4305 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора перевода 5 Предисловие 7   Глава I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым 9   § 1.  Конгруэнтные числа 11 § 2.  Одно кубическое уравнение 15 § 3.  Эллиптические кривые 18 § 4.  Двоякопериодические функции 23 § 5.  Поле эллиптических функций 28 § 6.  Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса 33 § 7.  Закон сложения 41 § 8.  Точки конечного порядка 49 § 9.  Точки над конечными полями и задача о конгруэнтных числах 56   Глава II. L-функция Хассе–Вейля эллиптической кривой 66   § 1.  Конгруэнц-дзета-функция 66   § 2.  Дзета-функция кривой En 72   § 3.  Зависимость от p 81   § 4.  Прототип: дзета-функция Римана 88   § 5.  L-функция Хассе–Вейля и её функциональное уравнение 99   § 6.  Критическое значение 113   Глава III. Модулярные формы 122   § 1.  Группа SL2(Z) и её конгруэнц-подгруппы 122   § 2.  Модулярные формы относительно SL2(Z) 135   § 3.  Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 153   § 4.  Закон преобразования для тэта-функции 184   § 5.  Модулярная интерпретация и операторы Гекке 192   Глава IV. Модулярные формы полуцелого веса 222   § 1.  Определения и примеры 223   § 2.  Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно Γ̃0(4) 234   § 3.  Операторы Гекке на формах полуцелого веса 255   § 4.  Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла и задача о конгруэнтных числах 269   Ответы, наброски решений и литературные указания к избранным упражнениям 283 Литература 306 Именной указатель 311 Предметный указатель   313

Американский математик Нил Коблиц известен русскому читателю по переводу его книги «p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции» (М.: Мир, 1982). Его новую книгу можно рассматривать как введение в теорию чисел, основанное на материале очень активно развивающегося сейчас раздела — арифметики эллиптических кривых. Отправной точкой изложения является древняя задача о конгруэнтных числах, которая получила (почти) полное решение лишь в 1983 г. в работе молодого американского математика Туннелла. Как часто бывает с трудными классическими задачами, это решение лежит на пересечении нескольких самостоятельных теорий — геометрии эллиптических кривых, теории модулярных форм, теории алгебраических чисел, — которые развивались, повинуясь своей внутренней логике. Поэтому выбор центральной задачи такого рода позволяет удачно сочетать преимущества двух конкурирующих методов изложения — на примерах и частных случаях, с одной стороны, и систематического, от определений к теоремам, с другой.

Мне представляется, что эта хорошо задуманная и хорошо выполненная книга долго будет популярна у всех математиков, любящих теорию чисел, и у молодых в особенности.

В этой книге рассмотрены основные свойства эллиптических кривых и модулярных форм, особенно их теоретико-числовые аспекты. Главным примером и мотивировкой для большей части книги служит задача о конгруэнтных числах.

Я намеревался сделать этот предмет доступным для тех, кому трудно изучать более продвинутые или более алгебраически ориентированные работы. В то же время я хотел, чтобы книга включала в себя темы, находящиеся на переднем крае современных исследований. Основной текст и упражнения снабжены конкретными примерами, чтобы сделать материал интересным и увлекательным для математиков, работающих в областях, далёких от предмета этой книги.

Многочисленные упражнения (и ответы к ним) включены для того, чтобы книга стала полезной и для старшекурсников, прослушавших стандартные курсы вещественного и комплексного анализа и алгебры. Они смогут найти здесь приложения изученного материала, углубив тем самым своё понимание некоторых основных приёмов, постоянно применяемых в разных областях математики. Студенты, выбравшие своей специальностью теорию чисел или алгебраическую геометрию, найдут в этой книге мотивированное и снабжённое многими примерами введение в предмет, а студенты младших курсов могут использовать её для курсовых работ и для обсуждений на семинарах.

Эта книга написана на основе записей лекций, которые я прочёл в Вашингтонском университете в 1981–1982 гг., а также ряда лекций в Ханойском математическом институте в апреле 1983 г. Я хотел бы поблагодарить слушателей обоих курсов за их активный интерес. В особенности я благодарен Гэри Нелсону, который прочёл всю книгу в рукописи и сделал много замечаний и исправлений. Я хотел бы также поблагодарить профессоров Дж. Булера, Б. Мазура, Б. X. Гросса и Хинь Муи за их советы, интерес и поддержку.

