«Математическое просвещение» (математика, её преподавание, приложения и история). М., Физматгиз, 1960. № 5. Редактор: И. Н. Бронштейн. «Математическое просвещение» выпускается при редакционном участии И. Н. Бронштейна, А. М. Лопшица, А. А. Ляпунова, А. И. Маркушевича, И. М. Яглома.

Николай Бурбаки
(Nikolas Bourbaki, Франция–США)

АРХИТЕКТУРА  МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА ИЛИ МАТЕМАТИКИ?¹

Дать в настоящее время общее представление о математической науке — значит заняться таким делом, которое, как кажется, с самого начала наталкивается на почти непреодолимые трудности благодаря обширности и разнообразию рассматриваемого материала. В соответствии с общей тенденцией в науке с конца XIX века число математиков и число работ, посвящённых математике, значительно возросло. Статьи по чистой математике, публикуемые во всём мире в среднем в течение одного года, охватывают многие тысячи страниц. Не все они имеют, конечно, одинаковую ценность; тем не менее после очистки от неизбежных отбросов оказывается, что каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает всё более разнообразное содержание и постоянно даёт ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Многие из математиков устраиваются в каком-либо закоулке математической науки, откуда они и не стремятся выйти, и не только почти полностью игнорируют всё то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них. Нет такого математика, даже среди обладающих самой обширной эрудицией, который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного математического мира; что же касается тех, кто подобно Пуанкаре или Гильберту оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключение.

Поэтому даже не возникает мысли дать неспециалисту точное представление о том, что даже сами математики не могут постичь во всей полноте. Но можно спросить себя, является ли это обширное разрастание развитием крепко сложенного организма, который с каждым днём приобретает всё больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями, или, напротив, оно является только внешним признаком тенденции к идущему всё дальше и дальше распаду, обусловленному самой природой математики; не находится ли эта последняя на пути превращения в Вавилонскую башню, в скопление автономных дисциплин, изолированных друг от друга как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку? Одним словом, существуют в настоящее время одна математика или несколько математик?

Хотя в данный момент этот вопрос особенно актуален, ни в коем случае не надо думать, что он нов; его ставили с первых же шагов математической науки. Ведь, действительно, если даже не принимать в расчёт прикладной математики, между геометрией и арифметикой (по крайней мере, в их элементарных разделах) существует очевидная разница в происхождении, поскольку последняя вначале была наукой о дискретном, а первая — наукой о непрерывной протяжённости (два аспекта, которые были коренным образом противопоставлены друг другу после открытия иррациональностей). Именно это открытие оказалось роковым для первой попытки унификации нашей науки — арифметизации пифагорейцев («все вещи суть числа»).

Мы бы зашли слишком далеко, если бы от нас потребовали проследить те превратности судьбы, которым подвергалась унитарная концепция математики от пифагорейцев до наших дней. Кроме того, это — работа, к которой более подготовлен философ, чем математик, так как общей чертой всех попыток объединить в единое целое математические дисциплины — всё равно, идёт ли речь о Платоне, о Декарте или Лейбнице, об арифметизации или логистике XIX века, — является то, что они делались в связи с какой-либо более или менее претенциозной философской системой, причём исходным пунктом для них всегда служили априорные воззрения на отношения между математикой и двойной действительностью внешнего мира и мира мысли. Самое лучшее, что мы сумеем сделать, — это отослать читателя по этому вопросу к историческому и критическому исследованию Л. Брюншвига «Этапы математической философии»². Наша задача более скромна и более точно очерчена; мы намереваемся остаться внутри математики и искать ответ на поставленный вопрос, анализируя её собственное развитие.

ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ И АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

После более или менее очевидного банкротства различных систем, на которые мы указывали выше, в начале этого века, казалось, почти полностью отказались от взгляда на математику как на науку, характеризуемую единым предметом и единым методом; скорее наблюдалась тенденция рассматривать её как «ряд дисциплин, основывающихся на частных, точно определённых понятиях, связанных тысячью нитей»³, которые позволяют методам, присущим одной из дисциплин, оплодотворять одну или несколько других. В настоящее время, напротив, мы думаем, что внутренняя эволюция математической науки вопреки внешности более чем когда-либо упрочила единство её различных частей и создала своего рода центральное ядро, которое является гораздо более связным целым, чем когда бы то ни было. Существенное в этой эволюции заключается в систематизации отношений, существующих между различными математическими теориями; её итогом явилось направление, которое обычно называют «аксиоматическим методом».

