87 стр., 951 Кб
рус
48 pages, 687 Кb
eng

Этот HTML-файл предназначен исключительно для поисковых машин. Здесь присутствует только оглавление, вводная часть и список литературы. Полностью статья выложена в DjVu-формате. E.G.A.



УДК 517.9

МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ

Л. Инфельд   и   Т. Е. Халл

Метод факторизации может дать прямой ответ на вопрос о задачах на собственные значения, важных для физиков. Идея, лежащая в основе метода, заключается в рассмотрении пары дифференциально-разностных уравнений первого порядка, эквивалентных данному дифференциальному уравнению второго порядка с граничными условиями. Для широкого класса таких уравнений метод позволяет немедленно найти собственные значения и установить рабочий процесс для получения нормированных собственных функций. Эти результаты получаются просто при использовании таблицы, содержащей шесть возможных типов факторизации. Тот же рабочий процесс используется для вычисления вероятностей переходов. Метод так обобщен, что его можно применять к задачам, решаемым методами теории возмущений.



СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение
1.1. Характеристика метода факторизации
 
МЕТОД
§ 2. Теория факторизации
2.1. Стандартная форма
2.2. Определение и основная идея; теорема 1
2.3. Сопряжённость операторов; теорема 2
2.4. Граничное условие; теорема 3
2.5. Условия, налагаемые на λ, для существования решения; теорема 4
2.6. Нормировка; теорема 5
2.7. Решения
 
§ 3. Техника факторизации
3.1. Типы факторизации
3.2. Искусственная факторизация
 
ПРИМЕРЫ
§ 4. Факторизация типа A и общие замечания
4.1. Присоединённые сферические гармоники
4.2. Присоединённые сферические гармоники как задача класса II
4.3. Обобщённые сферические гармоники
4.4. Функции Гегенбауэра
4.5. Симметричный волчок
4.6. Сферические гармоники Вейля со спином
4.7. Уравнение магнитного полюса
4.8. Потенциалы Пёшля–Теллера
4.9. Гипергеометрические функции
 
§ 5. Факторизации типа B и C
5.1. Вырожденные гипергеометрические функции
5.2. Потенциал Морса
5.3. Система тождественных осцилляторов
5.4. Функции Бесселя
 
§ 6. Факторизации типа D
6.1. Линейный осциллятор
6.2. Вещественное скалярное мезонное поле
6.3. Комплексное скалярное мезонное поле
6.4. Многокомпонентная теория вещественного поля
6.5. Гармонический осциллятор; обобщение
6.6. Вещественные скалярные мезонные поля и нуклоны
6.7. Дальнейшее обобщение задачи об осцилляторе
6.8. Заряженные скалярные мезонные поля и нуклоны
 
§ 7. Факторизация типа E
7.1. Задача Кеплера на гиперсфере
7.2. Задача Кеплера в пространстве с постоянной отрицательной кривизной
7.3. Потенциал Меннинга–Розена
7.4. Потенциал Розена–Морса
7.5. Полиномы Якоби
 
§ 8. Факторизации типа F
8.1. Задача Кеплера
8.2. Новая рекуррентная формула для кеплеровских функций
8.3. Обобщённая задача Кеплера
8.4. Дираковские радиальные функции
8.5. Осциллирующий ротатор
 
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 9. Матричные элементы типа A
9.1. Сферические гармоники
9.2. Обобщённые сферические гармоники
9.3. Случай, когда подинтегральное выражение содержит три сферические гармоники
 
§ 10. Матричные элементы типа B
10.1. Функции Морса и двухатомные молекулы
 
§ 11. Матричные элементы типа D
11.1. Гармонический осциллятор
 
§ 12. Матричные элементы типа F
12.1. Алгебраические рекуррентные формулы для интенсивностей
12.2. Операторная рекуррентная формула для интенсивностей
12.3. Замечания к пп. 12.1 и 12.2
12.4. Некоторые интегралы и проблема нормировки
12.5. Обобщение на дираковские матричные элементы
 
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 13. Процедура аппроксимации
13.1. Возмущения типа F
13.2. Эффект Штарка
 
ЗАМЕЧАНИЯ
§ 14. Взаимосвязь между типами факторизации
§ 15. F-уравнение Трусделла
§ 16. Таблица факторизаций
Литература


§ 1. Введение

В этой работе рассмотрена новая техника решения краевых задач о собственных значениях в том виде, в каком они чаще всего встречаются в волновой механике и теории Максвелла. Особое внимание уделено квантовой теории, где область применений весьма широка.