Рисунок на фронтисписе выполнен профессором А. Т. Фоменко из Московского государственного университета. Этот рисунок иллюстрирует тему этой книги. На нём изображено семейство эллиптических кривых (торов), возникающее в задаче о конгруэнтных числах. Эллиптическая кривая, соответствующая натуральному числу n, разветвляется в точках 0, ∞, n и –n; на рисунке мы видим, как эти кривые переплетаются и деформируются, когда точки ветвления ±n стремятся к бесконечности.

Примечание: литературные ссылки даются в виде [Автор год]; в случае, когда в списке литературы участвует несколько работ одного автора, вышедших в одном и том же году, мы ставим буквы a, b, ... после года, чтобы указать порядок работ в списке.

ДЕФОРМАЦИЯ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Изображена «трёхмерная модель» деформации римановой поверхности алгебраической функции w2 = (z – a)(z – b)(z – c)(z – d) в четырёхмерном евклидовом пространстве. Риманова поверхность такой функции гомеоморфна двумерной сфере с одной ручкой, т.е. двумерному тору (при условии, что все корни a, b, c, d полинома степени 4 различны). С точки зрения теории алгебраических функций для построения указанной римановой поверхности нужно взять два экземпляра двумерной сферы, на каждом из которых сделано по два разреза, и склеить (отождествить) соответствующие берега разрезов. В результате получится тор, представленный как две сферы, соединенные двумя трубками-цилиндрами. Такова картина в случае, когда все 4 корня простые, т.е. не кратные. Если же полином начинает деформироваться таким образом, что его корни стремятся слиться (т.е. когда в пределе получаются кратные корни), то риманова поверхность также реагирует на эту деформацию. Она начинает деформироваться таким образом, что на ней появляются исчезающие циклы, возникают особые точки, и в результате риманова поверхность перестаёт быть гладкой. Пример такой деформации и показан нами. A. Т. Фоменко. «Математика и миф сквозь призму геометрии». М., Изд-во МГУ, 2001.

В теории эллиптических кривых и модулярных форм соединяются самые разные ветви математики: комплексный анализ, алгебраическая геометрия, теория представлений, теория чисел. Хотя мы будем придерживаться теоретико-числовой точки зрения, нам придётся использовать технику, изучаемую в стандартных курсах комплексного и вещественного анализа и алгебры. Теория чисел богата гипотезами и теоремами, формулировки которых доступны старшеклассникам, а доказательства либо не найдены, либо, в отдельных случаях, венчают усилия многих десятилетий исследовательской работы и используют самые сильные технические средства математики двадцатого века.

Круг вопросов, обсуждаемых в этой книге, мотивирован одной из таких теорем. Её содержание составляет недавно открытое Дж. Туннеллом изящное описание так называемых «конгруэнтных чисел» [Tunnell 1983]. Мы не сможем доказать все необходимые результаты; тем не менее, большая часть теоремы Туннелла будет разобрана во всех подробностях.

Теорема Туннелла даёт почти исчерпывающее решение древней задачи: найти простой способ определять, является ли данное целое число n площадью прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон. Натуральное число n называется конгруэнтным, если существует прямоугольный треугольник, все стороны которого рациональны, а площадь равна n. Например, 6 — площадь треугольника со сторонами 3, 4 и 5 и, следовательно, 6 — конгруэнтное число.

Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами X, Y, Z («пифагоровы тройки») изучались в Древней Греции Пифагором, Евклидом, Диофантом и др. Основным открытием этих математиков был простой способ построения всех таких треугольников. А именно, выберем пару целых положительных чисел a и b, таких, что a>b, и проведём в uv-плоскости прямую через точку (–1, 0) с наклоном b/a. Пусть (u, v) — вторая точка пересечения этой прямой с единичной окружностью (см. рис.). Нетрудно показать, что

Тогда целые числа X = a² – b², Y = 2ab и Z = a² + b² являются сторонами прямоугольного треугольника; то, что X ² + Y ² = Z ², следует из равенства u² + v² = 1. Придавая a и b различные натуральные значения так, что a>b, мы получаем всевозможные пифагоровы тройки (см. ниже, задача 1).

Некоторые из чисел n, возникающих как площади рациональных прямоугольных треугольников, изучались в Греции. Однако первое систематическое обсуждение задачи о конгруэнтных числах было предпринято, по-видимому, только арабскими учёными десятого столетия (более подробную историю задачи описания конгруэнтных чисел см. [Dickson 1952, ch. XVI], а также [Guy 1981, sec. D27]). Арабские исследователи предпочли иметь дело с такой переформулировкой задачи: можно ли по данному n найти рациональное число x, такое, что числа x² + n и x² – n являются квадратами рациональных чисел? (Эквивалентность этих двух форм задачи о конгруэнтных числах была известна грекам и арабам; доказательство этого элементарного факта см. ниже, предложение 1).