Иногда говорят также «формализм» или «формалистический метод»; но необходимо с самого начала остерегаться путаницы, которую вызывают эти недостаточно чётко определённые слова и которая и без того часто используется противниками аксиоматического метода. Каждому известно, что внешней отличительной чертой математики является то, что она представляется нам той «длинной цепью рассуждений», о которой говорил Декарт. Каждая математическая теория является цепочкой высказываний, которые выводятся друг из друга согласно правилам логики, во всём существенном совпадающей с логикой, известной со времён Аристотеля под названием «формальной логики», соответствующим образом приспособленной к специфическим потребностям математики. Таким отразом, утверждение, что «дедуктивное рассуждение» является для математики объединяющим началом, — тривиальная истина. Но столь поверхностное замечание не может, конечно, служить объяснением единства различных математических теорий, точно так же, как нельзя, например, объединить в единой науке физику и биологию под предлогом, что и та, и другая использует экспериментальный метод. Способ рассуждения, заключающийся в построении цепочки силлогизмов, является только трансформирующим механизмом, который можно применять независимо от того, каковы посылки, к которым он применяется, и который, следовательно, не может характеризовать природу этих последних. Другими словами, это лишь внешняя форма, которую математик придаёт своей мысли, орудие, делающее её способной объединяться с другими мыслями⁴, и, так сказать, язык, присущий математике, но не более того. Упорядочить словарь этого языка и уточнить его синтаксис — это значит сделать очень полезное дело, и эта работа и составляет действительно одну из сторон аксиоматического метода, а именно ту, которую следует назвать логическим формализмом (или, как ещё говорят, «логистикой»). Но — и мы настаиваем на этом — это только одна сторона и при том наименее интересная.

То, что аксиоматика ставит перед собой в качестве основной цели — уразумение  существа  математики, именно этого не может дать логический формализм, взятый сам по себе. Точно так же, как экспериментальный метод исходит из априорной уверенности в постоянстве законов природы, аксиоматический метод берёт за точку опоры убеждение в том, что если математика не является нанизыванием силлогизмов в направлении, избранном наугад, то она тем более не является более или менее хитрым искусством, состоящим из произвольных сближений, в котором господствует одна техническая ловкость. Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению совершенно «неожиданной помощи»⁵, которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию.

ПОНЯТИЕ «СТРУКТУРЫ»

Какую форму приобретает эта процедура? Именно здесь аксиоматика больше всего сближается с экспериментальным методом. Черпая из картезианского источника, она «разделяет трудности, чтобы лучше их разрешить». В доказательствах какой-либо теории она стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждений; затем, беря каждое из соответствующих положений изолированно и возводя его в общий принцип, она выводит из них следствия; наконец, возвращаясь к изученной теории, она снова комбинирует предварительно выделенные составные элементы и изучает, как они взаимодействуют между собой. Конечно, нет ничего нового в этом классическом сочетании анализа и синтеза; вся оригинальность этого метода заключается в том, ка́к его применяют.

Чтобы проиллюстрировать примером только что описанную процедуру, мы рассмотрим наиболее старую (и наиболее простую) аксиоматическую теорию — теорию абстрактных групп. Рассмотрим следующие три операции:

1. сложение действительных чисел, при котором сумма двух действительных чисел (положительных, отрицательных и нуля) определена обычным образом;
2. умножение целых чисел по простому модулю p, причём элементами, которые мы рассматриваем, являются числа 1, 2, 3, ..., p–1, а произведением двух таких чисел является, по определению, остаток от деления на p их произведения в обычном смысле;
3. «композицию» перемещений в евклидовом трёхмерном пространстве, причём результатом этой композиции (или произведением) двух перемещений T и S (взятых в данном порядке) мы будем считать, по определению, перемещение, полученное в результате выполнения сначала перемещения T, а затем S.

