Ф. ТРИКОМИ


 
DIFFERENTIAL
EQUATIONS


F. G. TRICOMI
Professor of Mathematics
at the University of Turin
 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ



 Перевод с английского
А. Д. МЫШКИСА


 
1961
BLACKIE & SON LIMITED
 


ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА   1962
 





 
3610 Кб
 
Оглавление
Предисловие переводчика5
Предисловие к первому итальянскому изданию7
Предисловие ко второму итальянскому изданию9
Предисловие к английскому изданию10
 
I. Теорема о существовании и единственности
1. Некоторые элементарные сведения о дифференциальных уравнениях11
2. Подготовка к фундаментальной теореме14
3. Теорема о существовании и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений16
4. Дополнительные замечания23
5. Круговые функции27
6. Эллиптические функции35
 
II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
7. Предварительные рассмотрения44
8. Примеры уравнений с особыми точками50
9. Изучение укороченного уравнения58
10. Некоторые теоремы общего характера66
11. Индекс Пуанкаре76
12. Узел79
13. Фокус и седло88
14. Предельные циклы и релаксационные колебания101
15. Периодические решения в фазовом пространстве111
 
III. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка
16. Предварительные рассмотрения118
17. Теорема Валле Пуссена122
18. Упрощения заданного уравнения127
19. Теоремы о нулях и о максимумах и минимумах решений129
20. Теоремы о сравнении и их следствия133
21. Интервал между последовательными нулями решения138
22. Важная замена переменной141
23. Теорема о колебании147
24. Собственные значения и собственные функции153
25. Физическое истолкование156
26. Некоторые свойства собственных значений и собственных функций160
27. Связь с теорией интегральных уравнений171
 
IV. Асимптотические методы
28. Общие замечания179
29. Общий метод, применимый к линейным дифференциальным уравнениям182
30. Дифференциальные уравнения с устойчивыми решениями190
31. Случай, в котором коэффициент при y стремится к отрицательному пределу198
32. Подготовка к асимптотическому исследованию собственных значений и собственных функций208
33. Первая форма асимптотического выражения для собственных функций212
34. Асимптотическое выражение для собственных значений217
35. Вторая форма асимптотического выражения для собственных функций222
36. Уравнения с переходными точками226
37. Дифференциальное уравнение и полиномы Лагерра230
38. Асимптотическое поведение полиномов Лагерра238
39. Дифференциальное уравнение и полиномы Лежандра244
40. Асимптотическое выражение для полиномов Лежандра249
 
V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
41. Мажорантные функции257
42. Доказательство фундаментальной теоремы методом Коши261
43. Общие замечания об особых точках решений дифференциальных уравнений. Случай линейных уравнений267
44. Исследование многозначности решений линейного уравнения272
45. Случай отсутствия существенных особенностей278
46. Интегрирование рядами уравнений типа Фукса281
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение290
48. Предварительные замечания о существенных особенностях305
49. Приложение метода последовательных приближений311
50. «Асимптотическое интегрирование» приведённого уравнения316
51. Вывод и дальнейшие замечания321
52. Приложение к конфлюентным гипергеометрическим функциям и к функциям Бесселя326
 
Литература
336
Именной указатель343
Предметный указатель  346



ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Автор этого курса, итальянский математик Франческо Трикоми, хорошо известен советскому читателю по трём уже переведённым книгам, а также по его научным исследованиям, в особенности в области уравнений с частными производными смешанного типа. Книга, выпускаемая сейчас в русском переводе, выполненном с английского издания 1961 г. написана со свойственными автору простотой, ясностью и изяществом; элементарность изложения и свежесть материала — вот её характерные черты. По необходимым предварительным знаниям и уровню математического развития она соответствует третьему курсу физико-математических факультетов наших университетов. В то же время тщательный отбор материала и продуманное изложение дают возможность автору на сравнительно небольшом объёме осветить многие важные задачи, идеи, методы и результаты современной теории, которые обычно в общих курсах опускаются. При этом с помощью обзора последних научных достижений в отдельных областях и указания литературы — учебников, монографий и научных статей — автор по многим пунктам подводит читателя к современному уровню исследований.

