E. C. Titchmarsh

Introduction to
the theory of
Fourier's integrals
    Э. Ч. Титчмарш

Введение
в теорию
интегралов
Фурье



Перевод с английского
Д. А. РАЙКОВА

  OXFORD UNIVERSITY PRESS
1937
   


О Г И З
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА   1948   ЛЕНИНГРАД
 





 
1999 Кб
 

Эта книга была напечатана более 50 лет назад. Не удивительно, что некоторые формулировки кажутся архаичными, а то и просто царапают глаз. Поэтому, взявшись за конвертацию книги в TeX, я взял на себя и смелость внести в текст ряд изменений.

Во-первых, сделаны мелкие замены: интеграция → интегрирование, квадратический → квадратичный, Липшитц → Липшиц и т.п. Однако заменять термин «трансформация» на «преобразование» я всё-таки не стал.

Во-вторых, в текст внесены кое-какие изменения, связанные с цитированием. Дело в том, что по ходу дела Титчмарш часто ссылается на другую свою книгу, «Теория функций», которая к 1948 году ещё не была переведена на русский язык. С тех пор много воды утекло, «Теория функций» выходила дважды, и я заменил все ссылки на английское издание ссылками на русское издание 1980 года. Кроме того, в список литературы добавлены русские переводы других книг, которые упоминает Титчмарш.

Наконец, в-третьих, исправлены замеченные опечатки (см. последнюю страницу). Набралось их где-то порядка двадцати, но все они мелкие и, видимо, допущены наборщиком (не думаю, что их допустил Титчмарш — он был одним из лучших аналитических «фехтовальщиков» своего времени). Ну, а если я сам какие ляпы привнёс — дайте знать, поправлю быстро. E.G.A.



ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие6
 
I. Сходимость и суммируемость

1.1. Формулы Фурье

9

1.2. Трансформации Фурье

12

1.3. Обобщённые интегралы Фурье

13

1.4. Формулы Лапласа

14

1.5–6. Формулы Меллина

15

1.7. Обозначения и терминология

18

1.8–9. Фундаментальные теоремы

19

1.10. Монотонные функции

24

1.11. Функции, содержащие периодический множитель

26

1.12. Сильно колеблющиеся функции

31

1.13. Постоянная в формуле Фурье

33

1.14. Представление функции простым интегралом Фурье

34

1.15. Суммируемость интегралов

36

1.16. Суммируемость интегралов Фурье

37

1.17. Сингулярный интеграл Коши

40

1.18. Сингулярный интеграл Вейерштрасса

41

1.19–20. Суммируемость интегралов в общем случае

42

1.21–23. Дальнейшие теоремы о суммируемости

45

1.24. Интегрированная форма формулы Фурье

51

1.25. Комплексная форма интеграла Фурье

52

1.26. Формула Перрона

54

1.27. Теорема Фурье для аналитических функций

54

1.28. Суммируемость комплексной формы интеграла Фурье

56

1.29. Формула обращения Меллина

56

1.30. Формулы Лапласа

58
 
II. Вспомогательные формулы

2.1. Формальные соотношения

61

2.2–5. Условия применимости

65

2.6. Трансформация Фурье свёртки

70

2.7. Трансформации Меллина

71

2.8–9. Формула Пуассона

72

2.10. Примеры

76

2.11. Аналог формулы Пуассона для синус-трансформаций Фурье

77

2.12. Более общие условия

78
 
III. Трансформации из класса L2

3.1. Теория Планшереля трансформаций Фурье

80

3.2. Трансформации Фурье: первый метод

81

3.3. Трансформации Фурье: второй метод

84

3.4. Трансформации Фурье: третий метод

86

3.5–8. Полиномы Эрмита

88

3.9. Трансформации Фурье: четвёртый метод

94

3.10. Сходимость и суммируемость

95

3.11–12. Сходимость почти всюду

97

3.13. Теоремы о свёртках

102

3.14–15. Специальные теоремы

104

3.16. Один случай формулы Парсеваля

107

3.17. Трансформации Меллина

107
 
IV. Трансформации из других L-классов

4.1–2. Трансформации Фурье функций из Lp

109

4.3. Доказательство теоремы 74 для  p = 2k/(2k – 1)

