Этот HTML-файл является урезанной версией оригинальной публикации и предназначен исключительно для поисковых машин. Здесь отсутствуют все картинки и практически все формулы. Полностью статья выложена в DjVu-формате. — E.G.A.

Как может доказательство одной математической теоремы потребовать 15 тысяч страниц? Кто станет читать такое доказательство? Кто возьмётся судить о его справедливости? И тем не менее оно существует: доказательство того, что обнаружены все простые конечные группы, занимает примерно 10–15 тысяч журнальных страниц. Это достижение, конечно, не принадлежит одному человеку, а размеры доказательства не объясняются длинными машинными вычислениями, хотя в одном месте компьютеры действительно применялись. Эту работу удалось проделать благодаря объединённым усилиям более ста математиков, главным образом из США, Великобритании и ФРГ, а также из Австралии, Канады и Японии. Полное доказательство разбросано по страницам примерно 500 статей в научных журналах, причём почти все они опубликованы между концом 40-х и началом 80-х годов.

Понятие группы — одно из важнейших в математике. Его ввёл французский математик Эварист Галуа между 1830 и 1832 годами Галуа использовал свойства групп, чтобы получить ответ (оказавшийся отрицательным) на вопрос, который до него пытались разрешить около 200 лет: можно ли выразить решения алгебраических уравнений пятой степени (и выше) формулами, подобными общеизвестным формулам для решений квадратных уравнений (или менее известным — для кубических уравнений и уравнений четвёртой степени)? Хотя Галуа имел в виду только конкретное приложение к алгебраическим уравнениям, оказалось, что группы встречаются повсюду как в математике, так и в других науках.

Множества вращений сферы, периодичностей кристалла, симметрии атома — всё это примеры групп. И даже взаимодействия элементарных частиц и «восьмеричный путь» (посредством которого частицы описываются как сложные объекты, составленные из кварков), чтобы сделать их понятными, формулируют на языке теории групп.

Группой является и обычная система целых чисел с операцией сложения; правила действий над элементами группы, по существу, и заимствованы из обычной арифметики, только им придана более общая форма. Зная, как великолепно помогает нам арифметика в повседневной жизни, не приходится удивляться, что те же концепции на более абстрактном уровне становятся мощным средством изучения Вселенной.

Основными строительными блоками для всех групп являются простые группы. Такие группы «связываются» друг с другом подобно атомам в молекуле, порождая всё более замысловатые примеры групп. Термин «простая» отнюдь не подразумевает «просто устроенная». Атом, как известно, имеет в высшей степени сложную внутреннюю структуру; то же относится и к простым группам. Простая группа «проста» лишь в том смысле, что её, как и атом, нельзя разбить на меньшие объекты того же сорта.

Многие группы содержат бесконечное число элементов. И здесь хорошим примером служит упомянутая выше числовая система: ведь складывать можно сколь угодно большие числа. Однако правила, определяющие действия над элементами группы, выполняются и для многих конечных систем; такие системы называются конечными группами. Например, часовые отметки на циферблате можно складывать так, как обычно складывают часы, т.е. получая в сумме некоторое число между 1 и 12: скажем, прибавляя 5 часов к 10 часам, получаем 3 часа. Эти 12 чисел на циферблате с определённым таким образом сложением образуют группу из 12 элементов — так называемую группу вычетов по модулю 12. Можно рассматривать такие группы с «периодом», отличным от 12 (рис. на с. 64).

Что же такое группа? Формальное определение устанавливает это совершенно точно, но, чтобы оно стало понятнее, мы поясним его на конкретных примерах. Группа — это некоторое множество элементов с заданной на нём операцией, которую часто обозначают звездочкой (*) и называют групповым умножением. Для любых двух элементов a и b заданного множества их «произведение» a*b также должно быть элементом этого множества (в таком случае говорят, что множество замкнуто относительно операции *). Далее, групповая операция должна удовлетворять трём условиям. Во-первых, данное множество должно содержать так называемый нейтральный элемент (обозначим его e), обладающий тем свойством, что для всякого элемента a нашего множества произведения a*e и e*a равны a. Во-вторых, для каждого элемента a в нашем множестве должен содержаться обратный к нему элемент a^–1, такой, что a*a^–1 и a^–1*a равны e. В-третьих, операция должна быть ассоциативной. Иначе говоря, для любых трёх элементов a, b и c данного множества результат применения к ним операции * не должен зависеть от того, в какой последовательности она выполняется: a*(b*c) равно (a*b)*c.

