A TREATISE ON THE
THEORY OF
BESSEL FUNCTIONS


by
G. N. WATSON

1 9 4 5
    Дж. Н. ВАТСОН

ТЕОРИЯ
БЕССЕЛЕВЫХ
ФУНКЦИЙ



Перевод
со 2-го английского издания
В. С. БЕРМАНА

       


1949
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА
 



 
  11996 Кб  
 


СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию5
Предисловие к первому английскому изданию7
Предисловие ко второму английскому изданию8
 
ГЛАВА I
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДО 1826 ГОДА
 1.1.

Дифференциальное уравнение Риккати

9
 1.2.

Механическая задача Даниила Бернулли

11
 1.3.

Механическая задача Эйлера

13
 1.4.

Исследования Лагранжа, Карлини и Лапласа

14
 1.5.

Исследования Фурье

17
 1.6.

Исследования Пуассона

18
 1.7.

Исследования Бесселя

21
 
ГЛАВА II
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ
 2.1.

Определение бесселевых функций с целым индексом

23
 2.11.

Ряд для Jn(z) по возрастающим степеням аргумента

24
 2.12.

Рекуррентные формулы

26
 2.13.

Дифференциальные уравнения для Jn(z)

28
 2.2.

Интеграл Бесселя для бесселевых функций с целым индексом

28
 2.21.

Различные формы интеграла Парсеваля

30
 2.22.

Разложения в ряды по бесселевым функциям, полученные Якоби

31
 2.3.

Интеграл Пуассона

33
 2.31.

Исследование интеграла Пуассона Бесселем

35
 2.32.

Преобразование интеграла Пуассона, данное Якоби

36
 2.321.

Доказательство формулы преобразования Якоби

37
 2.322.

Доказательство Лиувилля

38
 2.323.

Доказательство Шлефли

38
 2.33.

Об одном применении формулы Якоби

39
 2.4.

Теорема сложения для бесселевых функций

40
 2.5.

Ряд Хансена для квадратов и произведений бесселевых функций

40
 2.6. 

Интеграл Неймана для Jn2(z)

41
 2.61. 

Ряд Неймана для Jn2(z)

43
 2.7. 

Разложение Шлемильха функции zm в ряд по бесселевым функциям

43
 2.71. 

Разложение Шлемильха вида  npJn(z)

46
 2.72. 

Разложение функции z2m в ряд по квадратам бесселевых функций, данное Нейманом

47
 
ГЛАВА III
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ
 3.1.

Обобщение дифференциального уравнения Бесселя

49
 3.11.

Функции, индекс которых равен половине нечетного числа

52
 3.12.

Фундаментальная система решений уравнения Бесселя

53
 3.13.

Общие свойства функции Jν(z)

55
 3.2.

Рекуррентные формулы для Jν(z)

56
 3.21.

Бесселевы функции с комплексным индексом

57
 3.3.

Представление функции Jν(z) с помощью интеграла Пуассона, данное Ломмелем

58
 3.31.

Неравенства, получаемые из интеграла Пуассона

61
 3.32.

Обобщение интеграла Пуассона, данное Гегенбауэром

61
 3.33.

Двойной интеграл Гегенбауэра типа Пуассона

63
 3.4.

Выражение функции J±(n+½)(z) в конечном виде

65
 3.41.

Обозначения для функций, порядок которых равен половине нечетного числа

68
 3.5.

Второе решение уравнения Бесселя с целым индексом

70
 3.51.

Разложение функции Y0(z) в ряд по возрастающим степеням z

72
 3.52.

Разложение Yn(z) в ряд по возрастающим степеням z и определение Jν(z)

74
 3.53.

Определение функции Yν(z)

76
 3.54.

Функция Вебера–Шлефли второго рода

77
 3.55.

Определение функции второго рода по Гейне

78
 3.56. 

Рекуррентные формулы для Yν(z) и Yν(z)

79
 3.57.

Функция Неймана второго рода

80
 3.571. 

Интеграл типа Пуассона для Y (0)(z)

81
 3.572.

Ряд Стокса для интеграла Пуассона–Неймана

83
 3.58. 

Определение функции Y (n)(z) по Нейману

84
 3.581. 

Разложение функции Y (n)(z) по Нейману

85
 3.582.

Степенной ряд для Un(z)

87
 3.583. 

Интеграл типа Пуассона для Y (n)(z)

87
 3.6.

Функции третьего рода

88
 3.61.

Соотношение между бесселевыми функциями первого, второго и третьего рода

89
 3.62.

