Пути к хаосу *


Лео П. Каданов
Профессор физики Чикагского университета,
член Институтов Джеймса Франка и Энрико Ферми


Некоторые простые математические системы обнаруживают столь сложное поведение, что могут служить моделью перехода к хаотическому состоянию, а возможно, и моделью турбулентного течения в реальных гидродинамических системах.



Во многих случаях картина течения гидродинамических систем выглядит чрезвычайно сложной и явно неустойчивой, как, например, картина, изображённая на рис. 1. Подобные турбулентные течения столь быстро меняются со временем, что локальные измерения любой величины, описывающей поток, например, одной из компонент скорости, обнаруживают совершенно хаотическое поведение.

Рис. 1. Изображение турбулентного потока, выполненное Леонардо да Винчи. Обратите внимание, как большие вихри дробятся на более мелкие, а те в свою очередь распадаются на ещё меньшие. (Из Королевской библиотеки Виндзорского дворца, воспроизведено с разрешения.)


В то же время в таких течениях есть и своя скрытая упорядоченность, благодаря чему движение поддаётся анализу. Эта упорядоченность проявляется в том, что поток можно разбить на систему больших вихрей, каждый из которых состоит из меньших вихрей; последние в свою очередь содержат ещё меньшие вихри и т.д., как можно видеть на том же рис. 1. Один из подходов к пониманию явления турбулентности состоит в выяснении причины её возникновения. Если поместить какое-либо тело в поток жидкости, например, опору моста в русло реки, то при очень малых скоростях (рис. 2а) жидкость течёт плавно и стационарно. Такое течение называется ламинарным [1]. С ростом скорости (рис. 2б) в потоке образуются вихри, однако картина продолжает оставаться стационарной. При дальнейшем росте скорости возможен отрыв вихрей и их увлечение потоком; Возникает нестационарное течение, которое, например, можно наблюдать с моста. При этом скорость, измеренная в некоторой точке вниз по потоку за мостом, оказывается периодической функцией времени, как изображено на рис. 2в. Описанные изменения картины течения связаны с величиной безразмерного параметра — числа Рейнольдса Re, которое равно отношению произведения скорости, плотности и характерной длины (например, размера опоры моста) к коэффициенту динамической вязкости. При дальнейшем росте числа Re крупные вихри начинают порождать неупорядоченные внутренние вихри, и мы наблюдаем картину потока, изображённую на рис. 2г. В этом случае зависимость скорости от времени (см. второй столбец на рис. 2г) содержит как периодическую компоненту, так и нерегулярные отклонения. Если число Re возрастёт ещё больше, то возникает чрезвычайно сложное поле скоростей, и зависимость v(t) становится совершенно хаотической, как показано на рис. 2д. Именно такой характер имеет течение, изображённое на рис. 1.

Картина
течения
  Поведение
скорости
Спектральная
функция
 а 
 б 
 в 
 г 
 д 

Рис. 2. Гидродинамическое течение при различных значениях числа Рейнольдса Re. При малых Re течение ламинарное (а); с ростом Re течение сначала становится волнообразным (периодическим) (в) и, наконец, турбулентным (д). На рисунке для каждого значения числа Рейнольдса изображено изменение со временем одной компоненты скорости, измеренной в некоторой фиксированной точке потока. Показана также спектральная функция P(ω), соответствующая представленной зависимости скорости от времени.


Каждое течение может быть охарактеризовано своей спектральной функцией, или энергетическим спектром, дающим представление о распределении кинетической энергии по частотам движений. Спектральная функция P(ω) определяется как квадрат фурье-образа поля скоростей:

 T
 P(ω) =  1

 T

 eiωt v(tdt 2 ,
0

В третьем столбце на рис. 2 приведены спектральные функции течений, обсуждавшихся выше. Для стационарных течений (рис. 2а и 2б) график функции P(ω) сосредоточен вблизи нулевой частоты. В области периодичности (рис. 2в) возникают дополнительные пики при частотах, соответствующих как основному периоду колебаний, так и высшим гармоникам, частоты которых являются целыми кратными основной частоты. По мере хаотизации движения (рис. 2г) наряду с резкими спектральными линиями появляется размазанный по частотам плавный фон. Наконец, совершенно хаотическое движение обладает чисто непрерывным спектром.

Конечно, хотелось бы понять, каким образом происходит такой переход к турбулентности в гидродинамических системах. К сожалению, несмотря на многолетние усилия учёных разных специальностей, удовлетворительное решение этой проблемы до сих пор отсутствует. В данной статье рассматривается чрезвычайно упрощённая модель, в которой тем не менее имеет место процесс перехода к хаосу. При этом обсуждается, как связаны свойства модели с поведением гидродинамических систем, как их можно наблюдать и что уже обнаружено.

Руководящая идея используемого здесь подхода родственна той, которая применяется в теории критических явлений в физике конденсированных сред. Именно, чтобы понять очень сложный фазовый переход, выбирают очень простую систему, поведение которой качественно напоминает поведение многочастичной системы. Затем подробно изучают свойства такой упрощённой системы. В результате отыскиваются те «универсальные» характеристики поведения простых систем, которые, видимо, не зависят от конкретных деталей модели. Наконец, эти общие выводы применяются для анализа поведения гораздо более сложных систем.

Изучаемая здесь упрощённая модель на первый взгляд может показаться слишком простой и не содержащей ничего интересного. Однако на самом деле она имеет весьма сложную и упорядоченную структуру. Модель заключается в том, что рассматривается динамическая система, состояние которой задаётся одной переменной x. В начальный (нулевой) момент времени эта переменная имеет значение x0. В последующие дискретные моменты t = jτ она равна xj. Основное допущение модели состоит в том, что xj значение переменной на j этапе — определяет её значение на следующем этапе. Математически это выражается следующим образом:

 xj+1 = R(xj), (1)

где R(xj) — функция, описывающая динамику системы. Задача состоит в том, чтобы проследить эволюцию системы [2]. Это означает, что начиная с x0, следует найти x1 = R(x0), x2 = R(x1), и т.д., затем исследовать последовательность x0, x1, x2, ... . Наглядный пример такой системы состоит в следующем. Представим себе остров, населённый насекомыми; летом они выводятся и кладут яйца, а потомство появляется лишь следующим летом. В данном случае переменной является численность летней популяции. Точнее, xj есть отношение численности истинной летней популяции в j-м году к некоторому фиксированному значению. Представленная модель становится конкретной, если допустить, что численность популяции следующим летом, xj+1, связана с xj соотношением:

 xj+1 = rxjsxj2.

