В протоколе заседания Лондонского королевского общества от 28 апреля 1686 г. имеется следующая запись ¹: «Д-р Винсент представил Обществу рукописный трактат, озаглавленный «Математические начала натуральной философии» [В дальнейшем для краткости будем называть их «Началами». — Прим. перев.] и посвящённый Обществу достопочтенным Исааком Ньютоном. Автор трактата приводит математическое доказательство гипотезы Коперника небесных движений из единственного допущения о силе тяготения, направленной к центру Солнца и убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния от означенного центра».

В этих словах — истоки одного из наиболее удивительных заблуждений в истории науки нового времени. Перед нами стоит нелёгкая задача — доказать, что «формула основного открытия» ньютоновских «Начал», приведённая в протоколе Королевского общества, породила лишённую какого бы то ни было основания легенду, и предложить правдоподобное объяснение тому странному обстоятельству, что на протяжении почти трёхсот лет никто даже не усомнился в истинности ньютоновского доказательства, приведённого в «Началах».

Почти каждый изучавший физику знает, что под действием силы притяжения, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от некоторого неподвижного центра, тело движется по одному из конических сечений — эллипсу, гиперболе или параболе — с фокусом, совпадающим с неподвижным центром притяжения. (Окружность входит в число конических сечений как частный случай эллипса; случай движения по прямой, проходящей через силовой центр, обычно не представляет интереса и не рассматривается.) Существует немало математически корректных доказательств того, что орбита тела, движущегося под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, совпадает с одним из конических сечений ². Одно из первых доказательств, знакомое большинству из нас, было приведено в «Началах» Ньютона, как о том свидетельствует запись в протоколе заседаний Королевского общества и письмо, написанное Эдмундом Галлеем ³ менее чем через месяц после этой записи одному корреспонденту в Германии 16 мая 1686 г.: «...Он (Ньютон) с лёгкостью выводит, что тела... под действием силы тяготения [обратно пропорциональной квадрату расстояния] с необходимостью описывают либо окружности, либо эллипсы, либо параболы или гиперболы...» Аналогичные утверждения продолжают появляться на страницах учебников по физике и в наше время ⁴. Однако, как показывает тщательное изучение текста «Начал» ⁵, рассуждения, обычно принимаемые за доказательство того, что под действием силы тяготения ~1/r² тела движутся по орбитам, совпадающим с одним из конических сечений, в действительности содержат логическую ошибку, усугубляемую сбивающей с толку словесной «дымовой завесой», которая вот уже триста лет вводит в заблуждение тех, кто изучает наследие Ньютона.

Столь сильное утверждение, противоречащее устоявшейся общепринятой традиции, требует безупречного обоснования. Разумеется, основные факты содержатся в самих «Началах» [Русский перевод знаменитого сочинения Ньютона выполнен акад. А. Н. Крыловым и издавался дважды: в двух тетрадях выпуска V «Известий николаевской морской академии» (Петроград, 1916) и в т. VII «Собрания трудов академика А. Н. Крылова» (М.–Л.: изд-во АН СССР, 1936). Все цитаты из ньютоновских «Начал» даются в дальнейшем в переводе А. Н. Крылова. — Прим. перев. После 1984 года было ещё одно переиздание «Начал» — факсимильное воспроизведение издания 1936 года в серии «Классики науки» (М., Наука, 1989). — E.G.A.]; нам необходимо тщательно изучить соответствующие фрагменты. В предложении XI книги I Ньютон показывает, что если тело движется по эллиптической орбите под действием центростремительной силы, направленной к одному из фокусов эллипса, то величина силы должна изменяться обратно пропорционально квадрату расстояния от этого фокуса. В предложении XII он доказывает аналогичное утверждение для гиперболической орбиты; в предложении XIII Ньютон завершает перебор конических сечений рассмотрением параболической орбиты и выводит для величины силы тот же закон обратных квадратов. Из трёх предложений XI–XIII следует, что если орбита представляет собой одно из конических сечений и сила направлена к фокусу сечения, то величина силы должна изменяться по закону обратных квадратов. В следствии 1 из предложения XIII читаем ⁵:

«Из последних трёх предложений следует, что если какое-нибудь тело P выходит из места P по направлению прямой PR с какой-нибудь скоростью и находится под действием центростремительной силы, обратно пропорциональной квадратам расстояний до центра S, то это тело будет двигаться по коническому сечению, коего фокус лежит в центре сил, и наоборот».