Бесселевы функции от аргумента z и zeπim

89
 3.63.

Фундаментальные системы решений уравнения Бесселя

90
 3.7.

Функции Бесселя от чисто мнимого аргумента

91
 3.71.

Формулы для Iν(z) и Kν(z)

93
 3.8.

Функции Томсона ber(z) и bei(z) и их обобщения

95
 3.9.

Определение цилиндрических функций

97
 
ГЛАВА IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
 4.1.

Решение уравнения Риккати методом Даниила Бернулли

99
 4.11.

Бернуллиевы преобразования уравнения Риккати

99
 4.12.

Предельный вид уравнения Риккати с индексом –2

100
 4.13.

Решение уравнения Риккати методом Эйлера

101
 4.14.

Общее решение уравнения Риккати, данное Кэли

102
 4.15.

Уравнение Риккати в канонической форме Шлефли

104
 4.16.

Различные исследования уравнения Риккати

105
 4.2.

Обобщенное уравнение Риккати

106
 4.21.

Теоремы Эйлера об обобщенном уравнении Риккати

107
 4.3.

Различные преобразования уравнения Бесселя

108
 4.31.

Преобразования уравнения Бесселя по методу Ломмеля

110
 4.32.

Дифференциальное уравнение Мальмстена

113
 4.4.

Обозначения Похгаммера для обобщенных гипергеометрических рядов

113
 4.41.

Различные решения в виде рядов

114
 4.42.

Соотношения между решениями в виде рядов

116
 4.43.

Дифференциальное уравнение Шарпа

118
 4.5.

Уравнения выше второго порядка

119
 4.6.

Символическое решение дифференциальных уравнений

122
 4.7.

Классификация элементарных трансцендентных функций по Лиувиллю

124
 4.71.

Первая теорема Лиувилля о линейных дифференциальных уравнениях

125
 4.72.

Вторая теорема Лиувилля о линейных дифференциальных уравнениях

129
 4.73.

Теорема Лиувилля об отсутствии у уравнения Бесселя алгебраических интегралов

131
 4.74.

О невозможности интегрирования уравнения Бесселя в конечном виде

134
 4.75.

О неинтегрируемости уравнения Риккати в конечном виде

137
 4.8.

Решения уравнения Лапласа

137
 4.81.

Решения волновых уравнений

139
 4.82.

Теоремы, получаемые из решений уравнений математической физики

141
 4.83.

Решения волнового уравнения в пространстве p измерений

142
 4.84.

Решение обобщенного волнового уравнения, данное Бэйтменом

144
 
ГЛАВА V
РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
 5.1.

Неопределенные интегралы, содержащие одну бесселеву функцию

146
 5.11.

Интегралы Ломмеля, содержащие две цилиндрические функции

147
 5.12.

Неопределенные интегралы, содержащие две цилиндрические функции; второй метод Ломмеля

149
 5.13.

Интеграл Сонина, содержащий две цилиндрические функции

151
 5.14.

Формула приведения Шафхейтлина

151
 5.2.

Разложения в ряды по бесселевым функциям

152
 5.21.

Разложение функции Бесселя в ряд по бесселевым функциям

153
 5.22.

Разложение Ломмеля для (z+h)±ν/2Jν(√ z+h)

154
 5.23.

Разложение функции Бесселя в ряд по бесселевым функциям

157
 5.3.

Формула сложения для бесселевых функций

158
 5.4.

Произведения бесселевых функций

160
 5.41.

Произведение рядов, представляющих бесселевы функции

162
 5.42.

Произведения, содержащие бесселевы функции второго рода

164
 5.43.

Представление Jμ(z)Jν(z) в виде интеграла

165
 5.5.

Разложение (z/2)μ+ν в виде ряда произведений бесселевых функций

166
 5.51.

Ряды Ломмеля по квадратам бесселевых функций

166
 5.6.

Формулы, содержащие непрерывные дроби

168
 5.7.

Выражение Хансена для Jν(z) в виде предела гипергеометрической функции

169
 5.71.

Бесселевы функции как пределы функций Лежандра

170
 5.72.

Интегралы, связанные с формулой Мелера

172
 5.73.

Формулы Ольбрихта

174
 
ГЛАВА VI
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
 6.1.

Обобщение интеграла Пуассона

176
 6.11.

Видоизменения контурных интегралов Ханкеля

182
 6.12.

Интегральные представления функций третьего рода

184
 6.13.

Обобщенные интегралы Мелера–Сонина

186
 6.14.

Символические формулы Харгрейва и Макдональда

188
 6.15.