Здесь имеются два члена. Первый член представляет собой естественный прирост популяции, член sxj2 отвечает за снижение этого естественного роста из-за слишком большого числа насекомых. Если r больше единицы, то первый член выражает тот простой факт, что популяция возрастает в r раз каждый год. Если бы этот член был единственным, численность популяции росла бы экспоненциально. Второй член отражает снижение численности, связанное, например, с недостатком пищи, когда количество насекомых велико. Перенормируя уравнение, т.е. заменяя xj на (r/s)xj, можно привести уравнение к стандартному виду:

 xj+1 = rxj(1 – xj). (2)

Теперь задача состоит в изучении поведения решения этого уравнения, т.е. численности популяции, при больших j. В частности, представляет интерес поведение решения в зависимости от параметра скорости роста r. Можно считать, что r здесь играет роль числа Рейнольдса Re в гидродинамических системах. При этом для того, чтобы относительное значение численности популяции насекомых находилось между 0 и 1, следует ограничиться исследованием r между 0 и 4.

Поведение
популяции
Спектральная
функция
 а   0 < r < 1.   Популяция исчезает
 б   1 < r < 3.   Численность популяции достигает стационарного значения 
 в   r = 4.   Полный хаос
 г   r = 3,3.   2-стадийный цикл
 д   r = 3,5.   4-стадийный цикл
 е   r = 3,5668.   16-стадийный цикл

Рис. 3. Поведение численности популяции xj, подчиняющейся простому нелинейному уравнению воспроизведения (см. текст). Показана как временна́я эволюция, так и соответствующая спектральная функция при различных значениях параметра скорости роста r. Если параметр скорости роста превышает 3,0, то стационарное значение численности популяции отсутствует; в представленных здесь случаях численность популяции колеблется в пределах различных циклов. Эти осцилляции и приводят к пикам спектральной функции, причём каждый цикл высшего порядка даёт меньший вклад, чем предыдущие.


Изучим сначала поведение при малых r. Если r < 1, то насекомые живут в таких неблагоприятных условиях, что численность их популяции сокращается с каждым годом. При этом общий характер изменения численности популяции со временем выглядит примерно так, как на рис. 3а. Если, например, r = 1/2 и x0 = 1/2, то x1 = 1/8, и каждое следующее число xj имеет величину, меньшую чем 2–(j+2). Насекомые просто вымирают при любом начальном значении x0. Этот результат показан на рис. 4, где изображена зависимость окончательной численности популяции от r. Для всех r < 1 численность равна нулю. В некотором, весьма грубом смысле, можно провести аналогию между таким режимом и ламинарным (плавным) потоком на рис. 2а.

В области 1 < r < 3 обнаруживается простое поведение другого типа, которое можно уподобить ситуации со стационарными вихрями на рис. 2б. Если начать с любой точки x0 между 0 и 1, то численность популяции асимптотически приближается к ненулевому постоянному значению. Это значение можно найти, подставив в уравнение (2) вместо xj и xj+1 их предельные значения x*:

x* = rx*(1 – x*);

последнее уравнение имеет два решения: x* = 0 и

 x  = 1 – 1/r. (3)

Рис. 4. Зависимость стационарной численности популяции от параметра скорости роста r. Сплошными линиями показаны значения численности популяции xj, которые достигаются, когда j стремится к бесконечности. Если параметр скорости роста r меньше единицы, то популяция вырождается и исчезает. При r между 3 и 3,4 единственное значение отсутствует. В этой области численность популяции колеблется между двумя значениями, лежащими соответственно на верхней и нижней ветвях кривой. При r, превышающих 3,4, численность популяции колеблется уже между четырьмя ветвями и т.д. Эти осцилляции приводят к пикам в спектральной функции, изображённой на рис. 2. Обратите внимание на сильно нелинейный масштаб и на разрыв при r > 3,569. Поведение при параметре скорости роста, лежащем между 3,569 и 4, изображено на рис. 5. Здесь показан лишь континуум значений, которые может принимать численность популяции в случае истинно хаотического поведения при r = 4.
 

Рис. 5. Переход от циклического поведения к хаотическому. Изображены точки, полученные в результате 20 000 итераций вычисляемого значения численности популяции, начиная с некоторого начального значения. При возрастании параметра скорости роста от 3 до rc численность популяции колеблется между 2, 4, 8, ... 2n, ... значениями. При r = rc бесконечное число линий переходит в бесконечное число полос; значения численности популяции упорядоченно колеблются между полосами, однако внутри каждой полосы принимают случайные значения. Когда r становится больше rc, происходит слияние полос, и наконец, при r, превышающих r'2, остаётся единственная полоса значений, которые может принимать хаотически изменяющаяся численность популяции. Узкие белые полосы, например, область, обозначенная C3, соответствуют движениям, при которых в основном популяция принимает упорядоченные значения и лишь иногда перемежается хаосом. В отличие от сильно нелинейного масштаба на рис. 4 здесь масштаб линеен.


Такое самосогласованное значение x называется неподвижной точкой. Нулевое решение оказывается неустойчивым. Если исходное значение x0 очень мало (см. рис. 3б), то численность популяции с каждым годом будет расти, пока не достигнет значения, даваемого уравнением (3) и также изображённого на рис. 4. Можно считать, что подобное поведение соответствует течению, показанному на рис. 2б, когда поток зависит от времени.

Таким образом, поведение в области, где r < 3, легко понять. До сих пор в системе не возникает хаоса. Теперь перейдём к r = 4. На рис. 3в приведены значения x, которые получаются при этом r, когда x0 = 0,707. Как мы видим, численность популяции xj принимает все значения в интервале между нулём и единицей. При этом, хотя значение xj+n вполне определяется значением xj, для больших п приведённая зависимость выглядит скорее хаотической, чем строго детерминированной, каковой она является в действительности. Для малых n ещё можно обнаружить некоторую упорядоченность (например, малые xj порождают малые xj+1), однако при n → ∞ корреляции совершенно исчезают. При этом наблюдаемую картину можно вполне обоснованно назвать хаосом.

Для r = 4 (и только для этого значения!) уравнение (2) можно решить путём замены переменной:

xj = (1 – cos 2πθ)/2.

