Graduate Texts in Mathematics 97

Neal Koblitz


 Introduction to Elliptic 
Curves and Modular Forms
    Н.Коблиц



Введение
в эллиптические
кривые
и модулярные
формы



Перевод с английского
О. В. Огиевецкого

под редакцией
Ю. И. Манина
  Springer-Verlag
New York   Berlin   Heidelberg   Tokyo
1984
   


Москва «Мир» 1988
 





 
4305 Кб
 
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода5
Предисловие7
 
Глава I.
От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
9
  § 1. Конгруэнтные числа11
§ 2. Одно кубическое уравнение15
§ 3. Эллиптические кривые18
§ 4. Двоякопериодические функции23
§ 5. Поле эллиптических функций28
§ 6. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса33
§ 7. Закон сложения41
§ 8. Точки конечного порядка49
§ 9. Точки над конечными полями и задача о конгруэнтных числах56
 
Глава II.
L-функция Хассе–Вейля эллиптической кривой
66
  § 1. Конгруэнц-дзета-функция66
  § 2. Дзета-функция кривой En72
  § 3. Зависимость от p81
  § 4. Прототип: дзета-функция Римана88
  § 5. L-функция Хассе–Вейля и её функциональное уравнение99
  § 6. Критическое значение113
 
Глава III.
Модулярные формы
122
  § 1. Группа SL2(Z) и её конгруэнц-подгруппы122
  § 2. Модулярные формы относительно SL2(Z)135
  § 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп153
  § 4. Закон преобразования для тэта-функции184
  § 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке192
 
Глава IV.
Модулярные формы полуцелого веса
222
  § 1. Определения и примеры223
  § 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно Γ̃0(4)234
  § 3. Операторы Гекке на формах полуцелого веса255
  § 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла и задача о конгруэнтных числах269
 

Ответы, наброски решений и литературные указания к избранным упражнениям

283
Литература306
Именной указатель311
Предметный указатель  313



От редактора перевода

Американский математик Нил Коблиц известен русскому читателю по переводу его книги «p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции» (М.: Мир, 1982). Его новую книгу можно рассматривать как введение в теорию чисел, основанное на материале очень активно развивающегося сейчас раздела — арифметики эллиптических кривых. Отправной точкой изложения является древняя задача о конгруэнтных числах, которая получила (почти) полное решение лишь в 1983 г. в работе молодого американского математика Туннелла. Как часто бывает с трудными классическими задачами, это решение лежит на пересечении нескольких самостоятельных теорий — геометрии эллиптических кривых, теории модулярных форм, теории алгебраических чисел, — которые развивались, повинуясь своей внутренней логике. Поэтому выбор центральной задачи такого рода позволяет удачно сочетать преимущества двух конкурирующих методов изложения — на примерах и частных случаях, с одной стороны, и систематического, от определений к теоремам, с другой.

Мне представляется, что эта хорошо задуманная и хорошо выполненная книга долго будет популярна у всех математиков, любящих теорию чисел, и у молодых в особенности.

Ю. И. Манин


Предисловие

В этой книге рассмотрены основные свойства эллиптических кривых и модулярных форм, особенно их теоретико-числовые аспекты. Главным примером и мотивировкой для большей части книги служит задача о конгруэнтных числах.

Я намеревался сделать этот предмет доступным для тех, кому трудно изучать более продвинутые или более алгебраически ориентированные работы. В то же время я хотел, чтобы книга включала в себя темы, находящиеся на переднем крае современных исследований. Основной текст и упражнения снабжены конкретными примерами, чтобы сделать материал интересным и увлекательным для математиков, работающих в областях, далёких от предмета этой книги.

Многочисленные упражнения (и ответы к ним) включены для того, чтобы книга стала полезной и для старшекурсников, прослушавших стандартные курсы вещественного и комплексного анализа и алгебры. Они смогут найти здесь приложения изученного материала, углубив тем самым своё понимание некоторых основных приёмов, постоянно применяемых в разных областях математики. Студенты, выбравшие своей специальностью теорию чисел или алгебраическую геометрию, найдут в этой книге мотивированное и снабжённое многими примерами введение в предмет, а студенты младших курсов могут использовать её для курсовых работ и для обсуждений на семинарах.

Эта книга написана на основе записей лекций, которые я прочёл в Вашингтонском университете в 1981–1982 гг., а также ряда лекций в Ханойском математическом институте в апреле 1983 г. Я хотел бы поблагодарить слушателей обоих курсов за их активный интерес. В особенности я благодарен Гэри Нелсону, который прочёл всю книгу в рукописи и сделал много замечаний и исправлений. Я хотел бы также поблагодарить профессоров Дж. Булера, Б. Мазура, Б. X. Гросса и Хинь Муи за их советы, интерес и поддержку.

