где

		π
cn =	1  2π	∫	e–int f (t) dt
		–π

известен как n-й коэффициент Фурье функции  f . Ряд Фурье от  f  тогда по определению

Он может сходиться или расходиться, поскольку мы не сделали никаких предположений относительно  f , кроме предположения о непрерывности. Мы определим последовательность Дирихле D_n как конечную сумму

			n				n
Dn =	1 2π		∑	χk     или также      Dn =	1 2π		∑	eikx .
			k=–n				k=–n

Тогда S_f ,n = D_n* f  – n-я частичная сумма ряда Фурье, а именно

	n
Sf ,n =	∑	ck eikx .
	k=–n

К сожалению, {D_n} не является последовательностью Дирака, и, как мы уже говорили, частичные суммы S_f ,n не обязательно сходятся, тем более к функции  f . Однако мы собираемся построить другую последовательность тригонометрических полиномов, которая является последовательностью Дирака и сходится к функции  f .

Мы определим K_n как усреднение последовательности Дирихле, т.е.

или в терминах переменной x

Простым вычислением с использованием тригонометрических тождеств и тождеств для конечных геометрических последовательностей находим, что

Наличие квадратов в правой части выражения показывает, что K_n ≥ 0, что является первым свойством DIR 1 для последовательности Дирака.

Чтобы проверить свойство DIR 2, мы сначала почленно проинтегрируем D_n(x). Получим

π		π			ì  2π,   если k = 0, í î  0,   если k ≠ 0.
∫	χk (x) dx =	∫	eikx dx =
–π		–π

Затем сразу получаем

π
∫	Dn (x) dx = 1
–π

после интегрирования каждого из членов и вычисления суммы. Это доказывает, что последовательность {D_n} удовлетворяет свойству DIR 2. Но вычисляя затем сумму, определяющую K_n из D₀ , ... , D_n–1, мы приходим к заключению, что

π
∫	Kn (x) dx = 1
–π

т.е. K_n удовлетворяет свойству DIR 2.

И, наконец, нам нужно проверить свойство DIR 3. При 0<δ≤|x|≤π значения

ограничены, поскольку x/2 отделено от 0. Пусть B – граничное значение, т.е.

При заданном ε существует n₀ такое, что при n ≥ n₀ получим

Это доказывает свойство DIR 3, и таким образом мы показали, что

Последовательность {K_n} – последовательность Дирака (для периодических функций).

Применяя общую теорему об аппроксимации, мы получим один из основных результатов из теории рядов Фурье.

Теорема Фейера–Чезаро (Fejer–Cesaro). Пусть  f  – кусочно-непрерывная периодическая функция. Пусть {K_n} – среднее значение частичных сумм ряда Фурье функции  f . Тогда {K_n} сходится равномерно к  f (x) при всех x из компактного множества, на котором  f  – непрерывна, т.е.

равномерно, как сказано выше.

Суммирование средних значений частичных сумм рядов Фурье известно как суммирование Чезаро.

В наших следующих примерах мы воспользуемся разновидностью понятия последовательности, а именно, мы введём понятие семейства вместо последовательности. Таким образом, мы определим семейство Дирака {K_r}, где 0≤r<1, и пусть r стремится к 1 вместо n, стремящегося к бесконечности. Мы будем называть {K_r} семейством Дирака, если оно удовлетворяет трём условиям:

DIR 1. Для всех r, 0≤r<1 выполнено K_r(t) ≥ 0.

DIR 2. Для этих значений r выполнено

π
∫	Kr (t) dt = 1.
–π

DIR 3. При заданных ε, δ существует r₀, 0<r₀<1 такое, что для всех r, r₀<r<1 выполнено

В точности тем же способом, которым мы доказали первую теорему об аппроксимации для последовательностей, можно доказать соответствующую версию для семейств.

Теорема об аппроксимации для семейств Дирака. Пусть {K_r} – семейство Дирака, как определено выше. Пусть  f  – кусочно-непрерывная функция. Тогда K_r* f  сходится к  f  при r→1 равномерно на любом компактном множестве, на котором  f  непрерывна.

Разумеется, нам нужны практические примеры семейств Дирака. Используя полярные координаты (r, θ), определим

		+∞
Pr (θ) = P(r, θ) =	1  2π	∑	r|n| einθ     для     0 ≤ r < 1.
		–∞

Нам нужно доказать, что {P_r}, называемое семейством Пуассона, является семейством Дирака. Во-первых, заметим, что ряд, определяющий P_r (θ) – абсолютно сходящийся в выбранной нами области 0≤r<1 равномерно на интервале 0≤r≤r₀, если r₀<1, поскольку ряд можно сравнить с геометрической последовательностью. Простые тригонометрические тождества показывают, что P(r, θ) выражается как

Из этого тождества мы можем проверить выполнение свойства DIR 1, поскольку и числитель, и знаменатель в вышеприведённом выражении больше либо равны 0. Действительно, знаменатель принимает наименьшее значение при cosθ = 1, в этом случае знаменатель равен (1 – r)².

