Оканчивая среднюю школу в 1925 году, я уже блестяще владел школьным курсом математики, чего нельзя сказать о других предметах. Так, например, я совершенно не знал русской грамматики и не умел грамотно писать. Впрочем, мне писать и не приходилось. Когда я начал писать после первого курса университета, приобретя пишущую машинку, моя безграмотность выявилась полностью. Как я знал другие предметы, сейчас не помню. По-видимому, я довольно прилично знал химию и физику, а также литературу, историю. Иностранные языки я практически совсем не знал. Немножко знал только немецкий, который у нас в школе преподавался, но очень мало.

Мои познания по математике в то время существенно выходили за пределы школьной программы. Думаю, что я знал математику в объёме технического вуза. Знал основы аналитической геометрии, дифференциальное и интегральное исчисление и немножко дифференциальные уравнения, но без всяких уклонов в сторону теории функций действительного переменного и теории множеств. Я не только не знал теории пределов, но даже не подозревал о её существовании. Вопрос непрерывности функций также меня совершенно не занимал. Если бы меня кто-нибудь спросил о том, что такое действительное число, я отнёсся бы к этому вопросу с недоумением, так как этот вопрос мне казался совершенно ясным.

Знания по высшей математике я приобрёл самостоятельно, читая случайно попадавшиеся мне популярные книжечки, учебники, а также отдельные статьи.

Здесь большую роль сыграла многотомная энциклопедия Гранат из библиотеки моего отца, в которой я читал статьи по математике. Особенно интересной и полезной была для меня статья «Высшая математика», написанная известным в то время математиком Л. К. Лахтиным ¹. Эту статью я перечитал недавно и пришёл к заключению, что она написана хорошо и очень полезна для юношества.

Мои знания по математике были очень активны. Я постоянно занимался вычислениями, проводя их по необходимости в уме, решал геометрические задачи на построение. Всё время думал о математике.

Умение проводить вычисления в уме, мне кажется, у математиков столь же естественно, как у актёра знание большого количества пьес и литературных отрывков наизусть. Навык вычислять в уме, совершенно необходимый мне, приводил к тому, что я проводил вычисления особенно тщательно, стараясь осуществить их как можно проще. В частности, при проведении вычислений я всегда очень тщательно выбирал (и продолжаю это делать теперь) обозначения.

Я считаю, что хороший выбор обозначений чрезвычайно важен, так как при чтении математической литературы значительная часть усилий тратится на запоминание именно обозначений. Поэтому плохо выбранные обозначения вызывают у меня такое же ощущение, которое, вероятно, вызывает у музыкантов фальшивая нота. Всю жизнь, начиная со школьных лет до настоящего времени, я постоянно тренировался и тренируюсь в проведении вычислений, занимаясь этой деятельностью зачастую без всякой прямой необходимости. Я думаю, что это так же нужно математику, как музыканту постоянные упражнения в игре на своём инструменте. Конечно, я имею в виду не числовые, а формульные вычисления.

Итак, моё решение поступить на физ-мат университета опиралось на довольно серьёзные математические знания и большое влечение к математике.

Избрав математическое образование в университете, я исходил исключительно из личного вкуса. Никаких перспектив в смысле нахождения работы такое образование в те времена не давало, тем более мне.

Многочисленные технические вузы и научно-исследовательские институты, нуждающиеся в математиках, появились лишь в 30-х годах в связи с пятилетними планами развития народного хозяйства. В 25-м году предвидеть это было невозможно. Многие даже очень хорошие математики, окончившие университеты несколько раньше меня, не могли найти себе работу.

Трудно было даже стать учителем средней школы, так как в школах предпочитали в то время лиц с педагогическим образованием.

В то же время, поступление в университет в те времена было связано с большими трудностями. Советское правительство поставило перед собой задачу создания новой интеллигенции (старая интеллигенция была почти полностью им уничтожена). Детям рабочих и крестьян предоставлялись особые привилегии в виде командировок в вузы. Правящие круги, видимо, имели свои пути для своих детей. Тот слой, к которому принадлежал я, т.е. семьи мелких служащих, был в очень трудном положении.

Несмотря на очевидные выдающиеся способности, я имел очень мало шансов поступить в университет. Единственная моя возможность заключалась в том, что каждая школа имела право из оканчивающих её выбрать двух лучших учеников и добиваться для них командировок в вуз от районо. Такими двумя лучшими учениками нашей школы были мы с моим другом Колей Кирилловым. И школа хлопотала о нас, но районо отказал мне в командировке, ссылаясь на то, что я не смогу учиться математике в университете: «так как профессора исписывают формулами целые доски, а он, конечно, не сможет за этим следить». Объяснить чиновникам районо, что я уже имею хорошую математическую подготовку и проверен в смысле своих возможностей, было невозможно. Ни моя мать, ни школьные учителя ничего не могли добиться. Командировки от районо я не получил.

Мне помог случай. Мой крёстный имел связи в Наркомпросе и получил там для меня командировку в фонд ЦК РКП(б) и Главпрофобр, что фактически обеспечило моё поступление в университет. Несмотря на всё это, я усердно готовился к вступительным экзаменам, главным образом по обществоведению.

В течение десяти дней мы с матерью читали книги по обществоведению. И всё же я не смог выдержать экзамен по обществоведению удовлетворительно, так как мне были заданы вопросы, на которые можно было найти ответы только в газетах. А их я не читал. Нужно было знать имена руководящих политических деятелей тогдашнего мира. А я их не знал.

На письменный экзамен по русскому языку я по ошибке просто не явился, да если бы и явился, то непонятно было бы, что бы я там делал. Как сдавал математику, я не помню. Вероятно, всё было благополучно. Несмотря на то, что экзамен по обществоведению был сдан плохо, а по русскому языку вообще не сдавался мною, я был зачислен студентом университета. У меня началась совершенно новая жизнь.

Первое время я безумно тосковал о школе и о своих товарищах, оказавшись в совершенно новой для меня среде. В эти трудные для меня дни мне помог талантливый преподаватель В. А. Ефремович, который взял меня под своё покровительство.

Скоро я познакомился с товарищами, и в университете мне стало уже не так тоскливо. Лекции по математике я слушал также с большим увлечением, сразу же решив, что я буду слушать их очень внимательно, запоминать и повторять каждый раз перед тем, как прийти на следующую лекцию. Так что подготовка к экзаменам не занимала у меня никакого времени. Я считался с тем обстоятельством, что мне будет непросто читать книги. Никаких записей лекций я, конечно, не вёл и считаю, что записывать лекции вредно вообще, так как записывание отвлекает внимание от понимания самой лекции.

Пожалуй, самими интересными для меня были лекции С. С. Бюшгенса по аналитической геометрии. Меня увлекала стройность вычислений. Были интересны также лекции по анализу И. И. Жегалкина. Лекции по высшей алгебре, которые читал Меньшов, были для меня скучны, он рассказывал слишком медленно, так что я примерно за полчаса мог предвидеть, что он скажет в дальнейшем, хотя я вовсе не знал этого курса.

Многие мои товарищи-первокурсники, интересовавшиеся математикой, уже будучи на первом курсе начали слушать лекции для второкурсников, посвящённые вопросам теории множеств и теории функций действительного переменного, кажется у Хинчина. Я к ним не примкнул, для меня было достаточно обязательного материала первого курса. Моя учёба шла хорошо, и я стал сразу известен как хороший, способный студент.

Обучение в университете связано было с некоторыми довольно существенными бытовыми трудностями. Будучи школьником, я мог ходить в школу пешком, так как она находилась хотя и довольно далеко от моего дома, но всё же я мог легко её найти, потому что прекрасно знал окрестности своего дома. В университет же надо было ездить трамваем. Жил я тогда в Демидовском переулке, в районе Елоховской церкви. Сесть на трамвай и сойти с него, так чтобы не приходилось при этом пересекать крупных улиц с большим движением, было не так уж просто. Но выбор был сделан. Сама посадка на трамвай тоже не была простой. Я стоял на остановке и ждал, когда трамвай приблизится ко мне. Когда он останавливался, я бросался с тротуара к трамваю, целясь попасть позади передней площадки, через которую я входил. И затем бежал вдоль трамвая до передней площадки, чтобы влезть в неё. Были случаи, когда я запаздывал, а трамвай начинал двигаться. Иногда мне удавалось его догнать. А были случаи, когда это не удавалось и приходилось быстро отскакивать, чтобы не оказаться под прицепом.

Сама поездка в трамвае была мучительной. Вагоны были набиты людьми. Я вылезал из трамвая озлобленный и замученный. Часто случались длительные задержки в пути, когда трамвай по полчаса и более стоял, не двигаясь вперёд. Были тогда же случаи, когда кондуктор внезапно объявлял: «Прошу граждан покинуть вагон, трамвай дальше не идёт!» Это для меня означало необходимость поисков другого трамвая в совершенно неизвестном для меня месте, чего я сделать один не мог. Приходилось кого-нибудь просить о помощи...

Другая бытовая трудность заключалась в недостатке денег. Мой отец получал ничтожно малую пенсию, на которую трудно было прожить, и я не имел возможности обедать в столовой, когда бывал в университете. Приходилось довольствоваться бутербродами из буфета.

Так как я находился в университете обычно с раннего утра до позднего вечера, частично слушая обязательные лекции и участвуя в семинарах, частично занимаясь с товарищами, то я оказывался совершенно голодным и возвращался домой замученный, голодный до такой степени, что уже не хотел есть. Трудности с трамваями и едой продолжались на протяжении всего моего обучения в университете.

Стипендию мне с большим трудом удалось получить только после смерти моего отца. Стипендий тогда было очень мало, и мою кандидатуру отклоняли на том основании, что я не веду общественную работу. Моя успеваемость в расчёт не принималась. Да и стипендия не имела большого значения, она была невелика: 35 рублей в месяц. Так же, как и пенсия, которую мы получили с матерью после смерти отца.

Несмотря на эти трудности, обучение в университете доставляло мне большие радости. Я скоро нашёл новых товарищей, с которыми вместе занимался математикой и проводил свободное время. На втором курсе я воспользовался той особенностью физ-мата, которая составляет главное его преимущество. Это — наличие специальных семинаров и курсов, содержание которых не входит в обязательную программу обучения.

По собственной инициативе я избрал семинар профессора Хинчина по аналитической теории чисел. Для того чтобы участвовать в нём, мне нужно было выучить аналитические функции, что я сделал за несколько дней, но, конечно, недостаточно основательно. И на первых же занятиях семинара я обнаружил невежество, за что и был наказан холодным презрением профессора.

До сих пор помню, как я пытался читать книгу немецкого математика Э. Ландау по аналитической теории чисел, что было для меня почти совершенно недоступно. Я даже не понимал смысла тех сложных вычислений, которые там делались. Так что от занятий по аналитической теории чисел я очень быстро отстал.

Совсем иначе сложились занятия по топологии. Туда меня привлёк В. А. Ефремович. Я начал посещать студенческий семинар Павла Сергеевича Александрова и слушать его лекции по топологии. В то время П. С. Александров большую часть своего времени проводил за границей. Обычно это было так: одну зиму он проводил в Москве, затем лето, следующую зиму и следующее лето — за границей. Из-за границы П. С. Александров привозил новые математические идеи. Когда я оказался на втором курсе, он как раз вернулся из Германии и привёз оттуда новый для Москвы раздел математики — комбинаторную топологию.

Не помню, что было на его студенческом семинаре, но на лекциях он читал теорему двойственности Александера, которая только что тогда появилась. Лекции его не были очень отделанными и гладкими, он часто делал ошибки, но это не лишало их привлекательности. Быть может, даже увеличивало её. Довольно скоро Александров привлёк меня — студента второго курса — также к участию уже в аспирантском семинаре, где мы изучали статью С. Лефшеца «Пересечение и преобразование многообразий» ². Эта замечательная работа произвела на меня большое впечатление и оказала сильное влияние на всю мою дальнейшую деятельность в области топологии.

Небольшими группами студенческие семинары проводились на квартире у Александрова, в его маленькой уютной комнате. Я очень хорошо помню до сих пор, как бывал там.

Уже на втором курсе я сделал две научные работы. Первая работа не была опубликована. Александров рассказал нам об одном результате польского математика К. Куратовского, в котором выяснялось, по какой причине некоторые линейные комплексы нельзя поместить на плоскость, т.е. гомоморфно отобразить в плоскость.

Я выяснил, что результат этот у Куратовского неправильный. Нашёл правильный и доказал его. Это была моя первая работа. Второй мой результат был опубликован. В нём выяснялась связь между теоремой двойственности Александера и коэффициентами зацепления ³. Это направление я развивал несколько лет и получил в нём важные результаты.

Начиная со второго курса я стал учеником П. С. Александрова. Тогда он занимал скромное положение доцента университета, а теперь он широко известный академик.

Научная тематика, с которой познакомил меня П. С. Александров на своих семинарах, своих лекциях, а также в личных беседах, соответствовала моим вкусам и моим математическим способностям. Из неё возникали те задачи, которые я решал в своих научных работах. Некоторые были сформулированы Александровым, другие же я находил сам. Кроме того, Александров с самого начала отнёсся ко мне с большой теплотой и чуткостью. Так что я подпал под его личное обаяние. Следует заметить, что я не только учился у Павла Сергеевича, но и помогал ему. Он давал мне на проверку все свои работы, и были случаи, когда я обнаруживал серьёзные ошибки.

С течением времени моя научная самостоятельность росла, а обаяние П. С. Александрова рассеивалось. Постепенно я становился всё более самостоятельным, независимым от Александрова учёным и человеком. Процесс этот, как я считаю, завершился в 1936 году. Уже тогда я вынужден был открыто выступить с резкой критикой Александрова. Моя независимость была им признана.

С тех пор между нами установились равноправные дружеские отношения. Но дружба постепенно охлаждалась, и с течением времени наступило полное охлаждение ввиду расхождения взглядов, как научных, так и общественно-политических.

Уже несколько лет, как мы не поддерживаем практически никаких контактов. А было время, когда встречи с Павлом Сергеевичем приносили мне и, как мне кажется, ему большие радости.

А недавно я прочёл автобиографию Александрова, опубликованную в журнале «Успехи математических наук» ⁴. Он, конечно, упоминает обо мне, но ни слова не говорит о той теплоте в отношениях, которая была между нами в течение многих лет. Отсюда я делаю вывод, что он не только совершенно равнодушен ко мне теперь, но даже вспоминать о той близости, которая была раньше между нами, ему неприятно и неинтересно.

Этот отход от большой дружбы к полному равнодушию протекал постепенно на фоне многочисленных конфликтов, которые были между нами. Так как Александров сыграл в моей жизни очень большую роль, то я ещё много раз буду возвращаться к отношениям с ним и расскажу о некоторых конфликтах, возникавших между нами.

Мои отношения с В. А. Ефремовичем начались с моей юношеской влюблённости в него на первом курсе. Но с течением времени мы тоже пришли к полному взаимному равнодушию. Так как в дальнейшем я вряд ли буду возвращаться к этим нашим отношениям, я хочу рассказать о них сейчас.

На первом курсе Ефремович был моим главным руководителем в области математики. Его влияние в очень сильной степени продолжалось до самого окончания университета. Он был моим оппонентом при защите дипломной работы при окончании университета. А потом авторитет Ефремовича в области математики для меня стал постепенно падать. Тем не менее, я очень любил Вадима Арсеньевича ещё в течение многих лет.