111

4.4–5. Распространение на случай общего p

113

4.6. Формула Парсеваля

120

4.7. Теоремы о свёртках

120

4.8–9. Другое обобщение теоремы Планшереля

122

4.10. Новый случай формулы Парсеваля

125

4.11. Невыполнение теорем 75 и 79 для  p > 2

126

4.12. Специальные условия

128

4.13. Условия Липшица

130

4.14. Трансформации Meллина из класса Lp

133
 
V. Сопряжённые интегралы; трансформации Гильберта

5.1. Сопряжённые интегралы

135

5.2–9. Трансформации Гильберта из класса L2

137

5.10–13. Трансформации Гильберта из класса Lp

149

5.14. Случай  p = 1

161

5.15. Условия Липшица

163

5.16. Сопряжённый интеграл

165

5.17. Применение к трансформациям Фурье

166

5.18. Дальнейшие случаи формулы Парсеваля

168
 
VI. Единственность и смешанные теоремы

6.1–6. Единственность тригонометрических интегралов

170

6.7. Интегралы в комплексной форме

183

6.8. Формула Парсеваля

185

6.9. Другая теорема единственности

185

6.10–12. Специальные свойства трансформаций Фурье

188

6.13. Порядок убывания трансформаций Фурье

192
 
VII. Примеры и применения

7.1. Косинус-трансформации Фурье

195

7.2. Синус-трансформации Фурье

197

7.3. Формулы Парсеваля

198

7.4. Некоторые примеры, содержащие бесселевы функции

200

7.5. Некоторые интегралы Рамануджана

203

7.6. Некоторые формулы, содержащие гамма-функцию

205

7.7. Трансформации Меллина

209

7.8. Дальнейшие формулы, содержащие гамма-функции

212

7.9. Бесселевы функции

214

7.10. Произведения бесселевых функций

217

7.11. Интегралы, содержащие бесселевы функции

220

7.12. Некоторые неабсолютно сходящиеся интегралы

224

7.13–14. Трансформация Лапласа

227
 
VIII. Обобщённые трансформации

8.1–3. Обобщение формул Фурье

232

8.4. Примеры

234

8.5. L2-теория

241

8.6. Доказательство теорем 129, 130

243

8.7. Доказательство теоремы 131

244

8.8. Необходимость условий теоремы 131

246

8.9. Несимметричные формулы

247

8.10. Теорема сходимости

248

8.11. Свёртка двух ядер Фурье

250

8.12–16. Сходимость k-интегралов

254

8.17. Доказательство теоремы 134

260

8.18. Теорема Ганкеля

262

8.19. Формулы, вытекающие из теоремы Ганкеля

264
 
IX. Функции, двойственные себе

9.1–3. Формальные соотношения

266

9.4. Функции из L2

270

9.5–6. Функции из Lp

271

9.7. Аналитические функции

273

9.8. Более общие условия

274

9.9. Общая теорема

276

9.10. Применение

278

9.11. Второе решение

280

9.12. Примеры

282

9.13. Формулы для числа целых точек

288

9.14–17. Формулы, связывающие различные классы функций, двойственных себе

    291
 
X. Дифференциальные и разностные уравнения

10.1. Введение

299

10.2–5. Обыкновенные дифференциальные уравнения

299

10.6–15. Дифференциальные уравнения в частных производных

305

10.16–17. Дифференциально-разностные уравнения

322

10.18. Разностные уравнения

326
 
XI. Интегральные уравнения

11.1. Введение

327

11.2. Однородное уравнение

329

11.3. Примеры

331

11.4. Некоторые другие виды интегральных уравнений

335

11.5. Уравнение с конечными пределами интегрирования

336

11.6. Другой тип интегральных уравнений

339

11.7. Интегральное уравнение Лапласа

340

11.8. Интегральное уравнение Стилтьеса

342

11.9. Проблема моментов Стилтьеса

344

11.10–11. Уравнения с конечными пределами интегрирования

346

11.12–13. Примеры

353

11.14. Интегральное уравнение Абеля

356

11.15. Уравнение Фокса

357

11.16. «Парные» интегральные уравнения

359

11.17. Метод Хопфа и Винера

365

11.18. Уравнение А. Диксона

367

11.19. Задача о лучистом равновесии

370