После этого многие математики тратили значительные усилия на исследование отдельных случаев задачи о конгруэнтных числах. В частности, Эйлер первым показал, что n = 7 конгруэнтное число. Ферма показал, что n = 1 не конгруэнтно. Этот результат, по существу, эквивалентен последней теореме Ферма для показателя 4 (т.е. тому, что уравнение X ⁴ + Y ⁴ = Z ⁴ не имеет нетривиальных целочисленных решений).

Со временем стало известно, что числа 1, 2, 3, 4 не являются конгруэнтными, а 5, 6, 7 являются. Однако попытка найти непосредственный критерий конгруэнтности данного числа n казалась безнадёжной. В двадцатом веке произошло существенное продвижение в понимании этой задачи. Она оказалась включённой в рамки арифметической теории эллиптических кривых. Именно эта теория позволила Туннеллу доказать свою замечательную теорему.

Часть этой теоремы звучит так (полная формулировка будет приведена позже):

Теорема (Туннелл). Пусть n — нечётное натуральное число, свободное от квадратов. Рассмотрим два условия:

(A)	n конгруэнтно;
(B)	число троек целых чисел (X,Y,Z), удовлетворяющих уравнению 2x2 + y2 + 8z2 = n, равно удвоенному числу троек, удовлетворяющих уравнению 2x2 + y2 + 32z2 = n.

Тогда из (A) следует (B); кроме того, если верна слабая форма так называемой гипотезы Бёрча—Суиннертон-Дайера, то из (B) следует (A).

Основные понятия, необходимые для доказательства теоремы Туннелла, — это L-функция Хассе—Вейля эллиптической кривой, гипотеза Бёрча—Суиннертон-Дайера, модулярные формы полуцелого веса. Они будут обсуждаться в следующих главах. В этой главе мы будем заниматься установлением связи между конгруэнтными числами и некоторым семейством эллиптических кривых. По ходу дела будут приведены определение и некоторые основные свойства эллиптических кривых.

Дадим сначала более общее определение конгруэнтного числа. Положительное рациональное число rÎQ называется конгруэнтным, если оно является площадью некоторого прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон. Пусть r конгруэнтно и X, Y, ZÎQ — стороны треугольника с площадью r. Для любого rÎQ мы можем найти такое sÎQ, что s²r — целое число, свободное от квадратов. Но площадь треугольника со сторонами sX, sY, sZ равна s²r. Таким образом, не нарушая общности, можно считать, что r=n — натуральное число, свободное от квадратов. Используя язык теории групп, можно сказать, что свойство числа n из мультипликативной группы Q⁺ положительных рациональных чисел быть конгруэнтным зависит только от его образа в факторгруппе по подгруппе (Q⁺)², состоящей из квадратов рациональных чисел; каждый элемент из Q⁺/(Q⁺)² содержит единственный представитель, являющийся натуральным числом, свободным от квадратов. Всюду в дальнейшем, говоря о конгруэнтных числах, мы будем предполагать, что это положительные целые числа, свободные от квадратов.

Заметим, что в определении конгруэнтного числа стороны треугольника должны быть только рациональными, не обязательно целыми. В то время как n=6 — наименьшая возможная площадь треугольника с целочисленными сторонами, можно найти прямоугольные треугольники с рациональными сторонами и с площадью n=5. Такую площадь имеет треугольник со сторонами 1¹/2, 6²/3, 6⁵/6. Оказывается, n=5 — наименьшее конгруэнтное число (напомним, что под конгруэнтным числом мы понимаем натуральное свободное от квадратов конгруэнтное число).

Имеется простой алгоритм, использующий пифагоровы тройки, который позволяет в принципе перечислить все конгруэнтные числа (см. задачи ниже). К сожалению, для данного числа n нельзя сказать, как долго придётся ждать появления числа n, если оно конгруэнтно; таким образом, то, что n не появилось, ещё не означает, что оно неконгруэнтно — может быть, мы просто ждали недостаточно долго. С практической точки зрения, теорема Туннелла замечательна тем, что условие (B) легко и быстро проверяется с помощью эффективного алгоритма. Таким образом, эта теорема почти исчерпывает вопрос о конгруэнтных числах и даёт проверяемый критерий конгруэнтности числа n. Нам приходится говорить «почти исчерпывает» потому, что известно, что в одном направлении критерий работает только в предположении справедливости некоторой гипотезы об эллиптических кривых.