Тяжкий удар по этой любви нанёс мне Ефремович в 1936 году. Я рассказал ему как другу об одном своём действии, которое не было по существу дурным, но внешне выглядело мало благовидным. Конечно, предполагалось, что он не станет никому об этом рассказывать. Когда однажды я приближался к даче Александрова и Колмогорова, куда шёл из санатория «Болшево», я услышал, что Ефремович рассказывает об этом моём поступке своим старшим друзьям — Александрову и Колмогорову. Он предал меня. Я был этим совершенно потрясён. Довольно скоро после этого, в 1937-м году, Ефремович был арестован. Я очень горевал о нём. Примерно через год после ареста я получил от Ефремовича открытку, в которой сообщалось, что он находится в настоящее время в Московской тюрьме и просит принести ему галоши. Галоши нужны были, чтобы в них ходить в уборную. Я пошёл к нему на свидание, понёс галоши.

Узнав, что я не родственник Ефремовича, а лишь его сослуживец, мне сразу же отказали в свидании. Тогда я рассказал начальству, что Ефремович перед арестом якобы взял у меня очень ценную иностранную книгу и я не могу её получить обратно, не поговорив с ним. После этого я получил разрешение на свидание.

Мы с матерью имели с Ефремовичем короткий разговор во время тюремного свидания. После этого Ефремович был отправлен в концлагерь, и я вёл с ним систематическую переписку. Хотя в те времена немногие решились бы на такое.

Время от времени я обращался к разного рода начальству с ходатайством об освобождении Ефремовича, но совершенно бесплодно. Но вот, через семь лет после ареста, Александров, Колмогоров и я написали письмо на имя Сталина с просьбой заново рассмотреть дело Ефремовича и освободить его, так как, по нашему мнению, он пострадал совершенно несправедливо.

Примерно через две-три недели после этого письма я получил письмо от Ефремовича, в котором он сообщает, что освобождён, но за ним должен кто-то приехать, так как его не выпускают из-за плохого состояния здоровья. Мы решили, что освобождение Вадима Арсеньевича — результат нашего письма Сталину. Радовались. Обсудили, кому за ним ехать. За Ефремовичем поехал его близкий друг и товарищ Гальперн.

Когда Гальперн уже уехал, ко мне на квартиру некто позвонил по телефону и сообщил мне, что моё ходатайство об освобождении Ефремовича, направленное Сталину, отклонено. Я был поражен таким несоответствием между практически происходящим и тем, что мне сообщили по телефону! Поэтому я настойчиво стал требовать от позвонившего ко мне сказать, кто же он такой!? Чтобы он дал мне свой телефон и назвался, кто он!? Он сказал, что работает в КГБ, назвал свою фамилию, помню её до сих пор, Сашенков — и назвал телефон. Но проверять я, конечно, не стал. Через некоторое время Ефремович был привезён в Москву, и начались хлопоты о том, чтобы ему разрешили жить хотя бы в Московской области. Я обратился с письмами в Московскую областную милицию с указанием на то, что после моего письма Сталину Ефремович был освобождён и в настоящее время находится в Москве, хотя я прекрасно знал, что освобождение было не в результате письма к Сталину. Но, поскольку совпадение дат приводило к мысли о том, что решение было принято по согласованию хотя бы с аппаратом Сталина, Ефремович получил разрешение проживать в Московской области и был прописан на даче у брата Александрова знаменитого гинеколога Михаила Сергеевича Александрова.

Через несколько лет после этого было общее распоряжение о выселении всех ранее находившихся в концлагерях из Московской области. Ефремович получил распоряжение выехать в кратчайшее время куда-то за границы этой области. Тогда П. С. Александров, М. А. Леонтович и я обратились к А. В. Топчиеву, главному учёному секретарю Академии наук, с просьбой вмешаться в это дело. И он помог нам. Ефремович стал преподавать в каком-то московском вузе, кажется в текстильном институте.

Позже, в 1962 году, Ефремович стал рваться поступить в Стекловский институт и достиг этого при моей помощи, а также помощи Е. Ф. Мищенко, зам. директора института, и при сочувственном отношении И. М. Виноградова, директора института.

Нельзя сказать, что деятельность Ефремовича в институте была научно плодотворной. Во всяком случае, через некоторое время он защитил докторскую диссертацию, хотя и не достаточно основательную.

Не понимая того, с каким доброжелательством Виноградов и Мищенко отнеслись к приёму его в институт по моей просьбе, он всё время злобствовал на них. И однажды у нас произошёл резкий конфликт с ним по поводу Виноградова. Ефремович заявил: «Это позор, что Виноградов до сих пор остается директором института».

Я решил покончить с его пребыванием в институте. По моему предложению Ефремович был уволен из института по сокращению штатов. Злобное отношение Ефремовича к Виноградову привело к тому, что я полностью порвал с ним свои отношения. Надо сказать, что, в то время как Ефремович был прописан на даче у Михаила Сергеевича Александрова, фактически он жил у нас на квартире семь лет и проявлял здесь очень большую бестактность, чем надоел нам под конец до смерти. Мы с трудом выселили его. В общем, в конце концов, Ефремович мне совершенно разонравился и без всякого огорчения я порвал с ним знакомство, кажется в начале 60-х годов.

На первом курсе университета я учился с огромным увлечением, приобретая новые знания просто потому, что они были для меня очень интересными. И никаких мыслей о том, как в дальнейшем могут быть использованы эти знания, у меня тогда не было. Один мой однокурсник из профессорской семьи сказал мне: «Ну, что ж, вы будете научным работником». В то время это высказывание было для меня совершенно бессодержательным.

На втором курсе я начал вести научную работу, которая в дальнейшем стала основным содержанием моей жизни. В то время я этого не понимал и не знал, что началась моя профессиональная деятельность.

Мои достижения были достаточно серьёзными. В настоящее время каждая из моих первых студенческих работ, а их было четыре ⁵, могла бы рассматриваться как хорошая кандидатская диссертация. Но тогда не существовало ни кандидатских степеней, ни кандидатских диссертаций.

Сам процесс математического творчества доставлял мне огромную радость. К этим новым радостям приобщил меня Павел Сергеевич Александров! Он не только дал мне материал для размышлений на своих лекциях и семинарах, но отнёсся ко мне с огромной человеческой теплотой. Он проявил большое внимание и интерес к моим первым математическим результатам, внимательно выслушивал мои доклады на топологическом семинаре, а затем редактировал и переводил на немецкий язык мои рукописи и передавал их для публикации в немецкие математические журналы.

Писание математических работ в первое время давалось мне с огромным трудом. Уже выполнив во всех деталях математическую работу, я совершенно не знал, как её писать. Не только план изложения представлял для меня трудность, каждая отдельная фраза не давалась мне. Я просто не знал, с чего начать изложение работы.

Научился писать только тогда, когда стал писать свою книжку «Непрерывные группы» в 1935 году. Написав значительную часть, я начал переписывать её заново и только тогда освоился с писанием математических текстов.

Мои первые математические работы были написаны очень плохо, и поэтому их переработка П. С. Александровым была нелёгким трудом, который он охотно взял на себя. Всем своим поведением и огромным трудом, вложенным в меня, П. С. Александров содействовал формированию из меня профессионального математика. В дальнейшем я ушёл из александровской тематики, но вести научную работу научил меня Александров.

Сразу же после того как я закончил второй курс, П. С. Александров уехал за границу и вернулся только тогда, когда я был уже студентом четвёртого курса. Я тут же возобновил свои занятия по топологии.

Когда я был студентом второго курса, 6 января 1927 года умер мой отец, уже очень больной человек, и мы с матерью остались вдвоём. После смерти отца нам дали пенсию 35 рублей в месяц и, кроме того, я в конце концов исхлопотал себе стипендию, также 35 рублей в месяц. Кроме денег студенты-стипендиаты имели тогда некоторые привилегии, в частности, я имел право раз в год сделать большую поездку по железной дороге бесплатно. Летом 1927 года мы имели с матерью возможность поехать в Крым. Это была моя первая поездка на море, и она произвела на меня неизгладимое впечатление.

Позже, до самого начала войны, мы каждое лето выезжали из Москвы, большей частью на море или в горы, но были также поездки в подмосковные санатории и под Ленинградом. Когда я стал аспирантом, нам были уже доступны санатории для научных работников, а до этого три раза мы ездили «дикарями».

В первый раз мы поехали в Севастополь и уже там выбрали местом своего отдыха Балаклаву. Там сняли комнату на месяц за 20 рублей. Питались частично дома, а частично в кафетерии. В Балаклаве была масса рыбы, особенно была вкусна копчёная скумбрия. Очень много времени я проводил на море. Приходил на пляж, лежал некоторое время на солнце и курил, затем плавал минут 20, затем возвращался на пляж, снова лежал на солнце и курил и так несколько раз. Результатом этих «процедур» было то, что я вернулся в Москву уже больным. У меня стала регулярно повышаться температура, по-видимому, что-то произошло с лёгкими. Подозревался туберкулёз, но чётко это не было подтверждено.

В 1929 году мы ездили в Гагры, где много времени проводили с Александровым и Колмогоровым. Перед поездкой в Гагры Александров водил меня к знаменитому врачу Фремгольду по поводу моей температуры. Но тот ничего чёткого не сказал. Постоянное повышение температуры — 37–37,2° всю жизнь мучило меня.

И вот в 1957 году произошла чёткая вспышка туберкулёза. После интенсивного лечения температура на некоторое время от меня отстала, а потом возобновилась и перешла в хроническое воспаление лёгких, от которого я освободился только в 80-м году. По настоянию жены мы перешли на вегетарианство и частичное сыроедение. Только диета помогла мне.

Свой третий курс ввиду отсутствия Александрова я провёл без топологии. Зато я слушал очень интересные лекции профессора Д. Ф. Егорова по разным предметам и особенно понравившийся мне курс интегральных уравнений. На третьем же курсе я заинтересовался тензорным анализом и римановой геометрией, слушая лекции В. Ф. Кагана и участвуя в его семинаре. Хотя сам предмет мне казался очень интересным, но лекции Кагана удручали меня своей чудовищной медлительностью, а мои попытки заняться самостоятельной научной деятельностью в этой области были встречены холодно и рассматривались на семинаре Кагана, по-видимому, как некое высокомерие студента, который суёт свой нос куда не надо. Думаю, что В. Ф. Каган судил о способностях студентов по своим собственным.

На третьем курсе я сделал небольшую работу по римановой геометрии. Риманов тензор, как известно, возникает в римановом пространстве при параллельном переносе вектора по малому замкнутому контуру. В лекциях и на семинаре Кагана за замкнутый контур принимался треугольник и вычисления производились очень уродливо. Я произвёл вычисления, взяв замкнутый контур, зависящий от малого параметра. Вычисления получились гораздо более изящные. Здесь я впервые столкнулся с рассмотрением малого параметра в дифференциальных уравнениях ⁶. Эту свою работу я сообщил на семинаре Кагана, но никакого внимания она там не привлекла, хотя, как я думаю, она всё же содержала важное методическое достижение.

Аналогичное достижение в области топологии несомненно привлекло бы внимание Александрова. Внимательное отношение к самостоятельной деятельности студентов было характерно для школы Н. Н. Лузина, из которой вышел Александров.

К началу четвёртого курса П. С. Александров вернулся из-за границы и привёз с собой ещё профессора фрейлейн Эмми Нётер. И я вновь вернулся к топологии и, кроме того, слушал лекции фрейлейн Нётер по современной алгебре. Лекции эти поражали своей отделанностью, отличались в этом смысле от лекций Александрова, но не были засушенными и казались мне очень интересными. Лекции свои фрейлейн Нётер читала по-немецки, но они были понятны ввиду необычайной ясности изложения.

На первую лекцию этого известного немецкого математика собралось огромное количество народа. Здесь произошло совершенно неожиданное происшествие: нижняя юбка фрейлейн Нётер начала постепенно сползать. Всё внимание слушателей было сосредоточено на этом. В полной тишине происходило сползание юбки, а фрейлейн Нётер героически продолжала читать лекцию. Лекции фрейлейн Нётер существенно отразились на моём математическом мировоззрении, что сказалось прежде всего на дипломной работе, где я заново переизложил в усовершенствованном виде свои результаты по теореме двойственности 2-го курса, сильно усовершенствовал их как в геометрическом, так и в алгебраическом направлениях. В дальнейшем я очень охотно обучал своих аспирантов абстрактной алгебре. И один раз даже читал обязательный курс линейной алгебры для студентов. Курс этот был построен в стиле Нётер.

Закончив четвёртый курс университета и защитив дипломную работу, я тем самым закончил университет. В те времена молодёжь не мучили долголетней учёбой. В средней школе полагалось учиться девять лет, в университете — четыре года. Мне и сейчас кажется, что этого достаточно. Во всяком случае, к концу четвёртого курса я уже получил острое отвращение к сдаче экзаменов. Настолько острое, что от сдачи одного из экзаменов я уклонился, применив «недостойный» приём. Я упросил Александрова вписать мне в зачётную книжку сдачу экзамена по конечным разностям, о которых он читал, обещая выучить потом. Но так никогда и не выучил.

Закончив университет, я в течение двух лет проходил университетскую аспирантуру под руководством П. С. Александрова.

Это было время решительных преобразований. Старая система аспирантуры с многочисленными огромными экзаменами разрушилась, новая ещё не была заведена. Таким образом, в аспирантуре я просто занимался математикой, да ещё получал 175 рублей стипендии, что радикально меняло моё материальное положение.

Окончание аспирантуры за два года вовсе не означало, что я выполнил что-то досрочно или защитил диссертацию. Диссертаций тогда вовсе не было, просто начальство решило, что с меня хватит. И перевело меня в сотрудники Института математики при университете на зарплату 170 рублей. Так что я даже потерпел некоторый материальный ущерб.

Правда, уже после первого года аспирантуры я стал доцентом университета с зарплатой 47 рублей и читал лекции совместно с профессором О. Ю. Шмидтом. Лекции были посвящены абстрактной алгебре и теории групп. Читали мы их по очереди. Однако на каждой лекции присутствовали оба.

В мои обязанности входило утром в день лекции сообщить О. Ю. Шмидту о предстоящей лекции. Дома телефона у меня не было, моя мать ходила в аптеку и звонила Шмидту. До сих пор помню, какой страх я испытал перед своей первой лекцией. Когда-то очень давно я слушал впервые Андроникова, он как раз рассказывал о своём страхе перед первым выступлением на эстраде. Мои переживания перед первой лекцией были очень похожи на его переживания перед первым выступлением. Разница заключалась только в том, что, когда я заговорил перед аудиторией, мой страх мгновенно исчез и всё внимание было сосредоточено на том, что я говорю.

В течение многих лет я испытывал некоторую тревогу, похожую на страх, перед каждой своей лекцией. И всегда страх мгновенно исчезал, как только я приступал к лекции. Позже эти страхи прекратились. Даже лекции на английском языке я воспринимал без тревоги. Помню, как спокойно я шёл на свой пленарный доклад на Международном конгрессе в Ницце в 1970 году. Я спокойно делал его на английском языке.