11.20. Предельная форма уравнения Милна

372

11.21. Уравнение Бэйтмена

375

11.22–23. Уравнение Кэптейна

377

11.24. Решение уравнения Кэптейна

380

11.25. Дифференциальное уравнение дробного порядка

383

11.26. Задача из теории вероятностей

389

11.27. Задача из статистической динамики

394
 
Руководства и монографии397
 

Оригинальные работы, упомянутые в тексте

398



ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель этой книги — дать более систематическое изложение элементов теории интегралов Фурье, чем это делалось до сих пор. Однако, я не касаюсь здесь ряда важных разделов недавнего происхождения: винеровских тауберовых теорем; применений к почти периодическим функциям, квазианалитическим функциям и целым функциям; интегралов Фурье–Стилтьеса; общего гармонического анализа; обобщённых интегралов Бохнера, а также теории интегралов Фурье для функций нескольких переменных, краткое изложение которой дано в книге Бохнера.

От читателя требуется знакомство с анализом, включая элементы теории рядов Фурье. Предлагаемую книгу можно рассматривать как продолжение моей «Теории функций».

В литературе можно встретить большое количество самых разнообразных применений интегралов Фурье, часто в форме «операторов», часто также в работах авторов, по-видимому не интересовавшихся специально аналитической стороной вопроса. Некоторые из этих применений я изложил здесь в качестве упражнений, обработав их так, как представлялось мне наиболее интересным для аналитика. Я сохранил, ввиду их образности, некоторые ссылки на «тепло», «излучение» и т.п.; но интерес всюду сосредоточен на чисто аналитической стороне вопроса, так что читатель мог бы и вовсе не знать о существовании этих вещей.

Автор




ЭДВАРД ЧАРЛЬЗ ТИТЧМАРШ

Известный английский математик Э. Ч. Титчмарш родился 1 июня 1899 г. и умер 18 января 1963 г. Он был учеником Харди, с которым опубликовал в начале своей научной деятельности несколько работ по теории интегральных уравнений специального вида. Титчмарш начал свою педагогическую деятельность в 1923 г. После некоторого периода работы в различных университетах Англии он занял в 1931 г. кафедру чистой математики в Оксфордском университете, заменив на этой должности Харди, который перешёл в Кэмбриджский университет. Последние 10 лет своей жизни он был также директором Математического института в Оксфорде.

Математическое наследство Титчмарша огромно. Он опубликовал около 130 научных работ, пять монографий, один учебник и одну популярную книгу по математике. Все его монографии и учебник («Теория функций») переведены на русский язык и пользуются у нас большой популярностью.

Научная деятельность Титчмарша охватывала следующие области математики: ряды и интегралы Фурье, интегральные уравнения, целые функции, теория дзета-функции Римана, разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка.

Большинство из его работ (во всяком случае до 1956 г.) вошли в его монографии и поэтому легко доступны. В связи с этим мы в дальнейшем кратко остановимся только на некоторых работах Титчмарша.

В теории целых функций ему принадлежат работы по распределению нулей некоторых специальных целых функций. В связи с этими исследованиями Титчмарш доказал, ставшую ныне знаменитой благодаря исследованиям Микусинского по операционному исчислению, так называемую теорему о свёртке: если φ(t) и ψ(t) — суммируемые функции и
 x
φ(t) ψ(xt) dt = 0

почти везде в интервале 0<x<K, то φ(t) = 0 почти везде в интервале (0, λ) и ψ(t) = 0 почти везде в интервале (0, μ), причём λ+μ≥K.

