В МИРЕ НАУКИ Scientific American · Издание на русском языке № 10 · ОКТЯБРЬ 1990 · С. 36–44

Язык фракталов



Эти необычайно изящные структуры — не просто математическая забава. Фрактальная геометрия чётко описывает сложные природные объекты и процессы

ХАРТМУТ ЮРГЕНС,  ХАЙНЦ-ОТТО ПАЙТГЕН,  ДИТМАР ЗАУПЕ

«Патологические структуры», придуманные математиками XIX столетия, в последние годы приняли форму фракталов, — математических объектов, имеющих дробную размерность в отличие от традиционных геометрических фигур целой размерности (например, одномерных линий или двумерных поверхностей). Нынешнее увлечение фракталами в основном является следствием работы Бенуа Б. Мандельброта, сотрудника Исследовательского центра имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IBM в Йорктаун-Хейтсе (шт. Нью-Йорк). Термин «фрактал» был введён Мандельбротом в 1975 году; он происходит от латинского слова fractus, прилагательного от глагола frangere, что значит «ломать, разбивать». Понятие фракталов ворвалось в сознание математиков, других ученых и даже людей, не связанных с наукой, в 1983 году, когда была опубликована основополагающая книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».

Фракталы — это нечто гораздо большее, чем математический курьёз. Они дают чрезвычайно компактный способ описания объектов и процессов. Многие структуры обладают фундаментальным свойством геометрической регулярности, известной как инвариантность по отношению к масштабу, или «самоподобие». Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную, размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные формы, по-видимому, изящнее и точнее, чем евклидова геометрия.

Рис. 1. Трёхмерное представление множества Мандельброта используется для изучения этой сложнейшей и интереснейшей фрактальной структуры. На рисунке показан электрический потенциал, окружающий заряженное множество Мандельброта. Странное сходство между множеством Мандельброта и свойствами реального мира показывает, что в природе доминируют фракталоподобные структуры. Изображение взято с видеоленты компьютерного фильма, полученного авторами и их коллегами.

Инвариантность по отношению к масштабу имеет примечательную параллель в современной теории хаоса, согласно которой многие явления, несмотря на то, что они следуют чётким детерминистским правилам, в принципе оказываются непредсказуемыми. Хаотические явления, такие, как турбулентность атмосферы или ритм сердечных сокращений у человека, проявляют сходные закономерности в вариациях в различных временных масштабах во многом подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, проявляют сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах. Соответствие между фракталами и хаосом не случайно. Скорее оно является симптомом их глубинной связи: фрактальная геометрия — это геометрия хаоса.

Ещё одна параллель между фрактальной геометрией и теорией хаоса заключается в том, что последние открытия в той и другой области стали возможными благодаря мощным современным компьютерам. Этот факт противоречит традиционным математическим представлениям. В то время как многие математики встретили приход компьютеров с энтузиазмом и чувством облегчения, другие рассматривают компьютеризацию как отрицание чистой математики.

Фракталы — это прежде всего язык геометрии. Однако их главные элементы недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем. Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии.

Язык — это очень подходящая метафора для концепции, лежащей в основе фрактальной геометрии. Как известно, индо-европейские языки базируются на алфавите с конечным числом букв (например английском, включающем 26 букв). Буквы не несут в себе никакого смыслового значения до тех пор, пока они не соединены в слова. Точно так же евклидова геометрия состоит лишь из нескольких элементов (прямая, окружность и т.д.), из которых строятся сложные объекты, геометрически выражающие некий смысл.

С другой стороны, азиатские языки, например китайский, состоят из символов, которые сами по себе уже выражают смысловое значение. Количество возможных символов, или элементов этих языков, произвольно велико и может считаться бесконечным. Аналогично можно рассматривать и фрактальную геометрию. Она состоит из бесконечного количества элементов, каждый из которых является завершённым и единственным в своем роде. Геометрические элементы определяются алгоритмами, которые функционируют как единицы «смыслового значения» в рамках фрактального языка.