В каждой из этих трёх теорий двум элементам x и y, взятым в данном порядке, рассматриваемого множества (в первом случае множества всех действительных чисел, во втором — множества чисел 1, 2, 3, ..., p–1, в третьем — множества всех перемещений) ставится в соответствие (с помощью особой для каждого множества процедуры) третий однозначно определённый элемент того же множества, который мы условимся во всех трёх случаях символически обозначать x τ y (это будет сумма, если x и y — действительные числа; их произведение по модулю p, если они — натуральные числа ≤ p–1; результат их композиции, если они являются перемещениями). Если теперь рассмотреть свойства этой «операции» в каждой из трёх теорий, то обнаружится замечательный параллелизм; внутри же каждой из этих теорий эти свойства зависят друг от друга, и анализ логических связей между ними приводит к выделению небольшого числа тех свойств, которые являются независимыми (т.е. таких, что ни одно из них не является логическим следствием остальных). Можно, например⁶, взять три следующие свойства, которые мы выразим с помощью наших символических обозначений, но которые, конечно, легко перевести на язык каждой из них:

a) каковы бы ни были элементы x, y, z, (x τ y) τ z = x τ (y τ z) (ассоциативность операции x τ y);

b) существует элемент e такой, что для всякого элемента x выполняется равенство e τ x = x τ e = x (для сложения действительных чисел — число 0, для умножения по модулю p — число 1, для композиции перемещений — «тождественное перемещение», которое оставляет на своём месте каждую точку пространства);

c) для каждого элемента x существует элемент x', такой, что x τ x' = x' τ x = e (для сложения действительных чисел — противоположное число –x, для композиции перемещений — обратное перемещение, т.е. такое, которое каждую точку, перемещённую смещением x, возвращает в исходное положение; для умножения по модулю p существование x' следует из очень простого арифметического рассуждения⁷.

Тогда мы устанавливаем, что те свойства, которые при помощи общих обозначений возможно выразить одним и тем же образом в каждой из этих трёх теорий, являются следствием трёх предыдущих. Например, поставим перед собой цель доказать, что из x τ y = x τ z следует y = z. Можно было бы это сделать в каждой из этих теорий, используя рассуждения, специфические для данной теории. Но можно избрать следующий образ действий, который применим ко всем трём случаям. Из соотношения x τ y = x τ z мы выводим равенство x' τ (x τ y) = x' τ (x τ z), где x' имеет смысл, определённый выше. Далее, применяя a), получим (x' τ x) τ y = (x' τ x) τ z. Используя c), запишем это соотношение в виде e τ y = e τ z, и, наконец, применяя b), получаем y = z, что и требовалось доказать. В этом рассуждении мы полностью абстрагировались от природы элементов x, y, z, т.е. нам незачем было знать, являются ли они действительными числами, натуральными числами ≤ p–1 или перемещениями. Единственная посылка, которой мы пользовались, заключалась в том, что операция x τ y над элементами x, y удовлетворяет свойствам a), b), c). Для того чтобы избежать скучных повторений, приходят, таким образом, к мысли, что удобно раз и навсегда вывести логические следствия из этих трёх единственных свойств. Необходимо, конечно, для удобства речи принять общую терминологию. Говорят, что множество, на котором определена операция x τ y, характеризуемая тремя свойствами a), b) и c), снабжено структурой группы (или, более коротко, является группой). Условия a), b), c) называются аксиомами группы⁸, и вывести из них их следствия — значит построить аксиоматическую теорию групп.

Теперь можно объяснить, что́ надо понимать в общем случае под математической структурой. Общей чертой различных понятий, объединённых этим родовым названием, является то, что они применимы к множествам элементов, природа которых⁹ не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы¹⁰ (в случае групп — это отношение x τ y = z между тремя произвольными элементами); затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры)¹¹. Построить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности от всяких гипотез относительно их «природы»).

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ СТРУКТУР

Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть по своей природе весьма разнообразными. То отношение, которое фигурирует в групповых структурах, называют «законом композиции»; это такое отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», соответствующая структура называется алгебраической структурой (например, структура поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами: сложение и умножение действительных чисел определяют структуру поля на множестве этих чисел).