Рисунок на фронтисписе выполнен профессором А. Т. Фоменко из Московского государственного университета. Этот рисунок иллюстрирует тему этой книги. На нём изображено семейство эллиптических кривых (торов), возникающее в задаче о конгруэнтных числах. Эллиптическая кривая, соответствующая натуральному числу n, разветвляется в точках 0, ∞, n и n; на рисунке мы видим, как эти кривые переплетаются и деформируются, когда точки ветвления ±n стремятся к бесконечности.

Примечание: литературные ссылки даются в виде [Автор год]; в случае, когда в списке литературы участвует несколько работ одного автора, вышедших в одном и том же году, мы ставим буквы a, b, ... после года, чтобы указать порядок работ в списке.

Сиэтл, Вашингтон Нил Коблиц

ДЕФОРМАЦИЯ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Изображена «трёхмерная модель» деформации римановой поверхности алгебраической функции w2 = (za)(zb)(zc)(zd) в четырёхмерном евклидовом пространстве. Риманова поверхность такой функции гомеоморфна двумерной сфере с одной ручкой, т.е. двумерному тору (при условии, что все корни a, b, c, d полинома степени 4 различны). С точки зрения теории алгебраических функций для построения указанной римановой поверхности нужно взять два экземпляра двумерной сферы, на каждом из которых сделано по два разреза, и склеить (отождествить) соответствующие берега разрезов. В результате получится тор, представленный как две сферы, соединенные двумя трубками-цилиндрами. Такова картина в случае, когда все 4 корня простые, т.е. не кратные. Если же полином начинает деформироваться таким образом, что его корни стремятся слиться (т.е. когда в пределе получаются кратные корни), то риманова поверхность также реагирует на эту деформацию. Она начинает деформироваться таким образом, что на ней появляются исчезающие циклы, возникают особые точки, и в результате риманова поверхность перестаёт быть гладкой. Пример такой деформации и показан нами.

A. Т. Фоменко.
«Математика и миф
сквозь призму геометрии
».
М., Изд-во МГУ, 2001.




Глава I
От конгруэнтных чисел
к эллиптическим кривым

В теории эллиптических кривых и модулярных форм соединяются самые разные ветви математики: комплексный анализ, алгебраическая геометрия, теория представлений, теория чисел. Хотя мы будем придерживаться теоретико-числовой точки зрения, нам придётся использовать технику, изучаемую в стандартных курсах комплексного и вещественного анализа и алгебры. Теория чисел богата гипотезами и теоремами, формулировки которых доступны старшеклассникам, а доказательства либо не найдены, либо, в отдельных случаях, венчают усилия многих десятилетий исследовательской работы и используют самые сильные технические средства математики двадцатого века.

Круг вопросов, обсуждаемых в этой книге, мотивирован одной из таких теорем. Её содержание составляет недавно открытое Дж. Туннеллом изящное описание так называемых «конгруэнтных чисел» [Tunnell 1983]. Мы не сможем доказать все необходимые результаты; тем не менее, большая часть теоремы Туннелла будет разобрана во всех подробностях.

Теорема Туннелла даёт почти исчерпывающее решение древней задачи: найти простой способ определять, является ли данное целое число n площадью прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон. Натуральное число n называется конгруэнтным, если существует прямоугольный треугольник, все стороны которого рациональны, а площадь равна n. Например, 6 — площадь треугольника со сторонами 3, 4 и 5 и, следовательно, 6 — конгруэнтное число.

Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами X, Y, Z («пифагоровы тройки») изучались в Древней Греции Пифагором, Евклидом, Диофантом и др. Основным открытием этих математиков был простой способ построения всех таких треугольников. А именно, выберем пару целых положительных чисел a и b, таких, что a>b, и проведём в uv-плоскости прямую через точку (–1, 0) с наклоном b/a. Пусть (uv) — вторая точка пересечения этой прямой с единичной окружностью (см. рис.). Нетрудно показать, что

u a2b2

a2 + b2

 ,     v 2ab

a2 + b2

 .

Тогда целые числа X = a2b2, Y = 2ab и Z = a2 + b2 являются сторонами прямоугольного треугольника; то, что X 2 + Y 2 = Z 2, следует из равенства u2 + v2 = 1. Придавая a и b различные натуральные значения так, что a>b, мы получаем всевозможные пифагоровы тройки (см. ниже, задача 1).

Некоторые из чисел n, возникающих как площади рациональных прямоугольных треугольников, изучались в Греции. Однако первое систематическое обсуждение задачи о конгруэнтных числах было предпринято, по-видимому, только арабскими учёными десятого столетия (более подробную историю задачи описания конгруэнтных чисел см. [Dickson 1952, ch. XVI], а также [Guy 1981, sec. D27]). Арабские исследователи предпочли иметь дело с такой переформулировкой задачи: можно ли по данному n найти рациональное число x, такое, что числа x2 + n и x2n являются квадратами рациональных чисел? (Эквивалентность этих двух форм задачи о конгруэнтных числах была известна грекам и арабам; доказательство этого элементарного факта см. ниже, предложение 1).