Чтобы пояснить идею, положенную в основу метода факторизации, мы кратко коснёмся вопроса, который часто обсуждается: аналогии между уравнениями Максвелла и Дирака. И в том, и в другом случае речь идёт о системах линейных уравнений с частными производными первого порядка. Оба уравнения лоренц-инвариантны. Заметим попутно, что для максвелловских уравнений линейность — это сверхупрощение, которое приводит к трудностям с бесконечной собственной энергией. Однако если рассматривать в дальнейшем только регулярные решения, то можно пренебречь этим затруднением.

Максвелловским и дираковским уравнениям исторически предшествовали скалярные теории полей. Дираковской теории предшествовала теория Шрёдингера, которая была широко использована при решении квантовомеханических задач. Скалярные теории полей приводят к одному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка, содержащему оператор Лапласа или Даламбера. Эти имена говорят о том, что изучение таких скалярных уравнений было важной главой в математике XIX столетия. Эти уравнения привели к теории потенциала, к полиномам Лежандра, Лагерра, Якоби, Чебышёва и Эрмита, а также к функциям Бесселя; все они образуют часть математической физики, которая была завершена, когда на смену теории скалярного поля пришли теории векторных, тензорных и спинорных полей.

Таким образом, техника решения максвелловских и дираковских систем уравнений моделировалась на скалярных теориях. Это особенно хорошо видно в случае максвелловских уравнений. Обычно там вводят векторный и скалярный потенциалы и получают четыре уравнения того же типа, что и в скалярной теории. Если речь идёт о применении теории Максвелла к волноводам с прямоугольным или круговым поперечными сечениями или к антеннам, то видно, как граничные условия приводят нас в конце концов к совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Ситуация в волновой механике во многих отношениях даже проще. Там граничные условия более тесно связаны с самим дифференциальным уравнением, и они обычно сводятся к однозначности и квадратичной интегрируемости.

Таким образом, как в электромагнитной, так и в квантовой теориях мы приходим к уравнениям типа

d2y

dx2

 + r(x,m)y + λy = 0.

Здесь r(x,m) — функция, характеризующая данную частную задачу. Мы предположим, что m — неотрицательное целое число

m = 0, 1, 2, ... ,

которое появляется в процессе разделения переменных; его величина ограничена краевыми условиями. В большинстве случаев граничные условия требуют, кроме того, чтобы λ имело дискретные значения

λ0, λ1, λ2, ... , λl, ... .

Таким образом, типичная задача о собственных значениях может быть представлена в виде решётки точек в (l,m)-плоскости

m  •   •   •   •   • 
 •   •   •   •   • 
 •   •   •   •   • 
 •   •   •   •   • 
 •   •   •   •   •  l

Для каждой линии, связывающей точки решётки и параллельной оси m, существуют λl. Для каждой точки решетки существует функция ylm(x), удовлетворяющая некоторым граничным условиям.

До сих пор речь шла об идее, близкой каждому физику-теоретику; она является краеугольным камнем математических исследований физических задач.

1.1. Характеристика метода факторизации. В классическом методе решения краевой задачи сначала находят общие решения дифференциального уравнения, а затем определяют особые значения, при которых эти решения удовлетворяют граничным условиям; таким образом получаются функции ylm(x), относящиеся к каждой точке решётки. Эти функции могут быть нормированы и затем использованы, например, для вычисления вероятностей переходов.

Метод факторизации охватывает и унифицирует исторический подход. Этот новый метод позволяет непосредственно получать собственные значения и устанавливает рабочий процесс для получения нормированных функций. Тот же рабочий процесс может быть использован и для вычисления вероятностей переходов.