Заметим, что в определении не требуется, чтобы операция * была коммутативной: a*b, вообще говоря, не равно b*a. И действительно, многие группы, встречающиеся как в математике, так и в других науках, некоммутативны (см. рисунок на с. 67).

Теперь нетрудно убедиться, что правила композиции элементов в группе — это не что иное, как основные законы арифметики в абстрактной форме. Покажем, например, что целые числа образуют группу относительно операции обычного сложения. Групповое произведение двух целых чисел a и b равно в этом случае их обычной сумме a+b; например, 5*7 равно 5+7, т.е. 12. Нейтральным элементом служит число 0; обратным к числу a является число –a, и для любых трёх чисел a, b и c выполнен закон ассоциативности: скажем, 3+(4+5) равно (3+4)+5. Ненулевые рациональные числа образуют группу относительно обычного умножения: нейтральным элементом теперь будет число 1, а обратным к числу a — число 1/a. (Число 0 исключается именно потому, что не имеет обратного.) В группе, состоящей из 12 часовых отметок на циферблате, нейтральным элементом служит «0 часов» (т.е. «12 часов»), а обратным к элементу «5 часов», например, является элемент «7 часов». Перечисленные арифметические группы коммутативны, поскольку ни сложение, ни умножение чисел не зависят от порядка слагаемых или сомножителей. С другой стороны, группы, элементы которых — определённого вида вращения или отражения правильных геометрических фигур (таких, как сферы или равносторонние треугольники), почти всегда некоммутативны.

Аналогия с числами поможет нам нагляднее пояснить, как сложные группы построены из простых. Всякое целое число либо простое, либо составное. Простое число (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.) делится без остатка только на 1 и на себя. Если число не простое, оно составное. Как утверждает основная теорема арифметики, всякое составное число разлагается на простые делители, причём множество простых делителей заданного числа определено однозначно. Например, составное число 12 имеет простые делители 2, 2 и 3.

В теории групп существует некий процесс, с помощью которого произвольная конечная группа разбивается на однозначно определённое множество простых групп — почти так же, как составное число разлагается на простые делители. Более того, число элементов в каждой из полученных простых компонент оказывается делителем числа элементов исходной группы, а произведение этих чисел по всем простым компонентам равно числу элементов в исходной группе.

Однако не стоит слишком доверяться этой аналогии. Так, число элементов простой группы — компоненты исходной — может быть составным, а не простым. Ещё важнее следующее: в то время как произведение всех простых чисел из некоторого заданного множества (скажем, множества 2, 2, 3, 5) даёт единственное составное число (в данном случае 60), для простых групп это, вообще говоря, не так: из заданного множества простых групп может получаться много неэквивалентных групп.

Классификация простых конечных групп занимает столь необычное положение в анналах математики не только благодаря непомерно длинному доказательству, но и благодаря интригующему характеру решения. В процессе многолетних исследований постепенно открывались бесконечные семейства простых групп (и в конце концов были построены все 18 таких семейств), но время от времени обнаруживались и совершенно нерегулярные простые группы, которые не укладывались ни в одно семейство и были поэтому названы спорадическими группами. Первые пять таких загадочных простых групп были открыты Э. Матье в 60-е годы XIX века: наименьшая из групп Матье содержит ровно 8×9×10×11, т.е. 7920 элементов. Шестая спорадическая группа, состоящая из 175 560 элементов, была обнаружена лишь спустя целое столетие З. Янко, работавшим тогда в Университете Монаш (Австралия).

После этого на свет стали появляться новые странные спорадические создания — примерно по одному в год, не отставая от интенсивных теоретических исследований 60-х и 70-х годов. Эти открытия вызвали среди математиков необычайное волнение, которое достигло высшей точки в 1982 году, когда Р. Грисс-младший, работавший в то время в Институте перспективных исследований, построил группу, названную «монстром» за то, что число её элементов равно 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000, или приближенно 8×10⁵³. В конце концов было открыто 26 спорадических простых групп. Группа-монстр оказалась среди них самой большой, однако в её структуре обнаружилось так много внутренних симметрий, что Грисс переименовал её в «дружественного гиганта».

Найти простую группу — это одно, и наградой служит само открытие, но доказать, что обнаружены все такие группы, — это совсем другое дело. Однако именно в этом состоит утверждение классификационной теоремы: «мир» простых конечных групп содержит 18 регулярных бесконечных семейств групп и 26 спорадических групп — и никаких других! Вот для доказательства этого утверждения и понадобилось 500 статей, занимающих около 15 тысяч журнальных страниц.

