Давайте начнём с теоремы о полиномах. Вы, вероятно, считаете, что вам известно всё о полиномах. Большинство математиков думали так же, включая меня. Ко всеобщему удивлению Р. Мейсон в 1983 году обнаружил новый очень интересный факт о полиномах [5]. Что ещё более примечательно, этот факт в действительности уже был обнаружен другим математиком В. Стотерсом [7], но математики не обратили внимание на это, и я узнал о статье Стотерса лишь намного позже от У. Занира [9], который также переоткрыл некоторые из результатов Стотерса. Так что история математики не всегда течёт гладко.

В любом случае, хотя история математики весьма поучительна, давайте отложим историю для того, чтобы сформулировать и доказать теорему Мейсона–Стотерса. Затем мы обсудим, как другие математики преобразовали эту теорему в гипотезу об обычных целых числах. Мы рассматриваем полиномы с комплексными коэффициентами. Множество всех таких полиномов от переменной t будем обозначать C[t]. Запишем ненулевой элемент C[t] в виде

	r		mi
f (t) = c1	∏	(t – αi )		,
	i=1

где α₁, α₂, ... , α_n – различные корни полинома f  и c₁ – константа, c₁ ≠ 0. Целые числа m_i (i = 1, ... , r) – кратности корней и степень полинома f  равна

Количество различных корней f  будет обозначаться n₀( f ), поэтому по определению n₀( f ) = r.

Очевидно, что степень f  может быть очень большой, a n₀( f ) может быть маленькой. Например, f (t) = (t – α)¹⁰⁰⁰ – степени 1000, a n₀( f ) = 1. Если f , g – два ненулевых полинома, тогда в общем случае

Если дополнительно потребовать, что f , g – взаимно просты, тогда мы действительно получим равенство

Сформулируем теорему Мейсона–Стотерса:

Теорема. Пусть f , g, h Î C[t] не равные константе взаимно простые полиномы, удовлетворяющие равенству f + g = h. Тогда

Теорема демонстрирует в точности, каким образом отношение f + g = h накладывает ограничение на степени полиномов f , g, h, а именно, они не превосходят количества различных корней полинома f gh, даже с добавлением –1.

Перед тем, как мы приведём доказательство Мейсона, мы упомянем некоторые приложения, которые покажут, насколько сильна эта теорема. Вы все знаете последнюю теорему Ферма, которая была доказана Уайлзом [8] в 1995 году:

Теорема. Пусть n – целое число, n ≥ 3. Не существует решений уравнения

в ненулевых целых числах x, y, z.

Аналогичная теорема для полиномов была известна ещё в прошлом столетии и была доказана методами алгебраической геометрии. Сейчас мы получим намного более простое доказательство, используя теорему Мейсона–Стотерса.

Теорема. Пусть n – целое число, n ≥ 3. Не существует решений уравнения

с не равными константе взаимно простыми полиномами x(t), y(t), z(t) Î C[t].

Доказательство.

Пусть f (t) = xⁿ(t), g(t) = yⁿ(t) и h(t) = zⁿ(t). Тогда по теореме Мейсона–Стотерса получаем

Однако deg xⁿ(t) = n·deg x(t) и n₀(xⁿ(t)) = n₀(x(t)) ≤ deg x(t). Следовательно,

Тем же способом мы получаем аналогичные неравенства для y(t) и z(t):

Складывая три неравенства, получаем

n	ì	deg x(t) + deg y(t) + deg z(t)	ü	≤ 3	ì	deg x(t) + deg y(t) + deg z(t)	ü	– 3.
	î		þ		î		þ

Таким образом,

(n – 3)	ì	deg x(t) + deg y(t) + deg z(t)	ü	≤ –3.
	î		þ

При n≥3 этого очевидно не может быть, потому что левая часть ≥ 0, а правая часть отрицательна. Итак, мы доказали последнюю теорему Ферма для полиномов. █

Без использования теоремы Мейсона–Стотерса доказательство последней теоремы Ферма для полиномов намного труднее. Не ясно, сколько времени займёт у вас или у случайно выбранного математика доказательство теоремы каким-нибудь способом. Попробуйте это с вашими друзьями и посмотрите, сколько времени им потребуется. Приведённое выше доказательство с использованием теоремы Мейсона–Стотерса является простым и элегантным. Позднее мы приведём различные её обобщения. Увидев силу этой теоремы, давайте докажем её.

Доказательство теоремы Мейсона–Стотерса.

