1243 Кб

СОДЕРЖАНИЕ   От редактора 4 Предисловие к первому изданию 6 Предисловие к шестому изданию 6 § 1. Из истории теоремы Пифагора 7 § 2. Доказательства теоремы Пифагора методом разложения     16 § 3. Теорема Пифагора в системе Евклида 37 § 4. Теорема Пифагора и учение о подобии 47 § 5. Вычисления с помощью пифагорова равенства 63 § 6. Функциональные зависимости 70 § 7. Пифагоровы числа 82 § 8. Теорема Ферма 99

ОТ РЕДАКТОРА

Эта небольшая книжка, написанная известным немецким популяризатором математики, профессором Гёттингенского университета Вальтером Литцманом, посвящена не только геометрии, как можно было бы подумать по её названию. Автор собрал в ней довольно разнообразный материал, относящийся и к геометрии, и к алгебре, и к арифметике. Весь этот материал группируется вокруг знаменитой ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА, одной из замечательнейших теорем школьного курса математики. При этом автор, естественно, не касается серьёзных научных проблем, связанных с этой теоремой; почти не затрагивает он и чисто методических вопросов, лишь слегка критикуя традиционное доказательство теоремы Пифагора, приводимое почти во всех школьных учебниках. Однако и ограничив таким образом рамки своей книги, Литцман сумел найти достаточно занимательного материала, способного заинтересовать начинающего математика.

Отдельные главы книги довольно мало зависят одна от другой; здесь мы имеем не связный рассказ об одном предмете, а скорее непринуждённую беседу на заданную тему. В этом отношении книжка близка к другой брошюре того же автора — «Старое и новое о круге». В изложение вкраплено большое число упражнений, позволяющих читателю проверить степень своего овладения материалом; мы очень советуем читателю не пренебрегать этой возможностью. Книга рассчитана в первую очередь на учащихся старших классов средней школы; интересна и полезна она будет также и учителю, который найдёт здесь много материала, который можно использовать на уроке или в математическом кружке.

Эта книга уже выдержала два издания на русском языке; последнее русское издание вышло в свет в 1935 г. и давно стало библиографической редкостью. Настоящее третье издание переведено с 6-го немецкого издания, переработанного и значительно дополненного автором. В русском переводе добавлены немногочисленные примечания редактора (они отмечены звездочкой в отличие от нумерованных подстрочных сносок автора); в них указаны, в частности, некоторые русские научно-популярные книги, дополняющие изложение автора. Эти ссылки призваны заменить исключённый при переводе библиографический указатель, отсылающий читателя исключительно к немецким книгам и журналам, недоступным нашему читателю. Кроме того, редактору принадлежат небольшие вставки, отмеченные угловыми скобками.

ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящий томик «Математической библиотеки» не преследует цели — дать возможно более полное собрание разных доказательств теоремы Пифагора или к числу известных доказательств добавить новые. Мы хотели лишь показать здесь на простом примере, впрочем имеющем выдающееся значение как с точки зрения истории математики, так и её преподавания, как разнообразно могут соприкасаться разные области математики, как тесно бывают сплетены математические факты, образуя не цепь, но сеть. И прежде всего автор старался побудить читателя к самостоятельным математическим размышлениям, насколько это ему позволяли тесные рамки маленькой книжки. Эта основная цель подчёркивается и большим числом различных вопросов, лишь слегка затронутых в изложении.

ПРЕДИСЛОВИЕ
К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ

Со времени появления первого издания этой небольшой книжки прошло почти 40 лет. Пятое издание, из-за значительного увеличения его объёма, пришлось разделить на два отдельных выпуска. В настоящем шестом издании эти выпуски снова объединены вместе; кроме того, сюда включён некоторый дополнительный материал, как нам кажется, также представляющий интерес.

§1. ИЗ ИСТОРИИ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

1. «Так как ныне необходимо рассмотреть также начала искусств и наук настоящего периода, то мы сообщаем, что, по мнению большинства, первыми открыли геометрию египтяне, которые пришли к ней от измерения земельных участков. И нет ничего удивительного в том, что изобретение этой науки, как и других, произошло от нужды, ибо всё возникающее движется вперёд от несовершенного к совершенному. Существует естественный переход от чувственного восприятия к размышлению, а от последнего — к разумному познанию».