При нормальном ходе событий результат может быть сформулирован в виде гипотезы задолго до того, как его удастся доказать. Гипотеза появляется не на пустом месте: она подсказана либо предшествующими исследованиями, либо тем, что существуют математически нетривиальные примеры, для которых она верна. Однако на протяжении почти всей «битвы» с простыми конечными группами невозможно было даже приблизительно оценить количество войск противника. Казалось вполне правдоподобным, что в надёжных укрытиях спрятано ещё много — быть может, огромное число — спорадических групп. Поэтому лишь через много лет после начала работы над классификационной проблемой специалисты по теории групп смогли сформулировать теорему, которую они надеялись в конце концов доказать.

Такие обстоятельства требовали осмотрительной стратегии. «Сражения» велись только с определёнными типами простых групп. Одержанные с большим трудом победы приводили к частичным классификационным теоремам, которые постепенно начали вытаскивать на свет меньшие из оставшихся спорадических групп. Ярким примером того, как развивался этот процесс, служит открытие З. Янко шестой спорадической группы, сделанное в связи с исследованием 17-го регулярного семейства простых групп, обнаруженного Р. Ри из Университета Британской Колумбии (Канада) в 1960 году.

Внутри всякой простой группы содержатся некие меньшие группы, называемые централизаторами инволюций, которые помогают понять, как устроена исходная группа. В случае групп Ри централизаторы инволюций допускают представление в виде группы квадратных матриц размера 2×2, составленных из элементов конечной числовой системы, размер которой (т.е. число её элементов) равен некоторой нечётной степени числа 3. Например, если 3 возводится в степень 1, то соответствующая конечная числовая система состоит из трёх элементов группы вычетов по модулю 3. Для доказательства одной из ранних частичных классификационных теорем требовалось показать, что группы Ри — это единственные простые группы, обладающие следующим свойством: их централизаторы инволюций допускают представление 2×2-матрицами, составленными из элементов конечной числовой системы размера p^m, где p — простое, а m — нечётное число. Первым естественным шагом к достижению этой цели была попытка доказать следующую гипотезу: если некоторая простая группа обладает указанным свойством, то размер конечной числовой системы, из которой берутся элементы 2×2-матриц, равен нечётной степени простого числа 3. Со временем эта гипотеза была проверена для всех случаев, кроме одного: когда p^m = 5¹.

Янко приступил к исследованию этого исключительного случая в полной уверенности, что простой группы нужного типа с числовой системой размера 5¹, т.е. 5, не существует. Однако, несмотря на все усилия, ему не удалось исключить такую возможность и тем самым завершить доказательство гипотезы. Наоборот, потратив немало труда, он сумел показать, что если простая группа такого вида существует, то она состоит в точности из 2³×3×5×7×11×19 (т.е. 175 560) элементов.

Вряд ли Янко удалось бы установить столь сильный результат, если бы одна подходящая группа не маячила на горизонте. С растущим нетерпением он двинулся дальше и показал, что если такая группа существует, то она порождается двумя 7×7-матрицами, в столбцах и строках которых стоят элементы группы вычетов по модулю 11 (см. нижний рисунок на с. 65). Если обозначить две эти матрицы через A и B, то группа состоит из всевозможных матричных произведений вида AA, BB, ABA, BBAABABBB и т.д.

Оставалось только узнать, действительно ли эта группа содержит в точности 175 560 элементов; если бы это было не так, то рассуждения Янко приводили бы к противоречию, которое он искал с самого начала. На первый взгляд кажется удивительным, что всевозможные матричные произведения, составленные из A и B, эквивалентны всего лишь 175 560 матрицам (именно это и означает существование группы требуемого типа). Ведь сюда входят и произведения, содержащие более миллиона A и B. Общее число матриц размера 7×7 с элементами из группы вычетов по модулю 11 равно, грубо говоря, 11⁴⁹ или 10⁵¹, и, значит, произведения этих двух порождающих матриц составляют среди них лишь ничтожную долю. Тем не менее вычисления, проведённые к тому же полностью вручную, подтвердили существование шестой спорадической группы, которая в честь Янко (Janko) называется теперь J₁.

Построение группы J₁ несколько напоминает открытие в физике новой элементарной частицы. Сначала теоретический анализ выдвигает доводы в пользу существования новой простой группы, а затем оно подтверждается явными вычислениями — по аналогии с экспериментальной проверкой.