Интегралы типа Пуассона для Jν(z) и Kν(z), данные Шлефли

189
 6.16.

Интегралы Бассета для Jν(xz)

190
 6.17.

Обобщения Уиттекера интегралов Ханкеля

192
 6.2.

Обобщения интеграла Бесселя

194
 6.21.

Интегралы, представляющие функции второго и третьего рода

197
 6.22.

Интегралы, представляющие Jν(z) и Kν(z)

200
 6.23.

Формулы Харди для интегралов типа Дюбуа-Реймона

203
 6.24.

Обобщение интегрела Бесселя, полученное Тейзингером

204
 6.3.

Эквивалентность интегральных представлений функции Kν(z)

206
 6.31.

Преобразование Шлефли

206
 6.32.

Преобразование Пуассона

207
 6.33.

Преобразование Мальмстена

208
 6.4.

Интеграл Эйри

210
 6.5.

Интегральные представления бесселевых функций по Барнсу

212
 6.51.

Представления Барнса для функций третьего рода

214
 
ГЛАВА VII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
 7.1.

Асимптотические формулы для Jν(z)

217
 7.2.

Асимптотические разложения Ханкеля для Hν(1)(z) и Hν(2)(z)

219
 7.21.

Асимптотические разложения Jν(z), J–ν(z) и Yν(z)

222
 7.22.

Явление Стокса

224
 7.23.

Асимптотические разложения Jν(z) и Kν(z)

226
 7.24.

Асимптотические разложения ber(z) и bei(z)

227
 7.25.

Асимптотические разложения в форме Адамара

228
 7.3.

Формулы для остатков асимптотических разложений

229
 7.31.

Исследования Стилтьеса функций J0(x), Y0(x) и K0(x)

231
 7.32.

Знаки остатков в асимптотических разложениях, соответствующих Jν(x) и Yν(x)

233
 7.33.

Формулы Вебера для остатков в разложениях функций третьего рода

236
 7.34.

Приближенные выражения для остатков асимптотических разложений

238
 7.35.

Следствия из интегралов Шафхейтлина

241
 7.4.

Асимптотические разложения бесселевых функций по Шлефли

242
 7.5.

Асимптотические разложения бесселевых функций по Барнсу

247
 7.51.

Асимптотические разложения произведений бесселевых функций

248
 
ГЛАВА VIII
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
 8.1.

Бесселевы функции с большим индексом

252
 8.11.

Первое обобщение формулы Карлини, данное Мейсселем

253
 8.12.

Второе разложение Мейсселя

254
 8.2.

Принцип стационарной фазы. Бесселевы функции с индексом, равным аргументу

256
 8.21.

Третье разложение Мейсселя

259
 8.22.

Приложение принципа Кельвина к функции Jν(ν sec β)

260
 8.3.

Метод перевала

262
 8.31.

Построение контуров Дебая в случае вещественных переменных

264
 8.32.

Геометрические свойства контуров Дебая

266
 8.4.

Асимптотическое разложение для Jν(ν sch α)

267
 8.41.

Асимптотические разложения для Jν(ν sec β) и Yν(ν sec β)

270
 8.42.

Асимптотические разложения бесселевых функций, порядок и индекс которых приблизительно равны

272
 8.43.

Асимптотические формулы для промежуточных областей

275
 8.5.

Общие свойства Jν(νx) при 0<x≤1

280
 8.51.

Одна лемма относительно функции F(θ, x)

283
 8.52.

Монотонность отношения Jν(νx)/Jν(ν)

284
 8.53.

Свойства функций Jν(ν) и J'ν(ν)

286
 8.54.

Монотонность функций Jν(ν) и J'ν(ν)

287
 8.55.

Монотонность отношения ν1/3J'ν(ν)/Jν(ν)

288
 8.6.

Асимптотические разложения бесселевых функций с большим комплексным индексом

289
 8.61.

Форма контуров Дебая в случае комплексных переменных

291
 8.7.

Неравенство Каптейна для Jn(nz)

295
 
ГЛАВА IX
ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
 9.1.

Определение полинома Неймана On(t)

298
 9.11.

Рекуррентные формулы для On(t)

301
 9.12.

Дифференциальное уравнение для On(t)

303
 9.13.

Контурные интегралы Неймана, связанные с функциями On(z)

304
 9.14.

Интеграл Неймана для функции On(z)

305
 9.15.

Исследование Сониным интеграла Неймана

307
 9.16.

Производящая функция для On(z)

309
 9.17.

Неравенство типа Каптейна для функции On(nz)

310
 9.2.