Существуют две основные группы фрактальных языков: линейные и нелинейные. Оба диалекта используют бесконечное количество алгоритмов и, следовательно, охватывают бесконечное число возможных фрактальных изображений. Язык нелинейных фракталов гораздо богаче и разнообразнее. Большинство диалектов следует детерминированному набору правил (аналогичных правилам грамматики и фонетики). Одно семейство фракталов, называемых случайными фракталами, отличается от других тем, что его объекты строятся путём применения управляемой случайности.

Геометрия линейных фракталов представляет собой наиболее распространённый диалект фрактальных языков. Эти фракталы считаются линейными, потому что их алгоритмы аналогичны по форме тем алгоритмам, которые определяют линии на плоскости (на математическом языке это означает, что они содержат лишь члены первого порядка.)

Линейный алгоритм можно исследовать с помощью воображаемой копировальной машины со многими редукторами, способными многократно уменьшать исходное изображение. Такая машина является метафорическим выражением блестящей работы, выполненной Дж. Хатчинсоном, математиком из Австралийского национального университета в Канберре. Эта машина действует так же, как и обыкновенная копировальная машина, обладающая возможностью уменьшать или увеличивать изображение, но отличается тем, что имеет несколько уменьшающих линз, каждая из которых может копировать вводимое в машину изображение. Линзы могут настраиваться на различную степень уменьшения, и уменьшенные изображения могут помещаться в любое место. Таким образом, изображение может перемещаться, сжиматься, отражаться, вращаться и трансформироваться произвольным образом при условии, что прямые линии на изображении остаются прямыми после преобразования.

Рис. 2. Копировальная машина с механизмом многократного уменьшения, работая в режиме обратной связи, создаёт фрактальную структуру. Несколько линз, имеющихся в машине, преобразуют исходное изображение (поступающее на вход) в новое изображение (на выходе), которое представляет собой уменьшенное изображение того, что было заложено на вход. С выхода изображение вновь поступает на вход — и так до бесконечности, пока не получится окончательное изображение.

Рис. 3. Сетевая копировальная машина может строить составные фрактальные изображения, такие, как папоротник, состоящий из треугольников Серпиньского. Несколько машин соединены в систему и работают параллельно: первая создаёт треугольники Серпиньского, вторая располагает треугольники в листья, а третья строит общую форму папоротника (слева). Отметим, что листья попеременно ответвляются от главного стебля то влево, то вправо; треугольники на листьях ориентированы в противоположных направлениях (справа).

Способ, которым изображение перемещается и сжимается, определён алгоритмом. С помощью механизма обратной связи изображение подвергается многократной обработке, в процессе которой постепенно возникает фрактальная форма. Одним из примеров фрактала, полученного при помощи такого алгоритма с обратной связью (рекурсивного алгоритма), является треугольник Серпиньского, названный в честь польского математика Вацлава Серпиньского, который впервые описал его в 1916 году. Треугольник Серпиньского обладает свойством самоподобия: каждая часть фигуры, сколь бы малой она ни была, содержит изображение, которое в увеличенном виде воспроизводит целый треугольник Серпиньского.

Треугольник Серпиньского строится копировальной машиной со многими редукторами следующим образом. Изображение помещается в машину, уменьшается наполовину и копируется три раза, по одной копии в каждой вершине равностороннего треугольника. В результате получается триада. При повторении описанной процедуры триада, полученная на предыдущем шаге, снова уменьшается наполовину и копируется три раза и т.д. Уже после шести копирований, или итераций, начинает проступать окончательная форма, которая называется предельным изображением, поскольку оно является окончательным результатом бесконечно повторяющегося цикла копировальной машины. Предельное изображение можно довольно быстро определить путем оценки, но его невозможно достичь в рамках самого процесса.