Различного рода страхи, тревоги, связанные с профессиональной работой, всегда преследовали и продолжают преследовать меня теперь. Каждое новое начинание вызывает тревогу. Неясно, справлюсь ли я с ним. Незаконченная научная работа вызывает страх, что я вообще не сумею её закончить и несколько лет тяжёлого труда пропадут даром. Законченная научная работа вызывает страх тем, что в ней может обнаружиться ошибка.

Все эти страхи перед возможной неудачей составляют тяжёлую эмоциональную сторону профессиональной работы. И в то же время это является важнейшим стимулом для хорошего выполнения работы. Страх перед неудачей вынуждает меня самым тщательным образом подготавливать всякое мероприятие, а тщательная подготовка приводит к тому, что работа выполняется хорошо, что приносит огромное моральное удовлетворение. Только хорошо выполненная работа доставляет радость! Выполненная небрежно, она вызывает отвращение и постепенно вырабатывает в человеке аморальное отношение к труду.

Я склонен думать, что добросовестное отношение к труду является прирождённым свойством каждого человека, а чтобы развить в нём аморальное отношение к труду и склонность к халтуре, нужно приложить большие усилия. Для этого нужно создать особенно неблагоприятные условия работы. Эти неблагоприятные условия могут выражаться, например, в противоестественно низкой оплате труда или в том, что плоды труда используются столь нерационально, что практически идут впустую. И то, и другое у нас имеется в достаточной мере.

Окончив университет в 1929 году и освободившись тем самым от экзаменов, так как в аспирантуре их не было, я все свои силы направил на научную работу, которую сразу же повёл с очень большим успехом. Каждый год я публиковал по две-три работы, причём по меньшей мере одна из них была действительно замечательной. В первые годы тематика этих работ была тесно связана с моими студенческими работами или вытекала из них. При этом иногда, исходя из старых задач, я приходил к совершенно новым.

Стремясь доказать теорему двойственности Александера для произвольного компактного подмножества евклидового пространства, я пришёл к необходимости рассмотрения группы характеров произвольной коммутативной счётной группы, т.е. столкнулся с T-теорией топологических групп, с топологической алгеброй. В дальнейшем это привело меня к построению общей теории топологических групп.

Я пришёл к топологической алгебре, стремясь доказать теорему двойственности Александера для произвольного компактного подмножества евклидового пространства. Не знаю, как пришёл к ней А. Н. Колмогоров, но он сформулировал мне следующее общее положение: «Математический объект, в котором одновременно определены алгебраические и топологические операции, причём алгебраические операции непрерывны в заданной в нём топологии, должен быть сравнительно конкретным». На этом пути Колмогоров пытался построить аксиоматику пространств постоянной кривизны, т.е. единую аксиоматику для пространства Евклида, Лобачевского и Римана.

Передо мной он поставил следующую конкретную задачу: доказать, что всякое связное локально компактное топологическое тело является либо телом действительных чисел, либо телом комплексных чисел, либо телом кватернионов. Для коммутативных тел, т.е. полей, я решил её очень быстро — за неделю или две. И сообщил об этом П. С. Александрову. И вот мы трое собрались в маленькой комнате Павла Сергеевича в Старопименовском переулке. Колмогоров с оттенком иронии сказал: «Ну что же, Лев Семёнович, я слышал, вы решили мою задачу? — Расскажите!» Я начал рассказ, и первое же моё утверждение Колмогоров объявил неверным. Но я в нескольких словах объяснил ему его ошибку. Колмогоров сказал: «Да, да, вы правы! По-видимому, задача, которую я вам поставил, не так трудна, как я думал».

Потом я решил задачу и для случая некоммутативных тел, но это заняло у меня уже около года. Колмогоров тщательно отредактировал эту мою работу и устроил в ней 33 леммы. В таком виде она и была опубликована. Я и сейчас считаю этот мой результат в числе лучших моих достижений ⁷.

С Колмогоровым я познакомился летом 1929 года в Гаграх, где мы с матерью провели целых два месяца. Я часто встречался там с Александровым и Колмогоровым, Во всяком случае, мы очень часто купались вместе. Александров и Колмогоров приехали в Гагры не одновременно. Сперва приехал Александров и стал ждать Колмогорова, который шёл через перевал, притом совершенно один, что очень беспокоило Александрова и меня. Беспокойство это переросло в мучительную тревогу, когда Колмогоров не явился к назначенному сроку.

Александров за несколько лет до этого потерял своего друга, Урысона, при трагических обстоятельствах. Урысон утонул в Атлантическом океане во время сильного прибоя на глазах у Александрова. В Гаграх Александрову чудилась гибель только что обретённого нового друга. Колмогоров опоздал на несколько дней. Оказалось, что при переходе через перевал он уронил сумку с документами в пропасть и не мог её достать. Когда он ночью спустился в Сочи, то женщина-милиционер задержала его как подозрительную личность и отправила в дом предварительного заключения, где он просидел четыре или пять дней, тщетно добиваясь, чтобы его выпустили или навели о нём справки. Наконец это удалось сделать, и тогда ему была возвращена свобода.

Топологическая алгебра, точнее, теория топологических или непрерывных групп была предметом моей научной и педагогической деятельности в течение нескольких лет. Большой успех в этой области был достигнут мною на основе только что появившейся тогда замечательной работы венгерского математика Хаара. В ней Хаар построил на локально компактной топологической группе инвариантную меру. Это позволяло строить и решать на группе интегральные уравнения, так что можно было применить данную ранее Германом Вейлем теорию представлений компактных групп Ли. Работа Хаара была опубликована в американском журнале «Annals of Mathematics», где членом редакции был фон Нейман. Последний сразу же воспользовался замечательным результатом Хаара, решив при помощи него пятую проблему Гильберта для компактных групп. Я, конечно, мог использовать результат Хаара только уже после Неймана. Для компактных групп я получил результат несколько более сильный, чем у Неймана, но это уже не было решением проблемы Гильберта, так как она была решена Нейманом. Кроме того, я изучил локально компактные коммутативные топологические группы. Моя работа о локально компактных коммутативных группах была послана в тот же журнал. Лефшец, который в то время находился в Москве, процитировал мне письмо Неймана, в котором писал, что от Понтрягина получена действительно замечательная работа ⁸.

По теории непрерывных групп, в частности групп Ли, я прочёл несколько спецкурсов и провёл несколько семинаров. Получил важные собственные результаты. И мне захотелось написать книгу. К 1935 году я уже был готов к написанию большой монографии «Непрерывные группы». В неё вошли: общая теория топологических групп, мои собственные результаты, а также очень хорошее только что полученное мною изложение теории групп Ли. Я писал эту книгу два года и в 1937 году сдал в печать. На этом я научился писать математические работы. В 40-м году за эту монографию мне была присуждена Сталинская премия 2-й степени. Книга очень скоро была переведена в США на английский язык и сильно увеличила мою международную известность ⁹.

Другим ответвлением от моих студенческих работ по теореме двойственности Александера была попытка локализировать эту теорему. Это было связано с новой тематикой П. С. Александрова. Он стал применять комбинаторную топологию для изучения компактных топологических пространств, в частности переносить на них теорию гомологий.

Он старался определить при помощи гомологий размерность множества, ввёл понятие «по модулю два» и пытался доказать, что обычная размерность совпадает с гомологической размерностью по модулю два. Я сразу увидел, что размерность можно определить не только по модулю два, но и по любому другому модулю. Так что получается счётное число различных гомологических размерностей.

Доказательство того, что размерности эти различны, было моим достижением. Пользуясь этими соображениями, я построил ставший знаменитым пример двух компактных топологических множеств размерности два, топологическое произведение которых имеет размерность три.

Результат был опубликован в журнале «Comptes Rendus» ¹⁰. Эта заметка попала в руки С. А. Лефшеца и оказалась противоречащим примером к уже построенной Лефшецом и публикуемой им теории гомологической разности. Ему пришлось срочно выкидывать из набора целую главу своей книги.

Лефшец сразу же заметил меня. Александров рассказал мне позже, что, когда после этого он встретил Лефшеца в Америке, тот спрашивал его обо мне, спрашивал, не еврей ли я, и был несколько разочарован, узнав, что я русский. Однако Лефшец отнёсся ко мне очень хорошо.

В начале 30-х годов Лефшец впервые приехал в Советский Союз, он почти сразу же пришёл ко мне с Л. Г. Шнирельманом. Я очень хорошо помню эту встречу. Она потрясла меня: такой выдающийся математик, как Лефшец, пришёл ко мне — аспиранту — домой. В этот его приезд в Москву мы много проводили вместе с ним времени, ходили по Москве, разговаривая о разных вещах, о математике, о политике, о многом другом.

Свою работу, в которой был дан пример двух двумерных множеств с трёхмерным топологическим произведением, я собирался подарить одной студентке, в которую был безответно влюблён. Помню, как я пришёл к Павлу Сергеевичу в профессорскую и рассказал ему о своём горе и своём замечательном достижении. Александров сразу же решительно запретил мне делать такой роскошный подарок студентке, которая, кстати, ему не нравилась! А моим научным достижением был так впечатлён, что сказал:

— Через десять лет Вас выберут академиком!

Его прогноз не оправдался. Через 10 лет меня выбрали не академиком, а только членкором, хотя был выдвинут, действительно, в академики. Что касается подарка, то я его всё же сделал. Но более скромный. Соответствующая работа, по настоянию Александрова, была опубликована как совместная ¹¹.

На топологическом семинаре: Л. С. Понтрягин, П. С. Александров, В. А. Ефремович.

Александров пытался дать гомологическую характеристику обычной размерности, но это была очень трудная задача. То же самое пытался сделать и я. Но я пытался сделать это несколько иначе, чем Александров. Именно, я пытался охарактеризовать размерность, помещая множество в евклидово пространство и стремясь доказать, что множество размерности r, лежащее в n-мерном евклидовом пространстве, хотя бы в одной точке составляет локальное препятствие для гомологии размерности r–n–1. Первоначально эту задачу решили мы совместно с Франклем для двумерных множеств в трёхмерном евклидовом пространстве, пользуясь одной теоремой об узлах ¹². А затем Франкль решил её очень остроумно для множеств размерности n–1 в евклидовом пространстве размерности n. Именно, он доказал, что такое множество локально разбивает евклидово пространство. Однако решение общей задачи для r-мерного множества в n-мерном пространстве нам с Александровым очень долго не удавалось получить. Решил её не я, а П. С. Александров.

Я же, пойдя по ложному пути, пришёл к мысли, что решение идёт через гомотопическую классификацию отображений (n+k)-мерной сферы на n-мерную, чем и занялся специально уже много позже. Проблема эта представляла сама по себе, конечно, самостоятельный интерес, и ею занимались многие. Случай k=0 был исследован Хопфом, случай k=1, n=2 был также решён Хопфом. Случай, когда k=1, а n — произвольно, решил я. Также я решил задачу для случая k=2, n — произвольно ¹³. Но для произвольного k задача оказалась чрезвычайно трудной. В попытках решить её я построил теорию характеристических циклов гладких многообразий уже перед самой войной ¹⁴.

Построенные мною характеристические циклы приобрели широкую известность и получили название классов Понтрягина. Они нашли многочисленные применения, но одну из важнейших проблем, связанных с ними, долгое время никому не удавалось решить. Именно: хотелось доказать, что классы Понтрягина являются инвариантами самого топологического, а не только дифференцируемого многообразия. Я эту задачу пытался решить, но не решил. Много позже её решил положительно, но частично, Сергей Петрович Новиков.

Оказалось, что для характеристических классов конечного порядка топологической инвариантности нет, а она имеет место лишь для характеристических классов по полю рациональных чисел. Всё это было доказано С. Новиковым.

Так из моих студенческих работ очень косвенным образом выросло новое направление, именно — теория гомотопий.

Третьим ответвлением от моих студенческих работ стало вариационное исчисление «в целом», которым занимались тогда Люстерник и Шнирельман. Они ввели важное для вариационного исчисления понятие «категория многообразия». Данное ими определение категории отрицательно. Это значит, что эффективно можно установить, что категория не больше некоторого числа k, но нет никакой возможности эффективно установить, что она не меньше числа k. Поэтому вычисление её очень трудно. Мои студенческие результаты дали возможность оценивать категорию многообразия снизу при помощи пересечений циклов многообразия ¹⁵.

Так у меня возникли научные контакты с Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом. Оба они в течение многих лет были моими друзьями.

Очень хорошо помню, как я впервые встретился со Шнирельманом. Я пришёл на топологический кружок — т.е. главный топологический семинар — с опозданием и услышал, что какая-то женщина делает доклад. Стал его внимательно слушать. Когда доклад кончился, оказалось, что это была не женщина, а Лев Генрихович Шнирельман, обладающий совершенно женским голосом. Мы со Шнирельманом быстро сблизились и подружились. Часто бывали друг у друга. Он жил тогда в дрянной обшарпанной комнатке, а я — в своей старой плохонькой квартире. Шнирельман много рассказывал мне о математиках более старшего, чем я, поколения: о Лузине, Лихтенбауме и других ¹⁶. С ним мы читали стихи русских поэтов. Он привлёк моё внимание к таким замечательным литературным произведениям, как «Валерик» Лермонтова.

Шнирельман был незаурядный, талантливый человек с большими странностями. Было в нём что-то неполноценное, какой-то психический сдвиг. Я помню, как трудно было ему уйти от меня из гостей: он останавливался в прихожей и не мог двинуться дальше. Тогда говорили, он не имел никаких успехов у женщин и это сильно угнетало его. Кроме того, с ним произошло большое несчастье в смысле научного творчества. Он сделал выдающееся научное открытие, дав первое приближение к решению теоретико-числовой проблемы Гольдбаха ¹⁷. Этот успех грубо исказил его отношение к математической проблематике.

Ему принадлежала следующая формулировка: «Я не хочу заниматься промыванием золота, я хочу находить только самородки». Ясно, однако, что найти самородок можно, только промывая золото и подбираясь к самородку постепенно.

Он отказался от этого пути и утратил творческую инициативу. Когда это произошло, он впал в полное уныние и говорил часто мне: «Имеет ли право жить человек, который уже ничего не делает, а в прошлом сделал что-то замечательное?» Я утешал его как мог. Кончилось это трагически: Шнирельман преднамеренно отравился. Я помню, как Люстерник встретил меня на вокзале, когда мы с матерью возвращались с юга, и сообщил о происшедшем несчастье.

В то время Шнирельман жил уже в хорошей квартире вместе с матерью. Она видела, что с ним происходит что-то неблагополучное, и следила за ним. Однажды ночью она была чем-то очень встревожена и хотела даже посмотреть, что с сыном. Но, подумав, что он спит, не решилась пойти к нему. Утром обнаружила, что он закрылся в кухне, заложил все щели и пустил газ. Когда она обнаружила его, он уже был безнадежно мёртв, хотя ещё и не остыл... Так трагически кончилась жизнь Льва Генриховича Шнирельмана.

Лето 32-го года мы с матерью проводили в доме отдыха в Болшево, под Москвой. Там я познакомился с тремя людьми, знакомство с которыми продолжалось много лет. Это были люди, ставшие впоследствии известными учёными, — Л. Д. Ландау и Кибель. Ещё одна молодая девушка из Ленинграда, в которую я опять-таки влюбился. Это чувство и положило начало моим частым поездкам в Ленинград. Брак из этой любви не вышел, я не пользовался взаимностью, но дружба с этой женщиной сохранилась на долгие годы. Много лет я дружил с Ландау и Кибелем, до самой их смерти.