Метод факторизации рассматривает непосредственно исходные дифференциальные уравнения первого порядка, либо, если задано дифференциальное уравнение второго порядка, его заменяют эквивалентной парой уравнений первого порядка

( k(x,m + 1) –  d

dx

) Ylm =  √λ – L(m + 1) Ylm+1,
( k(x,m) +  d

dx

) Ylm =  √λ – L(m) Ylm–1.

Эти уравнения могут быть получены из таблицы, содержащей все возможные типы факторизации. Есть только шесть возможностей, но даже они не являются независимыми. Если из таблицы найдена подходящая факторизация, то собственные значения и рабочий процесс для получения собственных функций могут быть выписаны немедленно.

Таблица может быть использована для других целей. Например, если собственные значения уже известны, то возможные потенциальные функции могут быть найдены из таблицы.

Какова область применения этого метода? Обратимся к волновой механике. Здесь есть несколько «чистых» задач, причём под «чистыми» мы будем понимать задачи, которые допускают точное решение без использования теории возмущений или численных методов. Все эти чистые задачи сразу могут быть решены и к тому же единым путём с помощью метода факторизации. Следует отметить, кроме того, что каждый из шести типов факторизации имеет физический смысл в теории Максвелла, в квантовой теории или в той и другой.

Однако «чистота», если иметь в виду явления, представляющие интерес, встречается редко. В науке и в её технических применениях число «нечистых» случаев вокруг каждого чистого случая постоянно растёт. Поэтому интересно отметить, что метод факторизации может быть так обобщен, что позволяет рассматривать задачи теории возмущений. В некоторых случаях, например при исследовании эффекта Штарка, этот метод приводит к решению быстрее других методов.

Метод факторизации был впервые предложен Шрёдингером [41]. С тех пор его идеи были существенно обобщены [21, 22, 24, 25, 27, 28, 32, 42, 43, 46]. Однако эти идеи встречаются в более ранних работах, у Вейля [51, стр. 231] при рассмотрении сферических гармоник со спином и у Дирака [9] при рассмотрении углового момента и задачи о гармоническом осцилляторе. В более позднее время иной вариант метода факторизации был дан Инуи [29].

Если усвоены основные идеи § 2, то почти любой раздел этой работы становится доступным.

МЕТОД

§ 2. Теория факторизации

В этом разделе мы будет исходить из предположения, что уравнение факторизовано, а затем на основании пяти теорем перейдём к рассмотрению вытекающих отсюда следствий. Мы увидим, что факторизация уравнения позволяет немедленно выписать искомые собственные значения и нормированные собственные функции.

В следующем разделе будет показано, как осуществляется факторизация данного уравнения. Эта задача фактически будет сведена к использованию таблицы, содержащей только шесть общих типов факторизации. Такая таблица со многими важными частными случаями дана в конце статьи.

Таким образом, этот и следующий разделы содержат только идею и технику метода факторизации, на которых основаны примеры, рассматриваемые в остальных разделах статьи. После изучения § 2 читатель может приступить к чтению почти любого последующего раздела, не теряя непрерывности изложения.

[· · ·]

Благодарности

Нам приятно поблагодарить за полезную критику профессора A. Ф. С. Стивенсона, который внимательно следил за подготовкой метода факторизации во всех её фазах. Мы также весьма признательны г. Дж. Кеннеди за помощь при подготовке § 6 и профессору B. Опечовскому за его ценную критику этого параграфа.

Другие сотрудники университетов в Торонто и Британской Колумбии всячески проявляли готовность оказать помощь при решении различных задач, возникавших во время подготовки настоящей работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. 

Adams J. C., Collected Scientific Papers. Cambridge University Press, Teddington, 1900, Vol. II.

2. 

Bethe  H., Handbuch der Physik. Springer, Berlin, 1933, Vol. XXIV/1; русский перевод: Бете  Г., Квантовая механика простейших систем, ОНТИ, 1935.

3. 

Вird  J., M.A. thesis, Toronto, 1949.

4. 

Churchill  R. V., Modern Operational Mathematics in Engineering. McGraw-Hill, New York, 1944.

5. 

Condon  E. U. and Shortley  G. H., Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press, Teddington, 1935, p. 133; русский перевод: Кондон  Е., Шортли  Г., Теория атомных спектров. М., ИЛ, 1949.