Предельное изображение не зависит от исходного изображения. Например, в качестве исходного изображения можно взять слово FRACTAL. После шести шагов копирования исходное изображение станет уже практически невидимым, но зато в явном виде начнёт обнаруживаться форма треугольника Серпиньского. С каждым новым циклом копирования первоначальное слово FRACTAL будет всё более неразборчивым.

При небольшой перенастройке копировальной машины можно получить принципиально другие предельные изображения: фрактальное дерево или фрактал в форме листа папоротника (см. рис. 4). Предельное изображение зависит лишь от правил сжатия и переноса (т.е. от алгоритма), запрограммированных в машине.

Эти правила представляют собой частный случай общего понятия, называемого математическими аффинными линейными преобразованиями на плоскости. Эти преобразования сохраняют прямые линии, но изменяют их положение, масштаб и общую ориентацию. Правила линейного диалекта фрактального языка можно полностью описать некоторым числом (n) функций преобразования, обозначаемых как { f₁, f₂, ..., f_n} (см. верхнюю часть рис. 4).

Здесь кроются богатые практические возможности фрактальной геометрии. Описывая объекты посредством линейного фрактального диалекта, мы можем значительно уменьшить количество данных, необходимых для передачи изображения по линиям связи или для хранения его в памяти компьютера. Это было убедительно продемонстрировано на примере листа папоротника. Сложная форма, подобная форме этого листа, может быть полностью описана линейным алгоритмом, основанным лишь на 24 числовых параметрах. Заметим, что представление того же листа в точечном виде, как телевизионное изображение, требует несколько сотен тысяч числовых величин. В принципе любое изображение кодируется при помощи необходимого набора функций преобразования.

При передаче спутниковых изображений на землю время передачи, сложность сигнала и стоимость можно значительно снизить за счёт кодирования этих изображений с помощью фрактальных алгоритмов. Эта перспектива ставит перед специалистами исключительно важную и до сих пор в основном не решённую задачу. Каким образом найти минимальное семейство функций преобразования { f₁, f₂, ..., f_n}, необходимых для того, чтобы представить изображение с желаемой точностью? Эта задача в настоящее время является предметом интенсивных исследований. Среди более общих приложений описанных процедур преобразования можно отметить создание полутоновых или даже цветных изображений.

Кодирование с помощью фрактальных изображений оправданно лишь в том случае, когда существует эффективный метод «извлечения» изображения, скрытого во фрактальных алгоритмах. На примере фрактального папоротника можно всесторонне проанализировать, каким образом получается изображение. Правила копировальной машины для этого фрактала указывают, что в результате каждого преобразования должно быть четыре редукции и четыре перемещения предшествующего изображения. Одно преобразование осуществляет особенно резкую редукцию, в результате которой изображение сжимается в вертикальную линию; эта линия образует стебель.

Если начать с одного прямоугольника, то на каждом шаге копирования число прямоугольников будет возрастать в четыре раза, всего же после m преобразований их окажется 4^m. После четырёх итераций исходное изображение (в данном случае прямоугольник) ещё легко различимо. Для того чтобы прямоугольник стал достаточно мал и чтобы выявилась предельная форма изображения (лист папоротника), нужно произвести приблизительно 50 итераций, а следовательно, вычислить и нарисовать 4⁵⁰ (приблизительно 10³⁰) прямоугольников. Эта задача не под силу любому существующему компьютеру.

Перед лицом этих трудностей возникает вопрос, каким же образом можно воспроизвести предельные изображения? Трюк, при помощи которого это оказывается возможным, основан на алгоритме, называемом «игрой в хаос» и придуманным М. Барнсли и С. Демко из Технологического института в шт. Джорджия. Эта игра начинается с выбора произвольной точки на плоскости. Затем мы бросаем четырехстороннюю игральную кость. Каждая ее сторона соответствует одному из четырех преобразований, задающих форму листа. При этом мы случайным образом выбираем одно из преобразований { f₁, f₂, f₃, f₄}, которое затем применяется к выбранной точке на плоскости, перемещая её на новое место. Бросив кость ещё раз, мы выбираем следующее преобразование, которое применяется к точке, полученной на предыдущем шаге, и т.д. Точки, получаемые в результате последовательных бросаний кости, вскоре начинают плотно ложиться на плоскость, заполняя предельное изображение. Недостаток этого метода заключается в том, что для построения окончательного изображения может потребоваться слишком много времени.

