948 Кб

Оглавление Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие автора 7   Г л а в а   1. ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ 1.  Формула Виета 13 2.  Другой взгляд на формулу Виета 14 3.  Случайность или начало чего-либо более глубокого? 17 4.  (½)n = ½·...·½ (n раз) 19 5.  Герб или решётка? 21 6.  Независимость и «независимость» 24   Задачи 26   Г л а в а   2. БОРЕЛЬ И ПОСЛЕ НЕГО 1.  «Законы больших чисел» 29 2.  Борель и «нормальные числа» 32   Задачи 36 3.  «Герб или решётка» — более абстрактное изложение 40 4.  В чём ценность абстракции? 43 5.  Пример 1. Сходимость ряда со случайными знаками 45 6.  Пример 2. Расходимость ряда со случайными знаками 53   Задачи 57   Литература 58   Г л а в а   3. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН 1.  Муавр 60 2.  Основная идея метода 61 3.  Метод Маркова становится строгим 63   Задачи 66 4.  Более внимательный взгляд на метод 67   Задачи 70 5.  Закон природы или математическая теорема? 73   Задачи 81   Литература 81   Г л а в а   4. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» 1.  Теоретико-числовые функции, плотность, независимость 82 2.  Статистика значений φ-функций Эйлера 83   Задачи 94 3.  Другое применение 97 4.  Почти каждое целое m имеет приближённо log log m простых делителей 106   Задачи 110 5.  Нормальный закон в теории чисел 110   Задачи 116   Литература 116   Г л а в а   5. ОТ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ К НЕПРЕРЫВНЫМ ДРОБЯМ 1.  Парадоксы кинетической теории 118 2.  Предварительные сведения 119 3.  Ответ Больцмана 123 4.  Абстрактное изложение 125 5.  Эргодическая теорема и непрерывные дроби 130   Задачи 134   Литература 135   ДОБАВЛЕНИЕ   Ю. В. Прохоров   136

Издательство иностранной литературы любезно предложило мне написать предисловие к русскому переводу моей маленькой монографии «Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел», и я с большим удовольствием выполняю эту просьбу.

Когда переводится твоя работа — это всегда приятно. В особенности приятно, когда переводится на русский язык работа, связанная с теорией вероятностей. Тогда чувствуешь, что твои труды становятся доступными русским читателям и что они продолжают великие традиции Чебышёва, Маркова, Ляпунова, Бернштейна и Хинчина, блестяще развиваемые Колмогоровым и многими его сотрудниками и учениками.

В предисловии к английскому изданию я указал цели, с которыми написана эта книга. Я ничего не могу больше добавить, хочу только ещё раз подчеркнуть, что книга написана в основном для молодёжи, стоящей на пороге огромного и удивительного мира математики.

Многие идеи и способы изложения были задуманы мной, когда я был студентом, и я попытался поделиться с читателями моими собственными волнениями на пороге этого мира. То, что теперь я могу поделиться ими с читателями в Советском Союзе, является для меня источником большой радости и удовлетворения.

Я считаю своим очень приятным долгом поблагодарить профессора Прохорова за перевод, а также за добавление и примечания к моей книге. Любой автор может только мечтать, чтобы его книгу переводил и редактировал такой известный и высококвалифицированный специалист.

Во время сессии Американского математического общества, происходившей летом 1955 года, мне была предоставлена возможность прочитать небольшой цикл лекций на чтениях в честь Хедрика (Hedrick Lectures), Я был весьма обрадован, когда несколько позже профессор Т. Радо от имени комитета по изданию серии «Carus Monographs» любезно попросил меня изложить мои лекции в форме монографии.

Через некоторое время я удостоился чести быть приглашённым Хаверфордским колледжем прочитать ряд лекций в этом колледже. Это приглашение дало мне благоприятную возможность испытать задуманную монографию на «живой» аудитории, и настоящая книга является лишь незначительно изменённым текстом моих лекций, читанных в Хаверфордском колледже в течение весеннего семестра 1958 года.

Как и в первоначальных лекциях, так и в этом расширенном варианте моей основной целью было показать, что: (а) крайне простые наблюдения часто являются отправной точкой обширных и плодотворных исследований и (б) многие, на вид не связанные, выводы в действительности оказываются вариациями одной и той же простой темы.

За исключением последней главы, где я имел дело с эффектным применением эргодической теоремы к непрерывным дробям, книга посвящена понятию статистической независимости.

Это понятие возникло в теории вероятностей, и долгое время им пользовались, не понимая чётко его сути, что вызвало подозрение в некорректности этого математического понятия.

Теперь мы знаем, как определять статистическую независимость в более общих и отвлечённых терминах. Однако современное стремление к общности и отвлечённости приводит не только к тому, что от внимания ускользает простота первоначальной идеи, но и к тому, что становится неясной возможность применения вероятностных идей вне сферы теории вероятностей.

На последующих страницах я попытался спасти статистическую независимость от этой опасности, показав как в своей простейшей форме она возникает в различных контекстах в нескольких математических дисциплинах.

Что касается степени подготовленности читателей книги, то я предполагаю знакомство с теорией меры и интеграла Лебега, элементарной теорией интегралов Фурье и начальными основами теории чисел. Так как я не хотел предполагать большего, а также не хотел загромождать рассказ слишком многими техническими деталями, я опустил доказательства некоторых утверждений.

