ELLIPTIC FUNCTIONS 
SERGE LANG

 
    С. ЛЕНГ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ 
ФУНКЦИИ


Перевод с английского
С. А. СТЕПАНОВА

 
 


1973

Addison-Wesley publishing company, Inc.
Advanced book program
Reading, Massachusetts

LONDON · AMSTERDAM · DON MILLS 
ONTARIO · SYDNEY · TOKYO
   


МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 
1984
 




 
3712 Кб
 
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика6
Предисловие7
 
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Глава 1. Эллиптические функции9
    § 1. Теоремы Лиувилля9
§ 2. Функция Вейерштрасса11
§ 3. Теорема сложения16
§ 4. Классы изоморфных эллиптических кривых18
§ 5. Эндоморфизмы и автоморфизмы24
Глава 2. Гомоморфизмы26
§ 1. Точки конечного порядка26
§ 2. Изогении28
§ 3. Инволюция31
Глава 3. Модулярная функция32
§ 1. Модулярная группа32
§ 2. Автоморфные функции степени 2k35
§ 3. Модулярная функция j42
Глава 4. Разложения Фурье45
§ 1. Ряды Фурье для Gk, g2, g3, Δ и j45
§ 2. Ряд Фурье для функции Вейерштрасса47
§ 3. Числа Бернулли49
Глава 5. Модулярное уравнение51
§ 1. Целочисленные матрицы с положительным определителем52
§ 2. Модулярное уравнение54
§ 3. Связь с изогениями59
Глава 6. Высшие уровни61
§ 1. Конгруэнц-подгруппы61
§ 2. Поле модулярных функций над C62
§ 3. Поле модулярных функций над Q66
§ 4. Подполя поля модулярных функций73
Глава 7. Автоморфизмы поля модулярных функций76
§ 1. Рациональные адели группы GL276
§ 2. Действие рациональных аделей на поле модулярных функций78
§ 3. Точная последовательность Шимуры84
 
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.
КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ С СИНГУЛЯРНЫМИ ИНВАРИАНТАМИ
Глава 8. Результаты из алгебраической теории чисел87
§ 1. Решетки в квадратичных полях88
§ 2. Пополнения97
§ 3. Группа разложения и автоморфизм Фробениуса100
§ 4. Краткий обзор теории полей классов107
Глава 9. Редукция эллиптических кривых110
§ 1. Невырожденная редукция. Общий случай110
§ 2. Редукция гомоморфизмов112
§ 3. Накрытия уровня N113
§ 4. Редукция дифференциальных форм117
Глава 10. Комплексное умножение122
§ 1. Построение полей классов. Подход Дойринга122
§ 2. Идельная формулировка для произвольных решеток129
§ 3. Построение полей классов при помощи сингулярных значений модулярных функций132
§ 4. Эндоморфизм Фробениуса136
Приложение. Соотношение Кронекера144
Глава 11. Закон взаимности Шимуры148
§ 1. Соотношение между общими и специальными расширениями148
§ 2. Приложение к частному двух модулярных форм153
Глава 12. Функция Δ(ατ)/Δ(τ)159
§ 1. Поведение под действием автоморфизма Артина159
§ 2. Разложение на простые множители161
§ 3. Аналитическое доказательство соотношения сравнимости для функции j166
Глава 13. l-адическое и p-адическое представления Дойринга169
§ 1. l-адические пространства170
§ 2. Представления в характеристике p173
§ 3. Представления и изогении177
§ 4. Редукция кольца эндоморфизмов180
§ 5. Теорема поднятия Дойринга183
Глава 14. Теория Ихары186
§ 1. Представители Дойринга186
§ 2. Общая ситуация189
§ 3. Специальные ситуации190
 
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ С НЕЦЕЛЫМИ ИНВАРИАНТАМИ
Глава 15. Параметризация Тейта193
§ 1. Эллиптические кривые с нецелыми инвариантами193
§ 2. Эллиптические кривые над полным локальным кольцом198
Глава 16. Теоремы об изогении202
§ 1. p-адические представления Галуа202
§ 2. Результаты из теории Куммера205
§ 3. Локальные теоремы об изогении208
§ 4. Суперсингулярная редукция211
§ 5. Глобальные теоремы об изогении214
Глава 17. Точки конечного порядка над числовыми полями219
§ 1. Теорема Шафаревича219
§ 2. Теорема о неприводимости224
§ 3. Горизонтальная группа Галуа225
§ 4. Вертикальная группа Галуа228
§ 5. Конец доказательства230
 