В приведённом примере бросание кости обеспечивало равные вероятности для каждой функции  f_k (k обозначает одну из возможных функций). Предельное изображение можно построить значительно быстрее, если каждой  f_k поставить в соответствие вероятность P_k, с которой она будет выпадать в нашей игре, и таким образом одни функции  f_k станут более вероятными, чем другие. Процесс построения картинки ускоряется, если наиболее высокие вероятности поставить в соответствие функциям, которые меньше всего сжимают изображение. Благодаря этой поправке точки будут покрывать каждую область предельного изображения с одинаковой частотой, и в результате все фрагменты изображения будут проявляться одинаково быстро.

Подобная коррекция нашей «игры в хаос» позволяет описывать полутона, просто связывая частоту, с которой заданная область покрывается точками, с интенсивностью серого оттенка. При соответствующем подборе P_k желаемый оттенок серого цвета (другими словами, желаемую частоту попаданий точек) можно получить для каждой точки изображения. Применяя тот же метод для основных цветов (красного, зелёного и синего), можно кодировать цветные изображения. Таким образом достигается ещё большее снижение количества данных, представляющих фрактальное изображение.

Удовлетворительный метод автоматической генерации фрактального кодирования произвольного изображения пока не найден. Для самоподобных изображений, таких, как папоротник Барнсли, существует полуавтоматическая процедура, предусматривающая взаимодействие человека и машины. Сначала человек разбивает изображение на части, подобные всему изображению. В случае папоротникового листа два нижних лепестка, а также верхняя часть листа, остающаяся после удаления нижних лепестков, оказываются подобными общей форме листа. Можно сконструировать копировальную машину со многими редукторами, в которую были бы встроены преобразования, сводящие всё изображение к этим фрагментам. Это нетрудно сделать методом проб и ошибок, работая с компьютерной программой в интерактивном режиме.

Идея, лежащая в основе метода, заключается в том, что только самоподобные изображения могут кодироваться во фрактальной форме. Это ограничение можно преодолеть за счёт многообещающего расширения метода, над которым в настоящее время ведётся работа. Центральная идея расширения заключается в использовании нескольких копировальных машин, работающих одновременно, в параллель, в рамках иерархической сети. Такого рода сеть может управлять индивидуальными самоподобными фрагментами или комбинировать несколько фрагментов. Например, становится возможным создавать папоротниковый лист, состоящий из треугольников Серпиньского (см. рис. 3).

Теперь обратимся к другому семейству фрактальных языков, их нелинейным диалектам. Один их них, так называемый квадратичный диалект, привлекает к себе особое внимание. Он порождает большое разнообразие геометрических форм с помощью довольно простого алгоритма, тесно связанного с современной теорией хаоса.

Теория, лежащая в основе квадратичного диалекта, впервые была описана в 1918 году французским математиком Гастоном Жюлиа, находившимся тогда в госпитале после ранений, полученных на фронте во время первой мировой войны. Как его работа, так и работа его современника и соперника Пьера Фату вскоре были преданы забвению, однако недавние исследования Мандельброта вновь привлекли внимание к их теории. Интеллектуальные достижения Жюлиа и Фату примечательны тем, что в их распоряжении не было вычислительных машин и им всецело приходилось полагаться на воображение.