При такой замене уравнение (2) преобразуется следующим образом:

1 – cos 2πθj+1

2 

 = 4 ·  1 – cos 2πθj

2 

 ·  1 + cos 2πθj

2 

 =  1 – cos 4πθj

2 

.

Одним из его решений является θj+1 = 2θj, т.е.

 θj = 2θ0. (4)

Можно непосредственно убедиться в том, что это решение соответствует хаосу в системе. Действительно, поскольку значение xj связано с θj функцией cos 2πθj, добавление целого числа к θj (или замена знака) приводит к тому же самому значению xj. Поэтому если записать θj в обычной десятичной системе, например положив θj = 11,2693..., то можно просто отбросить 11. Ещё лучше использовать двоичную систему для θ0, положив, например

 θ0 1

 2 

 +  1

 8 

 +  1

 16 

 +  1

 64 

 = 0,101101... .

При этом умножение на 2 означает просто сдвиг запятой в «десятых», так что

 θ1 = 0,01101... ,
 θ2 = 0,1101... ,
 θ3 = 0,101... ,
 θ4 = 0,01... .

Таким образом, значения θj, порождаемые любым начальным θ0, зависят от j-го и следующих разрядов θ0. Это позволяет дать одно из возможных определений хаотического поведения: динамическая переменная xj при больших j принимает значения, которые чрезвычайно сильно зависят от точного начального значения x0. В рассматриваемом случае предположим, что имеются два начальных значения, x0 и x0, которые различаются на малое число ε и порождают две последовательности численности популяций xj и xj, начинающихся соответственно с x0 и x0. Тогда после j шагов разница между ними увеличивается до значения 2jε (см. также статью Дж. Форда «Случаен ли исход бросания монеты?» [3]).

В действительности представленные на рис. 3в результаты вычислений в определённом смысле некорректны. Вычисления проводились на компьютере с точностью до 16 знаков после запятой. При этом начальная ошибка порядка 10–16 после 50 шагов возрастает до неточности порядка единицы. Отсюда следует, что все значения после 50-го шага фактически не описывают поведение настоящего решения, порождаемого выбранным начальным значением, а зависят от некоторых случайных процессов в самом компьютере.

Возможно, здесь уместно упомянуть одну из основополагающих работ по современной стохастической теории, а именно обзорную статью метеоролога Эдварда Лоренца [4]. Имея в виду проблему прогноза погоды, он изучал систему, подобную рассматриваемой здесь при r = 4; конечное состояние этой системы является чрезвычайно чувствительной функцией от начального состояния. При этом с ростом длительности периода, на который прогнозируется поведение системы, как требования к начальным данным, так и необходимые вычислительные мощности растут по экспоненциальному закону. Правильный долгосрочный подробный прогноз погоды в настоящее время практически сделать невозможно.

Система при r = 4 является хаотической ещё и в другом смысле. Почти для всех случайно выбранных x0 (или θ0) множество порождаемых θj равномерно распределено между 0 и 1. Соответственно, вероятность p(y) того, что xj примет значение в интервале (yy + dy), пропорциональна 1/√y(1 – y) почти для всех начальных значений x0. Отсюда следует, что среднее по времени в такой хаотической системе имеет одну и ту же величину почти для любой начальной точки. Это распределение при r = 4 изображено в правой части рис. 4, где представлены все возможные окончательные значения x, лежащие между 0 и 1.

Наконец, последнее определение хаоса состоит в том, что спектральная функция системы
 N
 P(ω) =  1

 N

 eiωj xj 2
j=1
(5)

плавно зависит от частоты в широком диапазоне. При r = 4 и больших N эту функцию можно вычислить точно. Она оказывается совершенно плоской почти для любого x0.

В то же время существуют некоторые особые значения x0, приводящие к необычной картине поведения xj. Эту картину легче представить, если предварительно заметить, что всегда можно выбрать значение θj так, чтобы оно лежало в интервале (0, 1/2). Действительно, как уже говорилось, мы можем менять знак параметра θj и добавлять к нему любое целое число, не меняя значения xj. Поэтому рекуррентное соотношение для θj всегда можно представить в виде:

 θj+1 ì  2θj   при 0 ≤ θj ≤ 1/4,
í
î  1 – 2θj   при 1/4 ≤ θj ≤ 1/2.
(6)

Выбрав в качестве начального значения θ0 любое рациональное число, мы получим повторяющуюся последовательность θj или xj. Например, если положить θ0 = 1/3, то все последующие θj также будут равны 1/3, так что значение θ0 = 1/3 представляет собой неподвижную точку. Если начать с θ0 = 1/5, то последующие значения θj равны 2/5, 1/5, 2/5 и т.д. Таким образом, здесь имеет место циклическое поведение с длиной периода, равной 2. Приведём ещё одно решение: 1/9, 2/9, 4/9; оно имеет период 3. Вообще, уравнение (6) обладает периодическими решениями с любыми возможными периодами (см., например, [5]).

Итак, мы рассмотрели поведение решения уравнения (3) на больших временах, которое оказывается стационарным при r между 0 и 3 и абсолютно хаотическим при r = 4. Теперь пусть r лишь немного больше трёх. Попытаемся проследить, как появляются первые следы хаоса. Если r чуть больше трёх, неподвижная точка при x*, близком к 2/3, становится неустойчивой, и численность популяции начинает колебаться между бо́льшим и меньшим значениями. Сначала численность популяции насекомых мала. Они стремительно размножаются, откладывая большое количество яиц. Однако на следующий год численность популяции оказывается слишком высокой; возникает перенаселённость, в результате чего через год численность популяции вновь становится малой. Таким образом, в каждом нечётном году численность популяции будет высокой, а в каждом чётном году низкой. Интересно, что такого рода предсказания относительно периодического поведения с периодом, равным 7 годам, делал, согласно Библии, ещё Иосиф. В рассматриваемой здесь модели точные значения x в двухстадийном цикле даются выражением:

 x 1 + 1/r

 2 

 ±  (1 + 1/r)(1 – 3/r)

 2 

 .