Другой важный тип представляют собой структуры, определённые отношением порядка; на этот раз это — отношение между двумя элементами x, y, которое чаще всего мы выражаем словами «x меньше или равно y» и которое мы будем обозначать в общем случае x R y. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов x, y как функцию другого. Аксиомы, которым оно подчиняется, таковы:

a) для всех x справедливо x R x;

b) из соотношений x R y, y R x следует x = y;

c) из соотношений x R y, y R z следует x R z.

Очевидным примером множества, снабжённого такой структурой, является множество целых чисел (или множество действительных чисел), причём здесь знак R заменяется на ≤. Но надо заметить, что мы не включили в число аксиом аксиому, отражающую следующее свойство, которое кажется неотделимым от того понятия порядка, каким мы пользуемся в обыденной жизни: «каковы бы ни были x, y, имеет место или x R y или y R x». Другими словами, не исключается случай, когда два элемента могут оказаться несравнимыми. На первый взгляд это может показаться странным, но легко привести очень важные примеры структур порядка, для которых имеет место именно это обстоятельство. Именно с таким положением вещей мы сталкиваемся, когда X, Y означают подмножества некоторого множества, а X R Y означает «X содержится в Y» или ещё когда x, y являются натуральными числами, a x R y означает «x делит y», или, наконец, когда f(x) или g(x) являются действительными функциями, определёнными на интервале a ≤ x ≤ b, а f(x) R g(x) означает: «каково бы ни было x, f(x) ≤ g(x)». Эти примеры в то же время показывают, сколь велико разнообразие областей, где появляются структуры порядка, и заранее дают представление о том, насколько интересно их изучение.

Мы скажем ещё несколько слов о третьем важном типе структур — топологических структурах (или топологиях); в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве. Усилия, необходимые для перехода к абстракции, находящей своё выражение в аксиомах такой структуры, требуются значительно большие по сравнению с тем, что имело место в предыдущих примерах, и размеры настоящей статьи вынуждают нас отослать читателей, желающих получить более подробные сведения по этому вопросу, к специальной литературе¹².

СТАНДАРТИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОРУДИЙ

Мы думаем, что нами сказано достаточно для того, чтобы читатель мог создать себе достаточно ясное представление об аксиоматическом методе. Наиболее бросающейся в глаза его чертой, как это видно из изложенного выше, является реализация значительной экономии мысли. «Структуры» являются орудиями математика; каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определённого типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он был бы должен мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причём их мощность зависела бы от его личного таланта и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы. Таким образом, можно было бы сказать, что аксиоматический метод является не чем иным, как «системой Тейлора» в математике¹³.

Но это сравнение — недостаточное. Математик не работает подобно машине; мы должны особенно подчеркнуть, что в рассуждениях математика основную роль играет особая интуиция¹⁴, отличная от обыденной чувственной интуиции и заключающаяся скорее в непосредственном угадывании (предшествующем всякому рассуждению) нормального положения вещей, которое, как кажется, он вправе ожидать от математических объектов, ставших в результате его частого оперирования с ними столь же для него привычными, как и объекты реального мира. Но ведь каждая структура сохраняет в своём языке интуитивные отзвуки той специфической теории, откуда её извлёк аксиоматический анализ, описанный нами выше. И когда исследователь неожиданно открывает эту структуру в изученных им явлениях, это для него является как бы толчком, который сразу направляет интуитивный поток его мыслей в неожиданном направлении, и в результате этого математический ландшафт, по которому он движется, получает новое освещение. Чтобы ограничиться старым примером, вспомним прогресс, осуществлённый в начале XIX века благодаря геометрической интерпретации мнимых величин; с нашей точки зрения, это было обнаружение в множестве комплексных чисел хорошо известной топологической структуры — структуры евклидовой плоскости — со всеми следующими отсюда возможностями приложений, — открытие, которое в руках Гаусса, Абеля, Коши и Римана менее чем за одно столетие обновило весь анализ.

