Лекции лауреатов Демидовской премии (1993–2004). — Екатеринбург: издательство Уральского университета, 2006. — 520 с. ISBN 5-7525-1513-0

Лауреаты Демидовской премии

1993–2004

Поиск решения в задачах
математического характера

Вводные замечания

Процесс поиска решения в задачах логического характера, например при исследовании некоторой математической проблемы, давно привлекает внимание учёных. Изучение этой стороны деятельности человеческой психики находится ещё в самой начальной стадии, стадии накопления результатов наблюдений. В силу специфики предмета изучения это накопление происходит главным образом путем самонаблюдения тех, кому приходится иметь дело с задачами математического характера.

Настоящие заметки относятся к такой категории самонаблюдений, и это придаёт им известную специфичность. В отличие от обычных статей научного содержания с их строгой, лишённой эмоциональности манерой изложения, здесь очень часто будет использоваться местоимение «Я», а поясняющие примеры и комментарии к ним будут эмоционально окрашены. Хочется надеяться, что эти особенности манеры изложения не слишком будут мешать читателю.

Логическое и внелогическое познание

Реальное существование двух названных типов познания хорошо иллюстрируется существованием так называемых точных наук и, например, искусствознания. Отличие их друг от друга не сводится только к тому, что у них разные области интересов и что в них используются различные методы исследования. Более существенным является, возможно, то, что они радикально отличаются самим способом мышления. Это отличие настолько велико, что, образно говоря, представители этих двух групп пользуются двумя различными видами русского языка. Настолько различными, что они нередко не в состоянии понимать друг друга. Это утверждение может быть проиллюстрировано рядом примеров, которые помогут понять, какой смысл в него вкладывается.

В своё время я написал несколько книг по изобразительному искусству, в которых обсуждались различные типы пространственных построений в картинах. Хотя основные идеи, излагавшиеся в книгах, имели математическую основу, я сделал попытку написать всё предельно просто, «без формул», — чтобы книги были доступны искусствоведам, художникам и просто любителям изобразительного искусства. И это удалось сделать. Однако книги были написаны языком точных наук, другого я просто не знаю. Хотя ни одного слова, характерного 59  для точных наук, там и не использовалось, само построение текста было типичным для этих наук. Аргументация создавалась по правилам логики — последующие утверждения строились исходя из предшествующих, из некоторого логически обоснованного утверждения делались логические же следствия и книга в целом составила в конечном итоге некоторое логическое единство.

Уже первая книга была встречена с интересом, и меня, естественно, волновало мнение читателей о ней. Я был несколько смущён и расстроен почти единодушным мнением искусствоведов и художников, говоривших о том, что книга очень трудна для понимания. Получалось, что моё стремление писать предельно просто не достигло цели. Но глубинная суть этой трудности понимания книги стала мне ясной после разговора с одним художником, который говорил о книге в самых восторженных выражениях. На мой естественный вопрос о том, что же ему особенно понравилось, художник с энтузиазмом стал излагать свои мысли и впечатления. Через пару минут мне стало понятно, что, во-первых, он книгу действительно внимательно прочитал, и, во-вторых, он в ней абсолютно ничего не понял. Точнее, он понял её по-своему. Он не увидел в ней никакой логики, но воспринял её как ряд очень интересных образов.

С другой стороны, до меня стали доходить мнения любителей изобразительного искусства, по профессии инженеров, физиков и т.п. Все они книгу хвалили, что естественно при разговоре с автором, но безусловно понимали, а один из них даже сказал: «только из вашей книги я понял, наконец, что такое изобразительное искусство». Это было, конечно, сильнейшим преувеличением, ведь в книге рассматривалась сравнительно второстепенная и узкая проблема передачи пространства на плоскости картины. Из ответов на мои уточняющие вопросы я заключил, что он этим хотел сказать, что впервые прочитал книгу, посвящённую изобразительному искусству, в которой всё было понятно и логично. Работы признанных искусствоведов он читал тоже, но не нашёл в них ни малейшего, по его понятиям, содержания. Он охарактеризовал их как «потоки слов», не имеющие рационального смысла.

В каком-то отношении рассуждения этого инженера были мне близки. Меня тоже угнетало многословие общепризнанных искусствоведческих работ. Мне казалось, что это утомительное многословие не соответствует заключённому в них содержанию. По контрасту с предельно сжатой манерой изложения в работах по математике здесь виделось какое-то разреженное облако. Настораживало, однако, то, что 60  искусствоведы и художники эти тексты прекрасно понимали и отнюдь не ощущали их малосодержательным многословием. Выходило, что существует некоторый феномен взаимного непонимания: текст, написанный в строго логической манере, понятен представителям точных наук и непонятен искусствоведам, и, наоборот даже заведомо глубокий искусствоведческий текст кажется инженерам и физикам лишённым серьёзного содержания.

Этот эффект взаимного непонимания становится совершенно понятным, если предположить, что две категории читателей, которые условно назывались искусствоведами и инженерами, привыкли мыслить по-разному. Первые мыслят образами, их нечёткими взаимными связями, перетеканием одного образа в другой, для описания которых логика с её строгими рассуждениями совершенно излишня и даже вредна, поскольку пытается разложить всё «по полочкам». Вторые не мыслят себе ничего не связанного в строгие логические цепочки. Только такая логически обоснованная аргументация кажется им и убедительной, и понятной. Если этого нет (а в первом случае логика оказалась ненужной и даже вредной), то высказывания воспринимаются ими как лишённые смысла, хотя это вовсе не соответствует действительности.

При таком подходе становится понятным и искусствоведческое многословие. Широко известно утверждение «мысль изречённая есть ложь», которое, однако, совершенно неверно применительно к точным наукам. Здесь (например, в математике) изречённая мысль полностью соответствует тому, что мыслил человек (например: «сумма углов треугольника равна двум прямым»). Другое дело, когда человек пытается передать что-то в принципе неопределённое, не имеющее чётко очерченных границ и чётко определённого смысла, например, некоторый художественный образ. Этот образ человек может ощущать как красоту, но точно передать своё ощущение красоты другому он не в состоянии. Ощущение красоты может быть бесконечно разнообразным, иметь бесчисленное множество оттенков и особенностей, но, располагая конечным числом слов, человек, естественно, не в состоянии однозначно и абсолютно точно передать то, что он ощущает. Он вынужден, располагая в лучшем случаев парой десятков слов, обращаться к заведомо неполной и неадекватной передаче своих впечатлений. Чтобы их уточнить, он вынужден описывать свои впечатления с разных сторон, обращаться к аналогиям и прибегать к другим подобным приёмам. Неудивительно, что если математик может абсолютно точно уложить свою мысль, например, в три слова («угол равен 61  прямому»), то искусствовед, имея дело с объектами качественно другой природы, испишет несколько страниц и всё равно не достигнет абсолютной точности передачи своей мысли. Чем разностороннее его текст, тем ближе он подойдёт к своей цели, так что многословие, о котором шла речь выше, вполне естественно и даже похвально.

Приведённые примеры иллюстрируют утверждение, сделанное выше, что существует два типа знания — логическое и внелогическое, которому соответствуют два типа мышления. Привыкший к чёткой логике будет плохо понимать «туманные» рассуждения искусствоведа, а последнему будет трудно уследить за мыслью, бегущей по длинной цепочке логических ходов. Так что взаимное непонимание становится чем-то совершенно естественным.

Конечно, все приведённые выше соображения и примеры имели единственной целью показать реальное существование двух разных типов мышления. Поэтому изложение проблемы было сознательно упрощено. На самом деле каждый человек обладает обоими типами мышления и искусствоведу вполне свойственны элементы логических умозаключений. В реальной жизни отличие между двумя типами знания заключается в том, что в некоторых случаях доминирует логическая компонента, а в других — образная. Есть, конечно, и небольшое количество людей, одинаково владеющих обоими типами мышления. Для последующего этих констатаций достаточно.

Работа мозга при двух типах познания

Рассмотрим, чем отличается логическое познание от внелогического. В качестве областей человеческой деятельности, из которых будут браться поясняющие примеры, возьмём математику и изобразительное искусство. Математика — это почти чистая логика, а изобразительное искусство выбрано по той причине, что примерно 90% информации о внешнем мире человек получает при помощи зрения.

Прежде чем идти дальше, уместно сделать одно маленькое замечание. Внелогическое знание используется не только в искусствознании, оно характерно и для дисциплин описательного типа: географии, этнографии, анатомии, в которых целое разлагается на элементы ради более полного описания целого. Этот тип описательного внелогического знания здесь рассматриваться не будет, ниже рассмотрение будет ограничено лишь тем типом внелогического знания, который можно назвать образным и который характерен для искусствознания. Это делается потому, что для последующего большое значение будет иметь понятие «красоты», которое, конечно, теснее всего связано с искусством. 62 

Важно обратить внимание на то, что полное представление о предмете возникает лишь после того, как построена вся «сеть», начальные шаги построения которой показаны на рассмотренной схеме. Так, полное представление о геометрии можно получить лишь после многомесячного изучения всех её теорем и их взаимосвязанности. Следовательно, понимание целого есть итог нередко утомительного логического постижения его элементов. Короче говоря — постижение целого есть итог постижения его элементов, целое стоит в конце, а не в начале процесса.

