С. М. Улам. Приключения математика (Перевод с английского Л. А. Кунгуровой. Под редакцией А. В. Борисова, Н. А. Зубченко). — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 272 с. ISBN 5-93972-084-6 S. M. Ulam. Adventures of a Mathematician. Charles Scribner's Sons, New York, 1976. Книга представляет собой автобиографию известного польского математика Станислава Улама (1909–1984). Широко известная на Западе, она более 20 лет не была переведена на русский язык. Книга написана в живом и ярком стиле, очень увлекательна, содержит много интересных исторических подробностей (из жизни С. Банаха, Дж. фон Неймана, Э. Ферми и др.). Для широкого круга читателей — от студентов до специалистов-математиков и историков науки.

Беспорядочные размышления о математике и науке

Эта глава будет несколько отлична по содержанию от предшествующего ей рассказа о моих «приключениях» и об учёных, которых я знал. В ней я совершил попытку собрать, обозреть и, в некоторых случаях, дополнить некоторые общие идеи, которых я лишь слегка коснулся на протяжении этой книги. Хотелось бы надеяться, что в своей беспорядочности эти размышления подарят читателю возможность лишний раз соприкоснуться с многообразием аспектов науки и особенно связью математики с другими науками. Здесь будет сказано лишь «об основе основ». Если читателю интересны подробности, то единственное, что я могу сделать — это предложить ему прочесть некоторые из моих научных публикаций по наиболее общим вопросам.

Что конкретно есть математика? Многие пытались, но никому на самом деле не удалось дать ей определение; математика — это всегда что-то ещё. Люди знают, что она, грубо говоря, имеет дело с числами и цифрами, с моделями, отношениями, операциями и что её формальные процедуры, включающие аксиомы, доказательства, леммы и теоремы не изменились со времён Архимеда. Также им известно, что математика претендует на звание основы всего рационального мышления.

Некоторые могли бы сказать, что это внешний мир снабдил наше мышление — то есть работу человеческого мозга — тем, что сейчас называют логикой. Другие — философы и учёные — говорят, что логическое мышление (мыслительный процесс?) есть плод внутренних совершенствований разума, которые в процессе эволюции развивались «независимо» от деятельности внешнего мира. Очевидно, что математика связана и с тем, и с другим. Она, вероятно, представляет собой язык, который служит как для описания внешнего мира, так и для самоанализа, возможно, даже в большей степени. Ведь в своём эволюционном переходе от более примитивной нервной системы, мозг как орган, состоящий из десяти 237  или более миллиардов нейронов и намного более огромного числа связей между ними, изменялся и увеличивался, скорее всего, в результате множества обстоятельств.

Само существование математики объясняется существованием утверждений или теорем, которые очень просто сформулировать, но доказательства которых требуют страниц и страниц объяснений. Почему всё происходит именно так, не знает никто. Но простота многих таких утверждений представляет как эстетическую ценность, так и философский интерес.

На протяжении всего развития математики её эстетическая сторона представляла самое большое значение. Не так важно, насколько полезна теорема, куда важнее то, насколько она изящна. Отдать должное эстетической ценности математики со всей полнотой могут лишь немногие «нематематики» и даже учёные из других областей, но для тех, кто ею занимается, эта ценность неоспорима. Можно, однако, рассуждать и о невзрачной стороне математики. Эта невзрачность связана с тем, что в математике необходима крайняя щепетильность, уверенность в каждом сделанном шаге. В математике нельзя останавливаться, ведя большой и широкой кистью. Все детали нужно охватывать одновременно.

«Математика — это язык, в котором нет места неточным и туманным высказываниям» — это слова Пуанкаре, которые он произнёс, если я не ошибаюсь, во время своей речи о мировой науке в Сан-Луи очень много лет назад. Приводя пример влияния языка на мышление, он описал, как менялись его ощущения, когда он говорил не по-французски, а по-английски.

Я склонен согласиться с ним. Общеизвестно, что во французском языке есть некая прозрачность, отсутствующая в других языках, и, я полагаю, именно она составляет отличную черту французской математической и научной литературы. Мысли получают разные направления. Французский наводит меня на обобщения и побуждает к упрощению и краткости. Английский взывает к здравому смыслу. Немецкий затягивает вглубь проблемы, которая не всегда бывает достаточно глубокой.

Польский и русский языки характеризуются своеобразным брожением, развитием мысли, которое можно уподобить усилению крепости настоя. Славянские языки мечтательны, душевны, эмоциональны, тяготеют скорее к психологии, нежели к философии, и не так зависимы от отдельных слов, как, например, немецкий язык, где слова и слоги сцепляются и соединяют мысли, которые иногда не слишком сочетаются друг с другом. Латынь — это опять нечто другое. Это упорядоченный язык; в нём всегда присутствует ясность; слова разделены; они не склеиваются, как в немецком; именно так хорошо приготовленный рис отличается от переваренного и слипшегося. 238 

Вообще говоря, мои собственные впечатления о языках следующие: о чём бы я ни говорил по-немецки, мне кажется, что я преувеличиваю, когда я говорю по-английски, то, напротив, как будто недоговариваю что-то. И только сказанное на французском кажется верным, да ещё на польском, так как это мой родной язык, и потому он кажется мне таким естественным.

Прежде некоторые французские математики ухитрялись писать более свободным стилем, не используя слишком много определённых теорем. Такой стиль был более приятен по сравнению с нынешним стилем научных книг и работ, в которых каждая страница изобилует формулами и символами. Лично я «отключаюсь», когда вижу перед собой только формулы и символы и совсем чуть-чуть текста. По мне так это весьма утомительно — глядеть на страницу и не знать на чём сконцентрироваться, и я никак не могу понять, как многие другие математики могут читать их самым подробным образом и вдобавок получать от этого удовольствие.

Но, безусловно, существуют и неизящные теоремы, которые важны и трудоёмки. В качестве примера можно привести какую-нибудь работу по дифференциальным уравнениям в частных производных, менее «чудесную» по стилю и форме, но, возможно, имеющую «глубину» и щедрую на следствия, применяемые в физике.

Как складываются суждения о ценности сегодня?

Математики, работа которых, в известном смысле, состоит в том, чтобы анализировать мотивы и источники своей работы, обманываются и могут утратить свою проницательность, если полагают, что их главная работа в том, чтобы доказывать теоремы без всякого понятия о том, почему они могут быть важными. Если принять во внимание исключительно эстетический критерий, не покажется ли этот факт таинственным?

Я думаю что в ближайшие десятилетия придёт и даже займёт формальный уровень более глубокое понимание красоты, хотя, возможно, к тому времени эти критерии сдвинутся до вновь неподдающихся анализу высших уровней суперкрасоты. А до сих пор все попытки проанализировать эстетические критерии приводили к предположениям, которые казались слишком ограниченными. Математика должна обращаться к связям с другими теориями внешнего мира или с историей развития человеческого мозга, иначе она окажется чисто эстетической и очень субъективной в том же смысле, что и музыка. Я, правда, считаю, что даже качество музыки подвластно анализу — лишь до определённой степени, конечно — хотя бы с помощью формального критерия, математизации идеи аналогии.

Сейчас решаются некоторые старые задачи, решения которых не могли найти многие годы. Одни задачи решают с торжеством, 239  другие, так сказать, с хныканьем. В обоих случаях эти задачи одинаково важны и в высшей степени интересны, однако некоторые из них, даже знаменитые и классические, решаются настолько по-особенному, что к этому больше просто нечего добавить! Другие, менее известные, вызывают любопытство и побуждают к дальнейшей работе, как только находишь их решение. Они словно открывают новые тропинки.