Жюлиа и Фату занимались изучением комплексных чисел; как известно, комплексное число состоит из действительного числа и мнимой части, содержащей в качестве множителя мнимую единицу i, определяемую как √–1. Комплексные числа обычно отображаются на плоскости с перпендикулярными координатными осями, одна из которых представляет действительные числа, а другая мнимые. Обоих учёных интересовал вопрос, что будет с последовательностью точек z_k, на комплексной плоскости, если они порождаются преобразованием q(z) = z² + c. Каждая новая точка z_k+1 получается подставлением предыдущей точки z_k в приведённую формулу преобразования. Комплексное число c является управляющим параметром, который можно выбирать произвольным образом. Казалось бы несложный процесс с обратной связью порождает потрясающее многообразие форм.

Когда исходная точка z₀ подвергается преобразованию, то получающаяся последовательность демонстрирует поведение двух типов. Она либо свободно путешествует по плоскости, постепенно уходя в бесконечность, либо оказывается замкнутой в определённой области комплексной плоскости. Первые из них образуют множество «беглецов», те же, что остаются в замкнутом пространстве, принадлежат множеству «пленников». Исходная точка z₀, выбранная из множества пленников, генерирует последовательность, которая остаётся в численной неволе, независимо от того, сколько поколений этой последовательности вычисляется. Форма этой «тюрьмы» зависит от выбранного значения параметра c. Для точки z₀, лежащей вне замкнутой области, последовательность z_k удаляется от центра плоскости и уходит в бесконечность. Множество пленников и множество беглецов отделены друг от друга бесконечно тонкой границей, известной как множество Жюлиа (см. рис. 5).

Удивительно, что множество Жюлиа можно получить с помощью копировальной машины с редукторами многократного уменьшения, если снабдить её специальными линзами, производящими преобразование, обратное g(z). Обращение g(z) = z² + c состоит из двух функций преобразования  f₁(u) = +√u – c и  f₂(u) = –√u – c. (В этих функциях c — это уже знакомый нам управляющий параметр, а u — выбранная входная величина.) Эти две функции можно рассматривать в качестве «редукторов» копировальной машины. Повторяющиеся операции этой машины заставляют случайно выбранные точки перемещаться в сторону множества Жюлиа.

Присутствие квадратного корня в уравнении означает, что копировальная машина уже работает не с одним и тем же фактором редукции, или степенью сжатия. Более того, поскольку это преобразование нелинейно, прямые линии после преобразования становятся кривыми. Из одного исходного изображения сначала получаются два более мелких изображения, затем четыре, восемь и т.д., пока не начнёт постепенно проявляться предельное изображение (см. рис. 6). Как и в случае линейных фракталов, предельное изображение не зависит от конкретного исходного изображения, а полностью определяется функциями  f₁ и  f₂, или же, что эквивалентно, выбором параметра c.

Теперь мы подошли к одной из самых трудных и в то же время захватывающих задач фрактальной геометрии. Если вернуться к метафоре языка, то задачу можно сформулировать в виде следующего вопроса: каковы грамматические правила квадратичного диалекта? Выражаясь же математическим языком, мы поставим этот вопрос так: лежит ли в основе бесконечного многообразия множеств Жюлиа некая регулярность?

Поиски ответа на этот вопрос привели к одному из наиболее замечательных открытий экспериментальной математики. Решение заключается в том известном Жюлиа и Фату факте, что для каждого управляющего параметра c получающееся в результате фрактальное изображение попадает в одну из двух категорий. Множество Жюлиа может быть единой связной областью или может состоять из бесконечного числа не связанных друг с другом точек, разбросанных подобно пылинкам.

Предположим, что мы нанесли точку на комплексной плоскости для каждого значения управляющего параметра c, которое принадлежит связному множеству Жюлиа, и оставили пробел для значений c, принадлежащих несвязным множествам. Результатом будет ставшее уже знаменитым множество Мандельброта — фрактал, поражающий богатством своих форм.