Совершенно иначе происходит процесс познания, если оно основывается на внелогическом его варианте. Представим себе человека, подошедшего к картине, закрытой занавесом. Как только последний будет отдернут, человек увидит картину всю сразу и, что очень важно, сразу поймет её (речь здесь идёт, конечно, об обычной реалистической живописи). Для того чтобы постигнуть изображение, совершенно не нужно предварительное многомесячное изучение элементов живописного произведения. Это вовсе не означает, что такое изучение вообще излишне. Поняв целое сразу, человек начинает изучать элементы изображения (линия, тон, цвет и т.п.) и их отношение к целому. Таким образом, при внелогическом познании целое предшествует его элементам (изучение которых тоже может быть долгим и разнообразным). Представляется существенным, что это изучение элементов лишь уточняет и дополняет уже известное целое, но не способно изменить его.

Из приведённых примеров следует, что логическое и внелогическое познание в некотором смысле прямо противоположны. Первое идёт от элементов к целому (строит целое из создаваемых элементов), а второе — от целого к элементам (разлагает целое на элементы). Конечно, в этом схематическом описании дана лишь упрощённая картина работы человеческого мозга, на самом деле оба эти типа познания идут рука об руку, и человек в своей реальной жизни успешно использует преимущества каждого из них. Однако последнее вовсе не означает, что не может существовать людей с доминированием у одних логического, у других внелогического типов познания. Тогда возникает ситуация, о которой говорилось выше — взаимное непонимание.

Рассмотрим теперь ещё один специальный случай внелогического познания. Предположим, что в приведённом несколько выше случае после того как занавес был отдёрнут и человек увидел картину, он ничего не понял. Например, увиденное оказалось картиной одного из 63  наиболее непонятных вариантов абстрактной живописи. Если человек убеждён, что в картине «что-то есть», то он будет продолжать смотреть и в конце концов в его сознании начнут появляться образы, инициированные картиной — разноцветные пятна начнут складываться в осмысленные комбинации, вызывающие именно те чувства, которые стремился передать художник, второстепенное начнёт меркнуть, а главное — светиться. Следовательно, внелогическое познание обладает уникальной способностью находить в казалось бы хаотической картине некую разумную сущность. Правда, при этом надо хотя бы примерно знать, к чему может сводиться эта «разумная сущность». Процесс, который здесь описан, в известном смысле обратный основному разложению целого на его элементы.

По сути, аналогичной способностью наводить в хаосе порядок является способность человека с некоторой фантазией видеть в бесформенной массе облаков всадников, человеческие лица или каких-то чудовищ. Известно, что Леонардо советовал молодым художникам вглядываться в бесформенные пятна на стене, чтобы увидеть в них те или иные сцены, что свидетельствует о том, что свойство человеческой психики вводить порядок в хаос было замечено давно.

В описанных случаях внелогическому познанию помогало то, что оно обладает способностью видеть красоту. Само понятие красоты является, конечно, внелогическим. Именно знание (конечно, интуитивное), что такое красота, позволяло внелогическому познанию создавать подходящие («красивые») комбинации из наличных элементов. Как видно, это некоторое подобие логического познания — из элементов строить целое, — но только подобие. Логика, прежде чем создавать целое из элементов, предварительно строит последние (прежде чем совокупность теорем создаст науку «геометрия», эти теоремы надо доказать, они не даны нам изначально). Внелогическое чувство красоты выбирает и комбинирует изначально заданное, здесь ни один из элементов искомого целого не создаётся заново работой ума.

Стадии нахождения логического результата

Описывая процесс рождения некоторого нового результата (в математике — доказательства новой существенной теоремы, в физике — получение математического описания и истолкования некоторого ранее непонятного явления и т.п.), я буду опираться только на собственный опыт, поэтому всё последующее изложение будет носить в известном смысле субъективный характер.

Процесс, о котором идёт речь, начинается обычно с возникновением интереса к какой-либо проблеме. Этот интерес может возникнуть 64  в результате предшествующих работ, как их продолжение, от чтения литературы, но может явиться и откуда-то «сбоку», как бы ни с того ни с сего. В общем, причины возникновения первоначального интереса особого значения не имеют. Возникший интерес не побуждает к немедленной работе за письменным столом, обычно он должен некоторое время созревать: проблема обдумывается как бы между прочим, на прогулке, в городском транспорте и в других, казалось бы, малоподходящих ситуациях. В результате интерес к проблеме либо исчезает (и тогда дальнейшего процесса не возникает), либо, напротив, укрепляется. В последнем случае через некоторое время (иногда через пару недель) возникает ощущение того, что задача не относится к разряду очень трудных, и даже просматривается план её решения.

Следующей стадией является начало работы. На стол кладётся стопка чистой бумаги и кажется, что можно прямо «с ходу», начисто начать писать решение и через день-два работа будет закончена. Вскоре выясняется, что дело не так просто, и первоначальное намерение писать сразу начисто отбрасывается. Стопка чистой бумаги превращается в листки, испещрённые черновыми записями. Происходит явное усложнение, оно связано с тем, что во время работы выявляется необходимость ряда уточнений, учёта не замеченных в процессе предварительного обдумывания факторов, с выявлением ряда трудностей чисто математического характера, например, полученные уравнения вследствие введённых уточнений перестают решаться в элементарных функциях и т.п. Чтобы обойти возникшие трудности, делаются новые допущения или несколько меняется постановка проблемы. Вместо ожидавшегося решения проблемы за 2-3 дня убеждаешься в том, что и по прошествии уже 2-3 недель «просвета в конце туннеля» не видно.

Теперь делаются попытки изменить направление решения, искать его на других путях. Число исписанных листков бумаги неудержимо растёт, однако движение идёт, образно выражаясь, не вперёд, к цели, а в различных боковых направлениях. Фронт работы становится всё шире и шире без заметного продвижения к цели. Наконец, иногда после многомесячной работы возникает ощущение невозможности решить задачу. Раньше в этот момент опускались руки, и душу охватывало чувство своеобразного отчаяния. Сейчас я знаю, что в большинстве случаев я нахожусь где-то очень близко от цели.

Когда такое со мной случилось впервые, то я забросил работу, сделав вывод, что поставленная мною проблема не имеет решения (или я не в состоянии его найти). Каково же было моё изумление, когда 65  через известное время после того как я бросил и почти забыл эту работу, вообще перестал думать о волновавшей меня недавно проблеме, я это решение как бы увидел сразу в своеобразном «озарении» в абсолютно неподходящем месте. Замечательным было и то, что я ни о заброшенной проблеме, ни о каких-либо других задачах научного характера в этот момент не думал. После того как аналогичное проявилось и при занятии другими проблемами, я решил, что на стадии исследования, когда приходишь к выводу, что ты вконец запутался в массе исписанных листков и надо всё бросить, это действительно надо сделать и заняться чем-либо другим, а решение в нужный момент «придёт само». Я ограничусь здесь двумя примерами, имеющими разный характер, чтобы проиллюстрировать сказанное выше. В своё время, занимаясь вопросами устойчивости газовых течений, я столкнулся с тем, что для прояснения одного из возникших вопросов надо было решить задачу алгебраического характера. Все попытки найти искомое решение оказались безрезультатными. Горы исписанных бумаг явно свидетельствовали об этом. Задачу я бросил, перейдя к изучению других вопросов проблемы устойчивости. Недели через две в парикмахерской во время бритья, когда я об оказавшейся для меня непосильной задаче даже не вспоминал, её решение неожиданно для меня мгновенно возникло перед моим мысленным взором. Прибежав домой, я сел за стол и быстро записал найденное решение. Оно оказалось удивительно коротким и изящным, и я никак не мог понять, почему я не догадался о нём сразу и безрезультатно перевёл такую груду бумаги. В другом случае я подготовил статью, тоже математического характера, для опубликования её в «Докладах Академии наук», однако и во время её написания, и после, когда она уже была закончена, я постоянно ощущал, что в ней «чего-то не хватает»: может быть, самого главного. Я знал, что всё написанное в статье совершенно верно, но одновременно чувствовал, что я сам её до конца не понимаю. Здесь дело было не в трудности поиска математического результата, а в глубинном осмыслении его. Так и не справившись с этой трудностью, я проделал все нужные для опубликования статьи формальности и отправился в редакцию сдать её. Совершенно не думая о статье по существу (для меня она вся уже была в прошлом), я опустился в метро и в момент посадки в вагон абсолютно неожиданно для себя, как в каком-то мистическом озарении, мгновенно понял истинный смысл проделанной работы. Выйдя на нужной станции метро из вагона, я присел на скамейке, находящейся на перроне, и вписал в конце статьи от руки последнюю фразу, в которой был кратко сформулирован смысл 66  полученного результата. Через пару месяцев в другой статье, тоже опубликованной в «Докладах...», я подробно, с нужными математическими выкладками, подтвердил и обосновал это неожиданное для меня самого утверждение, которое придало законченность первой статье.

В двух рассказанных случаях есть и различие, и нечто общее. В первом случае трудность была в нахождении математического доказательства некоторого утверждения, во втором — в осмыслении полученного доказательства. Общим в обоих случаях было то, что можно назвать поиском гармонии. В первом — надо было найти гармоническое звено в казалось бы бесформенной массе выкладок, во втором — внести её в окончательный результат.

Возвращаясь после описания двух характерных случаев из своей практики к обсуждению стадий научного исследования, остаётся сказать, что после описанных «озарений» наступает последняя стадия, когда рассматриваемая проблема сравнительно просто поддаётся математическому описанию и искомый логический результат оказывается записанным в окончательном виде.

Конечно, бывают и такие случаи, в которых момента озарения не наступает, и соответствующие задачи, скорее всего, действительно не имеют решения.