Именно так сформулировал Ньютон следствие 1 в представленной Королевскому обществу рукописи и в первом издании «Начал» (1687 г.): доказав теорему, Ньютон ограничился голословным утверждением, что из неё следует обратное утверждение, в то время как оно с очевидностью nonsequitur (не следует). (Изящное выражение «и наоборот» в конце приведённого выше отрывка из следствия 1 по существу тавтологично, оно лишь повторяет теорему, доказанную в предложениях XI–XIII.)

Вывод о том, будто «тела под действием центральной силы, величина которой изменяется по закону обратных квадратов, движутся по коническим сечениям», не следует (вопреки тому, что утверждалось в первом издании «Начал») из трёх предложений XI–XIII. На это ещё в 1710 г. обратил внимание Иоганн Бернулли ⁶. Тем временем Ньютон также осознал возникшую трудность. В октябре 1709 г. он распорядился дополнить в подготавливаемом к печати втором издании «Начал» (1713 г.) приведённый выше отрывок из следствия 1 двумя фразами (номера в квадратных скобках введены здесь для удобства ссылок);

[1] «Ибо при заданных фокусе, точке касания, положении касательной можно построить лишь одно коническое сечение, имеющее в этой точке заданную кривизну».

[2] «Кривизна же найдётся по заданной скорости и известной центростремительной силе;

[3] под действием той же центростремительной силы и при той же скорости не могут быть описываемы две различные орбиты, касающиеся друг друга».

Тем самым, как считают поныне изучающие наследие Ньютона, пробел в доказательстве был восполнен (или по крайней мере указано недостающее звено в цепи рассуждений) и возражение, выдвинутое Бернулли, устранено.

В действительности внесённое Ньютоном дополнение отнюдь не восполняет пробел. Оно лишь в явном виде формулирует единственность орбиты при заданном законе изменения силы и известных начальных координатах и скорости. Смысл двух вставленных во втором издании фраз сводится к тому, что если орбита тела, совершающего движение под действием убывающей по закону обратных квадратов центральной силы, совпадает с одним из конических сечений, то это коническое сечение однозначно определяется начальными условиями. Даже в совокупности с тремя предложениями XI–XIII дополнение отнюдь не доказывает (хотя и предназначено для этого), что если центральная сила убывает как обратный квадрат расстояния, то тело под действием такой силы движется по орбите, совпадающей с одним из конических сечений. (Мы не останавливаемся здесь на том, что все три части дополнения приведены без доказательств. Наши возражения направлены не против восполнимых пробелов. Мы намереваемся показать, что в цепи логических рассуждений отсутствует важное звено и эта брешь неустранима. О различии между восполнимым пробелом и неустранимым разрывом в ходе рассуждений ещё пойдёт речь дальше.) Дополнение из двух фраз, сохранившееся в первоначальном виде со времён второго издания «Начал», служит лишь своего рода дымовой завесой, не затрагивающей главного, и затемняет существо спорного утверждения, возникшего из-за слова «следует» в дошедшей до нас в первоначальной редакции первой фразе следствия 1 из предложения XIII.