В утверждении теоремы в левой части неравенства используется степень, а в правой части число n₀, которое обозначает количество различных корней полинома. Поэтому нам необходимо научиться понимать и управлять кратностями корней. Чтобы сделать это, мы разделим уравнение  f + g = h на h и получим

Обозначим  R=f /h  и  S=g/h. Тогда  R+S=1. Теперь вы должны почувствовать непреодолимое желание сделать что-нибудь с этим уравнением. Что вы делаете с функциями? Вы вычисляете их производные. Таким образом, мы получаем новое уравнение R'+S'=0, которое мы перепишем в виде

Рассмотрим частное g/f . Используя наши обозначения и уравнение (1), мы получим

При этом мы выразили g/f  как частное логарифмических производных. Действительно, в математическом анализе, если F – функция, тогда F'/F  – называется её логарифмической производной. Используя эту логарифмическую производную, мы сможем управлять кратностями корней. Нам нужно использовать свойство логарифмической производной, а именно то, что она переводит произведения в суммы. Другими словами для двух функций F, G имеем

Это немедленно следует из правила дифференцирования произведения. Затем для частных получим

Таким образом, логарифмическая производная преобразует частные в разности. Затем по индукции мы получаем подобные отношения для сумм или частных нескольких сомножителей. К примеру, если f, ... , f_n – полиномы, тогда

Применяем это правило к разложениям на множители наших исходных полиномов  f, g, h. Мы знаем для них следующие разложения на множители

Заметим, что логарифмическая производная константы равна 0. Для полинома (t – α) логарифмическая производная равна 1/(t – α). Поэтому вычисляя логарифмические производные f (t), g(t), h(t), получаем

Применяя правила для логарифмических производных к  R=f /h  и  S=g/h, получаем из (2):

Приведём выражение к общему знаменателю, используя при этом обозначение

Очевидно, что deg D(t) = n₀( fgh). Поэтому

Умножим числитель и знаменатель выражения (3) на D(t), после чего получим

Таким образом, g/f  равно частному двух полиномов, чьи степени ≤ n₀( fgh) – 1. Поскольку f , g – взаимно простые, из этого следует что степени g и f  не превосходят n₀( fgh) – 1. И наконец, т.к. h=f+g, мы приходим к заключению, что deg h не превосходит n₀( fgh) – 1. Этим завершается доказательство теоремы Мейсона–Стотерса. █

Примечательно, что такой простой, но сильный результат о полиномах был открыт лишь в начале 80-х годов XX века.

Теперь мы собираемся преобразовать теорему в утверждение о целых числах. Вам, возможно, уже известно, что существует глубокая аналогия между целыми числами и полиномами. К примеру, обе системы удовлетворяют алгоритму Евклида, поэтому в обеих системах существует однозначное разложение на неприводимые или простые элементы. Мы ищем число, связанное с целым числом таким способом, чтобы оно было аналогично числу n₀ полинома. Мы также ищем число, аналогичное степени полинома. При умножении степени складываются, т.е. степень произведения полиномов равна сумме степеней индивидуальных сомножителей. Опыт показывает, что аналогом степени является логарифм абсолютного значения целого числа. Поэтому для простого числа р аналогом степени неприводимого полинома является обычный логарифм log p. Для двух положительных целых чисел m, n мы получаем log(mn) = log m + log n. Если

– разложение числа m на простые множители, тогда

Теперь мы хотим получить аналог числа n₀. Для полинома

давайте определим

то есть мы заменим кратности m_i на 1 в разложении многочлена  f (t). Тогда по определению

Так каково же правильное определение n₀(t) для положительного целого числа m? Предположим, что

m = p1  m1   ...  pr mr

(4)

разложение числа m на простые. Чему же равно n₀(m)?

Студент. Я думаю, n₀(m) должно быть количеством различных простых множителей, поэтому n₀(m) = r.

Серж Ленг. Это неплохой ответ, но и не достаточно хороший. Когда мы работаем с комплексными полиномами, то они обладают однозначным разложением на простые, т.е. на неприводимые полиномы, которые имеют степень 1. Если же вы работаете с полиномами, имеющими другой тип коэффициентов, к примеру, рациональные коэффициенты, то неприводимый полином не обязательно имеет степень 1. Нечто аналогичное происходит и с простыми числами. Это означает, что нам необходимо приписать вес простому числу, и этот вес равен log p. Поэтому для положительного целого числа m с разложением на простые множители (4), мы определим

	r
n0(m) =	∑	log pi .
	i=1

Мы также можем записать это выражение в виде

Затем мы определим

			r
N0(m) =	∏	p =	∏	pi .
	p | m		i=1

Таким образом, N₀(m) есть произведение простых чисел, делящих m, но взятых с кратностью 1. Будем называть N₀(m) радикалом числа m.

