или привнесены мной самим. Далее идёт список исправлений: 1. Поправлен индексный указатель. Ранее часть ссылок указывала на страницы печатного экземпляра (416 с.), а не электронного (428 с.). 2. В списке добавленной при переводе литературы поправлена позиция 16. 3. На стр.56 (предложение 4.1.1, первая строка после выключной формулы) знак равенства исправлен на минус. Если что ещё обнаружите, пишите – поправлю. В качестве не то что бы оправдания, а "по случаю", укажу на пару неточностей печатного издания, которые пока помню (всякие мелочи с индексами уже забыл): в книжке формулы из упражнения 15a (глава 13) и упражнений 21, 22 (глава 15) слегка ошибочны, в файле они пофиксены.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 6   Глава 1. Однозначное разложение на множители 9   § 1.  Однозначное разложение на множители в Z 9 § 2.  Однозначное разложение на множители в k[x] 14 § 3.  Однозначное разложение на множители в областях главных идеалов 17 § 4.  Кольца Z[i] и Z[ω] 22 Замечания 23 Упражнения 24   Глава 2. Применения однозначного разложения на множители 28 § 1.  В Z бесконечно много простых чисел 28 § 2.  Некоторые арифметические функции 29 § 3.  Ряд Σ 1/p расходится 33 § 4.  Рост функции π(x) 34 Замечания 38 Упражнения 39   Глава 3. Сравнения 43 § 1.  Элементарные наблюдения 43 § 2.  Сравнения в Z 44 § 3.  Сравнение ax ≡ b(mod m) 46 § 4.  Китайская теорема об остатках 49 Замечания 52 Упражнения 53   Глава 4. Структура группы U(Z/nZ) 55 § 1.  Примитивные корни и структура группы U(Z/nZ) 55 § 2.  n-степенные вычеты 62 Замечания 64 Упражнения 66   Глава 5. Квадратичный закон взаимности 68 § 1.  Квадратичные вычеты 68 § 2.  Квадратичный закон взаимности 73 § 3.  Доказательство квадратичного закона взаимности 79 Замечания 83 Упражнения 85   Глава 6. Квадратичные суммы Гаусса 89 § 1.  Алгебраические числа и целые алгебраические числа 89 § 2.  Квадратичный характер числа 2 93 § 3.  Квадратичные суммы Гаусса 94 § 4.  Знак квадратичной суммы Гаусса 97 Замечания 100 Упражнения 101   Глава 7. Конечные поля 104 § 1.  Основные свойства конечных полей 104 § 2.  Существование конечных полей 108 § 3.  Приложение к квадратичным вычетам 110 Замечания 111 Упражнения 111   Глава 8. Суммы Гаусса и Якоби 114 § 1.  Мультипликативные характеры 114 § 2.  Суммы Гаусса 117 § 3.  Суммы Якоби 119 § 4.  Уравнение xn + yn = 1 в Fp 125 § 5.  Дальнейшие результаты о суммах Якоби 126 § 6.  Применения 129 § 7.  Общая теорема 130 Замечания 132 Упражнения 134   Глава 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности 138 § 1.  Кольцо Z[ω] 139 § 2.  Кольца классов вычетов 141 § 3.  Характер кубического вычета 142 § 4.  Доказательство кубического закона взаимности 146 § 5.  Другое доказательство кубического закона взаимности 148 § 6.  Характер кубического вычета числа 2 150 § 7.  Биквадратичный закон взаимности: предварительные сведения 151 § 8.  Символ вычета степени 4 153 § 9.  Биквадратичный закон взаимности 155 § 10.  Рациональный биквадратичный закон взаимности 160 § 11.  Построение правильных многоугольников 163 § 12.  Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера 164 Замечания 166 Упражнения 168   Глава 10. Уравнения над конечными полями 172 § 1.  Аффинное пространство, проективное пространство и многочлены 172 § 2.  Теорема Шевалле 178 § 3.  Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями 181 Замечания 184 Упражнения 185   Глава 11. Дзета-функция 188 § 1.  Дзета-функция проективной гиперповерхности 188 § 2.  След и норма в конечных полях 196 § 3.  Рациональность дзета-функции гиперповерхности a0x0m + a1x1m + ... + anxnm = 0 199 § 4.  Доказательство соотношения Хассе—Дэвенпорта 202 § 5.  Последняя запись 204 Замечания 207 Упражнения 208   Глава 12. Теория алгебраических чисел 212 § 1.  Алгебраические подготовительные результаты 212 § 2.  Однозначность разложения на множители в полях алгебраических чисел 215 § 3.  Ветвление и степень 222 Замечания 226 Упражнения 228   Глава 13. Квадратичные и круговые поля 232 § 1.  Квадратичные числовые поля 232 § 2.  Круговые поля 238 § 3.  Снова квадратичный закон взаимности 246 Замечания 247 Упражнения 248   Глава 14. Соотношение Штикельбергера и закон взаимности Эйзенштейна 251 § 1.  Норма идеала 251 § 2.  Символ степенного вычета 252 § 3.  Соотношение Штикельбергера 256 § 4.  Доказательство соотношения Штикельбергера 258 § 5.  Доказательство закона взаимности Эйзенштейна 265 § 6.  Три приложения 271 Замечания 276 Упражнения 277   Глава 15. Числа Бернулли 281 § 1.  Числа Бернулли; определения и приложения 281 § 2.  Сравнения для чисел Бернулли 288 § 3.  Теорема Хербранда 297 Замечания 302 Упражнения 304   Глава 16. L-функции Дирихле 307 § 1.  Дзета-функция 307 § 2.  Частный случай 310 § 3.  Характеры Дирихле 312 § 4.  L-функции Дирихле 315 § 5.  Ключевой шаг 318 § 6.  Значения L(s,χ) в отрицательных целых числах 323 Замечания 329 Упражнения 330   Глава 17. Диофантовы уравнения 333 § 1.  Общие сведения и первые примеры 333 § 2.  Метод спуска 336 § 3.  Теорема Лежандра 337 § 4.  Теорема Софи Жермен 340 § 5.  Уравнение Пелля 342 § 6.  Сумма двух квадратов 344 § 7.  Сумма четырех квадратов 347 § 8.  Уравнение Ферма: экспонента 3 351 § 9.  Кубические кривые с бесконечным числом рациональных точек 353 § 10.  Уравнение y2 = x3 + k 355 § 11.  Первый случай гипотезы Ферма для регулярных показателей 357 § 12.  Диофантовы уравнения и диофантово приближение 360 Замечания 362 Упражнения 363   Глава 18. Эллиптические кривые 366 § 1.  Общие замечания 366 § 2.  Локальная и глобальная дзета-функции эллиптической кривой 371 § 3.   y2 = x3 + D, локальный случай 375 § 4.   y2 = x3 – Dx, локальный случай 377 § 5.  L-функции Гекке 378 § 6.   y2 = x3 – Dx, глобальный случай 381 § 7.   y2 = x3 + D, глобальный случай 384 § 8.  Заключительные замечания 387 Замечания 390 Упражнения 391 Указания к отдельным упражнениям 394 Литература 404 Предметный указатель   419