Предположим теперь, что X, Y, Z — стороны прямоугольного треугольника с площадью n. Это означает, что X ² + Y ² = Z ² и ¹/2XY = n. Таким образом, на алгебраическом языке свойство числа n быть конгруэнтным означает, что эти два уравнения имеют одновременное решение X, Y, ZÎQ. В нижеследующем предложении мы выводим другое условие конгруэнтности числа n. При перечислении треугольников со сторонами X, Y, Z нам не хотелось бы учитывать отдельно X, Y, Z и Y, X, Z. Поэтому, начиная с этого момента, фиксируем порядок сторон треугольника требованием, чтобы X<Y<Z (Z — гипотенуза).

Предложение 1. Пусть n — положительное целое свободное от квадратов число; X, Y, Z, x всегда будут обозначать рациональные числа с X<Y<Z. Имеется взаимно однозначное соответствие между:

1. прямоугольными треугольниками с катетами X и Y, гипотенузой Z и площадью n;
2. числами x, для которых все три числа x, x+n, x–n являются квадратами рациональных чисел.

Соответствие задаётся следующими формулами:

В частности, число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда существует такое число x, что все три числа x, x+n, x–n являются квадратами рациональных чисел.

Доказательство. Сперва предположим, что X, Y, Z — нужная нам тройка: X ² + Y ² = Z ², ¹/2XY = n. Добавляя и вычитая учетверённое второе уравнение из первого, получаем: (X ± Y)² = Z ² ± 4n. Разделив обе части на 4, мы находим, что число x = (Z/2)² таково, что числа x±n суть квадраты чисел (X±Y)/2. Обратно, пусть число x обладает требуемыми свойствами. Легко видеть, что три положительных рациональных числа X<Y<Z, определяемые формулами из предложения, удовлетворяют тождествам XY = 2n и X ² + Y ² = 4x = Z ². Наконец, чтобы установить взаимно однозначное соответствие, остаётся проверить, что различные тройки X, Y, Z не могут приводить к одному и тому же значению x. Мы оставляем эту проверку читателю (см. задачи ниже).

 1.  Напомним, что пифагорова тройка (X,Y,Z) — это решение уравнения X ² + Y ² = Z² в положительных целых числах. Она называется примитивной, если числа X, Y, Z не имеют общего делителя. Выберем пару a, b, a>b, взаимно простых положительных целых чисел противоположной чётности. Покажите, что X = a² – b², Y = ab, Z = a² + b² образуют примитивную пифагорову тройку и что все примитивные пифагоровы тройки могут быть получены таким способом.

 2.  Используя задачу 1, составьте блок-схему алгоритма, который перечисляет все свободные от квадратов конгруэнтные числа (конечно, не в возрастающем порядке). Выпишите, следуя вашему алгоритму, первые двенадцать различных конгруэнтных чисел. Заметим, что узнать, когда данное конгруэнтное число n впервые появится в списке, невозможно. Например, 101 — конгруэнтное число, но первая пифагорова тройка, которая приводит к треугольнику с площадью s² = 101, содержит 22-значные числа (см. [Guy 1981, p. 106]). С числом 157 дело обстоит ещё хуже (см. рис.). Этот алгоритм не может быть использован для доказательства того, что некоторое число n не является конгруэнтным. Таким образом, это не настоящий алгоритм, а лишь «полуалгоритм».

 3.  (a) Покажите, что если бы 1 было конгруэнтным числом, то уравнение x⁴ – y⁴ = u² имело бы целочисленное решение с нечётным u.

(b) Покажите, что 1 не является конгруэнтным числом. (Замечание: отсюда следует последняя теорема Ферма для показателя 4.)

 4.  Закончите доказательство предложения 1, показав, что две различные тройки X, Y, Z не могут привести к одному и тому же x.

 5.  (a) Найдите xÎ(Q⁺)², такое, что x±5Î(Q⁺)².

(b) Найдите xÎ(Q⁺)², такое, что x±6Î(Q⁺)².

(c) Найдите два значения xÎ(Q⁺)², такие, что x±210Î(Q⁺)². В конце этой главы мы докажем, что если найдётся одно такое значение x, то их бесконечно много. Или, что эквивалентно (по предложению 1), если существует хотя бы один прямоугольный треугольник с рациональными длинами сторон и площадью n, то их существует бесконечно много.

 6.  (a) Покажите, что условие (B) теоремы Туннелла эквивалентно следующему условию: число способов, которыми n может быть записано в виде 2x² + y² + 8z² с целыми x, y и z и нечётным z, равно числу способов, которыми n может быть записано в этом виде с чётным z.