Эти двухстадийные решения остаются устойчивыми при r, лежащем в интервале от 3 до 1 + √6 = 3,4495. Обозначим верхнее значение r, при котором двухстадийное решение становится неустойчивым, через r2. Для r, немного превышающих r2, устойчивым становится четырехстадийный цикл, показанный на рис. 3д. Основной период цикла вновь удвоился. И опять такое поведение оказывается устойчивым лишь до некоторого предельного значения r4. При r, превышающих r4, мы имеем восьмистадийный цикл, который устойчив в интервале от r4 до r8, а свыше r8 возникает шестнадцатистадийный цикл. Эти устойчивые решения приведены на рис. 4, где показано, как удваивается число значений x, которые достигаются в системе при бесконечно больших j. Последовательное удвоение происходит до тех пор, пока не будет достигнуто значение rc = 3,5699, при котором период цикла стремится к бесконечности.

Чтобы проследить, как возникает хаос в данной модели, обратимся к спектральной функции, определённой выражением (5). Если неподвижная точка устойчива, то спектральная функция имеет резкий пик при нулевой частоте. При двухстадийном режиме в спектре появляется ещё один максимум при ω = 1/2, как показано на рис. 3г. Конечно, эта частота равна обратному периоду движения. Если r лежит между r2 и r4, возникают ещё два максимума при ω = 1/4 и ω = 3/4, как изображено на рис. 3д. С ростом периода появляется всё больше спектральных линий, и, наконец, при rc их число становится бесконечно большим.

Понятно, однако, что спектр с бесконечно большим числом дискретных линий, конечно, — не то же самое, что широкополосный непрерывный спектр. Даже при r = rc в системе мы не имеем такого полного хаоса, как при r = 4. Тем не менее в данной модели возникновение бесконечного числа линий путём последовательного удвоения периода есть главный путь к порождению хаоса.

Чтобы сделать последний шаг в проводимом исследовании, обратимся к рис. 5, где так же, как и на рис. 4, изображена численность популяции после громадного числа итераций начального значения x0. Задача состоит в том, чтобы выяснить, как видоизменяется картина при r, лежащем между rc и 4. Сначала обратим внимание на основную часть картины, оставляя пока без внимания малые области, которые выглядят как белые полосы на более или менее однородном сером фоне и где вновь обнаруживается циклическое поведение.

Начнём с r = 4 и будем уменьшать r. Как было отмечено выше, почти любое начальное значение x0 порождает решения, которые в конце концов оказываются случайно распределёнными внутри целой полосы допустимых значений x. С уменьшением r эта полоса немного сужается, её границы определяются точками r(1 – r/4) и r/4, однако в других отношениях поведение системы качественно не меняется. При этом спектр не содержит никаких острых пиков. Однако поведение существенно меняется при r, меньших r2. Полоса здесь раздваивается, и при r между r2 и r4 численность популяции лежит где-то в нижней полосе на каждом чётном шагу и в верхней — на нечётном. При этом в спектре наряду с плавным широким фоном, создаваемым случайными блужданиями x внутри полосы, имеется также достаточно острый пик при ω = 1/2, происхождение которого связано с регулярными перескоками из одной полосы в другую. При r4 поведение системы вновь изменяется. Теперь появляются четыре полосы; пронумеруем их снизу вверх цифрами 1, 2, 3, 4. В таком режиме движение происходит следующим образом: из полосы 1 система перескакивает в полосу 3, затем в полосы 2 и 4, что, конечно, не случайно. Такой порядок в точности соответствует переходам в четырехстадийных циклах. При r, меньших r8, появляются восемь полос, при r, меньших r16 их уже становится шестнадцать и т.д. Когда возникнет 2n полос, численность популяции возвращается в данную исходную полосу после 2n шагов, однако внутри полосы она распределена совершенно хаотически, как и в случае r = 4. В 2n-полосной области в спектре имеются острые максимумы при частотах, кратных 2n, находящиеся на размазанном фоне, соответствующем случайным блужданиям внутри полосы. Вполне очевидно, что эти блуждания очень похожи на те, которые происходят при хаотическом движении, когда r = 4. Единственная разница заключается в масштабе. В случае 2n полос блуждания происходят только в пределах узких областей внутри каждой полосы. Добавим, что в результате блужданий система возвращается в данную полосу через каждые 2n шагов, так что изменение r приводит также к изменению временного масштаба. (Те читатели, которые знакомы с аппаратом ренормировок и скейлинга, могут поинтересоваться, нельзя ли воспользоваться масштабной инвариантностью для построения группы ренормировок процесса удвоения периода. Действительно, это можно сделать и уже сделано [6].)

Описанный процесс последовательного расщепления полос даёт возможность интерполировать поведение системы между полным хаосом при r = 4 и 2-стадийным циклом при r = rc. При подходе r к rc сверху число полос непрерывно возрастает и наконец при r = rc оно становится равным 2. Ширина полосы в этом процессе стремится к нулю, и каждая полоса переходит в одну из бесконечно большого числа линий, которые возникают при стремлении r к rc снизу.

Всё, что было сказано до сих пор, относится к изучаемой здесь модели, определяемой уравнением (2). Важно отметить, однако, что сам по себе процесс удвоения периода и расщепления полос фактически не зависит от деталей модели, а имеет место для любого отображения вида

 xj+1 = rf (xj),

если  f (0) = f (1) и  f  представляет собой гладкую функцию с единственным максимумом на интервале (0, 1). Фейгенбаум [6] рассмотрел несколько видов отображений и показал, что некоторые количественные характеристики процесса расщепления полос и удвоения периода вблизи rc, т.е. при большом значении периода, в равной мере относятся почти к любому отображению, имеющему плавный максимум, в котором вторая производная  f ″(x) отрицательна. В частности, напомним, что rq и rq представляют собой соответственно значения r, при которых впервые появляется q = 2n-стадийный цикл, либо впервые сливаются q = 2n полос (см. рис. 4 и 5, где изображены эти полосы и циклы). Когда n стремится к бесконечности, оба этих предельных значения приближаются к одному и тому же пределу rc. Фейгенбаум показал, что при больших n асимптотический закон приближения к пределу весьма прост:

 rqrc = Aδn,     rqrc = Aδn.

Здесь A и A, естественно, зависят от деталей поведения отображающей функции  f (x). Однако неожиданный и представляющий интерес результат упомянутой работы состоит в том, что число δ универсально, т.е. не меняется при переходе от одной отображающей функции к другой. Аналогичный результат был получен и для процесса расщепления значений xj. Если выбрать должным образом два соседних значения xj, принадлежащих 2n-стадийному циклу, то можно показать, что разность между ними убывает с ростом n как Bαn, причём число α универсально и равно 2,503... . Анализ поведения системы, основанный на ренормгруппе, подтверждает отмеченную универсальность и позволяет получить универсальные числа δ и α [6].