6. 

Courant  R. and Hilbert  D. Methoden der Mathematischen Physik. Springer, Berlin, 1931, Vol. I; русский перевод: Курант  Р. и Гильберт  Д., Методы математической физики. М., Гостехиздат, 1951.

7. 

Dennison  D. M., Revs. Modern Phys., 3 (1931) 280.

8. 

Dirac  P. A. M., Proc. Roy. Soc. (London), A133 (1931) 60.

9. 

Dirac  P. A. M., Principles of Quantum Mechanics. Clarendon Press, Oxford, 1935; русский перевод: Дирак  П., Основы квантовой механики. ОНТИ, 1937.

10. 

Dirac  P. A. M., Principles of Quantum Mechanics. Clarendon Press, Oxford, 1947; см. перевод 4-го издания: Дирак  П., Основы квантовой механики. М., Физматгиз, 1960.

11. 

Dunham  J. L., Phys. Rev., 34 (1929) 438.

12. 

Duff  G. F. D., Can. J. Math., 1 (1949) 379.

13. 

Eckart  C., Phys. Rev., 28 (1926) 927.

14. 

Eckart  C., Phys. Rev., 35 (1930) 1303.

15. 

Elsasser  W. M., Phys. Rev., 69 (1946) 106.

16. 

Epstein  P. S., Proc. Nat. Acad. Sci., 12 (1926) 629.

17. 

Gaunt  J. A., Roy. Soc. London, Phil. Trans., A228 (1929) 151.

18. 

Gaunt  J. A., Roy. Soc. London, Phil. Trans., A229 (1930) 163.

19. 

Gordon  W., Ann. Physik, 2 (1929) 1031.

20. 

ter Haar  D., Phys. Rev., 70 (1936) 222.

21. 

Hull  T. E., Ph.D. thesis, Toronto, 1949.

22. 

Hull  T. E. and  Infeld  L., Phys. Rev., 74 (1948) 905.

23. 

Hulme  H. R., Proc. Roy. Soc., A138 (1932) 643.

24. 

Infeld  L., Phys. Rev., 59 (1941) 737.

25. 

Infeld  L., Trans. Roy. Soc. Can., 36 (1942) Sec. 3,7.

26. 

Infeld  L., Phys. Rev., 72 (1947) 1125.

27. 

Infeld  L., Proc. Symposia Applied Math. Am. Math. Soc., 1950, Vol. II, p. 58.

28. 

Infeld  L. and  Schild  A., Phys. Rev., 67 (1945) 121.

29. 

Inui  Т., Prog. Theor. Phys., 3 (1948) 168 and 244.

30. 

Johnson  M. H. and  Lippmann  B. A., Phys. Rev., 76 (1949) 828.

31. 

Johnson  M. H. and  Lippmann  B. A., Phys. Rev., 77 (1950) 702.

32. 

Lin  C. C., Phys. Rev., 59 (1941) 841.

33. 

Manning  M. F. and  Rosen  N., Phys. Rev., 44 (1933) 953.

34. 

Morse P. M., Phys. Rev., 34 (1929) 57.

35. 

Morse,  Fisk  and  Sсhiff, Phys. Rev., 50 (1936) 748.

36. 

Pöschl  G. and  Teller  E., Z. Physik, 83 (1933) 143.

37. 

Rojanski  V., Introductory Quantum Mechanics. Prentice-Hall, New York, 1938.

38. 

Rosen  N. and  Morse  P. M., Phys. Rev., 42 (1932) 210.

39. 

Schrödinger  E., Ann. Physik, 79 (1926) 361.

40. 

Schrödinger  E., Wave Mechanics. Blackie and Son, London, 1928.

41. 

Schrödinger  E., Proc. Roy. Irish Acad., A46 (1940) 9.

42. 

Schrödinger  E., Proc. Roy. Irish Acad., A46 (1941) 183.

43. 

Schrödinger  E., Proc. Roy. Irish Acad., A47 (1941) 53.

44. 

Sommerfeld  A., Atombau und Spectrallinien. Vierweg Sohn, 1929, Vol. II, pp.24–32; русский перевод: Зоммерфельд  А., Волновая механика. ч. II, ОНТИ, 1933.

