В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии.

Так называемая малая ¹ теорема Ферма — одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p,

т.е. a^p–1 – 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов [1]. Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа.

Во-первых, докажем, что если p — любое простое число, то 2^p – 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга s_i = ±1. В пространстве 2^p возможных конфигураций α = (s₁, s₂, ..., s_p) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T ⁿα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T ^pα, поскольку T ^p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p — простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону)

Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T ⁿα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n<p отсюда следовало бы, что n — делитель числа p. Поскольку p — простое число, такое возможно только в том случае, когда n=1; это даёт две тривиальные конфигурации.

То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп.

Во-вторых, заметим, что число 2^p – 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2^p – 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2^p–1 – 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)ⁿα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)^2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов.

Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга s_i, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (–j, –j+1, ..., j). Всего существует a^p конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность a^p – a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные s_i на единицу, за исключением того случая, когда s_i = j (в этом случае s_i под действием оператора I переходит в s_i = –j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)^apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n < ap имеем α ≠ (TI)ⁿα. В противном случае мы получили бы α = (TI)^aα для любого α. Следовательно, если a не кратно p, то каждая конфигурация принадлежит какому-то классу из ap различных элементов, так что (a^p – a)/ap и (a^p–1 – 1)/p являются целыми числами. Тем самым малая теорема Ферма полностью доказана.

Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных.

Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m — произведение двух различных простых чисел p₁ и p₂, то можно показать, что

делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (a^m–1 –1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p₁^a1p₂^a2... p_n^an, где p_i — простые, а a_i — целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение:

Это есть не что иное, как обобщение малой теоремы Ферма на случай составных чисел. «Доказательство» проводится так же, как и прежде. Первый член равен общему числу конфигураций за вычетом трансляционно-инвариантных конфигураций. Второй член соответствует вычитанию циклических конфигураций с периодом m/p_i , однако при этом конфигурации с периодом m/p_i p_j  вычитаются дважды — один раз как конфигурации с периодом m/p_i , а другой раз как конфигурации с периодом m/p_j . Следовательно, чтобы результат получился верным, к сумме необходимо прибавить число конфигураций с периодом m/p_i p_j . Но добавив число таких конфигураций, мы добавим слишком много, поскольку конфигурация с периодом m/p_i p_j p_k  сначала три раза вычиталась (в конфигурациях с периодом m/p_i , m/p_j  и m/p_k ), а затем трижды прибавлялась (в конфигурациях с периодами m/p_i p_j , m/p_i p_k  и m/p_j p_k ). Следовательно, её необходимо исключить ещё один раз, и т.д. В результате мы получаем приведённое выше выражение, которое даёт число конфигураций, не включающих ни одного из указанных выше подпериодов. Эти конфигурации можно разбить на классы, содержащие по m элементов. Следовательно, число таких конфигураций должно делиться на m без остатка.

Авторы благодарят Перси Диакониса, обратившего их внимание на аналогичное доказательство малой теоремы Ферма, предложенное Голомбом [2] [Статейка небольшая, тоже выкладываю чуть ниже. — E.G.A.]. Однако в статье Голомба не рассматриваются ни физический смысл простых чисел, ни возможные обобщения малой теоремы Ферма на случай составных чисел.

В заключение мы хотели бы поведать читателю, что нами найдена интересная аналогия с простыми числами, которая связана с отсутствием симметрии у некоторых физических систем.

ПРИМЕЧАНИЯ

ЛИТЕРАТУРА

COMBINATORIAL PROOF OF FERMAT'S "LITTLE" THEOREM

It is possible to give an interesting, purely combinatorial proof of Fermat's theorem that n^p – n is divisible by p, for any positive integer n, and any prime number p.

Suppose we have beads in n different colors, and we wish to make necklaces using exactly p beads. First we put p beads on a string. Since each of the beads can be chosen in n ways, there are n^p possible strings. For each of the n colors, there is one string entirely of that color. We throw these away, leaving n^p – n strings. We will join the two ends of each of these strings to form necklaces. But we observe that if two strings differ only by a cyclic permutation of the beads, the resulting necklaces will be indistinguishable. Since there are p cyclic permutations of the p beads on a string, the number of distinguishable necklaces is (n^p – n)/p, which must therefore be an integer.

If it is permitted to flip the necklaces over, there are only (n^p – n)/2p distinguishable cases, so that this too must be an integer, unless p = 2.

If this proof is used in the classroom, it is of pedagogic value to ask the class:

1. Where is the hypothesis that p is prime used in the proof?

and

2. In view of the fact that there are n! ways to permute the n colors, is it further true that n! divides (n^p – n)/p?

A somewhat analogous combinatorial proof of Wilson's Theorem is given by R. D. Carmichael (The Theory of Numbers, p. 50), who shows that ((p–1)! – (p–1))/2p is the precise number of distinct irregular stellated p-gons.