Можно задаться вопросом: коль скоро эти количественные результаты при больших n справедливы для любых математических отображений, то нельзя ли их приложить и к реальным динамическим системам? В частности, пусть xt представляет собой некоторую динамическую характеристику в момент времени t, a  f (xt) описывает, каким образом значение динамической характеристики при данном t определяет её значение в момент t + τ. Можно ли в такой системе на самом деле наблюдать процессы с удвоением периода, которые являются следствием математических свойств отображения  f (x)?

Было показано (см., например, [7, 8]), что нелинейные электрические контуры обнаруживают поведение, очень похожее на описанное выше. При изменении параметра r, определяющего поведение контура, будет наблюдаться последовательное удвоение периода какой-либо переменной, например напряжения. Более того, наблюдаемые значения α и δ совпадают с указанными выше.

Вообще говоря, неудивительно, что такая простая система, как электрический контур, состояние которой задаётся малым числом переменных, ведёт себя подобно решению задачи с отображающей функцией. Но что можно сказать о реальных гидродинамических системах, которые, конечно, гораздо сложнее? Нельзя ли и здесь обнаружить аналогичное поведение? Одним из направлений исследований, результаты которых могли бы быть сопоставлены с представленной здесь теорией динамического поведения, является экспериментальное изучение неустойчивости Рэлея–Бенара в жидких системах. Когда замкнутый объём жидкости медленно нагревается снизу, не возникает никаких течений. При бо́льших скоростях нагрева устанавливается стационарная конвекция. При ещё бо́льших скоростях нагрева возникает периодическая зависимость от времени. При дальнейшем росте скорости нагрева временна́я зависимость приобретает хаотический характер и обладает широкополосным спектром. Либхабер и Маурер [9] действительно наблюдали ряд последовательных удвоений периода при нагревании жидкого гелия в небольшой ячейке. При очень тщательной регулировке скорости нагрева была получена спектральная функция, изображённая на рис. 6 [9].

Рис. 6. Спектральная функция конвективного течения в небольшой ячейке, содержащей жидкий гелий, непосредственно при появлении неустойчивости Рэлея–Бенара. Ячейка нагревается снизу, а охлаждается сверху. В условиях этого опыта стационарная конвекция сменяется хаотическим движением, содержащим, однако, и упорядоченные компоненты, подобно течению, изображённому на рис. 2г и поведению численности популяции при значении параметра скорости роста, немного превышающем rc. Сплошная кривая — результат эксперимента. Серыми линиями показаны теоретически предсказанные положения пиков и их высоты: числа над теоретическими линиями отмечают их порядок, т.е. число удвоений периодов, связанных с данной линией. Видно, что здесь имеется основная частота колебаний (примерно 500 мГц). Остальные колебания приводят к пикам при частотах, целых кратных  f /2n, где n порядок осцилляции. (Воспроизведено из работы [9].)


Обратите внимание на качественное сходство между этим спектром реальной гидродинамической системы и спектром, показанным на рис. 3е. На самом деле сходство носит не только качественный характер. Теория предсказывает, что относительные высоты более слабых спектральных линий универсальным образом определяются закономерностями расщепления при больших n. В частности, по высоте линий можно определить значение α. Оказывается, что имеется вполне удовлетворительное согласие между экспериментальным значением α и значением, вычисленным по теории ренормгрупп. Таким образом, можно сказать, что удалось понять один из механизмов перехода к хаосу в одной реальной системе.

Однако фактически это лишь только начало повествования, а далеко не его конец. В описанных выше опытах Либхабера и Маурера [9] применялись ячейки с прямоугольным сечением. Параллельно Алерс и Берингер [10] провели ряд экспериментов с цилиндрическими ячейками. При этом наблюдался другой переход к хаосу. В действительности переход к хаосу за счёт, удвоения периода встречается весьма редко. Существуют ли в реальных системах другие, относительно универсальные пути к хаосу? Можно ли проанализировать их, привлекая для этого какую-либо достаточно простую модель? Ответы на эти вопросы пока не получены, хотя многие учёные пытаются их найти.

Ввиду того, что эксперименты указывают возможность других путей перехода к хаосу, имеет смысл вновь вернуться к общей задаче об отображении, задаваемом уравнением (1), и посмотреть, не содержит ли она ещё каких-либо дополнительных примеров интересного поведения. Оказывается, что изучаемое рекуррентное соотношение (2) действительно содержит ещё один класс переходов к хаосу. Обратимся к вертикальным белым полосам на рис. 5, в частности к самой широкой, обозначенной C3. Справа от C3 осуществляется переход к беспорядочному движению тем способом, который описан выше. Однако слева от этой области движение представляет собой устойчивый цикл с периодом, равным трём. Когда r превышает граничное значение r3, возникают области беспорядочного движения, сменяющиеся длительным интервалом (длиной порядка 1/√r3 – r) весьма упорядоченного движения, на котором система выглядит так, как будто она совершает циклическое движение с периодом, равным трём. Однако с течением времени такая цикличность движения системы постепенно нарушается. В конце концов, численности популяций расходятся настолько далеко, что опять появляется область явно случайного блуждания. Иными словами, можно сказать, что длительные периоды упорядоченного движения чередуются со вспышками беспорядка (рис. 7). Такой вид поведения называется перемежаемостью, и некоторые его свойства довольно подробно изучены [11]. Перемежаемость наблюдалась также и экспериментально, однако до сих пор ещё не до конца установлено достаточно точное соответствие между модельными и реальными системами.

Рис. 7. Перемежаемость: краткая остановка при почти упорядоченном поведении на пути к хаосу. Приведены значения численности популяции, когда параметр скорости роста лишь немного превосходит нижнюю границу области, обозначенной C3 на рис. 4. При значениях, чуть меньших граничного, поведение периодическое с тремя стационарными значениями x, равными 0,5; 0,96 и 0,16. Изображено только каждое третье значение x. На больших промежутках времени численность популяции изменяется упорядоченно с периодом, равным трём, однако эти промежутки перемежаются случайными интервалами, на которых поведение хаотическое.