Теперь покажем, что свойство DIR 2 тоже выполнено. Продифференцируем почленно ряд для P(r, θ) и воспользуемся теми же значениями, которые мы получили при изучении рядов Фурье, а именно

Из этого следует, что только интеграл слагаемого с индексом n=0 дает ненулевую добавку к интегралу ряда, и мы получим, что

Это доказывает свойство DIR 2.

И, наконец, покажем, что {P_r} удовлетворяет свойству DIR 3. При |θ|≥δ>0 выполнено неравенство

Исследуя производную выражения 1 – 2rcosδ + r², мы получим, что минимум знаменателя в правой части достигается при r = cosδ. Минимальное значение знаменателя равно 1 – cos² δ. Следовательно, дробь

как функция от r равномерно ограничена. Следовательно,

равномерно при |θ|≥δ>0. Следовательно, существует r₀ такое, что при r₀≤r<1 выполнено неравенство

Это доказывает, что семейство {P_r} удовлетворяет свойству DIR 3 и, следовательно, является семейством Дирака.

Как следствие из общей теоремы об аппроксимации мы получаем:

Теорема Пуассона об аппроксимации. Пусть  f  – периодическая кусочно-непрерывная функция. Тогда

сходится к  f  при r→1 равномерно на любом компактном множестве, где  f  непрерывна.

Далее отметим, что в примере Пуассона используется дополнительная структура, а именно дифференциальное уравнение в частных производных. Начнём с нескольких общих замечаний о дифференцировании интеграла свертки

где g – бесконечно дифференцируемая функция. Мы можем заниматься дифференцированием в каждом из случаев, на вещественной прямой R или на интервале [–π, π], если имеем дело с периодическими функциями. На вещественной прямой мы должны предполагать, что рассматриваемые интегралы абсолютно сходятся. Пусть D обозначает производную, которая при вышеописанном выборе переменных равна D = d/dx. Тогда при подходящих условиях абсолютной сходимости мы можем дифференцировать под знаком интеграла и получим формулу

или в терминах переменной x

Повторное дифференцирование даёт для каждого целого числа m

при подходящих условиях абсолютной сходимости.

Применим всё это к функции P(r,θ). Обозначим через Δ оператор Лапласа, который в прямоугольных координатах равен

В действительности нам нужно выражение для оператора Лапласа в полярных координатах. Кто знает это выражение?

[Нет ответов.]

Я всегда задаю этот вопрос на моих лекциях, и никто не знает ответа. Нет никаких отличий, происходит ли это здесь или где-нибудь ещё. В действительности я тоже не знал ответа, пока мне не пришлось преподавать математический анализ. В любом случае ответ следующий

Его вывод является простым упражнением на использование выражений  x = rcosθ,  y = rsinθ  и цепного правила. Теперь вы можете продифференцировать ряд для P(r,θ) почленно по ∂/∂r или ∂/∂θ и в итоге получить

То, что почленное дифференцирование является законным, следует из факта, что ряд и его частные производные равномерно сходятся при r в пределах 0 ≤ r ≤ r₀ < 1 для всех θ.

Бесконечно дифференцируемая функция  f , удовлетворяющая уравнению Δ f = 0, называется гармонической. Выражение для свертки P_r*f на интервале [–π, π] мы можем дифференцировать под знаком интеграла и поэтому

Следовательно, P*f – гармоническая функция.

Вышеприведённые вычисления находят приложение во всей математике и других областях. Физики особенно заинтересованы в гармонических функциях и в том, что называется решением краевой задачи на окружности. Предположим, что на окружности радиуса 1 с центром в начале координат задана непрерывная функция. Тогда её можно рассматривать как функцию  f(θ) переменной θ, рассматриваемой как обычный угол. Физики хотят найти гармоническую функцию F на всем круге D, такую, что функция F(r,θ) с 0≤r<1 продолжается до непрерывной функции на замкнутом круге и имеет заданное значение f(θ) на границе, так, чтобы

при каждом θ. Теперь мы можем решить эту задачу. Обозначим

По свойству DIR 3 мы знаем, что

Поэтому F имеет непрерывное граничное значение f(θ) для каждого θ. Более того, мы видели, что ΔF = 0 внутри круга, поэтому F – гармоническая, как требовалось.