Теперь, когда у нас есть определение n₀(m) и N₀(m), каким будет аналог теоремы Мейсона–Стотерса? Легко сформулировать начало гипотезы:

Гипотеза. Пусть a, b, c – ненулевые, взаимно простые целые числа, такие, что a+b=c.

Теперь нам нужно неравенство вида

Что должно быть в правой части неравенства?

Студент. Может N₀(abc) – 1?

Серж Ленг. Всё не так просто. Во-первых, что касается –1: в случае полиномов это был подарок богов, и мы не можем ожидать чего-нибудь столь же точного для целых чисел. Кроме того, мы здесь действуем мультипликативно, а не аддитивно. Так что давайте взглянем на неравенство

К сожалению, оказывается, что в общем случае это неравенство не верно. Это было впервые обнаружено Стюартом и Тийдеманом [6], которые также показали, что по-прежнему неравенство не будет выполняться, если мы заменим правую часть на выражение: константа умножить на N₀(abc) независимо от того, насколько велика константа. Другими словами, не существует такой константы K, чтобы неравенство

было верным для всех взаимно простых целых a, b, c, когда a+b=c. Два студента из Йельского университета Стейл Войтек Ястрзебовский и Дэн Шпильман привели мне следующее простое доказательство этого факта.

Мы рассматриваем уравнение a_n + b_n = c_n , где

	2n		2n
an = 3		,     bn = –1,     cn = 3		– 1.

Записав 3=1+2, легко доказать по индукции, что 2ⁿ делит c_n . Поэтому

Однако неравенство

не может выполняться для всех n независимо от того, насколько большой мы выберем константу K, поскольку K·3·2·2^–n стремится к 0 при увеличении n.

Поэтому необходимо изменить и ещё более ослабить неравенство. Правильная гипотеза, названная гипотезой abc, была получена Массером и Остерле. Это одна из лучших гипотез столетия.

Гипотеза abc (Masser, Oesterle, 1986). При данном ε>0 существует константа K(ε) такая, что для всех ненулевых взаимно простых целых чисел a, b, c, таких, что a+b=c, верно неравенство

Заметим, что Стюарт и Тийдеман привели некоторые оценки снизу для ε [6].

В сущности, теми же самыми аргументами, что и для полиномов, можно показать, что гипотеза abc влечёт последнюю теорему Ферма при достаточно больших n. Мы приведём подробное доказательство. Без потери общности мы можем предположить, что a, b, c – положительные целые числа, поэтому нам не нужно писать знак абсолютной величины. Пусть x, y, z – положительные взаимно простые целые числа такие, что

Пусть a = xⁿ, b = yⁿ и c = zⁿ. Тогда

Применив гипотезу abc, мы получаем

где знак áá – аббревиатура для неравенства ≤ K(ε) с константой K(ε), зависящей от ε. Поэтому левая часть отношения áá является меньше либо равной произведению K(ε) на правую часть. Перемножая неравенства в (5), получим

Взяв логарифм, получаем

с константой K = K(ε). Т.к. xyz ≥ 2, это последнее неравенство даёт верхнюю границу для n, тем самым доказывая последнюю теорему Ферма для всех достаточно больших n.

Граница для n зависит от константы K(ε). На сегодняшний день нет гипотез об эффективной оценке K(ε). Разумеется, просто для эффективности мы можем взять ε = 1, поэтому эффективное вычисление K(1) даст эффективное доказательство последней теоремы Ферма, сводя её к вычислениям для конечного числа случаев. Естественно, доказательство Уайлза верно для всех n, но существуют уравнения, похожие на уравнение Ферма, для которых не известно аналога теоремы Уайлза, и подход через гипотезу abc может сработать.

Студент. Пытался ли кто-нибудь провести вычисления, которые могут привести к контрпримеру для гипотезы abc?