Что касается публикаций, то в наше время математики почти что вынуждены утаивать то, как они получают свои результаты. А между тем Эварист Галуа, молодой французский гений, погибший в двадцать один год, в своём последнем письме подчёркивает, насколько истинный процесс совершения открытия отличается от того, что в конце концов выходит из печати в качестве процесса доказательства. Важно повторять это как можно чаще.

В целом, и в довольно широких рамках, похоже, действительно существует консенсус, к которому пришли математики-исследователи при обсуждении ценности индивидуальных достижений и новых теорий. А значит должно существовать нечто объективное, даже если ещё не сформулированное, то, что описывает ощущение красоты, которая существует в математике, и которая зависит иногда и от полезности математики для других её областей или для других наук. Во всяком случае, для меня остаётся тайной, почему, к примеру, математика так важна для описания физического мира, если ставить этот вопрос философски. Юджин Вигнер однажды написал очень увлекательную статью об этой «невероятной» полезности математики под названием «Непостижимая эффективность математики» («The Unreasonable Effectiveness of Mathematics»).

Конечно, математика — это очень краткое представление одного из способов формализации всего рационального мышления.

Несомненно в математике значение тренировки нашего мозга, которая происходит тогда, когда мы учимся в начальной, средней и высших школах, ведь практика, точно так же, как в любой игре, делает его сильнее. Я не могу сказать, сильнее ли мозг математика сегодня, если сравнивать с древнегреческими временами; однако если брать ещё больший масштаб эволюции, то, скорей всего, это именно так. Я в самом деле считаю, что математика может играть огромную роль в генетике, что она может оказаться одним из немногих средств совершенствования человеческого мозга. Если это и вправду так, то для человечества не было бы ничего важнее, независимо от того придут ли люди к новой судьбе вместе или по отдельности. Возможно, что с помощью математики можно будет создавать физически, то есть анатомически, новые связи в мозге. Математика обладает способностью обострять ощущения, даже несмотря на то, что быстрое увеличение 240  материала до огромных объёмов стремится загубить всё дело.

И всё же, любой алгоритм, любая форма заключает в себе некую магию. Содержимое еврейского Талмуда или даже Каббалы не кажется такой уж богатой пищей для ума, являя собой лишь огромное собрание грамматических или кулинарных рецептов, местами поэтических, местами мистических, но в любом случае весьма произвольных. Но на протяжении веков тысячи умов вчитывались, запоминали, анализировали и классифицировали эти труды. Возможно, в этом занятии обострилась их память и дедуктивная практика. Подобно тому, как нож становится острее, когда мы затачиваем его на точильном камне, может «затачиваться» и наш мозг на скучных предметах наших мыслей. Любая форма усердного мышления имеет свою ценность.

Есть в математике утверждения, например, такие как великая теорема Ферма, которые сами по себе кажутся специальными и никак не связанными с теорией чисел, как таковой. Чрезвычайно простые в формулировках, они не поддались усилиям самых великих умов, пытавшихся доказать их. Такие теоремы стимулировали в наших умах (я ведь тоже не был исключением) более общий интерес и любопытство. А задача Ферма, специальная ли она сама по себе или даже не нужная, стимулировала за последние три века математики создание новых до сих пор актуальных объектов математической мысли, особенно создание так называемой теории идеалов в алгебраических структурах. История математики знает немало предметов, созданных таким путём.

Изобретение мнимых и комплексных чисел (представляющих собой пары вещественных чисел, которые умножаются и складываются по специальному правилу) помимо того назначения и применения, что им немедленно определили, открыло новые возможности и привело к обнаружению удивительных свойств комплексных переменных. Эти аналитические функции (самыми простыми примерами которых являются, скажем, z = √w, z = e^w, z = log w) обладают простыми, неожиданными и непредвиденными ранее свойствами, которые выводятся из нескольких общих правил, которым они подчиняются. Они имеют удобные алгоритмы и довольно глубокие связи со свойствами геометрических объектов и некими загадками, связанными со столь хорошо нам знакомыми на первый взгляд, натуральными числами — обыкновенными целыми числами. То же самое мы ощутили бы, если бы некая невидимая, другая вселенная, правящая нашими мыслями, стала вдруг смутно проявляться сквозь эти мысли, вселенная с какими-то законами и фактами, о которых мы начали только смутно догадываться.

Трудно объяснить a priori с достаточной полнотой тот факт, что некоторые функции, кажущиеся очень специальными, например, 241  дзета-функция Римана, имеют такие глубокие связи с поведением целых чисел или простых чисел. Он по сей день не вполне понят. Не так давно эти специальные аналитические функции, определяемые бесконечными рядами, были обобщены на пространства, отличные от плоскости всех комплексных чисел, например, на алгебраические поверхности. Эти примеры показывают связи между как будто разными понятиями. Они также свидетельствуют о существовании (следующая метафора навеяна самой темой рассуждения) ещё одной поверхности реальности, римановой поверхности мышления (Riemann surface of thought) и связей мышления, о которых мы на сознательном уровне ничего не знаем.

Некоторые из свойств аналитических функций комплексного переменного, как оказывается, не только удобны, но и фундаментально связаны с физическими свойствами материи, в теории гидродинамики, а именно описании движения несжимаемых жидкостей, таких как вода, в электродинамике и основах самой квантовой теории.

Создание общей, несомненно абстрактной идеи пространства, о которой на самом деле нельзя сказать, что её полностью подсказало или каким-то уникальным образом указало на неё физическое пространство, в котором происходит наше чувственное восприятие, обобщение до n-мерного пространства, где n > 3 и даже до бесконечномерного пространства, столь полезное, во всяком случае как язык основ самой физики. Что это? Изумительные плоды нашего могущественного мозга? Или это откровение природы физической реальности? Само изобретение (или «открытие») существования различных степеней или различных видов бесконечности оказало не только философское, но и, сверх того, поразительное психологическое влияние на восприимчивые умы.

Рассуждая о завораживающем действии неожиданностей, таинственной привлекательности математики и, конечно же, других наук — физики в особенности — можно отметить кое-что ещё. Как часто можно наблюдать в игре в шахматы, как слабый игрок или даже совсем ещё начинающий вдруг вносит в игру сложный, удивительный расклад. Я нередко следил за игрой любителей или неспособных учеников и где-нибудь на пятнадцатом ходу замечал, что расклад, который у них получается — по-видимому, случайно и уж, конечно, не по задумке — сулит множество чудесных возможностей для каждого из игроков. Мне любопытно, как игра может сама создавать такие расклады, в которых столько привлекательности и искусности, делать это независимо от этих профанов, даже не подозревающих о том, что происходит. Не знаю, возможны ли аналогичные случаи в игре в го. Не слишком разбираясь в нюансах этой прелестной игры, я не могу судить об этом, но всё-таки мне интересно, может ли профессионал по одному взгляду на 242  расклад определить, получился ли он случайно или же благодаря логически развивающимся и обдуманным действиям игроков.

Кажется, что в науке, особенно в математике, существует похожий магический интерес — интерес к определённым алгоритмам. Такие алгоритмы способны сами давать решения задач или «открывать окна» новых перспектив. И то, что в начале казалось лишь инструментом для достижения частной цели, может в итоге повлечь какие-нибудь новые неожиданные и непредсказуемые применения.