Ландау погиб трагически: в январе 1962 года он попал в автомобильную катастрофу, в результате которой получил тяжёлое увечье. И получил, в частности, перелом основания черепа, который считался тогда смертельной травмой.

Усилиями медиков всего мира жизнь Ландау была продолжена ещё на пять мучительных для него лет. Этот успех медицины, столь трагический для Ландау, ещё увеличил его славу. Именно после этого он получил Нобелевскую премию.

Уже с самого начала мы с Ландау очень понравились друг другу и подружились с ним. Он пытался рассказать мне что-то из теоретической физики и привлечь меня к ней, но безуспешно. Зато мне очень нравились его выдумки. Например, ему принадлежала классификация женщин на пять классов: от первого высшего до пятого низшего. Точно так же классифицировались им и учёные. Разрабатывались признаки этой классификации. Я их когда-то знал. Для таких молодых людей, какими были мы с Ландау в 32-м году (нам было тогда около 24-х лет каждому), такой трёп, конечно, очень занимателен и естественен. Кажется, Ландау продолжал увлекаться им до самого конца жизни.

Выдающийся алгебраический геометр и тополог Соломон Александрович Лефшец впервые появился у меня на квартире, по-видимому, в 31-м году. Привёл его ко мне Шнирельман. К этому времени Лефшец уже знал обо мне по моей работе по теории размерности. Я знал его по его замечательной работе «Пересечение и преобразование многообразий» ², которая была изучена нами на семинаре Александрова и сыграла в моей научной деятельности важную роль.

Лефшец родился в Москве в точности за 24 года до меня. Наши дни рождения совпадают — 3 сентября. Но через несколько дней после рождения он был увезён своими родителями во Францию, где получил образование, в частности выучил русский язык, как иностранный, в средней школе.

Во Франции он стал инженером и переехал в Америку для работы. Там с ним случилось несчастье: на работе ему оторвало обе кисти рук. Он потерял возможность работать инженером.

После этого он уехал в провинцию и стал заниматься математикой. Лефшец сразу же оценил меня как математика и всю свою жизнь доброжелательно относился ко мне. В 58-м году на конгрессе в Эдинбурге он председательствовал на моём пленарном докладе и открыл заседание следующими словами: «Позвольте представить вам моего друга, члена Академии наук Советского Союза, Понтрягина». Сперва он сказал это по-русски, а потом по-английски.

В начале нашего знакомства он пригласил нас с мамой в США на один год. Кажется, в 32-м году я получил уже это приглашение, но из него ничего не вышло. Меня не пустили. Очень лёгкие до этого поездки за границу советских математиков стали к этому времени уже труднее.

К отказу в поездке мне, по-видимому, приложили руку моя приятельница по университету студентка Виктория Рабинович и наша преподавательница философии Софья Александровна Яновская. Во всяком случае, однажды Яновская сказала мне:

— Лев Семёнович, не согласились бы Вы поехать в Америку с Витей Рабинович, а не с матерью?

Я ответил Яновской резким отказом, заявив: «В какое положение Вы хотите поставить меня? Кто мне Витя Рабинович? Она же мне не жена».

Такая совместная поездка в Америку на год с Витей Рабинович могла бы кончиться браком с ней, к чему я вовсе не стремился. Яновская в то время была влиятельным партийным деятелем, и я могу себе представить, что от неё многое зависело, в частности, если она предлагала мне поехать с Витей Рабинович, то она, вероятно, имела основания думать, что может организовать эту поездку. Но я на это не согласился.

Так намечавшаяся на 33-й год поездка в Соединённые Штаты на год не состоялась.

Впервые я поехал за границу через 25 лет — в 1958 году на конгресс в Эдинбурге. Я был приглашён как пленарный докладчик по топологии. Так как я уже к тому времени круто изменил тематику и стал специалистом по теории управления, то я предложил свой пленарный доклад по оптимальному управлению, что и было принято оргкомитетом Конгресса.

В 30-е годы Лефшец несколько раз приезжал в Москву, и всякий раз мы встречались с ним очень дружественно. Впервые после этого мы встретились с ним в Эдинбурге. Затем в 1964 году я впервые поехал в Америку и там был очень тепло встречен Лефшецем и другими американскими математиками.

Готовясь к поездке в Америку в 1932 году, я в течение девяти месяцев энергично изучал английский язык, занимаясь только этим. Приобретённые тогда мною знания английского языка были активными и пригодились мне при моих более поздних поездках за границу. Впервые же я выступил с докладом на английском языке в Москве, кажется, в 34-м году на Международной топологической конференции.

Несмотря на то, что сразу же после окончания университета я успешно, можно сказать даже блестяще, повёл научную работу, меня довольно скоро начала грызть тревога. Я не мог ответить на вопрос, для чего нужно всё это, всё то, что я делаю?

Самая пылкая фантазия не могла привести меня к мысли, что гомологическая теория размерности может понадобиться для каких-нибудь практических целей. А именно о них, т.е. о практическом применении математики, я и мечтал. К таким же мыслям одновременно пришли многие математики университета, и общественное мнение стало высказываться за переход к приложениям. Я был среди тех, кто довольно бесплодно говорил об их необходимости. Но вот, в это время, наверное, это было около 1932 года, ко мне внезапно пришёл Александр Александрович Андронов, молодой, талантливый, энергичный, блестящий физик с предложением начать совместную научную работу.

Он пришёл ко мне прямо из родильного дома, где родился первый его ребёнок — старшая дочь. Поэтому можно точно установить дату его визита. Он рассказал мне о предельных циклах Пуанкаре, о рекуррентных траекториях и тому подобных вещах! Также сказал, что всё это имеет практические приложения. К сожалению, о самих практических приложениях он мне ничего не рассказал. По-видимому, он не считал себя вправе отвлекать меня от моей главной математической деятельности, а пользовался мною только как консультантом-математиком.

Под его влиянием я на один год по совместительству стал сотрудником Института физики и сделал там одну работу, которая имела применение. Это — работа о динамических системах, близких к гамильтоновым ¹⁸.

Влияние Андронова на мои научные взгляды нельзя переоценить. Оно огромно. После знакомства с ним я начал регулярно изучать работы А. Пуанкаре, Дж. Биркгофа, М. Морса и других. Впрочем, с работами Морса я познакомился уже раньше под влиянием Шнирельмана.

Мы с небольшой группой моих товарищей собирались у меня на квартире и читали этих авторов. Это продолжалось, пожалуй, до 37-го года, когда собираться группами на квартирах стало опасным.

Приобретённые тогда знания пригодились мне впоследствии. Особенно работы Пуанкаре и Морса. Работы Биркгофа не нашли никакого применения у меня.

Александр Александрович Андронов не только выдающийся учёный, но и замечательный человек. Он, как никто другой, чувствовал ответственность за всё происходящее в стране, обладал в этом смысле величайшей гражданственностью и служил для меня высшим образцом человека. Могу без преувеличения сказать, что человека столь замечательного в этом смысле я больше не встретил. Будучи аспирантом Московского университета, Андронов всячески старался направлять молодёжь, оканчивающую аспирантуру, в провинцию и сам по окончании аспирантуры уехал в Горький, где основал школу, которая сейчас широко известна.

Андронов постоянно жил в Горьком. Когда он бывал в Москве, он обычно бывал или даже останавливался у меня. Мы подолгу разговаривали о всём происходящем в нашей стране и в мире. Часто это происходило перед сном, лежа — я в постели, он на диване в моей же комнате. Я уже был членом-корреспондентом АН СССР, когда Андронов баллотировался также в члены-корреспонденты по нашему Отделению. Помню, как группа физиков старшего поколения, в том числе учитель Андронова Мандельштам, провалили его на выборах. Они решили провести вместо него какого-то старенького физика, их учителя, и успешно осуществили эту операцию. Впоследствии это тяжко сказалось на судьбе Александра Александровича. Во время войны он находился в очень тяжёлых условиях. А будь он тогда уже членом-корреспондентом, его жизнь была бы полегче. Во время войны он буквально голодал. Были такие случаи, когда ему хотелось подойти к человеку и попросить у него кусок хлеба. Но этого он никогда не сделал.

Позже Андронов был избран академиком по техническому Отделению Академии наук и сразу же после этого стал депутатом Верховного Совета СССР от Горького. Став депутатом Верховного Совета, Андронов при приездах в Москву перестал останавливаться у меня; останавливался в гостиницах. Но наши встречи продолжались.

Однажды, остановившись у меня, Андронов рассказал мне, что пережил два очень тяжёлых месяца. Произошло это по следующей причине.

Один из его близких друзей пришёл к нему и сказал, что вот он совершил великий грех против него — написал на него донос. После этого Андронов два месяца ждал ареста, но ареста не последовало. Вспоминаю ещё один эпизод из встреч с Андроновым, скорее забавный, чем значительный.

Однажды, будучи у меня и собираясь вернуться в гостиницу, он сказал мне: «Нет ли у Вас какого-нибудь снотворного — мне очень нужно выспаться, а я очень устал и боюсь не уснуть». Я дал ему порошок барбамила, не таблетку, а именно порошок, упакованный в бумагу. И предупредил его, что он имеет отвратительный вкус, так чтобы он имел это в виду. При следующем приезде Андронова в Москву я спросил его: «Ну, как Вы выспались с моим порошком?» Он сказал, что его едва не вырвало от порошка, но так как ему очень хотелось уснуть, он всё же его проглотил и клял того аптекаря, который изготовляет такие порошки не в капсулах, а в бумажке.

Припоминается, что Андронов навестил меня в Казани, где мы были в эвакуации. Он по какому-то поводу был там.

Научные интересы Андронова относились к электронике и к теории регулирования. В электронике ему принадлежит замечательное открытие: он установил, что ламповый генератор работает на предельном цикле Пуанкаре. До этого пытались построить линейную теорию работы лампового генератора, и, конечно, это было невозможно. В теории регулирования Андронова занимала работа регулятора Уатта. Он старался изучить работу этого регулятора и в том случае, когда имеется не только вязкое трение, но также и трение твёрдого тела, которое представляет собой разрывную функцию скорости движения, а это делает задачу математически более трудной!

Под влиянием Андронова я тщательно изучил работу Вышнеградского ¹⁹ по регулятору Уатта и включил очень тщательно сделанное и просто написанное изложение этой работы в свой учебник по дифференциальным уравнениям ²⁰.

Однажды, после доклада о регуляторе Уатта, который Андронов делал перед большой аудиторией, он пришёл ко мне и рассказал следующее забавное происшествие. Он делает доклад и видит, что стенографистка ничего не записывает. А между тем, он рассчитывал на стенографическую запись, чтобы дать доклад в публикацию. После окончания доклада он обратился к стенографистке и спросил, почему она ничего не писала. Она ответила ему, что обычно докладчики сами имеют готовую рукопись, а стенографистка сидит только для вида. Но так как Андронову она была действительно нужна, то ему пришлось попросить её прийти к нему и заново произнести доклад, для того чтобы она его записала.

Андронов умер в 1952 году от тяжёлой гипертонии, которая осложнилась у него почечным заболеванием. Последняя встреча с Александром Александровичем произошла у меня в санатории «Барвиха», где он был на отдыхе, уже очень тяжело больной.

Он рассказал мне, что профессор Вовси осматривал его и сказал ему, что может ему гарантировать только полгода жизни. Это не значит, что он умрёт через полгода, но гарантию на его жизнь он дать не может. Действительно, Александр Александрович Андронов умер примерно через полгода...

Осенью 1952 года я с группой своих учеников начал семинар по теории регулирования и электронике в Стекловском институте. И нашей первой деятельностью было изучение книжки «Теория колебания» Андронова, Витта и Хайкина ²¹, конечно не полное, а частичное. Здесь мы впервые познакомились с тем, как работает самоиндукция, взаимоиндукция, конденсатор и тому подобные вещи. Таким образом, в 1952 году мы как бы приняли от Андронова эстафету занятий прикладной математикой.

С книгой Андронова, Витта и Хайкина произошёл следующий случай при её публикации, о котором Андронов рассказал мне. К моменту публикации Витт был арестован, и невозможно было поставить его фамилию на титульном листе, хотя первоначальный набор был уже сделан. От Андронова и Хайкина потребовали согласия на исключение Витта из числа авторов. После долгих мучительных колебаний они решились на это. Но в первой корректуре обнаружилось, что после фамилии Андронова стоит две запятых, а потом уже Хайкин. Это был след того первого заглавия, где фигурировали три автора.

О том, как Андронов относился к своим депутатским обязанностям, свидетельствует следующий случай, о котором он мне рассказал однажды при приезде в Москву. В то время имела место следующая практика. Престарелый инвалид мог взять к себе добровольно кого-нибудь в жилище, человека необеспеченного жильём, и жить с ним вместе, с тем чтобы тот помогал ему. Такая опека могла закончиться трагически для обеих сторон. Старые люди могли прожить очень долго. Опекун же, по существу, стремился к другому... Но были случаи, когда вселение производилось насильственно под предлогом, что хозяин неполноценен в психическом отношении. Именно такой случай наблюдал Андронов, будучи депутатом.

Вселялся какой-то ответственный деятель райкома к старому больному человеку, который жестоко сопротивлялся этому. Андронов своей властью депутата приостановил вселение, что стоило ему огромных усилий. Он говорил, что попал после этого в больницу и пролежал там два месяца с тяжёлым приступом гипертонии.

Когда Андронов был уже депутатом Верховного Совета, к нему однажды пришёл фотограф, чтобы сфотографировать для каких-то официальных целей. От фотографа он узнал, что его выдвигают в Президиум Верховного Совета, что для Андронова при его состоянии здоровья было совершенно неприемлемо. Несмотря на то, что выдвижение было уже решено и новое выдвижение в депутаты Верховного Совета уже состоялось, Андронов принял решительные меры, отклоняющие это, что было довольно смелым шагом по тем временам! Таков был Александр Александрович Андронов, замечательный человек и выдающийся учёный!

В 1934 году советское правительство приняло решение о переводе Академии наук СССР из Ленинграда в Москву. Теперь такая формулировка выглядела бы странно, поскольку учреждения Академии наук раскиданы по всей России. Но в то время институтов Академии наук было мало и, по-видимому, все они были сосредоточены в Ленинграде.

По замыслу Петра I, основавшего Российскую Академию наук, она создавалась как государственное учреждение, призванное работать в контакте с правительством на пользу страны, а не как добровольная почётная организация, какой является, например, английское Королевское общество и, быть может, в какой-то степени французская Академия наук. Таким образом, естественным было местопребыванием Академии наук сделать столицу страны — Петербург. После революции столицей страны стала Москва, естественно было перевести туда и Академию наук. Но это было сделано только в 1934 году, т.е. с большим опозданием.

В Москву переводились центральные органы Академии наук: Президиум, её Отделения, а также значительная часть институтов. В том числе — Математический институт Академии наук СССР имени В. А. Стеклова, коротко — Стекловский институт, основателем и руководителем которого был и до сих пор является академик Иван Матвеевич Виноградов.