Теория алгебраических чисел возникла во второй половине XIX в. из целого ряда не связанных друг с другом задач теории чисел. Первое место среди них занимали задачи о диофантовых уравнениях, таких, как уравнение Ферма или вопросы о представимости чисел квадратичными формами. Другой не менее важный круг идей, стимулировавший развитие алгебраической теории чисел — теория делимости и законы разложения простых чисел в кольцах целых алгебраических чисел. Впрочем, отделить друг от друга конкретные факты, идеи и конструкции, приведшие к созданию теории алгебраических чисел, вряд ли возможно. Классический период теории завершается созданием теории полей классов, описывающей абелевы расширения полей алгебраических чисел и законы разложения в них.

Существует много учебных изложений теории алгебраических чисел. Предлагаемая вниманию читателя книга отличается элементарностью и насыщенностью конкретными фактами и примерами. Ряд вопросов, например, кубический и биквадратичный законы взаимности излагаются в учебной литературе с такой степенью подробности, пожалуй, впервые. Помимо основ теории авторы включили в книгу ряд глав, излагающих более современные достижения, связанные с применением методов алгебраической геометрии к диофантовым уравнениям. Сюда относятся определение дзета-функций алгебраических многообразий, гипотеза Римана—Вейля для многообразий над конечными полями, связь группы рациональных точек на эллиптической кривой с ее дзета-функцией. Подробно разобранные частные случаи являются хорошим введением в общую теорию, с которой читатель может познакомиться по сочинениям более общего характера (см. библиографические указания в конце глав).

Последние годы принесли теории чисел заметное оживление: доказана гипотеза Морделла о рациональных точках на кривых рода больше 1, первый случай теоремы Ферма решен для бесконечного числа простых показателей, найдены первые примеры эллиптических кривых с конечной группой Шафаревича. Можно не сомневаться, что книга Айерлэнда и Роузена будет ценным подспорьем для начинающих математиков, желающих принять участие в дальнейшем развитии теории чисел.

Эта книга является пересмотренным и сильно расширенным вариантом нашей книги «Элементы теории чисел», опубликованной в 1972 г. Как и в первой книге, основная аудитория, к которой мы обращаемся, состоит из студентов-математиков старших курсов и аспирантов. Мы предполагаем некоторое знакомство с материалом стандартного курса по абстрактной алгебре. Большую часть гл. 1–11 можно читать даже без такой предварительной подготовки, используя небольшое количество дополнительного материала. Последующие главы предполагают некоторое знание теории Галуа, а для гл. 16 и 18 необходимо знакомство с теорией функций комплексной переменной.