Кстати, мне в голову пришла любопытная философская головоломка, и я не знаю, как её решить. Рассмотрим игру солитер или же какую-нибудь игру между двумя игроками и допустим, что в ходе игры участники могут сжульничать один или два раза. Например, если в пасьянсе «Канфилд» поменять положение одной или двух карт один и только один раз, игра не нарушится. Она по-прежнему останется точной, полной, имеющей математический смысл, но станет другой игрой. Просто она станет чуть более насыщенной, более общей. Но если рассмотреть математическую систему и допустить одно или два ложных утверждения, результат немедленно станет бессмыслицей, потому что имея ложное утверждение можно вывести всё, что душе угодно. В чём же кроется разница? Возможно, она кроется в том, что в игре допускается лишь один определённый класс действий, тогда как в математике лишь однажды введя неверное утверждение, можно получить такой вот вывод: ноль равен единице. Тогда, очевидно, должен существовать и способ обобщения математической игры, так чтобы можно было совершить несколько ошибок и вместо полной чепухи получить только более широкую систему.

Мы с Хокинсом размышляли над следующей связанной с этим задачей: вариация игры «Двадцать вопросов». Один человек задумывает число в интервале от единицы до одного миллиона (который как раз меньше, чем 2²⁰). Другому человеку позволяется задать до двадцати вопросов, на каждый из которых первый участник должен отвечать только «да» или «нет». Очевидно, что число можно угадать, если сначала спросить: это число в первой половине миллиона? В следующем вопросе опять ополовинить получившийся интервал чисел и так далее. В конечном итоге, число можно угадать менее чем за log₂1000000 раз. Предположим теперь, что участник имеет право солгать один или два раза. Сколько вопросов потребуется, чтобы получить верный ответ? Ясно, что для того, чтобы угадать одно из 2ⁿ чисел, требуется более n вопросов, поскольку о том, когда была сказана ложь, неизвестно. В общем виде эта задача не решена.

В своей книге о нерешённых задачах я утверждаю, что многие математические теоремы можно «payzise» (греческое слово, 243  которое значит «обыграть»). То есть их можно сформулировать на языке теории игр. Например, достаточно общую схему игры можно представить следующим образом:

Предположим, что N — данное целое число, а два игрока должны осуществить две перестановки N букв (n₁,  n₂, ..., n_N). Для этого два игрока действуют по очереди следующим образом. При первой перестановке первый игрок забирает букву n₁, второй — n₂, первый — n₃ и так далее. В конце концов первая перестановка заканчивается. Затем они разыгрывают вторую перестановку и если две перестановки образуют группу всех перестановок, выигрывает первый игрок, в противном случае выигрывает второй. У кого в этой игре выигрывающая стратегия? Это лишь скромный пример того, как в любой области математики — в данном случае в теории конечных групп — можно придумать «игроподобные» схемы, которые приводят к чисто математическим задачам и теоремам. Можно задавать вопросы и другого рода, например: каковы шансы, если это делается наугад? В этом случае задача объединит в себе и теорию меры, и теорию вероятностей, и комбинаторику. Можно продолжать в таком духе и рассматривать многие области математики.

К концу XIX века теория множеств совершила переворот в математике. Всё началось с того, что Георг Кантор доказал (вернее открыл), что континуум не является счётным множеством. Он не единственный размышлял о логике бесконечности — были ещё его предшественники Вейерштрасс и Больцано, однако первое тщательное изучение степеней бесконечности было проведено, конечно, им. Оно возникло из изучения им тригонометрических рядов и, вобрав в себя аромат математики, быстро приняло математическую форму. Дух этой теории в значительной степени проник в математику; недавно она получила новое и технически совершенно неожиданное, обновлённое развитие как в самой абстрактной форме, так и в форме непосредственных приложений. Нужно заметить, что формулировки топологии, алгебраических идей в самой общей форме получили импульс и направление от деятельности польской школы, которая в значительной степени была представлена во Львове, где интересы сконцентрировались, грубо говоря, вокруг функционального анализа в геометрическом и математическом смысле.

Можно привести следующее чрезмерно упрощённое описание того, что послужило началом этой деятельности. Начатый Кантором и математиками французской школы — Борелем, Лебегом и другими — этот род исследований прижился в Польше. В своей книге «Блестящие иммигранты» («Illustruous Immigrants») Лаура Ферми восхищенно удивляется тому, сколь многие из работавших в США польских математиков проделали так много важной работы 244  для процветания этой области. Тех, кто приехал сюда, чтобы жить и продолжать эту работу, тоже было немало. Изучение анализа, одновременно проводимое Гильбертом и другими немецкими математиками, привело к появлению простой, общей математической структуры бесконечномерных функциональных пространств, которую впоследствии также развила польская школа. А независимая и одновременная работа Мура, Веблена и других учёных Америки сделала возможной встречу геометрических и алгебраических взглядов и объединение разных направлений математической деятельности, хотя, конечно, только в некоторой степени.

Такое чувство, что, несмотря на растущее разнообразие и даже «сверхспециализацию», выбор предметов для исследований в математике определяется широко распространёнными общими течениями, линиями и тенденциями, идущими от независимых источников.

Несколько индивидуумов, располагающих несколькими определениями, могут разбудить целую лавину работы в специальных областях. Отчасти это обусловлено модой и стремлением увековечить себя исключительно под влиянием учителей. Когда я впервые приехал в эту страну, то поразился показавшейся мне чрезмерной сосредоточенности на топологии. Теперь мне кажется, что, возможно, слишком большая работа идёт в области алгебраической геометрии.

Второй вехой стала работа Гёделя, которую в недавнем времени сделали более специфичной результаты Пола Коэна. Гёдель, математический логик из Принстонского института перспективных исследований, установил, что любая конечная система аксиом или даже счётно бесконечная их система в математике позволяет сформулировать внутри этой системы имеющие смысл утверждения, которые являются неразрешимыми — то есть внутри системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть их истинность. Коэн открыл целый класс новых аксиом бесконечности. Сегодня существует масса результатов, свидетельствующих о том, что наша интуиция, благодаря которой мы понимаем бесконечность, не обладает полнотой. Они позволяют раскрыть таинственные области нашей интуиции для понимания разных концепций бесконечности. Это, в свою очередь, оказывает косвенное влияние на изменение философии математического фундамента, показывая, что математика — это вовсе не законченный предмет, основанный на неизменных, уникальным образом подобранных законах, как было принято считать раньше, а генетически развивающаяся наука. Эту точку зрения ещё не приняли сознательно, а ведь она указывает путь к иным перспективам. Математики изучают бесконечность воистину плодотворно, так что можно ли знать, как изменится наше отношение к этому понятию за следующие пятьдесят лет? 245  Конечно, что-то появится — если не аксиомы в настоящем смысле этого слова, то правила или договорённости между математиками, которые допустят новые постулаты или, назовём их лучше, формулированными пожеланиями, выражающими абсолютную свободу мысли, свободу конструкции, когда есть неразрешимые утверждения в предпочтение верным или ложным допущениям. Некоторые утверждения могут в самом деле быть неразрешимо неразрешёнными. Это должно представлять огромный философский интерес.

Интерес к фундаментальным основам математики в какой-то степени философский, однако в конечном итоге он распространяется на всю математику, как и теория множеств. Однако если выражение «фундаментальные основы» — термин неудачный, в настоящее время это всего лишь ещё один математический предмет, но, безусловно, фундаментальный.

Огромная дихотомия в происхождении и вдохновении математической мысли — которую стимулируют с одной стороны влияние внешней реальности, материального мира, а с другой стороны воздействие развивающегося процесса психологии, очень вероятно, что человеческого мозга — имеет небольшой и особый гомоморфный образ в настоящем и будущем применении электронных компьютеров.