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ.
ТЭТА-ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА
Глава 18. Бесконечные произведения233
§ 1. Сигма-функция и дзета-функция. Кососимметрическое спаривание233
§ 2. Нормализация и q-произведение для функции σ(z)240
§ 3. q-разложения242
§ 4. q-произведение для Δ243
§ 5. η-функция Дедекинда246
§ 6. Модулярные функции уровня 2248
Глава 19. Основная тэта-функция251
§ 1. Основные свойства251
§ 2. Функции Зигеля252
§ 3. Специальные значения функций Зигеля255
Глава 20. Предельные формулы Кронекера258
§ 1. Формула суммирования Пуассона258
§ 2. Примеры260
§ 3. Функция Ks(x)261
§ 4. Первая предельная формула Кронекера265
§ 5. Вторая предельная формула Кронекера267
Глава 21. Первая предельная формула и L-ряды271
§ 1. Связь с L-рядами271
§ 2. Определитель Фробениуса276
§ 3. Приложение к L-рядам278
Глава 22. Вторая предельная формула и L-ряды279
§ 1. Суммы Гаусса279
§ 2. Выражение для L-ряда281
 
ПРИЛОЖЕНИЯ.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ В ХАРАКТЕРИСТИКЕ p
Приложение 1. Алгебраические формулы в произвольной характеристике (Дж. Тейт)287
§ 1. Обобщенная форма Вейерштрасса287
§ 2. Канонические формы290
§ 3. Разложение в окрестности O. Формальная группа293
Приложение 2. След Фробениуса и дифференциал первого рода295
§ 1. След Фробениуса295
§ 2. Двойственность296
§ 3. След Тейта297
§ 4. Оператор Картье299
§ 5. Инвариант Хассе304
Список литературы 309



ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

Эллиптические функции появились в математике в начале XIX века, который из-за обилия открытых в нем различного рода функций математики иногда называют веком специальных функций. Среди всех специальных функций эллиптические функции с момента их открытия выделились универсальностью своих свойств (причем не только аналитического, но и алгебро-арифметического и топологического характера). Именно благодаря разнообразию свойств эллиптические функции постоянно служили источником новых идей и являлись связующим звеном для различных математических теорий.

С историей эллиптических функций и их ролью в математике XIX века читатель может познакомиться по книге «Математика XIX века: геометрия, теория аналитических функций» (под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1981). Здесь же хотелось лишь отметить, что теория эллиптических функций зародилась в трудах Гаусса, Абеля и Якоби. Дальнейшее развитие теории связано с именами Эйзенштейна, Лиувилля, Вейерштрасса, Римана, Кронекера, Фробениуса, Вебера и Фрикке.

В первой половине XX века развивались только отдельные аспекты теории эллиптических функций и в первую очередь те, которые связаны с теорией полей классов. Полученные в этом направлении результаты связаны с именами Гильберта, Фуртвенглера, Тагаки, Е. Артина, Дойринга, Хассе, Шевалле и И. Р. Шафаревича. В полной мере интерес к эллиптическим функциям возродился лишь в последние годы, и этим мы во многом обязаны Шимуре, представившему классические результаты Кронекера, Вебера и Фрикке в совершенно новом свете.

Несмотря на огромный интерес, который вызывали и вызывают эллиптические функции, на русском языке имеется очень мало книг, посвященных собственно эллиптическим функциям. Книга Н. И. Ахиезера «Элементы теории эллиптических функций» (М.: Наука, 1970) затрагивает лишь аналитическую сторону вопроса. В превосходной книге Г. Шимуры «Введение в арифметическую теорию автоморфных функций» (М.: Мир, 1973) эллиптические функции рассмотрены очень сжато, лишь как частный случай общих теорий.

Предлагаемый перевод книги С. Ленга должен в некоторой степени устранить указанный пробел.

С. А. Степанов


ПРЕДИСЛОВИЕ

Эллиптические функции параметризуют эллиптические кривые и, соединяя в себе аналитические и алгебро-арифметические теории, занимают центральное место в математике с начала XIX столетия.