Этот двухступенчатый процесс ещё отчетливее проявился на примере второго достижения Янко. Если хлопоты со свойствами централизаторов инволюций для групп Ри привели к открытию группы J₁, то почему бы не испробовать ту же тактику с другими известными простыми группами? Янко почти сразу же «попал в точку» и, более того, добился двойного успеха. При помощи одного централизатора инволюции он получил веские доводы в пользу существования двух новых простых групп — из 604 800 и 50 232 960 элементов, — хотя на этот раз не смог подтвердить его экспериментально. На основе полученной Янко информации М. Холл-младший и Д. Уэлс из Калифорнийского технологического института построили меньшую из этих групп, J₂, а Г. Хигмэн из Оксфордского университета и Дж. Маккэй из Университета Конкордия (Канада) построили бóльшую группу, J₃. Вычисления, связанные с J₃, уже невозможно было провести вручную, и они выполнялись на компьютере.

Теперь атака переносится в другое место, поскольку Холлу и Уэлсу удалось построить J₂ как группу перестановок хорошо известного вида. Учёные бросаются в прорыв, и к тому моменту, как атака заканчивается, оказываются открытыми ещё четыре спорадические группы. Следующие один за одним успехи на этом раннем этапе только усилили впечатление, что необнаруженных спорадических групп очень много — быть может, бесконечно много. Однако по зрелом размышлении математики пришли к выводу, что открытие групп J₂ и J₃ было почти чудом: из мириад возможных вариантов Янко выбрал один из совсем немногих способных принести плоды.

Выше уже говорилось, что все конечные группы разбиваются на простые группы, но мы не сказали точно, ни что такое простая группа, ни как выполнить это разбиение. И то, и другое понятие связано с важным математическим понятием гомоморфного образа. В гомоморфном образе группы «отражается» определённое в этой группе умножение, хотя сама группа как бы уменьшается. Это похоже на рассматривание объекта в перевёрнутую подзорную трубу: его общие черты сохраняются, хотя видимые размеры становятся меньше.

Итак, допустим, что каждому элементу a' группы G поставлен в соответствие некоторый элемент a' группы G'; он называется образом элемента a. При этом нескольким элементам группы G может отвечать один и тот же элемент группы G'; этим и объясняется уменьшение. Кроме того, предположим, что каждый элемент группы G' является образом хотя бы одного элемента из G. Тогда для того, чтобы группа G' была гомоморфным образом группы G, групповые операции в них должны быть тесно связаны между собой: если a и b из G имеют в G' образы a' и b', то произведение a'*b' в G' должно быть образом произведения a*b из G.

Всякая группа имеет по крайней мере два гомоморфных образа. Один из них — тождественный: G' — это сама группа G и каждый её элемент является своим собственным образом. Поскольку группа G в таком случае остаётся нетронутой, условие, касающееся операций, автоматически выполняется. Второй гомоморфный образ, которым обладает каждая группа G, — её одноточечный образ. В этом случае группа G' состоит из одного элемента — нейтрального элемента e', который и является образом каждого элемента из G. Тогда для любых элементов a и b из G все три элемента a, b и a*b имеют в G' один и тот же образ e', а так как в G' произведение e'*e' равно e', то условие, касающееся операций, снова выполнено.

Теперь можно дать определение простой группы: это группа, не имеющая других гомоморфных образов, кроме тождественного и одноточечного. Самый элементарный пример простых групп — группы вычетов по модулю p, где p — простое число. В самом деле, согласно одной теореме из теории групп, число элементов конечной группы должно делиться без остатка на число элементов любого её гомоморфного образа. Поскольку простое число не имеет других делителей, кроме 1 и самого себя, всякий гомоморфный образ группы вычетов по простому модулю p должен состоять либо из одного, либо из p элементов. Это означает, что такие группы не имеют других гомоморфных образов, кроме тождественного и одноточечного. Следовательно, все группы вычетов по модулю p с простым p являются простыми, а так как простых чисел бесконечно много, эти группы образуют первое из 18 бесконечных семейств простых конечных групп.

Теперь на примере непростой группы поясним, как гомоморфные образы помогают при разложении её на простые компоненты. Множество всех вращений правильного тетраэдра, переводящих его в себя (т.е. вращений, после которых повёрнутый тетраэдр совмещается с исходным), образует группу: результат двух вращений можно представить как одно вращение, и для каждого допустимого вращения имеется обратное — то, которое возвращает тетраэдр в исходную позицию. «Вращение», которое ничего не делает с тетраэдром, служит нейтральным элементом. В этой группе 12 элементов, соответствующих 12 различным расположениям граней при одном и том же положении тетраэдра в пространстве: каждая грань может занимать одно из четырёх мест и находиться в трёх разных положениях. Элементы этой группы можно обозначать указанием перестановки вершин тетраэдра. Например, «поворот по ребру», при котором вершина в положении 1 меняется местами с вершиной в положении 2, а вершина в положении 3 — с вершиной в положении 4, обозначается (12)(34); «поворот по грани», который переводит вершину 1 в положение 2, вершину 2 в положение 3, а 3 в 1, обозначается (123) (см. рисунок на с. 66).