После этого многие математики тратили значительные усилия на исследование отдельных случаев задачи о конгруэнтных числах. В частности, Эйлер первым показал, что n = 7 конгруэнтное число. Ферма показал, что n = 1 не конгруэнтно. Этот результат, по существу, эквивалентен последней теореме Ферма для показателя 4 (т.е. тому, что уравнение X 4 + Y 4 = Z 4 не имеет нетривиальных целочисленных решений).

Со временем стало известно, что числа 1, 2, 3, 4 не являются конгруэнтными, а 5, 6, 7 являются. Однако попытка найти непосредственный критерий конгруэнтности данного числа n казалась безнадёжной. В двадцатом веке произошло существенное продвижение в понимании этой задачи. Она оказалась включённой в рамки арифметической теории эллиптических кривых. Именно эта теория позволила Туннеллу доказать свою замечательную теорему.

Часть этой теоремы звучит так (полная формулировка будет приведена позже):

Теорема (Туннелл). Пусть n — нечётное натуральное число, свободное от квадратов. Рассмотрим два условия:
(A) n конгруэнтно;
 (B)

число троек целых чисел (X,Y,Z), удовлетворяющих уравнению 2x2 + y2 + 8z2 = n, равно удвоенному числу троек, удовлетворяющих уравнению 2x2 + y2 + 32z2 = n.

Тогда из (A) следует (B); кроме того, если верна слабая форма так называемой гипотезы Бёрча—Суиннертон-Дайера, то из (B) следует (A).

Основные понятия, необходимые для доказательства теоремы Туннелла, — это L-функция Хассе—Вейля эллиптической кривой, гипотеза Бёрча—Суиннертон-Дайера, модулярные формы полуцелого веса. Они будут обсуждаться в следующих главах. В этой главе мы будем заниматься установлением связи между конгруэнтными числами и некоторым семейством эллиптических кривых. По ходу дела будут приведены определение и некоторые основные свойства эллиптических кривых.


§ 1. Конгруэнтные числа

Дадим сначала более общее определение конгруэнтного числа. Положительное рациональное число rÎQ называется конгруэнтным, если оно является площадью некоторого прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон. Пусть r конгруэнтно и X, Y, ZÎQ — стороны треугольника с площадью r. Для любого rÎQ мы можем найти такое sÎQ, что s2r — целое число, свободное от квадратов. Но площадь треугольника со сторонами sX, sY, sZ равна s2r. Таким образом, не нарушая общности, можно считать, что r=n — натуральное число, свободное от квадратов. Используя язык теории групп, можно сказать, что свойство числа n из мультипликативной группы Q+ положительных рациональных чисел быть конгруэнтным зависит только от его образа в факторгруппе по подгруппе (Q+)2, состоящей из квадратов рациональных чисел; каждый элемент из Q+/(Q+)2 содержит единственный представитель, являющийся натуральным числом, свободным от квадратов. Всюду в дальнейшем, говоря о конгруэнтных числах, мы будем предполагать, что это положительные целые числа, свободные от квадратов.

Заметим, что в определении конгруэнтного числа стороны треугольника должны быть только рациональными, не обязательно целыми. В то время как n=6 — наименьшая возможная площадь треугольника с целочисленными сторонами, можно найти прямоугольные треугольники с рациональными сторонами и с площадью n=5. Такую площадь имеет треугольник со сторонами 11/2, 62/3, 65/6. Оказывается, n=5 — наименьшее конгруэнтное число (напомним, что под конгруэнтным числом мы понимаем натуральное свободное от квадратов конгруэнтное число).

11/2  65/6
  62/3

Имеется простой алгоритм, использующий пифагоровы тройки, который позволяет в принципе перечислить все конгруэнтные числа (см. задачи ниже). К сожалению, для данного числа n нельзя сказать, как долго придётся ждать появления числа n, если оно конгруэнтно; таким образом, то, что n не появилось, ещё не означает, что оно неконгруэнтно — может быть, мы просто ждали недостаточно долго. С практической точки зрения, теорема Туннелла замечательна тем, что условие (B) легко и быстро проверяется с помощью эффективного алгоритма. Таким образом, эта теорема почти исчерпывает вопрос о конгруэнтных числах и даёт проверяемый критерий конгруэнтности числа n. Нам приходится говорить «почти исчерпывает» потому, что известно, что в одном направлении критерий работает только в предположении справедливости некоторой гипотезы об эллиптических кривых.