Даже самый идеалистический взгляд на математику как на «чистое» создание единственно человеческого ума должен согласовываться с тем фактом, что выбор определений и аксиом геометрии — а фактически, и большинства математических концепций — это результат впечатлений, полученных посредством наших чувств от внешних раздражителей и, что неотъемлемо, от наблюдений и экспериментов во «внешнем мире». Теория вероятностей, например, появилась как результат развития нескольких вопросов, связанных с азартными играми. Сегодня вычислительные машины, предназначенные для решения специальных задач математики, позволяют надеяться на очень мощное увеличение масштаба Gedanken экспериментов ¹, идеализацию опыта и наших более абстрактных схем мышления. Судя по всему, экспериментирование с моделями игр, в которых участвует самоорганизованная живая материя через посредничество химических реакций, протекающих в живых организмах, приведёт к новым абстрактным математическим схемам. Новые математические структуры могли бы возникнуть и в результате нового изучения математики эволюционирующих моделей и возможности экспериментального изучения на вычислительных машинах процесса конкуренции или состязаний между геометрическими конфигурациями, имитирующими борьбу за выживание. Здесь можно было бы применить 246  выражение вроде «payzonomy» к комбинаторике конкурирующих реакций и «auxology» к ещё только развивающейся теории роста самоорганизации, которая в конечном итоге включает и растущее дерево самой математики ².

До сих пор для отображения математических свойств геометрической эволюции предлагались только очень простые и недоработанные математические схемы (мои собственные незамысловатые модели представлены в недавно вышедшей книге «Теория клеточных автоматов» («A Theory of Cellular Automata») под редакцией Артура Беркса, изданной издательским домом Иллинойского университета).

Особенно оригинальный набор правил придумал английский математик Джон Конвей, специалист по теории чисел. Его игра «Жизнь» является примером развлечения или игры, очень похожей на ранние задачи с элементами игры в карты или кости, которая в итоге подвела к современному строению теории вероятностей и, возможно, подведёт к новой большой теории, описывающей «процессы», которые изучал в своей философии Альфред Норт Уайтхед.

Использование компьютеров не только удобно, но и абсолютно необходимо в этих экспериментах, которые предполагают слежение за играми или состязаниями на протяжении огромного количества ходов или этапов. Я считаю, что опыт, приобретённый в результате наблюдения за поведением таких процессов, окажет фундаментальное влияние на всё, что способно обобщить или даже заменить наблюдаемое сегодня в математике исключительное следование формальному аксиоматическому методу.

Вышеупомянутые результаты, полученные не так давно Полем Коэном и другими учёными — Петром Новиковым, Хао Вангом, Юрием Матиясевичем — и характеризующиеся независимостью от традиционной системы аксиом некоторых наиболее фундаментальных математических утверждений, говорят о новой роли прагматических подходов. Работа с автоматами поможет определить, можно ли решить задачу с помощью существующих средств.

Давайте рассмотрим «маленькую» специальную задачу с трёхмерным пространством, чтобы проиллюстрировать то, о чём мы рассуждаем. В пространстве имеется замкнутая кривая и твёрдое тело данной формы. Задача состоит в том, чтобы протолкнуть данное дело через данную кривую. В математике нет чётких критериев, которые позволили бы судить о том, осуществимо это или нет. Тело приходится вращать, покачивать, проталкивать и «пробовать», 247  чтобы узнать можно ли это сделать. Аналогичную задачу можно рассматривать и при большем числе измерений, к примеру пяти. Идея заключается в том, чтобы занести её в компьютер и пробовать различные возможности движения. Возможно, после очень большого числа таких попыток у исследователя этой задачи разовьётся ощущение свободного маневрирования и в пространстве с большим числом измерений, а также новая почти тактильная интуиция. Это, конечно, частный, незначительный и неважный пример, однако я считаю, что мы могли бы развить в себе новые свойства воображения, благодаря подходящему экспериментированию вкупе с новыми средствами, особенно компьютерами, реализуя на них и наблюдая с их помощью различные процессы роста и эволюционное развитие.

Я думаю, что влияние электронных компьютеров существенно распространится и на чистую математику, так же, как это уже произошло с математическими науками, главным образом с физикой, астрономией и химией.

Этот основанный на предположениях обзор аспектов будущего математики уносит нас далеко от фон Неймана, его современников и той роли, что они сыграли в эволюции науки четверть века назад. Быстрые темпы роста организованной умственной деятельности человека, несомненно, ускорили появление компьютеров, что предвещает качественные изменения в нашем образе жизни и мышлении. Как гласит одно из забавных замечаний Нильса Бора, «предсказывать очень трудно, особенно будущее». Но я думаю, что математика в значительной степени изменит свои аспекты. Возможно, произойдёт нечто радикальное, появится совершенно иная точка зрения на сам аксиоматический метод. На смену кропотливому изучению специальных теорем, которые исчисляются миллионами, и мышлению по правилам оперирования раз и навсегда установленными символами придёт, быть может, математика, в которой будет всё больше и больше задач, или «пожеланий», или программ более общего характера. Не будет большого дополнительного количества специальных пространств, определений специальных многообразий, специальных отображений одного или другого, хотя немногие из них всё же выживут: «apparent rari nantes in gurgite vasto» ³, не будет новых групп отдельных теорем, а вместо них появятся общие схемы и очертания более обширных теорий, более огромных областей, тогда как текущее получение доказательств теорем будет оставлено студентам или даже машинам. Возможно, это станет сравнимо с импрессионистской живописью, которой противопоставляется вымученное, передающее каждую мелочь рисование на заре веков. Это могла бы быть 248  более живая и изменяющаяся картина, причём не только в отношении выбора определений, но и самих правил игры, великой игры, правила которой не меняли со времён античности до настоящего момента.

Но даже если правила ещё не изменились, изменился, уже за то время, что живу я, размах математики. В XIX веке все приложения математики распространялись только на физику, астрономию, химию, механику, машиностроение и другие грани технологии. С не таких уж давних пор математика участвует в формулировании фундаментальных положений других наук, а так называемая математическая физика в действительности есть теория всей физики, затрагивающая самые абстрактные её разделы, такие как квантовая теория, самый необычный четырёхмерный континуум пространства-времени. Всё это особенно характерно для XX столетия. За короткий промежуток от шестидесяти до ста лет математические идеи стали применяться повсеместно и в огромных количествах. Это сопровождалось, можно сказать, взрыву подобным созданием новых больших и малых математических объектов и тенденцией «добивать всё окончательно» путём столь широкого распространения и крохоборнических исследований малейших, почти что талмудистских деталей.

Когда я несколько лет назад выступал на праздновании двадцать пятой годовщины создания фон-неймановского компьютера в Принстоне, я вдруг принялся мысленно прикидывать, сколько теорем публикуется ежегодно в математических журналах. (Теоремой считается утверждение, которое публикуется в авторитетном математическом журнале и имеет наименование «теорема».) Я быстро произвёл в уме подсчёт, удивляясь тому, что я могу заниматься этим и одновременно говорить о чём-то совершенно другом, и получил результатом около ста тысяч теорем в год. Быстро переменив тему, я упомянул об этом в своей речи, и слушатели разинули рты от изумления. Читателю, возможно, будет интересно узнать, что на следующий день ко мне пришли два молодых математика, которые слышали эти мои слова, и сказали, что, поразившись такой огромной цифре, они провели более схематическое и детальное исследование в институтской библиотеке. Перемножив число журналов, число выпусков в году, число работ, приходящихся на выпуск и среднее количество теорем в каждой работе, они получили около двухсот тысяч теорем в год. Такое огромное число, конечно, должно послужить пищей для размышлений. Если считать, что математика — это нечто большее, чем игры и головоломки, то здесь есть о чём побеспокоиться. Существует явная опасность того, что саму математику постигнет участь раскола на разные, отдельные науки, на множество независимых дисциплин, слабо связанных между собой. Мне лишь остаётся надеяться, что 249  этого не произойдёт, ведь если число теорем увеличится настолько, что обозреть их всех станет просто невозможно, кто возьмётся судить о том что есть «важное»? Эта проблема начинает требовать ведения учёта, она становится проблемой хранения и поиска получаемых результатов. Сегодня она выходит на первое место, ведь естественный отбор невозможен без всякого взаимодействия.