45. 

Stevenson  A. F. C., Phys. Rev., 59 (1941) 842.

46. 

Stevenson  A. F. C. (не опубликовано).

47. 

Szegö  G., Orthogonal Polynomials. Am. Math. Soc., New York, 1939, Colloquium Publications XXIII; русский перевод: Сегё  Г., Ортогональные многочлены. М., ИЛ, 1962.

48. 

Tamm  I., Z. Physik, 71 (1931) 141.

49. 

Truesdell  C., A Unified Theory of Special Functions. Princeton University Press, Princeton, 1948.

50. 

Wentzel  G., Quantum Theory of Fields. Interscience Publishers, New York, 1949; русский перевод: Вентцель  Г., Введение в квантовую теорию волновых полей. ГТТИ, 1947.

51. 

Weyl  H., The Theory of Groups and Quantum Mechanics. E.P.Dutton and Company, New York, 1931.

52. 

Wheeler  J. A., Proc. Roy. Irish Acad., A50 (1944) 3.

53. 

Whittaker  E. T. and  Watson  G. N., Modern analysis. Cambridge University Press, London, 1946; см. перевод 4-го издания: Уиттекер  Э. Т. и Ватсон  Дж. Н., Курс современного анализа. М., Физматгиз, 1963.



REVIEWS OF MODERN PHYSICS     VOLUME 23, NUMBER 1     JANUARY, 1951


The Factorization Method

L. Infeld*
University of Toronto, Toronto, Ontario, Canada
(* Now at the Physics Institute, Warsaw, Poland.)

and

T. E. Hull
University of British Columbia, Vancouver, British Columbia, Canada
( Part of this report was submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy at the University of Toronto, 1949.)


The factorization method is an operational procedure which enables us to answer, in a direct manner, questions about eigenvalue problems which are of importance to physicists. The underlying idea is to consider a pair of first-order differential-difference equations which are equivalent to a given second-order differential equation with boundary conditions. For a large class of such differential equations the method enables us to find immediately the eigenvalues and a manufacturing process for the normalized eigenfunctions. These results are obtained merely by consulting a table of the six possible factorization types.

The manufacturing process is also used for the calculation of transition probabilities.

The method is generalized so that it will handle perturbation problems.



TABLE OF CONTENTS
1. Introduction
1.1 Characterization of the factorization method
 
THE METHOD
2. Theory of the Factorization Method
2.1 Standard form
2.2 Definition and fundamental idea; Theorem I
2.3 Mutual adjointness of the operators; Theorem II
2.4 Boundary condition; Theorem III
2.5 Conditions on λ that solutions exist; Theorem IV
2.6 Normalization; Theorem V
2.7 Solutions
 
3. Technique of Factorization
3.1 Factorization types
3.2 Artificial factorization
 
EXAMPLES
4. Type A Factorizations and General Remarks
4.1 Associated spherical harmonics
4.2 Associated spherical harmonics as a Class II
4.3 Generalized spherical harmonics
4.4 Gegenbauer functions
4.5 Symmetric top
4.6 Weyl's spherical harmonics with spin
4.7 Magnetic pole equation
4.8 Pöschl–Teller potentials
4.9 Hypergeometric functions
 
5. Type B and C Factorizations
5.1 Confluent hypergeometric functions
5.2 Morse potential
5.3 System of identical oscillators
5.4 Bessel functions
 
6. Type D Factorizations
6.1 Linear oscillator
6.2 Real scalar meson field
6.3 Complex scalar meson field
6.4 Many component real theory
6.5 Harmonic oscillator; generalization
6.6 Real scalar meson fields and nucleons
6.7 Further generalization of oscillator problem
6.8 Charged scalar meson fields and nucleons
 
7. Type E Factorizations
7.1 Kepler problem in a hypersphere
7.2 Kepler problem in a space of constant negative curvature
7.3 Manning–Rosen potential
7.4 Rosen–Morse potential
7.5 Jacobi polynomials
 
8. Type F Factorizations
8.1 Kepler problem
8.2 New recurrence formula for Kepler functions
8.3 Generalized Kepler problem
8.4 Dirac's radial functions
8.5 Oscillating rotator
 