Одной из основных задач, которую ставил перед собой И. М. Виноградов, руководя институтом, было привлечение в него молодых талантов, математиков с хорошей, разумной, по его мнению, математикой. Далеко не все ленинградцы, сотрудники Стекловского института, соглашались переезжать в Москву. Их всячески приманивали, в частности, хорошими жилищными условиями. И всё же не все согласились переехать в Москву. Таким образом, возникала потребность возместить убыль за счёт москвичей. И без того было естественно, раз институт стал московским, привлечь в него значительное количество московских математиков.

Среди вновь привлекаемых в институт москвичей назывались шесть, которые рассматривались тогда, как молодые и талантливые. В том числе был и я.

Любопытно отметить, что эти шесть человек классифицировались на три пары по их «качеству». На первом месте стояли А. О. Гельфонд и Л. Г. Шнирельман, на втором месте — М. А. Лаврентьев и Л. А. Люстерник, а на третьем месте — Л. С. Понтрягин и А. И. Плеснер. То, что на первом месте стояли Гельфонд и Шнирельман, было в то время очень естественным. Эта пара составляла обойму, которую называли всегда и везде, когда хотели указать наиболее «талантливых» молодых советских математиков.

Но теперь можно поставить вопрос о том, как эта классификация выдержала проверку временем. Шнирельман погиб от психической неполноценности, когда ему едва перевалило за 30 лет. Гельфонд вспыхнул коротким блеском в ранней молодости, решив проблему трансцендентности некоторых чисел. Люстерник вообще не достиг значительных высот, а Плеснер вообще вряд ли был сколько-нибудь значительным математиком. [Ох, и строг был Лев Семёнович к другим. Пара слов о Гельфонде. — E.G.A.]

Можно сказать, что проверку временем выдержали только Лаврентьев и Понтрягин. Оба в течение многих лет вели научно-исследовательскую работу на очень высоком уровне и достигли выдающихся научных результатов. [Ох, и строг был Лев Семёнович... к другим. :) — E.G.A.] А Лаврентьев, кроме того, оказался и выдающимся организатором. Он основал новый русский научно-исследовательский центр в Новосибирске — Сибирское Отделение Академии наук СССР.

Недалеко от Новосибирска, на лоне природы был выстроен по инициативе Лаврентьева и под его руководством научно-исследовательский городок, в котором были созданы очень благоприятные бытовые и организационные условия для ведения научной работы. Сибирское Отделение АН СССР получило особый статус АН СССР. Быть избранным членом этого Отделения было легче, чем членом основных Отделений АН СССР. Но после избрания научный работник обязывался переехать в новосибирский научно-исследовательский городок и вести работу там. В то же время он становился членом основного Отделения Академии наук СССР по своей специальности. Этот особый статус и был главной приманкой для привлечения научных работников в новый научно-исследовательский центр.

Создание научного городка под Новосибирском потребовало крупных финансовых вложений со стороны государства. Их Лаврентьев добился, пользуясь своим авторитетом и личными отношениями с Н. С. Хрущёвым, которые возникли у него, когда он был членом Украинской Академии наук и работал в Киеве.

Теперь мне трудно сказать, насколько значительным научным центром был Стекловский институт во времена его перевода из Ленинграда в Москву.

Но уже тогда Стекловский институт создавал для своих сотрудников особо благоприятные условия, содействующие их научной работе. Они не имели никаких других обязанностей, кроме как заниматься наукой. Большая часть математиков всего мира работает в высших учебных заведениях и кроме научно-исследовательской работы имеет обязанности по преподаванию.

В то время я занимал такое же положение в Московском университете, но мои обязанности по преподаванию не только не мешали моей научной работе, но наоборот помогали ей. Я не читал обязательных курсов, а читал лишь необязательные, в которых в значительной степени излагал свои собственные результаты. Кроме того, руководил аспирантами, с которыми также вёл работу, связанную с моей научной тематикой.

Мои педагогические обязанности не находились в противоречии с научной работой, а наоборот помогали ей. Вероятно, поэтому предложение перейти в Стекловский институт из университета, переданное мне от дирекции Шнирельманом, не вызвало у меня особого энтузиазма. Конечно, я его считал большой честью, но не стремился воспользоваться.

Шнирельман несколько раз возвращался к вопросу о моём переходе в Стекловский институт и наконец сказал, что такого рода приглашения не повторяют много раз и им надо воспользоваться. Но я всё-таки не соглашался покинуть университет и кончилось тем, что я стал работать как в университете, так и в Стекловке с 1934 года.

В 1934 году было проведено ещё одно важное государственное мероприятие в области организации науки. Были введены кандидатские и докторские учёные степени, а также звания доцента и профессора.

Присвоение учёных степеней и учёных званий научным работникам стало производиться как бы под «государственным» контролем. До этого преподаватель вуза назывался доцентом или профессором по решению того вуза, в котором он работал, в соответствии с исполняемыми им обязанностями.

Учёных степеней кандидата и доктора наук вообще не существовало.

После их введения в 1934 году присуждение их должно было осуществляться учёными советами на основе защиты диссертаций, соответственно кандидатских и докторских. Но учёные советы сами должны были состоять из кандидатов и докторов наук. Поэтому на первых порах массовый характер приобрело присуждение степеней без защиты диссертаций, как говорят, honoris causa. Помню, как это происходило в университете. Я был членом какого-то совета. Каждый из нас выходил из комнаты, где заседал совет, и, возвращаясь, узнавал, что решили его товарищи: дать ему степень без защиты или нет.

Именно так я получил свою степень доктора без защиты диссертации. И в 1935 году получил официальное уведомление, что я утверждён в ней соответствующей организацией — экспертным советом Высшей аттестационной комиссии.

В то время мне исполнилось уже 27 лет, и у меня давным-давно возникла трудная проблема — найти себе жену. Случаи, когда девушки моего возраста проявляли ко мне интерес, были ещё во времена моего студенчества. Но я предъявлял к браку особые требования. Я должен крепко любить свою жену! Только любовь, страстная, могла бы отчасти компенсировать моё несчастье. Любимая жена, успех в научной деятельности — и я был бы счастлив!

Как и многие другие, я долгое время считал, что судьба человека слагается из двух главных частей: профессии и личной жизни, т.е. брака, семьи. Значительно позже я понял, что участие в общественной жизни также играет в нашей жизни немаловажное значение.

Несмотря на потерю зрения, я успешно справился с профессией. В этом, думается мне, сыграла роль не только одарённость, но и чрезвычайное трудолюбие, а также, по-видимому, стечение благоприятных обстоятельств.

Что касается второй проблемы, которая стала для меня проблемой номер один, то решить мне её никак не удавалось. И это тоже служило стимулом для напряжённой работы в области науки.

Здесь на пути у меня стояло несколько трудностей. Первая — очевидная: нелегко женщине решиться на брак с человеком, который не видит. Вторая — менее очевидная, заключалась в том, что привлекательность женщины определяется не только её характером, повадками и голосом, но также и физическим обликом. На горьком опыте я убедился, что физический облик играет для меня существенную роль и что на чужое мнение полагаться нельзя. Были случаи, когда женщина, казавшаяся мне необыкновенно привлекательной, оказывалась совершенно неприемлемой, как только я приходил в самое поверхностное физическое соприкосновение с ней. Если я имел дело с девушкой, которая, возможно, согласилась бы стать моей женой, я не решался переступить ту грань, которая позволила бы мне сделать заключение о её физическом облике, так как считал, что такие действия слишком меня обязывают. Немалые трудности на пути вступления в брак создавала моя мать, о чём я уже говорил раньше. Благодаря всему этому я вступил в удачный брак с любимой женщиной только в возрасте 49 лет, а до этого пережил неудачный брак.

После того как Академия наук была переведена в Москву и я стал сотрудником академического института, Академия наук в некоторой степени стала привлекать моё внимание. Во всяком случае, до этого я о ней либо просто не знал, либо не думал, а теперь она стала меня несколько интересовать.

Занимал или, скорее, забавлял процесс выдвижения на выборы в Академию наук, который происходил на заседаниях Московского математического общества. Мы, молодёжь, члены Московского математического общества, устраивали нечто вроде тотализатора, следя за тем, кто из кандидатов, выдвигаемых на заседании общества, получит больше голосов.

Членом Московского математического общества я стал в очень молодом возрасте, и моё избрание сопровождалось одним любопытным психологическим эффектом, явлением. Согласно правилам, для того чтобы быть избранным, нужно было сделать на заседании общества доклад. И вот однажды Александров предложил мне сделать доклад. Не помню, был ли я тогда студентом или уже аспирантом. Была выбрана одна из моих многочисленных работ, и её название включили в повестку заседания.

Доклад на обществе я считал за большую честь и стал тщательно к нему готовиться. И вот после некоторого времени я выяснил, что в доказательстве результата имеется ошибка! Промучившись целые сутки, пришёл в полное отчаяние: исправить ошибку никак не удавалось. Кончилось тем, что я позвонил Александрову и сообщил о своей беде. Он сказал: «Ничего. Мы изменим название доклада, и Вы расскажете другую работу». Ровно через час после того, как это решение было принято, ошибка мною была исправлена. Работа была доложена на заседании общества, и я стал его членом.

Я не помню ничего примечательного о первых годах своего пребывания в Стекловском институте. По-прежнему усердно занимался научной работой, которая числилась, вероятно, по Стекловскому институту, и одновременно преподавал в университете, читая там спецкурсы и ведя семинары.

Насколько помню, в 1935 году я начал писать свою первую книгу «Непрерывные группы» ⁹, в которой решил изложить свои результаты по топологическим группам, а также хорошо известные результаты по группам Ли. Их я тщательно переработал для семинаров и лекций в Московском университете.

Когда начинал писать книгу, я не представлял себе, какая это будет огромная работа. Она продолжалась два года, и если бы я предвидел её размеры, то, возможно, не решился бы на такой труд.

Писание осуществлялось следующим образом: в течение недели я сам писал на машинке страниц 30, пропуская места для формул, а в воскресенье приходила одна моя знакомая и вписывала формулы, которые я должен был помнить. Это, конечно, была огромная нагрузка на память.

Кроме того, на этой книге я должен был отработать свой стиль изложения. До этого бо́льшая часть моих работ оформлялась для публикации П. С. Александровым.

После того как я написал уже значительный кусок книги и стал продвигаться дальше, мне пришлось переписывать всё начало заново. Здесь я столкнулся с той трудностью, которая встречается нередко при писании книги. Она заключается в том, что когда вы доходите, например, до пятой главы, то вдруг обнаруживается, что первая глава написана не так, как это бы нужно для пятой, и приходится всё переделывать заново. Некоторые авторы пытаются приспособить пятую главу к тому, что было написано в первой, но я менял начало и добивался такого изложения, которое казалось мне совершенным. Книга была закончена в 1937 году, я сдал её в издательство. На одном из заседаний совета Стекловского института Борис Николаевич Делоне вдруг заявил примерно следующее: «Мы должны отметить важное математическое событие — Понтрягин закончил большую книгу». Я даже понятия не имел, откуда Делоне об этом знал. Ведь книжка не стояла в плане работ института.

Хочу отметить, что я никогда не был особенно близок с Делоне, он же всегда относился ко мне с благожелательным интересом.

Не знаю как, но раньше, чем книжка вышла из печати, о том, что она написана, узнал Лефшец. Он прислал мне предложение опубликовать её в издательстве Принстонского университета. Тогда не было чётких правил об отправке рукописей за границу.

И я решил отправить рукопись не сам, а через институт. Здесь у меня возникли сложные перипетии с учёным секретарем института Б. И. Сегалом, который никак не хотел отправлять рукопись. Я его спросил, почему он этого не делает, он сказал: «А Вы же сами вот не отправляете рукопись, почему Вы хотите, чтобы я это делал». Боялся. В конце концов, рукопись я отправил, и перевод книжки появился в Соединённых Штатах. Книга оказалась удачной. При моих поездках за границу при встрече с новым математиком обычно я слышал от него, что он имеет эту книжку и что он по ней учился и т.д. Когда были учреждены Сталинские премии, то в первый же год их присуждения книга была выдвинута Стекловским институтом на премию и получила премию второй степени. Это было 50 тысяч рублей, которые я получил перед самой войной. Эти деньги очень помогли нам во время войны!

Как только началась война, все вклады на сберкнижках были законсервированы. С каждой сберкнижки можно было взять в месяц не более 200 рублей. А Сталинская премия отличалась от них тем, что каждый месяц можно было брать 1000 рублей. Эти деньги помогли нам перенести эвакуацию. Цены на пищу росли с чудовищной быстротой, и эти 1000 рублей в месяц помогали нам удовлетворительно питаться в Казани в эвакуации. К концу войны деньги были полностью израсходованы.

В течение многих лет моего пребывания в институте я мало имел дело с его директором И. М. Виноградовым. С ним мне приходилось сталкиваться только тогда, когда я хотел взять нового сотрудника в свой отдел. И тут всегда возникали трудности. Против каждого моего предложения он вначале резко возражал. Я довольно долго думал, что в этом было и нечто положительное, так как возражения вынуждали тщательно обсуждать каждую кандидатуру. Но теперь я думаю, что Виноградов, принимая во внимание мои научные достижения, мог бы больше доверять мне. А главное, он вёл обсуждение кандидатур в несколько издевательском тоне. Трудности были при обсуждении кандидатуры Евгения Фроловича Мищенко (возражения Виноградова были нелепыми), который впоследствии стал заместителем самого же Виноградова по Стекловке и вот уже более 25 лет пребывает на этом посту.

Совсем недавно, когда я уже проработал в институте более 50 лет и, казалось, заслужил полного доверия, Виноградов упорно не хотел брать в мой отдел рекомендуемого мною Александра Сергеевича Мищенко. Возражения были тоже нелепые. Александр Сергеевич тоже в конце концов был взят и оказался весьма полезным для отдела и института сотрудником. Итак, каждого человека Виноградов упорно сопротивлялся брать, а я упорно настаивал.

Правда, в этом поведении директора есть своя логика. Благодаря этому институт не разросся до тысячи и более, как другие НИИ, а насчитывает научных сотрудников несколько более сотни.

Стекловский институт оказывает существенное влияние на всю математическую жизнь страны. Авторитет его сотрудников и, главным образом, исключительно высокий авторитет его директора позволяют оказывать влияние на такие области деятельности, как издание книг, поездки за границу, выборы в Академию наук и тому подобное.

Виноградов очень любит, чтобы к нему приходили за советом, как сотрудники института, так и другие математики. И они это охотно делают, так как он может оказать помощь, посодействовать новым начинаниям. Но бывают такие случаи, когда Виноградов вдруг оказывается резко настроен против какого-нибудь математика и всячески его преследует и травит. Причём, на мой взгляд, это делается не всегда осмысленно и разумно.

В заключение нужно сказать, что Стекловский институт является детищем Виноградова. Несмотря на свою немногочисленность — там около 150 научных сотрудников, — он является одним из важнейших международных центров математики и пользуется во всем мире большим авторитетом.

Не помню точно, в каком это было году, но сравнительно скоро после моего поступления в институт, Виноградов решил назначить меня заведующим отделом топологии. На предварительное обсуждение вопроса собралось довольно много математиков, не знаю были они сотрудниками института или нет. Во всяком случае, присутствовали Александров, Колмогоров, Яновская. Помню о них, потому что они резко возражали против назначения меня заведующим отделом. Колмогоров даже внёс такое предложение: следует пригласить на заведование А. А. Маркова из Ленинграда, Понтрягину будет трудно заведовать, так как он не видит. К этому соображению присоединилась и Яновская. Я резко возражал против этого.