Немало времени прошло с тех пор, как я впервые раскрыл «Начала», прежде чем мне удалось избавиться от чрезмерной почтительности к авторитету Ньютона. Мысль о том, что на страницах великого сочинения Ньютона какое-то математическое доказательство может оказаться некорректным, казалась кощунственной! Все авторы, с работами которых мне довелось ознакомиться, сходились во мнении, что «Математические начала натуральной философии» Ньютона — непревзойдённый шедевр научной литературы ⁷. Но стоило мне, позабыв об авторитетах, положиться на здравость собственных математических суждений и способность рассуждать логически, как указанная выше логическая ошибка стала вполне очевидной ⁸. Обнаружив ошибку, я, естественно, счёл, что она давно известна историкам науки, изучающим труды Ньютона, и был поражён, что большинство о ней ничего не знает. Я перестал удивляться, когда установил, что историкам науки, вопреки казавшемуся мне столь естественным допущению об их осведомлённости, не известно о замеченной мной логической ошибке.

Вопрос о том, как могло случиться, что на протяжении трёхсот лет учёные, изучающие наследие Ньютона, не могли заметить логической ошибки, мы обсудим ниже. Более удивительно другое: некоторые весьма известные из числа ныне здравствующих англоязычных авторов не сумели обнаружить ошибку в предложенном Ньютоном доказательстве даже после того, как им было указано на неё с помощью приведённых выше аргументов ⁹. Потерпев неудачу, я извлёк для себя два вывода: во-первых, понял, что суть дела не так проста, как мне казалось, и, во-вторых, глубже осознал, что две последние фразы в окончательной редакции следствия 1 служат своего рода дымовой завесой, затемняющей ясность общего хода рассуждений, и под её покровом заведомо порочные аргументы воспринимаются как вполне надёжные. Трудно поверить в то, что Ньютон умышленно отвёл двум фразам, добавленным во втором издании «Начал», роль «отвлекающего фактора». Скорее всего Ньютон добросовестно заблуждался, считая, что внесённое им дополнение к следствию 1 завершает общий ход доказательства ¹⁰ (такое предположение тем более правдоподобно, что до 1709 г. Ньютон в течение довольно долгого времени был оторван от серьёзной научной работы). Как бы то ни было, я должен был придать своим рассуждениям большую убедительность и изложить их с достаточной ясностью, исключающей возможность ответной критики.

Проще всего было бы формализовать аргументацию, обозначив для краткости используемые в ней утверждения символами:

P — орбита тела, движущегося под действием центральной силы, имеет форму конического сечения с фокусом в точке, к которой направлена сила;

Q — действующая на тело сила, направленная к заданной неподвижной точке, обратно пропорциональна квадрату расстояния от этой точки.

1. Предложения XI–XIII «Начал» доказывают, что «если P, то Q» («Из P следует Q»).

2. В первой фразе следствия 1 из предложения XIII «Начал» утверждается, что из п. 1 следует высказывание «если Q, то P», и наоборот. Последние два слова тавтологичны, поскольку они означают: «И если P, то Q».

3. Вторая и третья фразы следствия 1 сообщают, что если «Из Q следует P», то в этом частном случае P однозначно определяется начальными положением и скоростью тела.

4. В логике не существует способа доказать, исходя из предыдущих пунктов, что Ньютон хотя бы в общих чертах наметил доказательство условного высказывания «если Q, то P» (хотя именно это он намеревался сделать, судя по первой фразе следствия 1).

«Вы предлагаете пародию на доказательство Ньютона», — заметил, ознакомившись с вышеизложенными пунктами, один из моих корреспондентов, человек весьма известный. Другой сообщил мне в письме: «Я не усматриваю взаимно-однозначного соответствия между утверждением [Ньютона] и [вашим тезисом в п. 3]... . Непременно жду от вас более подробного изложения ваших аргументов...» В ответ на эту просьбу я расширил свою аргументацию. Вот что у меня получилось.

«Благодарю вас за то, что вы побудили меня изложить всё это подробно. С нетерпением жду вашего ответа», — этими словами завершалось написанное мною послание ¹¹.

