Эллиптические функции появились в математике в начале XIX века, который из-за обилия открытых в нем различного рода функций математики иногда называют веком специальных функций. Среди всех специальных функций эллиптические функции с момента их открытия выделились универсальностью своих свойств (причем не только аналитического, но и алгебро-арифметического и топологического характера). Именно благодаря разнообразию свойств эллиптические функции постоянно служили источником новых идей и являлись связующим звеном для различных математических теорий.
С историей эллиптических функций и их ролью в математике XIX века читатель может познакомиться по книге «Математика XIX века: геометрия, теория аналитических функций» (под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1981). Здесь же хотелось лишь отметить, что теория эллиптических функций зародилась в трудах Гаусса, Абеля и Якоби. Дальнейшее развитие теории связано с именами Эйзенштейна, Лиувилля, Вейерштрасса, Римана, Кронекера, Фробениуса, Вебера и Фрикке.
В первой половине XX века развивались только отдельные аспекты теории эллиптических функций и в первую очередь те, которые связаны с теорией полей классов. Полученные в этом направлении результаты связаны с именами Гильберта, Фуртвенглера, Тагаки, Е. Артина, Дойринга, Хассе, Шевалле и И. Р. Шафаревича. В полной мере интерес к эллиптическим функциям возродился лишь в последние годы, и этим мы во многом обязаны Шимуре, представившему классические результаты Кронекера, Вебера и Фрикке в совершенно новом свете.
Несмотря на огромный интерес, который вызывали и вызывают эллиптические функции, на русском языке имеется очень мало книг, посвященных собственно эллиптическим функциям. Книга Н. И. Ахиезера «Элементы теории эллиптических функций» (М.: Наука, 1970) затрагивает лишь аналитическую сторону вопроса. В превосходной книге Г. Шимуры «Введение в арифметическую теорию автоморфных функций» (М.: Мир, 1973) эллиптические функции рассмотрены очень сжато, лишь как частный случай общих теорий.
Предлагаемый перевод книги С. Ленга должен в некоторой степени устранить указанный пробел.
С. А. Степанов
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эллиптические функции параметризуют эллиптические кривые и, соединяя в себе аналитические и алгебро-арифметические теории, занимают центральное место в математике с начала XIX столетия.
Недавно в этом старом предмете появились новые технические приемы и точки зрения, продолжающие традиции Кронекера, Вебера, Фрикке, Хассе, Дойринга. Книга Шимуры (Имеется русский перевод: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. — М.: Мир, 1973. — Прим. перев.) является блестящим эталоном современного изложения, и я нашел ее очень полезной для себя при изучении некоторых аспектов эллиптических кривых. Указанная книга придает особое значение дзета-функции Хассе—Вейля, операторам Гекке и обобщениям на случай высшей размерности (абелевым многообразиям; кривым высших родов, появляющимся из арифметических групп, действующих на верхней полуплоскости; ограниченным симметрическим областям с дискретной арифметической группой, фактор-группа которой является алгебраической).
В предлагаемой книге внимание уделяется некоторым другим аспектам теории. Для ее чтения требуется меньше предварительных знаний, и изложение теории эллиптических функций начинается с самого начала. В книге не обсуждаются операторы Гекке, но рассматриваются некоторые вопросы, не освещенные в книге Шимуры, а именно: теория Дойринга l-адических и p-адических представлений; приложение к работе Ихары; обсуждение эллиптических кривых с нецелым инвариантом и параметризации Тейта с приложением к работе Серра по группам Галуа точек конечного порядка над числовыми полями и к теореме об изогении; наконец, предельная формула Кронекера и обсуждение значений специальных модулярных функций, являющихся отношениями θ-функций, которые лучше значений функции Вейерштрасса, так как являются единицами при собственной нормализации и ведут себя регулярным образом под действием группы Галуа.