MATRIX ELEMENTS
9. Type A Matrix Elements
9.1 Spherical harmonics
9.2 Generalized spherical harmonics
9.3 When the integrand contains three spherical harmonics
 
10. Type B Matrix Elements
10.1 Morse functions and diatomic molecules
 
11. Type D Matrix Elements
11.1 Harmonic oscillator
 
12. Type F Matrix Elements
12.1 Algebraic recurrence formulas for intensities
12.2 Operator recurrence formula for intensities
12.3 Remarks on 12.1 and 12.2
12.4 Certain integrals and the problem of normalization
12.5 Generalization to Dirac matrix elements
 
PERTURBATION THEORY
13. Approximation Procedure
13.1 Type F perturbations
13.2 Stark effect
 
FURTHER REMARKS
14. Interrelationship between Types
15. Truesdell's F-Equation
 
16. Acknowledgments
17. Table of Factorizations
18. Bibliography


1. Introduction

This report deals with a new technique for solving eigenvalue problems as they most frequently appear in wave mechanics and in Maxwell's theory with imposed boundary conditions. Special attention is given to quantum theory where the field of applications is very wide.

To introduce the idea behind the method let us briefly mention a subject which is often discussed: the analogy between Maxwell's and Dirac's equations. Both are linear systems of equations and each of them contains partial derivatives of the first order. Both Maxwell's and Dirac's equations are Lorentz invariant. We may remark, in passing, that in the case of Maxwell's equations the linearity may be an over-simplification which leads to the difficulties with infinite self-energies. But, if we consider only regular solutions, as we shall, we may ignore this difficulty.

Historically, the Maxwell and Dirac equations were each preceded by a scalar theory. In the case of Dirac's theory the preceding one was the Schrödinger theory, which is still applied to a wide range of quantum-mechanical problems. The scalar theories lead to one partial differential equation of the second-order containing the Laplacian or d'Alembertian. As these names indicate the study of such scalar equations is an important chapter in the mathematics of the nineteenth century. It led to potential theory, to Legendre, Laguerre, Jacobi, Tchebycheff, and Hermite polynomials and to Bessel functions, all of which form a part of mathematical physics which was completed by the time scalar field theories were being replaced by vector, tensor, and spinor theories.

Thus the technique of solving Maxwell's and Dirac's systems of equations became modeled upon the scalar theories. This is especially evident in the case of Maxwell's equations. There the usual procedure is to introduce a vector and a scalar potential and then obtain four equations of the type studied in a scalar theory. If you think about an application of Maxwell's theory to a wave guide with rectangular or circular cross section, or to an antenna, you see how the boundary conditions finally lead us to a set of ordinary differential equations of the second order.

In many respects the situation is even simpler in wave mechanics. There the boundary conditions are more intimately connected with the differential equation itself and they usually mean single-valuedness and quadratic integrability.

Thus, both in electromagnetic theory and in quantum theory, we are lead to equations of the type

d2y

dx2

 + r(x,m)y + λy = 0.

Here r(x,m) is a function which characterizes the particular problem. We shall assume m to be a non-negative integer

m = 0, 1, 2, ... ,

which is gained through the process of separating variables; its value is restricted by the boundary conditions. In most cases the boundary conditions require further that λ have discrete eigenvalues

λ0, λ1, λ2, ... , λl, ... .

Thus the typical eigenvalue problem can be represented by a lattice of points in the (l,m) plane

m  •   •   •   •   • 
 •   •   •   •   • 
 •   •   •   •   • 
 •   •   •   •   • 
 •   •   •   •   •  l

For every line connecting the lattice points and parallel to the m-axis there exists a λl. For every point on the lattice there exists a function ylm(x) satisfying some boundary conditions.

All we have done so far is to recapitulate an idea familiar to every theoretical physicist; it is a cornerstone of mathematical investigations of physical problems.

1.1 Characterization of the factorization method

The classical method consists in first finding general solutions of the differential equation and then determining the special values of λ which allow these solutions to satisfy the boundary conditions; thus the function ylm(x) belonging to each point on the lattice is obtained. This function can then be normalized and finally used, for example, to calculate transition probabilities.