Верхняя полуплоскость состоит из всех точек (x,y)ÎR² с произвольным x и y>0. Мы представим семейство Дирака, расположенное в верхней полуплоскости, граница которой состоит из прямой линии y=0. Поэтому мы определим семейство Дирака {K_y} на R с y>0 как и раньше, за исключением того, что y→0 вместо r→1. Приведём пример.

Обозначим

Ky(x) =

1  π

y  x2 + y2

при   y→0.

Все функции K_y > 0 и простая замена переменных показывает, что свойство DIR 2 выполняется. Также простая оценка показывает, что выполняется и свойство DIR 3. Оставим проверку вам на самостоятельную работу.

Общая теорема об аппроксимации для семейств Дирака говорит нам, что для каждой непрерывной ограниченной функции  f  на R свёртка

сходится к  f (x)  равномерно по x в компактном множестве.

Мы получим ту же дополнительную структуру, как для семейства Пуассона. Здесь мы используем оператор Лапласа в прямоугольных координатах

Простое дифференцирование показывает, что функция (x, y) → K_y(x) удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е.

Другими словами, K – гармоническая функция в верхней полуплоскости. Дифференцируя под знаком интеграла, также, как в предыдущем примере, мы приходим к заключению, что свёртка K*f – гармоническая при любой ограниченной непрерывной функции  f . Поэтому мы доказали следующий результат:

Теорема. Пусть  f  – ограниченная непрерывная функция на вещественной оси. Определим

Тогда F – гармоническая в верхней полуплоскости, т.е. ΔF = 0 в верхней полуплоскости и

В теореме говорится, что заданная функция  f  является граничным значением гармонической функции F в верхней полуплоскости, таким образом, мы явно построили гармоническую функцию с заданным граничным значением.

Приятно получить независимую конструкцию в данном случае, но если вы изучали комплексный анализ, вам должно быть известно, что круг и верхняя полуплоскость аналитически изоморфны. Действительно, отображение

задаёт аналитический изоморфизм верхней полуплоскости с кругом. Тогда семейство Пуассона в предыдущем примере соответствует семейству K(x, y) при этом изоморфизме. Проверка этого утверждения будет хорошим упражнением для курса комплексного анализа.

Мы собираемся привести один из наиболее важных примеров семейств Дирака, может быть, самый важный пример. В этом параграфе будем использовать переменные t, x, при t>0, t→0. Таким образом, семейство Дирака – это семейство непрерывных функций {K_t} на R, индексированное вещественными положительными числами t и удовлетворяющее следующим свойствам:

DIR 1. K_t ≥ 0 при всех t > 0.

DIR 2.	∫	Kt(x) dx = 1     при всех t > 0.
	R

DIR 3. При заданных ε и δ существует t₀ > 0 такое, что

Мы также будем использовать обозначение K_t(x) = K(t, x). Общая теорема об аппроксимации применительно к семейству Дирака {K_t} утверждает, что:

Пусть  f  – ограниченная функция на R, кусочно-непрерывная на каждом конечном интервале. Тогда (K_t*f )(x) сходится равномерно к  f (x) при t→0 на каждом компактном подмножестве, на котором  f  непрерывна, или на любом подмножестве, на котором  f  равномерно непрерывна.

Теорема. Пусть при t>0

Тогда {K_t} – семейство Дирака.

Проверка аксиом не составляет труда. Для свойства DIR 1 очевидно, что K(t, x) > 0 при всех t, x. Для свойства DIR 2 нам нужно доказать, что

∞		∞
∫	K(t, x) dx =	∫	1  √4πt	e–x²/4t dx = 1.
–∞		–∞

Сделаем замену переменных y² = x²/(4t), поэтому y = x/(2√ t ), dy = dx/(2√ t ). Затем нам нужно использовать стандартный результат из интегрального исчисления, а именно

∞
∫	e–y² dy = √π,
–∞

и мы получаем свойство DIR 2. [Лорд Кельвин (тот самый, который «в градусах по Кельвину») говорил, что математик – это тот, для кого предыдущее равенство очевидно. :-) — E.G.A.]

Свойство DIR 3 также несложно доказать, требуется лишь провести некоторые оценки. Заданы ε, δ, нам нужно доказать, что при t, достаточно близком к нулю:

	∞
1  2√ t	∫	e–x²/4t dx < ε.
	δ

Делаем замену переменных x = 2y√ t , как и выше. Тогда интеграл примет вид

∞
∫	e–y² dy.
δ/(2√ t )

При t→0 нижний предел интегрирования δ/(2√ t ) стремится к бесконечности и, поскольку,

∞
∫	e–y² dy
–∞

конечен, то

	∞
lim	∫	e–y² dy = 0.
A→∞	A

что и доказывает свойство DIR 3.