Такие примеры умножились за последние 50 лет: пространство Гильберта и более общие функциональные пространства, вводящие топологические структуры в множества, элементами которых являются уже не точки, а функции; p-адические числа Гензеля, посредством которых — ещё более удивительное обстоятельство! — топология воцарилась в той области, которая до этих пор считалась царством дискретного, разрывного по преимуществу — в множестве целых чисел; мера Хаара, безгранично расширившая область применения понятия интеграла и способствовавшая весьма глубокому анализу свойств непрерывных групп, — таковы решающие моменты в прогрессе математики, те повороты, когда свет гения определял новое направление теории, обнаруживая в ней структуру, которая, как казалось a priori, не играла там никакой роли.

Это говорит о том, что в настоящее время математика менее, чем когда-либо, сводится к чисто механической игре с изолированными формулами, более чем когда-либо интуиция безраздельно господствует в генезисе открытий; но теперь и в дальнейшем в её распоряжении находятся могущественные рычаги, предоставленные ей теорией наиболее важных структур, и она окидывает единым взглядом огромные области, унифицированные аксиоматикой, в которых некогда, как казалось, царил самый бесформенный хаос.

ОБЗОР В ЦЕЛОМ

Руководствуясь концепцией аксиоматики, попытаемся представить теперь математический мир в целом. Конечно, мы более не распознаем здесь традиционный порядок, который, подобно первым классификациям видов животных, ограничивался тем, что расставлял рядом друг с другом теории, представляющие наибольшее внешнее сходство. Вместо точно разграниченных разделов алгебры, анализа, теории чисел и геометрии мы увидим, например, теорию простых чисел по соседству с теорией алгебраических кривых или евклидову геометрию рядом с интегральными уравнениями, и упорядочивающим принципом будет концепция иерархии структур, идущей от простого к сложному, от общего к частному.

В центре находятся основные типы структур, из которых мы только что перечислили главнейшие, так сказать, порождающие структуры (les structures – mères). В каждом из этих типов господствует уже достаточное разнообразие, так как там надо различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из неё в результате её обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечёт за собой и новые следствия. Именно таким образом теория групп, помимо тех общих положений, которые справедливы для всех групп и зависят только от аксиом, перечисленных выше, содержит, в частности, теорию конечных групп (в которой добавляют аксиому, гласящую, что число элементов группы конечно), теорию абелевых групп (в которых имеем x τ y = y τ x, каковы бы ни были x, y), а также теорию конечных абелевых групп (в которой предполагаются выполненными обе вышеуказанные аксиомы). Точно так же среди упорядоченных множеств различают те, в которых (как при упорядоченности в множестве целых или в множестве действительных чисел) любые два элемента сравнимы и которые называются линейно упорядоченными (totalement ordonné); среди этих последних особо изучают множества, называемые вполне упорядоченными (в которых, так же как в множестве натуральных чисел, каждое подмножество имеет «наименьший элемент»). Подобная же градация существует и для топологических структур.

За пределами этого первоначального ядра появляются структуры, которые можно было бы назвать сложными (multiples) и в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещённые друг с другом (что не дало бы ничего нового), а органически скомбинированные при помощи одной или нескольких связывающих их аксиом. Именно такой характер носит топологическая алгебра, изучающая структуры, определяемые одним или несколькими законами композиций и одной топологией, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными функциями (для рассматриваемой топологии) элементов, над которыми они производятся. Не менее важной является алгебраическая топология, которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определённые топологическими свойствами (симплексы, циклы и т.д.) как элементы, над которыми производятся алгебраические операции. Соединение структуры порядка и алгебраической структуры точно так же изобилует результатами, приводя, с одной стороны, к теории делимости идеалов, а с другой стороны — к теории интегрирования и к «спектральной теории» операторов, где точно так же топология играет свою роль.

Наконец, далее начинаются собственно частные теории, в которых элементы рассматриваемых множеств, которые до сего момента в общих структурах были совершенно неопределёнными, получают более определённую индивидуальность. Именно таким образом получают теории классической математики: анализ функций действительного и комплексного переменного, дифференциальную геометрию, алгебраическую геометрию, теорию чисел. Но они теряют свою былую автономность и являются теперь перекрёстками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные математические структуры, имеющие более общий характер.