Несмотря на возражения этих лиц, дело кончилось тем, что Виноградов назначил меня заведующим отделом. Это произошло в сентябре 39-го года.

Что касается воздействия на математическую жизнь страны, то в этой части деятельности института я почти не принимал участия в течение многих лет, будучи полностью поглощён научной работой, а стал заниматься этими вещами только начиная с 1968 года. И здесь Виноградов помогал многим моим начинаниям. Я стал его союзником и помощником во многих делах. Мы действовали совместно и в полном согласии в течение примерно десяти лет, но в последнее время это согласие несколько нарушилось, так как Виноградов стал требовать от меня полного подчинения. И, кроме того, стал заботиться о том, чтобы я не приобрёл чересчур большое влияние на ход событий.

Вернусь теперь к 1936 году. Этот год очень памятен мне по острому конфликту, который у меня произошёл с моим учителем П. С. Александровым, и по различным обстоятельствам, примыкающим к этому конфликту. Конфликт не привёл к разрыву и порче отношений, но характер их резко изменился. До этого Александров, конечно, видел, что я способный математик, и, вероятно, даже гордился мною, как своим учеником, но как-то не мог воспринять меня как взрослого человека, уже самостоятельного учёного. Поэтому были случаи, когда он третировал меня как мальчишку, что проявилось особенно резко в 1936 году и привело к резкому отпору с моей стороны.

В 1936 году я как раз получил свои результаты по классификации отображений сферы Sⁿ⁺¹ размерности n+1 на сферу размерности n при n>2.

Я установил, что существуют ровно два класса отображений. Этот результат совершенно поразил меня своей неожиданностью, так как ранее имевшиеся результаты давали счётное число классов для отображения n-мерной сферы на n-мерную и трёхмерной сферы на двухмерную. Результат казался мне столь поразительным, что я страстно желал сформулировать его перед какой-нибудь аудиторией, хотя бы небольшой. Конечно, без всякого доказательства, которое на первых порах было чрезвычайно сложным.

И вот перед заседанием топологического кружка, на котором должен был делать доклад Э. Кольман, партийный деятель из МК, математик и философ, я попросил у Александрова разрешения сформулировать мой результат после доклада Кольмана, на что пошло бы не более пяти минут.

Кольман закончил доклад. Александров закрыл семинар, не предоставив мне слова. Я подошёл к нему после закрытия семинара и спросил, в чём дело. Он сказал, что забыл, но теперь сделает даже лучше: предоставит мне слово на Математическом обществе, которое должно состояться вечером того же дня.

На Математическом обществе происходили выборы правления. Александров, президент общества, даже поиздевался немножко надо мной, сказав, что вот мы возьмём да и выберем Понтрягина в члены правления, чего, конечно, не произошло, хотя моя кандидатура и баллотировалась. Александров опять обещал предоставить мне слово по окончании выборов правления, после чего должен был состояться какой-то плановый доклад. Но слова он мне и тут не предоставил, а сразу перешёл к плановому докладу. Я уже не стал спрашивать, в чём дело, а решил сам, что Александров преднамеренно не даёт мне сообщить о моём хорошем результате, так как, исходя из него, я могу составить конкуренцию его поездке на предстоящий в этом году Международный конгресс математиков в Осло.

На конгресс, правда, никто не поехал неизвестно по каким причинам. Но до того как стало известно, что советская делегация не едет в Осло, я обратился к Александрову с просьбой рассказать мой результат на конгрессе от моего имени. Прецедент уже был: на предыдущем конгрессе в Цюрихе в 1932 году он изложил мои результаты по теореме двойственности Александера. Но Александров в резкой форме отказал мне. Всё это вызвало у меня острое раздражение против Александрова, которое уже накапливалось и раньше. Я стал думать о том, как бы мне дать отпор.

В 1936 году произошло совершенно поразительное, незаурядное событие в жизни советских математиков ²². Внезапно, по-видимому неожиданно для всех, в центральной газете, кажется в «Правде», появилась статья с грубыми нападками на выдающегося русского математика Николая Николаевича Лузина. Она называлась «Маска сорвана» ²³.

Не помню точно, в чём обвинялся Лузин, но в статье содержалась фраза: «Он вёл себя со всем подобострастием, но и со всею наглостью лакея». Это событие обсуждалось в кулуарах, а затем на очень большом официальном собрании математиков. Одним из мест кулуарных обсуждений был «математический салон», который в то время держала одна дама, весьма почтенного возраста. Фамилию я её не помню, помню только имя и отчество: Софья Моисеевна. В этом «салоне» принимались различные математики, но в основном это были Л. А. Тумаркин, А. О. Гельфонд, Л. Г. Шнирельман, а затем присоединился и я.

Софья Моисеевна утверждала, что у неё сохранились старые связи с такими выдающимися деятелями, как В. В. Куйбышев. Однажды, когда я пришёл к ней с своею мамой, Софья Моисеевна даже имела телефонный разговор с Куйбышевым. Конечно, мы слышали только то, что говорила она, и голоса Куйбышева не слышали. После ухода от Софьи Моисеевны моя мать сказала мне, что всё это ложь и трёп, и чистое кривлянье. Никаких отношений с Куйбышевым она не имеет.

Именно здесь мы обсуждали событие с Лузиным, и у некоторых возникло подозрение, что среди организаторов письма мог быть П. С. Александров. Мы хорошо знали, что у Александрова с Лузиным были отвратительные отношения. Хотя Александров был ученик Лузина, они грубо враждовали между собой. Так как источником информации об этой вражде был Александров, естественно, я был его сторонником. Но после того как Александров так бессовестно поступил со мной и, возможно, я подумал, так же с Лузиным, я начал колебаться — кто из них прав. Однажды, когда меня качнуло в сторону Лузина, я совершил неосторожный поступок: позвонил Лузину и как бы выразил этим ему своё сочувствие. Об этом телефонном разговоре, конечно, стало известно от Лузина некоторым другим математикам.

Александров был учеником Лузина. Он, несомненно, очень многому научился от Лузина и в течение длительного времени был под его сильнейшим влиянием. Но к тому времени, когда я стал разговаривать с Александровым о Лузине, эти два человека находились уже в состоянии непримиримой ненависти.

Я был учеником Александрова и очень многому от него научился. В течение ряда лет я находился под обаянием его личности, можно сказать, просто обожал его.

Но к 1936 году у меня уже накопились многочисленные обиды на П. С. Александрова, которые завершили последние тяжёлые обиды, когда он не дал мне рассказать об увлёкших меня результатах ни на топологическом кружке, ни на Математическом обществе, причём, как я думал тогда, и, вероятно, это правильно, он не дал мне слово предумышленно.

Обида была настолько велика, что я был полон решимости дать отпор Александрову и показать ему, что я уже не мальчишка, а самостоятельный учёный, могущий дать ему сдачи. На этих двух примерах видно, что проблема «отцов и детей» имеет место также в интеллектуальной области. У меня было довольно много учеников. Из них некоторые стали хорошими математиками. Это Д. В. Аносов, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, М. М. Постников, В. А. Рохлин и некоторые другие.

Взаимоотношения с моими учениками заканчивались по-разному. Иногда охлаждением. Либо даже конфронтацией. Дружеские отношения сохранились пока только с Р. В. Гамкрелидзе. Нельзя, однако, считать, что такое развитие отношений между учителем и учеником является обязательной закономерностью. Бывают случаи, когда ученик остается под влиянием учителя большую часть своей жизни, может быть даже и всю жизнь. Ученик должен становиться самостоятельным человеком и независимым учёным. А в ряде случаев мы наблюдаем другое явление, когда ученик остается послушным своему учителю почти всю жизнь. В этом нет ничего хорошего.

Н. Н. Лузин сыграл в развитии советской математики выдающуюся роль. Он оказал огромное влияние на создание Московской математической школы. Я почти не был знаком с Лузиным, встречался с ним едва ли несколько раз. Но много знал о нём по рассказам других математиков.

Начиная с 20-х годов Лузин имел многочисленную группу учеников, находившихся под сильнейшим его влиянием и носивших вместе название «Лузитания». Среди его учеников такие выдающиеся учёные, как П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев, Д. Е. Меньшов и многие другие ²⁴.

Среди учеников Лузина были и женщины, наиболее значительное лицо из них — Н. К. Бари, которая якобы была влюблена в Лузина. Стоит отметить, что Лузин имел большой успех у женщин и весьма широко пользовался им.

Лузин был сложной личностью. Наряду с положительными качествами, которые позволяли ему оказать огромное влияние на развитие нашей математики, в нём было что-то отрицательное и неприятное. Например, о топологии, которой стал заниматься П. С. Александров, Лузин говорил: «Это же не математика, это — ботаника...» В нём не было простоты и естественности человеческого поведения. Его обаяние опиралось в значительной степени на театральность и искусственность. Для иллюстрации приведу ещё одну цитату из его лекции: «Перед нашим интеллектуальным взором развертывается ландшафт необычайной красоты». Натуре Лузина не чуждо было и грубое лицемерие, и лживость. Этим, я думаю, объясняется появление в центральной прессе статьи «Маска сорвана», посвящённой Лузину. Кому-то он досадил — так говорили тогда, но более конкретных соображений о причинах появления этой статьи я ни от кого не слышал.

В связи с этой статьей в Академии наук было устроено нечто вроде разбирательства «дела Лузина», на котором он давал ответы на вопросы о своём поведении. Я присутствовал на этих собраниях. Общее впечатление было неприятное, даже омерзительное. В связи со статьей было много разных толков о Н. Н. Лузине, некоторые из которых я считаю вполне достоверными. Сейчас я вспоминаю некоторые происшествия с Лузиным, времени более позднего, чем 1936 год. Расскажу о некоторых эпизодах из жизни Лузина, которые сейчас вспоминаются мне.

Колмогоров был избран академиком в 1939 году, а Александров — только в 1953 году. За весь этот период Колмогоров прилагал все усилия, чтобы провести Александрова в академики. И вот однажды перед очередными выборами Колмогоров пришёл ко мне домой, чтобы посоветоваться о предстоящих выборах.

Он рассказал мне, что Лузин, живший тогда в санатории Болшево, вблизи дач Александрова и Колмогорова, специально пришёл к ним и предложил свою поддержку Александрову на выборах. Просил ли он за эту поддержку чего-нибудь, я не знаю. Колмогоров об этом ничего не сказал. Колмогоров просил моего совета: можно ли полагаться на Лузина. Я искренне думал, что Лузин не обманет, как же иначе! Он обещал! И сказал Колмогорову: «Будьте уверены, Лузин Вас не обманет».

Через некоторое время после того, как выборы произошли, в институте появилось странное распоряжение дирекции: Колмогоров на три месяца переводился из заведующего отделом в старшие научные сотрудники. Основанием было распоряжение Президента Академии наук СССР.

Причина этого понижения Колмогорова в должности на три месяца скоро выяснилась. Лузин, который обещал Александрову поддержку, произнёс на выборах примерно следующую речь: «Если мы хотим выбрать выдающегося математика и прикладника, то должны голосовать за Петровского, если мы хотим выбрать выдающегося теоретика, то должны голосовать за Чеботарёва, ну а если мы интересуемся философом, то можем выбрать Александрова».

Такая речь никак не могла рассматриваться как поддержка кандидатуры Александрова. Выйдя в коридор после этого, Колмогоров стал попрекать Лузина в обмане. А тот сказал ему: «Голубчик, успокойтесь, не волнуйтесь, вам надо обратиться к врачу». И начал похлопывать его не то по плечу, не то по руке. Колмогоров пришёл в ярость и сказал: «Что же вы хотите, чтобы я вам в физиономию плюнул или по морде дал!» А Лузин продолжал свои уговоры: «Обратитесь к врачу».

Тогда Колмогоров не выдержал и ударил его по лицу. Так как при этом присутствовало мало народу, то тут же было решено, что эпизод останется в тайне и никому не будет сообщён.

Однако произошло совсем другое: Лузин надел на лицо повязку, пошёл к Президенту жаловаться и рассказал о случившемся. В результате Президент был вынужден отдать распоряжение о репрессиях против Колмогорова. Таков был случай с лицемерным поведением Лузина, о котором тогда всем стало известно.

Шнирельман рассказывал мне, что Лузин едва не загубил его как математика в самом начале его пребывания в университете. Лузин читал на первом курсе «Высшую алгебру». Хотя это не была его специальность, но он делал это для привлечения к себе студентов. Лузин обратил внимание на Шнирельмана и предложил ему заняться решением континуум-проблемы. При этом он сказал: «Бросьте все лекции, ничему не учитесь и только думайте об этой проблеме». Шнирельман, конечно, ничего не мог придумать по континуум-проблеме, а занятия он прекратил на целый год. При встречах Лузин говорил ему: «Ну, что? Вы думаете? Думайте! Думайте!» Шнирельман не смел сказать, что он не знает, что думать. Занятия в университете он прекратил на целый год и с большим трудом вошёл потом в курс нормального обучения.

Талант Лузина как Учителя «с большой буквы», по-видимому, далеко превосходил его талант как творческого математика. Отсюда его трагедия. Его ученики часто начинали быстро превосходить его в своих достижениях и уходили из его области в более значительные разделы математики. Он ревниво относился ко всему этому, и возникали враждебные отношения с учениками.

Такая ревность возникла у Лузина к молодому талантливому математику Суслину, который просто решил одну из выдвинутых им проблем, кажется даже не будучи его учеником. У Лузина возникла ревность к Суслину. Суслин после окончания университета начал искать себе работу, что в те времена было нелегко. При поисках работы он ездил по провинциальным университетам, но оказалось, что во всех этих университетах уже имеется письмо Лузина, в котором он резко отвергает кандидатуру Суслина как преподавателя. О наличии такого письма рассказывал мне А. А. Андронов. Оно было в университете в Горьком. Кончилось всё это трагически. Суслин в своих путешествиях заразился сыпным тифом и умер. Об этом случае с Суслиным Лузин рассказывал на его обсуждениях в Академии наук. Излагал он дело так.

— Суслин — талантливый математик. Но вдруг он перестал заниматься математикой и купил себе шубу и стал думать совсем о другом. Тогда я решил пресечь его стремление к материальным благам и старался не дать ему поступить на работу, с тем чтобы он занимался математикой. И вот тогда произошёл этот ужас — смерть Суслина...

Вернусь теперь к моим отношениям с П. С. Александровым. П. С. Александров не обладал столь резко выраженными отрицательными чертами, как Лузин. Но всё же некоторые неприятные черты в его характере были. Я расскажу о некоторых, которые шокировали меня. Александров очень по-разному относился к людям выше его стоящим и ниже стоящим. К первым он относился с подобострастием, ко вторым — с высокомерием. Самой неприятной чертой П. С. Александрова было для меня то, в каких неумеренных тонах восхвалял он мои работы публично. Это восхваление было столь неумеренным, что сразу производило впечатление фальши. Подобострастное отношение Александрова к вышестоящим особенно было видно на отношении его к академикам, которым он просто подхалимствовал, желая быть избранным.

Размышляя в то время об этих людях — Лузине и Александрове, я почувствовал, что не могу стать на сторону ни того, ни другого. Я уже говорил о том, что мне казалось, что я должен сделать выбор между Лузиным и Александровым.

