Содержание   Предисловие 6 Простые числа 10 Гипотеза abc 33 Глобальное интегрирование локально интегрируемых векторных полей 51 Теоремы анализа об аппроксимации 71 Пространства Брюа–Титса 107 Гармонические и симметрические полиномы 134

Много лет я проводил беседы со студентами по избранным вопросам математики, которые можно изложить на уровне, понятном для студентов, изучивших курс математического анализа. Я проводил подобные беседы в классах Хирцебруха в Бонне, по приглашению Шломьюка в университете Монреаля, несколько раз в Высшей Нормальной Школе в Париже лет десять назад, позднее в Университете им. Гумбольта в Берлине по приглашению Крамера и регулярно в течение 1980-х по приглашению Вустгольца в ETH в Цюрихе. Я благодарен У. Штамбаху, который перевел Цюрихские лекции на немецкий язык для публикации в журнале «Элементы Математики» с 1992 по 1997 г. Последний раз я выступал с такими беседами в ассоциации студентов-математиков в Беркли летом 1998 г. и в Университете Техаса в Остине в ноябре 1998 г.

Теперь я предлагаю вам сборник бесед со студентами в виде книги. Подобные беседы могут проводиться преподавателями, но, что еще лучше, они могут проводиться студентами на семинарах, организованных самими студентами. Такие беседы проводились, например, в Йельском университете.

В Соединенных Штатах необходимо ликвидировать математическую безграмотность значительной группы студентов и также необходимо улучшить математические знания школьных учителей и научить их эффективным способам помощи студентам при изучении математики на всех уровнях. Необходимо подчеркнуть различие между обучением в начальной школе и обучением в старших классах. Ситуация зависит от многих факторов. Кто-то из людей, причастных к преподаванию в начальной школе, описал мне, какой урон математическому образованию и математическим знаниям уже нанесен к тому времени, когда школьники приходят в старшие классы. Разумеется, я говорю об общем положении дел, частные случаи необходимо оценивать по их собственным меркам.

Под давлением некоторых правительственных и социальных сил и из-за вышеупомянутых необходимостей имели место некоторые перегибы, что привело к понижению стандартов и к тому, что жаргон стал необходимым условием получения финансирования для различных образовательных проектов. Более десятилетия назад возникло выражение, что математика должна быть «насосом, а не фильтром». Несколько лет назад в программе, предназначенной для стимулирования математически одаренных школьников старших классов, Дэвид Рорлич собрал материал по p-адическим L-функциям, который является понятным школьникам выпускных классов. В то время я задавал вопрос: p-адические L-функции – это насос или фильтр? Mutatis mutandis, тот же вопрос можно задать и о темах, выбранных для этой книги. Гипотеза Римана – это насос или фильтр? Закон полупараллелограмма – это насос или фильтр? Изучение гармонических функций – это насос или фильтр?

Выражение «насос, а не фильтр» – это заголовок раздела (стр.6) публикации NAS (Национальной академии наук) «Everybody Counts» (Лишних людей нет). Эта фраза изначально принадлежала Роберту М. Уайту, который в то время был президентом Национальной академии инженерных наук. Он сказал: «Математика должна быть насосом, а не фильтром в трубопроводе американского образования». Группа учителей из Массачусетса однажды попросили меня присоединиться к проекту, связанному с математическим образованием. Пояснительная записка к проекту была озаглавлена «Связанная геометрия – усиление насоса» и была написана соответствующим жаргоном. Я спросил организаторов, обязаны ли они писать таким образом, чтобы получить финансирование, и ответ по телефону был «да». Я отказался присоединиться. Это не означает, что я не заинтересован в математическом образовании на всех уровнях. Смотрите мою книгу «Математика: встречи со школьниками старших классов», а также книгу «Геометрия: курс для старшеклассников» (совместно с Джином Мюрроу). Что касается книги «Геометрия», я однажды получил письмо от учительницы (а также руководителя факультета) в школе для девочек. Она написала: «Прилагаются письма, написанные некоторыми ученицами девятого класса, изучавшими курс геометрии. Им хотелось бы встретиться с автором их учебника и, представившись вам, они приглашают вас посетить занятия, если вы окажетесь в . . . местности.