Взаимодействие логической и внелогической частей сознания

Выше говорилось о в известном смысле противоположном характере логической и внелогической частей сознания человека, приводились примеры взаимного непонимания людей, у которых доминируют разные типы сознания, и всё это могло создать впечатление, что мозг человека работает либо опираясь на логику, либо на образное мышление. Нет ничего ошибочней такого представления, мозг всегда работает как единое целое. Даже у человека, думающего, что он занят чистой логикой, например доказательством трудной математической теоремы, одновременно «задействована» и внелогическая часть сознания.

Поясню сказанное примером из личного опыта. Как-то мне оказалось необходимым вспомнить одну теорему из достаточно далеко продвинутого раздела математического анализа. Взяв соответствующий том, я уселся за письменный стол и через 10 минут вспомнил, что требовалось. Прошёл час, и я вдруг с удивлением обнаружил, что читаю дальше, читаю не для того, чтобы что-то узнать, а исключительно для получения удовольствия. Удовольствия, связанного не с содержанием написанного, а происходящего от красоты логических ходов, от того, как идеально «подогнаны» друг к другу логические ходы, как 67  неотвратимо они ведут к поставленной цели, как идеально всё связано и уравновешено. Это было в известном смысле аналогично чтению «Евгения Онегина», при котором завораживает не фабула, а поэзия.

Сказанное свидетельствует, что и там, где, казалось бы, царствует равнодушно-нейтральная логика, может возникнуть чувство красоты. И это подтверждается не только красотой некоторых математических теорем и доказательств, но и, например, красотой столь же логически обусловленных шахматных игр. Широко известно, что шахматисты нередко говорят о «красивой партии». Но восприятие красоты (да и само это понятие) есть результат работы внелогической части нашего сознания. Выходит, когда я незаметно для себя погрузился в чтение тома математического анализа, у меня всё время работала (и даже стимулировала продолжение чтения) внелогическая часть сознания.

Исходя из факта одновременной и согласованной работы обеих частей сознания при решении трудных логических задач, полезно вернуться к описанным выше стадиям нахождения логического результата и попытаться выявить роль внелогической компоненты в этих стадиях.

Уже в начальной стадии возникновения интереса к новой проблеме известную, возможно, в некоторых случаях даже определяющую, роль играет внелогическое ощущение красоты результата, который (если это удастся) можно получить. Ожидание не только значительности, но главное — красоты (во многих случаях это совпадает — значительный результат, как правило, красив), может оказаться решающим импульсом, толкающим за письменный стол.

В следующей стадии — начала и разворота работ — присутствие внелогической составляющей почти всегда незаметно, тут безраздельно царствует логика. Это можно видеть и тогда, когда процесс поиска привёл к лавинообразному нарастанию числа безрезультатно исписанных листов черновиков. Интенсивная работа логической части сознания вовсе не означает полного бездействия внелогической. Образно говоря, можно утверждать, что внелогическая часть с сочувствием наблюдает мучения своей логической сестры.

Наконец, наступает момент, когда логическая часть сознания поднимает руки, работа прерывается, и ей даже неприятно вспоминать свои безрезультатные усилия. Это не преувеличение, чувство нежелания продолжить попытки решения непокорной задачи на этой стадии достаточно ясно выражено. В этот момент к активной работе приступает внелогическая часть сознания. В её памяти имеется огромный 68  массив попыток решения задачи, все они были безрезультатны, но не бесмысленны. Кроме того, в памяти имеется и предшествующий опыт, прямого отношения к решаемой задаче не имеющий, но могущий оказаться полезным. Наблюдая этот хаос, внелогическая часть сознания стремится найти в нём хоть где-то гармонию, красоту. Здесь работа мозга аналогична той, которая описывалась выше, при попытке увидеть красоту в непонятной картине художника-абстракциониста. В обоих случаях в сознании живёт уверенность, что оно наблюдает не бессмыслицу. Если бы это было не так, картину не экспонировали бы на выставке, а в случае с непокорной задачей её не стали бы решать. В обоих случаях задан и некоторый критерий красоты — в случае с картиной по аналогии с другими, в случае с задачей он был сформулирован логической частью в виде типа ожидаемого решения. Аналогии можно продолжить: в обоих случаях для получения результата нужно время. В случае с картиной — длительное её созерцание, в случае с задачей этот процесс может достаточно долго созревать в подсознании.

Здесь возникает вопрос о причинах, по которым внелогическая часть сознания продолжает подсознательно решать задачу, от которой логическая часть отказалась. Возможно, это связано с выработанной в процессе эволюции биологической необходимостью. Животное, увидев что-то непонятное, на всякий случай обратилось в бегство, а потом, когда мнимая или реальная опасность оказалась позади, его подсознание начинает приводить полученные впечатления в порядок, наводить в них гармонию, в ожидании следующих встреч. Аналогично и при добывании пищи — наводя подсознательно гармонию в своих имевших место неудачных и удачных попытках, животное оказывается более подготовленным к следующему разу. Это можно наблюдать и в человеческой практике, например при обучении езде на велосипеде. Известно, что первый день обучения всегда состоит из сплошных неудач и падений. Утром следующего дня, к удивлению обучаемого, у него всё начинает получаться. За ночь подсознание ввело в хаос дневных впечатлений гармонию: вычленило из массы в целом неудачных попыток элементы удачных движений, «склеило» их в разумную последовательность, и обучающийся наутро не узнаёт себя. Из этих примеров видно, что подсознательная гармонизация хаоса впечатлений, то, что выше именовалось иногда «красотой», биологически разумна, даже необходима и, раз образовавшись, даёт хорошие результаты даже при решении математических задач, хотя возникала эта способность к подсознательной гармонизации для совсем других 69  целей. Становится понятным и то, почему этим ведает внелогическая часть сознания. Дело в том, что логическая часть сознания возникла сравнительно поздно, её нет у животных, а необходимость гармонизации, о которой шла речь выше, была нужна всегда: она упорядочивала представление о мире.

Конечно, всё сказанное здесь не является решением проблемы подсознательной работы мозга, столкнувшегося с трудной математической задачей. Остаётся неясным и то, как именно идёт этот процесс гармонизации, почему он иногда весьма длителен и измеряется многими днями, а иногда совсем короток. Действительно, все, кто размышлял об этом, писали, что итог гармонизации, решение трудной задачи, неожиданно возникал через большой промежуток времени. Известны, однако, случаи, когда решение приходило через десяток минут. Чемпион мира по шахматам Г. Каспаров описывает, как он в одной из партий, в трудной позиции, нашёл ход, принёсший ему победу. Обычно шахматисты в поисках удачного хода перебирают в уме многие варианты ходов, прослеживая их последствия, и выбирают наилучший. Как видно, они действуют строго логически. В описываемом случае такой логический подход не позволил Каспарову выбрать наилучший ход, все они были не слишком хороши, но он неожиданно увидел ход, который не вписывался в обычную логику, Каспаров подсознательно ощущал его силу, хотя и не мог объяснить своего чувства. Позже он говорил, что этот ход нельзя было выбрать путём перебирания вариантов, что его никогда не предложил бы ни один компьютер. Скорее всего, в этом случае сработал механизм подсознательной внелогической гармонизации, и из «хаоса» сыгранных шахматистом партий, из чувства красоты шахматной партии, внелогической части его сознания удалось увидеть красоту и в стоявшей на доске позиции.

Приведённый случай с шахматной партией наводит на мысль, что внелогическая часть нашего сознания значительно чаще вмешивается в деятельность логической его части, подсказывая правильные ходы прямо в процессе казалось бы спокойного хода работы с математическими выкладками. Поскольку такие подсказки не являются чем-то требующим многодневного перерыва в работе и касаются сравнительно мелких проблем, их просто не замечают, и соответственно, о них не говорят. Было бы крайне интересно проанализировать эту сторону вопроса более внимательно.

Последней стадией решения задачи, когда после многодневного перерыва в результате «озарения», был увиден выход из, казалось бы, 70  безвыходного положения, является оформление этого увиденного пути. Вновь включается логическая часть сознания, она проверяет догадку внелогической части (иногда, увы, «озарение» бывает ошибочным) и окончательно оформляет найденный результат.

Заключение

Как видно из приведённых примеров, при решении задач, имеющих явно выраженный математический характер, иными словами, чисто логических, нередко решающую роль может играть внелогическая компонента нашего сознания, выработавшая в процессе биологической эволюции способность подсознательно производить гармонизацию хаотической массы впечатлений. При этом важную роль играет некоторый критерий, который иногда называют «чувством красоты». 71 

Квантование термодинамики

1. Два разных языка

Эту лекцию я хотел бы сделать понятной как математикам, так и физикам. Это очень трудная задача. Один раз я пытался её решить, когда писал свою первую книгу «Теория возмущений и асимптотические методы», но получилось так, что ни те, ни другие не поняли.

Почему это трудно? Потому что язык у физиков и у математиков совершенно разный и логика разная. Когда люди говорят пусть даже на одном и том же русском языке, но используют разные его стили, разные жаргоны, то может получиться полная ерунда.

Об этом хорошо написано в рассказе Чехова «Новая дача». Когда инженер, приехавший строить мост, говорит крестьянам: «Мы же к вам хорошо относимся, платите и вы нам той же монетой», то крестьянин реагирует так: «Монетой не монетой, а по гривенничку со двора надо будет собрать».

Так что разница в языке играет существенную роль. В качестве примера я постараюсь рассказать несколько эпизодов из моей жизни, которые эту роль прояснят.