Очевидно, нам нужно каким-то образом узнать, является ли данное множество Жюлиа связным, чтобы определить принадлежность точки c множеству Мандельброта. Одно из крупнейших достижений Жюлиа и Фату состояло в открытии ими того факта, что эта трудная задача решается путём несложных подсчётов. Рассмотрим последовательность значений z_k, полученных по формуле g(z) = z² + c, когда исходная точка z₀ равна нулю. Таким образом, наше внимание концентрируется на ключевом факторе, управляющем параметре c. Получающаяся последовательность имеет вид 0, c, c² + c, (c² + c)² + c, ... . Если она не уходит в бесконечность, то ассоциированное с параметром множество Жюлиа будет связным и точка c принадлежит множеству Мандельброта.

Каждая часть множества Мандельброта характеризует соответствующее семейство множеств Жюлиа. Например, основное сердцевидное тело множества Мандельброта характеризует множества Жюлиа, которые выглядят как смятые окружности. Хотя множество Мандельброта, строго говоря, не является самоподобным, как треугольник Серпиньского и фрактальный папоротник, оно обладает сходным свойством: увеличение границы области обнаруживает бесконечное число крошечных копий множества. Всё богатство форм и структур множества Мандельброта проявляется лишь при таком детальном его исследовании.

Возможно, наиболее замечательная особенность множества Мандельброта заключается в том, что оно служит бесконечно эффективным хранилищем изображений. Помимо того, что оно классифицирует множества Жюлиа на связные и несвязные, множество Мандельброта выступает также в роли непосредственного графического оглавления для бесконечного числа множеств Жюлиа. При увеличении множества Мандельброта в окрестности его пограничной точки c появляются формы, которые являются также строительными блоками множества Жюлиа, ассоциированного с данной точкой c. Однако математическая строгость этого открытия пока остаётся делом будущего. Тан Ли, уже известный молодой учёный, в настоящее время работающий в Лионском университете во Франции, показал, что множество Мандельброта ведёт себя описанным образом в окрестности большинства значений параметра c, лежащих точно на границе множества Мандельброта.

  

Свойства множества Мандельброта представляют собой очень трудную и интересную тему математических исследований. Огромного прогресса удалось достичь за счёт слияния математической теории и компьютерных графических экспериментов. В этом отношении особенно следует выделить фундаментальную работу А. Дуади из Высшей нормальной школы в Париже и Дж. Хаббарда из Корнеллского университета.

Самой успешной работой в этой области следует считать исследование так называемого электростатического потенциала множества Мандельброта. Представьте себе, что множество Мандельброта несёт на себе электрический заряд. Можно провести измерение потенциала, поместив точечный пробный заряд в окрестности множества и замерив величину электростатической силы, действующей на этот заряд. Оказывается, что вычисление этого потенциала тесно связано с рядом 0, c, c² + c, (c² + c)² + c, ... , который используется для того, чтобы определить, принадлежит ли точка c множеству Мандельброта.

Задача получения трёхмерного представления потенциала оказалась весьма трудоёмкой, особенно в мультипликациях, используемых для изучения множества Мандельброта. Более тщательный анализ компьютерно-графических свойств потенциала недавно позволил снизить затраты машинного времени приблизительно на порядок. В результате исследователи, в том числе и авторы этой статьи, всё чаще изучают множество Мандельброта с помощью видеофильмов, генерируемых компьютером. Аналогичная работа проводится также над трёхмерными потенциальными представлениями других фракталов.

Все рассмотренные выше фракталы можно считать детерминированными. Хотя случайные процессы (такие, как бросание игральной кости) иногда и помогают генерировать фрактальные изображения, они не оказывают никакого влияния на окончательную форму фрактала. Совершенно иная ситуация имеет место в отношении другого класса фракталов, а именно так называемых случайных фракталов.

Один из фракталов такого типа может начинаться с треугольника, лежащего в произвольной плоскости. Средние точки сторон треугольника соединены между собой, так что треугольник оказывается разделённым на четыре меньших треугольника. Затем каждая средняя точка сдвигается вверх или вниз на определённую, случайно выбираемую величину. Тот же процесс применяется к каждому из меньших треугольников, затем к ещё меньшим и так далее до бесконечности. После достаточно большого количества итераций начинает возникать всё более детализированная поверхность.