(b) Напишите блок-схему алгоритма, проверяющего для данного n условие (В) теоремы Туннелла.

 7.  (а) Покажите, что условие (B) теоремы Туннелла выполнено в случае, когда n сравнимо с 5 или 7 по модулю 8.

(b) Проверяя условие (B) для всех свободных от квадратов чисел n, сравнимых с 1 или 3 по модулю 8, найдите первое n, для которого условие (B) выполнено.

(c) По теореме Туннелла число, найденное в пункте (b), будет наименьшим конгруэнтным числом, сравнимым с 1 или 3 по модулю 8. Используя алгоритм из задачи 2, найдите прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и площадью, равной числу из пункта (b).

[· · ·]

Теорема ([Tunnell 1983]). Если n — нечётное (соответственно чётное) свободное от квадратов положительное число, равное площади некоторого прямоугольного треугольника с рациональными сторонами, то

(соответственно

Обратно, если слабая гипотеза Бёрча–Суиннертон-Дайера верна для эллиптических кривых E_n: y² = x³ – n²x, то из этих равенств следует, что n — конгруэнтное число.

На рисунке мы схематически изобразили основные этапы рассуждений.

число n конгруэнтно
		элементарная часть (гл. I)
кривая En: y2 = x3 – n2x имеет бесконечно много рациональных точек
		гипотеза Бёрча– Суиннертон-Дайера Коутс–Уайлс
L(En, 1) = 0
		Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла
n-й коэффициент q-разложения произведения Туннелла тэта-функций равен нулю

Отметим, что совсем недавно Б. X. Гроссу и Д. Цагиру ([Gross, Zagier 1983]) удалось показать, что слабая гипотеза Бёрча–Суиннертон-Дайера верна для кривых E_n для широкого класса чисел n. Для таких n теорема Туннелла становится полноправным утверждением о том, что свойства числа n быть конгруэнтным эквивалентно определённым равенствам; это равенства между количествами способов, которыми число n (или n/2) может быть представлено некоторыми простыми квадратичными формами от трёх переменных.

Как упоминалось в гл. I, практическое значение теоремы Туннелла состоит в том. что она даёт эффективный и быстрый алгоритм для определения того, конгруэнтно ли данное число n. К тому же, можно дать новые простые доказательства неконгруэнтности числа n в определённых условиях. Например, если n — простое число, сравнимое с 3 по модулю 8, то Туннелл показывает, что число n не конгруэнтно. Это и другие следствия можно найти в статье Туннелла.

Только в одном смысле теорема Туннелла всё ещё остаётся не полностью удовлетворительным решением древней задачи о конгруэнтных числах: в одном направлении она опирается на слабую гипотезу Бёрча–Суиннертон-Дайера для некоторых эллиптических кривых. Но за последнее время были достигнуты значительные успехи в доказательстве этой гипотезы для достаточно широкого класса кривых, включающего кривые E_n. В дополнение к работе Гросса и Цагира, упомянутой выше, Р. Гринбергу ([Greenberg 1983]) удалось доказать, что если бы эта гипотеза была неверна для таких кривых, как E_n, обладающих комплексным умножением, то отсюда вытекали бы весьма неправдоподобные следствия для групп Тэйта–Шафаревича этих эллиптических кривых.

Замечательно, что полученное теперь близкое к полному решение такого старого и наивного вопроса, как задача о конгруэнтных числах, потребовало привлечения самых мощных и изощрённых средств из разнообразных областей математики двадцатого века.

Alter R. The congruent number problem. — Amer. Math. Monthly 87 (1980), 43–45.

Andrews G. E. The theory of partitions. — Addison-Wesley, 1976. [Имеется перевод: Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982.]

Arthaud N. On Birch and Swinnerton-Dyer's conjecture for elliptic curves with complex multiplication. — Compositio Math. 37 (1978), 209–232.

Artin E. The Gamma Function. — Holt, Rinehart & Winston, 1964.

Artin E. Collected Papers. — Addison-Wesley, 1965.

van Asch A. G. Modular forms of half integral weight, some explicit arithmetic. — Math. Ann. 262 (1983), 77–89.

Atkin A. O. L., Lehner J. Hecke operators on Г₀(m). — Math. Ann. 185 (1970), 134–160.

Bellman R. A Brief Introduction to Theta Functions. — Holt, Rinehart & Winston, 1961.

Birch B. J. Conjectures on elliptic curves. — Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. 8 (1963), 106–112.

