1631 Кб

СОДЕРЖАНИЕ От издательства 5 Ф. Хирцебрух. Предисловие 6 Вступление 7 Вальтер Боро. Дружественные числа. Двухтысячелетняя история одной арифметической задачи 11 Дон Цагир. Первые 50 миллионов простых чисел 42 Юрген Рольфс. О суммах двух квадратов 72 Ханспетер Крафт. Алгебраические кривые и диофантовы уравнения 87 Енс Карстен Янцен. Связь теории представлений с комбинаторикой 105 Именной указатель 124 Предметный указатель 127

Мы продолжаем нашу серию «Популярная математика» публикацией перевода сборника, которым открылась новая серия «Математические миниатюры», выпускаемая издательством Биркхойзер. В этом сборнике представлены пять лекций для широкой публики, прочитанных при вступлении в должность пятью доцентами Боннского университета. Подробнее об этом ритуале говорится в открывающем сборник предисловии известного немецкого математика профессора Боннского университета Ф. Хирцебруха.

Представленный в сборнике материал практически отсутствует в научно-популярной литературе на русском языке.

Живое и доступное изложение, удачное сочетание элементарных фактов с результатами глубоких исследований делают книгу интересной и полезной для самого широкого круга лиц – от школьников до преподавателей институтов.

Мы надеемся, что читатель получит удовольствие от знакомства с этими пятью прекрасными миниатюрами.

Ритуал вступления в ряды преподавателей – старая традиция немецких университетов. После присуждения учёной степени доктора будущий преподаватель продолжает научную работу и через несколько лет представляет факультету более обширный текст – диссертацию для получения Venia Legendi – права самостоятельно обучать студентов и читать лекции. Диссертация докладывается на заседании совета факультета, где и происходит её научное обсуждение. Через несколько недель ритуал завершается своей кульминацией – открытой вступительной лекцией.

В некоторых университетах вступительные лекции, кажется, утеряли своё значение. В Бонне же мы постарались сохранить традицию и сделать вступительные лекции одной из важных составных частей научной жизни. На этих лекциях серьёзная и значительная тема должна быть изложена так, чтобы не только математики, но и представители других естественных наук, а также и студенты могли следить за ходом рассуждений. В лекции надо осветить историю вопроса, связь разделов математики между собой и с другими науками. Кроме того, нужно, чтобы слушатели хотя бы в небольшой степени почувствовали очарование математики и яснее поняли её роль в духовной жизни общества.

В этом небольшом сборнике публикуются пять вступительных лекций, прочитанных в Боннском университете в 1974–1979 гг.; все они идут под общим девизом «Числа». Я считаю, что издание этого сборника вполне оправданно, так как каждый из авторов изящно и увлекательно излагает избранную им тему и даже открывает перед читателем панораму современных исследований. Надеюсь, что появление настоящей книги будет способствовать выпуску и других сборников вступительных лекций.

Каждый из пяти авторов этой небольшой книжки, рассказывая об избранной им математической теме, старался добиться того, чтобы обычные числа предстали перед читателем как живые. Может быть, с помощью этих пяти миниатюр удастся хотя бы в малой степени передать некоторым читателям ощущение чар математики, которое испытывают те, кто избрал её своей специальностью.

Путь к живым современным математическим исследованиям, разумеется, долог. Пять тысячелетий понадобилось на него человечеству, пять лет нужно сегодня студентам. Так как эту книжечку можно прочесть за пять часов, то не следует ожидать от неё большего, нежели беглого показа отдельных частей дальней и трудной дороги. Удобного «царского пути» в математике нет.

Мы приглашаем читателя на пять небольших экскурсий в мир чисел. По красивым и разнообразным местам они ведут к нескольким возвышенностям, с которых можно увидеть вдали первые горные вершины новых исследований. Каждая из прогулок начинается «внизу в долине», т. е. с понятий и задач, для понимания которых достаточно школьных знаний: простые числа, суммы делителей, теорема Пифагора, кривые, разбиения. Однако потом то тут, то там попадаются места, для преодоления которых требуются кое-какие альпинистские навыки, чтобы и более опытным участникам похода не было скучно. Впрочем, каждый сам легко установит, где ему надо будет обойти пару трудных мест. Но ко всем главным возвышенностям, с которых открываются виды, путешественники будут доставлены по канатной дороге и тем избавлены от тяжкого труда подъёма – доказательств.

Расскажем теперь коротко о каждом из пяти маршрутов.

Первый проходит по совсем легкой, ровной тропинке между суммами делителей и критериями простоты числа. Лишь в конце станет видно, что она вливается в важное направление современной математики. Вальтер Боро рассказывает нам замечательную историю о дружественных числах, которая ведёт из дворца багдадского халифа в современные вычислительные центры. Мы познакомимся с одним из старых математических видов спорта – охотой за дружественными числами, в котором непревзойдённым чемпионом мира долгое время был Леонард Эйлер.

Дон Цагир предъявляет нам список мировых рекордов – наибольших известных простых чисел, и мы с одного взгляда убеждаемся, что простые числа следует признать самыми капризными и строптивыми из всех объектов, какие только изучают математики. И тут же он убеждает нас в прямо противоположном – что простые числа безусловно и чуть ли не с педантической точностью подчиняются определённым законам. Особенно изумляет явная формула Римана для числа p(x) простых чисел, не превосходящих x. А затем снова выявляется строптивость простых чисел при сравнении асимптотических формул Лежандра, Гаусса и Римана для p(x) с фактическим распределением первых 50 миллионов простых чисел, приводящем к дико скачущей кривой, похожей на температурную.