Обобщение полинома Неймана, данное Гегенбауэром

310
 9.3.

Полиномы Шлефли Sn(t)

312
 9.31.

Формулы, связывающие полиномы Неймана и Шлефли

314
 9.32.

Выражение Графа для полинома Sn(z) в виде суммы бесселевых функций

315
 9.33.

Интеграл Крелье для полинома Sn(z)

316
 9.34.

Разложение Sn(t+z) по бесселевым функциям, данное Шлефли

317
 9.4.

Определение полинома Неймана Ωn(t)

318
 9.41.

Рекуррентные формулы для Ωn(t)

320
 9.5.

Обобщение полинома Неймана Ωn(t), данное Гегенбауэром

320
 9.6.

Определение полиномов Ломмеля Rm(z)

322
 9.61.

Явное представление полиномов Ломмеля

323
 9.62.

Свойства полиномов Ломмеля

325
 9.63.

Рекуррентные формулы для полиномов Ломмеля

326
 9.64.

Трехчленные соотношения, связывающие полиномы Ломмеля

328
 9.65.

Предельное соотношение Гурвица для полиномов Ломмеля

330
 9.7.

Видоизмененное обозначение для полиномов Ломмеля

331
 9.71.

Вещественность корней полинома g2m(z) при ν > –2

332
 9.72.

Отрицательные корни полинома g2m(z) при ν < –2

333
 9.73.

Положительные и комплексные корни полинома g2m(z) при ν < –2

334
 
ГЛАВА X
ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
10.1.

Функции Jν(z) и Eν(z) в исследованиях Ангера и Вебера

336
10.11.

Формулы Вебера, связывающие функции Вебера с функциями Ангера

339
10.12.

Рекуррентные формулы для Jν(z) и Eν(z)

340
10.13.

Интегралы, выражающиеся через функции Ангера и Вебера

341
10.14.

Асимптотические разложения функций Ангера–Вебера от большого аргумента

342
10.15.

Асимптотические разложения функций Ангера–Вебера с большим индексом и аргументом

345
10.2.

Обобщения интеграла Эйри, данные Харди

348
10.21.

Вычисление интегралов Эйри–Харди с четным индексом

350
10.22.

Вычисление интегралов Эйри–Харди с нечетным индексом

351
10.3.

Числа Коши

354
10.31.

Функции Бурже и Джулиани

355
10.4.

Определение функции Струве Hν(z)

357
10.41.

Интеграл по петле для функции Hν(z)

360
10.42.

Асимптотическое разложение функции Hν(z) при большом |z|

362
10.43.

Асимптотическое разложение функции Струве с большим индексом

364
10.44.

Соотношение между функциями Hν(z) и Eν(z)

366
10.45.

О знаке функции Струве

367
10.46.

Интеграл Тейзингера

369
10.5.

Интеграл Уиттекера

369
10.6.

Функции, составляющие функцию Yn(z) в сумме

372
10.61.

Рекуррентные формулы для Tn(z) и Un(z)

374
10.62.

Ряды для Tn(z) и Un(z)

375
10.63.

Разложение Графа для функции Tn(z+t) по бесселевым функциям с целыми индексами

376
10.7.

Определение функций Ломмеля Sμ,ν(z) и sμ,ν(z)

377
10.71.

Построение функции Sμ,ν(z)

379
10.72.

Рекуррентные формулы для функций Ломмеля

380
10.73.

Функции Ломмеля Sμ,ν(z) в случае, когда μ±ν — нечетное отрицательное число

380
10.74.

Функции, выражающиеся через функции Ломмеля

382
10.75.

Асимптотическое разложение для Sμ,ν(z)

383
10.8.

Полуцилиндрические функции

385
10.81.

Теорема сложения для полуцилиндрических функций

386
10.82.

Функциональные уравнения Нильсена

387
 
ГЛАВА XI
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
11.1.

Общие сведения о теоремах сложения

391
11.2.

Теорема сложения Неймана

391
11.3.

Обобщение формулы Неймана, данное Графом

392
11.4.

Теорема сложения Гегенбауэра

394
11.41.

Видоизмененная форма теоремы сложения Гегенбауэра

396
11.42.

Исследование теоремы сложения, данное Гегенбауэром

400
11.5.

Вырожденная форма теоремы сложения

401
11.6.

Разложение Бэйтмена

403
 
ГЛАВА XII
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12.1.

Различные типы определенных интегралов

406
12.11.

Первый определенный интеграл Сонина

406
12.12.

Первый интеграл Сонина (геометрическое доказательство)

408
12.13.