Предположим теперь, что X, Y, Z — стороны прямоугольного треугольника с площадью n. Это означает, что X 2 + Y 2 = Z 2 и 1/2XY = n. Таким образом, на алгебраическом языке свойство числа n быть конгруэнтным означает, что эти два уравнения имеют одновременное решение X, Y, ZÎQ. В нижеследующем предложении мы выводим другое условие конгруэнтности числа n. При перечислении треугольников со сторонами X, Y, Z нам не хотелось бы учитывать отдельно X, Y, Z и Y, X, Z. Поэтому, начиная с этого момента, фиксируем порядок сторон треугольника требованием, чтобы X<Y<Z (Z гипотенуза).

Предложение 1. Пусть n — положительное целое свободное от квадратов число; X, Y, Z, x всегда будут обозначать рациональные числа с X<Y<Z. Имеется взаимно однозначное соответствие между:

  1. прямоугольными треугольниками с катетами X и Y, гипотенузой Z и площадью n;
  2. числами x, для которых все три числа x, x+n, xn являются квадратами рациональных чисел.

Соответствие задаётся следующими формулами:

X, Y, Z  →  x = (Z/2)2
x  →  X = √x+n – √xn,   Y = √x+n + √xn,   Z = 2√x.

В частности, число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда существует такое число x, что все три числа x, x+n, xn являются квадратами рациональных чисел.

Доказательство. Сперва предположим, что X, Y, Z — нужная нам тройка: X 2 + Y 2 = Z 2, 1/2XY = n. Добавляя и вычитая учетверённое второе уравнение из первого, получаем: (X ± Y)2 = Z 2 ± 4n. Разделив обе части на 4, мы находим, что число x = (Z/2)2 таково, что числа x±n суть квадраты чисел (X±Y)/2. Обратно, пусть число x обладает требуемыми свойствами. Легко видеть, что три положительных рациональных числа X<Y<Z, определяемые формулами из предложения, удовлетворяют тождествам XY = 2n и X 2 + Y 2 = 4x = Z 2. Наконец, чтобы установить взаимно однозначное соответствие, остаётся проверить, что различные тройки X, Y, Z не могут приводить к одному и тому же значению x. Мы оставляем эту проверку читателю (см. задачи ниже).


ЗАДАЧИ

 1.  Напомним, что пифагорова тройка (X,Y,Z) — это решение уравнения X 2 + Y 2 = Z2 в положительных целых числах. Она называется примитивной, если числа X, Y, Z не имеют общего делителя. Выберем пару a, b, a>b, взаимно простых положительных целых чисел противоположной чётности. Покажите, что X = a2b2, Y = ab, Z = a2 + b2 образуют примитивную пифагорову тройку и что все примитивные пифагоровы тройки могут быть получены таким способом.


 2.  Используя задачу 1, составьте блок-схему алгоритма, который перечисляет все свободные от квадратов конгруэнтные числа (конечно, не в возрастающем порядке). Выпишите, следуя вашему алгоритму, первые двенадцать различных конгруэнтных чисел. Заметим, что узнать, когда данное конгруэнтное число n впервые появится в списке, невозможно. Например, 101 — конгруэнтное число, но первая пифагорова тройка, которая приводит к треугольнику с площадью s2 = 101, содержит 22-значные числа (см. [Guy 1981, p. 106]). С числом 157 дело обстоит ещё хуже (см. рис.). Этот алгоритм не может быть использован для доказательства того, что некоторое число n не является конгруэнтным. Таким образом, это не настоящий алгоритм, а лишь «полуалгоритм».

X
6803298487826435051217540

411340519227716149383203

 ,
Y
411340519227716149383203

21666555693714761309610

 ,
Z 224403517704336969924557513090674863160948472041

8912332268928859588025535178967163570016480830

 .
Простейший рациональный прямоугольный треугольник с площадью n=157 (вычислено Д. Цагиром).

 3.  (a) Покажите, что если бы 1 было конгруэнтным числом, то уравнение x4y4 = u2 имело бы целочисленное решение с нечётным u.

(b) Покажите, что 1 не является конгруэнтным числом. (Замечание: отсюда следует последняя теорема Ферма для показателя 4.)


 4.  Закончите доказательство предложения 1, показав, что две различные тройки X, Y, Z не могут привести к одному и тому же x.


 5.  (a) Найдите xÎ(Q+)2, такое, что x±5Î(Q+)2.

(b) Найдите xÎ(Q+)2, такое, что x±6Î(Q+)2.

(c) Найдите два значения xÎ(Q+)2, такие, что x±210Î(Q+)2. В конце этой главы мы докажем, что если найдётся одно такое значение x, то их бесконечно много. Или, что эквивалентно (по предложению 1), если существует хотя бы один прямоугольный треугольник с рациональными длинами сторон и площадью n, то их существует бесконечно много.