Действительно, невозможно ставить на один уровень даже самые выдающиеся и волнующие результаты. Как же можно мириться с этим и одновременно считать, что математика выживет и останется единой наукой? Точно так же как невозможно познать всех прекрасных женщин или все прекрасные произведения искусства, и, в конце концов, мужчина женится на какой-то одной прекрасной женщине, математик, можно было бы сказать, венчается с какой-то одной, своей собственной маленькой областью. По этой причине становится всё труднее судить о ценности в математическом исследовании, и большинство из нас превращается в специалистов. Сейчас с огромной быстротой ширится разнообразие объектов, исследуемых молодыми учёными. Возможно, не стоит называть это осквернением мысли; наверное, это отражение расточительности природы, породившей миллионы разновидностей различных букашек. Но почему-то всё же чувствуешь, что это идёт вразрез с твоим представлением о науке, призванной понимать, аббревиатурно сокращать, обобщать и, что особенно важно, развивать систему обозначения явлений природы и разума.

Именно неожиданное в развитии науки, то, как воистину новые идеи и концепции вдруг осеняют молодые умы, формирует саму науку, одаривая её непреложными истинами. Позже, для зрелого или уже стареющего ума неожиданное приносит чудо, которое вызывает новый стимул, даже если ум уже менее впечатлителен или даже измучен. Как говорил Эйнштейн, «самые прекрасные из переживаемых нами моментов загадочны. Загадочное — это источник всего истинного искусства и науки».

Математика создаёт новые объекты мышления — их можно было бы назвать метареальностью — порождая идеи, которые начинают жить своей собственной жизнью в своём независимом развитии. Как только эти идеи появились, их уже не может контролировать один человек, только группа умов — некая легендарная команда математиков — способна управлять ими.

Очень сложно количественно измерить талант или гений в математике. Я склонен думать, что путь от посредственности до высших уровней, на которых стоят такие люди, как Гаусс, Пуанкаре и Гильберт, почти непрерывен. Очень многое зависит не только от мозга. Определённо, тут есть и особенности характера или, как назвал их я, желая подобрать более подходящее выражение, «гормональный фактор»: упорство, физическая выносливость, желание 250  работать, называемое некоторыми «страстью». Они во многом определяются привычками, приобретаемыми ещё в детстве или юности, когда огромную роль играет случайность ранних впечатлений. А качество, называемое воображением или интуицией, несомненно, определяется физиологическими структурными свойствами мозга, которые в свою очередь могут частично развиться благодаря впечатлениям, в результате которых сформировались определённые мыслительные привычки и зародилось направление мышления в целом.

Желание вникнуть в неведомое и незнакомое различно у разных людей. Определённо, существуют разные «типы» математиков: одни предпочитают штурмовать уже существующие задачи или надстраивать что-нибудь новое на уже имеющееся старое, другие любят строить предположения о новых схемах и новых возможностях. Первые, скорее всего, в большинстве, их, быть может, больше восьмидесяти процентов. Если молодой человек хочет сделать себе репутацию, он наверняка будет атаковать нерешённую задачу, над которой кто-то уже корпел до него. И если он окажется удачливым и достаточно сильным, его можно будет сравнить с атлетом, который, прыгнув выше, чем кто-либо до него, побивает рекорд. И хотя бо́льшую ценность имеет именно концепция новой идеи, молодой человек часто не склонен к такой попытке, т.к. он не знает, оценят ли его новую идею, даже тогда, когда он сам находит её и важной, и прекрасной.

Я принадлежу к числу тех, кто любит скорее затевать новое, чем что-то совершенствовать и развивать. Чем проще и «ниже» то, с чего я начинаю, тем больше мне это нравится. Не помню, чтобы я использовал когда-то сложную теорему, чтобы доказать ещё более сложную (хотя, конечно, всё это относительно и «ничего нового под солнцем нет» — всё можно привести к Архимеду или более ранним мыслителям).

Я также считаю, что привычка менять области своей деятельности в течение жизни придаёт энергии. Если человек слишком долго работает в одной и той же области или с одним и тем же классом проблем, то своеобразная «осёдлость» препятствует формулированию им новых взглядов, и он может одряхлеть. К сожалению, в математической творческой деятельности это нередкое явление.

Но при всём понимании красоты, видении новых реалий, при всех грандиозных открывающихся видах математика обладает неким одурманивающим свойством, менее явным или полезным для здоровья. Оно сродни действию некоторых искусственных наркотиков. Наркотическое воздействие может оказать самая маленькая задача, если в ней с первого взгляда распознаётся тривиальность или повторяемость. Можно затянуться, начав решать 251  такие задачи. Я помню, как журнал «Mathematical Monthly» время от времени публиковал посылаемые одним французским геометром задачи, которые имели дело с банальными расположениями на плоскости окружностей, прямых и треугольников. «Belanglos» — как говорят немцы, но тем не менее эти картинки могли увлечь вас сразу, как только вы начинали думать о том как найти решение, даже если вместе с тем вы осознавали, что это решение едва ли повлечёт за собой какие-нибудь более увлекательные и более общие вещи. Это разительно отличается от того, что я рассказывал о теореме Ферма, которая подвела к созданию новых обширных алгебраических понятий. Разница, может быть, заключается в том, что малозначимые задачи можно решить, прилагая скромное усилие, тогда как теорема Ферма, не решённая до сих пор, продолжает оставаться вызовом для всех математиков ⁴. И всё же для ненастоящего математика оба эти типа математического любопытства обладают сильнонаркотическим свойством, проявляющимся на всех уровнях, начиная от пустяков и заканчивая самыми вдохновляющими идеями.

В прошлом всегда было несколько математиков, таких как Пуанкаре, Гильберт, Вейль, которые явным или скрытым образом подавали другим особые идеи, позволяя им выбирать направление своей деятельности. В наши дни подобное становится всё более проблематичным, если не невозможным. Вероятно, в мире нет ни одного математика, понимающего всё, что на сегодня выходит из печати.

Написанная более тридцати лет назад Эриком Темплем Беллом книга «Развитие математики» («The Development of Mathematics») содержит сокращённое, но замечательное описание истории математики. (Возможно, оно нравится мне, потому что, как говорит Джиан-Карло Рота, там упомянута моя работа, при том, что книга эта небольшая и была написана, когда мне было всего лишь двадцать восемь лет. Согласитесь, что гораздо приятнее быть упомянутым в кратком сочинении, чем в книге с десятью тысячами страниц!) Но когда какой-то издатель попросил Вейля написать об истории математики XX века, тот отказался. Он знал, что ни один человек не смог бы этого сделать.

Лет тридцать пять назад фон Нейман, который мог бы взяться за такое дело, признался мне, что знает не более трети от всего математического свода. По его предложению я однажды устроил для него нечто вроде докторского экзамена на проверку знаний в различных областях, который сдают кандидаты на докторскую степень. Я попытался отобрать те вопросы, на которые он затруднился бы ответить. Мне и в самом деле удалось найти несколько 252  вопросов — в дифференциальной геометрии, теории чисел, алгебре — на которые он не смог ответить удовлетворительно. (Это, между прочим, может говорить и о том, что сдача экзаменов на получение степени доктора не имеет неизменного значения.)