Функция (t, x) → K(t, x) называется тепловым источником на R. Терминология пришла из физики, и можно предположить, что она имеет какое-то отношение к теплопроводности (что возможно), но с нашей точки зрения K(t, x) – просто важный пример семейств Дирака, который возникает повсюду, имеет ли это отношение к теплопроводности или нет.

Также существует структура для дифференциального уравнения. Определим дифференциальный оператор H на R⁺×R:

Мы будем называть H оператором теплопроводности.

Теорема. Тепловой источник удовлетворяет уравнению теплопроводности, т.е.

или в терминах переменных

Чтобы увидеть это, оставайтесь хладнокровными, спокойными и собранными. Продифференцируйте K дважды по x и один раз по t. Вы получите одинаковые выражения, если не допустите ошибок, что я часто делаю. Вычитание даёт в итоге 0. [Хочу привести небольшую цитату из книги В. И. Арнольда «Истории давние и недавние» (М., ФАЗИС, 2002): «Провалился под лёд я без лыж в первые дни мая, переходя по льду входящее теперь в черту Москвы стометровое озеро «Миру — мир». Началось с того, что лёд подо мной стал слегка прогибаться, и под кедами показалась вода. Вскоре я понял, что форма льда — гауссовская колоколообразная (перевёрнутая) кривая. Ещё через минуту стало ясно, что я наблюдаю фундаментальное решение уравнения теплопроводности (в обратном времени). И, действительно, слегка не дойдя до дельта-функции, лёд провалился, и я оказался в проруби диаметром в полметра, метрах в тридцати от берега». — E.G.A.]

Дифференцируя под знаком интеграла получаем:

Следствие. Пусть  f  – ограниченная непрерывная функция на R. Пусть

Тогда HF = 0, т.е. F удовлетворяет уравнению теплопроводности.

Это лишь частный случай общей возможности дифференцирования свёртки под знаком интеграла, т.е.

при условии абсолютной сходимости, которое здесь выполнено.

Таким образом, мы видим, что нам удалось решить краевую задачу в верхней полуплоскости с данным краевым значением  f  для оператора теплопроводности, а не для оператора Лапласа, с которым мы встречались раньше. Утверждается, что K является фундаментальным решением уравнения теплопроводности, поскольку свёртка с K позволяет получить решение уравнения теплопроводности с заданными краевыми условиями.

Работать на Rⁿ не сложнее, чем на R, только приходится использовать n-мерную версию:

где х = (x₁, ... , x_n ) – это n-ка из вещественных чисел, и

обычное скалярное произведение х с самим собой. Проверка того, что выполняются условия DIR 1, DIR 2 и DIR 3, является чисто технической операцией, в точности, как в одномерном случае. Не запутайтесь, вычисляя частные производные.

Оператор теплопроводности на Rⁿ тогда будет

где

оператор Лапласа. Они применяются к функции

Также, как мы рассматривали периодические функции при обсуждении рядов Фурье, рассмотрим периодические функции в связи с тепловым источником. Таким образом, мы хотим найти семейство Дирака для периодических функций, удовлетворяющих уравнению теплопроводности. Оператор теплопроводности тот же самый, что и на R. Нам нужно семейство {K_t} функций K(t, x) = K_t(x), обладающих периодичностью K(t, x + 2π) = K(t, x) и удовлетворяющих следующим трём условиям:

DIR 1. K_t ≥ 0 при всех t > 0.

	2π
DIR 2.	∫	Kt(x) dx = 1     при всех t > 0.
	0

DIR 3. При заданных ε и δ между 0 и 1, существует t₀, 0 < t₀ < 1, такое, что при 0 < t < t₀ выполнено неравенство

–δ		π
∫	Kt(x) dx +	∫	Kt(x) dx < ε.
–π		δ

Дополнительно, если мы обозначим

тогда мы также хотим, чтобы K удовлетворяло уравнению в частных производных:

Чтобы отличать такие периодические функции K от непериодических функций для тепловых источников на R, мы будем записывать К^R для тепловых источников на R, т.е.

Естественный подход к построению периодического решения в нашей задаче – это периодизация непериодического решения на R. Поэтому мы определим

+∞  KS(t, x) =  ∑  KR(t, x + 2πn) =  ∑  KR(t, x + 2πn). –∞ nÎZ

(1)

Верхний индекс S обозначает окружность. Стандартное обозначение целых чисел Z и сумма берется по всем целым числам nÎZ.