Первый эпизод такой. Я обнаружил в книге Б. Б. Кадомцева «Коллективные явления в плазме» на странице 76-й утверждение об асимптотике одного интеграла «при больших T». Далее уже на 77-й странице автор пишет: «А при очень больших T этот самый интеграл будет выглядеть по-другому». Эта книга замечательная, более того, является моей настольной книгой, и Б. Б. Кадомцев замечательный физик, но такие пассажи математику понимать трудно. И мне пришлось очень долго разбираться, что это на самом деле означает. Оказалось, что просто есть ещё один большой параметр, о котором как бы умалчивается. По отношению к этому параметру первоначальные T будут того же самого порядка, а «очень большие T» гораздо большего порядка, чем этот большой параметр.

Вообще с малыми и большими параметрами, которые используют физики, довольно трудно разобраться. Тот же Кадомцев на странице 150-й и 151-й постоянно пишет: «малой, но конечной амплитуды». Чётко сформулировать, что это означает и как используются эти малые параметры — это уже задача математиков.

Однако чаще всего навести математический порядок в физическом 374  тексте чрезвычайно трудно. Физик может отбрасывать какие-то члены, зная из эксперимента, что они малы, а иногда и просто подгоняет под эксперимент. Эти манипуляции напоминают мне известную притчу об отце Онуфрии: «Отец Онуфрий оторвал огурец, оторвав откусил, откусив отплюнул, отплюнув отбросил». Математику же иногда трудно догадаться, почему физик отбросил те или иные слагаемые. Боголюбов говорил, что он всю жизнь занимался тем, что искал малые параметры.

Даже если физики и математики что-то доказывают примерно одинаково, то располагают это в разном порядке. Так, математик сначала формулирует результат в виде теоремы, а потом её доказывает. Физик же делает вывод, а результат этого вывода (или теорему) формулирует потом.

В каком-то смысле математический подход лучше, потому что сначала формулируется результат. Но при этом математический текст труднее понимать, чем физический, потому что последний не содержит разных дополнительных условий, которые обычно содержит теорема. Например, условие принадлежности функции к такому-то классу. Это всё, так сказать, пропускается мимо, поэтому текст читается гораздо проще. Я бы сказал так, что если физический и математический тексты посвящены одному и тому же, то иногда по физическому тексту можно чётко восстановить математическое доказательство. Для понимания лучше, чтобы сначала следовал физический текст, как бы предварительный, эвристический, а затем уже — математическое и подробное доказательство.

Или ещё пример. У математиков Фурье-образ функции от x уже является функцией от сопряжённой переменной, скажем, функцией от k, а от x уже не зависит. Но у Кадомцева в книге, о которой шла речь, на 200-й странице определён Фурье-образ функции E, как E от k, а дальше это E_k всё равно зависит от x. На странице 205-й это E_k дифференцируется по x.

Другое «недоразумение» встречается в «Термодинамике, статистической физике и кинетике» Ю. Б. Румера и М. Ш. Рывкина. Равновесное состояние Ферми- и Бозе-газа в этой книге ищется с помощью дифференцирования энтропии по переменному числу частиц N_i, обладающих энергией ε_i при постоянном фиксированном числе g_i (g_i — число «ячеек»). Далее на странице 142 авторы пишут, что g_i пропорционально числу частиц N_i.

С другой стороны, физики не могут понять, что же математики хотят доказать, и не принимают косвенных доказательств. Я приведу 375  пример моей беседы с теперь уже знаменитым физиком Анатолием Александровичем Власовым.

Я тогда был студентом на кафедре, которой он заведовал. У меня на втором или третьем курсе появились математические интересы. Я захотел переходить на мехмат и обратился к заведующему кафедрой Власову, с которым у меня были очень хорошие отношения:

— Анатолий Александрович, я решил переходить на мехмат, подпишите, пожалуйста, мне заявление.

— Нет, — говорит он, — я просто так вас не отпущу. Я сначала проверю ваши математические способности. Решите мне математическую задачу, и только после этого я вашу бумагу подпишу.

Я говорю:

— Хорошо, дайте, пожалуйста, задачу.

И Власов даёт мне задачу:

— Решение волнового уравнения можно представить в виде формулы для запаздывающего потенциала, а можно — для опережающего. Докажите, что эти две формулы совпадают.

Я отвечаю:

— Хорошо, я это могу сделать.

Потом доказываю ему: решение волнового уравнения единственно при одних и тех же начальных данных. Проверяем начальные данные, проверяем то, что эти выражения удовлетворяют волновому уравнению, те и другие начальные данные совпадают, следовательно, эти решения совпадают.

Власов говорит:

— Нет, я этого не понимаю. Вы докажите, что они равны, а не философствуйте.

— Анатолий Александрович, позвольте, — отвечаю я, — давайте я прямо по пунктам буду доказывать. А в каждом пункте, с которым вы не согласны, вы так мне и скажете: я не согласен. Давайте так рассуждать. Дальше я начинаю доказывать по пунктам: сначала докажем, что это единственно, затем, что удовлетворяет тому-то и тому-то, а раз так, то пишем разность и т.д.

Иначе говоря, стал объяснять более подробно, как студенту.

Он соглашается со мной:

— Да, с этим пунктом я согласен и с этим пунктом согласен и т.д.

Я говорю:

— Анатолий Александрович, вот вы со всеми пунктами согласны, так что получается, что они равны.

Он:

— Нет, я не понимаю.

И тем самым он отказывается подписать мне бумагу. И уходит. Я за ним вприпрыжку:

— Анатолий Александрович, вот вы же сказали, что и с этим согласны и с этим.

Он опять:

— Но я не понимаю.

И так, быстро спускаясь по лестнице, он начал бить себя по лбу и говорить: 376 

— Я не понимаю. Я — дурак. Да, я — дурак и не понимаю.

Так что А. А. Власов не мог воспринять косвенное доказательство. Он хотел только, чтобы я непосредственно вывел из одной формулы другую.

Ещё был такой эпизод. Мой ученик В. Дубнов защищал свою дипломную работу и должен был получить отметку. Тогда я уже работал на кафедре математической физики, а от кафедры теоретической физики присутствовал Анатолий Александрович Власов. И вот он задал моему ученику вопрос:

— Можно ли через две точки провести прямую?

Дубнов посмотрел в пол, подумал минуту и сказал:

— М-м-м, можно.

Тогда Власов вскочил и закричал:

— Два! Вот она, ваша топология! Никогда, сколько бы вы ни целились, из одной точки в другую вы не попадёте!

И, между прочим, как раз эта идеология и послужила основой для того, чтобы он написал свои знаменитые уравнения Власова.

Физики не очень хорошо понимают параметры и асимптотики. Я, по крайней мере, могу назвать одного замечательного физика Якова Борисовича Зельдовича, испытывавшего большие трудности при выступлении на математическом семинаре. Он, кстати, очень стесняясь, хотя был совсем не робким человеком, рассказывал на семинаре Гельфанда свою работу. При этом никак не мог объяснить то, что у него приведены асимптотические формулы. Я был тогда студентом и с места пытался крикнуть: «Это асимптотика по высокому барьеру». Но Гельфанд замахал на меня рукой, чтобы я не вмешивался.

Позднее, когда Зельдович уже занимался космологией, я иногда звонил ему и спрашивал, например, о какой-нибудь моей формуле, годится она или нет. Тогда он в уме начинал очень быстро считать: «Так-так, десять в минус десятой, то-то и то-то в минус пятнадцатой...» и отвечал: «Нет, эта формула не подходит». Я-то только мог сказать, что имеются такие-то асимптотики по таким-то параметрам, а он умел сразу усмотреть в них числа. Вместе с тем на докладе у Гельфанда, как я говорил, он побаивался и не мог исчерпывающе объяснить свою работу.

Я также помню доклад Фрадкина на семинаре Гельфанда. Ему тоже приходилось трудновато. Так что у физиков и математиков есть момент взаимного непонимания и даже некоторого презрения.

С другой стороны, как-то один из крупнейших математиков делал доклад на семинаре Ландау. Кажется, доклад был о методе наименьших квадратов. Мне об этом рассказывал один человек, возможно, он преувеличивал. Ландау спросил у этого человека о докладчике:

— Что, Л. — совсем дурак? 377 

— Ну что вы.

— Ну а что у него есть?

— У него есть оценки в теории вероятности.

— Оценки, — сказал Ландау, — я не считаю результатом.

— У него есть серьёзные работы по теории чисел. [Уж не Ю. В. Линник ли это был? — E.G.A.]

— Теорию чисел я не считаю наукой.

При этом физики часто хотят, чтобы им были предъявлены на их языке некоторые мнемонические правила (типа правила «буравчика»), и между физиком и математиком происходит разговор, похожий на описанный в «Свадьбе» Чехова: Ять: «Не хватает электрического освещения». Жигалов: «Нет, брат, ты давай огня, который натуральный, а не умственный».

Когда на докладе я предъявляю новую формулу, математики просят: «Наметьте доказательство», а физики спрашивают: «Как вы до этого додумались?».

У физиков в их мышлении всегда очень большую роль играет эксперимент. Например, знаменитая формула Планка, полученная в начале XX века и давшая константу Планка (только позже, в 1915 г., Бозе усмотрел в ней статистику Бозе–Эйнштейна), сразу совпала с экспериментом. Именно этого и добивался Планк, когда угадывал эту формулу.

Так же и другие физики учитывают и держат в голове одновременно большое количество экспериментов и объясняют, почему откинули тот или иной член в каких-то соотношениях. Можно из логических соображений привести этому контрпример из другой области. Но в конечном счете оказывается, что формула правильная.