Таким образом, эта книга существенно отличается от книги Шимуры. Однако оказалось невозможным полностью избежать пересечений, и я решил переизложить теорию комплексного умножения, следуя алгебраическому методу Дойринга, а также воспроизвести некоторые результаты Шимуры либо с упрощениями (например, в его законе взаимности для неподвижных точек), либо с другим доказательством (например, для теоремы об автоморфизмах поля модулярных функций).
Я не выделяю особо эллиптические кривые в характеристике p, за исключением случая, когда они возникают при редукции из характеристики 0. Таким образом, я опустил большую часть теории, относящейся к собственно характеристике p, в том числе изящную теорию суперсингулярных инвариантов. Однако хотелось бы предупредить, что эта теория важна для более глубокого понимания арифметической теории эллиптических кривых. Два приложения помогут читателю при ознакомлении с соответствующей литературой.
Я благодарен Г. Шимуре за его терпеливость при объяснении мне некоторых результатов его исследований; Эли Донкару за его записи курса лекций, которые легли в основу данной книги; Суиннертону-Дайеру и Вальтеру Хиллу за внимательное прочтение рукописи.
Нью-Хейвен, Коннектикут
Серж Ленг
Литература
Книги и монографии
K1.
Deuring M. Die Klassenkörper der Komplexen Multiplikation. — In: Enzyklopädie der Math. Wiss. — Stuttgart: 1958, Bd. 1–2,Heft 10–11.
K2.
Fricke R. Die Elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. Leipzig — Berlin: Teubner, 1916, Bd. 1; 1922. Bd. 2.
K3.
Fricke R. Analytisch-Funktionentheoretische Vorlesungen. — Leipzig: Teubner Verlag, 1900.
K4.
Fricke R., Klein F. Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, I, II. — Leipzig: Teubner Verlag, 1897, 1912.
K5.
Fueter R. Vorlesungen über die Singulären Moduln und die Komplexe Multiplikation der Elliptischen Funktionen. — Leipzig — Berlin: Teubner, 1924.
K6.
Ihara Y. On Congruence Monodromy Problems. Vols I and II, Ch. 5, University of Tokyo, 1968. (Есть русск. перев.: Иxapа Я. О задачах конгруэнц-монодромии. — Математика, 1970, 14:3, с. 40–98;14:4, с. 48–77;14:5, с. 62–101; 1972, 16:2, с. 54–96;16:4, с. 50–73;16:5, с. 42–104).
K7.
Lang S. Algebraic Number Theory. — Reading, Mass.: Addison Wesley, 1970.
K8.
Meyer C. Die Berechnung der Klassenzahle abelscher Körper über quadratischen Zahlkörper. — Berlin: Akademie Verlag, 1957.
K9.
Roquette P. Analytic theory of elliptic functions over local fields. — Hamb. Math. Einzelschriften, Neue Folgen, 1970. — Heft 1.
K10.
Serre J.-P. Cours d'Arithmetique. — Presses Universitaires de France, 1970. (Есть русск. перев.: Серр Ж.-П. Курс арифметики. / Перев. с франц. — М.: Мир, 1972.)
K11.
Serre J.-P. Abelian l-adic Representations and Elliptic Curves. — Reading, Mass.: Benjamin, 1968. (Есть русск. перев.: Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые. / Перев. с англ. — М.: Мир, 1973.)
K12.
Shimura G. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. — Iwanami Shoten and Princeton University Press, 1971. (Есть русск. перев.: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. / Перев. с англ. — М.: Мир, 1973.)
K13.
Shimura G., Taniyama Y. Complex Multiplication of Abelian Varieties and its Applications to Number Theory. — Math. Soc. Japan, 1961.
K14.
Siegel C. L. Lectures on advanced analytic number theory. — Tata Institute, 1961.
K15.
Siegel C. L. Analitische Zahlentheorie II. Course at the University of Göttingen, 1963/1964, notes by K. Kurten and G. Kohler.