 6.  (a) Покажите, что условие (B) теоремы Туннелла эквивалентно следующему условию: число способов, которыми n может быть записано в виде 2x2 + y2 + 8z2 с целыми x, y и z и нечётным z, равно числу способов, которыми n может быть записано в этом виде с чётным z.

(b) Напишите блок-схему алгоритма, проверяющего для данного n условие (В) теоремы Туннелла.

 7.  (а) Покажите, что условие (B) теоремы Туннелла выполнено в случае, когда n сравнимо с 5 или 7 по модулю 8.

(b) Проверяя условие (B) для всех свободных от квадратов чисел n, сравнимых с 1 или 3 по модулю 8, найдите первое n, для которого условие (B) выполнено.

(c) По теореме Туннелла число, найденное в пункте (b), будет наименьшим конгруэнтным числом, сравнимым с 1 или 3 по модулю 8. Используя алгоритм из задачи 2, найдите прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и площадью, равной числу из пункта (b).


[· · ·]

Теорема ([Tunnell 1983]). Если n — нечётное (соответственно чётное) свободное от квадратов положительное число, равное площади некоторого прямоугольного треугольника с рациональными сторонами, то

# {  x, y, zÎZ | n = 2x2 + y2 + 32z2 } 1

2

 # {  x, y, zÎZ | n = 2x2 + y2 + 8z2 }

(соответственно

# {  x, y, zÎZ  |   n

2

 = 4x2 + y2 + 32z2 } 1

2

 # {  x, y, zÎZ  |   n

2

 = 4x2 + y2 + 8z2 }  ).

Обратно, если слабая гипотеза Бёрча–Суиннертон-Дайера верна для эллиптических кривых En: y2 = x3n2x, то из этих равенств следует, что n — конгруэнтное число.

На рисунке мы схематически изобразили основные этапы рассуждений.


число n конгруэнтно
элементарная часть
(гл. I)
кривая En: y2 = x3n2x имеет
бесконечно много рациональных точек
гипотеза Бёрча–
Суиннертон-Дайера


Коутс–Уайлс
L(En, 1) = 0
Теоремы Шимуры,
Вальдспургера,
Туннелла
n-й коэффициент q-разложения
произведения Туннелла тэта-функций
равен нулю

Отметим, что совсем недавно Б. X. Гроссу и Д. Цагиру ([Gross, Zagier 1983]) удалось показать, что слабая гипотеза Бёрча–Суиннертон-Дайера верна для кривых En для широкого класса чисел n. Для таких n теорема Туннелла становится полноправным утверждением о том, что свойства числа n быть конгруэнтным эквивалентно определённым равенствам; это равенства между количествами способов, которыми число n (или n/2) может быть представлено некоторыми простыми квадратичными формами от трёх переменных.

Как упоминалось в гл. I, практическое значение теоремы Туннелла состоит в том. что она даёт эффективный и быстрый алгоритм для определения того, конгруэнтно ли данное число n. К тому же, можно дать новые простые доказательства неконгруэнтности числа n в определённых условиях. Например, если n — простое число, сравнимое с 3 по модулю 8, то Туннелл показывает, что число n не конгруэнтно. Это и другие следствия можно найти в статье Туннелла.

Только в одном смысле теорема Туннелла всё ещё остаётся не полностью удовлетворительным решением древней задачи о конгруэнтных числах: в одном направлении она опирается на слабую гипотезу Бёрча–Суиннертон-Дайера для некоторых эллиптических кривых. Но за последнее время были достигнуты значительные успехи в доказательстве этой гипотезы для достаточно широкого класса кривых, включающего кривые En. В дополнение к работе Гросса и Цагира, упомянутой выше, Р. Гринбергу ([Greenberg 1983]) удалось доказать, что если бы эта гипотеза была неверна для таких кривых, как En, обладающих комплексным умножением, то отсюда вытекали бы весьма неправдоподобные следствия для групп Тэйта–Шафаревича этих эллиптических кривых.

Замечательно, что полученное теперь близкое к полному решение такого старого и наивного вопроса, как задача о конгруэнтных числах, потребовало привлечения самых мощных и изощрённых средств из разнообразных областей математики двадцатого века.


Литература

1. 

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд. — М.: Наука, 1986.

2. 

Манин Ю. И. Круговые поля и модулярные кривые. — УМН, 26, 6 (1971).

3. 

Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.


Alter R. The congruent number problem. — Amer. Math. Monthly 87 (1980), 43–45.

Andrews G. E. The theory of partitions. — Addison-Wesley, 1976. [Имеется перевод: Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982.]

Arthaud N. On Birch and Swinnerton-Dyer's conjecture for elliptic curves with complex multiplication. — Compositio Math. 37 (1978), 209–232.

