3610 Кб

Оглавление Предисловие переводчика 5 Предисловие к первому итальянскому изданию 7 Предисловие ко второму итальянскому изданию 9 Предисловие к английскому изданию 10   I. Теорема о существовании и единственности 1.  Некоторые элементарные сведения о дифференциальных уравнениях 11 2.  Подготовка к фундаментальной теореме 14 3.  Теорема о существовании и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений 16 4.  Дополнительные замечания 23 5.  Круговые функции 27 6.  Эллиптические функции 35   II. Поведение характеристик уравнения первого порядка 7.  Предварительные рассмотрения 44 8.  Примеры уравнений с особыми точками 50 9.  Изучение укороченного уравнения 58 10.  Некоторые теоремы общего характера 66 11.  Индекс Пуанкаре 76 12.  Узел 79 13.  Фокус и седло 88 14.  Предельные циклы и релаксационные колебания 101 15.  Периодические решения в фазовом пространстве 111   III. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка 16.  Предварительные рассмотрения 118 17.  Теорема Валле Пуссена 122 18.  Упрощения заданного уравнения 127 19.  Теоремы о нулях и о максимумах и минимумах решений 129 20.  Теоремы о сравнении и их следствия 133 21.  Интервал между последовательными нулями решения 138 22.  Важная замена переменной 141 23.  Теорема о колебании 147 24.  Собственные значения и собственные функции 153 25.  Физическое истолкование 156 26.  Некоторые свойства собственных значений и собственных функций 160 27.  Связь с теорией интегральных уравнений 171   IV. Асимптотические методы 28.  Общие замечания 179 29.  Общий метод, применимый к линейным дифференциальным уравнениям 182 30.  Дифференциальные уравнения с устойчивыми решениями 190 31.  Случай, в котором коэффициент при y стремится к отрицательному пределу 198 32.  Подготовка к асимптотическому исследованию собственных значений и собственных функций 208 33.  Первая форма асимптотического выражения для собственных функций 212 34.  Асимптотическое выражение для собственных значений 217 35.  Вторая форма асимптотического выражения для собственных функций 222 36.  Уравнения с переходными точками 226 37.  Дифференциальное уравнение и полиномы Лагерра 230 38.  Асимптотическое поведение полиномов Лагерра 238 39.  Дифференциальное уравнение и полиномы Лежандра 244 40.  Асимптотическое выражение для полиномов Лежандра 249   V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел 41.  Мажорантные функции 257 42.  Доказательство фундаментальной теоремы методом Коши 261 43.  Общие замечания об особых точках решений дифференциальных уравнений. Случай линейных уравнений 267 44.  Исследование многозначности решений линейного уравнения 272 45.  Случай отсутствия существенных особенностей 278 46.  Интегрирование рядами уравнений типа Фукса 281 47.  Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение 290 48.  Предварительные замечания о существенных особенностях 305 49.  Приложение метода последовательных приближений 311 50.  «Асимптотическое интегрирование» приведённого уравнения 316 51.  Вывод и дальнейшие замечания 321 52.  Приложение к конфлюентным гипергеометрическим функциям и к функциям Бесселя 326   Литература 336 Именной указатель 343 Предметный указатель   346

Автор этого курса, итальянский математик Франческо Трикоми, хорошо известен советскому читателю по трём уже переведённым книгам, а также по его научным исследованиям, в особенности в области уравнений с частными производными смешанного типа. Книга, выпускаемая сейчас в русском переводе, выполненном с английского издания 1961 г. написана со свойственными автору простотой, ясностью и изяществом; элементарность изложения и свежесть материала — вот её характерные черты. По необходимым предварительным знаниям и уровню математического развития она соответствует третьему курсу физико-математических факультетов наших университетов. В то же время тщательный отбор материала и продуманное изложение дают возможность автору на сравнительно небольшом объёме осветить многие важные задачи, идеи, методы и результаты современной теории, которые обычно в общих курсах опускаются. При этом с помощью обзора последних научных достижений в отдельных областях и указания литературы — учебников, монографий и научных статей — автор по многим пунктам подводит читателя к современному уровню исследований.