Birch B. J. Heegner points on elliptic curves. — Symp. Math. Ist. d. Alta Mat. 15 (1975), 441–445.

Birch B. J., Swinnerton-Dyer H. P. F. Notes on elliptic curves I and II. — J. Reine Angew. Math. 212 (1963), 7–25; 218 (1965), 79–108.

Brumer A., Kramer K. The rank of elliptic curves. — Duke Math. J. 44 (1977), 715–742.

Cassels J. W. S. Diophantine equations with special reference to elliptic curves. — J. London Math. Soc. 41 (1966), 193–291. [Имеется перевод: сб. Математика, 12:1 (1968), 113–160; 12:2 (1968), 5–48.]

Cassels J. W. S., Frölich A., eds. Algebraic Number Theory. — Academic Press, 1967. [Имеется перевод: Алгебраическая теория чисел. Под ред. Дж. Касселса  и  А. Фрёлиха. — М.: Мир, 1969.]

Coates J. The arithmetic of elliptic curves with complex multiplication. — Proc. Int. Cong. Math. Helsinki (1978), 351–355.

Coates J., and Wiles A. On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer. — Invent. Math. 39 (1977), 223–251.

Cohen H. Sommes de carrés, fonctions L et formes modulaires. — C. R. Acad. Sc. Paris 277 (1973), 827–830.

Cohen H. Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters. — Math. Ann. 217 (1975), 271–285.

Cohen H. Variations sur un Thème de Siegel et Hecke. — Acta Arith. 30 (1976), 63–93.

Cohen H., Oesterlé J. Dimensions des espaces de formes modulaires. — Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 627 (1976), 69–78.

Davenport H., Hasse H. Die Nullstellen der Kongruenz-zetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. — J. Reine Angew. Math. 172 (1935), 151–183.

Deligne P. Valeurs de fonctions L et périodes d'intégrales. — Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. 33 (1979), Part 2, 313–346. [Имеется перевод: Делинь П. Значения L-функций и периоды интегралов. В сб.: Автоморфные формы, представления и L-функции. — М.: Мир, 1984.]

Deligne P., Serre J.-P. Formes modulaires de poids 1. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 7 (1974), 507–530.

Dickson L. E. History of the theory of numbers. — Chelsea, 1952.

Dirichlet P. G. L. Werke. — Chelsea, 1969.

Dwork B. On the rationality of the zeta function. — Amer. J. Math. 82 (1960), 631–648. [Имеется перевод: сб. Математика, 5:6 (1961), 55–71.]

Eichler М., Zagier D. On the Theory of Jacobi forms. — Birkhauser, 1984.

Flicker Y. Automorphic forms on covering groups of GL(2). — Invent. Math. 57 (1980), 119–182.

Gelbart S. Weil's Representation and the Spectrum of the metaplectic group. — Lecture Notes in Math. 530, Springer-Verlag, 1976.

Goldfeld D. Sur les produits partiels eulériens attachés aux courbes elliptiques. — C. R. Acad. Sc. Paris 294 (1982), 471–474.

Goldfeld D., Hoffstein J., Patterson S. J. On automorphic functions of half-integral weight with applications to elliptic curves. In: Number Theory Related to Fermat's Last Theorem. — Birkhauser, 1982, 153–193.

Goldfeld D., Viola C. Mean values of L-functions associated to elliptic, Fermat and other curves at the center of the critical strip. — J. Number Theory 11 (1979), 305–320.

Goldfeld D., Viola C. Some conjectures on elliptic curves over cyclotomic fieds. — Trans. Amer. Math. Soc. 276 (1983), 511–515.

Greenberg R. On the Birch and Swinnerton-Dyer conjectures. — Invent. Math. 72 (1983), 241–265.

Gross B. H. Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication. — Lecture Notes in Math. 776, Springer-Verlag, 1980.

Gross B. H., Zagier D. On the critical values of Hecke L-series. — Soc. Math. de France Mem. No. 2 (1980), 49–54.

Gross B. H., Zagier D. Points de Heegner et dérivées de fonctions L. — C. R. Acad. Sc. Paris 297 (1983), 85–87.

Gunning R. C. Lectures on modular forms. — Princeton Univ. Press, 1962. [Имеется перевод: сб. Математика 8:6 (1964), 3–68.]

Guy R. К. Unsolved Problems in Number Theory. — Springer-Verlag, 1981.

Hardy G. H. On the representation of a number as the sum of any number of squares, and in particular of five or seven. — Proc. Nat. Acad. Sci. 4 (1918), 189–193. (Collected Papers, Vol. 1, 340, Clarendon Press, 1960.)