Теперь покажем, что эта группа G вращений правильного тетраэдра имеет гомоморфный образ, не являющийся ни тождественным, ни одноточечным. Отсюда будет следовать, что группа G не простая. В качестве G' возьмём группу вычетов по модулю 3. Тогда группу G можно отобразить на G' следующим способом: нейтральный элемент 0 группы G' пусть будет образом четырёх элементов (1), (12)(34), (13)(24) и (14)(23) группы G, элемент 1 — образом четырёх элементов (123), (134), (243) и (142), а элемент 2 — образом четырёх элементов (132), (234), (124) и (143) (см. рисунок на с. 68).

Требуется немалая работа по проверке условий, касающихся операций. Рассмотрим, к примеру, элементы (123) и (134). Их произведение (123)*(134) в группе G — результат применения к тетраэдру поворота (123), а затем поворота (134) — равно повороту (124) (см. рисунок на с. 67). Образами трёх этих элементов в G' являются соответственно 1, 1 и 2. Произведение 1*1 в G' равно 1+1 (mod 3), т.е. элементу 2. Следовательно, для двух элементов (123) и (134) рассматриваемое условие выполнено. Точно так же нужно проверить его для остальных элементов группы G. Поскольку группа G состоит из 12 элементов, а G' из трёх, то G' нетождественный и не одноточечный гомоморфный образ группы G. Значит, G — не простая группа.

Как же найти простые компоненты группы вращений G? Одна из них и есть группа G' вычетов по модулю 3. Действительно, G' является гомоморфным образом группы G и G' — простая группа, так как 3 — простое число. Сделаем следующий шаг и рассмотрим те элементы группы G, образом которых является нейтральный элемент e' группы G'. Это четыре вращения: (1), (12)(34), (13)(24) и (14)(23). Перечисленные четыре элемента сами образуют группу. Такую группу внутри группы называют подгруппой. Она состоит из четырёх поворотов по ребру, при которых каждая из граней тетраэдра переходит в переднее положение, но сама грань не поворачивается (см. рисунок на с. 66).

Подгруппа поворотов по ребру тоже не простая: её гомоморфные образы не исчерпываются тождественным и одноточечным, а содержат ещё группу вычетов по модулю 2. Нейтральный элемент последней группы отвечает повороту по ребру (12)(34) и элементу (1), а второй её элемент — поворотам по ребру (13)(24) и (14)(23). Так как группа вычетов по модулю 2 тоже простая, она служит второй простой компонентой в разложении исходной группы G вращений тетраэдра (см. рисунок на с. 69).

Сделаем, наконец, последний шаг и рассмотрим два элемента (12)(34) и (1) группы поворотов по ребру, для которых образом является нейтральный элемент группы вычетов по модулю 2. Они тоже составляют группу, а группа из двух элементов имеет лишь два гомоморфных образа — тождественный и одноточечный. Следовательно, подгруппа, состоящая из поворота по ребру (12)(34) и нейтрального элемента, сама является простой группой, эквивалентной группе вычетов по модулю 2. Других гомоморфных образов нет, и, значит, G имеет три простые компоненты: группы вычетов по модулю 3, 2, 2. Так как G состоит из 12 элементов, а 3×2×2 равно 12, этот результат согласуется со сделанным выше замечанием о том, что произведение числа элементов в простых компонентах должно равняться числу элементов исходной группы.

Легко показать, что группы вычетов по простому модулю — это единственные коммутативные простые группы. В самом деле, если число n элементов коммутативной группы составное, то для любого его делителя d группа имеет гомоморфный образ, содержащий ровно d элементов, а так как d необязательно равно 1 или n, то эта группа не простая. Например, группа четырёх поворотов по ребру тетраэдра — это коммутативная группа из четырёх элементов, n=4. Но 4 делится на 2, поэтому d может равняться 2 и, значит, группа имеет гомоморфный образ из двух элементов (выше мы в этом убедились). Итак, всякая простая группа, кроме групп вычетов, содержит по крайней мере одну пару элементов a, b, для которой a*b не совпадает с b*a.

