Оглавление 


Я не собирался выкладывать эту статью (комбинаторика в излагаемом варианте не относится к моим интересам) и привожу сей отрывок только как добавку к статьям Дайсона и Фукса. – E.G.A.

Енс Карстен Янцен

СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
И КОМБИНАТОРИКОЙ


[· · ·]

Подставляя вместо переменных подходящие многочлены от одной переменной X, можно получать различные тождества для функции Эйлера:
φ(X) =   (1 – X n).
n=1

Эйлер исследовал эту функцию в связи с найденной им формулой
φ(X) =  ì 1 +  p(n)X n ü –1 ,
î þ
n=1

где p(n) – количество разбиений числа n. Комбинируя эту формулу с первым из указанных ниже тождеств, можно получить итерационную формулу для p(n), с помощью которой майор П. Макмэгон вычислил значения p(n) для n ≤ 200. Из его (опубликованной Харди и Рамануджаном) таблицы и заимствовано указанное выше значение p(200).

С помощью упомянутых выше подстановок получаются так называемом случае «первого порядка») следующие тождества для φ(X):

φ(X)
= (–1)kX (3k² + k)/2 (Эйлер),
φ3(X)
= (4k + 1)X 2k² + k (Якоби),
φ2(X)

φ(X 2)

= (–1)kX k² (Гаусс),
φ2(X 2)

φ(X)

= X 2k² + k (Гаусс),
φ5(X 2)

φ2(X)

= (–1)k(3k + 1)X 3k² + 2k (Гордон),
φ5(X)

φ2(X 2)

= (6k + 1)X (3k² + k)/2 (Гордон),
φ(X 2) φ2(X 3)

φ(X) φ(X 6)

= X (3k² + k)/2,
φ(X) φ(X 6)

φ(X 2) φ(X 3)

= (–1)kX 3k² + 2k,
φ2(X) φ(X 6)

φ(X 2) φ(X 3)

=
(k + 1

3

)X (k² + k)/2,
φ2(X 2) φ(–X 3)

φ(–X) φ(X 6)

=
(k + 1

3

)X k².

Суммирование везде ведётся по целым k; в двух последних формулах
(  n

3

)

– это символ Лежандра, т.е. –1, 0 или 1, смотря по тому, с чем сравнимо число n по модулю 3. В скобках справа приведены фамилии математиков, впервые обнаруживших формулу. Подстановку, приводящую к тождеству Якоби, указал Макдональд, а подстановку, с помощью которой получается первое тождество Гаусса, – Дж. Леповски. Подстановки для всех остальных случаев нашёл В. Г. Кац.

Я надеюсь, эти примеры убедили вас, что теория представлений может подарить комбинаторике не только проблемы, но и интересные результаты.



Литература

ПО КОМБИНАТОРИКЕ: ПО ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ: ПО ТОЖДЕСТВАМ ДЛЯ φ(x):
ПО ТОЖДЕСТВАМ МАКДОНАЛЬДА:
Hosted by uCoz