При каждом значении t>0, члены ряда (1) экспоненциально убывают, поэтому ряд сходится очень быстро. Оставим вам выписать все детали.

Тогда следует, что K^S(t, x) – периодическая, т.е.

при всех t>0 и xÎR.

Теорема. Функция K^S определяет семейство Дирака периодических функций и удовлетворяет уравнению теплопроводности HK^S = 0.

Доказательство.

Условие положительности DIR 1, очевидно, выполняется даже в обычной строгой форме K^S(t, x) > 0 при всех t, x (строгая положительность).

Для проверки свойства DIR 2 сводим интеграл над [0, 2π] к интегралу над R и получаем

2π		2π
∫	KS(t, x) dx =	∫	1  √4πt	∑	e–(x+2πn)²/4t dx =
0		0		nÎZ

			2π				2π(n+1)
=	1  √4πt	∑	∫	e–(x+2πn)²/4t dx =	1  √4πt	∑	∫	e–y²/4t dy =
		nÎZ	0			nÎZ	2πn

		+∞		+∞
=	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy =	∫	KR(t, y) dy = 1.
		–∞		–∞

Таким образом, мы свели свойство DIR 2 на окружности к свойству DIR 2 для теплового источника K^R на прямой, интеграл от которого, как мы уже видели, равен 1.

Осталось доказать свойство DIR 3. Опять сведём это свойство к соответствующему свойству K^R на прямой и покажем, что интеграл от K^S на интервале [δ, π] стремится к 0, когда t → 0. Чтобы сделать это, снова меняем местами сумму и интеграл, а именно

	π					π+2πn
1  √4πt	∫	∑	e–(x+2πn)²/4t dx =	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy =
	δ	nÎZ		nÎZ		δ+2πn

	∞		π+2πn		–1		π+2πn
=	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy +	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy =
	n=0		δ+2πn		n=–∞		δ+2πn

	∞		π+2πn		∞		π–2πn
=	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy +	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy =
	n=0		δ+2πn		n=1		δ–2πn

	∞		π+2πn		∞		2πn–δ
=	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy +	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy =
	n=0		δ+2πn		n=1		2πn–π

	∞		π+2πn		∞		2π(n+1)–δ
=	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy +	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy =
	n=0		δ+2πn		n=0		2πn+π

	∞		2π(n+1)–δ		∞
=	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t dy ≤	∫	KR(t, y) dy.
	n=0		δ+2πn		δ

По свойству DIR 3 для теплового источника на R, мы знаем, что существует t₀, 0 < t₀ < 1, такое, что это последнее выражение при 0 < t < t₀ оказывается меньше ε. Аналогичный аргумент доказывает неравенство для интервала [–π, δ]. Таким образом, мы доказали свойство DIR 3 для К^S.

И, наконец, рассмотрим дифференциальное уравнение. Сходимость периодического ряда

∞
∑	e–(x+2πn)²/4t
–∞

является достаточно быстрой для его почленного дифференцирования и по t, и дважды по x. Но если c – произвольная константа и  f  удовлетворяет уравнению теплопроводности, т.е.

то функция g, определяемая как

также удовлетворяет уравнению теплопроводности. Следовательно, каждое слагаемое

удовлетворяет уравнению теплопроводности H f_n = 0. Следовательно, HK^S = 0, как и требовалось показать.

Установим теперь соотношение между свёрткой на окружности (т.е. для периодических функций) и свёрткой на вещественной прямой. На окружности свёртка задаётся формулой

	2π
( f *g) (x) =	∫	f (y) g(x – y) dy,
	0

для периодических функций  f , g с периодом 2π. Пусть  f  – периодическая. Тогда

	2π		2π
(KtS *f ) (x) =	∫	KtS (y) f (x – y) dy =	∫	∑	1  √4πt	e–(y+2πn)²/4t f (x – y) dy =
	0		0	nÎZ

			2π				2π(n+1)
=	1  √4πt	∑	∫	e–(y+2πn)²/4t f (x – y) dy =	1  √4πt	∑	∫	e–y²/4t f (x – y) dy =
		nÎZ	0			nÎZ	2πn

	Было использовано   свойство периодичности   функции  f			+∞
=		=	1  √4πt	∫	e–y²/4t f (x – y) dy.
				–∞

Таким образом, мы получили соотношение между свёрткой на окружности и свёрткой на R, и можем подытожить вычисления в следующей теореме.