Второй определенный интеграл Сонина

410
12.14.

Определенный интеграл Гегенбауэра

412
12.2.

Интегралы, получаемые из разложения Бэйтмена

414
12.21.

Тригонометрические интегралы Каптейна

415
12.22.

Метод вычисления определенных интегралов, данный Харди

416
12.3.

Интеграл Чессина для функции Yn(z)

418
 
ГЛАВА XIII
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
13.1.

Различные типы несобственных интегралов

419
13.2.

Интеграл Липшица с обобщениями Ханкеля

420
13.21.

Интегралы Липшица–Ханкеля, выраженные через функции Лежандра

423
13.22.

Приложения формулы сложения к интегралам Липшица–Ханкеля

425
13.23.

Выводы Гегенбауэра из интегралов Липшица и Ханкеля

427
13.24.

Несобственный интеграл Вебера по Шафхейтлину

428
13.3.

Первый экспоненциальный интеграл Вебера и его обобщения

430
13.31.

Второй экспоненциальный интеграл Вебера

432
13.32.

Обобщения второго экспоненциального интеграла Вебера

433
13.33.

Интеграл Струве, содержащий произведения бесселевых функций

434
13.4.

Разрывный интеграл Вебера и Шафхейтлина

436
13.41.

Критический случай интеграла Вебера–Шафхейтлина

440
13.42.

Частные случаи разрывных интегралов

443
13.43.

Исследование интеграла Вебера–Шафхейтлина, данное Гегенбауэром

445
13.44.

Исследование интеграла Вебера–Шафхейтлина, данное Гублером

447
13.45.

Видоизменение интеграла Вебера–Шафхейтлина

449
13.46.

Обобщения интеграла Вебера–Шафхейтлина

450
13.47.

Разрывные интегралы Сонина и Гегенбауэра

455
13.48.

Задача о случайных перемещениях

460
13.49.

Разрывные интегралы Галлопа и Харди

462
13.5.

Вычисление определенных интегралов посредством интегрирования по контуру

464
13.51.

Интеграл Ханкеля, содержащий одну бесселеву функцию

465
13.52.

Обобщение интеграла Ханкеля

469
13.53.

Интегралы Ханкеля, содержащие произведение бесселевых функций

470
13.54.

Обобщения интеграла Никольсона

473
13.55.

Интегралы Сонина

474
13.6.

Новый метод вычисления определенных интегралов

476
13.61.

Интегралы, содержащие произведения бесселевых функций

479
13.7.

Интегральные представления произведений бесселевых функций

482
13.71.

Представление произведения Kν(Z)Kν(z) в виде интеграла

483
13.72.

Интегральные представления произведений, данные Никольсоном

483
13.73. 

Интеграл Никольсона для Jν2(Z) + Yν2(z)

485
13.74.

Следствия интеграла Никольсона

490
13.75. 

Асимптотическое разложение для Jν2(Z) + Yν2(z)

493
13.8.

Интегралы Рамануджана

494
 
ГЛАВА XIV
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.1.

Задачи, связанные с кратными интегралами

496
14.2.

Несобственные интегралы Вебера

496
14.3.

Общее исследование интеграла Неймана

499
14.4.

Повторный интеграл Ханкеля

502
14.41.

Аналог леммы Римана–Лебега

502
14.42.

Обращение повторного интеграла Ханкеля

504
14.43.

Существенная часть пути интегрирования в повторном интеграле Ханкеля

505
14.44.
  b λ
Ограниченность интеграла ∫ ∫ Jν(uR) Jν(ur) uR du dR
a 0
506
14.45.

Доказательство интегральной теоремы Ханкеля

508
14.46.

Замечания относительно первоначального доказательства теоремы Ханкеля

510
14.5.

Распространение теоремы Ханкеля на произвольные цилиндрические функции

511
14.51.

Обобщение теоремы Ханкеля на случай 0 ≤ ν ≤ 1/2

512
14.52.

Интегральная теорема Вебера

516
14.6.

Формулировка интегральной теоремы Неймана

518
14.61.

Аналог леммы Римана–Лебега

519
14.62.

Обращение повторного интеграла Неймана

520
14.63.

Доказательство интегральной теоремы Неймана

521
14.64.

Исследование интеграла Неймана, данное Мелером

523
 
ГЛАВА XV
КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
15.1.

Задачи, связанные с корнями бесселевых функций

525
15.2.

Теорема Бесселя–Ломмеля о корнях функции Jν(z)

526
15.21.

Отсутствие кратных корней у цилиндрических функций

528
15.22.