Artin E. The Gamma Function. — Holt, Rinehart & Winston, 1964.

Artin E. Collected Papers. — Addison-Wesley, 1965.

van Asch A. G. Modular forms of half integral weight, some explicit arithmetic. — Math. Ann. 262 (1983), 77–89.

Atkin A. O. L., Lehner J. Hecke operators on Г0(m). — Math. Ann. 185 (1970), 134–160.

Bellman R. A Brief Introduction to Theta Functions. — Holt, Rinehart & Winston, 1961.

Birch B. J. Conjectures on elliptic curves. — Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. 8 (1963), 106–112.

Birch B. J. Heegner points on elliptic curves. — Symp. Math. Ist. d. Alta Mat. 15 (1975), 441–445.

Birch B. J., Swinnerton-Dyer H. P. F. Notes on elliptic curves I and II. — J. Reine Angew. Math. 212 (1963), 7–25; 218 (1965), 79–108.

Brumer A., Kramer K. The rank of elliptic curves. — Duke Math. J. 44 (1977), 715–742.

Cassels J. W. S. Diophantine equations with special reference to elliptic curves. — J. London Math. Soc. 41 (1966), 193–291. [Имеется перевод: сб. Математика, 12:1 (1968), 113–160; 12:2 (1968), 5–48.]

Cassels J. W. S., Frölich A., eds. Algebraic Number Theory. — Academic Press, 1967. [Имеется перевод: Алгебраическая теория чисел. Под ред. Дж. Касселса  и  А. Фрёлиха. — М.: Мир, 1969.]

Coates J. The arithmetic of elliptic curves with complex multiplication. — Proc. Int. Cong. Math. Helsinki (1978), 351–355.

Coates J., and Wiles A. On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer. — Invent. Math. 39 (1977), 223–251.

Cohen H. Sommes de carrés, fonctions L et formes modulaires. — C. R. Acad. Sc. Paris 277 (1973), 827–830.

Cohen H. Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters. — Math. Ann. 217 (1975), 271–285.

Cohen H. Variations sur un Thème de Siegel et Hecke. — Acta Arith. 30 (1976), 63–93.

Cohen H., Oesterlé J. Dimensions des espaces de formes modulaires. — Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 627 (1976), 69–78.

Davenport H., Hasse H. Die Nullstellen der Kongruenz-zetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. — J. Reine Angew. Math. 172 (1935), 151–183.

Deligne P. Valeurs de fonctions L et périodes d'intégrales. — Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. 33 (1979), Part 2, 313–346. [Имеется перевод: Делинь П. Значения L-функций и периоды интегралов. В сб.: Автоморфные формы, представления и L-функции. — М.: Мир, 1984.]

Deligne P., Serre J.-P. Formes modulaires de poids 1. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 7 (1974), 507–530.

Dickson L. E. History of the theory of numbers. — Chelsea, 1952.

Dirichlet P. G. L. Werke. — Chelsea, 1969.

Dwork B. On the rationality of the zeta function. — Amer. J. Math. 82 (1960), 631–648. [Имеется перевод: сб. Математика, 5:6 (1961), 55–71.]

Eichler М., Zagier D. On the Theory of Jacobi forms. — Birkhauser, 1984.

Flicker Y. Automorphic forms on covering groups of GL(2). — Invent. Math. 57 (1980), 119–182.

Gelbart S. Weil's Representation and the Spectrum of the metaplectic group. — Lecture Notes in Math. 530, Springer-Verlag, 1976.

Goldfeld D. Sur les produits partiels eulériens attachés aux courbes elliptiques. — C. R. Acad. Sc. Paris 294 (1982), 471–474.

Goldfeld D., Hoffstein J., Patterson S. J. On automorphic functions of half-integral weight with applications to elliptic curves. In: Number Theory Related to Fermat's Last Theorem. — Birkhauser, 1982, 153–193.

Goldfeld D., Viola C. Mean values of L-functions associated to elliptic, Fermat and other curves at the center of the critical strip. — J. Number Theory 11 (1979), 305–320.

Goldfeld D., Viola C. Some conjectures on elliptic curves over cyclotomic fieds. — Trans. Amer. Math. Soc. 276 (1983), 511–515.

Greenberg R. On the Birch and Swinnerton-Dyer conjectures. — Invent. Math. 72 (1983), 241–265.

Gross B. H. Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication. — Lecture Notes in Math. 776, Springer-Verlag, 1980.

Gross B. H., Zagier D. On the critical values of Hecke L-series. — Soc. Math. de France Mem. No. 2 (1980), 49–54.

Gross B. H., Zagier D. Points de Heegner et dérivées de fonctions L. — C. R. Acad. Sc. Paris 297 (1983), 85–87.

