Ф. ТРИКОМИ


 
INTEGRAL  EQUATIONS

F. G. TRICOMI
professor of mathematics
University of Turin, Turin, Italy
 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ



 Перевод с английского
Б. В. БОЯРСКОГО и И. И. ДАНИЛЮКА

Под редакцией
И. Н. ВЕКУА
 
1957
INTERSCIENCE PUBLISHERS, INC., NEW YORK
INTERSCIENCE PUBLISHERS LTD., LONDON
 


ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА,   1960
 





 
2657 Кб
 
Оглавление
Предисловие к русскому изданию5
Предисловие к английскому изданию6
 
 Глава  I.
Уравнения Вольтерра
1.1. Задача механики, приводящая к интегральному уравнению9
1.2. Интегральные уравнения и системы линейных алгебраических уравнений11
1.3. Уравнения Вольтерра14
1.4. L2-ядра и L2-функции18
1.5. Решение интегральных уравнений Вольтерра второго рода21
1.6. Уравнение Вольтерра первого рода27
1.7. Пример29
1.8. Интегральные уравнения Вольтерра и линейные дифференциальные уравнения31
1.9. Уравнения типа свёртки37
1.10. Поперечные колебания балки42
1.11. Приложение к функциям Бесселя49
1.12. Некоторые обобщения теории уравнений Вольтерра56
1.13. Нелинейные уравнения Вольтерра61
 
 Глава  II.
Уравнения Фредгольма
2.1. Решение методом последовательных приближений: ряд Неймана69
2.2. Пример74
2.3. Уравнения Фредгольма с ядрами Пинкерле–Гурса76
2.4. Теорема Фредгольма для ядер общего вида87
2.5. Формулы Фредгольма89
2.6. Численное решение интегральных уравнений100
2.7. Решение задачи Дирихле методом Фредгольма102
 
 Глава  III.
Симметричные ядра и ортогональные системы функций
3.1. Предварительные замечания и процесс ортогонализации107
3.2. Приближение и сходимость в среднем110
3.3. Теорема Рисса–Фишера116
3.4. Полнота и замкнутость119
3.5. Полнота системы тригонометрических функций и многочленов126
3.6. Приближение L2-ядра общего вида PG-ядрами130
3.7. Метод Энскога132
3.8. Спектр симметричного ядра135
3.9. Билинейная формула140
3.10. Теорема Гильберта–Шмидта и её приложения145
3.11. Экстремальные свойства и оценки собственных значений155
3.12. Положительные ядра; теорема Мерсера162
3.13. Связь с теорией линейных дифференциальных уравнений166
3.14. Критические скорости вращающегося вала и поперечные колебания балки177
3.15. Симметричные уравнения Фредгольма первого рода185
3.16. Приведение уравнения Фредгольма к уравнению Фредгольма с симметричным ядром188
3.17. Некоторые обобщения195
3.18. Колебания мембраны199
 
 Глава  IV.
Некоторые типы сингулярных и нелинейных интегральных уравнений
4.1. Общие замечания и примеры207
4.2. Уравнения, содержащие интегралы в смысле главного значения по Коши, и преобразование Гильберта213
4.3. Преобразование Гильберта на конечном интервале и уравнение профиля крыла самолёта222
4.4. Сингулярные интегральные уравнения типа Карлемана237
4.5. Общие замечания о нелинейных интегральных уравнениях251
4.6. Нелинейные уравнения типа Гаммерштейна257
4.7. Вынужденные колебания конечной амплитуды272
 
Приложение I.  Системы линейных алгебраических уравнений278
Приложение II.  Теорема Адамара283
Упражнения286
Литература  292



ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Я весьма польщён, что и эта моя книга будет опубликована на русском языке. Это особенно приятно для меня, ибо на русском языке имеется ряд хороших трактатов по интегральным уравнениям. Среди них, пожалуй, ближе всего к моей книге — книга С. Г. Михлина. Впрочем, эти две книги скорее дополняют друг друга, нежели конкурируют между собой. Действительно, в то время как я лишь слегка касаюсь приложений (сведя их к минимуму, неизбежному для понимания основных методов), в книге Михлина приложения занимают около двух третей объёма и представляют значительный самостоятельный интерес.