The factorization method outflanks and unifies the historical approach. This new method leads directly to the eigenvalues and to a manufacturing process for the normalized eigenfunctions. The manufacturing process itself can then be used to calculate the transition probabilities.

The factorization method either treats the original first-order differential equations directly or replaces the second-order differential equation by an equivalent pair of first-order equations of the form

( k(x,m + 1) –  d

dx

) Ylm =  √λ – L(m + 1) Ylm+1,
( k(x,m) +  d

dx

) Ylm =  √λ – L(m) Ylm–1.

These equations can be obtained from a table of all possible factorizations. There are only six possibilities, and even these six are not independent. Once the proper factorization is found from the table, the eigenvalues and the manufacturing process for the eigenfunctions can be written down immediately.

The table can be used in other ways. For example, if the eigenvalues are already known, corresponding possible potential functions can be found from the table.

What is the range of validity of this new method? Let us concentrate our attention on wave mechanics. There we find some "pure" problems, by which we mean those which can be solved rigorously without the use of any perturbation or numerical procedure. All these pure problems can be solved quickly and in a unified way by the factorization method. Moreover, each of the six possible factorization types has a physical image in Maxwell's theory, or in quantum theory, or both.

Yet "purity," though a desirable phenomenon, is a rare one and as science and its techniques develop, the number of non-pure cases built around each pure case constantly increases. It is therefore gratifying to know that the factorization method can be generalized to handle perturbation problems. In some cases, as in the Stark effect, the method leads us more quickly than any other to the solution.

The factorization method owes its existence primarily to a paper by Schrödinger [41]. His ideas have since been considerably generalized [21, 22, 24, 25, 27, 28, 32, 42, 43, 46]. There were, however, earlier indications of the idea in Weyl's [51, p. 231] treatment of spherical harmonics with spin and Dirac's [9] treatment of angular momenta and the harmonic oscillator problem. More recently an alternative to the factorization method has been given by Inui [29].

Almost any section of this report can be read once the basic ideas in Chapter 2 have been understood.

2. Theory of the Factorization Method

In this chapter we begin by assuming that an equation has been factorized and then proceed to demonstrate, by developing five theorems, the consequences of this fact. We shall see that the factorizing of an equation enables us to write down immediately the desired eigenvalues and the normalized eigenfunctions.

In the next chapter we shall show how to find the factorization of a given equation. In fact, the problem of factorizing will be reduced to one of consulting a table of only six general types. This table, with many important special cases, is given at the end of the paper.

Thus this chapter and the next contain only the idea and technique of the factorization method on which the examples in the remainder of the paper are based. Almost any subsequent section can be read, without loss of continuity, immediately after reading Chapter 2.

[· · ·]

16. Acknowledgments

We are pleased to acknowledge the helpful criticism of Professor A.F.C. Stevenson who has followed the factorization method through each phase of its development.

We are also very grateful to Mr. J. Kennedy for his help in the preparation of Chapter 6 and to Professor W. Opechowski for his valuable criticism of the same chapter.

Other staff members at the University of Toronto and the University of British Columbia have been unsparing in their willingness to help with various problems which arose during the preparation of this report.

18. Bibliography

1. 

J. C. Adams, Collected Scientific Papers (Cambridge University Press, Teddington, 1900), Vol. II.

2. 

H. Bethe, Handbuch der Physik (Springer, Berlin, 1933), Vol. XXIV/1.

3. 

J. Bird, M.A. thesis, Toronto, 1949.

4. 

R. V. Churchill, Modern Operational Mathematics in Engineering (McGraw-Hill, New York, 1944).

5. 

E. U. Condon and G. H. Shortley, Theory of Atomic Spectra (Cambridge University Press, Teddington, 1935), p. 133.

6. 

R. Courant and D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik (Springer, Berlin, 1931), Vol. I.

7. 

D. M. Dennison, Revs. Modern Phys. 3 (1931) 280.

8. 

P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London) A133 (1931) 60.

9. 

P. A. M. Dirac, Principles of Quantum Mechanics (Clarendon Press, Oxford, 1935), 2nd ed.

10. 