Сильно сомневаюсь, чтобы понадобился столь обстоятельный разбор для опровержения, когда бы цепочку рассуждений, эквивалентных предложениям XI–XIII (вместе со следствием 1) из книги I «Начал», впервые предложил кто-нибудь из наших студентов и даже коллег как доказательство того, что при движении в поле центральной силы, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния, орбиты всегда совпадают с какими-нибудь из конических сечений. Развёрнутая аргументация понадобилась не только потому, что доказательство исходило от Исаака Ньютона, но также и потому, что подкреплённое доверием к печатному слову (английский перевод «Начал» вышел в свет в 1729 г.) оно не встретило сколько-нибудь эффективной критики и всюду (в учебной аудитории, на страницах учебников и научных изданий) принимается полностью правильным. Как могло возникнуть столь неудовлетворительное положение и что помогло ему сохраниться на протяжении веков, несмотря на явную логическую ошибку?

Я не могу ответить на первую часть вопроса и полагаю, что этого бы мне не удалось сделать, не зная хотя бы того, какова была реакция Иоганна Бернулли на две дополнительные фразы, внесённые Ньютоном в следствие 1 при втором издании «Начал» в 1713 г. К сожалению, я не смог обнаружить ни малейших следов отклика Бернулли на второе издание. Но, как мне кажется, мой собственный опыт с «Началами» даёт ключ к пониманию того, как поддерживалась, единожды возникнув, атмосфера всеобщего признания. По крайней мере часть этого опыта читатель может испытать на себе. Возьмите в руки книгу I «Начал» ⁵ и попробуйте прочитать текст до конца следствия 1 к предложению XIII. Действительно, разобраться полностью в том, что доказано и что не доказано в «Началах» Ньютона, невозможно без обращения к самому оригиналу.

В лучшем случае вы обнаружите, что взялись за нелёгкую задачу. Тяжеловесные обороты и архаическая терминология [Автор имеет в виду английский перевод «Начал», во многом сохранивший стиль своего первоиздания. Русский перевод, выполненный акад. А. Н. Крыловым в 1916 г., хотя частично и устарел, отличается высокими литературными достоинствами. — Прим. перев.] затрудняют восприятие текста, однако возникающий барьер легко преодолим. Некоторые рассуждения, подобные доказательству, приведённому в следствии 1 относительно трёх законов движения, возможно, вызовут у вас некоторое сомнение, но результаты рассуждений, поскольку они известны вам со школьной скамьи, вынуждают вас продвигаться вперёд, особенно не задумываясь о деталях. Не исключено, что вы легко преодолеете почти весь вступительный раздел «Аксиомы, или законы движения», который предваряет книгу I. Но потом, когда подготовительная часть закончится, начнутся настоящие трудности. Предоставляю вам самостоятельно раскрыть содержание этих трудностей, я же воздержусь от их описания. Вы легко можете убояться трудностей и отказаться от своего намерения прочитать «Начала» или по крайней мере не устоять перед искушением опускать целые разделы. Но вот после всех мытарств так или иначе вы, наконец, добираетесь до предложения XI, гласящего: «Тело обращается по эллипсу, требуется определить закон центростремительной силы, направленной к фокусу эллипса». Вы можете пропустить всё, что предшествует предложению XI, начать прямо с него и по мере необходимости возвращаться к утверждениям, на которые имеются ссылки в предложениях XI–XIII. Можно поступить и по-другому...

Какой бы путь вы ни избрали, попытайтесь преодолеть хотя бы те трудности, которые встретятся вам с первых шагов, и тогда вы, возможно, поймёте, почему у автора настоящей статьи (преподавателя физики, любящего свой предмет) несколько лет ушло на то, чтобы найти свободное время и проявить при этом соответствующее умение и смелость в сочетании с мужеством и настойчивостью. Лишь объединив все эти факторы, я смог досконально разобраться в предложении XI, которое при первом чтении оставляло ощущение неудовлетворённости. (Почему мне столь настоятельно необходимо было до тонкости разобраться в предложении XI, я отчётливо осознал к январю 1978 г., но мужества для осуществления своего замысла ¹² набрался лишь к июлю 1979 г. И тогда, преисполнившись решимости, приступил к основательному разбору приведённого в «Началах» доказательства того, что если тело движется по эллиптической орбите под действием силы, направленной к одному из фокусов эллипса, то величина силы убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от фокуса. Мне отнюдь не стыдно признаться, что до разбора предложений XII и XIII я так и не дошёл.