В упомянутых до сих пор примерах возникновение хаотического поведения в модельных системах в конечном счёте было связано с наличием максимума у функции отображения  f (x) при некотором значении x. Отображения, не имеющие максимума, например отображение вида

 xj+1 = xj + Ω –   k

 sin 2πxj,
(7)

при |k|<1, не могут привести к какой-либо хаотической структуре. Такие системы называются «непересекающимися» по следующим причинам. Предположим, что в качестве начальных выбраны точки x0 и x0 и что через j шагов мы получаем соответственно значения xj и xj. Оказывается, что если в таких системах x0 < x0, то всегда и xj < xj, т.е. последовательность xj никогда не пересекает последовательность xj. Для приведённого выше отображения при |k|<1 имеют место два типа стационарных движений, причём оба плавные и нехаотические. При определённых значениях Ω поведение системы приобретает циклический характер, причём на длине цикла q значение x продвигается на p единиц за q шагов. В таком режиме xj+q = xj + p, и средняя скорость w продвижения x, которая в данном случае равна p/q, является рациональным числом. Этот вид движения можно назвать соизмеримым в том смысле, что длина цикла соизмерима с периодом функции sin 2πx в выражении (7). С другой стороны, Ω можно выбрать и так, чтобы средняя скорость продвижения за шаг была бы иррациональной. При таком несоизмеримом движении, если начать, скажем, с точки x0 = 0, то последующее движение будет описываться формулой:

 xj = jw + φ(jw), (8)

где φ(t) — периодическая функция t с периодом, равным единице.

Рассмотрим значения Ω, приводящие к соизмеримому движению для k < 1. В этом случае при k > 1 имеет место также упорядоченное циклическое движение. Однако бесконечно близко к каждому значению Ω, порождающему несоизмеримое движение при k < 1, существует область значений Ω, при которых движение оказывается хаотическим, если k лишь немного больше единицы. Это означает, что несоизмеримое движение неустойчиво по отношению к хаосу при k=1.

Описанная неустойчивость подробно ещё не изучена. В частном случае, когда средняя скорость w =½(√5 – 1), несоизмеримое движение при k = 1 анализировалось двумя группами учёных [12, 13]. (Другие иррациональные значения w, по всей видимости, приведут к качественно схожим, но количественно отличным результатам.) Анализ показал, что выражение (8) всё ещё описывает движение, однако непрерывная функция φ(t) становится при k = 1 «чрезвычайно шероховатой», в то время как при k < 1 она вполне гладкая. «Чрезвычайно шероховатой» я называю довольно специфическую функцию. Чтобы пояснить это, рассмотрим производную φ(t) функции φ в некоторой малой области t. Выберем произвольно малый интервал. Далее зададимся некоторым большим числом (скажем, 1050) и малым (например, 10–50). Пусть теперь k приближается к единице, оставаясь всегда меньше её. До тех пор, пока k меньше единицы, φ(t) представляет собой гладкую положительную функцию, нигде не обращающуюся в бесконечность. Однако, хотя φ гладкая функция, меняется она чрезвычайно резко. Так, например, всегда можно найти такое близкое к единице значение k, при котором функция φ(t) на любом произвольно выбранном интервале t принимает как значение, равное заранее заданному большому числу, так и значение, равное заданному малому числу. Если задать ещё более сильно различающиеся числа, то нужно просто взять ещё более близкое к единице значение k. Ясно, что возникает ситуация, при которой функция φ(t) существует и даёт решение более или менее физической задачи, однако функция, о которой идёт речь, при k = 1 оказывается нигде не дифференцируемой.

Такое необычное математическое поведение можно наблюдать экспериментально. Оно приводит к спектральной функции, состоящей из бесконечного числа дискретных линий, которые скапливаются вблизи ω = 0.

Несомненно, экспериментаторы будут искать спектральные функции подобного вида, чтобы наблюдать теоретически предсказанный переход к хаосу. В свою очередь теоретики, конечно, будут продолжать изучать свои модели, а также экспериментальные данные, в надежде обнаружить новые формы перехода к хаосу.

*   *   *

Эта статья была написана во время пребывания автора в Тель-Авивском университете и Вейцмановском институте. Автор с благодарностью отмечает, что многое о динамических системах он узнал от М. Фейгенбаума, а также от своих студентов Д. Бенсимона, С. Шенкера, М. Видома и А. Зисука. Бенсимон помог сделать часть приведённых здесь рисунков.

*

Leo P. Kadanoff. "Roads to Chaos" — Physics Today, December 1983, p. 46–63. Перевод с английского В.С. Потапова. PDF-файл с английским оригиналом можно найти на страничке, посвящённой хаосу и нелинейной физике, которую создал Hans Fogedby. E.G.A. назад к тексту



ЛИТЕРАТУРА

1.

Feynman R.P., Leighton R.В., Sands M., The Feynman Lectures in Physics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1964, v. II, ch. 41. [Имеется перевод: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1966, вып. 7, гл. 41.]

2.

May R.B. — Nature, 261, 459 (1976).

3.

Ford J. — Phys. Today, April 1983, p. 40. [Имеется перевод: Физика за рубежом. — М.: Мир, 1984, с. 186.]

4.

Lorenz E.N. — J. Atmos. Sci., 20, 130 (1963).

5.

Collet P., Eckmann J.-P. Iterated Maps on the Interval as Dynamical systems, Birkhäuser, Boston, 1980.

6.

Feigenbaum M.J. — J. Stat. Phys., 19, 25 (1978); 21, 669 (1979).

7.

Lindsay P.S. — Phys. Rev. Lett., 47, 1349 (1981).

8.

Testa J., Perez J., Jeffries C. — Phys. Rev. Lett., 48, 715 (1982).

9.

Libchaber A., Maurer J. — J. Phys. (Paris), 41, C3, 51 (1980).

10.

Ahlers G., Behringer R.P. — Prog. Theor. Phys. Suppl., 64, 186 (1978).

11.

Manneville P., Pomeau Y. — Phys. Lett., 75A, 1 (1979).

12.

Feigenbaum M.J., Kadanoff L.P., Shenker S.J. — Physica, 5D, 370 (1982).

13.

Rand D., Ostlund S., Setna J., Siggia E.D. — Phys. Rev. Lett., 49, 132 (1982).