Серж Ленг. Обычно так не происходит. Таблицы разложений на простые числа в различных случаях действительно подтверждают гипотезу. Заметьте, что показатель 1+ε в экспоненте делает гипотезу очень сильной. Среди других вещей гипотеза abc показывает, что если в разложениях чисел a, b, c существуют простые числа с большими показателями, тогда эти простые числа компенсируются большим количеством маленьких простых чисел, возникающих в разложении лишь с показателем 1. Например, существуют таблицы для разложения на простые числа выражений 2ⁿ ± 1 и похожих чисел в статье [1]. Эти таблицы явно показывают, что почти все простые числа возникают лишь с показателем 1. Если существуют маленькие простые числа с большими показателями, то они компенсируются большими простыми числами с показателем 1.

Студент. А влечёт ли последняя теорема Ферма гипотезу abc?

Серж Ленг. Нет. Последняя теорема Ферма – это только частный случай. Гипотеза abc намного сильнее и дает больше информации о том, как ограничиваются показатели простых чисел в разложениях гипотезы abc. Чтобы прояснить обстановку для последней теоремы Ферма, нам не требуется использовать гипотезу abc с показателем 1+ε. Любого фиксированного показателя будет достаточно.

Студент. Каким образом возникают такие гипотезы?

Серж Ленг. Массер и Остерле не просто получили эту гипотезу. Они работали над намного более общей задачей, которая ни в коей мере не элементарна. То, как я представил гипотезу здесь, не отражает того, как она была открыта исторически. Настоящая жизнь намного сложнее. Гипотеза возникла из глубокого изучения алгебраической геометрии и теории модулярных функций, а не просто из связи с теоремой Мейсона–Стотерса. Эти изыскания слишком сложны для того, чтобы я мог рассказать о них сейчас. Тем не менее я хотел бы сделать ещё несколько комментариев, которые приоткроют некоторые возможности.

Рассмотрим уравнение вида

Будем искать его решения во взаимно простых целых числах u, v и k. Это уравнение впервые рассматривалось М. Холлом [3]. Он предложил следующую гипотезу.

Гипотеза Холла. Для целых чисел u, v, k, удовлетворяющих уравнению u³ – v² = k ≠ 0, необходимо, чтобы

В действительности Холл предложил свою гипотезу без ε! В то время он не видел необходимости в добавлении ε. Некоторое время я думал, что ε необходимо. А сейчас для меня не ясно, нужно или не нужно добавлять ε в гипотезу Холла. Возможно, формулировка Холла была совершенно правильной из-за того, что он рассматривал уравнение специального вида. В любом случае, «гипотеза Холла для полиномов» уже доказана в 1965 г. Дэвенпортом [2], и даже в более точном виде, без неопределённых констант в оценке.

Теорема Дэвенпорта. Пусть f , g – два полинома, не равные константе и удовлетворяющие неравенству f ³ – g² ≠ 0. Тогда

и

Вы можете доказать эти неравенства, непосредственно применяя теорему Мейсона–Стотерса, когда полиномы  f  и g взаимно простые. Будет хорошим упражнением по алгебре доказательство неравенств также в случае, когда  f  и g не являются взаимно простыми. Тогда вам необходимо шаг за шагом избавляться от общих множителей, чтобы свести теорему к случаю, когда  f  и g взаимно простые. Поэтому вам придётся рассмотреть более общее уравнение вида

с полиномиальными коэффициентами A и B. Ограничение на степени  f, g, h в таком уравнении будет тогда зависеть от A и B.

Давайте вернёмся к целым числам. Мы снова рассмотрим уравнение

с взаимно простыми числами u, v и k. Применяя гипотезу abc, мы получили ограничения

Подробный вывод является лёгким упражнением. Гипотеза Холла с ε затем следует из гипотезы abc, по крайней мере для взаимно простых u, v, k, поскольку N₀(k)≤|k|. В более общем случае рассмотрим уравнение

с ненулевыми целыми коэффициентами A, B. Тогда гипотеза abc даёт такие же оценки, как в (6). Разумеется, внутренние константы, возникающие в неравенствах (6), будут тогда зависеть от A и B. И ещё более общий случай, когда мы можем рассматривать уравнения более высоких степеней, а именно

Показатели n, m – положительные целые числа. Мы предполагаем, что mn ≠ m + n. Затем, как лёгкое упражнение на применение гипотезы abc, выводится неравенство

и аналогично для |v| ^m. Как уже упоминалось, в этом неравенстве внутренние константы зависят от A и B. Возвращаясь к n=3 и m=2, мы видим, что существуют специальные значения A и B, которые особенно интересны. Например, A=–4 и B=–27. Тогда выражение