Gunning R. C. Lectures on modular forms. — Princeton Univ. Press, 1962. [Имеется перевод: сб. Математика 8:6 (1964), 3–68.]

Guy R. К. Unsolved Problems in Number Theory. — Springer-Verlag, 1981.

Hardy G. H. On the representation of a number as the sum of any number of squares, and in particular of five or seven. — Proc. Nat. Acad. Sci. 4 (1918), 189–193. (Collected Papers, Vol. 1, 340, Clarendon Press, 1960.)

Hardy G. H. On the representation of a number as the sum of any number of squares, and in particular of five. — Trans. Amer. Math. Soc. 21 (1920), 255–284. (Collected Papers, Vol. 1, 345, Clarendon Press, 1960.)

Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. — 4th ed., Oxford Univ. Press, 1960.

Hartshorne R. Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1977. [Имеется перевод: Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.]

Hasse H. Number Theory. — Springer, 1980. [Имеется перевод: Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: ИЛ, 1953.]

Hecke E. Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung. — Math. Ann. 112 (1936), 664–699. (Math. Werke, 591–626.)

Hecke E. Herleitung des Euler-Produktes der Zetafunktion und einiger L-Reihen aus ihrer Funktionalgleichung. — Math. Ann. 119 (1944), 266–287. (Math. Werke, 919–940.)

Hecke E. Lectures on the Theory of Algebraic Numbers. — Springer-Verlag, 1981. [Имеется перевод: Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. — М.–Л.: Гостехиздат, 1940.]

Hecke E. Lectures on Dirichlet Series, Modular Functions and Quadratic Forms. — Vandenhoeck and Ruprecht, 1983.

Ireland K., Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. — Springer-Verlag, 1982. [Имеется перевод: Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.]

Katz N. An overview of Deligne's proof of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields. — Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. 28 (1976), 275–305.

Katz N. p-adic interpolation of real analytic Eisenstein series. — Ann. Math. 104 (1976), 459–571.

Koblitz N. p-adic numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, 2nd ed. — Springer-Verlag, 1984. [Имеется перевод: Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. — М.: Мир, 1982.]

Koblitz N. p-adic Analysis: a Short Course on Recent Work. — Cambridge Univ. Press, 1980.

Koblitz N. Why study equations over finite fields? — Math. Magazine 55 (1982), 144–149.

Kohnen W. Modular forms of half integral weight on Γ0(4). — Math. Ann. 248 (1980), 249–266.

Kohnen W. Beziehungen zwischen Modulformen halbganzen Gewichts und Modulformen ganzen Gewichts. — Bonner Math. Scriften, 131 (1981).

Kohnen W. Newforms of half-integral weight. — J. Reine und Angew. Math. 333 (1982), 32–72.

Kohnen W., Zagier D. Values of L-series of modular forms at the center of the critical strip. — Invent. Math. 64 (1981), 175–198.

Lang S. Algebraic Number Theory. — Addison-Wesley, 1970.

Lang S. Elliptic Functions. — Addison-Wesley, 1973. [Имеется перевод: Ленг С. Эллиптические функции. — М. Наука, 1984.]

Lang S. Introduction to Modular Forms. — Springer-Verlag, 1976. [Имеется перевод: Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. — М.: Мир, 1979.]

Lang S. Sur la conjecture de Birch–Swinnerton-Dyer (d'après J. Coates et A. Wiles). — Sém. Bourbaki No. 503, In: Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 677 (1978), 189–200.

Lang S. Elliptic Curves Diophantine Analysis. — Springer-Verlag, 1978.

Lang S. Units and class groups in number theory and algebraic geometry. — Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 253–316.

Lang S. Algebra. — Benjamin/Cummings, 1984. [Имеется перевод: Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.]

Le Veque W. J. Fundamentals of Number Theory. — Addison-Wesley, 1977.

Manin Yu. I. Modular forms and number theory. — Proc. Int. Cong. Math. Helsinki (1978), 177–186.

Marcus D. Number Fields. — Springer-Verlag, 1977.

Modular Functions of One Variable IV. — Lecture Notes in Math. 476, Springer-Verlag, 1975.

Moreno C. J. The higher reciprocity laws: an example. — J. Number Theory 12 (1980), 57–70.

Mumford D. Algebraic Geometry 1: Complex Projective Varieties. — Springer-Verlag, 1976. [Имеется перевод: Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия I: Комплексные проективные многообразия. — М.: Мир, 1979.]

Niwa S. Modular forms of half-integral weight and the integral of certain theta-functions. — Nagoya Math. J. 56 (1975), 147–161.

Ogg A. Modular Forms and Dirichlet Series. — W. A. Benjamin, 1969.

Rankin R. A. Modular Forms and Functions. — Cambridge Univ. Press, 1977.

Schoeneberg B. Elliptic Modular Functions: an Introduction. — Springer-Verlag, 1974.

