The Carus Mathematical Monographs

STATISTICAL INDEPENDENCE
IN PROBABILITY,
ANALYSIS, AND NUMBER
THEORY


By
MARK KAC
Professor of Mathematics
Cornell University



THE MATHEMATICAL
ASSOCIATION
OF AMERICA
1 9 5 9
  М. КАЦ


СТАТИСТИЧЕСКАЯ
НЕЗАВИСИМОСТЬ
В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
АНАЛИЗЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ



ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Ю. В. ПРОХОРОВА





ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва
  1963
 





 
948 Кб
 
Оглавление
Предисловие к русскому изданию5
Предисловие автора7
 
Г л а в а   1.
ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ
1. Формула Виета13
2. Другой взгляд на формулу Виета14
3. Случайность или начало чего-либо более глубокого?17
4. (½)n = ½·...·½ (n раз)19
5. Герб или решётка?21
6. Независимость и «независимость»24
 Задачи26
 
Г л а в а   2.
БОРЕЛЬ И ПОСЛЕ НЕГО
1. «Законы больших чисел»29
2. Борель и «нормальные числа»32
 Задачи36
3. «Герб или решётка» — более абстрактное изложение40
4. В чём ценность абстракции?43
5. Пример 1. Сходимость ряда со случайными знаками45
6. Пример 2. Расходимость ряда со случайными знаками53
 Задачи57
 Литература58
 
Г л а в а   3.
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН
1. Муавр60
2. Основная идея метода61
3. Метод Маркова становится строгим63
 Задачи66
4. Более внимательный взгляд на метод67
 Задачи70
5. Закон природы или математическая теорема?73
 Задачи81
 Литература81
 
Г л а в а   4.
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ»
1. Теоретико-числовые функции, плотность, независимость82
2. Статистика значений φ-функций Эйлера83
 Задачи94
3. Другое применение97
4. Почти каждое целое m имеет приближённо log log m простых делителей106
 Задачи110
5. Нормальный закон в теории чисел110
 Задачи116
 Литература116
 
Г л а в а   5.
ОТ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ К НЕПРЕРЫВНЫМ ДРОБЯМ
1. Парадоксы кинетической теории118
2. Предварительные сведения119
3. Ответ Больцмана123
4. Абстрактное изложение125
5. Эргодическая теорема и непрерывные дроби130
 Задачи134
 Литература135
 
ДОБАВЛЕНИЕ   Ю. В. Прохоров
  136



ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Издательство иностранной литературы любезно предложило мне написать предисловие к русскому переводу моей маленькой монографии «Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел», и я с большим удовольствием выполняю эту просьбу.

Когда переводится твоя работа — это всегда приятно. В особенности приятно, когда переводится на русский язык работа, связанная с теорией вероятностей. Тогда чувствуешь, что твои труды становятся доступными русским читателям и что они продолжают великие традиции Чебышёва, Маркова, Ляпунова, Бернштейна и Хинчина, блестяще развиваемые Колмогоровым и многими его сотрудниками и учениками.

В предисловии к английскому изданию я указал цели, с которыми написана эта книга. Я ничего не могу больше добавить, хочу только ещё раз подчеркнуть, что книга написана в основном для молодёжи, стоящей на пороге огромного и удивительного мира математики.

Многие идеи и способы изложения были задуманы мной, когда я был студентом, и я попытался поделиться с читателями моими собственными волнениями на пороге этого мира. То, что теперь я могу поделиться ими с читателями в Советском Союзе, является для меня источником большой радости и удовлетворения.

Я считаю своим очень приятным долгом поблагодарить профессора Прохорова за перевод, а также за добавление и примечания к моей книге. Любой автор может только мечтать, чтобы его книгу переводил и редактировал такой известный и высококвалифицированный специалист.