хорошо известно как детерминант полинома

Для этих специальных значений A и B соответствующая гипотеза известна как обобщённая гипотеза Шпиро (Szpiro). Вообще говоря, Шпиро в исходной гипотезе использовал не число N₀, а более сложный инвариант N, который возникает в теории эллиптических кривых, т.е. в теории уравнений вида

Эту теорию сложно объяснить на уровне нашего обсуждения, и мы не будем этим заниматься. В любом случае Шпиро пришёл к своей гипотезе через глубокое изучение и осмысление алгебраической геометрии и теории чисел. В то же время, из-за моего использования только простого инварианта N₀, который легко определить, и поскольку мы связывали гипотезу Шпиро лишь с теоремой Мейсона–Стотерса и гипотезой abc, я не придерживался исторического порядка. В этом смысле я обманывал вас, поскольку я отбросил большие области математики, которые играли важную роль в историческом развитии всех гипотез. Из целого я выделил то, что может быть просто и понятно объяснено в течение часа. Но математики, которые получили эти гипотезы, пришли к ним не так прямо и просто, а только после напряжённой и длительной работы с этими глубокими и обширными теориями. (По поводу дальнейших приложений гипотезы abc в теории эллиптических кривых и дальнейших комментариев см. [4], в которой также содержится более обширная библиография.)

В заключение я отмечу, что исходная гипотеза Шпиро в действительности относилась не к неравенству (6), а к более слабому неравенству

Более сильная гипотеза (6), которая даёт оценки для |u|, |v|, а не только для |Δ|, была сформулирована лишь позднее. Поэтому мы ссылаемся на (6) как на обобщённую гипотезу Шпиро.

Таким образом, как видите, потребовалось много времени для развития гипотезы abc, чтобы осознать её центральное положение в теории чисел и теории уравнений. История следовала не по прямой линии, а через обходные пути и аналогии, где теорема Дэвенпорта и теоремы о полиномах (также, как и гипотеза Холла) сыграли свою роль. Но именно так развивается математика!

[Весной 1998 г. я имел возможность поговорить по телефону с учеником выпускного класса Ноа Снайдером, который интересовался математикой. Я рассказал ему о гипотезе abc и о том факте, что она была доказана для полиномов. Я предложил ему подумать об этой задаче и предложил попытаться построить доказательство для полиномов. Весьма примечательно, что он нашёл своё собственное доказательство, которое проще, чем то, которое я узнал от Мейсона. Я очень благодарен Н. Снайдеру за разрешение опубликовать его доказательство в этой книге. Сейчас он – студент Гарварда. С. Ленг.]

Нам понадобится следующая лемма о полиномах, например с коэффициентами из поля комплексных чисел. Обозначим НОД двух полиномов  f , g как

Пусть n₀( f ) – количество различных корней полинома  f .

Лемма. Пусть  f  – ненулевой полином. Тогда

Доказательство.

Во-первых, сделаем замечание о корнях полинома  f . Пусть α – корень  f , т.е. комплексное число, такое что  f (α) = 0. Мы полагаем, что  f – полином, не равный константе, поэтому  f  имеет степень d>0. Мы можем записать  f (t) как полином от (t – α), т.е. как сумму убывающих степеней (t – α),

с коэффициентами c_d , ... , c_e и e ≥ 0. Поскольку α – корень, то мы в действительности получаем e ≥ 1 и c_e ≠ 0. Тогда

и ec_e ≠ 0. Таким образом, мы получили, что (t – α)^e–1 – наибольшая степень (t – α), делящая  f '(t).

Теперь обозначим через α₁, ... , α_r различные корни  f  и запишем

	e1		er
f (t) = c(t – α1)		... (t – αr )		с константой c ≠ 0.

Вышеприведённое замечание и однозначность разложения на множители даёт

	e1–1		er–1
( f , f ' ) = c1(t – α1)		... (t – αr )		,

для некоторой ненулевой константы c₁. Тогда мы получим

что и доказывает лемму. █

Теорема. Пусть f, g, h – взаимно простые полиномы, такие, что f + g = h. Без потери общности, пусть h – полином наибольшей степени среди f, g, h. Тогда

Доказательство.

Поскольку f + g = h, то f ' + g' = h'. Таким образом,

Заметим, что ( f , f ') делит левую часть, (g, g') делит левую часть и (h, h') делит правую часть. Поэтому, т.к.  f , g, h взаимно просты,

Тогда

Прибавляя deg h к обеим частям и переставляя слагаемые, мы получаем, что

Согласно лемме получаем

т.к.  f , g, h взаимно простые. Теорема доказана. █