Чтобы сохранить правильную перспективу, необходимо после этого беглого обзора сейчас же добавить, что он должен рассматриваться как весьма грубое приближение к истинному положению дел в математике. Он является одновременно схематическим, идеализированным и застывшим.

Схематическим — так как в деталях не всё идёт так гладко и планомерно, как это может представиться после того, что мы рассказали. Между прочим, имеются неожиданные возвращения назад, когда теория, носящая ярко выраженный частный характер, как, например, теория действительных чисел, оказывает помощь, без которой нельзя обойтись при построении какой-либо общей теории, как, например, топологии или теории интегрирования.

Идеализированным — потому что далеко не во всех разделах математики некоторая определённая часть каждой из основных структур распознана и вмещена в чётко очерченные границы. В некоторых теориях (например, в теории чисел) существуют многочисленные изолированные результаты, которые до сего времени не умеют ни классифицировать, ни связать удовлетворительным образом с известными структурами.

Наконец — застывшим, так как нет ничего более чуждого аксиоматическому методу, чем статическая концепция науки, и мы не хотели оставить у читателя впечатление, будто бы мы претендовали дать очерк её окончательного состояния. Структуры не остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности; вполне возможно, что дальнейшее развитие математики приведёт к увеличению числа фундаментальных структур; открыв плодотворность введения новых аксиом или новых сочетаний аксиом, можно заранее оценить значение этих открытий, если судить о них по тем, которые дали уже известные структуры. С другой стороны, эти последние ни в коем случае не являются чем-то законченным, и было бы весьма удивительно, если бы их жизненная сила была уже исчерпана.

Введя эти неизбежные поправки, можно лучше понять внутреннюю жизнь математики, понять то, что создаёт её единство и вносит в неё разнообразие, понять этот большой город, чьи предместья не перестают разрастаться несколько хаотическим образом на окружающем его пространстве, в то время как центр периодически перестраивается, следуя каждый раз всё более и более ясному плану и стремясь к всё более и более величественному расположению, когда сносятся старые кварталы с их лабиринтом переулков для того, чтобы проложить к периферии улицы всё более прямые, всё более широкие, всё более удобные.

ВОЗВРАЩЕНИЕ К ПРОШЛОМУ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Концепция, которую мы только что пытались изложить, возникла не сразу, а лишь в результате более чем полувековой эволюции и была встречена не без сопротивления как со стороны философов, так и со стороны математиков. Многие из этих последних долго не могли согласиться рассматривать аксиоматику как что-либо большее, чем ненужные тонкости логиков, неспособные оплодотворить какую-либо теорию. Эта критика объясняется, без сомнения, исторической случайностью: аксиоматизации, которые появились первыми и которые имели наибольший отклик (аксиоматизации арифметики Дедекинда и Пеано, евклидовой геометрии Гильберта), касались унивалентных теорий, т.е. таких, которые полностью определялись совокупностью своих аксиом, причём система этих аксиом не могла быть применена к какой-либо другой теории, кроме той, из которой она была извлечена (в противоположность тому, что мы видели, например, в теории групп). Если бы это имело место для всех структур, то упрёк в бесплодности, выдвинутый по адресу аксиоматического метода, был бы полностью оправдан¹⁵. Но этот последний доказал свою мощь своим собственным развитием, и отвращение к нему, которое ещё встречается там и сям, можно объяснить лишь тем, что разум по естественной причине затрудняется допустить мысль, что в конкретной задаче может оказаться плодотворной форма интуиции, отличная от той, которая непосредственно подсказывается данными (и которая возникает в связи с абстракцией более высокого порядка и более трудной).