Что касается меня, то я не могу утверждать, что знаю много о техническом материале математики. Чем я, скорее всего, обладаю, так это пониманием сути и, в ряде её областей, возможно, сущности сути. Обладание таким умением догадываться или чувствовать, что окажется новым, а что уже известно или ещё неизвестно является возможным и тогда, когда речь идёт о тех разделах математики, в которых тебе не известны детали. Думаю, в какой-то мере мне свойственна эта способность. Мне часто удаётся определить является ли утверждение теоремой (т.е. оно доказано) или это только новое предположение. Возникновение этого ощущения зависит от способа расстановки квантификаторов, так сказать, от тона или музыки утверждения.

Кстати, об этой аналогии: я запоминаю мелодии и могу насвистывать их весьма точно. Но когда я пытаюсь изобрести или придумать какой-нибудь новый «убойный» мотивчик, то с полным бессилием осознаю, что то, что я сочиняю, является лишь тривиальной комбинацией того, что я уже слышал. Это совершенно противоположно математике, где я, как мне кажется, лишь «коснувшись листа бумаги», могу предложить что-то новое.

Сотрудничество в математике — явление очень интересное и новое, получившее развитие за последние несколько десятилетий.

Когда в экспериментальной физике исследователи вместе работают на различных этапах проведения эксперимента, это довольно естественно. К настоящему моменту любой эксперимент в действительности представляет из себя класс технических проектов, особенно проектов огромных машин, для создания и работы над которыми требуются сотни инженеров и специалистов.

Такая картина существует в теоретической физике, правда, не очень явно, и, как ни странно, в математике тоже. Мы уже знаем, что творческое усилие в математике требует напряжённой сосредоточенности и постоянного, вглубь направленного и часами напролёт длящегося размышления, что часто в нём участвуют два человека, которые в процессе сотрудничества просто смотрят друг на друга и время от времени делают несколько замечаний. Сейчас это настолько распространено, что даже в самых сложных для понимания математических вопросах два или более человека работают вместе, пытаясь найти доказательство. Многие работы сейчас пишутся двумя, иногда тремя и более авторами. Обмен догадками, предложение пробных подходов помогают получить частичные результаты в процессе исследования. Ведь гораздо легче 253  разговаривать, чем записывать каждую мысль. Здесь, кстати, наблюдается определённая аналогия с анализом игры в шахматы.

Возможно в будущем большие группы работающих вместе математиков будут получать важные, простые и изящные результаты. Несколько результатов уже было получено таким образом за последние годы. Например, получение решений (не одновременное, конечно, а последовательное) одной из задач Гильберта о существовании алгоритмов решения диофантовых уравнений несколькими учёными в США и, в самом конце, молодым русским учёным Юрием Матиясевичем, сделавшим завершающий этап. Старую задачу Банаха о гомеоморфизме его пространств решили несколько математиков из Соединённых Штатов и Польши, работавших независимо, но информировавших друг друга о текущих результатах. Они, так сказать, могли взбираться друг другу на плечи.

Выражение «критическая масса» как метафора, обозначающая, каким должен быть минимальный требуемый размер группы учёных для того, чтобы, работая совместно, они получили успешные результаты, вошло в обиход после шумихи, поднявшейся вокруг создания атомной бомбы в Лос-Аламосе. Если группа довольно большая, результаты буквально извергаются ею. Когда же достигается критическая масса, то благодаря взаимному стимулированию «размножение» результатов, как и нейтронов, становится неописуемо интенсивнее и быстрее. Когда масса не достигает критической, прогресс идёт постепенно, медленно и линейно.

Другие разновидности рабочих привычек учёных теперь стали менее интересными. В образ жизни тех, кто живёт в мире науки, отрешённом от остального мира, сейчас входит всё больше научных собраний, всё больше правительственной деятельности.

Такая простая, но вместе с тем важная вещь, как написание писем тоже претерпела заметные перемены. Занятие это принято считать искусством, и не только в литературе. Из-под пера математиков выходили бесчисленные тома писем. Они писали от руки очень длинные письма, передавая наряду с математическими размышлениями малейшие подробности интимного и личного характера. Теперь, когда существуют секретари, подобный обмен личными высказываниями более затруднителен, равно как и необходимость диктовать технический материал, поэтому учёные в общем и математики в частности пишут друг другу всё меньше писем. Если порыться в моей папке с письмами от учёных, которых я знал — коллекция, пополняющаяся уже более сорока лет — то можно заметить постепенный, а после войны ускорившийся переход от длинных, личных, от руки написанных писем до всё более официальных, сухих, отпечатанных записок. Последние годы только два человека писали мне от руки: Джордж Гамов и Поль Эрдёш. 254 

Физик Чженьин Янг, лауреат Нобелевской премии, рассказывает такую историю, иллюстрирующую современный аспект отношений физиков и математиков на интеллектуальном уровне.

Однажды вечером в город приехали несколько человек. Им нужно было постирать свою одежду, и они пошли по улицам города в надежде отыскать прачечную. Наконец, им попалось здание с вывеской на окне: «Прачечная». Один из людей спрашивает хозяина:

— Вы не могли бы постирать нашу одежду?

Тот отвечает:

— Нет, здесь у нас не прачечная.

— Как не прачечная? — удивляется посетитель. — На вашем окне даже висит вывеска.

— Именно вывески мы тут и делаем, — следует ответ.

Это в чём-то характерно для математиков. Они делают вывески, которые, как они надеются, подойдут на все случаи. Однако и физики сделали многое в математике.

В некоторых наиболее конкретных частях математики — скажем, в теории вероятностей — физики вроде Эйнштейна и Смолуховского открыли определённые новые области даже прежде математиков. Идеи теории информации, энтропии информации и её роли в общем континууме исходили от физиков, таких как Лео Сциллард, и инженера Клода Шеннона, а вовсе не «чистых» математиков, которые могли и должны были сделать это намного раньше. Понятие энтропии, свойства распределения, первоначально было введено в термодинамику, а потом приложено к физическим объектам. Но Сциллард (в очень общем виде) и Шеннон смогли определить это понятие и для общих математических систем. Правда, Норберт Винер также принимал участие в его зарождении, а такие замечательные математики, как Андрей Колмогоров, впоследствии развили, обобщили и приложили это понятие к чисто математическим задачам.

Некоторые математики прошлого, например, Пуанкаре, обладали немалыми познаниями в физике. Гильберт, у которого, казалось, не было особого понимания физики, написал очень важные работы о методах и логике этой науки. Фон Нейман также знал очень многое из физики, но ему, я бы сказал, не было свойственно врождённое понимание и осознание пользы эксперимента. Его интересовали основы квантовой механики, покуда к ним можно было применять математику. А для физики аксиоматический подход к её теориям имеет то же значение, что грамматика для языка. Математическая ясность для физики может и не быть концептуально решающей.

С другой стороны, чистая математика тоже служила источником появления многих инструментальных средств теоретической физики, а иногда и некоторых ранних её идей. Общие неевклидовы геометрии, в которых Риман пророческим образом усмотрел будущую их важность для физики, предшествовали теории относительности, так же как квантовую теорию предупредили определение 255  и изучение операторов в гильбертовом пространстве. А слово «спектр», к примеру, употреблялось математиками задолго до того, как кто-то мог даже мечтать об использовании спектрального представления операторов гильбертова пространства для объяснения реального спектра света, излучаемого атомами.