Чередование корней бесселевых функций

528
15.23.

Теорема Диксона о чередовании корней

529
15.24.

Чередование корней цилиндрических функций с индексом ν

530
15.25.

Теорема Ломмеля о вещественности корней функции Jν(z)

530
15.26.

Аналог теоремы Ломмеля для функций второго рода

531
15.27.

Теорема Гурвица о корнях функции Jν(z)

532
15.28.

Гипотеза Бурже

533
15.3.

Элементарные свойства корней функции Jν(z)

534
15.31.

Стационарные значения цилиндрических функций

536
15.32.

Исследование корней функции J0(x), данное Шафхейтлином

538
15.33.

Теоремы типа Шафхейтлина для –1/2 < ν ≤ 1/2

540
15.34.

Теоремы типа Шафхейтлина для 1/2 < ν < 5/2

541
15.35.

Корни цилиндрических функций со сколь угодно большим индексом (по Шафхейтлину)

543
15.36.

Теорема Бохера о корнях функции C0(x)

545
15.4.

О числе корней функции Jν(z) в заданной полосе z-плоскости

546
15.41.

Выражение функции Jν(z) в виде бесконечного произведения

548
15.42.

Разложение Кнезера–Зоммерфельда

550
15.5.

Исследование корней функции J0(2√z), данное Эйлером

551
15.51.

Обобщение Рэлея формулы Эйлера

553
15.52.

Большие корни функции J0(x)

554
15.53.

Большие корни цилиндрических функций

556
15.54.

Корни функций, связанных с цилиндрическими функциями

558
15.6.

Характер изменения корней цилиндрической функции при изменении индекса

559
15.61.

Задача о колебании мембраны

561
15.7.

Корни функции Kν(z)

562
15.8.

Корни бесселевых функций с большим индексом

564
15.81.

Наименьшие корни функций Jν(x) и Yν(z)

567
15.82.

Приложения метода Штурма

568
15.83.

Приложения методов Штурма к функциям с большим индексом

569
 
ГЛАВА XVI
РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ
16.1.

Определение ряда Неймана

574
16.11.

Разложение произвольной функции в ряд по бесселевым функциям с целым индексом, данное Нейманом

575
16.12.

Аналог Неймана разложения Лорана

576
16.13.

Обобщение разложения Неймана, данное Гегенбауэром

577
16.14.

Разложение функции в ряд по квадратам или произведениям

577
16.2.

Теорема Пинчерле и ее обобщения

578
16.3.

Частные случаи рядов Неймана

580
16.31.

Суммирование рядов Неймана по Ломмелю

582
16.32.

Суммирование рядов Неймана по Каптейну

584
16.4.

Теория рядов Неймана, данная Веббом и Каптейном

586
16.41.

Применение трансформации Бореля

589
16.5.

Функция Ломмеля двух переменных

590
16.51.

Дифференциальные уравнения для функций Ломмеля от двух переменных

592
16.52.

Рекуррентные формулы для функций Ломмеля от двух переменных

592
16.53.

Интегральные представления функций Ломмеля

594
16.54.

Формулы обращения, полученные Ломмелем

596
16.55.

Формулы псевдосложения для функций с индексами 1/2 и 3/2

597
16.56.

Интегралы Френеля

598
16.57.

Интегралы Харди для функций Ломмеля

600
16.58.

Интегралы типа Жильбера для функции Ломмеля

602
16.59.

Асимптотические разложения функций Ломмеля от двух переменных

604
 
ГЛАВА XVII
РЯДЫ КАПТЕЙНА
17.1.

Определение ряда Каптейна

607
17.2.

Задача Кеплера и связанные с ней задачи в исследовании Бесселя

607
17.21.

Разложения, связанные с разложениями Кеплера–Бесселя

610
17.22.

Сумма рядов Каптейна специального вида

612
17.23.

Разложения Мейсселя типа разложений Каптейна

613
17.3.

Простые ряды Каптейна с комплексными переменными

615
17.31.

Обобщение разложений Мейсселя на случай комплексных переменных

618
17.32. 

Разложение zn в ряд Каптейна

620
17.33. 

Исследование ряда Каптейна для zn по методу индукции

622
17.34.

Разложение функции 1/(tz) в ряд Каптейна

625
17.35.

Другие выводы разложения функции 1/(tz) в ряд Каптейна

626
17.4.

Разложение произвольной аналитической функции в ряд Каптейна

627
17.5.

Ряд Каптейна, в котором ν не равно нулю

628
17.6.

Ряды Каптейна второго рода

629
17.7.