Недавно в этом старом предмете появились новые технические приемы и точки зрения, продолжающие традиции Кронекера, Вебера, Фрикке, Хассе, Дойринга. Книга Шимуры (Имеется русский перевод: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. — М.: Мир, 1973. — Прим. перев.) является блестящим эталоном современного изложения, и я нашел ее очень полезной для себя при изучении некоторых аспектов эллиптических кривых. Указанная книга придает особое значение дзета-функции Хассе—Вейля, операторам Гекке и обобщениям на случай высшей размерности (абелевым многообразиям; кривым высших родов, появляющимся из арифметических групп, действующих на верхней полуплоскости; ограниченным симметрическим областям с дискретной арифметической группой, фактор-группа которой является алгебраической).

В предлагаемой книге внимание уделяется некоторым другим аспектам теории. Для ее чтения требуется меньше предварительных знаний, и изложение теории эллиптических функций начинается с самого начала. В книге не обсуждаются операторы Гекке, но рассматриваются некоторые вопросы, не освещенные в книге Шимуры, а именно: теория Дойринга l-адических и p-адических представлений; приложение к работе Ихары; обсуждение эллиптических кривых с нецелым инвариантом и параметризации Тейта с приложением к работе Серра по группам Галуа точек конечного порядка над числовыми полями и к теореме об изогении; наконец, предельная формула Кронекера и обсуждение значений специальных модулярных функций, являющихся отношениями θ-функций, которые лучше значений функции Вейерштрасса, так как являются единицами при собственной нормализации и ведут себя регулярным образом под действием группы Галуа.

Таким образом, эта книга существенно отличается от книги Шимуры. Однако оказалось невозможным полностью избежать пересечений, и я решил переизложить теорию комплексного умножения, следуя алгебраическому методу Дойринга, а также воспроизвести некоторые результаты Шимуры либо с упрощениями (например, в его законе взаимности для неподвижных точек), либо с другим доказательством (например, для теоремы об автоморфизмах поля модулярных функций).

Я не выделяю особо эллиптические кривые в характеристике p, за исключением случая, когда они возникают при редукции из характеристики 0. Таким образом, я опустил большую часть теории, относящейся к собственно характеристике p, в том числе изящную теорию суперсингулярных инвариантов. Однако хотелось бы предупредить, что эта теория важна для более глубокого понимания арифметической теории эллиптических кривых. Два приложения помогут читателю при ознакомлении с соответствующей литературой.

Я благодарен Г. Шимуре за его терпеливость при объяснении мне некоторых результатов его исследований; Эли Донкару за его записи курса лекций, которые легли в основу данной книги; Суиннертону-Дайеру и Вальтеру Хиллу за внимательное прочтение рукописи.
Нью-Хейвен, Коннектикут   Серж Ленг


Литература

Книги и монографии
K1.

Deuring M. Die Klassenkörper der Komplexen Multiplikation. — In: Enzyklopädie der Math. Wiss. — Stuttgart: 1958, Bd. 1–2, Heft 10–11.

K2.

Fricke R. Die Elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. Leipzig — Berlin: Teubner, 1916, Bd. 1; 1922. Bd. 2.

K3.

Fricke R. Analytisch-Funktionentheoretische Vorlesungen. — Leipzig: Teubner Verlag, 1900.

K4.

Fricke R., Klein F. Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, I, II. — Leipzig: Teubner Verlag, 1897, 1912.

K5.

Fueter R. Vorlesungen über die Singulären Moduln und die Komplexe Multiplikation der Elliptischen Funktionen. — Leipzig — Berlin: Teubner, 1924.

K6.

Ihara Y. On Congruence Monodromy Problems. Vols I and II, Ch. 5, University of Tokyo, 1968. (Есть русск. перев.: Иxapа Я. О задачах конгруэнц-монодромии. — Математика, 1970, 14:3, с. 40–98; 14:4, с. 48–77; 14:5, с. 62–101; 1972, 16:2, с. 54–96; 16:4, с. 50–73; 16:5, с. 42–104).

K7.

Lang S. Algebraic Number Theory. — Reading, Mass.: Addison Wesley, 1970.

K8.

Meyer C. Die Berechnung der Klassenzahle abelscher Körper über quadratischen Zahlkörper. — Berlin: Akademie Verlag, 1957.

K9.

Roquette P. Analytic theory of elliptic functions over local fields. — Hamb. Math. Einzelschriften, Neue Folgen, 1970. — Heft 1.

K10.