Небольшой экскурс несколько личного характера в предысторию создания этой статьи понадобился мне для того, чтобы читатель мог более остро прочувствовать, насколько правдоподобна моя версия, объясняющая, почему учёные, изучающие наследие Ньютона, обладающие великолепной математической выучкой, остротой ума и независимостью мышления, достаточными для того, чтобы обнаружить логическую ошибку в следствии 1 из предложения XIII и заявить во всеуслышание о её существовании, упорно хранят молчание: они просто не дают себе труда вникнуть в ньютоновские «Начала», тем более что это требует немалых затрат времени ¹³. Ни один уважающий себя математик не ограничится беглым просмотром текста, не станет опускать при чтении непонятные места и принимать на веру любое звено математического доказательства, не испытав на прочность все предшествующие звенья. Не следует упускать из виду и ещё одно немаловажное обстоятельство: учёный с математическим складом ума, обладающий глубокими познаниями в своей науке, всегда найдёт более интересное, срочное и благодарное занятие, а не будет тратить своё время и энергию на то, чтобы с трудом пробиваться сквозь напыщенный стиль классического трактата. Такого рода «исследования» люди обычно предпочитают откладывать «на потом», которое так и не наступает.

В этом, по моему глубокому убеждению, и кроется главная причина необычайной живучести безосновательной легенды о якобы главном достижении ньютоновских «Начал», на протяжении почти трёх столетий ни у кого не вызывавшем сомнений.

По иронии судьбы для того, чтобы обнаружить или проанализировать логическую ошибку в следствии 1 из предложения XIII, не требуется ни виртуозного владения математическим аппаратом, ни сколько-нибудь серьёзного знакомства с предшествующим материалом. Как показано выше, даже при беглом просмотре утверждений, представленных в предложениях XI–XIII, отсутствие якобы приводимого там доказательства становится ясно каждому, кто, обладая ясностью мышления, не убоится авторитетов.

Литературные источники свидетельствуют, однако, что те из авторов, которые так или иначе сумели добраться до конца следствия 1 в том виде, в каком оно появилось во втором и третьем изданиях «Начал», были введены в заблуждение (как и я вначале ⁸) двумя заключительными фразами. Все они единодушно сходятся на том, что Ньютон «наметил» или «набросал» общий ход доказательства ¹⁴. Пробелы, по их мнению, Ньютон легко бы мог восполнить и сам, если бы он того пожелал. Наиболее острой критике, какую мне только приходилось видеть, аргументация «Начал» подверглась (и то лишь косвенно, неявно) в работе Геривела ¹⁵), заметившем в примечании: «...Нет никаких сколько-нибудь надёжных оснований утверждать, будто [Ньютон]... дал развёрнутое доказательство того, что из закона обратных квадратов следует совпадение орбит с коническими сечениями...» (курсив Геривела). Но как я ни старался, мне не удалось обнаружить нигде даже робкого намёка на то, что в цепочке рассуждений, приведённых в «Началах», содержится самая настоящая логическая ошибка — нигде, кроме, как у Иоганна Бернулли, ссылавшегося в 1710 г. на первое издание «Начал», в котором, однако, ещё не было дымовой завесы, возникшей благодаря добавлению Ньютоном в последующих изданиях двух заключительных фраз.