K16.
Weber H. Lehrbuch der Algebra, Bd. III, reprinted from the second ed., 1908. — New York: Chelsea, 1968.
K17.
Seminar on Complex Multiplication. — Lect. Notes in Math. 21, Berlin — Heidelberg — New York:Springer-Verlag, 1966.
Статьи
1.
Asai T. On a certain function analogous to log |η(z)|. — Nagoya Math. J., 1970, 40, p. 193–211.
2.
Deligne P. Hodge Structures. — Publ. IHES, 1971.
3.
Deligne P. Variétés abéliennes ordinaires sun un corps fini. — Invent. Math., 1969, 8, p. 238–243.
4.
Deuring M. Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper. — Abh. Math. Sem. Hamb., 1941, 14, s. 197–272.
5.
Deuring M. Teilbarkeitseigenschaften der singularen Moduln der elliptischen Funktionen und die Diskriminante der Klassengleichung. — Commentarii Math. Helv., 1946, 19, s. 74–82.
6.
Deuring M. Die Struktur der elliptischen Funktionenkörper und die Klassenkörper der imaginären quadratischen Zahlkörper. — Math. Ann., 1952, 124, s. 393–426.
7.
Deuring M. Die Anzahl der Typen von Maximalordnungen einer definiten Quaternionenalgebra mit primer Grundzahl. — Jahrsbericht Deutschen Math. Ver., 1944, 54, s. 24–41.
8.
Deuring M. Invarianten und Normalformen elliptischer Funktionenkörper. — Math. Zeitschr., 1941, 47, s. 47–56.
9.
Deuring M. Zur Theorie der Moduln algebraischer Funktionenkörper. — Math. Zeitschr., 1940, 46, s. 34–46.
10.
Deuring M. Zur Theorie der elliptischen Funktionenkörper. — Hamb. Abh., 1942, 15, s. 211–261.
11.
Deuring M. Algebraische Begrungung der komplexen Multiplication. — Hamb. Abh., 1946, 16, s. 32–47.
12.
Deuring M. Reduktion algebraischer Funktionenkörper nach Primdivisoren des Konstantenkörpers. — Math. Zeitschr., 1942, 47, s. 643–654.
13.
Deuring M. Die Zetafunktion einer algebräischen Kurve vom Geschlechte Eins. — Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, 1953, s. 85–94; 1955, s. 13–42; 1956, s. 37–76; 1957, s. 55–80.
14.
Fueter R. Die verallgemeinerte Kroneckersche Grenzformel und ihre Anwendung auf die Berechung der Klassenzahl. — Rend. Palermo, 1910, 29, s. 380–395.
15.
Hasse H. Beweis des Analogous der Riemannschen Vermutung für die Artinschen und F. K. Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen in gewissen elliptischen Fallen. — Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math. — Phys. Kl. 1933, s. 253–262.
16.
Hasse H. Abstrakte Begrundung der komplexen Multiplikation und Riemannsche Vermutung in Funktionenkörpern. — Abh. Math. Sem. Hamb., 1934, 10, s. 325–348.
17.
Hasse H. Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. — J. Reine Angew. Math., 1936, 175, s. 55–62,69–88,193–208.
18.
Hasse H. Existenz separabler zyklischer unverzweigter Erweiterungskörper vom Primzahlgrade p über elliptischen Funktionenkörpern der Charakteristik p. — J. Reine Angew. Math., 1934, 172, s. 77–85.
19.
Hasse H. Neue Begrundung der komplexen Multiplikation, I, II. — J. Reine Angew. Math. 1927, 157, s. 115–139; 1931, 165, s. 64–88.
20.
Hasse H., Witt E. Zyklische unverzweigte Erweiterungskörper vom Primzahlgrade p über einem algebräischen Funktionenkörper der Charakteristik p. — Mon. Math. Physik, 1936, 43, s. 477–492.
21.
Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen. — Math. Ann., 1926, 97, s. 210–242.
22.
Igusa J. Kroneckerian model of fields of elliptic modular functions. — Amer. J. Math., 1959, 81, p. 561–577.
23.
Igusa J. On the transformation theory of elliptic functions. — Amer. J. Math., 1959, 81, p. 436–452.
24.
Igusa J. On the algebraic theory of elliptic modular functions. — J. Math. Soc. Japan, 1968, 20, p. 96–106.
25.
Igusa J. Fibre system of Jacobian Varieties III (Fibre system of elliptic curves). — Amer. J. Math. 1959, 81, p. 453–476.
26.
Ihara Y. Hecke polynomials as congruence zeta function in elliptic modular case. — Ann. Math., 1967, 85, p. 267–295.
27.
Koizumi K., Shimura G. On specializations of abelian varieties. — Scienific Papers of the College of General Education, Univ. of Tokyo, 1959, 9, p. 187–211.
28a.
Lang S. Isogenous generic elliptic curves. — Amer. J. Math., 1972, 94, № 3, p. 861–874.
28b.
Lang S. Frobenius automorphisms of modular function fields. — Amer. J. Math., 1973, 95, № 1, p. 165–173.
29.
McDonald I. Affine root systems and Dedekind's η-function. — Invent. Math., 1972, 15, p. 91–143.
30.
Maнин Ю. И. О матрице Хассе—Витта алгебраической кривой. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1961, 25, с. 153–172.
31.
Пятецкий-Шапиро И. И., Шафаревич И. Р. Теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1966, 30, с. 671–704.
32.
Пятецкий-Шапиро И. И. О редукции по простому модулю полей модулярных функций. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1968, 32, с. 1264–1274.
33.
Ramachandra К. Some application of Kronecker's limit formulas. — Ann. Math., 1964, 80, p. 104–148.
34.
Ramachandra K. On the class number of relative abelian fields. — J. Reine Angew. Math., 1969, 236, p. 1–10.
35.
Serre J.-P. Groupes de Lie l-adiques attachés aux courbes élliptiques. Colloque, Clermont-Ferrand, Les tendances géometriques en algébre et théorie des nombres, 1966, p. 239–256.
36.
Serre J.-P. Sur les groupes de Galois attaches aux groupes p-divisibles. — Proc. Conf. on Local Fields, Springer-Verlag, 1967, p. 113–131.
37.
Serre J.-P., Тate J. Good reduction of abelian varieties. — Ann. Math., 1968, 88, p. 492–517.
38.
Shimura G. Correspondances modulaires et les fonctions zeta de courbes algébriques. — J. Math. Soc. Japan, 1958, 10, p. 1–28.
39.
Shimura G. Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete valuation of the basic field. — Amer J. Math., 1955, 77, p. 134–176.
40.
Shimura G. A reciprocity law in non-solvable extensions. — J. Reine Angew. Math., 1966, 221, p. 209–220.
41.
Тate J. The arithmetic of elliptic curves. — Colloquium lectures, AMS, Dartmouth, 1972.
42.
Tate J. Genus change in pure inseparable extensions of functions fields. — Proc. AMS, 1952, 3, p. 400–406.
Список литературы,добавленной при переводе
1.
Lang S. Elliptic Curves. Diophantine Analysis. — Berlin — Heidelberg — New York:Springer–Verlag, 1978.
2.
Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. — М.: Мир, 1979.
3.
Robert A. Elliptic Curves. — Lect. Notes in Math., 326, Berlin: Springer–Verlag, 1973.
4.
Schoeneberg B. Elliptic modular functions. — Berlin — Heidelberg — New York:Springer–Verlag, 1974.
5.
Modular functions of one variables. — In: Lect. Notes in Math. — Berlin — Heidelberg — New York:Springer–Verlag, 1973, 320, 349, 350; 1975, 476; 1977, 601, 627.