Теорема. Пусть  f  – непрерывная периодическая функция периода 2π. Тогда

где в левой части берётся свёртка на интервале [0, 2π], а в правой – на (–∞, ∞).

Заметьте, что формула

также может быть получена из этой последней теоремы.

Так как K_t^S – периодическая, у неё есть ряд Фурье, который может быть легко вычислен. В действительности, K_t^S бесконечно дифференцируема, как можно проверить, дифференцируя ряд почленно и показывая, что продифференцированный ряд сходится абсолютно и равномерно на каждом ограниченном интервале |x|≤A. По общим теоремам о рядах Фурье, ряд Фурье для K_t^S сходится к функции K_t^S. Следующая теорема показывает нам вид этого ряда Фурье.

Теорема. Ряд Фурье для K_t^S задаётся выражением

Доказательство. m-й коэффициент Фурье определяется интегралом для mÎZ

2π				2π
∫	KtS(x) e–imx dx =	∑	1  √4πt	∫	e–(x+2πn)²/4t e–imx dx =
0		nÎZ		0

			2π(n+1)
=	∑	1  √4πt	∫	e–y²/4t e–imy dy,
	nÎZ		2πn

где мы сделали подстановку y = x + 2πn и воспользовались равенством e^im2πn = 1. Тогда последнее выражение принимает вид

	+∞
1  √4πt	∫	e–y²/4t e–imy dy
	–∞

и, делая ещё одну подстановку y = √2t u, dy = √2t du и используя стандартный результат из математического анализа, а именно

	+∞
1  √2π	∫	e–u²/2 e–iuv du = e–v²/2,
	–∞

мы получаем

2π
∫	KtS(x) e–imx dx = e–m²t,
0

что и доказывает теорему. █

Эта теорема была получена Пуассоном и называется формулой инверсии Пуассона. Очень важный частный случай возникает при выборе x=0, тогда e^inx становится единицей. В этом случае мы получим то, что известно как формула суммирования Пуассона.

Следствие.

1  √4πt	∑	e–(2πn)²/4t =	1  2π	∑	e–n²t.
	nÎZ			nÎZ

Существует много приложений этой формулы в анализе и теории чисел. Мы собираемся привести ниже одно из них, показав, как Риман доказал функциональное уравнение для ζ-функции. В анализе формула инверсии Пуассона возникает в спектральной теории. Для очень общего обсуждения формул инверсии см. [2].

Ряд Фурье теплового источника имеет форму, которая интересна сама по себе и называется θ-рядом. Мы приведём характерные свойства таких θ-рядов в отдельном параграфе.

Начнём с ряда Фурье теплового источника на окружности. Не зная ничего, мы можем определить θ-функцию θ_t (x) (при xÎR и t>0) с помощью ряда

Разумеется, периодический тепловой источник K_t^S равен θ-ряду, но нам не нужно знать это для того, что будет получено далее. Мы просто начнём с вышеприведённого определения, поэтому аргументы, доказывающие следующую теорему самодостаточны.

Теорема. Для положительных вещественных чисел t, s выполнено соотношение

Доказательство.

Выше мы записали ряд для θ_t, а теперь запишем ряд с s вместо t,

Из-за быстрого убывания e^–n²t и e^–m²s свёртка задаётся выражением

	2π				2π
(θt * θs )(x) =	∫	θt (x – y) θs (y) dy =	1   4π2	∑	∫	e–n²t e–m²s ein(x–y) eimy dy =
	0			m, n	0

				2π
=	1   4π2	∑	einx e–(n²t+m²s)	∫	ei(m–n)y dy.
		m, n		0

Обычные аргументы показывают, что последний интеграл равен 0, если m≠n, и равен 2π, если m=n. Следовательно, только члены с m=n остаются в сумме, и мы получаем

что и доказывает теорему. █

Замечание. Разумеется, поскольку θ-функция равна тепловому источнику, та же самая формула применима и к тепловому источнику. Другими словами,

Оператор свёртки является ассоциативным, т.е. для трёх функций  h, g, f  мы имеем

Вы можете проверить ассоциативность заменой порядка интегрирования. Для каждого t функция K_t^S может рассматриваться как интегральный оператор

Тогда вышеприведённая формула K^S_t *K^S_t' = K^S_t+t' говорит о том, что оператор K^S_t+t' задаётся свёрткой, составленной из K^S_t и K^S_t' . Это означает, что множество тепловых источников {K_t^S} является полугруппой операторов, поскольку оно замкнуто по композиции.