Пробелы по общему мнению, как и следовало ожидать, связаны с тем, что Ньютон не привёл доказательств трёх утверждений, содержащихся в двух заключительных фразах следствия 1. Некоторые авторы считают, что кое-какие пробелы следовало бы восполнить и в доказательстве, приведённом в тексте «Начал». Мне известны лишь два примера, когда авторы публикаций предприняли попытку восполнить пробелы в доказательстве Ньютона (кстати сказать, на оба этих примера моё внимание обратили ньютонианцы, отстаивающие логику ньютоновских рассуждений). Центральное место в одном из этих примеров ¹⁶, опубликованном в середине XIX в., отводится утверждению, доказательство которого потребовало бы решения дифференциального уравнения первого порядка. Гораздо хуже, что намерения автора восполнить недостающие детали доказательства, приведённого в «Началах», оказались необоснованными: вместо ньютоновского он приводит своё собственное доказательство, также неполное. Другой пример содержится в примечании редактора (Д. Т. Уайтсайда) шестого тома собрания трудов Ньютона ¹⁷. В этом примечании показано лишь, каким образом Ньютон мог бы доказать своё утверждение (обозначенное выше как [1]) о том, что можно построить коническое сечение с заданным фокусом, если известна касательная к нему и кривизна в некоторой точке.

Поскольку приведённая в «Началах» аргументация ошибочна, никакие «заполнения пробелов», кроме полной перестройки всего доказательства, не могли бы превратить её в безупречное доказательство утверждения о том, что из закона обратных квадратов следует совпадение орбиты с одним из конических сечений. К моему великому удивлению (и, должен признаться, немалой досаде), в качестве опровержений моего тезиса о существовании логической ошибки в «Началах» было выдвинуто несколько «дополнений» к «Началам». Вряд ли нужно говорить о том, что каждое из «дополнений» страдало каким-нибудь ощутимым логическим изъяном. Одна из самых распространённых логических ошибок — глубокое убеждение в том, будто из общеутвердительного суждения «все P суть Q» следует частноутвердительное суждение «некоторые (по крайней мере) Q суть P». Если добавить посылку «множество всех P непусто», то из суждения «все P суть Q» действительно будет следовать «некоторые Q суть P». Ужаснее всего, пожалуй, было то, что приведённая выше импликация всегда используется в той же самой обстановке, в которой делается попытка найти доказательство существования P, т.е. непустоты множества всех P! (Заметим попутно, что P и Q имеют тот смысл, который был придан им выше.) Хотя каждое из предложенных «дополнений» непременно содержало какую-нибудь логическую ошибку, меня глубоко поражало, что авторы всех этих «дополнений» были движимы глубоким убеждением в неспособности Ньютона совершить столь вопиющую логическую ошибку, как та, которой посвящена настоящая статья ¹⁸. К счастью, наш спор затрагивает вопросы, не относящиеся к сфере политики, экономики или религиозных убеждений. В математике и естественных науках ни одно мнение, сколь бы убедительным оно ни казалось кому-то, как бы ни тешило чьё-то воображение, сколь бы яростно ни отстаивалось и как бы громки ни были имена тех, кто его разделяет, не становится научным фактом, если не проходит проверки на логическую непогрешимость или не получает экспериментального подтверждения.

Самое странное заключается в том, что в действительности «Начала» содержат общий метод определения орбиты тела, движущегося под действием любой центральной силы, но в них нигде не упоминается о том, что Ньютон когда-либо применил этот метод к наиболее важному случаю — силе, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния. Общий метод определения орбит изложен в нескольких предложениях книги I, главное из которых — предложение XLI, — гласит ¹⁹: «Предполагая центростремительную силу какою угодно и допуская квадратуру кривых, требуется найти как траекторию, по которой будет двигаться тело, так и закон его движения по найденной траектории». (На современном языке слова «допуская квадратуру кривых» означают «если некоторые интегралы берутся в квадратурах».)

В следствии 3 к предложению XLI Ньютон упоминает о применении своего метода к силе, направленной к центру и обратно пропорциональной кубу расстояния от него, и приводит результат без каких-либо вычислений. Но о применении общего метода к определению орбит при движении под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, не говорится ни слова ни в «Началах», ни в других работах Ньютона. Геривел ¹⁵ в цитируемом выше примечании к своей работе добавляет: «Действительно, если [Ньютон располагал подробным доказательством того, что при движении под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, орбиты имеют вид конических сечений], то весьма странно, что он не привёл его в «Началах» в виде следствия к предложению XLI книги I». Следует заметить (это отмечено Геривелом ¹⁵ в том же примечании), что в случае силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, выполнить интегрирование значительно труднее, чем когда сила обратно пропорциональна кубу расстояния.