Расскажу ещё следующий эпизод. Я когда-то ещё в шестьдесят четвёртом году написал асимптотику для фейнмановского континуального интеграла и метод стационарной фазы, куда вошёл индекс Морса. Я написал формулу и доказал её косвенным образом, потому что континуальный интеграл ещё не был математически строго введён. Потом выясняется, что физики стали сами эту формулу выводить, и я тут оказывался как бы ни при чём. Тогда Л. Д. Фаддеев одному из физиков сказал:

— Что же вы делаете? Это же Маслов доказал.

— Нет, — отвечает физик, — Маслов не доказал, он просто догадался, но он же не показал, что так получается, он не вывел эту формулу. А вот мы её сейчас выведем.

Этим они как бы вывели меня из терпения, и я решил написать доказательство на «физическом» языке. Я написал как бы пародию на 378  доказательство: «Вот здесь фейнмановский интеграл, вот там вставим фейнмановскую диаграмму, вот тут проходят такие-то траектории, а вот — трубка» и т.п. Одним словом, я бы это назвал пародией на доказательство и опубликовал всё это в журнале «Теоретическая и математическая физика». Эту статью физики поняли, стали на неё ссылаться, и эта формула осталась за мной. Но когда Гийемин и Стернберг выпустили книгу «Геометрические асимптотики», посвящённую, в частности, моим работам, то они написали там так: «Вот это — формула Маслова, а вот — "доказательство" Маслова». [V. Guillemin and S.Sternberg. "Geometric asymptotics" (AMS, 1977). Русский перевод опубликован издательством «Мир» в 1981 году. Про «доказательство» см. стр. 90. — E.G.A.] Привели это «доказательство» и поставили кавычки. Эта книга и ещё одна физическая статья повредили мне тем, что математики стали говорить: «А он не настоящий математик, его работы надо ещё строго доказывать». Вот так я метался между этими двумя языками.

Есть ещё такой момент. У Фока была приведена формула, которая легко доказывалась методом стационарной фазы. Потом эту формулу привёл Ю. Егоров. В. И. Арнольд, которому Ю. Егоров дал эту формулу в качестве заметки в «Успехи математических наук», спросил меня, стоит ли, по моему мнению, публиковать эту работу. Я сказал, что, по-моему, стоит, так как они разговаривают на разных языках. Хотя, с одной стороны, это, конечно, то же самое, но, с другой стороны, это разные языки. Арнольд опубликовал эту работу. В результате эта теорема стала знаменитой теоремой Егорова, которая вошла во все учебники.

Вместе с тем, если посмотреть на послесловие Фока к книге Дирака, можно заметить, что если брать асимптотику по большим частотам, то формула при этом получается такая же, как если бы мы брали асимптотику по гладкости. Что касается доказательства, то в моей книжке «Теория возмущений» я на эту формулу ссылался и писал, что из метода стационарной фазы доказательство очевидно. Тем не менее это разные подходы, разные языки и разные понимания.

Хочу привести ещё такой эпизод, хотя он больше похож на анекдот. Это произошло с человеком, которого я хорошо знал — он учился на курс старше меня. Про него рассказывали, что когда его хотели призвать в армию, он принёс справку о том, что он сумасшедший, но теоретической физикой заниматься может. Один преподаватель рассказывал про этого студента следующее. Во время ответа на экзамене он сказал, что такой-то факт основывается на лемме о том, что сумма модулей равна модулю суммы. Преподаватель — это был Борис Михайлович Будак (он мне и рассказал этот эпизод) — очень остроумный человек, говорит:

— Хорошо, лемма очень интересная, пожалуйста, докажите её.

Через какое-то время он, походив между рядами, снова 379  подошёл к этому студенту и спросил:

— Ну как, доказали?

— Да, конечно, я доказал, — отвечает тот.

— И как же? — допытывается преподаватель.

— А я рассмотрел огромное число примеров, и в подавляющем большинстве случаев это так.

Этот «анекдот» про моего знакомого, кстати, очень милого человека, который впоследствии действительно успешно занимался теоретической физикой, на самом деле имел место.

Всем известно доказательство физиков того, что все нечётные числа простые: один — простое число, три — простое число, пять — тоже простое число, семь — тоже, девять — это редкое исключение, одиннадцать — простое, тринадцать — простое, достаточно, доказательство закончено. В этой шутке есть доля истины.

Известно, какому разгрому подвергли на семинаре Ландау доклад Боголюбова, когда он рассказывал свою знаменитую работу 1947 г. о сверхтекучести. Я знаю, хотя не был тогда с ним знаком, насколько он переживал этот «разгром». Ему в тот же день позвонил академик И. М. Виноградов, поставивший его доклад на отделении математики и физики, и сказал:

— Николай Николаевич! Что же вы так меня подвели.

Николай Николаевич всю ночь пересчитывал, а утром позвонил И. М. Виноградову и сказал:

— Иван Матвеевич, я пересчитал, всё правильно.

Потом, как говорят, Мигдал две недели проверял работу Боголюбова, и, наконец, её как-то признали. Так что вторгаться в область других наук очень не просто. Тем не менее, хотелось бы, чтобы физики эту мою работу восприняли и поняли. Непонимание в языке, или вернее в жаргоне, между физиками и математиками столь велико, что напоминает известный анекдот: Учитель говорит ученику, написав на доске уравнение: «Найдите x», а тот отвечает, указав на доску: «Да вот же он!».

В. И. Арнольд рассказывал мне недавно, что когда-то он решил одну задачу, поставленную физиками. Его научный руководитель А. Н. Колмогоров рекомендовал ему послать эту работу в физический журнал, поскольку она представляет интерес для физиков и задача-то была поставлена физиками. Арнольд послал её в ЖЭТФ. Через некоторое время ему позвонил академик Леонтович, с семьёй которого семья Арнольда была дружна, и сказал:

— Дима, приходите ко мне, я сварю гречневую кашу и мы поговорим о вашей статье.

Арнольд пришёл, и Леонтович ему сказал:

— Вы употребляете там слова "поверхность тора" и "мера", а физики не знают, что это такое; слово "доказательство" физики тоже не признают. Поэтому ешьте кашу, а статью вашу мы отклоняем.

Позже Арнольд узнал, что отзыв давал сам Ландау, а Леонтович только передавал его слова. Арнольд напечатал статью 380  в ДАН, и в дальнейшем на неё было огромное количество ссылок в физической литературе и только в физической, а те слова, которые вызвали протест, давно утвердились и в физических учебниках.

Этот рассказ напомнил мне слова известного композитора Николая Метнера, когда он прослушал «Стальной скок» Сергея Прокофьева: «Если это — музыка, то я — не музыкант». Когда я делал доклад у физиков на самом престижном семинаре по данному вопросу, на котором присутствовали не только теоретики из Института физических проблем, но и физики из Института Ландау, то, объясняя переходы с одного уровня энергии на другой, я изобразил уровни параллельными отрезками. Уровни энергии — это фактически точки, а я просто для наглядности нарисовал их чёрточками. Мне задали вопрос: «Почему они у вас эквидистантны?». Я ответить не успел, так как за меня ответил кто-то из членов семинара. После чего началось довольно бурное обсуждение вопроса, почему они эквидистантны. После некоторых прений и переговоров обсуждение закончилось тем, что встал руководитель семинара и громким голосом объяснил, что на самом деле я имел в виду. Я совершенно ничего не понял, но промолчал, чтобы не затягивать до бесконечности.

История с этими чёрточками напомнила мне историю со стихотворением Валерия Брюсова. Он декламировал его в компании поэтов и, возможно, своих поклонников. В стихотворении была фраза: «Упаду на седой подоконник». Тут же все стали обсуждать, что Брюсов имел в виду и почему он так написал. И так эту фразу интерпретировали, и этак, а потом спросили: «Что же вы имели в виду в таком определении подоконника?». Брюсов ответил: «Просто он у меня такого цвета».

2. Старые проблемы

Я сам кончал физический факультет, но потом мне пришлось заниматься задачами, которые были связаны с закрытой тематикой. Я работал совместно с инженерами и от теоретической физики несколько отвлекся. Затем, когда я был назначен заведующим кафедрой квантовой статистики и теории поля, где преподаётся термодинамика, то мне волей-неволей пришлось заново изучать эти науки. Но это на самом деле не всегда плохо. Эйнштейн как раз шутил на тему, как удалось ему открыть свои законы. Он говорил, что был несколько туповат, и поэтому, когда все всё уже поняли, он ещё не понял, и ему пришлось в этом разбираться более основательно.

Когда я снова стал знакомиться со многими вопросами теоретической 381  физики, то обнаружил очень серьёзную дыру. В математике такие факты обычно формулируются как проблемы. А дыра заключалась вот в чём. Все функции распределения, которые были описаны когда-либо физиками и основывались в основном на распределении Гиббса, при температуре, равной нулю, давали энергию, равную нулю. (Энергия системы при температуре, стремящейся к нулю, стремится к нулю.) Вместе с тем где-то в конце тридцатых годов было показано экспериментально, что при температуре, равной нулю, есть сверхтекучесть, т.е. есть энергия, отличная от нуля. Причём сверхтекучесть проявляется как при движении жидкости вдоль тора, так и по изогнутому капилляру. Этот момент заставил меня просматривать все работы по квантовой статистике под этим углом.

Саму сверхтекучесть Ландау объяснил, с моей точки зрения, совершенно неожиданным образом. Без привлечения обычной термодинамики, а через спектр уравнения Шрёдингера. Он показал, что если система находится не на нижнем уровне энергии уравнения Шрёдингера, не в основном состоянии, то, несмотря на это, она устроена так, что на нижний уровень переход почти запрещён при большом числе частиц. Поэтому эта система, при некотором возмущении, о котором Ландау говорил как о трении, не может скатиться на более низкий уровень, находясь в таком метастабильном состоянии, и поэтому продолжает течь. Иначе говоря, как бы есть ещё такая специальная метастабильная серия, на нижнем уровне которой мы находимся, а на самую основную серию переход затруднителен.