Юрген Рольфс рассказывает нам о суммах двух квадратов. Его маршрут начинается с пифагоровых троек чисел, для которых вмиг выводится общая формула. Вслед за этим определяется число пифагоровых треугольников, у которых длина гипотенузы не превышает заданной величины. При этом оказывается, что тема пифагоровых троек не только не завершается с открытием общей формулы, а наоборот, лишь после этого становится по-настоящему интересной. Кончается путешествие задачей из физики о распространении тепла по спасательному кругу (тору) из тонкой жести. Это распространение описывается дифференциальным уравнением в частных производных, при решении которого ключевую роль играет число v(m) представлений числа m в виде суммы двух квадратов. Таким образом, здесь теория чисел и математический анализ тесно связаны между собой.

Ханспетер Крафт вводит нас в область, где неразрывно переплелись теория чисел и геометрия,– алгебраические кривые и диофантовы уравнения. И эта экскурсия начинается с формулы для пифагоровых троек, которая выводится с помощью геометрического метода Диофанта. Точно так же можно решить более общую задачу о нахождении всех точек с рациональными координатами, лежащих на кривой второго порядка. Аналогичная задача для кривой третьего порядка оказывается несравненно более трудной и интересной. Нам демонстрируют геометрический метод, которым можно построить все искомые рациональные точки, исходя из некоторого конечного множества таких точек (теорема Морделла). В дальнейшем ходе экскурсии мы узнаем и ещё многое другое об эллиптических кривых; правда, рассказ о точках кручения и последних результатах Б. Мазура рассчитан уже на читателя, несколько семестров изучавшего математику.

И в заключение Енс Карстен Янцен знакомит нас с деятельностью специалистов по комбинаторике – людей, которые делают с конечными множествами всё мыслимое и немыслимое, а потом спрашивают себя, сколькими способами это можно сделать. Он рассказывает нам о перестановках и разбиениях, диаграммах Юнга и канонических таблицах, а также об удивительной связи между этими комбинаторными понятиями. Затем мы узнаём, чем занимаются специалисты по теории представлений и сколь многим обязаны специалистам по комбинаторике те, кто изучает представления симметрических или общих линейных групп. И наконец, новый поворот темы о связи теории представлений с комбинаторикой: теория представлений возвращает долг комбинаторике, унифицируя и обобщая знаменитые тождества Эйлера, Гаусса и Якоби для степенных рядов.

Итак, экскурсии проводятся по пяти совершенно различным маршрутам, да ещё мы имеем дело с пятью несхожими индивидуальностями и темпераментами экскурсоводов, так что дорожной скуки опасаться не приходится. При всём том внимательный читатель заметит, что маршруты экскурсий постоянно соприкасаются и пересекаются.

Например, тождество Якоби для степенных рядов встречается не только у Янцена, а дзета-функция Римана не только у Цагира – и то и другое упоминается, пусть и мимоходом, у Боро и Рольфса. Суммы делителей появляются не только в первой, но и в третьей экскурсии. Кому хоть раз довелось погрузиться поглубже в мир математики, известны такие неожиданные взаимосвязи. Зачастую выявляются связи между её разделами, не имеющими на первый взгляд абсолютно ничего общего. И это – не какая-нибудь там экзотика или случайное периферийное явление, а типичная черта всякой настоящей математики. Маленькие неожиданности, с которыми мы здесь столкнёмся, совершенно «невинны» по сравнению с фантастическими сюрпризами такого рода, то и дело встречающимися в математических исследованиях. Обнаружение таких неожиданных, очень часто глубинных связей принадлежит к самым волнующим событиям в жизни математика.

Однако пора нам кончать со сборами и отправляться в дорогу. Обратимся к самим числам.

абелево многообразие 108

ассоциативность 99

Бернулли числа 66

Вандермонда определитель 120

Вейерштрасса каноническая форма 98

Гаусса тождества 121

Гордона тождества 121

группа коммутативная 99

дзета-функция 51, 58, 86

диаграмма 106

диофантово уравнение 21

дискриминант кривой 101

дружественные числа 14

закон распределения простых чисел 48

избыточное число 12

индукция 59

интегральный логарифм 50

каноническая таблица 107

— — косая 117

касательных метод 96

Каца–Муди эвклидова алгебра 120

квадрика 94

коммутативность 98

кручения группа 99

— точка 100

Лежандра символ 121

логарифмическая сумма 50

Мерсенна число 65

Мёбиуса функция 78

Морделла гипотеза 93

— теорема 97, 99

Морделла–Вейля теорема 97

недостаточное число 12

нейтральный элемент 98

несобственная точка 96

обратный элемент 98

перестановка 105

Пифагора пара 15

— теорема 87

пифагорова тройка 72, 88

— — квазипростейшая 73

— — простейшая 73, 88

порядок точки кручения 100

представление группы 112

— неприводимое 114

— тождественное 113

— тривиальное 113

простое число 42–43

псевдопростое число 29

разбиение натурального числа 35, 106

ранг эллиптической кривой 99

решётка 76

Римана гипотеза 61

— формула 61

Робинсона–Шенстеда соответствие 112

Сабита правило 25–27, 34

— теорема 16

секущих метод 94

сигнатура перестановки 113

симметрическая группа 112

собственный делитель 11

совершенное число 12

тор 83

тэта-функция 30, 82

Ферма большая теорема 91

— кривая 93

— малая теорема 19

Фурье ряд 84

характер 113

— неприводимый 114

целая часть 43

частичная сумма 57

Эвклида теорема 14

Эйлера рекуррентная формула для суммы делителей 30

— тождество 30, 121

— функция 121

эллиптическая кривая 97

— функция 30

эллиптический интеграл 91

Эратосфена решето 36

эта-функция 30

Юнга диаграмма 106

Якоби тождество 121

— формула для тэта-функций 30–31