P. A. M. Dirac, Principles of Quantum Mechanics (Clarendon Press, Oxford, 1947), 3rd ed.

11. 

J. L. Dunham, Phys. Rev. 34 (1929) 438.

12. 

G. F. D. Duff, Can. J. Math. 1 (1949) 379.

13. 

C. Eckart, Phys. Rev. 28 (1926) 927.

14. 

C. Eckart, Phys. Rev. 35 (1930) 1303.

15. 

W. M. Elsasser, Phys. Rev. 69 (1946) 106.

16. 

P. S. Epstein, Proc. Nat. Acad. Sci. 12 (1926) 629.

17. 

J. A. Gaunt, Roy. Soc. London, Phil. Trans. A228 (1929) 151.

18. 

J. A. Gaunt, Roy. Soc. London, Phil. Trans. A229 (1930) 163.

19. 

W. Gordon, Ann. Physik 2 (1929) 1031.

20. 

D. ter Haar, Phys. Rev. 70 (1946) 222.

21. 

T. E. Hull, Ph.D. thesis, Toronto, 1949.

22. 

T. E. Hull and L. Infeld, Phys. Rev. 74 (1948) 905.

23. 

H. R. Hulme, Proc. Roy. Soc. A138 (1932) 643.

24. 

L. Infeld, Phys. Rev. 59 (1941) 737.

25. 

L. Infeld, Trans. Roy. Soc. Can. 36 (1942) Sec. 3, 7.

26. 

L. Infeld, Phys. Rev. 72 (1947) 1125.

27. 

L. Infeld, Proc. Symposia Applied Math. (Am. Math. Soc., 1950) Vol. II, p. 58.

28. 

L. Infeld and A. Schild, Phys. Rev. 67 (1945) 121.

29. 

T. Inui, Prog. Theor. Phys. 3 (1948) 168 and 244.

30. 

M. H. Johnson and B. A. Lippmann, Phys. Rev. 76 (1949) 828.

31. 

M. H. Johnson and B. A. Lippmann, Phys. Rev. 77 (1950) 702.

32. 

C. C. Lin, Phys. Rev. 59 (1941) 841.

33. 

M. F. Manning and N. Rosen, Phys. Rev. 44 (1933) 953.

34. 

P. M. Morse, Phys. Rev. 34 (1929) 57.

35. 

Morse, Fisk, and Schiff, Phys. Rev. 50 (1936) 748.

36. 

G. Pöschl and E. Teller, Z. Physik 83 (1933) 143.

37. 

V. Rojanski, Introductory Quantum Mechanics (Prentice-Hall, New York, 1938).

38. 

N. Rosen and P. M. Morse, Phys. Rev. 42 (1932) 210.

39. 

E. Schrödinger, Ann. Physik 79 (1926) 361.

40. 

E. Schrödinger, Wave Mechanics (Blackie and Son, London, 1928).

41. 

E. Schrödinger, Proc. Roy. Irish Acad. A46 (1940) 9.

42. 

E. Schrödinger, Proc. Roy. Irish Acad. A46 (1941) 183.

43. 

E. Schrödinger, Proc. Roy. Irish Acad. A47 (1941) 53.

44. 

A. Sommerfeld, Atombau und Spectrallinien (Vierweg Sohn, 1929), Vol. II, pp. 24–32.

45. 

A. F. C. Stevenson, Phys. Rev. 59 (1941) 842.

46. 

A. F. C. Stevenson, not published.

47. 

G. Szegö, Orthogonal Polynomials (Am. Math. Soc., New York, 1939), Colloquium Publications XXIII.

48. 

I. Tamm, Z. Physik 71 (1931) 141.

49. 

C. Truesdell, A Unified Theory of Special Functions (Princeton University Press, Princeton, 1948).

50. 

G. Wentzel, Quantum Theory of Fields (Interscience, New York, 1949).

51. 

H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics (E.P.Dutton and Company, New York, 1931) 2nd (English) ed.

52. 

J. A. Wheeler, Proc Roy. Irish Acad. A50 (1944) 3.

53. 

E. T. Whittaker and G. N. Watson, Modern Analysis (Cambridge University Press, London, 1946), 4th ed.



Hosted by uCoz