В этом методе смещения средних точек случайные величины для перемещения средних точек вверх или вниз управляются определённым законом распределения, который тщательно подбирается, чтобы получить близкую аппроксимацию желаемой поверхности. Для того чтобы поверхность была относительно гладкой, в преобразования следует встроить правило, согласно которому величина смещения средних точек должна становиться очень малой уже после нескольких первых итераций. Такое правило позволяет добавлять лишь небольшие «кочки» к общим очертаниям ландшафта. Для представления изрезанной поверхности, характерной, скажем, для горного хребта или береговой линии, более подходящим будет правило медленного уменьшения смещений после каждого шага итерационного процесса.

У данного метода построения поверхностей существует много приложений. Он применялся, в частности, в качестве модели эрозии почвы, для анализа сейсмических явлений, чтобы лучше понять характер изменений в зоне разломов. Р. Восс, один из коллег Мандельброта по Исследовательскому центру корпорации IBM, воспользовался идеей метода, чтобы строить изображения планет, спутников, облаков и горных хребтов, которые выглядят весьма реалистично (см. рис. 8).

a	b	c
d

Независимо от природы или метода построения у всех фракталов есть одно важное общее свойство: степень изрезанности или сложности их структуры может быть измерена неким характеристическим числом — фрактальной размерностью. Различные определения понятия фрактальной размерности в большей или меньшей степени восходят к работе Ф. Хаусдорфа, опубликованной в 1919 году. Хаусдорф был математиком в Боннском университете.

Следуя идее Мандельброта, фрактальную размерность можно определить методом подсчёта квадратиков. Представим себе объект сложной формы, который сплошь покрыт квадратиками, как миллиметровая бумага. Часть квадратиков будет содержать элементы множества, другие квадратики будут пустыми. Число непустых клеток N зависит от формы объекта и от размеров квадратной ячейки E. Постулируется, что N пропорционально 1/E^D (чем мельче решётка, тем больше непустых ячеек). Показатель степени D и является размерностью объекта. Например, для такой сплошной плоской фигуры, как круг, уменьшение размера решётки вдвое приведёт к увеличению количества непустых клеток в четыре раза (два в квадрате), потому что фигура обладает размерностью два. Для фрактала количество непустых клеток будет возрастать с несколько меньшим, дробным показателем степени.

Описанная процедура не ограничивается математическими объектами или формами на плоскости. Аналогичным образом можно подсчитать фрактальную размерность реальных объектов, таких, как реки, облака, береговые линии, артерии или реснички, покрывающие стенки кишечника. Артерии человека, например, имеют фрактальную размерность порядка 2,7.

Помимо той полезной роли, которую играет фрактальная геометрия при описании сложности природных объектов, она предлагает ещё хорошую возможность популяризации математических знаний. Понятия фрактальной геометрии наглядны и интуитивны. Её формы привлекательны с эстетической точки зрения и имеют разнообразные приложения. Поэтому фрактальная геометрия, возможно, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и недоступную дисциплину и станет дополнительным стимулом для учащихся в освоении этой интересной и увлекательной науки.

Даже сами учёные испытывают почти детский восторг, наблюдая за быстрым развитием этого нового языка — языка фракталов. Вот что пишет сам Мандельброт:

«Учёные с немалым удивлением и восторгом ... уяснят для себя, что многие и многие формы, которые они до сих пор вынуждены были характеризовать как зернистые, гидраподобные, похожие на морские водоросли, странные, запутанные, ветвистые, ворсистые, морщинистые и т.п., отныне могут изучаться и описываться в строгих количественных терминах.

Математики будут ... удивлены и обрадованы, узнав, что [фрактальные] множества, считавшиеся до сих пор чем-то исключительным ... в некотором смысле должны стать правилом, что конструкции, считавшиеся патологическими, должны происходить естественным образом из очень конкретных задач и что изучение природы должно помочь решить старые задачи и поставить немало новых».