2662 Кб  
 

Предисловие6
 
Глава 1.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
§ 1. Общие понятия, определения и примеры7
§ 2. Геометрическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений. Задача Коши13
§ 3. Некоторые интегрируемые случаи одного дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной16
Задачи25
 
Глава 2.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений26
§ 2. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка39
§ 3. Метод исключения для линейной системы дифференциальных уравнений43
§ 4. Приёмы, упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений45
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами47
§ 6. Преобразование линейных систем дифференциальных уравнений. Преобразование линейной системы с постоянной матрицей к линейной системе с треугольной матрицей49
§ 7. Структура решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами52
§ 8. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами57
§ 9. Линейные системы и линейные дифференциальные уравнения с постоянными действительными коэффициентами64
§10. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами66
§11. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами76
Задачи80
 
Глава 3.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Теоремы существования и единственности83
§ 2. Непродолжаемые решения100
§ 3. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения103
§ 4. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий109
§ 5. Приближённые методы решения задачи Коши119
§ 6. Поведение решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка132
§ 7. Первоначальные сведения о краевой задаче137
Задачи145
 
Глава 4.
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Динамические системы и их геометрическая интерпретация148
§ 2. Свойства решений динамических систем149
§ 3. Поведение траекторий динамических систем на плоскости154
§ 4. Поведение траекторий линейной однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными действительными коэффициентами164
Задачи177
 
Глава 5.
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Определения и примеры179
§ 2. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость решения x0181
§ 3. Лемма Ляпунова185
§ 4. Теорема Ляпунова188
§ 5. Консервативная механическая система с одной степенью свободы194
Задачи196
 
Глава 6.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Основные определения198
§ 2. Понятие характеристики квазилинейного уравнения200
§ 3. Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка203
§ 4. Решение задачи Коши для квазилинейного уравнения205
§ 5. Линейное однородное уравнение с частными производными первого порядка и первые интегралы динамических систем212
§ 6. Решение задачи Коши для нелинейного уравнения с частными производными первого порядка219
Задачи223
 
Глава 7.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве225
§ 2. 
 b
Функционалы вида F(y) = f (x, y, y′) dx
a
234
§ 3. 
 b
Функционалы вида F(y) = f (x, y, y′, ..., y(n)) dx
a
240
§ 4. Функционалы вида F(u) = ∫∫ f (x, y, uu

x

u

y

) dx dy
G
242
 
§ 5. Замечания о достаточных условиях экстремума функционала246
§ 6. Условный экстремум250
§ 7. О приближённых методах решения вариационных задач259
Задачи261
 
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1. Некоторые сведения из линейной алгебры264
§ 2. Комплексные функции действительного переменного и действия над ними279
§ 3. Три леммы о вектор-функциях280
Предметный указатель  285



ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая вниманию читателя книга написана на основе лекций, которые авторы читали в Московском инженерно-физическом институте. Она предназначена для студентов высших учебных заведений и в первую очередь для студентов физико-технических специальностей.

При изложении материала существенно используется аппарат линейной алгебры. Применение векторов и матриц позволяет значительно сократить изложение. Авторы предполагают, что студенты встречались ранее с основными понятиями и методами линейной алгебры, тем не менее в дополнении приводятся некоторые сведения, необходимые для понимания излагаемого материала.

Широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло значение методов качественного исследования решений дифференциальных уравнений, а также методов приближённого нахождения решений. В связи с этим мы приводим здесь некоторые сведения о численных методах решения задачи Коши, о краевой задаче и методе «прогонки». Большое внимание уделено теоремам существования и единственности, теоремам о непрерывной зависимости решения от параметров и начальных значений.

В конце каждой главы помещены задачи, иллюстрирующие рассматриваемые понятия и методы, а также содержащие дополнительные сведения, не вошедшие в основной текст книги.

В процессе работы над книгой авторы пользовались советами многих своих коллег из Московского инженерно-физического института. Особенно мы благодарны Д. А. Василькову, который прочёл рукопись и сделал много критических замечаний. Мы также признательны С. Г. Селивановой за обсуждение содержания гл. 5.

Авторы

Hosted by uCoz