После статьи «Маска сорвана» было устроено обширное собрание математиков, как я уже говорил, на котором должно было быть обсуждение статьи и «поведения Лузина», поскольку статья появилась в центральной прессе. Так тогда полагалось.

Ко мне обратились с просьбой выступить. В качестве молодого учёного я должен был высказать своё мнение о поведении Лузина. К этому моменту мои позиции по отношению к Лузину и Александрову были уже ясны, и я с готовностью согласился выступить на общем собрании. Моё выступление было первым. Смысл его заключался в том, что Лузин стал таким не сам по себе, а благодаря тому, что был окружен подхалимством. А в качестве главного подхалима я описал П. С. Александрова, не называя его имени ²⁵.

Моё выступление было встречено бурными аплодисментами, а после него Александров подошёл, сел со мной рядом и поблагодарил меня за указание на те ошибки, которые он совершил. И с тех пор наши отношения стали равноправными.

Выступление на этом собрании было первое моё большое публичное выступление. Должен признаться, что, произнося свою речь, я трепетал от волнения, опасаясь, что кто-нибудь из присутствующих встанет, сообщит о моём телефонном звонке Лузину и обвинит меня в двурушничестве, которого по существу не было. Была раздвоенность. Но на собрании никто ничего не сказал. Однако моё поведение некоторыми было расценено как сомнительное. Я узнал об этом совершенно чётко из разговора с Андроновым. Он спросил меня, верно ли, что я звонил Лузину. И когда я сказал, что, да, звонил, он сказал: «А понимаете ли Вы, в какое положение Вы себя поставили? Ведь это же сомнительный поступок: после такого звонка произносить такую речь, какую вы произнесли». Я сказал, что я понимаю. Но я действовал не из соображений подхалимажа, а совершенно искренне. Это были просто колебания в моей оценке происходящего. Андронов понял меня. То же действие дало мне возможность выяснить недоброжелательное отношение ко мне Ефремовича. Ефремович рассказал Колмогорову и Александрову о моём том телефонном звонке Лузину.

Хочу сказать, что со стороны Ефремовича рассказать о моём действии Александрову и Колмогорову было большим предательством меня. О моём звонке Лузину он узнал из моего собственного рассказа, так как меня мучили сомнения и я поделился с ним, как с другом. При этом предполагалось, что никому об этом дружеском разговоре не будет рассказано. Очень скоро после этого Ефремович был арестован, и перед этой большой бедой померкло его мелкое предательство. Так что я снова воспылал к нему дружбой и заботой о нём. Моё выступление по поводу Лузина было рискованным также и с той точки зрения, что многие могли принять его как угодничество перед начальством. В действительности этого не было! Я в самом деле был возмущён поведением Лузина. К выступлению по поводу Лузина я готовился тщательно и отработал его во всех деталях. В дальнейшем я имел время от времени такие выступления по разным поводам и в них в основном выражалась моя общественная активность, пока в конце 60-х годов она не приобрела более постоянный и регулярный характер.

Моя общественная активность была всегда несколько рискованной для меня, а с течением времени она стала просто опасной. Особенно остро я почувствовал это, начиная с 1978 года. А теперь острота этого ощущения всё нарастает. Но об этом я, быть может, расскажу несколько позже.

Одновременно с написанием книжки «Непрерывные группы» я занимался и другими проблемами. Впрочем, для этого были более существенные причины. Об этом я расскажу, пожалуй, потом.

Так, в 1936 году мною была получена гомотопическая классификация отображений сферы S ⁿ⁺¹ на сферу S ⁿ при n>2. Как я уже говорил, оказалось, что число классов отображений равно 2. Тогда же я занимался отображениями сферы S ⁿ⁺² на сферу S ⁿ при n>2, но, сделав ошибку в вычислении, получил неверный результат, установив, что имеется лишь один класс отображений. В действительности же имеются два класса отображений, это я выяснил много лет спустя, когда дал полное изложение этой работы ²⁶.

Окончив книжку, я все свои усилия направил на гомотопическую классификацию отображений одного пространства A на другое пространство B. В первую очередь надо было дать классификацию отображений сферы S ^n+k на сферу S ⁿ. Усилия, направленные на решение последней задачи, привели меня к изучению гладких многообразий. Хочу остановиться на этом подробнее, так как в этой области я получил важные результаты.

Два отображения  f  и g пространства A в пространство B называются гомотопными, если, непрерывно меняя отображение  f , можно сделать его совпадающим с g. Проблема гомотопической классификации отображений стала центральной проблемой топологии на много лет. Она оказалась очень трудной даже для простейшего случая — для случая сфер. Если пространство B есть сфера S ⁿ, то задачу можно локализовать следующим образом. Выберем на сфере S ⁿ произвольную точку p и обозначим через H произвольно малую шаровую окрестность этой точки. Оказывается, что если два отображения  f  и g совпадают на H, то они гомотопны между собой. Говоря, что отображения  f  и g совпадают на H, я имею в виду следующее: f ^–1(H), т.е. полный прообраз шара H при отображении  f , совпадает с полным прообразом шара H при отображении g. То есть мы имеем равенство f ^–1(H) = g^–1(H) = C. На множестве C отображения  f  и g совпадают между собой, т.е. при xÎC мы имеем f (x) = g(x). Это очень простое соображение легло в основу всех моих исследований.

Обозначим через q точку, противоположную точке p. Непрерывно растягивая шарик H вдоль его радиусов и одновременно сжимая пространство S ⁿ\H в точку q, мы получим непрерывную деформацию всей сферы S ⁿ. Применяя эту деформацию к отображениям  f  и g, мы убедимся, что в конце этой деформации отображения  f  и g перейдут в совпадающие. Таким образом, они гомотопны между собой.

В случае если пространство A — гладкое многообразие, локализацию следующим образом можно сделать дифференциальной, т.е. перейти к дифференциалам. Прежде всего, очевидно, что всякое непрерывное отображение гладкого многообразия A на сферу S ⁿ можно аппроксимировать гладким отображением. Таким образом, достаточно рассматривать только гладкие отображения многообразия A на сферу S ⁿ. Предположим далее, что размерность многообразия A больше или равна размерности сферы S ⁿ. Тогда оказывается, что точку p на сфере S ⁿ можно выбрать таким образом, чтобы функциональный определитель отображения  f  в каждой точке xÎf ^–1(p)=M^k многообразия A, переходящей в точку p, был максимальным, т.е. равнялся n. Тогда полный прообраз точки p в пространстве A представляет собой гладкое многообразие размерности k, равной разности размерностей A и S ⁿ. В точке p на сфере S ⁿ выберем n ортогональных между собой единичных векторов u₁, ..., u_n. Обозначим через v_i(x) вектор пространства A, ортогональный к многообразию M^k в точке x и переходящий в вектор u_i.

Таким образом, в каждой точке x многообразия M^k построены n линейно независимых векторов v₁(x), ..., v_n(x). Ортонормируя систему векторов v₁(x), ..., v_n(x), мы получим ортонормированную систему векторов w₁(x), ..., w_n(x) в каждой точке х многообразия M^k. Многообразие M^k, в каждой точке которого задана ортонормальная система векторов, ортогональных к нему, я назвал оснащённым многообразием. В том случае, когда многообразие A представляет собой сферу S ^n+k, оснащённое многообразие M^k однозначно определяет гомотопический класс отображений, из которого оно возникло при помощи точки p. От сферы S ^n+k легко перейти к евклидову пространству E ^n+k. Таким образом, проблему классификации отображений сферы S ^n+k на сферу S ⁿ я свёл к проблеме изучения оснащённых многообразий M^k в евклидовом пространстве E ^n+k. Нужно было посмотреть, что делается с оснащённым многообразием M^k, когда отображение  f  гладко деформируется. Это и было мною сделано.

Таким образом, я пришёл к проблеме изучения гладких многообразий M^k, расположенных в евклидовом пространстве E ^k+l (заменяю здесь n на l) и для их изучения ввёл характеристические циклы многообразия M^k, гомологические классы. Дам здесь их определение.

В евклидовом пространстве E ^k+l проведём через некоторую точку O все k-мерные ориентированные плоскости размерности k и обозначим через H(k, l) многообразие, составленное из этих плоскостей. В каждой точке x многообразия M^k проведём касательную к нему плоскость Т_х. Обозначим через T(x) плоскость из многообразия H(k, l), параллельную плоскости T_x. Таким образом, возникает отображение T многообразия M^k в многообразие H(k, l). Это отображение я назвал тангенциальным отображением. Для многообразия H(k, l) я нашёл все циклы с точностью до гомологии. Если Z — некоторый цикл из H(k, l), то он высекает на многообразии T(M^k) некоторый цикл Y, прообраз которого Q в многообразии М^k и называется характеристическим циклом. Очень легко доказывается, что характеристические циклы не зависят от числа l при достаточно большом l и являются инвариантами гладкого многообразия M^k. Здесь имеются, конечно, в виду циклы с точностью до гомологий, т.е. классы гомологий, поэтому в дальнейшем они стали называться классами Понтрягина, а не циклами. В дальнейшем характеристические классы стали предметом изучения многих математиков и играли большую роль в топологии. Первая же важная проблема, которая связана с ними, заключается в следующем: легко доказывается, что характеристические классы являются инвариантами гладкого многообразия M^k; возникает вопрос, не являются ли они инвариантами самого топологического многообразия M^k? Эту задачу я пытался решить, но не сумел.

Много лет спустя С. П. Новиков доказал, что если рассматривать характеристические классы над полем рациональных чисел, то они являются инвариантами топологического многообразия M^k, т.е. не зависят от введённой на нём гладкости. Характеристические классы конечного порядка, напротив, не являются инвариантами топологического многообразия M^k. Это было установлено и сыграло также существенную роль для решения некоторых важных задач. В частности, это обстоятельство было использовано для доказательства того, что на топологической сфере можно ввести различные гладкости, не эквивалентные между собой.

Связь между гомотопической классификацией отображений сферы S ^n+k на сферу S ⁿ и теорией гладких многообразий была установлена мною отнюдь не в 1936 году, а гораздо позже, когда я старался упростить доказательство, которое для k=1, 2 первоначально было чудовищно сложно, а также старался решить задачу классификации отображений для k≥3. Мне кажется, что характеристические циклы были построены мною ещё до войны, но первая публикация была дана только в 1942 году ¹⁴. Существенно упростить решение задачи для k=1 и k=2 мне удалось. Решить задачу для k≥3 не удалось, несмотря на все мои усилия.

Попытки решить эту задачу продолжались несколько лет. Точно так же несколько лет я занимался гладкими многообразиями, в частности оснащёнными, а также характеристическими классами.

Эта деятельность была закончена мною в начале 50-х годов и завершилась чтением курса лекций на эту тему. Затем была опубликована монография «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» в 1955 г. в «Трудах Математического института» ²⁷.

Несмотря на то, что я не сумел решить задачу для k≥3, результаты, полученные мною по теории гладких многообразий, оказались существенными и вошли в топологию гладких многообразий. Независимо от меня задачей классификации отображений S ^n+k на S ⁿ занимался Лере, но совершенно на другом пути. Его первоначальные публикации, подводящие к решению этой проблемы, были крайне формалистичны, и совершенно не видно было, к чему они ведут. Так что я только попытался их изучить, а потом бросил.

В конечном счёте Лере на своём пути решил задачу классификации отображений сферы S ^n+k на сферу S ⁿ при произвольном k. Этим самым моя многолетняя работа в этой области была мною закрыта. Это послужило одной из причин, по которым я полностью бросил топологию и занялся прикладными проблемами. Впрочем, для этого были и более существенные причины. Об этом, однако, я расскажу позже.

Математик не скажет: «Я работал», он скажет: «Я занимался». Это значит, он занимался математикой. Может быть, читал математическую работу, может быть, старался доказать новую теорему, может быть писал собственную работу, излагая уже полученные результаты. Обо всём этом говорится: «занимался».

Иногда мне задают вопрос: в чём состоит кухня математического творчества, или иначе: в чём заключается кухня математических занятий, т.е. как получаются новые математические результаты. Полноценного ответа на этот вопрос, я думаю, дать нельзя. Один из героев А. С. Пушкина («Египетские ночи») говорит: «Всякий талант неизъясним». Подражая Пушкину, можно было бы сказать: процесс математического творчества неизъясним.

Стараясь объяснить процесс научного творчества, Пуанкаре относил значительную часть его на подсознательную деятельность мозга. Делая это, он тем самым отказывался от ответа на вопрос, так как подсознательная деятельность мозга не наблюдаема. Всё же я думаю, что кое-что о процессе математических занятий сказать можно, и постараюсь это сделать.

Главная часть математических занятий заключается в получении новых математических результатов. Математические результаты я делю на два различных типа:

1. Математический результат предвидится и формулируется заранее, почти без всяких занятий, а занятия должны дать ответ на вопрос: верен ли формулируемый результат или не верен. То есть здесь имеется лишь два возможных ответа: да или нет.
2. Математический результат нельзя предвидеть заранее без всякого научного исследования. Математик имеет дело с какой-то задачей или явлением и ответа заранее предвидеть не может. Его нужно найти. Это и будет результат. В этом случае результат представляет собой совершенно новое математическое явление, или, иначе говоря, новую картину, которую нужно найти, одновременно убеждаясь в том, что она правильна и даёт решение поставленной задачи.

Для результата 1-го типа главный интерес, как правило, заключается в его доказательстве, а не в формулировке. Для результата 2-го типа интересна формулировка, а не только доказательство. Мне лично гораздо больше нравятся результаты 2-го типа. Приведу классические образцы результатов 1-го и 2-го типов.

Результат 1-го типа: проблема Гольдбаха. Ещё в XVIII столетии петербургский академик Гольдбах сформулировал следующую теорему: каждое чётное число может быть представлено как сумма двух простых чисел. Проблема Гольдбаха заключается в том, чтобы дать ответ на вопрос, правильна ли эта теорема или неправильна.

Проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Ослабленная проблема Гольдбаха была решена И. М. Виноградовым в 1937 году. Она заключается в следующем. Легко видеть, что если теорема Гольдбаха верна, то каждое нечётное число можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Однако из этой теоремы не следует теорема Гольдбаха. Когда говорят, что Виноградов решил проблему Гольдбаха, то имеют в виду данное им доказательство теоремы о том, что всякое нечётное число можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Доказать теорему Гольдбаха очень трудно, так как в ней увязываются аддитивные и мультипликативные свойства целых чисел, кроме того, трудность видна также из того, что она до сих пор не поддаётся решению, а решена только частично и то с огромным трудом. Заслуга Виноградова заключается не столько в том, что он решил ослабленную проблему Гольдбаха, а в том, что он создал новый метод — метод тригонометрических сумм, позволивший ему решить ряд теоретико-числовых проблем. В частности, ослабленную проблему Гольдбаха.