В книге, за исключением теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи, почти не освещаются те общие факты, которые обычно входят в учебный курс дифференциальных уравнений (интегрируемые типы уравнений первого и высших порядков, общая теория линейных уравнений, линейные уравнения с постоянными коэффициентами и т.п.). В то же время некоторые (хотя и простые) сведения об этих фактах автор время от времени использует. Поэтому можно рекомендовать приступить к чтению этой книги после ознакомления с обычным учебным курсом; другими словами, по нашему мнению, эта книга может служить в качестве основы спецкурса по дополнительным главам теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что в последней главе книги используются некоторые простые факты из теории функций комплексного переменного (не далее приложений теории вычетов и аналитического продолжения); это также делает целесообразным чтение книги не ранее третьего курса.

Книга в целом написана тщательно и какой-либо существенной редакторской правки не понадобилось. Некоторые небольшие изменения и добавления, уточняющие и поясняющие текст, мы сочли возможным включить в текст без особой оговорки. Единственное сколько-нибудь существенное отклонение от оригинального текста допущено в § 34, где не вполне ясная формулировка леммы автора нами заменена. Включено также несколько примечаний переводчика с пояснениями и указанием дополнительной литературы на русском языке.

Мы надеемся, что эта яркая книга после выхода на русском языке приобретёт ещё большее число поклонников, которые при её чтении испытают такое же удовольствие, какое испытал переводчик при работе над ней.

Книга такого рода, как эта, может иметь две различные и почти несовместимые цели. Она может быть справочником, содержащим краткий обзор всех направлений в данной области и обширную библиографию. С другой стороны, она может быть учебником, который предназначен для того, чтобы дать студенту ясное представление об идеях и методах в теории дифференциальных уравнений, являющейся одной из важнейших ветвей анализа.

При написании данного курса имелась в виду вторая из этих целей, так как в хороших современных справочниках нет недостатка. Книга выросла из университетских курсов, прочитанных автором, и не претендует на полноту. В ней рассмотрены только те вопросы, которые можно было изложить со строгостью и одновременно с простотой; число таких вопросов ограничено также условием, чтобы они не требовали математических познаний, отсутствующих у студентов третьего–четвёртого курсов.

Недостаток места заставил меня ограничиться обыкновенными дифференциальными уравнениями (уравнения с частными производными не рассматриваются) и исключить так называемые элементарные методы интегрирования (разделение переменных, интегрирование линейных уравнений первого порядка, линейные уравнения с постоянными коэффициентами и т.п.). Содержание книги ясно из подробного оглавления. Глава I является вводной для последующих; главу II, главы III и IV вместе и главу V (единственную, в которой требуется некоторое знание теории функций комплексного переменного) можно читать независимо друг от друга.

Те читатели, которые знакомы с основными математическими интересами автора, могут быть удивлены тем, что в книге совсем не упоминаются операционные методы, в частности, интегрирование с помощью определённых интегралов. Однако это потребовало бы больше места, чем имеется в нашем распоряжении, тогда как сейчас имеются хорошо известные книги Дёча [61], Гиццетти [59] и другие, посвящённые приложению символических методов (т.е. преобразованию Лапласа) и дифференциальным уравнениям применительно к теоретической электротехнике или другим специальным отраслям.

В процессе изложения я старался всё время подчёркивать, что в современной теории дифференциальных уравнений основной целью является вывод свойств решений непосредственно из уравнения, тогда как ранее целью было явное интегрирование уравнения. Трудные случаи всегда сложны, когда с ними имеют дело в их наиболее общей форме; но если ограничиться простейшими случаями, то можно ясно показать фундаментальные идеи, лежащие в основе применяемых методов.

Читатель, являющийся знатоком в данной области, оценит пользу и простоту замены переменных Прюфера при выводе теоремы существования для собственных значений (глава III), вывод асимптотического представления решений линейных уравнений второго порядка (глава IV), а также изучение характеристик для уравнений первого порядка (глава II) — при столь малых ограничениях, как здесь, этот последний вопрос впервые появляется в учебнике.

Я хотел бы указать, далее, что при «асимптотическом интегрировании» линейных уравнений по методу Пуанкаре (глава V) я смог устранить то ограничение, что независимая переменная должна стремиться к бесконечности, принимая вещественные значения; это позволило мне получить классические асимптотические ряды для функций Бесселя способом, который трудно улучшить.

Я надеюсь, что эта книга окажется полезной, в частности, студентам, для которых она предназначается.