Что касается возражений со стороны философов, то они относятся к области, где мы не решаемся всерьёз выступать из-за отсутствия компетентности; основная проблема состоит во взаимоотношении мира экпериментального и мира математического¹⁶. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, — это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысл) и, быть может, мы их никогда и не узнаем. Во всяком случае сделанное замечание могло бы побудить философов в будущем быть более благоразумными при решении этого вопроса. Перед тем как началось революционное развитие современной физики, было потрачено немало труда из-за желания во что бы то ни стало заставить математику рождаться из экспериментальных истин; но, с одной стороны, квантовая физика показала, что эта «макроскопическая» интуиция действительности скрывает «микроскопические» явления совсем другой природы, причём для их изучения требуются такие разделы математики, которые, наверное, не были изобретены с целью приложений к экспериментальным наукам, а с другой стороны, аксиоматический метод показал, что «истины», из которых хотели сделать средоточие математики, являются лишь весьма частным аспектом общих концепций, которые отнюдь не ограничивают своё применение этим частным случаем. В конце концов, это интимное взаимопроникновение, гармонической необходимостью которого мы только что восхищались, представляется не более чем случайным контактом наук, связи между которыми являются гораздо более скрытыми, чем это казалось a priori.

В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм. Конечно, нельзя отрицать, что большинство этих форм имело при своём возникновении вполне определённое интуитивное содержание; но как раз сознательно лишая их этого содержания, им сумели придать всю их действенность, которая и составляет их силу, и сделали для них возможным приобрести новые интерпретации и полностью выполнить свою роль в обработке данных.

Только имея в виду этот смысл слова «форма», можно говорить о том, что аксиоматический метод является «формализмом». Единство, которое он доставляет математике, это — не каркас формальной логики, не единство, которое даёт скелет, лишённый жизни. Это — питательный сок организма в полном развитии, податливый и плодотворный инструмент исследования, который сознательно используют в своей работе, начиная с Гаусса, все великие мыслители-математики, все те, кто, следуя формуле Лежён-Дирихле, всегда стремились «вычисления заменить идеями». [В печатном варианте статьи было «идеи заменить вычислениями». Неестественность такой концовки в устах Бурбаки очевидна каждому, кто знаком с их творчеством. И, несмотря на то, что любой математик хочет получить итоговый результат покороче, иногда без длинных вычислений (по крайней мере, поначалу) не обойтись. Кстати, Гаусс и Дирихле не боялись вычислений и обладали подлинно «марафонским дыханием» в этом деле. Хочу ещё привести отрывок из интервью В. И. Арнольда, которое было опубликовано в Notices of the AMS, 44 (1997), N 4, pp.432–438. The Bourbakists claimed that all the great mathematicians were, using the words of Dirichlet, replacing blind calculations by clear ideas. The Bourbaki manifesto containing these words was translated into Russian as "all clear ideas were replaced by blind calculations." The editor of the translation was Kolmogorov. His French was excellent. I was shocked to find such a mistake in the translation and discussed it with Kolmogorov. His answer was: I had not realized that something was wrong in the translation since the translator described the Bourbaki style much better than the Bourbakists did. Любопытно, что Колмогоров не фигурирует в списке членов редколлегии «Математического просвещения» за 1960 год. — E.G.A.]

А. А. Ляпунов
(Москва)

О ФУНДАМЕНТЕ И СТИЛЕ
СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
 
(ПО ПОВОДУ СТАТЬИ Н. БУРБАКИ)

Огромный поток современной научной литературы в области математики посвящён решению конкретных математических задач и разработке общих математических теорий. Именно в этом заключается основная ценность современной математической науки. Однако громадная разветвлённость проблематики и непрерывно возрастающее число людей, принимающих участие в её активной разработке, приводят к тому, что ориентироваться в современной научной литературе становится всё труднее и труднее.

В связи с этим тенденции к систематизации всей современной математики должны быть признаны очень актуальными.

Наиболее ярким коллективным произведением в этом направлении является многотомное издание «Элементы математики», выпускаемое очень сильным коллективом французских математиков под псевдонимом «Н. Бурбаки». Некоторые выпуски этого издания уже переведены на русский язык. Было бы весьма целесообразно издать это произведение по-русски полностью. Отметим, что количество работ в самых различных областях математики, примыкающих к этому труду, неуклонно возрастает.

Статья Н. Бурбаки «Архитектура математики» представляет собой высказывания программного характера. В ней авторы излагают тот взгляд на современную математику, который проводится во всей полноте в их сочинении. Благодаря этому статья представляет интерес для широкого круга читателей, интересующихся математикой.