Результат 2-го типа. Предельные циклы Пуанкаре. Если состояние технического или физического объекта определяется двумя величинами x, y, то процесс изменения этих величин во времени обычно описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений

Здесь правые части уравнений не зависят от времени t, т.е. система (1) автономна. Систему дифференциальных уравнений (1) можно интерпретировать на плоскости в виде векторного поля, ставя в соответствие каждой точке (x, y) плоскости фазовый вектор ( f (x, y), g(x, y)). Решение системы (1) можно также интерпретировать в виде линии на той же фазовой плоскости. Для этого проводят линию, описываемую решением (x(t), y(t)) на фазовой плоскости, считая t параметром. Эти линии называются фазовыми траекториями системы (1). Они не пересекаются между собой, покрывают всю плоскость и дают так называемую фазовую картину решений системы дифференциальных уравнений (1). Две эти интерпретации связаны между собой. Фазовой вектор, отнесённый к точке (x, y), касается фазовой траектории, проходящей через эту точку.

Если задано начальное значение (x₀, y₀) при заданном значении времени t₀, то, конечно, можно вычислить решение системы уравнений (1) при этом начальном значении на любом конечном отрезке времени t₀ ≤ t ≤ t₁. Возможность нахождения численного решения дают современные вычислительные машины. Но нахождение таких решений на конечном отрезке времени не решает всех проблем, которые возникают относительно системы дифференциальных уравнений (1). Так, вопрос о том, имеет ли система уравнений (1) периодические решения, т.е. замкнутые фазовые траектории, решить, вычисляя решения на конечных отрезках времени, невозможно. Точно так же невозможно решить вопрос о том, как ведут себя траектории, когда время неограниченно возрастает, а это очень важно для разных технических вопросов. На всё это обратил внимание Пуанкаре, введя в рассмотрение фазовую картину системы дифференциальных уравнений (1), положив этим начало качественной теории дифференциальных уравнений.

Пуанкаре принадлежит основное понятие, возникшее в качественной теории, — понятие предельного цикла. Периодическое решение системы (1) изображается на плоскости в виде замкнутой фазовой траектории. Если вблизи неё нет других замкнутых траекторий, то эта замкнутая фазовая траектория называется предельным циклом. Оказывается, что фазовые траектории, проходящие вблизи предельного цикла, наматываются на него как спирали и изнутри, и снаружи, при неограниченном возрастании или убывании времени t. В предположении некоторой общности положения оказывается, что траектории на предельный цикл снаружи и изнутри наматываются в обоих случаях либо при возрастании t, либо при убывании времени t. Если они наматываются при возрастании времени t, то предельный цикл является устойчивым решением. Физический прибор, описанный системой (1), может работать на этом предельном цикле, т.е. выдавать устойчивые периодические колебания. Пуанкаре обратил внимание также на значение положения равновесия системы (1), т.е. таких точек фазовой плоскости, которые обращают в нуль правые части дифференциальных уравнений (1). Эти точки являются постоянными решениями системы (1). Поведение траекторий вблизи них играет важную роль. Оно было изучено Пуанкаре, и он дал классификацию положений равновесия на основании этого поведения.

Качественная теория системы уравнений (1), построенная Пуанкаре, является характерным результатом 2-го типа. Ясно, что очень важно было решить систему уравнений (1), но получить её решение в виде формул удаётся лишь для очень немногих систем уравнений. Поэтому возникла задача найти какой-то новый подход к рассмотрению этих уравнений. Это сделал Пуанкаре, сосредоточив своё внимание на фазовой картине траекторий. Он извлёк из этой фазовой картины то важнейшее, что она даёт. Это предельные циклы, положения равновесия и общий характер поведения траекторий при неограниченно возрастающем t. Таким образом, было обнаружено новое математическое явление, предвидеть которое исходя из системы (1) невозможно.

В 30-х годах этого столетия предельные циклы Пуанкаре нашли применение в радиотехнике. А именно, А. А. Андронов показал, что ламповый генератор работает на предельном цикле. До этого работу ламповых генераторов пытались объяснить при помощи линейных дифференциальных уравнений, что было, конечно, невозможно. Качественная теория дифференциальных уравнений, основанная Пуанкаре, получила значительное развитие в работах многих математиков. В частности, Андронов ввёл в связи с фазовой картиной на плоскости понятие грубой системы, важной с физической точки зрения. Я помог ему немного в решении некоторых связанных с этим задач и стал соавтором этого понятия.

Нет сомнений, что при решении ослабленной проблемы Гольдбаха Виноградов преодолел гораздо большие трудности, чем Пуанкаре при геометрическом изучении системы дифференциальных уравнений (1). Несмотря на это, описанный результат Пуанкаре кажется мне гораздо более интересным и важным для математики, чем результат Виноградова. Конечно, это, может быть, объясняется тем, что в достижении Виноградова я не знаю того, что только и может быть в нём интересно, именно самого доказательства. А результат Пуанкаре мне ясен, я умею применять его и знаю применения.

Здесь всплывает на поверхность важнейший для занятия математикой вопрос. Именно, вопрос о выборе тематики. Вопрос о том, чем следует заниматься. Вопрос этот для математиков, быть может, более труден, чем для специалистов других областей знаний. Математика возникла как наука чисто прикладная, и в настоящее время её основной целью является изучение окружающей нас материальной действительности на пользу человечества. С другой стороны, в развитии математики есть своя логика, которая часто уводит в сторону от прикладного пути. Создаются целые теории, не имеющие отношения к приложениям, но чрезвычайно красивые в своём роде. Эти математические красоты доступны только математикам и поэтому не могут быть оправданием для создания таких теорий.

Но всё же теории, не имеющие приложения, а имеющие большую внутреннюю стройность, нельзя считать незаконнорождёнными и отвергать. Они составляют внутреннюю ткань всей математики, и их иссечение могло бы нарушить её целостность. Кроме того, известны случаи, когда первоначально лишённые всяких приложений понятия находят в дальнейшем свои приложения. Примером могут служить конические сечения. Я лично считаю, что при занятиях математикой часто следует обращаться к первоисточникам, т.е. к её приложениям. Это вносит свежую струю в развитие математики, так как из глубины разума невозможно извлечь ничего столь значительного и интересного, что можно извлечь из прикладных задач. Но всё же, руководствуясь соображениями приложений, хочется выбирать такие математические проблемы, которые сами по себе, как математические, интересны. Такое сделать нелегко, но всё же иногда удаётся.

Существует, однако, совершенно другой подход к математической проблематике. Это стремление решить знаменитые проблемы, т.е. такие, которые давно поставлены, но не поддаются решению. Прекрасными примерами таких проблем являются проблема Гольдбаха и великая теорема Ферма. Но такой подход кажется мне уж очень спортивным, а ведь наука не спорт. Её главной целью является подчинение людям окружающей материальной действительности с тем, чтобы использовать её для жизни людей. Некоторые считают, что, решая трудные проблемы, математики совершенствуют свой аппарат для того, чтобы в дальнейшем его можно было использовать по прямому назначению. Но я полагаю, что лучше уж совершенствовать свой аппарат, употребляя его сразу по прямому назначению для решения сколько-нибудь прилагаемых к жизни задач. Столь же безосновательным мне кажется утверждение, что, играя в шахматы, люди совершенствуют свои умственные способности. Я считаю, что игра в шахматы скорее изнуряет умственные способности. Лучше уж совершенствовать их на чём-то нужном.

При попытке объяснить процесс математического творчества я буду исходить из одного высказывания Пуанкаре, смысл которого состоит в следующем. Всякое, даже очень сложное математическое построение состоит из очень простых логических переходов, каждый из которых не представляет никакой трудности при понимании. Сложное переплетение всех этих простых переходов представляет собой трудную для понимания конструкцию, ведущую к результату.

Таким образом, сложное математическое построение представляет собой как бы логическое кружево из мелких стежков очень простой структуры. На одном конце этого сложного куска кружев находится предпосылка, а на другом — результат. Каждый стежок, составляющий кусок кружев, очень прост. Всё в целом сплетение представляется очень сложным. Для понимания его требуется большой опыт и одарённость математика. Процесс математического творчества заключается в сплетении этого сложного логического куска, на одном конце которого находится предпосылка, а на другом — научный результат.

Как же математик выплетает то сложное кружево, которое ведёт к желанной цели? Для этого он, по моему представлению, намечает сперва узловые точки будущего куска. Для будущего сложного сплетения следует удачно наметить его узловые точки. После того, как эти узловые точки будут намечены, заполнить оставшиеся пустоты будет легче, чем построить кружево в целом. Для простоты будем считать, что всё сложное сплетение, ведущее от предпосылки к результату, представляет собой последовательность логических шагов, которую нужно пройти.

Таким образом, узловые моменты построения состоят из промежуточных утверждений, причём каждое следующее отстоит от предыдущего на некоторое число мелких логических переходов. Если такая последовательность этапов уже намечена, то переход от каждого к следующему становится делом более простым и более видимым. Математик намечает эти промежуточные результаты, пользуясь своим опытом и ассоциативной памятью, позволяющей ему по аналогии улавливать сходство между различными математическими утверждениями и обретать веру без всякой уверенности в том, что переход от каждого этапа к следующему возможен. Если намеченные этапы выбраны удачно и ведут действительно к цели, то потом удаётся восстановить постепенно отрезки всего пути.

Такова, по моему мнению, грубая схема математического творческого мышления. Для проведения описанного построения цепочки производится огромное число неудачных проб. Талант заключается в том, чтобы быстро оценить ситуацию, т.е. усмотреть, где находится правильный, а где ложный путь. Среди множества неудачных попыток вдруг обнаруживается и удачная. Это называют иногда озарением. В действительности же это плод огромного труда и отбора из множества негодных путей правильного пути.

Пуанкаре считает, что нахождение правильного пути является плодом длительной подсознательной деятельности. Я не могу с этим согласиться, во всяком случае такое предположение не обязательно. В качестве яркого примера он приводит случай, когда внезапно был озарён догадкой о том, что группа, связанная с автоморфной функцией, есть та же самая группа, что имеет место в неевклидовой геометрии.

На мой взгляд, имело место другое. В его уме были представления об обеих группах. Первая группа, связанная с автоморфной функцией, которую он искал, и вторая лежала в голове готовая — это группа преобразований в плоскости Лобачевского. Догадка или переход заключался в том, что группы эти одинаковы.

Пуанкаре сразу уверовал в это и считал это плодом длительной подсознательной работы. В действительности же утверждение потребовало дальнейшей проверки и оказалось правильным. Оно, вероятно, было одним из многих предположений, которые он делал и которые оказывались неправильными. Его гений заключался в том, что он быстро отметал неправильные пути и быстро делал всё новые и новые попытки, прежде чем попал на правильное решение вопроса.

Мне кажется, не следует преувеличивать активную роль подсознания в человеческом мышлении. Подсознанию я отвёл бы роль склада, в котором хранятся накопленные человеком представления, т.е. роль пассивной памяти. Может ли этот склад внезапно выбросить на поверхность сознания без запроса последнего какое-то представление? Я пытался выяснить этот вопрос с помощью наблюдений. Много раз, обнаружив, что в моём сознании появился какой-то новый образ, я старался найти объяснение этому проявлению и всегда обнаруживал, что между тем предметом, о котором я сознательно думал, и вновь появившимся существует вполне сознательная цепочка промежуточных представлений, каждое следующее из которых связано с предыдущим близкой ассоциацией. Все эти ассоциации можно было припомнить, так как они находились в моём сознании, а вовсе не в подсознании. Последний, конечный пункт этой цепочки не был, таким образом, выброшен спонтанно моим складом, а появился в результате ассоциативных переходов от одного звена к другому. Мы с женой очень часто замечаем, что у нас одновременно из подсознания всплывало одно и то же представление, хотя о нём мы и не говорили. Но нам всегда удавалось установить ту цепочку вполне сознательных переходных ассоциаций, которая вела к новому объекту от того, который был предметом нашего сознательного внимания в данный момент. Таким образом, исключалась и возможность передачи на расстоянии мысли от одного из нас к другому. Цепочка ассоциаций, ведшая к новому предмету мышления, была одинаковой, поскольку мы привыкли одинаково думать.

С другой стороны, я замечал, что при активном занятии математикой первая мысль после сна, появлявшаяся в моей голове, являлась продолжением той, с которой я засыпал. Точно так же не ясно, как возникают образы сновидений. Таким образом, нельзя утверждать, что каждый предмет мышления возникает в результате внешнего воздействия.

Я думаю, однако, что внезапно возникшее, по мнению Пуанкаре, в его уме представление о совпадении групп автоморфных преобразований и групп преобразований плоскости Лобачевского в действительности появилось не внезапно, а было вызвано цепочкой ассоциаций, исходным пунктом которой было внешнее впечатление, быть может, ручка омнибуса, за которую он держался, сходя со ступенек, или те же самые ступеньки. Какова была цепочка, ведущая от них или ручки к группам, сказать невозможно, но думаю, что она была.

К роли подсознательного мышления относится и вопрос о том, что такое математическая интуиция. Под ней обычно понимают способность человека прозревать истину или правильный путь решения задачи. Я же думаю, что интуиция представляет собой в какой-то степени автоматизированный опыт мышления, накопленный в результате большой деятельности. Некоторые отдалённо связанные между собой математические представления уже настолько хорошо проассоциированы в голове человека между собой, что переход от одного к другому не требует цепочки коротеньких ассоциаций, а совершается одним скачком. Возможность такого скачка является результатом опыта математического мышления. Большой труд, приводящий в результате к созданию множества ассоциаций, — вот основа математического творчества.

Занимаясь, математик не совершает сложного пути мелких ассоциаций, а сразу делает как бы «прыжки» от одного представления к другому, которое связано у него ассоциациями, вызывая одно другое. По себе я знаю, что, обладая довольно умеренной памятью, нужной для таких вещей, как, например, запоминание стихов, изучение иностранных языков, я обладаю исключительно хорошей ассоциативной памятью, которая даёт мне возможность заниматься математикой. Я иногда использую свою ассоциативную память там, где нужна какая-то другая память, создавая искусственные ассоциации. Так, например, в детстве немецкое слово «brücke» — «мост» я ассоциировал с представлением о брюках, повешенных над рекой. И эта ассоциация действует до сих пор. Соответствующее слово «bridge» английского языка, который я знаю гораздо лучше немецкого, и теперь даётся мне гораздо хуже, чем немецкое «brücke».

В своей научной работе я пришёл от задачи гомотопической классификации отображения сферы размерности n+k на сферу размерности n к проблеме изучения оснащённых гладких многообразий размерности k, расположенных в (n+k)-мерном евклидовом пространстве. Последовательные этапы установления этой связи были описаны мною выше.

Сперва я пришёл к локализации задачи. От локальной задачи пришёл к дифференциальному её описанию, а затем уже к гладкому многообразию размерности k, расположенному в (n+k)-мерном евклидовом пространстве, и к полю ортонормальных систем векторов, заданному в каждой точке этого многообразия. В этом построении ясно видны промежуточные этапы, каждый из которых дался мне не без труда, причём при построении их я руководствовался разного рода ассоциациями и привычными уже для меня представлениями. Наметив несколько промежуточных этапов, которые здесь описаны, я доказал, что гомотопическая классификация отображения (n+k)-мерной сферы на n-мерную сферу эквивалентна некоторого рода классификации оснащённых многообразий. Следующий этап — переход от оснащённых многообразий к характеристическим циклам многообразий M^k — уже не приводит к эквивалентности математических утверждений, а лишь намечает путь, на котором можно изучать оснащённые многообразия. Это предположительный путь, который иногда даёт результаты. Оказалось, однако, и это типично для математического исследования, что характеристические циклы имеют гораздо более широкие применения, чем изучение оснащённых многообразий.