Таким образом, мы получили все основные свойства теплового источника на вещественной прямой. Если вы будете изучать математику, то в дальнейшем вы осознаете, что эти свойства являются типичными в очень общих ситуациях. То, что мы делали, это не случайно, это прототип для больших и лучших теорий.

Теперь мы оставим изучение теплового источника и переключимся на, казалось бы, совершенно другие аспекты θ-функций.

Одно из приложений формулы суммирования Пуассона – это риманово доказательство функционального уравнения для ζ-функции, которое мы сейчас приведём. Сначала мы определим функцию

которая с точностью до замены переменных и постоянного множителя является θ-функцией. Более точно

Тогда формула суммирования Пуассона может быть записана в виде

Теперь определим ζ-функцию следующим рядом

	∞
ζ(s) =	∑	1   ns	.
	n=1

Этот ряд сходится абсолютно при всех вещественных s>1, как известно из курса математического анализа и с помощью интегрального признака Коши. Вы также можете рассматривать комплексные значения s с Re(s)>1, если знаете о комплексных числах. Кроме того, ряд сходится равномерно при

Но мы можем рассматривать только вещественные s, если вам этого хочется. Задача заключается в том, чтобы получить выражение для ζ(s), которое бы сходилось при всех значениях s с единственно возможными исключениями s=0 и s=1. Это то, что сделал Риман, и мы будем следовать рассуждениям Римана. В доказательстве используется так называемое преобразование Меллина Mg подходящей функции g, определяемое как

	∞
(Mg)(s) =	∫	g(t) ts–1 dt.
	0

Также при s>1 введём функцию

где гамма-функция определяется обычным интегралом

	∞
Γ(s) =	∫	e–t ts–1 dt.
	0

Теорема Римана. Функция F является аналитической при всех s≠0, s≠1 и удовлетворяет уравнению

Доказательство.

Определим функцию

∞  g(t) =  ∑  e–n²πt =   ψ(t) – 1  2  . n=1

(2)

или также

Тогда

	∞
(Mg)(s/2) =	∫	g(t) ts/2 – 1 dt.
	0

Лемма. При s>1 имеет место равенство

Доказательство.

Подставляя ряд для g(t) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

	∞	∞
(Mg)(s/2) =	∑	∫	e–n²πt ts/2 – 1 dt.
	n=1	0

Сделаем замену переменных u = n²π t, du = n²π dt. Тогда

	∞		∞		∞
(Mg)(s/2) =	∑	1   ns πs/2	∫	e–u us/2 – 1 du =	∑	π–s/2	1   ns	Γ(s/2) = F(s),
	n=1		0		n=1

что доказывает лемму. █

Затем разложим интеграл Меллина (Mg)(s/2) на два интеграла и сделаем замену переменной t → 1/t во втором слагаемом:

	∞		1		∞		∞
(Mg)(s/2) =	∫	g(t) ts/2 – 1 dt +	∫	g(t) ts/2 – 1 dt =	∫	g(t) ts/2 – 1 dt +	∫	g(1/t) t–s/2 – 1 dt,
	1		0		1		1

Используя (2), получим

Подставляя это значение в интеграл, содержащий g(1/t), и принимая во внимание, что F(s) = (Mg)(s/2), получим

					∞
F(s) =	1  s – 1	–	1  s	+	∫	g(t)	ts/2 + t(1 – s)/2   t	dt.
					1

Первые два слагаемых получаются прямым интегрированием и применением математического анализа. Теперь заметим, что интегральное слагаемое сходится для всех значений s, а первые два слагаемых имеют особенности при s=1 и s=0, но в других случаях являются прекрасными простыми функциями. Более того, при замене s на 1–s и обратно, выражение

остаётся неизменным и также остаётся неизменным выражение под знаком интеграла. Это завершает доказательство функционального уравнения. █

Постскриптум. Кстати, если вы сейчас вернётесь к подсчётам простых чисел и гипотезе Римана [Это всё обсуждалось в первой лекции Ленга, посвящённой простым числам. Книжку ещё не купили? :) — E.G.A.], вы увидите ту же ζ-функцию, которая использовалась в этом параграфе. Продолжив анализ немного дальше, Риман получил явную формулу для π(x) в терминах нулей этой ζ-функции. Эквивалентность между гипотезой Римана, как мы её сформулировали в терминах подсчётов, и тем, как её сформулировал Риман, является прямым следствием явной формулы. Но вывод явной формулы находится вне уровня этих бесед.

