Ли Цзун-дао



 
 
   MATHEMATICAL  METHODS 
OF  PHYSICS

A course of lectures
given
at the Columbia University


by
T. D. LEE
Professor of Physics


COLUMBIA UNIVERSITY
NEW YORK
   МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
МЕТОДЫ
В ФИЗИКЕ


ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Е. В. ЗАХАРОВА  и  А. В. ХОЛОПОВА

ПОД РЕДАКЦИЕЙ
С. В. ФОМИНА
 
     


ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА  1965
 
 





 
2056 Кб
 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию5
 
Глава 1. Векторный и тензорный анализ7
§ 1. Векторная алгебра7
§ 2. Тензорная алгебра20
§ 3. Геометрическое представление тензоров 2-го ранга26
§ 4. Тензорные поля29
§ 5. Теорема Гаусса–Остроградского и её применение34
§ 6. Теорема Стокса и её применение45
§ 7. Теорема Гельмгольца. Уравнения Максвелла50
§ 8. Основные дифференциальные операции в криволинейных системах координат58
 
Глава 2. Линейная алгебра в n-мерном пространстве63
§ 1. Линейное пространство63
§ 2. Матрицы и действия над ними67
§ 3. Линейные операторы78
§ 4. Преобразования координат83
§ 5. Скалярное произведение и ортогональность87
§ 6. Унитарные и ортогональные преобразования92
§ 7. Специальная теория относительности96
§ 8. Эрмитовы операторы102
 
Глава 3. Разложения по ортогональным системам функций107
§ 1. Гильбертово пространство107
§ 2. Полнота систем функций109
§ 3. Примеры полных ортонормированных систем. Ряды Фурье118
§ 4. Интеграл Фурье128
§ 5. Эрмитовы операторы133
§ 6. Полиномы Лежандра138
§ 7. Мультипольное разложение145
§ 8. Сферические гармоники151
§ 9. Преобразование сферических гармоник при поворотах осей координат162
§ 10. Аналогия между сферическими гармониками и тензорами163
§ 11. Свойства сферических гармоник. Продолжение166
§ 12. Перестановочные соотношения для компонент оператора момента импульса168
§ 13. Связь сферических гармоник с полиномами Лежандра172
§ 14. Теорема сложения174
§ 15. Применения сферических гармоник180
 
Глава 4. Вариационные принципы и теорема минимакса182
§ 1. Вариация функционала и функциональная производная182
§ 2. Экстремальные свойства функционала λ(φ)186
§ 3. Теорема минимакса190
§ 4. Положительные операторы195
 
Глава 5. Метод функций Грина199
§ 1. Примеры уравнений. Определение функций Грина199
§ 2. Линейные операторы. Матричная формулировка свойств линейных операторов203
§ 3. Функция Грина для уравнения диффузии213
§ 4. Функция Грина для волнового уравнения216
§ 5. Уравнение Пуассона221
§ 6. Неоднородное волновое уравнение223
 
Глава 6. Методы теории функций комплексного переменного232
§ 1. Аналитические функции. Теорема Коши232
§ 2. Ряды Тейлора и Лорана. Аналитическое продолжение238
§ 3. Классификация особых точек242
§ 4. Многозначные функции. Пример из гидродинамики244
§ 5. Теория вычетов и её приложения251
§ 6. Задача о случайном блуждании и метод перевала257
 
Глава 7. Линейные дифференциальные уравнения268
§ 1. Решение уравнения вблизи обыкновенной точки268
§ 2. Решение уравнения вблизи регулярной особой точки275
§ 3. Уравнение Бесселя  282



Предисловие к русскому изданию

Имя выдающегося современного физика Ли Цзун-дао достаточно хорошо известно (в научной физической литературе его обычно называют кратко, по фамилии — Ли). Ему принадлежит ряд работ по квантовой теории поля, статистической физике, теории элементарных частиц. В 1957 г. он вместе с Янгом получил Нобелевскую премию по физике за открытие несохранения четности при слабых взаимодействиях.

В течение ряда лет проф. Ли читает в Колумбийском университете курс лекций по математике для студентов-физиков. В этот курс входят основные понятия линейной алгебры, элементы векторного анализа, разложение по ортогональным функциям, гильбертово пространство и операторы в нем, некоторые методы теории функций комплексного переменного, ряд сведений из вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений. Эти лекции были записаны группой студентов и в небольшом числе экземпляров выпущены в виде ротапринтного издания.

Существует значительное количество книг, излагающих те или иные разделы математики специально для физиков. Однако обычно все такие руководства пишутся математиками, а не физиками. Своеобразие и интерес лекций Ли состоит в том, что здесь математические факты и методы излагаются с точки зрения физика-теоретика.

Курс Ли нельзя рассматривать как систематический учебник, предназначенный, скажем, для подготовки к сдаче экзамена по математике на физическом факультете. Такому назначению не соответствует ни содержание книги, ни характер изложения. Это изложение, часто весьма наглядное, в ряде мест не соответствует даже так называемому «физическому уровню строгости». Например, не различаются возможность сколь угодно точно аппроксимировать функцию линейными комбинациями функций из некоторого семейства и разложимость этой функции в ряд по элементам данного семейства. В случаях, подобных указанному, мы вносили необходимые изменения прямо в текст. В некоторых местах неточности изложения оговорены в примечаниях. Однако мы не считали возможным существенно менять принятый автором свободный стиль изложения, поэтому и в русском тексте далеко не везде точно указаны условия, при которых устанавливаются те или иные формулы или результаты, сохранены выражения вроде «достаточно хорошие функции» и т. п.

При подготовке русского издания лекций Ли пришлось также считаться с тем, что записи лекций и их ротапринтное издание сделаны слушателями несколько небрежно, а сам автор текста этих лекций не отредактировал. (Проф. Ли, любезно сообщив о своем согласии на русское издание его лекций, подчеркнул, что сам он этих записей не читал.) Видимо поэтому изложение в некоторых местах слишком конспективно, в тексте имеется значительное количество опечаток, пропусков, а подчас и искажений смысла. В русском издании переводчики и редактор попытались исправить такие недочеты. Это также повлекло за собой ряд более или менее существенных отличий русского текста от оригинала.

Лекции Ли не охватывают, конечно, многих разделов того математического аппарата, которым должен владеть сейчас физик-теоретик. Например, в этих лекциях совсем не затронуты теоретико-групповые понятия и методы, в последнее время играющие большую роль во многих физических вопросах. Но все то, что в этих лекциях изложено, безусловно необходимо каждому физику.

Книга не требует от читателя большой предварительной подготовки. Она вполне доступна студентам-физикам третьего и даже второго курсов. Вместе с тем она будет интересна и более подготовленному читателю, уже знакомому с излагаемыми в ней разделами математики по другим руководствам.

С. Фомин 



Hosted by uCoz