Этими словами начинается древнегреческий «Перечень математиков», приписываемый Евдему; далее идёт перечисление отдельных греческих математиков, начинающееся с Фалеса Милетского, причём заслуги каждого характеризуются немногими, но большей частью чрезвычайно меткими словами. В этом «Перечне» о Пифагоре сказано так:

«Как передают, Пифагор превратил занятие этой отраслью знания (геометрией) в настоящую науку, рассматривая её основы с высшей точки зрения и исследуя её теории менее материальным и более умственным образом».

Время жизни Пифагора Самосского точно неизвестно; одни сообщают, что он родился в 569 г. до нашей эры и умер в 470 г., другие же сдвигают его рождение к 580 г., а смерть относят приблизительно к 500 г. Из жизнеописания Пифагора для нас важно, что он, по-видимому, долгое время провёл в Египте, а возможно и в Вавилонии, и что пребывание в этих странах оказало на него большое влияние.

Из-за скудности этих сведений бывает трудно отличить в приписываемых Пифагору открытиях его собственные достижения от того, чему обязаны, с одной стороны, его предшественникам, а с другой — ученикам. То же самое можно сказать и по поводу теоремы, почти всюду называемой именем Пифагора (во Франции, а также в некоторых областях Германии её называют также иногда «мостом ослов»: les pontaux ànes, die Eselbrücke):

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге. Было бы затруднительно ответить на вопрос, в чём состояло это доказательство. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид (живший около 300 г. до н.э. в Александрии) приводит в первой книге своих «Начал»; с другой стороны, Прокл, который жил от 410 или 412 г. до 485 в Византии и Афинах, утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.

Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многие знают сонет Шамиссо:

Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном,  Лаэртом  и  Плутархом, конечно вымышлен. А поэтому, увы, лишено основания и то насмешливое замечание о переселении душ, которое встречается у Генриха Гейне:

«Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам».

В конце XIX века начали высказываться самые разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку; это явилось следствием открытий Скиапарелли¹⁾ и других астрономов. Естественно, что вопрос о том, можно ли, применяя световые сигналы, объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживлённую дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 000 франков тому, кто первым установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела (здесь, впрочем, случай Марса, как слишком лёгкий, исключался!); эта премия всё ещё ждёт счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было предложено передать обитателям Марса или иной планеты световой сигнал в виде чертежа теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но мы на земном шаре твёрдо верим, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

2. Исторический обзор мы начнём с китайцев. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В её первой части рассказывается о беседе двух лиц, живших около 1100 г. до н.э., но вряд ли отсюда можно заключить, что излагаемые факты были уже известны в то время, как это утверждается в предисловии, написанном в 1213 г. нашей эры. Возможно, что интересующая нас часть книги была написана лишь в начале нашей эры.

В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Здесь же приложен рисунок (рис. 1), который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары; к этому вопросу мы ещё вернёмся в § 2, п. 14.

3. Кантор²⁾ считает, что равенство

— другими словами, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н.э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Мы очень легко можем воспроизвести их способ построения.

Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстояниях 3 м от одного конца и 4 м от другого (см. рис. 2). Теперь натянем верёвку так, как это указано на рисунке. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиною в 3 и в 4 метра.

Рис. 2.

Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую. Однако нужно было ещё уметь изготовлять эти прямые углы и знать способ проверки их точности. Таким способом могло быть простое перевёртывание (рис. 3 и 4).

Рис. 3.

Рис. 4.

[К сожалению, я не располагаю письменными документами, на которых основывал Кантор своё предположение, а дошедшие до нас рисунки, изображающие торжества, сопровождающие закладку храма, мало подтверждают его утверждение.]

Несколько больше нам известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т.е. к 2000 г. до н.э., приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками по крайней мере в некоторых случаях.

Нейгебауэр³⁾ по различным мотивам тоже считает достоверным, что в Вавилонии знали теорему Пифагора и умели ею пользоваться. В свете этих позднейших исследований о догреческой математике приходится отказаться от многих прежних утверждений о приоритете греков.

Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне наших знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден⁴⁾ сделал недавно следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких, как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

4. Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около VIII века до н.э.

«Индийское богослужение не может обойтись без геометрических правил, так как оно связано чрезвычайно точными предписаниями. Если в алтаре есть малейшее отклонение от предписанной формы, если одно его ребро не образует с другим точно прямого угла, если произошла ничтожная ошибка в ориентации алтаря относительно четырёх сторон горизонта — божество не примет приносимой ему жертвы» (Кантор).

Наряду с чисто ритуальными предписаниями, содержащимися в так называемых Кальпасутрах, существуют и сочинения геометрически-теологического характера, так называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к IV или V веку до н.э., мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36 и 39 (ср. § 7). Кантор описывает способ построения следующим образом. В направлении точно с востока на запад отмечают с помощью кольев расстояние в 36 падас (падас — мера длины), называемое «праци». На кольях закрепляют концы верёвки длиною в 54 падас с узлом, заранее завязанным на расстоянии в 15 падас от одного из концов. Затем верёвку натягивают при помощи кола, продетого сквозь узел, и получают на одном из концов «праци» прямой угол.

Для извлечения квадратного корня геометрическим способом даются следующие правила, основанные на теореме Пифагора:

1. Верёвка, натянутая наискось по равностороннему прямоугольнику, производит квадрат, имеющий удвоенную площадь⁵⁾.
2. Верёвка, натянутая наискось по прямоугольнику, производит две площади, которые производятся верёвками, натянутыми вдоль большей и меньшей стороны.

Рис. 5.

Рис. 6.

Второй случай можно проверить на треугольниках, стороны которых равны 3 и 4 единицам длины, или 12 и 5, или 15 и 8, или 7 и 24, или 12 и 35, или 15 и 36.

Первое правило выражает теорему Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников. В справедливости её для этого случая можно непосредственно убедиться из рис. 5. Второе правило выводится из чертежа, который приблизительно соответствует чертежу, с которым мы ещё встретимся в дальнейшем. Нетрудно понять, что здесь действительно мы имеем дело с извлечением квадратного корня геометрическим способом, так как если a и b — стороны прямоугольника, то диагональ его (рис. 6) выражается формулой

5. В дальнейшем распространении математических знаний индусы играли небольшую роль, а китайцы — и того меньшую, и лишь в новейшее время мир ознакомился с обширными математическими познаниями этих народов. Путь от древности к средним векам шёл от греков через арабов.

В средние века теорема Пифагора, magister matheseos, определяла границу если не наибольших возможных, то по крайней мере хороших математических знаний. Характерный чертёж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора (рис. 7, 8) или в человечка в цилиндре (рис. 9) и т.п., в те времена всеобщей страсти к символам нередко употреблялся как символ математики. Столь же часто мы встречаемся с «Пифагором» в средневековой живописи, мозаике, геральдике.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

6. В заключение этой вводной главы мы приведём различные формулировки теоремы Пифагора на греческом, латинском, немецком áи русскомñ языках.

У Евклида эта теорема гласит: Εν τοίς όρθογώνοις τριγωνοις τό άπό τής τήν όρθήν γωνίαν ύποτεινούσης πλευρας τετράγωνον ίσον έστι τοίς άπό ιων τήύ όρθήν γωνίαν περιεχουσων πλευρων τετραγώνοις.

В дословном переводе это означает: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. н.э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало XII века), гласит: Omnis trianguli orthogonii quadratum factum ex latere subtenso angulo recto equale est coniunctioni duorum quadratorum, qui ftunt ex duobus lateribus, qui continent angulum rectum.

В переводе: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Alzo wirt dab vierkante veld, gemessen vz der lanqen want, alzo qrob alz dy behde vierkante dy do werden gemessen von den czwen wenden deb geren, dy do czufamene treten in dem rechten wynkel.

В переводе это означает: «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

áВ первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном с греческого Ф. И. Петрушевским («Евклидовых начал восемь книг, содержащие в себе основание геометрии», Санкт-Петербург, 1819), теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».ñ

[· · ·]