Теория чисел — древний предмет, и содержание его обширно. Для всякой вводной книги следует в силу необходимости произвести очень строгий отбор возможных тем из их громадного многообразия. Мы сосредотачиваемся на темах, связанных с теорией алгебраических чисел и арифметической алгебраической геометрией. Тщательный отбор материала дает нам возможность изложить некоторые довольно сложные вопросы без больших технических приготовлений. Значительная часть этого материала является классической в том смысле, что она была открыта в XIX в. и ранее, но этот материал и современен, так как тесно связан с важными исследованиями, продолжающимися вплоть до настоящего времени.

В гл. 1–5 мы обсуждаем простые числа, однозначное разложение на простые множители, арифметические функции, сравнения и квадратичный закон взаимности. Предварительных знаний здесь требуется очень мало. Удивительно, однако, как малая толика теории групп и колец прирносят в излагаемый материал неожиданный порядок. Например, многие разрозненные результаты оказываются частями ответа на естественный вопрос: какова структура группы единиц в кольце Z/nZ.

Законы взаимности составляют основную тему последующих глав. Квадратичный закон взаимности, красивый сам по себе, является первым в серии, завершающейся законом взаимности Артина — одним из основных достижений теории алгебраических чисел. Выбранный нами путь изложения после биквадратичного закона взаимности проходит через формулировки и доказательства кубического и биквадратичного законов взаимности. В качестве подготовки к этим вопросам развивается техника теории алгебраических чисел: алгебраические числа и алгебраические целые числа, конечные поля, разложение простых чисел и т.д. Другим важным инструментом в этом исследовании (и в других тоже!) является теория сумм Гаусса и Якоби. Этот материал изложен в гл. 6–9. Далее в этой книге мы формулируем и доказываем более глубокое частичное обобщение этих результатов — закон взаимности Эйзенштейна.

Вторая главная тема — диофантовы уравнения, сначала над конечными полями, а затем над полем рациональных чисел. Обсуждение полиномиальных уравнений начинается в гл. 8 и 10 и достигает кульминации в гл. 11 при изложении части статьи «Число решений уравнений над конечными полями» А. Вейля. Опубликованная в 1948 г., эта статья оказала очень сильное влияние на современное развитие как алгебраической геометрии, так и теории чисел. В гл. 17 и 18 мы рассматриваем диофантовы уравнения над полем рациональных чисел. В гл. 17 излагаются многие стандартные темы, начиная с сумм квадратов и кончая последней теоремой Ферма. Однако, используя предыдущий материал, мы можем трактовать некоторые из этих вопросов с новой точки зрения. Глава 18 посвящена арифметике эллиптических кривых. Она отличается от остальных глав тем, что это в основном обзор, содержащий много определений и утверждений, но мало доказательств. Тем не менее, концентрируя внимание на некоторых важных частных случаях, мы надеемся приобщить читателей к красоте достигнутого в этой области, где проделана большая работа, но осталось много тайн.

Третья (и последняя) из главных тем — дзета-функции. В гл. 11 мы обсуждаем конгруэнц-дзета-функции, связанные с многообразиями над конечными полями. В гл. 16 рассматриваются дзета-функции Римана и L-функции Дирихле. В гл. 18 излагаются результаты о дзета-функциях алгебраических кривых над полем рациональных чисел и L-функциях Гекке. Дзета-функции сводят обширную арифметическую информацию к одной функции и дают возможность применить мощные методы анализа к теории чисел.

На протяжении всей книги мы уделяем большое внимание истории излагаемых вопросов. В замечаниях в конце каждой главы мы приводим краткие исторические справки и ссылки на литературу. Обширная библиография затрагивает многие области, как классические, так и современные. Мы хотим снабдить читателя обильным материалом для дальнейшего изучения.

В книге много упражнений, как стандартных, так и требующих больших усилий. Некоторые из упражнений дополняют основной текст доказательствами важных результатов. В последних главах ряд упражнений основан на результатах последнего времени. Мы надеемся, что работа над упражнениями будет одновременно как приятной, так и поучительной.

При написании этой книги нам существенно помогли заинтересованность и поддержка многих наших друзей и знакомых — математиков. Мы благодарим всех их. В частности, мы хотели бы выразить признательность Г. Полмэну, настоявшему на том, чтобы мы довели некоторые темы до логического завершения, Д. Госсу, позволившему включить часть его работы в гл. 16, а также О. Макгинессу за полезное содействие при подготовке гл. 18. Мы благодарим также Д. Кавано, Д. Филлипс и особенно К. Ферейру за терпеливую и квалифицированную перепечатку больших кусков рукописи. Наконец, второй из авторов хочет выразить свою признательность «Vaughn Foundation Fund» за финансовую поддержку в течение его годичного отпуска, проведенного в Беркли, Калифорния (1979/1980).