Я нередко задавался вопросом, почему математики не классифицировали специальную теорию относительности, не представили её в виде различных типов «специальных относительностей» (я не имею ввиду уже существующую общую теорию относительности). Лично я уверен в существовании других «относительностей» в общих пространствах, хотя едва ли какие-нибудь попытки в этом отношении уже предпринимались математиками. Написано огромное количество работ по метрическим пространствам, обобщающим обыкновенную геометрию, в которых отсутствует измерение времени. Ведь если объединить пространство и время, то математикам нечего будет делать! Топологи продолжают хранить верность пространственноподобным пространствам, они не изучали идеи, обобщающие четырёхмерное пространство-время. И это мне очень удивительно, как с позиций эпистемологии, так и психологии. (На ум приходит только одна работа, написанная ван Данцигом, в которой он философски размышляет о понятии временной топологии; он говорит, что оно могло бы описываться соленоидальной переменной. Мне эта идея нравится, но всё же следует изучать пространства с временным параметром более интенсивно и с бо́льшим воображением.)

Всем известно, что специальная теория относительности постулирует и строится исключительно на том, что скорость света всегда неизменна, независимо от движения источника или наблюдателя. Из одного этого постулата следует всё, включая знаменитую формулу E = mc². Выражаясь математическим языком, инвариантность конусов света приводит к группе преобразований Лоренца. Тогда математик мог бы, просто ради математического развлечения, принять в качестве постулата, что, скажем, частота остаётся постоянной или что инвариантен какой-нибудь другой класс простых физических отношений. Путём логических рассуждений можно было бы посмотреть, каковы были бы последствия такой картины «нереальной» вселенной.

Сегодняшняя математика совершенно отличается от математики XIX века, даже если принять, что 99% математиков вообще не знают физики. В физике существует так много идей, рождённых от математического вдохновения — новые понятия, новые формулировки. Нет, я не веду речи об использовании математики в физике, как раз наоборот: я говорю о физике как стимуле для новых математических концепций. 256 

В физике, в отличие от математики, можно судить обо всём, что изучается с примерно одинаковой мерой. Каждый физик может понимать суть почти всей этой науки. Сейчас в ней присутствует совсем немного фундаментальных проблем, среди которых особое место занимает природа элементарных частиц и природа физического пространства и времени.

В целом, в современном исследовании, проводимом в теоретической физике, наблюдаются лишь незначительные изменения того, что уже существует, незначительное совершенствование деталей и продолжение того, что уже было начато, несмотря на большой ум, изобретательность и техническую подкованность многих молодых учёных, чьи фундаментальные предложения, при всём при этом, всё же склонны быть ортодоксальными. Вероятно, так было всегда, и действительно новые идеи появляются исключительно редко.

Иногда, чтобы в шутку уколоть своих молодых друзей-физиков, которые только и делают, что изучают какие-нибудь очень необычные частицы, я говорю им, что это не лучший способ обрести вдохновение в основах физики и схеме всего в пространстве-времени.

На мой взгляд первостепенным вопросом в физике (хотя он не является точным и общепринятым) является вопрос о существовании истинной бесконечности структур, всё уменьшающихся и уменьшающихся в размерах. Ведь если это так, то математикам стоило бы поразмыслить над тем, изменяются ли пространство и время, даже в своей топологии, в сторону всё большего и большего уменьшения своих областей. Физика обеспечила нас базовыми знаниями об атоме и поле. Если конечная реальность состоит из поля, то его точки — это истинно математические и неразличимые точки. Существует возможность того, что в реальности мы имеем необычную структуру, состоящую из бесконечного множества этапов, каждый из которых имеет свою, отличную от других, природу. Эта удивительная картина приобретает физический смысл и не выглядит уже как философская головоломка. Недавние эксперименты определённо свидетельствуют о повышающейся сложности структур. В отдельном нуклоне могут содержаться партоны, как их назвал Фейнман. Эти партоны могут быть гипотетическими кварками или другими структурами. Последние теоретические попытки больше не в состоянии объяснять экспериментальные модели простыми кварками, и следует ввести цветные кварки различных типов. Возможно, мы уже пришли к такому моменту, когда можно наиболее плодотворно изучать последовательность структур как уходящую в бесконечность.

Теоретическая физика возможна, потому что существует множество идентичных или почти идентичных копий объектов и ситуаций. 257  Если, исходя из определения, считать, что Вселенная единственна (несмотря на то, что галактики похожи друг на друга), и что мир, как одно целое, тоже единственен, то вопросы о космосе как одном целом имеют иной характер. Тогда устойчивость при добавлении нескольких элементов к уже и без того большому их количеству просто невозможно гарантировать. У нас нет возможности наблюдать или экспериментировать с целым рядом вселенных. И проблемы космологии или космогонии, таким образом, отличаются от проблем физики, даже самой фундаментальной.

Не существуй во Вселенной эта подобность или идентичность огромного числа точек, или подмножеств, или групп точек, не была бы возможна наука, физика была бы непостижима. Все отдельно взятые протоны кажутся похожими друг на друга, как кажутся похожими все электроны; одинаковым представляется взаимодействие двух любых небесных тел, зависящее только от их масс и разделяющего их расстояния. И задача физики, между прочим, — распределить эти существующие группы по категориям, из которых очень многие являются изоморфными или почти изоморфными. Физика может помочь нам, благодаря существующей возможности почти точного, если не сказать совершенно точного повтора ситуаций, поскольку одно или два несущественных изменения делают относительно маленькую разницу. Имеется ли двадцать тел или же их двадцать два — это не вносит радикального изменения в поведение их системы. Это ли не вера в некую фундаментальную устойчивость! Надежда здесь на то, чтобы описать физическую картину на уровне простейших категорий и идентичности частей посредством искомого единства или отсчёта. Так, физики полагали, во всяком случае до недавнего времени, что если имеется множество точек, то поведение их массы может объясняться взаимодействиями между двумя телами, то есть суммированием потенциалов двух любых тел. С другой стороны, если бы каждый раз при введении в систему по нескольку тел менялось бы всё её поведение, то физики как науки не существовало бы вообще. Этот момент, однако, недостаточно освещён в учебниках по физике.

При определении расстояния между двумя алгебраическими структурами или необходимой для доказательства утверждения или теоремы суммарной работы как энергии можно связать понятие энтропии с понятием сложности. Известно, что для того, чтобы доказать определённую формулу в определённой системе необходимо совершить столько-то этапов. Минимальное и достаточное количество таких этапов можно определить как аналог энергии и работы. Над этим стоит поразмыслить. Однако чтобы построить разумную соответствующую теорию, требуются эрудиция, воображение 258  и здравый смысл. Ведь даже для принятой на сегодняшний день основной части физики мы не имеем аксиоматической системы.

В теоретической физике, как и в чистой математике, мы можем наблюдать дихотомию между новыми, великими и «неожиданными» идеями и огромными синтезами уже принятых теорий. В известном смысле эти синтезы могут дополнять новые концепции, а также служить для них препятствием. Неявным образом они обобщают предшествующие теории. Я мог бы проиллюстрировать это отличие следующим примером. Специальная теория относительности — это очень необычная и в чём-то таинственная концепция. За ней стоит почти что иррациональная проницательность и a priori невероятная аксиома, основанная единственно на экспериментальном факте, согласно которому скорость света не меняется с удалением наблюдателя от источника света или же его приближением к нему. Неизменна скорость света и с точки зрения наблюдателя, когда к нему приближается или, наоборот, удаляется от него источник света, при этом относительная скорость не играет никакой роли. И только на этом было воздвигнуто огромное теоретическое сооружение — физическая теория пространства-времени, обладающая столь многими и — как мы знаем сейчас — технологически революционными следствиями.

В известном смысле и квантовая теория охватывает ряд ранее недоступных интуитивному мышлению или неожиданных концепций.