Есть ещё критическая скорость Ландау. Это означает, что имеется критический уровень энергии, такой, что если энергия жидкости больше него, то жидкость перестанет быть сверхтекучей. Иначе говоря, спектром определяются и фазовый переход из сверхтекучей фазы в нормальную.

Боголюбов в своей знаменитой работе блестяще подтвердил это объяснение сверхтекучести Ландау и дал математическую теорию, описывающую эту точку зрения. Он рассмотрел систему не в капилляре, а на торе. Иначе говоря, рассмотрел задачу с периодическими условиями. Как бы вся эта система находится на некотором торе. Далее был предельный переход от тора ко всему пространству (радиус тора увеличивался до бесконечности). Фазовый переход через критическую скорость Ландау у Боголюбова, если перевести его на строгий математический язык, доказан для скорости угловой, т.е. скорости на торе (дискретной!). У Ландау и Лифшица в «Статистической физике» (стр. 94) как раз и говорится о том, что угловая скорость 382  есть термодинамическая величина и, следовательно, по ней может совершаться фазовый переход. А по скорости, уточняет Ландау, которая прямолинейная, у нас получается просто сдвиг Галилея, и ничего не должно от этого меняться.

Отсюда я сделал заключение о том, что, если вводится температура, то тоже должен быть спектр, т.е., например, очень маленькая температура должна не сильно изменить приведённую концепцию.

Температура же добавляется таким образом, что она умножается на энтропию. Значит, энтропия тоже должна быть оператором и свободная энергия тоже должна иметь спектр. Это, конечно, доказательство в стиле Паниковского, который доказывал, что гири золотые, таким образом: «А из чего же они по-вашему?». Соображение: «А что же ещё тут может быть?» приводило меня к мысли о том, что свободная энергия тоже должна быть оператором.

В физике не ставятся проблемы так, как в математике. Например, проблемы Гильберта и другие подобные. Тем не менее, можно сказать, что открытие сверхтекучести и работа Боголюбова поставили следующие проблемы: найти и предъявить такие температурные распределения, чтобы при температуре, равной нулю, энергия была бы отлична от нуля. Боголюбов в 1947 г., в результате наводящих соображений Ландау, посчитал для слабо неидеального Бозе-газа при температуре, равной нулю, критическую скорость Ландау. Тогда естественно было бы поставить вопрос: как же меняется эта критическая скорость, когда температура больше нуля? Какова зависимость критической скорости от температуры при пусть даже очень малой, но отличной от нуля температуре. Эта проблема должна была быть поставлена уже в 1947 г., после знаменитой работы Боголюбова. Поэтому ответ на эти вопросы является ответом на вопросы более чем полувековой давности.

3. Различные картины N тел и различные их представления

Мне удалось ответить на эти и другие вопросы с помощью установления некоторых новых представлений уравнения Шрёдингера, обобщающих метод вторичного квантования. Как известно, не сразу было установлено, что матричная механика Гайзенберга (Гайзенберговская картина) и уравнение Шрёдингера (Шрёдингеровская картина) эквивалентны, и матричная механика является некоторым «представлением» уравнения Шрёдингера. Иначе говоря, имеются тождества, которые переводят одну «картину» в другую. Точно так же запись уравнения Шрёдингера (для симметрических решений — бозонов) во вторично квантованном виде эквивалентна исходному уравнению. 383  Здесь тоже есть тождества, переводящие одну «картину» в другую. Я нашёл существенно более общее, чем обычное вторичное квантование, представление уравнения Шрёдингера и назвал его ультравторичным. Эта новая «картина» позволила проквантовать термодинамику, энтропию, а с ней и свободную энергию. Попытаюсь здесь наглядно объяснить эту «картину» и эквивалентность различных «картин».

При рассмотрении задачи многих тел имеют место два аспекта. Эти многие тела могут находиться в нашем трёхмерном пространстве и как-то двигаться, может быть, сталкиваться, воздействовать друг на друга. Всё это в нашем трёхмерном пространстве. Но мы можем рассматривать их и по-другому. А именно: можем рассматривать эти N тел как одну точку (под N телами я понимаю N материальных точек) в 3N-мерном пространстве. И в этом 3N-мерном пространстве эта одна точка совершает некоторое движение, перемещается, а мы можем следить за этим перемещением. В некоторых случаях оказывается полезен один из этих двух подходов, двух аспектов, а в других случаях — другой. Так, с точки зрения математики проще рассматривать одну точку. А с точки зрения физики, так как мы живём всё-таки в трёхмерном пространстве, хотелось бы понимать, как материальные точки ведут себя в нашем трёхмерном пространстве. Это более естественная «картина». Можно, например, следить в трёхмерном пространстве за одной частицей, которая находится в поле всех других частиц. В частности, теория самосогласованного поля Власова на этом основана. Там мы считаем, что все частицы примерно одинаковы и имеют одинаковое распределение. Мы можем считать, что одна частица как бы взаимодействует с другой. А та другая — это та же самая частица, т.е. распределена она точно так же, как и первая.

Недаром Власов, как я говорил ранее, утверждал, что из одной точки в другую никак попасть нельзя. Нужно эту точку как-то «размазать» в пространстве, т.е. рассматривать плотность вероятности её пребывания в данном месте пространства.

С математической точки зрения важно было бы не приближённое, а точное уравнение в трёхмерном пространстве, которое бы соответствовало уравнению движения частицы в 3N-мерном пространстве.

Оказывается, это можно сделать не приближённо, как Власов, а точно с помощью вторичного квантования, т.е., иначе говоря, рассматривать поведение в трёхмерном пространстве не функций, а операторов — операторов рождения и уничтожения. Впервые это было сделано Дираком для квантовой механики. Однако рассматривать именно квантовую механику совершенно не обязательно. Так, Шенберг рассматривал 384  классическую механику (это были приблизительно 1953–1956 гг.) и применил этот метод вторичного квантования к классическим объектам и к классической статистической физике.

На самом деле это совершенно общая вещь. Мы, например, с моим учеником применили этот метод к случаю N полей и провели как бы третичное квантование, которое на самом деле являлось вариантом вторичного.

Здесь возникает естественное обобщение. Если мы рассматриваем N частиц как одну частицу в 3N-мерном пространстве, то почему бы нам не рассматривать среди этих N частиц, например, две частицы. Их я могу считать одной частицей в шестимерном пространстве и рассматривать дальше эти пары шестимерных частиц. Каждая из них аналогична одной частице в 3N/2-мерном пространстве. Так что я могу одновременно следить за парой частиц и за одной частицей. Иначе говоря, имеются некоторые шестимерные частицы (пары) и некоторые трёхмерные частицы, и всё это вкладывается в соответствующее пространство. Если пар у меня k штук, а «одиночных» частиц — m, то 2k + m = N, где N — общее число частиц.

Помимо координат точки (местоположения точки) могут быть ещё другие степени свободы. Например, в классической механике это могут быть ещё и импульсы, а в квантовой теории — ещё и спины или ещё какие-нибудь другие степени свободы.

4. Статистический спин

В той теории, которую я здесь буду излагать, я добавляю ещё одну степень свободы — минимальную — просто номер. Кроме того, что частица находится в каком-то месте пространства, ей присваивается ещё и номер. Мне не известно, чтобы эта точка зрения имела в квантовой механике хорошую интерпретацию. Хотя в теории Бора у нас есть электроны и мы можем их менять местами, при этом ничего не меняется. Это принцип тождественности. Но кроме этих электронов есть ещё номера орбит, их тоже можно рассматривать как присвоенные электронам номера.

Переход из квантовой механики в классическую, как мы знаем, связан с представлениями уже о классических объектах. В моих работах последних лет приведён предельный переход в классику для статистики Ферми–Дирака. [Физики неправильно представляют себе, что переход из квантовой статистики при h > 0 есть классическая статистика Больцмана.] Классическим объектом, отвечающим принципу запрета Паули, является очередь. Предположим, что нам надо купить большое количество сахара, а в одни руки дают лишь по полкило. [Пример взят из книги Ильфа и Петрова «Двенадцать стульев».] У стоящих в очереди представителей нашей компании 385  могут быть номера, или, говоря более грубо, номерки, которые кем-то выдаются. При этом очередь может быть и очень длинной. Люди могут отмечаться ночью, могут меняться своими номерками, но при этом у каждого остаётся какой-то номерок. От перемены их мест конечный результат не меняется. Эта новая степень свободы — эти номера — будет присутствовать во всей теории.

Принцип тождественности частиц в квантовой и классической механике совершенно разный. В классической механике он заключается в том, что нам не надо различать эти предметы. Для некоторых задач это различие не играет роли. Например, в пачке денежных купюр одного достоинства нам не нужно их различать, и мы можем их менять местами (предел при h > 0 статистики Бозе). Сами пачки одного достоинства мы можем разложить по пронумерованным полкам, т.е. присвоить им номера.

В квантовой же механике считается, что мы не можем их в принципе различить, так как они являются принципиально неразличимыми. Такая разница в подходах оказывается существенной.