Serre J.-P. Formes modulaires et functions zeta p-adiques. — Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 350 (1973), 191–268.

Serre J.-P. A Course in Arithmetic. — Springer-Verlag, 1977. [Имеется перевод: Cepp Ж.-П. Курс арифметики. — М.: Мир, 1972.]

Serre J.-P., Stark H. M. Modular forms of weight 1/2. — Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 627 (1977), 27–67.

Shimura G. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphis Functions. — Princeton Univ. Press, 1971. [Имеется перевод: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. — М.: Мир, 1973.]

Shimura G. On modular forms of half-integral weight. — Ann. of Math. 97 (1973), 440–481.

Shimura G. Modular forms of half-integral weight. — Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 320 (1973), 59–74.

Shintani T. On construction of holomorphic cusp forms of half-integral weight. — Nagoya Math. J. 58 (1975), 83–126.

Siegel C. L. On Advanced Analytic Number Theory. — Tata Institute (Bombay), 1961.

Stephens N. M. Congruence properties of congruent numbers. — Bull. London Math. Soc. 7 (1975), 182–184.

Swinnerton-Dyer H. P. F. The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and of Tate. — In: Proc. Conf. Local Fields, Springer-Verlag, 1967. [Имеется перевод: сб. Математика, 13:5 (1963), 3–25.]

Tate J. The arithmetic of elliptic curves. — Invent. Math. 23 (1974), 179–206.

Tunnell J. A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2. — Invent. Math. 72 (1983), 323–334.

Vignéras M.-F. Valeur au centre de symmétrie des fonctions L associées aux formes modulaires. — Sém. Delange–Pisot–Poitou, 1980.

van der Waerden B. L. Algebra (2 vols.). — Frederick Ungar, 1970. [Имеется перевод: ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.]

Waldspurger J. L. Correspondance de Shimura. — J. Math. Pures et Appl. 59 (1980), 1–132.

Waldspurger J. L. Sur les coefficients de Fourier des formes modulaires de poids demi-entier. — J. Math. Pure et Appl. 60 (1981), 375–484.

Walker R. J. Algebraic Curves. — Springer-Verlag, 1978. [Имеется перевод: Уокер Р. Алгебраические кривые. — М.: ИЛ, 1952.]

Washington L. Introduction to Cyclotomic Fields. — Springer-Verlag, 1982.

Weil A. Number of solutions of equations in finite fields. — Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 497–508. (Collected Papers, Vol. I, 399–410.)

Weil A. Jacobi sums as «Grössencharaktere». — Trans. Amer. Math. Soc. 73 (1952), 487–495. (Collected Papers, Vol. II, 63–71.)

Weil A. On a certain type of characters of the idèle-class group of an algebraic number field. — Proc. Intern. Symp. on Alg. Num. Theory, Tokyo–Nikko (1955), 1–7. (Collected Papers, Vol. II, 255–261.)

Weil A. Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen. — Math. Ann. 168 (1967), 149–156.

Weil A. Review of «The mathematical career of Pierre de Fermat» by M. S. Mahoney. — Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), 1138–1149. (Collected Papers, Vol. III, 266–277.)

Weil A. Basic Number Theory, 3rd ed. — Springer-Verlag, 1974. [Имеется перевод: Вейль А. Основы теории чисел. — М.: Мир, 1972.]

Weil A. Sur les sommes de trois et quatre carrés. — L'Enseignement Math. 20 (1974), 215–222. (Collected Papers, Vol. III, 303–310.)

Weil A. La cyclotomie jadis et naguère. — Sém. Bourbaki No. 452. In: Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 431 (1975), 318–338, and: l'Enseignement Math. 20 (1974), 247–263. (Collected Papers, Vol. III, 311–327.)

Weil A. Sommes de Jacobi et caractères de Hecke. — Gött. Nachr. Nr. 1 (1974), 14 pp. (Collected Papers, Vol. III, 329–342.)

Weil A. Number Theory: an Approach through History from Hammurapi to Legendre. — Birkhauser, 1983.

Whittaker E. T., Watson G. N. A Course of Modern Analysis, 4th ed. — Cambridge Univ. Press, 1958. [Имеется перевод: Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, тт. 1, 2. — М.: Физматлит, 1963.]

Zagier D. Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2. — C. R. Acad. Sc. Paris 281 (1975), 883–886.

Zagier D. Modular forms associated with real quadratic fields. — Invent. Math. 30 (1975), 1–46.

Zagier D. On the values at negative integers of the zeta function of real quadratic fields. — l'Enseignement Math. 22 (1976), 55–95.

Zagier D. Modular forms whose Fourier coefficients involve zeta-functions of quadratic fields. — Springer Lecture Notes in Math. 627 (1977), 105–169.


Hosted by uCoz