2662 Кб
|
| 2662 Кб |
| Предисловие | 6 | |||||||||||||||||||||
| Глава 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О | ||||||||||||||||||||||
| § 1. | Общие понятия, определения и примеры | 7 | ||||||||||||||||||||
| § 2. | Геометрическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений. Задача Коши | 13 | ||||||||||||||||||||
| § 3. | Некоторые интегрируемые случаи одного дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной | 16 | ||||||||||||||||||||
| Задачи | 25 | |||||||||||||||||||||
| Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ | ||||||||||||||||||||||
| § 1. | Нормальная система линейных дифференциальных уравнений | 26 | ||||||||||||||||||||
| § 2. | Линейное дифференциальное уравнение | 39 | ||||||||||||||||||||
| § 3. | Метод исключения для линейной системы дифференциальных уравнений | 43 | ||||||||||||||||||||
| § 4. | Приёмы, упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений | 45 | ||||||||||||||||||||
| § 5. | Линейные дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами | 47 | ||||||||||||||||||||
| § 6. | Преобразование линейных систем дифференциальных уравнений. Преобразование линейной системы с постоянной матрицей к линейной системе с треугольной матрицей | 49 | ||||||||||||||||||||
| § 7. | Структура решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами | 52 | ||||||||||||||||||||
| § 8. | Линейное дифференциальное уравнение | 57 | ||||||||||||||||||||
| § 9. | Линейные системы и линейные дифференциальные уравнения с постоянными действительными коэффициентами | 64 | ||||||||||||||||||||
| §10. | Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами | 66 | ||||||||||||||||||||
| §11. | Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами | 76 | ||||||||||||||||||||
| Задачи | 80 | |||||||||||||||||||||
| Глава 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ | ||||||||||||||||||||||
| § 1. | Теоремы существования и единственности | 83 | ||||||||||||||||||||
| § 2. | Непродолжаемые решения | 100 | ||||||||||||||||||||
| § 3. | Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения | 103 | ||||||||||||||||||||
| § 4. | Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий | 109 | ||||||||||||||||||||
| § 5. | Приближённые методы решения задачи Коши | 119 | ||||||||||||||||||||
| § 6. | Поведение решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка | 132 | ||||||||||||||||||||
| § 7. | Первоначальные сведения о краевой задаче | 137 | ||||||||||||||||||||
| Задачи | 145 | |||||||||||||||||||||
| Глава 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ | ||||||||||||||||||||||
| § 1. | Динамические системы и их геометрическая интерпретация | 148 | ||||||||||||||||||||
| § 2. | Свойства решений динамических систем | 149 | ||||||||||||||||||||
| § 3. | Поведение траекторий динамических систем на плоскости | 154 | ||||||||||||||||||||
| § 4. | Поведение траекторий линейной однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными действительными коэффициентами | 164 | ||||||||||||||||||||
| Задачи | 177 | |||||||||||||||||||||
| Глава 5. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ | ||||||||||||||||||||||
| § 1. | Определения и примеры | 179 | ||||||||||||||||||||
| § 2. | Однородная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость решения | 181 | ||||||||||||||||||||
| § 3. | Лемма Ляпунова | 185 | ||||||||||||||||||||
| § 4. | Теорема Ляпунова | 188 | ||||||||||||||||||||
| § 5. | Консервативная механическая система с одной степенью свободы | 194 | ||||||||||||||||||||
| Задачи | 196 | |||||||||||||||||||||
| Глава 6. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ | ||||||||||||||||||||||
| § 1. | Основные определения | 198 | ||||||||||||||||||||
| § 2. | Понятие характеристики квазилинейного уравнения | 200 | ||||||||||||||||||||
| § 3. | Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка | 203 | ||||||||||||||||||||
| § 4. | Решение задачи Коши для квазилинейного уравнения | 205 | ||||||||||||||||||||
| § 5. | Линейное однородное уравнение с частными производными первого порядка и первые интегралы динамических систем | 212 | ||||||||||||||||||||
| § 6. | Решение задачи Коши для нелинейного уравнения с частными производными первого порядка | 219 | ||||||||||||||||||||
| Задачи | 223 | |||||||||||||||||||||
| Глава 7. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ | ||||||||||||||||||||||
| § 1. | Функционалы в линейном нормированном пространстве | 225 | ||||||||||||||||||||
| § 2. |
| 234 | ||||||||||||||||||||
| § 3. |
| 240 | ||||||||||||||||||||
| 242 | |||||||||||||||||||||
| § 5. | Замечания о достаточных условиях экстремума функционала | 246 | ||||||||||||||||||||
| § 6. | Условный экстремум | 250 | ||||||||||||||||||||
| § 7. | О приближённых методах решения вариационных задач | 259 | ||||||||||||||||||||
| Задачи | 261 | |||||||||||||||||||||
| ДОПОЛНЕНИЕ | ||||||||||||||||||||||
| § 1. | Некоторые сведения из линейной алгебры | 264 | ||||||||||||||||||||
| § 2. | Комплексные функции действительного переменного и действия над ними | 279 | ||||||||||||||||||||
| § 3. | Три леммы о вектор-функциях | 280 | ||||||||||||||||||||
| Предметный указатель | 285 | |||||||||||||||||||||
Предлагаемая вниманию читателя книга написана на основе лекций, которые авторы читали в Московском инженерно-физическом институте. Она предназначена для студентов высших учебных заведений и в первую очередь для студентов физико-технических специальностей.
При изложении материала существенно используется аппарат линейной алгебры. Применение векторов и матриц позволяет значительно сократить изложение. Авторы предполагают, что студенты встречались ранее с основными понятиями и методами линейной алгебры, тем не менее в дополнении приводятся некоторые сведения, необходимые для понимания излагаемого материала.
Широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло значение методов качественного исследования решений дифференциальных уравнений, а также методов приближённого нахождения решений. В связи с этим мы приводим здесь некоторые сведения о численных методах решения задачи Коши, о краевой задаче и методе «прогонки». Большое внимание уделено теоремам существования и единственности, теоремам о непрерывной зависимости решения от параметров и начальных значений.
В конце каждой главы помещены задачи, иллюстрирующие рассматриваемые понятия и методы, а также содержащие дополнительные сведения, не вошедшие в основной текст книги.
В процессе работы над книгой авторы пользовались советами многих своих коллег из Московского инженерно-физического института. Особенно мы благодарны Д. А. Василькову, который прочёл рукопись и сделал много критических замечаний. Мы также признательны С. Г. Селивановой за обсуждение содержания гл. 5.