Hardy G. H. On the representation of a number as the sum of any number of squares, and in particular of five. — Trans. Amer. Math. Soc. 21 (1920), 255–284. (Collected Papers, Vol. 1, 345, Clarendon Press, 1960.)

Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. — 4th ed., Oxford Univ. Press, 1960.

Hartshorne R. Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1977. [Имеется перевод: Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.]

Hasse H. Number Theory. — Springer, 1980. [Имеется перевод: Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: ИЛ, 1953.]

Hecke E. Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung. — Math. Ann. 112 (1936), 664–699. (Math. Werke, 591–626.)

Hecke E. Herleitung des Euler-Produktes der Zetafunktion und einiger L-Reihen aus ihrer Funktionalgleichung. — Math. Ann. 119 (1944), 266–287. (Math. Werke, 919–940.)

Hecke E. Lectures on the Theory of Algebraic Numbers. — Springer-Verlag, 1981. [Имеется перевод: Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. — М.–Л.: Гостехиздат, 1940.]

Hecke E. Lectures on Dirichlet Series, Modular Functions and Quadratic Forms. — Vandenhoeck and Ruprecht, 1983.

Ireland K., Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. — Springer-Verlag, 1982. [Имеется перевод: Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.]

Katz N. An overview of Deligne's proof of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields. — Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. 28 (1976), 275–305.

Katz N. p-adic interpolation of real analytic Eisenstein series. — Ann. Math. 104 (1976), 459–571.

Koblitz N. p-adic numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, 2nd ed. — Springer-Verlag, 1984. [Имеется перевод: Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. — М.: Мир, 1982.]

Koblitz N. p-adic Analysis: a Short Course on Recent Work. — Cambridge Univ. Press, 1980.

Koblitz N. Why study equations over finite fields? — Math. Magazine 55 (1982), 144–149.

Kohnen W. Modular forms of half integral weight on Γ₀(4). — Math. Ann. 248 (1980), 249–266.

Kohnen W. Beziehungen zwischen Modulformen halbganzen Gewichts und Modulformen ganzen Gewichts. — Bonner Math. Scriften, 131 (1981).

Kohnen W. Newforms of half-integral weight. — J. Reine und Angew. Math. 333 (1982), 32–72.

Kohnen W., Zagier D. Values of L-series of modular forms at the center of the critical strip. — Invent. Math. 64 (1981), 175–198.

Lang S. Algebraic Number Theory. — Addison-Wesley, 1970.

Lang S. Elliptic Functions. — Addison-Wesley, 1973. [Имеется перевод: Ленг С. Эллиптические функции. — М. Наука, 1984.]

Lang S. Introduction to Modular Forms. — Springer-Verlag, 1976. [Имеется перевод: Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. — М.: Мир, 1979.]

Lang S. Sur la conjecture de Birch–Swinnerton-Dyer (d'après J. Coates et A. Wiles). — Sém. Bourbaki No. 503, In: Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 677 (1978), 189–200.

Lang S. Elliptic Curves Diophantine Analysis. — Springer-Verlag, 1978.

Lang S. Units and class groups in number theory and algebraic geometry. — Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 253–316.

Lang S. Algebra. — Benjamin/Cummings, 1984. [Имеется перевод: Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.]

Le Veque W. J. Fundamentals of Number Theory. — Addison-Wesley, 1977.

Manin Yu. I. Modular forms and number theory. — Proc. Int. Cong. Math. Helsinki (1978), 177–186.

Marcus D. Number Fields. — Springer-Verlag, 1977.

Modular Functions of One Variable IV. — Lecture Notes in Math. 476, Springer-Verlag, 1975.

Moreno C. J. The higher reciprocity laws: an example. — J. Number Theory 12 (1980), 57–70.

Mumford D. Algebraic Geometry 1: Complex Projective Varieties. — Springer-Verlag, 1976. [Имеется перевод: Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия I: Комплексные проективные многообразия. — М.: Мир, 1979.]

Niwa S. Modular forms of half-integral weight and the integral of certain theta-functions. — Nagoya Math. J. 56 (1975), 147–161.

Ogg A. Modular Forms and Dirichlet Series. — W. A. Benjamin, 1969.

Rankin R. A. Modular Forms and Functions. — Cambridge Univ. Press, 1977.

Schoeneberg B. Elliptic Modular Functions: an Introduction. — Springer-Verlag, 1974.

Serre J.-P. Formes modulaires et functions zeta p-adiques. — Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 350 (1973), 191–268.