Первый год я преподаю геометрию по вашему учебнику, и, как подтверждают некоторые девушки, он довольно сложный. Я нахожу ваш курс освежающим. Вы убедили меня перейти к преподаванию доказательств в «параграфном» стиле. Ваши конструкции хорошо адаптируются к программе «Геометрический чертежный стол», которую мы часто используем. Язык книги строгий, но ясный и исчерпывающий. Учебник превосходно подходит для нашего высокого уровня занятий геометрией».

К ее письму были приложены письма от девушек из этого класса.

Некоторые политики и, как результат, Национальный Фонд Науки явно выражают точку зрения, что денег достаточно лишь для финансирования исследований, которые имеют прямые приложения, а не исследований «по причине любопытства». Я возражаю. Такая риторика смешивает вместе несколько вопросов, которые заслуживают того, чтобы этот узел был распутан. Среди немедленных приложений – необходимость иметь компетентные кадры преподавателей математики на всех уровнях. Разумеется, многие учителя компетентны, но также широко распространена некомпетентность, в дополнение к наличию нескольких систематически неблагополучных округов. Также существует возможность применения математики в инженерном деле, биологии, экологии, экономике, что относится к несколько другой области. Куда идут деньги, является по закону политическим решением. Но противодействие исследованиям «из любопытства», как будто такие исследования бесполезны (по каким-нибудь подсчетам), не желательно. По историческим обзорам любопытство привело к замечательным открытиям всех типов, и некоторые наиболее развитые общества в странах от Китая и Индии до Северной Африки и Европы (Соединенные Штаты часто становятся исключением) считают научное любопытство культурной ценностью. В большинстве своем открытия нашли так называемые приложения, иногда сразу, иногда десятилетиями или столетиями позже. В любом случае размышления о математике являются удовольствием для многих людей, и существуют свидетельства, что мы естественным образом запрограммированы любить математику, пока удовольствие не будет разрушено некомпетентным преподаванием или другими социальными факторами. Любой пятилетний ребенок, с которым я встречался, любил складывать или вычитать числа. Что происходит дальше, это нечто другое. Это нечто другое может также включать учительницу и девушек на ее уроке геометрии, упомянутом выше, с их любовью к геометрии и с их энтузиазмом. Повторяю, частные случаи должны оцениваться каждый по своей собственной мерке. Сколько детей были достаточно удачливы, чтобы попасть в такой класс?

Чиновники в правительстве, в университетах внедряют жаргон, включающий насосы и фильтры или подобные выражения, подтверждающие, что образование и наука подчинены сегодняшней социальной и политической ортодоксии. Последнее добавление к этому жаргону – это терминология «вертикально интегрированных» исследований и преподавания и VIGRE ¹ гранты, «VI» расшифровывается как «вертикально интегрированный». А беседы в этой книге вертикально интегрированны? Или горизонтально? Или под каким-нибудь другим углом? Кто над кем смеется? Я бы хотел, чтобы все это было шуткой: в действительности это относится к финансированию.

Так что не обращайте внимание на насосы, фильтры и вертикальную интеграцию. Я надеюсь, что студенты или даже некоторые школьники старших классов получат удовольствие от этих бесед или, возможно, от некоторых из них. Разные студенты с разным уровнем математических знаний интересуются разными вопросами, в разное время и для разных целей. Даже среди бесед, предложенных в этой книге, студенты с разным уровнем математических знаний найдут некоторые беседы легкими, а другие более сложными или непонятными. Поэтому выбирайте. Вам придется поработать головой, и это удержит вас дома.