Ряд Каптейна, сходящийся вне области K

630
17.8.

Сходимость ряда Каптейна на границе области K

631
 
ГЛАВА XVIII
РЯДЫ ФУРЬЕ–БЕССЕЛЯ И ДИНИ
18.1.

Формальное разложение Фурье для произвольной функции

633
18.11.

О различных типах рядов

636
18.12.

Частные случаи разложений Фурье–Бесселя и Дини

637
18.2.

Методы Ханкеля и Шлефли

638
18.21.

Контурный интеграл Ханкеля–Шлефли

639
18.22.

Интегралы, содержащие Tn(tx)

643
18.23.

Аналог леммы Римана–Лебега

646
18.24.

Разложение Фурье–Бесселя

649
18.25.

Равномерная сходимость разложения Фурье–Бесселя

651
18.26.

Равномерная сходимость разложения Фурье–Бесселя вблизи x=1

652
18.27.

Порядок абсолютной величины членов рядов Фурье–Бесселя

653
18.3.

Приложение методов Ханкеля–Шлефли к разложению Дини

655
18.31.

Контурный интеграл для Sn(txH)

657
18.32.

Аналог леммы Римана–Лебега для функции Sn(txH)

658
18.33.

Разложение Дини для произвольной функции

659
18.34.

Сумма ряда Дини при x=1

660
18.35.

Равномерная сходимость разложения Дини в интервале, включающем точку x=1

662
18.4.

Дифференцирование разложений Фурье–Бесселя

664
18.5.

Суммируемость рядов Фурье–Бесселя

665
18.51.

Теоремы о функции Tn(tx | R)

665
18.52.

Аналог теоремы Фейера

668
18.53.

Равномерная суммируемость рядов Фурье–Бесселя вблизи начала координат

671
18.54.

Методы суммирования рядов Фурье–Бесселя

673
18.55.

Равномерная сходимость разложения Фурье–Бесселя вблизи начала координат

674
18.56.

Суммируемость рядов Дини

675
18.6.

Единственность рядов Фурье–Бесселя и рядов Дини

676
 
ГЛАВА XIX
РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА
19.1.

Разложение функции вещественного переменного, данное Шлемильхом

678
19.11.

Разложение в ряд по бесселевым функциям с индексом нуль, данное Шлемильхом

679
19.2.

Определение ряда Шлемильха

681
19.21.

Приложение теории вычетов к обобщенному разложению Шлемильха

683
19.22.

Построение функции F(z)

685
19.23.

Преобразование символических операторов в обобщенном разложении Шлемильха

687
19.24.

Ограниченность функции F(z) при |z|→∞

689
19.3.

Разложение произвольной функции в обобщенный ряд Шлемильха

690
19.4.

Специальные функции, представляемые рядами Шлемильха

693
19.41.

Выражение нуль-функции с помощью ряда Шлемильха

696
19.5.

Теоремы о сходимости рядов Шлемильха

699
19.51.

Присоединенная функция

701
19.52.

Лемма I

702
19.53.

Лемма II

704
19.54.

Аналог теоремы Римана о тригонометрических рядах

704
19.6.

Теорема о сходимости обобщенных рядов Шлемильха

707
19.61.

Присоединенная функция

709
19.62.

Аналог теоремы Римана

710
19.7.

Теоремы типа Римана о рядах по бесселевым функциям и о рядах Дини по бесселевым функциям

712
 
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
716
ДОБАВЛЕНИЕ719
БИБЛИОГРАФИЯ732
ТАБЛИЦА ОБОЗНАЧЕНИЙ771
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ773
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ  783



ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

В русском издании классический трактат Ватсона по теории бесселевых функций разделён на две части: в первую часть отнесены главы I–XIX английского издания, содержащие теоретический материал, во вторую — таблицы бесселевых функций и относящаяся к ним глава XX. Это изменение произведено для удобства пользования книгой, объём которой как в первой, так и во второй части достаточно велик.

В конце первой части редактором перевода дано примечание (стр. 716–718) к главам XIII и VIII, в котором приведены некоторые результаты исследований советских авторов, относящиеся к теории бесселевых функций. Они существенно дополнят издание сведениями, которых советский читатель не найдёт у Ватсона.

Кроме того, к русскому переводу приложено добавление (стр. 719–731), представляющее собой перевод нескольких параграфов из 1-го издания редкой книги Бромвича (Bromwich, Theory of Infinite Series), на которые постоянно ссылается Ватсон. Эти параграфы посвящены изложению различных вопросов, относящихся к теории несобственных интегралов с параметром; в русской учебной литературе соответствующие вопросы освещены недостаточно. Помещение этого перевода в книге Ватсона значительно облегчит советскому читателю пользование книгой.