Наименьшая некоммутативная простая группа состоит из 60 элементов. Её можно описать как группу вращений правильного додекаэдра, переводящих его в себя. При этом каждая из 12 граней додекаэдра может занимать пять различных положений — этим и объясняется число 60 (см. рисунок на с. 63).

Группа додекаэдра тесно связана с группой тетраэдра. Последняя устроена так же, как группа так называемых чётных перестановок четырёх букв. Если, к примеру, буквы ABCD переставлены так: CBAD, то это нечётная перестановка, потому что в ней порядок нарушен трижды: C стоит перед B, C стоит перед A, B стоит перед A. С другой стороны, в «слове» DCBA порядок нарушен шесть раз, значит это чётная перестановка. Группа додекаэдра устроена так же, как группа чётных перестановок пяти букв.

В то время как группа тетраэдра не является простой, все чётные перестановки пяти и более букв образуют некоммутативные простые группы. Эти группы — их называют знакопеременными группами на n буквах — составляют второе бесконечное семейство простых групп. Кстати, именно это принципиальное различие между знакопеременными группами степени меньшей или равной 4 и степени большей или равной 5 легло в основу исследований Галуа, посвящённых алгебраическим уравнениям. Как раз этим различием и объясняется принципиальная разница в свойствах решений алгебраических уравнений степени меньшей или равной 4 и степени большей или равной 5.

Описать другие семейства простых групп труднее. Все они допускают представления как группы квадратных матриц определённого размера. Иногда эти группы с самого начала определялись как такие группы матриц, в других случаях матричные представления приходилось искать. То же относится к спорадическим группам, но с ними дело обстоит ещё сложнее — в некоторых случаях для матричного представления требовались машинные вычисления. Интересно, что для «монстра» — самой большой спорадической группы — Гриссу удалось построить представление полностью вручную. В нём участвуют квадратные матрицы размера 196 883×196 883, составленные из комплексных чисел. Названия и порядки всех семейств простых групп и спорадических групп указаны в приведённой ниже таблице.

Полный список простых конечных групп состоит из 18 бесконечных семейств и 26 спорадических групп; указано и число элементов каждой группы. Обозначения бесконечных семейств буквами от A до G взяты из теории групп Ли, названных так в честь С. Ли. Семейства названы именами К. Шевалле, Р. Стейнберга (Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе), М. Судзуки (Иллинойсский университет) и Р. Ри (Университет Британской Колумбии). Спорадические простые группы названы именами Э. Матье, З. Янко (ныне — Гейдельбергский университет), Д. Хигмэна (Мичиганский университет), Ч. Симса (Университет Ратгерса), Дж. Маклафлина (Мичиган), М. Судзуки, А. Рудвалиса (Массачусетский университет в Амхерсте), Д. Хелда (Майнцский университет), Р. Лайенса и М. О'Нэна (Университет Ратгерса), Дж. Конвея (Кембриджский университет), Б. Фишера (Билефельдский университет), К. Харады (Университет шт. Огайо), Дж. Томпсона (ныне — Кембриджский университет) и Р. Грисса-младшего (Мичиганский университет). Отдельные простые группы, входящие в то или иное бесконечное семейство, обозначаются численными индексами n, p и q, где n может быть любым положительным числом, а p — любым простым числом. Индекс q должен равняться числу элементов некоторой конечной числовой системы; можно показать, что в точности одну числовую систему можно построить на множестве из q элементов только тогда, когда q — степень простого числа с целым показателем. Следовательно, обозначения семейств подразумевают простые группы только для значений q, равных 2, 2², 2³, ..., 3, 3², 3³, ..., 5, 5², 5³, ... и т.д., но имеются и другие исключения. Например, линейная группа Шевалле A₁(3) исключена из списка условиями на n и q, так как это непростая группа, а именно группа вращений правильного тетраэдра. Число n, которое называется рангом семейства, для исключительных групп Шевалле принимает лишь значения 2, 4, 6, 7 и 8. Группы Ри и группы Судзуки определены только для значений q, равных нечётной степени m числа 2 или 3. Число элементов в каждой группе семейства даётся выражением или числом во втором столбце обеих таблиц. Здесь d обозначает наибольший общий делитель (н.о.д.) двух чисел или выражений, стоящих в скобках сразу после сокращения «Н.О.Д.». В первой таблице символ группы, окружённый вертикальными чёрточками, обозначает число элементов в этой группе.