Нью-Йорк, июль 1962 г. М. Кац



ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Во время сессии Американского математического общества, происходившей летом 1955 года, мне была предоставлена возможность прочитать небольшой цикл лекций на чтениях в честь Хедрика (Hedrick Lectures), Я был весьма обрадован, когда несколько позже профессор Т. Радо от имени комитета по изданию серии «Carus Monographs» любезно попросил меня изложить мои лекции в форме монографии.

Через некоторое время я удостоился чести быть приглашённым Хаверфордским колледжем прочитать ряд лекций в этом колледже. Это приглашение дало мне благоприятную возможность испытать задуманную монографию на «живой» аудитории, и настоящая книга является лишь незначительно изменённым текстом моих лекций, читанных в Хаверфордском колледже в течение весеннего семестра 1958 года.

Как и в первоначальных лекциях, так и в этом расширенном варианте моей основной целью было показать, что: (а) крайне простые наблюдения часто являются отправной точкой обширных и плодотворных исследований и (б) многие, на вид не связанные, выводы в действительности оказываются вариациями одной и той же простой темы.

За исключением последней главы, где я имел дело с эффектным применением эргодической теоремы к непрерывным дробям, книга посвящена понятию статистической независимости.

Это понятие возникло в теории вероятностей, и долгое время им пользовались, не понимая чётко его сути, что вызвало подозрение в некорректности этого математического понятия.

Теперь мы знаем, как определять статистическую независимость в более общих и отвлечённых терминах. Однако современное стремление к общности и отвлечённости приводит не только к тому, что от внимания ускользает простота первоначальной идеи, но и к тому, что становится неясной возможность применения вероятностных идей вне сферы теории вероятностей.

На последующих страницах я попытался спасти статистическую независимость от этой опасности, показав как в своей простейшей форме она возникает в различных контекстах в нескольких математических дисциплинах.

Что касается степени подготовленности читателей книги, то я предполагаю знакомство с теорией меры и интеграла Лебега, элементарной теорией интегралов Фурье и начальными основами теории чисел. Так как я не хотел предполагать большего, а также не хотел загромождать рассказ слишком многими техническими деталями, я опустил доказательства некоторых утверждений.

Я прошу простить мне эти пропуски и надеюсь, что читатель достаточно заинтересуется предметом, чтобы восполнить имеющиеся пробелы. Для этого я прилагаю небольшую библиографию, которая не претендует на полноту.

В книгу я включил также некоторое количество задач. Эти задачи большей частью довольно сложны, и читатель не должен чувствовать себя обескураженным, если он не сумеет решить их без значительного усилия.

Я хочу поблагодарить профессоров Хаверфордского колледжа К. Окли и Р. Уиснера за превосходное сотрудничество и за превращение моего путешествия от Итаки до Хаверфорда в истинное удовольствие.

Я был счастлив иметь в числе своих слушателей профессора Пенсильванского университета Г. Радемахера и профессора Джона Окстоби из Брин-Марского колледжа. Их критика, советы и постоянная поддержка поистине неоценимы, и мой долг им велик.

Мои коллеги по Корнелльскому университету, профессора X. Уидом и М. Шрейбер прочли рукопись и предложили большое количество изменений и усовершенствований. Поблагодарить их за помощь я считаю удовольствием.

Я приношу благодарность также студентам Хаверфордского и Брин-Марского колледжей, которые выступили в качестве «подопытных морских свинок», и особенно Дж. Райлу, составившему библиографию и читавшему корректуру рукописи.

Наконец, не в меньшей степени, я хочу выразить благодарность м-сс Аксельсон из Хаверфордского колледжа и м-с Мартин из Математического отделения Корнелльского университета за решение часто неразрешимой задачи перепечатки рукописи по моим почти неразборчивым записям.