Если придерживаться точки зрения неразличимости частиц, то оказывается, что из этого принципа непознаваемости может быть выведено уравнение Шрёдингера. Я специально приведу в книге модель, которую я когда-то придумал для вывода уравнения Шрёдингера, чтобы объяснить роль нумерации. Вывод, который я предложил, основан на следующем. Во-первых, время считается дискретным. Иначе говоря, мы видим мир как в кино. Ведь в кино, на самом деле, мы видим лишь отдельные сменяющие друг друга кадры. Но нам кажется, что это непрерывный процесс. Предположим, что и наша жизнь устроена так же. Она состоит из отдельных «кадров», но они так быстро мелькают, что создаётся впечатление, что мы живём в непрерывном времени.

Если принять такую точку зрения, то мы будем рассматривать отдельно каждый «кадр» и на каждом из них видеть, допустим, N частиц. И вот эти N частиц, которые мы видим на каждом «кадре», движутся в трёхмерном пространстве или, может быть, одна частица как-то движется в 3N-мерном пространстве. Эта частица от одного «кадра» к следующему продвинулась на очень маленькое расстояние и с точки зрения разума это та же самая частица.

Но если мы принимаем данную модель, то, прослеживая дискретную траекторию частицы, мы не можем знать, она ли появилась на следующем «кадре» или, быть может, эта частица уже другая. Такая концепция приводит к объяснению картины Шрёдингера для волновой функции. 386 

Таким образом, эти скачки от одного к другому моменту времени в пределе могут дать, как я выяснил, само уравнение Шрёдингера. Возможно, таким образом можно описать наш квантовый мир.

Этот подход также может развить интуицию, с помощью которой человек сможет объяснить какие-то эффекты с позиции модели кино. Он также может дать дополнительный импульс к новым конструкциям и новым идеям. Ведь на самом деле принципы, которые физики извлекли у Маха, очень сильно расширили их кругозор. Они также расширили возможность фантазировать, творить, придумывать что-то такое, что объясняло бы всевозможные эффекты не с обычной, стандартной точки зрения, а с точки зрения совершенно новой концепции.

Действительно, модель, которую я придумал, очень помогла мне создать ультравторичное квантование. Поэтому мне кажется, что читателю полезно с этой моделью ознакомиться и, может быть, она расширит его возможности, его интуицию, приведёт к объяснению каких-то эффектов.

Итак, в моей модели имеется дискретное время (как в кино). Расстояние между соседними моментами времени настолько мало, что мы видим всё как непрерывный процесс. В результате получается уравнение Шрёдингера.

В данной модели в каждый следующий момент я могу перенумеровать частицы по-своему и все эти номера переставлять в силу тождественности частиц. При этом в приведённой выше модели мира, где через каждый момент времени, через каждое Δt, мы видим свой кадр, мы не знаем — это те же самые частицы или это другие частицы. Поэтому мы можем их нумеровать произвольным образом и в каждый момент времени нумерацию менять. Таким образом, номера у нас тоже совершенно свободны.

Например, у меня N частиц, и я рассматриваю какие-то пары частиц и одиночные частицы, которые я пронумеровал. Возможно, мне удобно пронумеровать и пары. Пронумеровал ли я их или нет, от этого ничего не меняется, поскольку эта нумерация не связана с тем, что я фиксирую частицы, с тем, что они не могут поменяться местами.

Таким образом, всё это одно и то же. Это просто разные представления одного и того же. И я мысленно нумерую частицы или набор частиц. От этого ничего не меняется, но в мыслях у меня возникают различные картины того же явления. Вторичное квантование позволяет записать уравнения в трёхмерном пространстве, но, правда, с операторами — операторное уравнение. Оно эквивалентно одному уравнению в 3N-мерном пространстве — уже просто уравнению — не 387  для операторов, а для функций. Та же самая задача получается в тех представлениях, которые я предлагаю и называю ультравторично квантованными.

Поскольку номера, которые присваиваются частицам, очень похожи на обычные спины, то я назвал их статистическим спином. В отличие от обычного спина, статистический спин принимает все целые значения s = 1, 2, ...

Операторы рождения и уничтожения определяются точно так же, как в случае с обычным спином, и точно так же, как и в последнем случае, зависят от статистического спина и обозначаются b_s⁺, b_s^–, где s — статспин. Если они зависят и от обычного спина σ, то b_σ,s⁺, b_σ,s^– — операторы рождения и уничтожения пары — вводятся точно так же, как операторы рождения и уничтожения «шестимерной частицы» и обозначаются через B⁺, B^–. Мы для простоты будем здесь рассматривать случаи, когда они не зависят от статспина.

5. Асимптотическое размывание картинки

В тот момент, когда мы следим за одной частицей, а все остальные как-то размываются (концепция, которая позволила Власову написать его уравнения), мы уже используем на самом деле некоторую асимптотику, некоторый малый параметр. Как раз такой параметр и вводил Боголюбов, чтобы получить строго уравнения Власова. В тот момент, когда мы начинаем эту картину размывать, в зависимости от того, за какими мы следим частицами — за одиночными или за парными, получаются разные асимптотики, разные «размывания». При этом оказывается справедливым такой замечательный факт: каждому такому «размыванию» отвечает асимптотически своя серия собственных значений спектра N-частичного оператора Шрёдингера. Когда или N→∞, или ещё какой-нибудь параметр стремится соответственно к бесконечности или к нулю, то вероятность перехода из одной серии в другую чрезвычайно мала. Иначе говоря, каждой картине, уже размытой, отвечает своя серия.

Существуют такие картинки, что, глядя на них, сначала мы видим изображение одного предмета, а потом, посмотрев по-другому, — совершенно другого. Так же и на какой-нибудь абстрактной картине можно увидеть одно, а можно — совершенно иное. Но когда увидел определённое изображение, то переключиться на другое довольно-таки трудно.

Когда-то я пришёл в частную коллекцию известного коллекционера Якова Евсеевича Рубинштейна и издалека увидел картину Павла 388  Кузнецова, вероятно, недавно им приобретённую. Я закричал:

— Какой у вас замечательный новый Павел Кузнецов! Какие потрясающие деревья!

А он мне отвечает:

— Да, это Павел Кузнецов, но это не деревья, это — слоны.

И я помню, как мне пришлось напрячься, чтобы увидеть на картине слонов. Когда же я их увидел, то посмотреть на неё так, чтобы снова увидеть деревья, мне уже было почти невозможно.

Вот так же и здесь. Как только мы картину «размыли», как только применили метод, связанный с параметром, то переход из одной асимптотики к другой оказывается почти запрещённым. Иначе говоря, вероятности перехода с тех собственных значений, которые отвечают одной асимптотике, на собственные значения, отвечающие другой, очень малы. Когда параметр стремится к бесконечности, как правило, они экспоненциально малы по тем параметрам, которые размывают эту картину.

Примеры видения с одной и той же точки зрения разных картин, таким образом, в известной мере связаны с психологией одного человека, но когда уже имеется большой параметр, например, очень большое число людей одно и то же явление представляет себе как одну картину, а другие — как другую, то переход от одного видения к другому может быть почти запрещён.

Я уже приводил пример с очередью для объяснения значения номеров. Приведу ещё один, экономический пример.

Цены одних и тех же предметов одни люди прикидывают на доллары, а другие на рубли. Это два разных, но эквивалентных взгляда, так как рубли можно поменять на доллары. Однако если ввести параметр — число людей, которые считают в долларах, и параметр времени, то когда эти параметры станут очень большими, обе картины не только не будут в асимптотике эквивалентны, а даже, так сказать, ортогональны, и переход от одной к другой будет почти невозможен. Как известно, экономика существенно регулируется процессом печатания денег. У нас этот процесс осуществляет Госбанк. Стоимость печати несоизмеримо ниже покупательной способности купюры.

Доллары же — вторую валюту — печатают в США. А так как в большинстве фирм, как известно, ведётся двойная бухгалтерия: одна официальная — в рублях, другая — неофициальная — в долларах, а печатаются доллары в другом государстве, то эффект больших чисел (больших указанных параметров) даст в асимптотике существенное различие двух указанных эквивалентных картин.

6. Серии и сериалы

Вероятности перехода с одного уровня на другой играют существенную 389  роль. В частности, как известно, испускаемые атомом кванты энергии связаны с переходом электронов с одного уровня на другой. Если вероятность перехода равна нулю или очень мала, т.е. переход практически запрещён, то соответствующие уровни как бы принадлежат разным сериям. По существу, разбиение на серии означает разбиение на изолированные друг от друга системы. Если данная серия уровней энергии имеет минимальный уровень, который является как бы основным состоянием серии, то это метастабильное состояние. Если система находится в этом состоянии, а переходы на нижние уровни других серий почти запрещёны, то система будет находиться в нём достаточно долго.

Наличие сверхтекучей жидкости или сверхпроводящего тока отвечает таким метастабильным сериям. Ток может течь без торможения в течение 100 000 лет, что означает, что серия почти стабильна.

В конечном большом объёме, в котором рассматривается система с большим числом частиц, значение скоростей и токов дискретно, и каждое значение определяет свою метастабильную серию. Набор серий, отличающихся скоростями, мы будем называть сериалом.

Каждой картине, о которой шла речь выше, в асимптотическом приближении отвечает свой сериал. Хотя физики прямо этого не говорят, но реально они стремятся найти такой сериал, нижний уровень нижней серии которого (т.е. при скорости, равной нулю) совпадал бы с основным состоянием всей исходной системы.

В упомянутой выше работе Н. Н. Боголюбова 1947 г. найден сериал, отвечающей такой картине: N частиц находятся в трёхмерном пространстве, и все номера у них одинаковые.