Поскольку в «Началах» Ньютон, по-видимому, твёрдо вознамерился избегать использования разработанного им незадолго до того нового исчисления (названного им методом «флюксий») ^20,21, то и предложение XLI, и предшествующие ему предложения изложены на геометрическом языке. По существу же идеи, лежащие в основе этих предложений, естественно относить к интегральному исчислению. Более того, из объяснений самого Ньютона, ²² приводимого им без доказательства решения задачи об орбитах движения тел под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния, видно, что он явно использовал не геометрические соображения, а интегральное исчисление в том смысле, в каком оно понимается ныне. (Прямой перевод с геометрического языка предложений XXXIX–XLI на язык современного математического анализа был выполнен в 1964 г. Эйтоном, ²³.)

Несмотря на то что содержащееся в предложении XLI общее решение несёт на себе отпечаток гения самого высокого ранга, факт остаётся фактом: Ньютон нигде — ни в «Началах», ни, насколько известно, в других работах — не доказал, что орбиты, порождаемые силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния, являются коническими сечениями. Кто же впервые и когда доказал это? Довольно подробный ответ на этот вопрос мы находим в статье Эйтона, ²². Правильные доказательства независимо представили Иоганн Бернулли и Якоб Германн на заседании Парижской академии наук 13 декабря 1710 г., причём Бернулли удалось достичь успеха чуть раньше Германна. Из двух предложенных Бернулли доказательств первое представляет собой не более чем перевод предложения XLI из книги I «Начал» с геометрического языка на аналитический, ²⁴ и последующее вычисление соответствующего интеграла в случае силы, обратно пропорциональной квадратам расстояний. Второе доказательство, опубликованное, ²⁵ вместе с первым в 1710 г., по мнению Эйтона, ²⁶, не зависит от метода, используемого в «Началах».

Можно строить самые различные догадки относительно того, почему сам Ньютон не воспользовался методом, изложенным в предложении XLI, для решения проблемы центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Моя собственная догадка, не подкреплённая никакими сколько-нибудь весомыми аргументами, состоит в том, что Ньютон не сумел вычислить интеграл, возникающий в случае обратных квадратов, ²⁷. В противном случае трудно понять, почему он вскользь упоминает о применении предложения XLI к искусственной с точки зрения физики задаче о форме орбиты при движении под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния. Если бы Ньютону удалось взять в квадратурах интеграл, возникающий в случае обратных квадратов, то в следствии 3 из предложения XLI естественнее было бы упомянуть о том, что орбиты имеют форму конических сечений, как о независимой проверке доказательства (или, точнее, того, что он принимал за доказательство), содержащегося в предложениях XI–XIII и следствии 1. Даже не располагая такой проверкой, Ньютон мог успокоить себя тем, что ему (как он считал) удалось решить задачу об орбитах при движении под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и его вряд ли кто-нибудь упрекнёт за то, что он не привёл второе решение, ²⁸. Независимо от того, сколь успешными были попытки Ньютона взять соответствующий интеграл, опуская решение для случая обратных квадратов, основанное на общем методе предложения XLI, Ньютон, должно быть, находил утешение в том, что не нарушил своё решение скрыть на страницах «Начал» незнакомые научному миру методы только что разработанного дифференциального и интегрального исчислений ^20,21.