Новый глобальный фрактальный формализм описывает различные сценарии перехода к хаосу *


Б. Г. Леви


Одним из стимулов интенсивного исследования нелинейных физических систем была надежда на то, что, несмотря на свою сложную структуру, они всё же обладают некоторыми универсальными характеристиками, общими для целых классов сходных нелинейных процессов. Наиболее поразительное воплощение эта надежда получила несколько лет назад, когда Митчелл Фейгенбаум (работавший тогда в Лос-Аламосе, а позднее перешедший в Корнеллский университет) обнаружил, что небольшое число универсальных (не зависящих от конкретных деталей динамики) отношений характеризует все системы, претерпевающие при переходе к турбулентности бесконечную последовательность удвоений периода [1]. При этом система Фейгенбаума входит в сложный режим, в котором удаётся выявить масштабно-инвариантную, или фрактальную, структуру. Недавно группа теоретиков разработала метод, позволяющий описывать новую глобальную структуру таких фрактальных объектов. Предсказания, сделанные на основе предложенного формализма, хорошо согласуются с результатами измерений, произведённых в Чикагском университете в экспериментах над жидкостью, переходящей к хаосу по двум различным сценариям.

Теоретический подход. Формализм был разработан [1] Томасом Ч. Хелси, Могенсом X. Иенсеном и Лео П. Кадановым (Чикагский университет), Итамаром Прокачча (Институт Вейцмана) и Борисом И. Шрайманом (Лаборатория фирмы «Белл»). Их работу проще всего понять на примере — применительно к той конкретной динамической системе, на которой была произведена экспериментальная проверка теории [2]. В качестве системы была выбрана система Рэлея–Бенара с внешним возбуждением. Измерения проводились в Чикаго Альбертом Либхабером, Джоэлем Стевансом, Джеймсом Глейзьером и Франсуа Эсло.

Их экспериментальная установка состоит из кюветы с ртутью, подогреваемой снизу и охлаждаемой сверху. Когда градиент температуры становится достаточно большим, в жидкости возникают два вихря (конвективных ролика, или вала), вращающихся навстречу друг другу так, что в середине кюветы течение направлено вверх, а у стенок — вниз. При дальнейшем увеличении градиента конвективные ролики начинают осциллировать. Воображаемая линия, проходящая между роликами параллельно их осям, с малой амплитудой колеблется в горизонтальной плоскости. Помимо этих конвективных колебаний с собственной частотой в системе возбуждают колебания другой частоты, обусловленные вынуждающей пондеромоторной силой. Для этого в центральной части кюветы через ртуть (проводящую жидкость) в вертикальном направлении пропускают переменный ток, а в горизонтальном направлении параллельно осям конвективных роликов прилагают постоянное магнитное поле.

Если эти две частоты несоизмеримы, траектория системы в фазовом пространстве лежит на поверхности некоторого тора. Когда амплитуда переменного тока, возрастая, смещает систему к хаотическому, или турбулентному, режиму, этот тор сильно деформируется. Его поперечное сечение плоскостью, построенное по данным экспериментальных измерений вблизи порога, за которым наступает хаос, показано на рис. 1. Это так называемая критическая орбита. Она построена по измерениям температуры системы, производившимся в дискретные моменты времени с интервалом, равным периоду вынуждающей силы.

Рис. 1. Критическая орбита — это траектория системы в фазовом пространстве в момент перехода системы к хаосу. Изображённая здесь орбита представляет собой сечение деформированного тора плоскостью. Оно было построено по измерениям температуры, произведённым в ртутной ячейке при конвективных и электромагнитных колебаниях [3].


Даже бегло взглянув на рисунок, мы видим, что в одни области фазового пространства траектория попадает чаще, чем в другие. Новый формализм предназначен для описания этих вариаций плотности изображающих точек или их скопления в отдельных местах на такой критической орбите (или в других аналогичных структурах, возникающих при других сценариях перехода к хаосу). Прежде всего предлагается формула для вероятности pi того, что на расстоянии от данной точки, не большем l, окажется другая точка:

pi = lα i (l).

Показатель α (так называемый критический показатель) может принимать значения в некотором интервале. Распределение этих значений называется спектром сингулярностей и обозначается  f (α). Грубо говоря, функция  f (α) показывает, сколько раз встречается каждый критический показатель, т.е. каждый закон подобия; следовательно,  f  можно представлять себе как своего рода энтропию. Такой подход позволяет описывать критическую орбиту как совокупность взаимосвязанных множеств сингулярностей, каждое из которых характеризуется своим значением показателя α.

Для описания конкретной физической системы с помощью нового формализма нужна модель системы. Некоторые эксперименты над системой Рэлея–Бенара с внешним возбуждением показали, что её критическую орбиту можно удовлетворительно моделировать с помощью нелинейного отображения окружности на себя. Оно имеет вид

 θn+1 = θn – ω –  α

 sin(2πθn).

Это отображение позволило теоретикам предсказать, что кривая  f (α) (спектр сингулярностей  f  в функции критического показателя α) должна выглядеть как кривая, показанная на рис. 2 справа. Были получены и экспериментальные данные (точки на кривой справа), очень хорошо согласующиеся с предсказанием теории. Спектр, приведённый слева, показывает столь же хорошее согласие между теорией и экспериментом для случая, когда система Рэлея–Бенара с внешним возбуждением переходит к хаосу по сценарию удвоения периода.

Рис. 2. Спектры сингулярностей  f (α) показывают, грубо говоря, как часто встречается данное значение критического показателя α. Правая спектральная кривая соответствует критической орбите, изображённой на рис. 1, для системы Рэлея–Бенара с внешним возбуждением при переходе к хаосу по квазипериодическому сценарию. Левая кривая соответствует переходу системы к хаосу по сценарию удвоения периода.


Начавшись отчасти с пионерских работ Бенуа Мандельброта (фирма ИБМ) около десяти лет назад, исследования фрактальных систем достигли особого расцвета в последние годы. Основная идея представления глобальной структуры фракталов с помощью описанного выше формализма восходит к работе Уриеля Фриша (Обсерватория в Ницце) и Джорджо Паризи (Римский университет) по развитой турбулентности [4]. Позднее Роберто Бенци (Римский научно-исследовательский центр ИБМ), Джованни Паладин (Римский университет), Паризи и А. Вульпиани (Римский университет) развили те же идеи и применили их к описанию зависимости между величиной скорости в точке (α) и числом точек, в которых скорость равна заданной ( f ) [5]. Холси, Пол Микин (фирма «Дюпон») и Прокачча в дальнейшем использовали тот же подход к исследованию явлений агрегации, но в своей работе не представили  f  в виде непрерывной функции [6].