Существенной особенностью коллектива Бурбаки является то, что в него входят очень сильные, творчески работающие математики, благодаря чему тенденция к систематизации гармонически сочетается со стремлением к отысканию новых значительных направлений в математике и к разработке новых математических теорий. Можно сказать, не боясь преувеличений, что Бурбаки представляют собой наиболее значительное явление в современной математике. Деятельность этого коллектива принесла чрезвычайно существенные плоды в таких разнообразных областях математики, как топология, топологическая алгебра, алгебраическая геометрия, теория функций многих комплексных переменных, теория алгебраических чисел, функциональный анализ. Наконец, та система математики, которую разрабатывают Бурбаки и их приверженцы, находит всё большее число сторонников среди математиков всего мира и оказывает всё большее влияние на современную науку.

Именно потому, что я очень высоко расцениваю деятельность Бурбаки, мне кажется досадной некоторая нечёткость общефилософских воззрений, высказанных в заключительной части статьи «Архитектура математики». Авторы с большой убедительностью показывают, что аксиоматический метод изучения основных математических структур является весьма прогрессивным. Он содействует вскрытию внутреннего родства внешне далёких математических теорий, позволяет расширять границы применимости математических методов, позволяет освобождаться от несущественных ограничений в общих теориях и содействует развитию новой плодотворной математической интуиции. Можно к этому прибавить, что именно аксиоматический метод служит основой самых широких приложений математики к разнообразнейшим сторонам человеческой деятельности. Наблюдающаяся в наше время экспансия математической мысли приводит к необходимости опираться на аксиоматический метод при решении задач, возникающих на почве автоматизации управления производством, использования вычислительных машин как подсобного средства умственного труда, в математической лингвистике, математической экономике и математической биологии. Далеко не всё, что в этих областях делается, строится в явной форме на базе аксиоматического метода. Иногда аксиоматизация проводится нечётко, так что наряду с формализацией новых элементов теории происходит содержательное использование её старых разделов. Однако такая неполнота использования аксиоматического метода рано или поздно приводит к неувязкам, противоречиям и к потере полноты результатов, которые устраняются только приведением в систему логической основы этих теорий, т.е. их последовательным аксиоматическим перестроением. Пренебрежение к разработке логической основы новых теорий часто приводит к кустарничеству. Таким образом, я считаю, что широкое применение аксиоматических методов необходимо прежде всего для прикладной математики. Это обстоятельство должно учитываться с максимальной полнотой при составлении учебных планов инженерных и математических учебных заведений. Мне кажется, что Бурбаки обращают недостаточное внимание на прикладное значение аксиоматических концепций.

С этим связано и то, что взаимоотношения между математическими и общефизическими теориями, в частности возможность применения аксиоматических теорий для понимания связи между физическими явлениями, представляется авторам случайным и привходящим обстоятельством. На самом деле единство материального мира обусловливает то, что при самых различных обстоятельствах возникают однотипные связи между различными сторонами проявлений его особенностей. Эти проявления являются источником физических представлений, которые в свою очередь являются источником математических теорий. Близость тех структур, которые изучаются в этих теориях, является своеобразным отражением единства материального мира в математической абстракции. Правда, выяснение этих обстоятельств выходит за рамки того внутриматематического рассмотрения гносеологических вопросов математики, которому посвящена статья Н. Бурбаки. Но я не вижу оснований для того, чтобы рассматривать этот вопрос, непременно соблюдая указанные ограничения.

Во всём остальном, мне кажется, точка зрения авторов вполне правомощна и высказанные ими взгляды убедительны.

Если аксиоматический метод является стилем современной математики, то потребности практики (понятые в самом широком смысле, включая сюда также и потребности смежных наук) являются её фундаментом. Широкое использование абстрактных концепций математики: навыки в выработке точных понятий, отчётливая формулировка задач и применение аксиоматического метода при решении актуальных задач, возникающих из практики, — вот что должно быть признано особенно характерным для современной математики. В этой связи нельзя забывать о том, что всестороннее совершенствование и оттачивание математического аппарата, а также систематизация всех добытых ценностей должны быть неотъемлемой составной частью этой деятельности.