Многие семейства некоммутативных простых групп были открыты уже к началу века, и в каждой такой группе, так же как и в пяти спорадических группах Матье, оказалось чётное число элементов. Этот факт вскоре привёл к естественной гипотезе: всякая некоммутативная простая конечная группа должна содержать чётное число элементов. Однако проверить эту ставшую к тому времени знаменитой гипотезу удалось лишь в 1962 году. Это сделали Дж. Томпсон и У. Фейт, работавшие тогда в Чикагском университете. Сложность доказательства этого легко понятного утверждения уже предвещала непомерную длину полной классификации простых групп. Доказательство теоремы Томпсона–Фейта заняло все 255 страниц одного из номеров журнала «Pacific Journal of Mathematics». В 1965 году Фейт и Томпсон получили за эту работу премию Коула по алгебре.

Теорему Томпсона–Фейта тоже можно рассматривать как частичную классификационную теорему. В такой форме она утверждает, что единственные простые группы, содержащие нечётное число элементов, — это группы вычетов по нечётному простому модулю. Цель полной классификационной теоремы — перечислить все простые конечные группы, как бы велики они ни были. Как уже говорилось выше, в своей окончательной форме теорема утверждает, что полный список состоит из 18 регулярных бесконечных семейств простых групп и 26 спорадических групп.

Если одно только доказательство теоремы Томпсона–Фейта потребовало более 250 журнальных страниц, то неудивительно, что доказательство намного более сложного утверждения — полной классификационной теоремы — занимает многие тысячи страниц. Его размеры нельзя объяснить трудностью описания известных простых групп. Группы вычетов можно описать в нескольких строчках, и тем не менее Фейту и Томпсону понадобились сотни страниц, чтобы показать, что других простых групп с нечётным числом элементов не существует. Необъятная величина классификационного доказательства объясняется другими причинами.

Всё дело заключается в сложности внутреннего строения произвольной конечной группы по сравнению с простой группой (точно так же сложная молекула имеет намного более запутанную внутреннюю структуру, чем один атом). Чтобы лучше понять характер классификационной проблемы, представим себе, что простые конечные группы разбросаны по некоторой области на плоскости (см. рисунок на с. 70).

Специалисты по теории групп не могли начинать своё доказательство с предположения, что всякая простая группа устроена примерно так же, как некоторая известная простая группа, ибо это, по существу, и должна была продемонстрировать окончательная теорема. Более точное представление о том, что именно нужно было доказать, мы получим, если будем считать, что внутреннее строение простых групп, заключенных в рассматриваемой плоской области, может варьироваться по сложности так же широко, как и строение произвольных конечных групп. Точками на границе области представлены известные простые группы; около них располагаются группы, строение которых очень напоминает строение ближайших известных простых групп; наконец, чем дальше лежат точки в глубине области, тем меньше сходства имеет строение соответствующих им групп с известными простыми группами.

На начальном этапе доказательства приходится иметь дело с совершенно неизвестной простой группой, о внутреннем строении которой заранее ничего нельзя сказать: оно может оказаться столь же запутанным, как и у произвольной непростой группы. Изобразим данную группу точкой где-то в середине области. Чтобы доказать классификационную теорему, нужно при помощи математических рассуждений заставить эту точку сдвинуться в одну из точек на границе. Каждое малое продвижение точки в сторону границы следует понимать как шаг к уточнению ранее неизвестного строения данной группы. По мере приближения точки к границе строение данной группы ещё больше соответствует одной из известных простых групп.

Поскольку «пунктом назначения» может оказаться любая точка на границе, при таком путешествии не избежать обследования многочисленных возможных путей. Новые пути возникают на развилках — там, где выясняется, что есть несколько вариантов внутреннего строения данной группы. Для завершения доказательства пришлось пройти в общей сложности около сотни различных путей. Таким образом, классификационная теорема — это на самом деле сумма примерно ста отдельных теорем, которые все вместе приводят к нужному заключению.

Одну из самых важных вех по дороге к границе установил в 40-х и 50-х годах Р. Брауэр своими новаторскими работами, посвящёнными централизаторам инволюций. Поясним, что это такое. В группе, где не все элементы перестановочны между собой, иногда полезно рассмотреть множество всех элементов группы, перестановочных с некоторым заданным элементом a, т.е. множество всех элементов g, для которых a*g совпадает с g*a. Это множество называется централизатором элемента a. Легко проверить, что централизаторы сами являются группами относительно операции в исходной группе, и, значит, они образуют подгруппы данной группы. Тривиальным примером служит централизатор нейтрального элемента e; он всегда совпадает со всей исходной группой, так как одно из условий, определяющих группу, в том и состоит, что каждый элемент группы перестановочен с нейтральным элементом. Более содержательный пример — централизатор элемента (123) в группе вращений тетраэдра: в него входят нейтральный элемент, сам (123) и (132).