Итака, Нью-Йорк, сентябрь 1959 г. Марк Кац


Моему учителю
профессору Гуго Штейнгаузу


Глава 1  
ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ

1. Формула Виета. Мы начнём с простой тригонометрии. Запишем

sin x 
(1.1)

Из элементарного анализа мы знаем, что при 1 = lim — ^- = -i- lim 2- sin ^-

и, следовательно,

nsin-^- = a;. (1.2)

14 ГЛАВА 1

Сопоставляя (1.2) с (1.1), получаем

sin х

= COS . (1.3)

11 2k

k=l

Особенно интересен один частный случай соотношения (1.3). Полагая # = эт/2, находим

2

П

cos

я

/2

V2 + /2-

К 2+

К2+/2

п

2П+;

1 2

2

2

п=1

(1.4)

что является классической формулой, принадлежащей Виету.

2. Другой взгляд на формулу Виета. До сих пор

все было легким и хорошо знакомым.

Рассмотрим теперь (1.3) с другой точки зрения.

Известно, что любое действительное число t, 0<; <£<1, может быть однозначно представлено в виде

i = f + |f+..., (2.1)

где каждая из величин е есть или 0, или 1.

Это известное двоичное разложение t, и чтобы обеспечить единственность, условимся записывать обрывающиеся разложения в форме, в которой все двоичные цифры, начиная с некоторого места, равны 0. Так, например, запишем

!-! + - + — + — +

4 2 22 23 24

ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ 15

а не

!-! + !, +:i_J_^

4 2 22 23 ' 24 ' * * * *

Двоичные цифры гг являются, конечно, функциями от t, поэтому представление (2.1) более точно должно выглядеть как

£W МО B(t) п 9,

22'23

При нашем соглашении относительно записи обрывающихся разложений графики функций 81(^), e2(f), е3(t), ... выглядят следующим образом:





П L 1 П I II 1 п 1 1 3 f S 3 7 1

Удобнее ввести функции rk(t), определяемые равенствами

rk(t) = l-2ek(t), к =1, 2, 3, ... , (2.3)

и имеющие следующее графическое изображение:

,.-1 I | l_

to jo


Эти функции, впервые введенные и изученные Г. Раде-махером, называются функциями Радемахера. В тер-

16 ГЛАВА 1

минах функций rk (t) мы можем переписать представление (2.2) в виде


Заметим теперь, что

1

sin х


? f . rk(t)\ lx x

\ exp ix w ) at = cos —

При этом формула (1.3) превратится в

С

0 fe=l


и, в частности, будет иметь место равенство

1 оо оо i

\ П ехр 0^) Л= П \ ехр(^)^. (2.5)

О ft=i ft=l О

Интеграл от произведения равен произведению интегралов!

ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ 17

3. Случайность или начало чего-либо более глубокого? Можем ли мы рассматривать равенство (2.5) как случайное совпадение? Конечно нет, до тех пор, пока мы не исследуем вопрос более тщательно. Взглянем на функцию

2 ckrh(t).

k=l

Это ступенчатая функция, которая постоянна на интервалах

S

^ ) 9 — 01 2п — 1

z z у

и значениями которой являются числа

Каждая последовательность (длины п), состоящая из + 1 и — 1, соответствует одному и только одному интервалу (s/2n, (5+l)/2ri). Таким образом,

In п

J exp

0

где внешняя сумма справа берется по всем возможным последовательностям (длины тг) из +1 и1  Теперь

( )

18 ГЛАВА 1

и, следовательно,

1 п п п {

\ ехр [ i 2 chrh (t) ] dt = Д cos ch = П j eic^l) dt.

0 ' 1 fe — 1 h=\ 0

(3.1) Полагая

получаем

i

О 1 Ъ=1

и так как


причем сходимость в левой части равномерна на (0, 1), то мы имеем


^-J ok
О "^ б "1

п

= lim ГТ cos — - = Т7 cos — .

ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ 19

Таким образом, мы установили другое доказательство формулы (1.3). Лучше ли оно, чем доказательство, данное в п. 1?

Данное доказательство более сложно, но в то же время более поучительно, так как оно как-то связывает формулу Виета с двоичными цифрами.

Какое же свойство двоичных цифр приводит к успеху?

[· · ·]



Hosted by uCoz