Serre J.-P. Cours d'Arithmetique. — Presses Universitaires de France, 1970. (Есть русск. перев.: Серр Ж.-П. Курс арифметики. / Перев. с франц. — М.: Мир, 1972.)

K11.

Serre J.-P. Abelian l-adic Representations and Elliptic Curves. — Reading, Mass.: Benjamin, 1968. (Есть русск. перев.: Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые. / Перев. с англ. — М.: Мир, 1973.)

K12.

Shimura G. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. — Iwanami Shoten and Princeton University Press, 1971. (Есть русск. перев.: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. / Перев. с англ. — М.: Мир, 1973.)

K13.

Shimura G., Taniyama Y. Complex Multiplication of Abelian Varieties and its Applications to Number Theory. — Math. Soc. Japan, 1961.

K14.

Siegel C. L. Lectures on advanced analytic number theory. — Tata Institute, 1961.

K15.

Siegel C. L. Analitische Zahlentheorie II. Course at the University of Göttingen, 1963/1964, notes by K. Kurten and G. Kohler.

K16.

Weber H. Lehrbuch der Algebra, Bd. III, reprinted from the second ed., 1908. — New York: Chelsea, 1968.

K17.

Seminar on Complex Multiplication. — Lect. Notes in Math. 21, Berlin — Heidelberg — New York: Springer-Verlag, 1966.



Статьи
1.

Asai T. On a certain function analogous to log |η(z)|. — Nagoya Math. J., 1970, 40, p. 193–211.

2.

Deligne P. Hodge Structures. — Publ. IHES, 1971.

3.

Deligne P. Variétés abéliennes ordinaires sun un corps fini. — Invent. Math., 1969, 8, p. 238–243.

4.

Deuring M. Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper. — Abh. Math. Sem. Hamb., 1941, 14, s. 197–272.

5.

Deuring M. Teilbarkeitseigenschaften der singularen Moduln der elliptischen Funktionen und die Diskriminante der Klassengleichung. — Commentarii Math. Helv., 1946, 19, s. 74–82.

6.

Deuring M. Die Struktur der elliptischen Funktionenkörper und die Klassenkörper der imaginären quadratischen Zahlkörper. — Math. Ann., 1952, 124, s. 393–426.

7.

Deuring M. Die Anzahl der Typen von Maximalordnungen einer definiten Quaternionenalgebra mit primer Grundzahl. — Jahrsbericht Deutschen Math. Ver., 1944, 54, s. 24–41.

8.

Deuring M. Invarianten und Normalformen elliptischer Funktionenkörper. — Math. Zeitschr., 1941, 47, s. 47–56.

9.

Deuring M. Zur Theorie der Moduln algebraischer Funktionenkörper. — Math. Zeitschr., 1940, 46, s. 34–46.

10.

Deuring M. Zur Theorie der elliptischen Funktionenkörper. — Hamb. Abh., 1942, 15, s. 211–261.

11.

Deuring M. Algebraische Begrungung der komplexen Multiplication. — Hamb. Abh., 1946, 16, s. 32–47.

12.

Deuring M. Reduktion algebraischer Funktionenkörper nach Primdivisoren des Konstantenkörpers. — Math. Zeitschr., 1942, 47, s. 643–654.

13.

Deuring M. Die Zetafunktion einer algebräischen Kurve vom Geschlechte Eins. — Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, 1953, s. 85–94; 1955, s. 13–42; 1956, s. 37–76; 1957, s. 55–80.

14.

Fueter R. Die verallgemeinerte Kroneckersche Grenzformel und ihre Anwendung auf die Berechung der Klassenzahl. — Rend. Palermo, 1910, 29, s. 380–395.

15.

Hasse H. Beweis des Analogous der Riemannschen Vermutung für die Artinschen und F. K. Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen in gewissen elliptischen Fallen. — Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math. — Phys. Kl. 1933, s. 253–262.

16.

Hasse H. Abstrakte Begrundung der komplexen Multiplikation und Riemannsche Vermutung in Funktionenkörpern. — Abh. Math. Sem. Hamb., 1934, 10, s. 325–348.

17.

Hasse H. Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. — J. Reine Angew. Math., 1936, 175, s. 55–62, 69–88, 193–208.

18.

Hasse H. Existenz separabler zyklischer unverzweigter Erweiterungskörper vom Primzahlgrade p über elliptischen Funktionenkörpern der Charakteristik p. — J. Reine Angew. Math., 1934, 172, s. 77–85.