Я прошу простить мне эти пропуски и надеюсь, что читатель достаточно заинтересуется предметом, чтобы восполнить имеющиеся пробелы. Для этого я прилагаю небольшую библиографию, которая не претендует на полноту.

В книгу я включил также некоторое количество задач. Эти задачи большей частью довольно сложны, и читатель не должен чувствовать себя обескураженным, если он не сумеет решить их без значительного усилия.

Я хочу поблагодарить профессоров Хаверфордского колледжа К. Окли и Р. Уиснера за превосходное сотрудничество и за превращение моего путешествия от Итаки до Хаверфорда в истинное удовольствие.

Я был счастлив иметь в числе своих слушателей профессора Пенсильванского университета Г. Радемахера и профессора Джона Окстоби из Брин-Марского колледжа. Их критика, советы и постоянная поддержка поистине неоценимы, и мой долг им велик.

Мои коллеги по Корнелльскому университету, профессора X. Уидом и М. Шрейбер прочли рукопись и предложили большое количество изменений и усовершенствований. Поблагодарить их за помощь я считаю удовольствием.

Я приношу благодарность также студентам Хаверфордского и Брин-Марского колледжей, которые выступили в качестве «подопытных морских свинок», и особенно Дж. Райлу, составившему библиографию и читавшему корректуру рукописи.

Наконец, не в меньшей степени, я хочу выразить благодарность м-сс Аксельсон из Хаверфордского колледжа и м-с Мартин из Математического отделения Корнелльского университета за решение часто неразрешимой задачи перепечатки рукописи по моим почти неразборчивым записям.

1. Формула Виета. Мы начнём с простой тригонометрии. Запишем

Из элементарного анализа мы знаем, что при 1 = lim — ^- = -i- lim 2- sin ^-

и, следовательно,

nsin-^- = a;. (1.2)

14 ГЛАВА 1

Сопоставляя (1.2) с (1.1), получаем

sin х

= COS . (1.3)

11 2^k

k=l

Особенно интересен один частный случай соотношения (1.3). Полагая # = эт/2, находим

2	П	cos	я	/2	V2 + /2-	К 2+	К2+/2
п			2П+;	1 2	2		2

п=1

(1.4)

что является классической формулой, принадлежащей Виету.

2. Другой взгляд на формулу Виета. До сих пор

все было легким и хорошо знакомым.

Рассмотрим теперь (1.3) с другой точки зрения.

Известно, что любое действительное число t, 0<; <£<1, может быть однозначно представлено в виде

i = f + |f+..., (2.1)

где каждая из величин е есть или 0, или 1.

Это известное двоичное разложение t, и чтобы обеспечить единственность, условимся записывать обрывающиеся разложения в форме, в которой все двоичные цифры, начиная с некоторого места, равны 0. Так, например, запишем

!-! + - + — + — +

4 2 2² 2³ 2⁴

ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ 15

а не

!-! + !, +:i_J_^

4 2 2² 2³ ' 2⁴ ' * * * *

Двоичные цифры г_г являются, конечно, функциями от t, поэтому представление (2.1) более точно должно выглядеть как

^£W МО B(t) _{п 9},

22'23

При нашем соглашении относительно записи обрывающихся разложений графики функций 8₁(^), e₂(f), е₃(t), ... выглядят следующим образом:

Удобнее ввести функции r_k(t), определяемые равенствами

r_k(t) = l-2e_k(t), к =1, 2, 3, ... , (2.3)

и имеющие следующее графическое изображение:

,.-1 I | l_

to jo

16 ГЛАВА 1

минах функций r_k (t) мы можем переписать представление (2.2) в виде

1

sin х

\ exp ix ^w ) at = cos —

При этом формула (1.3) превратится в

С

0 fe=l

1 оо оо i

\ П ехр 0^) Л= П \ ехр(^)^. (2.5)

О ft=i ft=l О

Интеграл от произведения равен произведению интегралов!

ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ 17

3. Случайность или начало чего-либо более глубокого? Можем ли мы рассматривать равенство (2.5) как случайное совпадение? Конечно нет, до тех пор, пока мы не исследуем вопрос более тщательно. Взглянем на функцию

2 c_kr_h(t).

k=l

Это ступенчатая функция, которая постоянна на интервалах

S

— ^ ) 9 — 01 2^п — 1

z z у

и значениями которой являются числа

Каждая последовательность (длины п), состоящая из + 1 и — 1, соответствует одному и только одному интервалу (s/2ⁿ, (5+l)/2^ri). Таким образом,

In п

J exp

0

где внешняя сумма справа берется по всем возможным последовательностям (длины тг) из +1 ^и — 1  Теперь

( )

18 ГЛАВА 1

и, следовательно,

1 п п п {

\ ехр [ i 2 c_hr_h (t) ] dt = Д cos c_h = П j e^ic^^l) dt.

0 ' 1 fe — 1 h=\ 0

(3.1) Полагая

получаем

i

О 1 Ъ=1

и так как

п

= lim ГТ cos — - = Т7 cos — .

ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ 19

Таким образом, мы установили другое доказательство формулы (1.3). Лучше ли оно, чем доказательство, данное в п. 1?

Данное доказательство более сложно, но в то же время более поучительно, так как оно как-то связывает формулу Виета с двоичными цифрами.

Какое же свойство двоичных цифр приводит к успеху?

[· · ·]