В книге, за исключением теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи, почти не освещаются те общие факты, которые обычно входят в учебный курс дифференциальных уравнений (интегрируемые типы уравнений первого и высших порядков, общая теория линейных уравнений, линейные уравнения с постоянными коэффициентами и т.п.). В то же время некоторые (хотя и простые) сведения об этих фактах автор время от времени использует. Поэтому можно рекомендовать приступить к чтению этой книги после ознакомления с обычным учебным курсом; другими словами, по нашему мнению, эта книга может служить в качестве основы спецкурса по дополнительным главам теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что в последней главе книги используются некоторые простые факты из теории функций комплексного переменного (не далее приложений теории вычетов и аналитического продолжения); это также делает целесообразным чтение книги не ранее третьего курса.

Книга в целом написана тщательно и какой-либо существенной редакторской правки не понадобилось. Некоторые небольшие изменения и добавления, уточняющие и поясняющие текст, мы сочли возможным включить в текст без особой оговорки. Единственное сколько-нибудь существенное отклонение от оригинального текста допущено в § 34, где не вполне ясная формулировка леммы автора нами заменена. Включено также несколько примечаний переводчика с пояснениями и указанием дополнительной литературы на русском языке.

Мы надеемся, что эта яркая книга после выхода на русском языке приобретёт ещё большее число поклонников, которые при её чтении испытают такое же удовольствие, какое испытал переводчик при работе над ней.

А. Д. Мышкис


ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ
ИТАЛЬЯНСКОМУ ИЗДАНИЮ

Книга такого рода, как эта, может иметь две различные и почти несовместимые цели. Она может быть справочником, содержащим краткий обзор всех направлений в данной области и обширную библиографию. С другой стороны, она может быть учебником, который предназначен для того, чтобы дать студенту ясное представление об идеях и методах в теории дифференциальных уравнений, являющейся одной из важнейших ветвей анализа.

При написании данного курса имелась в виду вторая из этих целей, так как в хороших современных справочниках нет недостатка. Книга выросла из университетских курсов, прочитанных автором, и не претендует на полноту. В ней рассмотрены только те вопросы, которые можно было изложить со строгостью и одновременно с простотой; число таких вопросов ограничено также условием, чтобы они не требовали математических познаний, отсутствующих у студентов третьего–четвёртого курсов.

Недостаток места заставил меня ограничиться обыкновенными дифференциальными уравнениями (уравнения с частными производными не рассматриваются) и исключить так называемые элементарные методы интегрирования (разделение переменных, интегрирование линейных уравнений первого порядка, линейные уравнения с постоянными коэффициентами и т.п.). Содержание книги ясно из подробного оглавления. Глава I является вводной для последующих; главу II, главы III и IV вместе и главу V (единственную, в которой требуется некоторое знание теории функций комплексного переменного) можно читать независимо друг от друга.

Те читатели, которые знакомы с основными математическими интересами автора, могут быть удивлены тем, что в книге совсем не упоминаются операционные методы, в частности, интегрирование с помощью определённых интегралов. Однако это потребовало бы больше места, чем имеется в нашем распоряжении, тогда как сейчас имеются хорошо известные книги Дёча [61], Гиццетти [59] и другие, посвящённые приложению символических методов (т.е. преобразованию Лапласа) и дифференциальным уравнениям применительно к теоретической электротехнике или другим специальным отраслям.

В процессе изложения я старался всё время подчёркивать, что в современной теории дифференциальных уравнений основной целью является вывод свойств решений непосредственно из уравнения, тогда как ранее целью было явное интегрирование уравнения. Трудные случаи всегда сложны, когда с ними имеют дело в их наиболее общей форме; но если ограничиться простейшими случаями, то можно ясно показать фундаментальные идеи, лежащие в основе применяемых методов.

Читатель, являющийся знатоком в данной области, оценит пользу и простоту замены переменных Прюфера при выводе теоремы существования для собственных значений (глава III), вывод асимптотического представления решений линейных уравнений второго порядка (глава IV), а также изучение характеристик для уравнений первого порядка (глава II) — при столь малых ограничениях, как здесь, этот последний вопрос впервые появляется в учебнике.

Я хотел бы указать, далее, что при «асимптотическом интегрировании» линейных уравнений по методу Пуанкаре (глава V) я смог устранить то ограничение, что независимая переменная должна стремиться к бесконечности, принимая вещественные значения; это позволило мне получить классические асимптотические ряды для функций Бесселя способом, который трудно улучшить.

Я надеюсь, что эта книга окажется полезной, в частности, студентам, для которых она предназначается.

Турин, осень 1946 г. Ф. Дж. Т.


Hosted by uCoz