Примером великого синтеза можно было бы назвать теорию электромагнетизма Максвелла. Этой теории предшествовало установление огромного количества экспериментальных фактов, в которых их первооткрыватели, возможно, не нашли ничего особенно необычного. Создание теории, объясняющей всё это множество фактов-наблюдений через одну систему математических уравнений есть одно из самых впечатляющих достижений человеческой мысли. Эпистемологически она, однако, отличается от квантовой теории или же теории относительности, которые были, так сказать, более неожиданными.

Последние полученные в результате наблюдений астрономические открытия продолжают поражать нас неиссякаемой странностью космоса в его разнообразных видах звёзд, их скоплениях, галактиках и новых необычных объектах. Это нейтронные звёзды, чёрные дыры, новые, очень специфические свойства скоплений материи, существующие в межзвёздном пространстве облака молекул, некоторые из которых имеют доорганическую природу. И вновь это указывает на загадочность Вселенной в свете нашего понимания её, к которому мы пришли, исходя из предшествующих наблюдений и критериев знания и учения. 259 

Есть чему удивляться и в физике, а последнее время всё чаще более технологическим и практическим следствиям некоторых физических открытий. К примеру, приложения к идее и разработке голограмм и их применения кажутся поначалу просто ошеломляющими, равно как в высшей мере впечатляют и новые лазерные технологии.

Последние открытия в биологии, революционные и прогрессивные в своём выражении новых фантастических взглядов на будущие перемены в образе жизни на Земле, носят иной эпистемологический характер. Я поражаюсь «разумности» механизмов, представленных в качестве основы жизни. Открытие того, как происходит репликация живой материи, всё то, к чему привели модели Крика и Уотсона, природа биологического кода и, как говорят французы «tout ce qui s'y rattache» ⁵ — всё это говорит о неких очень понятных механизмах, сравнимых с устройствами XIX столетия, для понимания принципа действия которых не требуется знания основ физики. Квантовая теория, конечно, важна для объяснения явления основной молекулярной реакции как фундамента такого устройства, однако сами эти устройства в том, как они задействуют саму структуру жизненных процессов, являются, скорее всего, квазимеханическими, почти квазитехническими.

Напрашивается вопрос: почему? Почему понимание нами материального мира и, возможно, мира живой материи, самих себя, модели нашего мышления не происходит или не нарастает непрерывно? Вместо логически развивающегося устойчивого роста мы наблюдаем дискретные, «квантовые» скачки. Быть может, мир со своим немыслимым строением в действительности прост, а неизбежно сложен аппарат нервной системы, через который этот мир доходит до нашего сознания и передаётся его понимание? Может, дело в структуре нашего мозга со всеми его нейронами и связями, которая, скажем, настолько сложна, что не лучшим образом подходит для непосредственного описания Вселенной? Или, наоборот, это реальность имеет очень сложные объективные масштабы, о которых мы пока даже не имеем представления, и, по своему простодушию, пытаемся черпать из неё крупицами и составлять свою картину о ней, совершая элементарные шаги, исходя из последовательных приближений, предписанных ещё Декартом в его труде «Рассуждение о методе» («Discours de la Méthode»)?

(Более развёрнутые рассуждения о возможной будущей роли математики в биологических исследованиях читатель может найти в моей статье под названием «Некоторые идеи и перспективы в биоматематике» («Some Ideas and Prospects in Biomathematics»). 260  Технический аспект представлен в этой статье на уровне несколько более высоком, чем эти общие тезисы, однако заинтересованному читателю, возможно, всё же захочется на неё взглянуть.)

Что касается социальных наук, то с точки зрения неспециалиста, к коим отношусь и я, в них к настоящему моменту не появилось ни какой бы то ни было теории, ни более глубокого знания. Быть может, это следствие моей некомпетентности, однако у меня частенько возникает чувство, что, наблюдая за обстановкой и читая газеты вроде «Нью-Йорк таймс», можно приобрести такие же чутьё и познания в экономике, какие есть у крупных экспертов. Сегодня, я думаю, все они не имеют ни малейшего понятия о том, что вызывает некоторые явления в экономической или социально-политической сферах, за исключением тривиальных случаев, о которых может судить любой из нас.

Открытием, последствия которого мы не в состоянии даже оценить, а воздействие которого окажется гораздо бо́льшим, чем влияние любой из мировых религий, будет установление существования во Вселенной других разумных существ, возможно, где-нибудь за тысячи световых лет от нашей Солнечной системы. Вполне возможно, что существуют волны, которые проделав путь, дошли до Земли, и когда-нибудь мы вдруг сможем расшифровать их. И доказательство или даже предположение о существовании при невозможности двустороннего контакта обернулось бы для человечества непреодолимыми последствиями. Нет причин предполагать, что подобное не случится в скором времени, и тогда это либо посеет панику, либо, наоборот, приведёт к созданию новой религии.

Мы все читали о летающих тарелках и других неопознанных летающих объектах. Под руководством Эварда Кондона проводилось доскональное изучение этого вопроса. В большинстве случаев не составляет труда установить, что это либо иллюзии (оптические или какие-то ещё), либо природные явления в атмосфере. Однако несколько случаев настоящих НЛО всё же известно, случаев, заставляющих нас теряться в самых невероятных догадках. К примеру, случай с группой астрономов из обсерватории Маунт Уилсон, которые во время прогулки увидели очень странный ослепительный объект, а вернувшись в обсерваторию зафиксировали высочайшие показатели радиоактивности. Известно также несколько случаев, когда с радиолокаторов или самолётов визуально следили за некими объектами, которым так и не нашли объяснения.

Ферми, бывало, вопрошал: «Где все? Где признаки другой жизни?».

А в нашем мире на образ жизни в ближайшие десять или пятнадцать лет более всего повлияет, на мой взгляд, новая биология. Открытия, казавшиеся поначалу довольно-таки рядовыми, 261  уже оказали на мироустройство большее воздействие, чем самые крупные войны: новые лекарства вроде пенициллина, с одной стороны, и контрацептивы, — с другой, уже изменили баланс населения.

О высоком темпе совершаемых в биологии открытий свидетельствуют два немаловажных достижения в исследовании рака, о которых я услышал недавно — достижениях, последовавших одно за другим лишь с недельным промежутком. Первое — открытие учёным из Мичигана вируса в раковой клетке груди. Второе — поведший к новой удивительной методике эксперимент в лаборатории Боулдера, располагающей прекрасным электронным микроскопом. Кайту Портеру и его соратникам удалось получить клетки, из которых возможно извлечение ядер. Такие неповреждённые ядра могут вводиться в другие лишённые ядер клетки, что в сущности представляет обмен ядрами между клетками. Выходит, и из раковой клетки можно удалить ядро и поместить его в здоровую клетку. Тогда новая клетка, очевидно, станет нормальной. Этот замечательнейший факт говорит о том, что в некоторых случаях определяющую роль может играть не ядро, как предполагалось ранее, а цитоплазма.

Новые способы получения или замены питания, ожидающие нас в будущем, повлияют на форму и образ нашей жизни в большей степени, чем какое бы то ни было развитие в политико-экономико-социальной сфере в современном смысле слова. Всё это, возможно, и так очевидно, хотя иногда очевидному приходится прожить не одну жизнь, прежде чем мы осознаем его. Как же изменится мир! Кто-то может напомнить мне о вышедшей не так давно книге «Следующий миллион лет» («The Next Million Years»). Сколь, однако, скудное она демонстрирует воображение!

Интересы Гамова, проницательность фон Неймана, работа Банаха и Ферми среди прочих учёных — всё это способствовало расширению аспекта сегодняшней науки и щедро обогатило перспективы физики и математики. Можно только удивляться тому, как много новых идей и открытий появилось благодаря такому случайному и удачному союзу всех областей науки. 262