Идея Брауэра заключалась в том, чтобы сосредоточить внимание на тех элементах a группы, исключая e, для которых групповое произведение a*a равно e. Элементы с таким свойством называются инволюциями. Легко показать, что инволюции есть в каждой группе с чётным числом элементов. Поэтому, согласно теореме Томпсона–Фейта, всякая некоммутативная простая группа содержит инволюции. Брауэр начал с того, что вычислил централизаторы инволюций в некоторых из 18 регулярных семейств, и обнаружил, что они имеют такое же внутреннее строение, как исходная группа, но в зачаточной форме. Тогда Брауэр заинтересовался, можно ли восстановить всю исходную группу, зная только централизаторы инволюций, и через какое-то время пришёл к утвердительному ответу на этот вопрос в некоторых важных частных случаях.

Исследования Брауэра не только подготовили почву для открытия многих спорадических групп, но и выработали процедуру, которая позволила разделить путешествие к границе области простых групп на два этапа. Сначала нужно доказать, что централизатор некоторой инволюции в неизвестной простой группе очень похож на централизатор инволюции в одной из известных простых групп. К этому аспекту проблемы классификации относятся пути, проходящие поблизости от центральной точки.

Но сходство между централизаторами инволюций в двух группах — далеко не то же самое, что совпадение самих групп: ведь централизатор инволюции — это лишь малая часть всей группы. Поэтому на втором этапе доказательства следует расширить полученную локальную информацию о сходстве централизаторов инволюции до глобальной эквивалентности самих групп, показав, что данная неизвестная простая группа есть не что иное, как одна из известных простых групп. Таким образом, пути, проходящие вблизи точек на границе, относятся к процессу определения известной простой группы на основе сведений о её централизаторах инволюций. Разделение доказательства классификационной теоремы на эти два этапа можно изобразить замкнутой кривой, проходящей внутри области примерно на полпути от центральной точки до границы.

Из многих математиков, участвовавших в работе над классификационным доказательством в последние 10 лет, я хотел бы назвать М. Ашбахера из Калифорнийского технологического института. В 1972 году в серии лекций, прочитанных в Чикагском университете, я изложил программу из 16 пунктов для определения всех конечных простых групп, т.е. фактически подсказал, какими путями нужно добираться до границы. Я предсказывал успешное завершение путешествия к концу столетия, но мой проект и сопутствующий ему оптимизм были встречены скептически.

Ни я, ни мои слушатели не приняли в расчет Ашбахера. Новичок в этой области, только что закончивший учебу, он стал начиная с этого момента главной движущей силой моей программы. С ошеломляющей скоростью он доказывал одну изумительную теорему за другой. И хотя в этом последнем штурме было много других участников, Ашбахеру мы обязаны тем, что отведённый в моём проекте срок в 30 лет сократился до 10.

Что же принесёт будущее? Сейчас я и несколько моих коллег работаем над тем, чтобы построить классификационное доказательство второго поколения. Первое доказательство охватывало много ранних статей, написанных задолго до того, как появилась общая стратегия окончательного решения. Поэтому в изложение первого доказательства с неизбежностью вкрались ошибочные идеи, неэффективные рассуждения, повторы. Если наша работа увенчается успехом, то доказательство второго поколения составит лишь одну пятую первого и приобретёт во столько же раз большую идейную ясность. По математическим стандартам доказательство в 3000 страниц всё равно будет слишком длинным. Однако сложность проблемы такова, что с коротким доказательством придётся подождать, ибо оно потребует совершенно новых методов.

Классификация простых конечных групп, по всей вероятности, имеет широкие связи с другими разделами математики. Этот результат уже нашёл применения в таких разных областях, как теория алгоритмов, математическая логика, геометрия, теория чисел. Сейчас стало известно, что группа-монстр имеет глубокие связи, ещё полностью не раскрытые, с теорией эллиптических функций.

Воздействие классификации за пределами математики пока не ясно. «Ходят слухи», что дружественный гигант Грисса, быть может, войдёт в формулировку какой-нибудь единой теории поля для элементарных частиц. Но как бы ни обстояло дело с приложениями, бесспорно одно — специалисты по теории конечных групп решили главную задачу своей науки, стоявшую перед ними, хотя и в неявном виде, с тех пор, как Галуа ввёл в математику понятие группы.