В редакционных подстрочных примечаниях в соответствующих местах перевода книги Ватсона даются ссылки на русскую учебную литературу.

Пользуемся случаем выразить благодарность академику В. А. Фоку, давшему ряд ценных указаний при переводе и редактировании книги.

Редакция


ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

При составлении этой книги мы ставили себе две задачи. Во-первых, расширение области применения фундаментальных методов теории функций комплексного переменного. Бесселевы функции идеально подходят для этой цели; это можно объяснить тем, что они представляют значительно больше возможностей для приложения теории функций комплексного переменного, чем тригонометрические функции в теории рядов Фурье.

Во-вторых, соединение в единое целое ряда разрозненных результатов, которые могли бы принести пользу всё возрастающему числу математиков и физиков, сталкивающихся в своей практике с бесселевыми функциями. Необходимость этого вызывается, как нам кажется, сравнительно малой осведомлённостью о свойствах тех видов бесселевых функций (особенно функций с большим индексом), которые в последнее время стали встречаться в различных областях математической физики.

Стараясь дать теорию бесселевых функций в таком объёме, который с чисто математической точки зрения мог бы рассматриваться как исчерпывающий, мы должны были также попытаться включить в книгу все формулы — общие или специальные — может быть, лишённые теоретического интереса, однако важные для практических приложений; эти формулы даются, насколько это возможно, в виде наиболее удобном для упомянутой цели. Широта поставленных задач в соединении с необходимостью удержать размеры книги в определённых рамках заставляли нас вести изложение настолько сжато, насколько это было возможно без ущерба для ясности.

Эта книга, в основном, является дальнейшим развитием теории бесселевых функций в том виде, как она изложена в Курсе современного анализа профессором Уиттекером и мною; поэтому мы предпочитаем ссылаться на упомянутый Курс, как на основную справочную книгу по общим вопросам, чем отправлять читателя к первоисточникам.

Обратим внимание читателя на функцию, которую мы рассматривали как каноническую функцию второго рода, а именно, на функцию, определённую Вебером и использованную впоследствии Шлефли, Графом и Гублером и, наконец, Нильсеном. Может быть, из соображений исторической справедливости желательно было бы найти оправдание пользования функциями Ханкеля. Однако три соображения препятствовали этому. Первое — необходимость стандартизации функций второго рода; на наш взгляд, сейчас имеется больше авторитетных математиков, пользующихся функцией Вебера, чем таких, которые пользуются любой другой функцией второго рода. Второе — параллелизм между двумя видами бесселевых функций и двумя видами (косинус и синус) тригонометрических функций, который объясняет преимущественное пользование функциями Вебера. Третье — существование способа, дающего возможность интерполяции с помощью таблиц [см. таблицы I и III во 2-й части этого издания: "Таблицы бесселевых функций"]; последнее делает функцию Вебера незаменимой в вычислительной работе.

В каждом из разделов мы указываем мемуары или книгу, в которых описываемые результаты были опубликованы ранее; но доказательства этих результатов далеко не всегда совпадают с первоначальными авторскими доказательствами. Библиография в конце книги составлена настолько полно, насколько это оказалось возможным, хотя, без сомнения, в ней могут обнаружиться упущения. Мы не намеревались упомянуть решительно все мемуары, касающиеся бесселевых функций, но тем не менее надеемся, что мы не пропустили ни одного мемуара, содержащего что-нибудь оригинальное и хотя бы в небольшой мере относящееся к теории бесселевых функций. В изложении вопросов, связанных с уравнением Риккати, мы пользовались весьма различными по своему характеру источниками, однако лишь постольку, поскольку они казались уместными в общем плане изложения.
21 августа 1922 года   Дж. Н. Ватсон


ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

Для того чтобы включить в эту книгу исследования в области бесселевых функций за последние двадцать лет, потребовалось бы написать заново по меньшей мере главы XII–XIX; однако, после 1922 года я уже меньше интересовался бесселевыми функциями и в результате оказался не готовым взяться за такую задачу без ущерба для других моих занятий. Подготавливая это новое издание, я поэтому ограничился исправлением мелких ошибок и опечаток и исправлением некоторых утверждений (например о недоказуемости гипотезы Бурже), которые могли быть высказаны в 1922 году, но определенно являются устарелыми для 1941 года.
31 марта 1941 года   Дж. Н. Ватсон


Hosted by uCoz