Просто для того, чтобы показать, как разделы математики, которые на первый взгляд кажутся различными, на самом деле связаны, я собираюсь сейчас описать, каким образом θ-функции возникают в разложении определённых типов комплексных аналитических функций, называемых эллиптическими функциями. Это разложение аналогично разложению полинома на линейные множители над комплексными числами. На более глубоком уровне это аналогично разложению положительного целого числа на простые числа. Но проявление этих аналогий требует всё больше и больше пространства и времени, и нам придётся где-то остановиться, поэтому мы остановимся после этого обсуждения.

Каждый знает периодические функции синус и косинус, которые связаны с геометрией окружности. Вне этой геометрии, как вы знаете из курса дифференциальных уравнений, они удовлетворяют дифференциальному уравнению

которое является лишь другим способом записи выражений

Более того, sin x и cos x – периодические функции с одним основным периодом 2π. В XVIII и XIX веках математики натолкнулись на похожий феномен, но несколько более сложный, а именно, они рассматривали функции  f , которые удовлетворяют дифференциальному уравнению

Здесь A и B – константы. В дифференциальном уравнении для синуса и косинуса полином в правой части имеет степень 2. В похожей, но более сложной ситуации (2) полином имеет степень 3. Полиномиальное дифференциальное уравнение (2) в действительности является довольно общим, поскольку заменой переменных полином степени 3 всегда может быть преобразован в другой, в котором нет квадратичного члена, т.е. к виду

где коэффициент при T ² равен нулю. Поэтому уравнение (2) является прямым обобщением (1) на полиномы третьей степени в правой части. К этому дифференциальному уравнению пришли в теории комплексных двоякопериодических функций, т.е. функций f (z) комплексной переменной, которые имеют два периода ω₁, ω₂, линейно независимых на R. Например, ω₁ = 1 и ω₂ = i будут такой парой периодов. Мы хотим изучить аналитические функции  f , такие, что

для всех комплексных z. На самом деле, такие функции должны иметь полюса, если они не являются константами, поэтому мы в действительности работаем с тем, что называют мероморфными функциями, которые обладают двумя независимыми периодами. Такие функции называются эллиптическими. Примечательно, что изучение эллиптических функций приводит к θ-функциям, как мы опишем ниже. Эти θ-функции для определённых значений переменных удовлетворяют уравнению теплопроводности и, как мы видели раньше, являются фундаментальными решениями уравнения теплопроводности на окружности.

Для приложений к комплексной ситуации определим сначала θ-функцию Римана

В этом определении τ, z – комплексные числа. Мы запишем τ=u+it, где u, t – вещественные числа, поэтому t = Im(τ) – мнимая часть τ. Мы предполагаем t>0, чтобы ряд сходился. При использовании этого предположения видно, что

Т.к. e^πin²u по абсолютному значению равно 1, то абсолютное значение e^πin²τ просто равно e^–πn²t. Следовательно, ряд для θ₁(τ, z) абсолютно сходится, и равномерно при |t|≥δ>0. Для вещественного z=x и чисто мнимого τ=it мы в сущности получим θ-ряд, который рассматривался раньше в связи с тепловым источником на окружности.

θ-функция Римана θ₁ обладает простым почти периодическим соотношением, которое мы приведём явно перед тем, как укажем её приложение к эллиптическим функциям. Прежде всего заметим, что 1 является истинным периодом, т.е.

PER 1. θ₁(τ, z + 1) = θ₁(τ, z).

Это получается немедленно, поскольку

и

поскольку e^2πin = 1 при всех nÎZ. Далее, τ не вполне период, но всё же имеем

PER 2. θ₁(τ, z + τ) = e^{–πi(τ+2z)} θ₁(τ, z).

Следующие вычисления доказывают это:

Эти два соотношения PER 1 и PER 2 позволяют нам построить двоякопериодические функции. Всё, что нам нужно сделать – это придумать что-то, чтобы избавиться от лишнего множителя, возникающего в соотношении PER 2. Пусть a₁, ... , a_n и b₁, ... , b_n – комплексные числа, обладающие свойством

Пусть

Тогда из соотношения PER 1 видно, что  f (z+1) = f (z), и из-за нашего предположения на числа a₁, ... , a_n, b₁, ... , b_n из соотношения PER 2 получаем, что  f (z+τ) = f (z). Таким образом, мы построили множество двоякопериодических функций с периодами 1, τ.

Можно показать, что все двоякопериодические мероморфные функции могут быть построены вышеописанным способом с использованием θ-функций несколько более общих, чем те, которые мы описали выше, но с использованием в точности такой же процедуры. Для этого смотрите книги по эллиптическим функциям, например [4].

Чтобы узнать о других применениях θ-функций, смотрите обзор Гесцеси и Вейкарда [1], который вышел во время работы над этой книгой.