Переход к хаосу по квазипериодическому сценарию. Система Рэлея–Бенара с внешним возбуждением относится к классу систем с двумя частотами. Если эти две частоты соизмеримы, то в некотором конечном интервале изменения управляющего параметра (в нашем примере — амплитуды переменного тока) происходит синхронизация и в системе устанавливаются колебания с одной частотой. Такая система может переходить к хаосу по сценарию удвоения периода (с увеличением управляющего параметра период претерпевает последовательность удвоений). Однако этот сценарий не единствен.

Если две частоты несоизмеримы (их отношение называется числом вращения), синхронизация по определению не происходит. Спектр системы в этом случае можно представить в виде суммы линейных комбинаций основных частот, причём по мере перехода системы к хаосу число таких комбинаций возрастает. В этом случае говорят, что система переходит к хаосу по квазипериодическому сценарию. На рис. 2 этому сценарию соответствует кривая, изображённая справа.

Скотт Шенкер (Научно-исследовательский центр корпорации «Ксерокс» в Пало-Альто) впервые проанализировал квазипериодические системы на феноменологическом уровне в 1982 г. Вскоре после него Фейгенбаум, Каданов и Шенкер исследовали квазипериодические системы более подробно. Одновременно с ними такую же работу проделали две группы: Стеллан Остлунн (Пенсильванский университет), Дэвид Рэнд (Уорвик, Великобритания) и Джеймс Сетна, Эрик Сиггиа (оба из Корнеллского университета). Все они моделировали систему с помощью отображения окружности на себя. Как показали эти исследования, переход к хаосу перестаёт зависеть от конкретных деталей динамики, когда число вращения равно (√5 – 1)/2. (Это классическое иррациональное число, возникающее при «золотом сечении» отрезка и носящее название золотого среднего). В этом случае и теоретический анализ, и экспериментальные исследования проводятся особенно просто.

Последующие эксперименты над ячейками Рэлея–Бенара с числом вращения, равным золотому среднему, подтвердили универсальные свойства, предсказанные теорией. В ячейке Рэлея–Бенара с водой Арон Фейн (ныне в ИБМ, Йорктаун-Хайтс), Майк Хойтмейкер и Джерри Голлуб (оба из Хейверфордского колледжа) обнаружили некоторые признаки самоподобия спектра [7], т.е. установили, что распределение пиков в спектре с точностью до преобразования подобия совпадает с предсказанным теорией. Стеванс, Эсло и Либхабер выполнили аналогичный эксперимент [8], но, чтобы повысить чувствительность системы к изменению числа вращения, они заполняли кювету не водой, а ртутью и использовали не тепловое, а электромагнитное возбуждение. Эта группа исследователей также обнаружила регулярность в распределении пиков спектра и, кроме того, измерила универсальный параметр. Как показали эти измерения, критическую орбиту можно описать с помощью отображения окружности на себя.

Новый подход, использующий универсальный формализм, в определённом смысле можно противопоставить подходу Фейгенбаума при исследовании перехода к хаосу по сценарию удвоения периода. Как отмечает Каданов, значительная часть теоретической работы ранее была сосредоточена на детальном анализе характерных точек в фазовом пространстве, между тем как новый формализм приводит к глобальному описанию орбит в фазовом пространстве. Фейгенбаум полагает, что формализм, разработанный Кадановым и его сотрудниками, сосредоточивая внимание на грубой, а не детальной информации о глобальных свойствах, имеет весьма хорошие шансы на экспериментальное подтверждение. Кривую  f (α) Фейгенбаум сравнивает с термодинамической функцией, в которой для получения величины, легко измеримой в эксперименте, необходимо просуммировать имеющуюся микроскопическую информацию. Фейгенбаум обращает также внимание на то обстоятельство, что новый подход, представимый с помощью формализма статистической механики, устанавливает некоторые связи между физикой стохастических явлений и более традиционной физикой. Однако сам Фейгенбаум продолжает развивать более традиционные термодинамические соображения.

По мнению Остлунна, новый подход, позволяющий получать феноменологическое описание любого объекта, особенно полезен при описании фракталов с многими критическими показателями. Остлунн считает новый подход дополнительным по отношению к вычислению характерных показателей на основе теории ренормгруппы. В первых работах по новому формализму использовалась не теория ренормгруппы, а выбиралось отображение и анализировались генерируемые этим отображением данные. Позднее, применив ренормгрупповой подход, Каданов, Иенсен и Дэвид Бенсимон (Чикагский университет) получили те же результаты из первых принципов [9].

*

Barbara Goss Levi. "New global fractal formalism describes paths to turbulence" — Physics Today, April 1986, p. 17–18. Перевод с английского Ю.А. Данилова. назад к тексту



ЛИТЕРАТУРА

1.

Feigenbaum M.J. — J. Stat. Phys., 19, 25 (1978); Phys. Lett., 74A, 375 (1979). [Имеется перевод более ранней работы: УФН, 1983, т. 141, вып. 2, с. 343.]

2.

Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L.P., Procaccia I., Shraiman B.I. — Phys. Rev., A33, 1411 (1986).

3.

Jensen M.H., Kadanoff L.P., Libchaber A., Procaccia I., Stavans J. — Phys. Rev. Lett., 55, 2798 (1985).

4.

Frisch U., Parisi G. — In: Turbulence and Predicability of Geophysical Flows and Climate Dynamics (Eds. M. Ghil, R. Benzi, G. Parisi): New York, North-Holland, 1985.

5.

Benzi R., Paladin G., Parisi G., Vulpiani A. — J. Phys. A: Gen. Phys., 17, 3521 (1984).

6.

Halsey T.C., Meakin P., Procaccia I. — Phys. Rev. Lett., 56, 854 (1986).

7.

Fein A., Heutmaker M.S., Gollub J.P. — Phys. Scr., T9, 79 (1985).

8.

Stavans J., Heslot F., Libchaber A. — Phys. Rev. Lett., 55, 596 (1985).

9.

Bensimon D., Jensen M.H., Kadanoff L.P. — Phys. Rev. A (в печати);
Kadanoff L.P. — J. Stat. Phys. (в печати).


Hosted by uCoz