19.

Hasse H. Neue Begrundung der komplexen Multiplikation, I, II. — J. Reine Angew. Math. 1927, 157, s. 115–139; 1931, 165, s. 64–88.

20.

Hasse H., Witt E. Zyklische unverzweigte Erweiterungskörper vom Primzahlgrade p über einem algebräischen Funktionenkörper der Charakteristik p. — Mon. Math. Physik, 1936, 43, s. 477–492.

21.

Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen. — Math. Ann., 1926, 97, s. 210–242.

22.

Igusa J. Kroneckerian model of fields of elliptic modular functions. — Amer. J. Math., 1959, 81, p. 561–577.

23.

Igusa J. On the transformation theory of elliptic functions. — Amer. J. Math., 1959, 81, p. 436–452.

24.

Igusa J. On the algebraic theory of elliptic modular functions. — J. Math. Soc. Japan, 1968, 20, p. 96–106.

25.

Igusa J. Fibre system of Jacobian Varieties III (Fibre system of elliptic curves). — Amer. J. Math. 1959, 81, p. 453–476.

26.

Ihara Y. Hecke polynomials as congruence zeta function in elliptic modular case. — Ann. Math., 1967, 85, p. 267–295.

27.

Koizumi K., Shimura G. On specializations of abelian varieties. — Scienific Papers of the College of General Education, Univ. of Tokyo, 1959, 9, p. 187–211.

28a.

Lang S. Isogenous generic elliptic curves. — Amer. J. Math., 1972, 94, № 3, p. 861–874.

28b.

Lang S. Frobenius automorphisms of modular function fields. — Amer. J. Math., 1973, 95, № 1, p. 165–173.

29.

McDonald I. Affine root systems and Dedekind's η-function. — Invent. Math., 1972, 15, p. 91–143.

30.

Maнин Ю. И. О матрице Хассе—Витта алгебраической кривой. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1961, 25, с. 153–172.

31.

Пятецкий-Шапиро И. И., Шафаревич И. Р. Теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1966, 30, с. 671–704.

32.

Пятецкий-Шапиро И. И. О редукции по простому модулю полей модулярных функций. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1968, 32, с. 1264–1274.

33.

Ramachandra К. Some application of Kronecker's limit formulas. — Ann. Math., 1964, 80, p. 104–148.

34.

Ramachandra K. On the class number of relative abelian fields. — J. Reine Angew. Math., 1969, 236, p. 1–10.

35.

Serre J.-P. Groupes de Lie l-adiques attachés aux courbes élliptiques. Colloque, Clermont-Ferrand, Les tendances géometriques en algébre et théorie des nombres, 1966, p. 239–256.

36.

Serre J.-P. Sur les groupes de Galois attaches aux groupes p-divisibles. — Proc. Conf. on Local Fields, Springer-Verlag, 1967, p. 113–131.

37.

Serre J.-P., Тate J. Good reduction of abelian varieties. — Ann. Math., 1968, 88, p. 492–517.

38.

Shimura G. Correspondances modulaires et les fonctions zeta de courbes algébriques. — J. Math. Soc. Japan, 1958, 10, p. 1–28.

39.

Shimura G. Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete valuation of the basic field. — Amer J. Math., 1955, 77, p. 134–176.

40.

Shimura G. A reciprocity law in non-solvable extensions. — J. Reine Angew. Math., 1966, 221, p. 209–220.

41.

Тate J. The arithmetic of elliptic curves. — Colloquium lectures, AMS, Dartmouth, 1972.

42.

Tate J. Genus change in pure inseparable extensions of functions fields. — Proc. AMS, 1952, 3, p. 400–406.



Список литературы, добавленной при переводе
1. 

Lang S. Elliptic Curves. Diophantine Analysis. — Berlin — Heidelberg — New York: Springer–Verlag, 1978.

2. 

Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. — М.: Мир, 1979.

3. 

Robert A. Elliptic Curves. — Lect. Notes in Math., 326, Berlin: Springer–Verlag, 1973.

4. 

Schoeneberg B. Elliptic modular functions. — Berlin — Heidelberg — New York: Springer–Verlag, 1974.

5. 

Modular functions of one variables. — In: Lect. Notes in Math. — Berlin — Heidelberg — New York: Springer–Verlag, 1973, 320, 349, 350; 1975, 476; 1977, 601, 627.



Hosted by uCoz