Титчмарш опубликовал много работ по теории дзета-функции Римана, а также трактат в 1930 г. и книгу в 1951 г. (оба эти сочинения были переведены на русский язык). Он занимался вопросом о распределении значений дзета-функции и, в частности, распределением её нулей. С помощью электронных вычислительных машин им было показано совместно с Л. Комрье (L. J. Comrie), что все нули ρ=β+iγ функции ζ(s) с 0≤γ≤1468 простые и имеют β=½. В связи с исследованиями по теории ζ-функции Титчмаршем были получены важные результаты в аналитической теории чисел, из которых упомянем изучение асимптотического поведения при x→∞ суммы

d(p – 1),
l<px

где p пробегает простые числа, l — фиксированное целое число, d(n) — число делителей числа n.

Последние двадцать пять лет своей жизни Титчмарш, в основном, занимался теорией собственных значений, в которую он внес очень большой вклад.

Ему принадлежат важные результаты о природе спектра оператора

y″ + {λ – q(x)}y = 0,(1)
y′(0) cos α + y(0) sin α = 0.(2)

Для случая q(x)→–∞ он доказал, что при некоторых естественных предположениях гладкости и регулярности роста |q(x)| спектр задачи (1)–(2) непрерывен и заполняет всю ось, если
 
 dx

 |q(x)|  

= ∞,

и дискретен и не ограничен снизу, если этот интеграл конечен. Доказательство этой замечательной теоремы основывается на асимптотических формулах для собственных функций, которые также были выведены Титчмаршем. С этим результатом тесно связан другой замечательный результат Титчмарша, согласно которому задача (1)–(2) самосопряжена, т.е. имеет единственную функцию Грина, если

q(x) ≥ –Ax2B,

где A≥0, B≥0. Титчмарш показал также, что аналогичный результат имеет место для операторов в частных производных.

Если q(x1, x2, ..., xn) → +∞ при x12 + x22 + ... + xn2 → ∞, то спектр оператора

L(u) = Δuq(x1, x2, ..., xn) u,

рассматриваемого во всём пространстве, дискретен с единственной предельной точкой +∞. Обозначим через N(λ) число собственных значений λn оператора L, меньшим λ. Титчмаршем было предпринято глубокое изучение функции N(λ). В частности, в случае n=3 при очень общих предположениях на q(x1, x2, x3) им была выведена следующая асимптотическая формула:

N(λ) ~  1

6π²

{λ – q(x1, x2, x3)}3/2 dxdxdx3.
q

Большое число работ Титчмарша посвящено теории возмущений дифференциальных операторов второго порядка. Ему удалось строго доказать многие результаты, для которых ранее не было известно строгих выводов.

Особенный интерес представляет изученный им случай, когда невозмущённый оператор имеет дискретный спектр, а возмущённый — непрерывный. Он изучил характер вырождения непрерывного спектра в дискретный и асимптотику этого процесса.

Для изучения этого трудного вопроса Титчмарш создал новый метод, связанный с исследованием комплексных полюсов возмущённого оператора.

Аналогичная ситуация ранее возникала в физике в связи с изучением так называемых квазисобственных значений (или «слабое квантование»).

Последнее время Титчмарш изучал спектральную теорию систем вида

{p(x) – λ}ψ1 + {q(x) + d/dx2 = 0,
{q(x) – d/dx1 + {r(x) – λ}ψ2 = 0,

где p(x), q(x), r(x) — действительные функции, определённые в интервале (0, ∞) или (–∞, ∞).

Эта система связана с уравнениями Дирака из релятивистской квантовой механики. Он установил при очень общих предположениях известный физикам-теоретикам факт о том, что релятивистские уравнения квантовой механики можно рассматривать как возмущение нерелятивистского уравнения Шрёдингера.

Результаты Титчмарша по теории собственных значений являются большим вкладом в спектральную теорию дифференциальных операторов, которая в настоящее время является важной главой функционального анализа. Однако Титчмарш в своих исследованиях избегал методов функционального анализа и прибегал исключительно к методам классического анализа. Не будем гадать над тем, что было бы, если бы он одинаково хорошо владел и теми и другими методами. Однако его деятельность, как мне кажется, показывает, что методы классического анализа ещё далеко не исчерпаны и, более того, способны часто пролить свет на вопросы, в которых методы общего функционального анализа мало дают.

Б. М. Левитан
(по материалам, предоставленным М. Картрайт)
УМН, 1964, т. 19, № 6, с.123–125.
Hosted by uCoz