Serre J.-P. A Course in Arithmetic. — Springer-Verlag, 1977. [Имеется перевод: Cepp Ж.-П. Курс арифметики. — М.: Мир, 1972.]

Serre J.-P., Stark H. M. Modular forms of weight 1/2. — Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 627 (1977), 27–67.

Shimura G. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphis Functions. — Princeton Univ. Press, 1971. [Имеется перевод: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. — М.: Мир, 1973.]

Shimura G. On modular forms of half-integral weight. — Ann. of Math. 97 (1973), 440–481.

Shimura G. Modular forms of half-integral weight. — Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 320 (1973), 59–74.

Shintani T. On construction of holomorphic cusp forms of half-integral weight. — Nagoya Math. J. 58 (1975), 83–126.

Siegel C. L. On Advanced Analytic Number Theory. — Tata Institute (Bombay), 1961.

Stephens N. M. Congruence properties of congruent numbers. — Bull. London Math. Soc. 7 (1975), 182–184.

Swinnerton-Dyer H. P. F. The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and of Tate. — In: Proc. Conf. Local Fields, Springer-Verlag, 1967. [Имеется перевод: сб. Математика, 13:5 (1963), 3–25.]

Tate J. The arithmetic of elliptic curves. — Invent. Math. 23 (1974), 179–206.

Tunnell J. A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2. — Invent. Math. 72 (1983), 323–334.

Vignéras M.-F. Valeur au centre de symmétrie des fonctions L associées aux formes modulaires. — Sém. Delange–Pisot–Poitou, 1980.

van der Waerden B. L. Algebra (2 vols.). — Frederick Ungar, 1970. [Имеется перевод: ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.]

Waldspurger J. L. Correspondance de Shimura. — J. Math. Pures et Appl. 59 (1980), 1–132.

Waldspurger J. L. Sur les coefficients de Fourier des formes modulaires de poids demi-entier. — J. Math. Pure et Appl. 60 (1981), 375–484.

Walker R. J. Algebraic Curves. — Springer-Verlag, 1978. [Имеется перевод: Уокер Р. Алгебраические кривые. — М.: ИЛ, 1952.]

Washington L. Introduction to Cyclotomic Fields. — Springer-Verlag, 1982.

Weil A. Number of solutions of equations in finite fields. — Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 497–508. (Collected Papers, Vol. I, 399–410.)

Weil A. Jacobi sums as «Grössencharaktere». — Trans. Amer. Math. Soc. 73 (1952), 487–495. (Collected Papers, Vol. II, 63–71.)

Weil A. On a certain type of characters of the idèle-class group of an algebraic number field. — Proc. Intern. Symp. on Alg. Num. Theory, Tokyo–Nikko (1955), 1–7. (Collected Papers, Vol. II, 255–261.)

Weil A. Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen. — Math. Ann. 168 (1967), 149–156.

Weil A. Review of «The mathematical career of Pierre de Fermat» by M. S. Mahoney. — Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), 1138–1149. (Collected Papers, Vol. III, 266–277.)

Weil A. Basic Number Theory, 3rd ed. — Springer-Verlag, 1974. [Имеется перевод: Вейль А. Основы теории чисел. — М.: Мир, 1972.]

Weil A. Sur les sommes de trois et quatre carrés. — L'Enseignement Math. 20 (1974), 215–222. (Collected Papers, Vol. III, 303–310.)

Weil A. La cyclotomie jadis et naguère. — Sém. Bourbaki No. 452. In: Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 431 (1975), 318–338, and: l'Enseignement Math. 20 (1974), 247–263. (Collected Papers, Vol. III, 311–327.)

Weil A. Sommes de Jacobi et caractères de Hecke. — Gött. Nachr. Nr. 1 (1974), 14 pp. (Collected Papers, Vol. III, 329–342.)

Weil A. Number Theory: an Approach through History from Hammurapi to Legendre. — Birkhauser, 1983.

Whittaker E. T., Watson G. N. A Course of Modern Analysis, 4th ed. — Cambridge Univ. Press, 1958. [Имеется перевод: Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, тт. 1, 2. — М.: Физматлит, 1963.]

Zagier D. Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2. — C. R. Acad. Sc. Paris 281 (1975), 883–886.

Zagier D. Modular forms associated with real quadratic fields. — Invent. Math. 30 (1975), 1–46.

Zagier D. On the values at negative integers of the zeta function of real quadratic fields. — l'Enseignement Math. 22 (1976), 55–95.

Zagier D. Modular forms whose Fourier coefficients involve zeta-functions of quadratic fields. — Springer Lecture Notes in Math. 627 (1977), 105–169.