Оказывается, однако, и это будет доказано в настоящей работе, что сериал, отвечающий картине: пары частиц не пронумерованы, а отдельные частицы пронумерованы — имеет более низкий нижний уровень, чем боголюбовский сериал. В этом смысле он, по-видимому, более отвечает истинному явлению сверхтекучести и в большей степени соответствует эксперименту. Хотя, если природа посадила систему на другой сериал, то она в таком состоянии будет находиться долго. Однако между различными сериями возможны резонансы. В этом случае серия разрушается. Примером может служить одномерное уравнение Шрёдингера с потенциалом, имеющим два минимума. Если максимум между минимумами очень большой величины или если мы имеем квазиклассическое приближение, то каждой впадине соответствует своя серия, переходы из одной впадины в другую почти запрещёны («туннельные» эффекты), если нет резонансов. Если какие-то 390  собственные значения двух серий совпадают, то возможен резонанс, при котором нахождение частицы в одной впадине на этом собственном значении разрушается. Например, в симметричном относительно максимума потенциале все собственные значения «почти» совпадают, все резонируют и система не распадается на серии.

7. Квантование свободной энергии

Оставим собственные функции уравнения Шрёдингера (оператора Гамильтона) прежними, а из собственных значений вычтем температуру, умноженную на энтропию, отвечающую этому собственному значению. В простейшем случае дискретного спектра это, как известно, есть логарифм кратности собственного значения. Оператор Гамильтона, как известно, может быть представлен суммой его собственных значений, умноженных на проекторы на соответствующие подпространства собственных функций. Оператор свободной энергии, как сказано, является суммой этих же собственных значений, из которых вычтено произведение температуры на энтропию, умноженных на те же проекторы. Если рассматривать основное состояние этой квантовой свободной энергии, то получатся все результаты прежней термодинамики. Но можно рассматривать не только нижний уровень данного сериала, а также и серии, отвечающие скоростям (токам). Тогда мы получим ответы на вопросы о том, как будут меняться метастабильные состояния при изменении температуры. Мы покажем, что существуют сериалы, содержащие сверхтекучие и сверхпроводящие серии при любой температуре. Однако эти сериалы заведомо не содержат основного состояния, т.е. существуют сериалы, у которых нижний уровень ниже. Природа, по идее, должна выбрать эти последние. С другой стороны, по аргументации великого Дирака, «было бы удивительно, если бы природа не использовала эту возможность». Добавлю, «где-нибудь» — в ядрах, в звёздах и т.д., одним словом, где-нибудь. Можно ли «руками» создать такие сериалы? Всё-таки вручную мы можем создать метастабильные серии, более высокие, чем основное состояние, пустив ток, заставив течь. Нельзя ли, используя резонансы, «накачать» и высокотемпературные сериалы?

8. Сверхтекучесть и сверхпроводимость

Когда большой параметр задан как конкретное число, то не всегда понятно, «большой» это параметр или «не очень большой». Например, когда число частиц равно ста, то это вроде бы большой параметр, но логарифм этого большого параметра уже не большой. Возникает вопрос, как же быть, когда, скажем, число частиц не очень велико. 391  В этом случае, прежде всего, хотелось бы узнать, как определить метастабильное состояние. Я определю, по крайней мере, необходимые условия метастабильного состояния. Для этого вначале я рассмотрю совсем простой пример — одномерное стационарное уравнение Шрёдингера с потенциальной ямой, у которой две впадины: одна впадина ниже, а другая — выше. То есть у неё имеются два минимума: один из них минимум глобальный, он отвечает основному состоянию, а другой — локальный. В случае квазиклассической асимптотики он определяет метастабильное состояние. Что это значит? Если система находится на этом самом низком уровне, отвечающем локальному минимуму или более мелкой впадине, иначе говоря, собственная функция сосредоточена вблизи локального минимума, то возникает вопрос, что будет, если возмутить задачу. Или насколько вероятен переход с этого состояния в основное, т.е. в состояние, собственная функция которого сосредоточена вблизи глобального минимума, а вне его окрестности достаточно быстро убывает.

Если у нас есть квазиклассическое приближение, то «хвосты» этих собственных функций очень быстро убывают. Поэтому матричный элемент, получающийся в результате возмущения каким-либо оператором умножения на внешний потенциал, будет очень мал, поскольку произведение функций очень мало. Иначе говоря, если взять матричный элемент равный (ψ₀V₁ψ₁*), где ψ₀ — собственная функция, отвечающая основному состоянию, ψ₁ — первая собственная функция, отвечающая другой впадине, а V₁ — потенциал, которым мы возмущаем систему, то он будет мал. Это значит, что вероятность перехода в основное состояние очень мала («свалиться» на нижний уровень очень трудно) и, следовательно, это состояние будет метастабильным.

В то же время переходы на более высокие уровни, носитель которых тоже находится вблизи минимума этой мелкой впадины, вполне возможны.

Поскольку мы говорим о том, что метастабильное состояние в какой-то степени является моделью сверхтекучести и сверхпроводимости, важно, чтобы энергия не стала меньше. Если же она увеличилась (скорость стала больше от возмущения), то тем лучше. В результате возмущения задачи, как считал Ландау, как бы трением энергия, тем не менее, не уменьшилась, потому что переход на более низкие уровни для такой асимптотической задачи как бы запрещён.

Но если возмущать задачу с помощью оператора из более широкого класса, например, содержащего оператор сдвига, то матричный 392  элемент вовсе не будет мал. Поэтому важно определять, какими именно операторами возмущается задача.

Операторы, которыми мы возмущаем задачу, сохраняют носитель функции. Иначе говоря, если на функцию φ(x), достаточно гладкую и равную нулю вне некоторого интервала (носителя), мы подействовали оператором умножения или оператором дифференцирования в любой степени, то эти операторы не выводят функцию за её носитель. Такими операторами мы обычно и возмущаем задачу.

Так что, прежде чем говорить, что у нас есть метастабильное состояние, необходимо определить класс операторов, относительно которых оно метастабильно. Естественными операторами, обладающими этим свойством, как раз и являются потенциальные силы.

Возникает вопрос: если это не квазиклассическое приближение и параметр h не мал, и может быть, барьер не очень высокий, что тогда? Может ли тогда существовать метастабильное состояние и сколь долго? Эти вопросы мы попытаемся решить в данном параграфе. Первый вопрос: возможно или невозможно вообще такое состояние? Второй вопрос: насколько малы будут матричные элементы перехода? Первый вопрос сводится к существованию минимума, но минимума чего? Мы говорили о минимуме потенциальной ямы, но о каком минимуме идёт речь в самой квантовой задаче, без малого параметра? В такой задаче в качестве возмущающих потенциалов возьмём операторы умножения на гладкие финитные функции с носителем на отрезке [a, b]. Подействовав ими на всё пространство L², получим множество значений результата этого действия. Возьмём функции этого множества значений и посмотрим, достигается ли на них локальный минимум исходного гамильтониана? Здесь под минимумом понимается настоящий локальный минимум, когда вторые производные положительны и минимум достигается где-то в середине, а не на конце отрезка. Если отрезок [a, b] включает точку минимума нашего потенциала — более мелкую впадину, то тогда локальный минимум при достаточно малом h, конечно, есть. Он есть и при не очень малом h, но именно наличие такого минимума даст нам ответ, может или не может существовать метастабильное состояние. Если такого минимума нет, то и о метастабильном состоянии говорить нельзя. Но если второй впадины нет, то, по-видимому, минимума не будет и у гамильтониана, по крайней мере при достаточно малых h.

Во всяком случае, прежде всего встаёт вопрос: существует ли локальный минимум у квантовой задачи, не связанной с классикой, с классическим гамильтонианом. Если такой локальный минимум 393  существует, то существует собственное значение, ближайшее к нему, и отвечающая ему собственная функция определяет некоторое метастабильное состояние исходного оператора. При этом малое шевеление длины отрезка не даст перескока на другое собственное значение.

Значение безразмерной величины V₀a²m/h², при которой исчезает (не основной) локальный минимум, будем называть критическим (здесь m — масса, h — константа Планка, а потенциал имеет вид V₀V(x/a), где V₀ — константа, a — характерная длина, а V(y) — указанная выше потенциальная яма с двумя впадинами).

Вопрос о том, насколько долго живёт это метастабильное состояние, ещё не решается, поэтому я говорю лишь о том, что это условие является необходимым условием существования метастабильного состояния.

Разумеется, метастабильное состояние не зависит от представления. Мы, однако, привязали вопрос о существовании минимума к определённой асимптотической задаче, где представление, в котором мы ищем минимум, а именно k-представление, выбирается достаточно естественно. Точно так же мы поступаем в задаче многих тел, в ситуации, когда число частиц не очень велико. Сначала мы находим представление, в котором эти метастабильные состояния являются естественными в асимптотической задаче. Поэтому для задачи многих тел мы выберем то представление, в котором при N→∞ уже имеются серии с метастабильными нижними уровнями.

9. Заключение

После всего вышеизложенного становится понятно, почему мне бы не хотелось, чтобы физики восприняли эту теорию как математическую, а математики как физическую. Особенно, если от физиков можно будет услышать слова, подобные окончанию рассказа Чехова «Новая дача». Цитатой из этого рассказа я начинал свою лекцию, цитатой оттуда же и закончу: «Жили мы без моста, — сказал Володька, ни на кого не глядя, — и не просили и не надо нам. Надо будет — так и на лодке переплывём». И мне хотелось бы, чтобы ненависть, подобная той, что испытали жители к этому инженеру, не перешла со стороны физиков на математика, который пытается несколько на другом языке построить новую физическую теорию. 394