Напротив, я уделяю достаточно много места уравнениям типа Вольтерра, которые я излагаю независимо, несмотря на то, что их можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма. Делаю я это не только из-за большой важности уравнений Вольтерра в теории дифференциальных уравнений, но в первую очередь из дидактических соображений, поскольку предварительное изучение этих уравнений является наилучшей подготовкой к успешному усвоению более трудных уравнений типа Фредгольма.

Турин, 10 июня 1958 г. Проф. д-р Франческо Дж. Трикоми



ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

Интегральные уравнения были одной из первых областей математики, привлёкших к себе моё внимание, однако эта книга появляется только теперь, после ряда других книг. Почему? Да по той причине, что написание книги по интегральным уравнениям представляется довольно трудным делом, требующим многолетних размышлений.

В самом деле, такая книга должна удовлетворять двум не легко примиримым между собой требованиям. С одной стороны, чтобы облегчить применение теории к доказательствам существования, она должна содержать главные результаты теории, изложенные с достаточной общностью и в соответствии с современными нормами математической строгости. G другой стороны, она не должна быть настолько абстрактной, чтобы отталкивать физиков и инженеров, определённо нуждающихся в этом математическом орудии.

Удалось ли мне удовлетворить обоим требованиям? Это может решить только читатель. Я могу лишь надеяться, что если я и не всегда успешно справлялся с задачей доступного изложения трудных вопросов, то по крайней мере меня не смогут обвинить в искусственном усложнении простых вопросов, как это делается иногда в математических сочинениях.

В моём стремлении примирить общность с простотой большую услугу оказала идея, выдвинутая моим другом, проф. М. Пиконе (Picone M., Appunti di analisi superiore, Napoli, 1940.). Несмотря на то, что эта идея применялась уже Э. Шмидтом, одним из основателей теории интегральных уравнений, она до сих пор мало известна. Она позволяет при помощи ряда Неймана легко перейти от интегрального уравнения с «вырожденным» ядром к уравнению с ядром общего вида.

То здесь, то там, особенно в последней главе, специалист встретит новые факты, или же старые в новой форме: например, теория интегральных уравнений Вольтерра излагается в пространстве L2, вместо пространства непрерывных функций. Однако, вообще, я избегал изменения традиционного материала, в изложении которого достигнута удовлетворительная систематичность. Кроме того, я считаю, что книга, подобная моей, должна содержать, за редким исключением, только вопросы и методы, уже достаточно хорошо установившиеся в рамках анализа. По этой причине я не использовал современных топологических методов функционального анализа; возможно это удастся сделать в последующих изданиях. Как это ни было неприятно, но во избежание разрастания объёма книги мне пришлось исключить из рассмотрения ряд вопросов; например, изложение применений интегральных уравнений с какой бы то ни было степенью полноты потребовало бы изложения значительной части математической физики и современной теории колебаний.

Эта книга писалась в расчёте на то, чтобы служить современным учебником по интегральным уравнениям для студентов, а также для всех лиц, имеющих дело с прикладной математикой. По этой причине я стремился обойтись минимумом математических знаний, требуемых от читателей; твёрдые знания основ дифференциального и интегрального исчислений и элементов теории функций вполне достаточны.

Книга состоит из четырёх глав, каждая из которых делится на несколько параграфов (последовательно пронумерованных 1.1, 1.2, ..., 4.7) и двух Приложений (I и II).

Формулы пронумерованы последовательно в рамках каждого параграфа или Приложения и ссылка в том же параграфе делается только на их номер. В других параграфах к их номеру прибавляется номер параграфа. Например, (4.3.4) означает (вне § 4.3) формулу (4) из § 4.3.

Я глубоко обязан моему другу д-ру Ч. де Прима, который, со своей необыкновенной компетентностью в этой области, дал мне много ценных советов не только математического, но и языкового характера.

Я благодарен также мисс Р. Струик, потратившей много времени на отделку рукописи.

Турин, Италия, февраль 1955 г. Ф. Дж. Трикоми


Hosted by uCoz