Настоящую статью не следует рассматривать как попытку поставить под сомнение гениальность, честность или место, занимаемое Исааком Ньютоном в истории науки. Разумеется, в мои намерения не входило покушаться даже на малую толику непреходящего по своему значению величественного вклада, внесённого Ньютоном в усилия человечества понять, как устроена Вселенная. Я не покушаюсь и на вполне заслуженную репутацию Ньютона как одного из величайших физиков и математиков. Цель данной статьи состоит в том, чтобы ясно и чётко изложить, как в «Началах» в действительности решается задача об определении орбит при движении под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и призвать тех, кто преподаёт физику и изучает историю науки, проявить солидарность, чтобы совместными усилиями избавиться от заблуждения, просуществовавшего без малого три столетия. Тем, кому покажется, что это умаляет добрую славу «Начал», я должен заметить следующее. Вопреки широко распространённому и нередко высказываемому в печати мнению, «Начала» отнюдь не следует воспринимать как меру всего, чем человечество обязано гению Ньютона, или его величия как физика или математика. При всех своих достоинствах «Начала» далеко не соответствуют той высокой научной репутации, которая устоялась на протяжении трёх веков, и основополагающему вкладу их автора в развитие точного естествознания ²⁹. «Начала», по-видимому, были написаны Ньютоном в спешке среди множества обременявших его дел и обязанностей, на исходе активной научной деятельности ³⁰. По печальной иронии единственным стимулом к созданию «Начал» послужили настойчивые просьбы Эдмунда Галлея, ошибочно полагавшего, будто Ньютону удалось доказать ³¹, что центральная сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния, порождает орбиты в виде конических сечений с фокусом в центре притяжения: «При издании этого сочинения оказал содействие остроумнейший и во всех областях науки учёнейший муж Эдмунд Галлей, который не только правил типографские корректуры и озаботился изготовлением рисунков, но даже по его настоянию я приступил и к самому изданию. Получив от меня доказательства вида орбит небесных тел, он непрестанно настаивал, чтобы я сообщил их Королевскому обществу, которое затем своим благосклонным вниманием и заботливостью заставило меня подумать о выпуске их в свет...» ³² Так писал Ньютон в предисловии к первому изданию «Начал»!

ПРИЛОЖЕНИЕ

Это приложение написано мною через несколько месяцев после окончания статьи и продолжительной переписки с редакцией на тот случай, если у кого-нибудь из читателей всё же появится обманчивое впечатление, будто две фразы, внесённые Ньютоном при втором издании «Начал» в следствие 1 из предложения XIII, восполняют пробелы в бегло намеченном, но в основном правильном доказательстве.

I. Содержащийся в п. [3] принцип единственности (точно сформулированный в «Началах») утверждает, что если тело, проходящее через точку, имеет в ней данную (по величине и направлению) скорость, то при известном законе изменения силы его траектория определяется однозначно. И ничего более. Например, принцип единственности не позволяет решить, по какой из двух (или большего числа) мыслимых траекторий, проходящих через некоторую точку, будет двигаться тело, если касательные и кривизны обеих (или всех) траекторий соответствуют (при известной зависимости величины силы от расстояния) скорости тела в данной точке. Чтобы по достоинству и полностью оценить внутреннее значение принципа единственности, рассмотрим следующий «непринцип»: «Если траектория тела, проходящая через точку, имеет в этой точке данную касательную, то при известной зависимости величины центральной силы от расстояния такая траектория является единственной, по которой может двигаться тело. Если закон изменения величины силы от расстояния известен, то никакие две орбиты, порождаемые этой силой, не могут иметь в какой-либо точке общую касательную». В нашем мире это не выполняется: как известно, для единственности орбиты необходимо задать в точке дополнительный параметр, например скорость тела, или, что эквивалентно, кривизну орбиты. При заданном законе изменения величины силы от расстояния существует бесконечно много орбит, имеющих в данной точке общую касательную. С другой стороны, принцип единственности (см. п. [3]), описывающий реальный мир, каким мы его представляем, утверждает, что при известном законе изменения величины силы от расстояния точка, направление касательной и кривизна орбиты являются достаточным числом параметров. Для доказательства единственности орбиты никаких других параметров (например, скорости изменения кривизны орбиты) не требуется. Однако принцип единственности по-прежнему ничего не говорит нам о том, как определить вид реальной траектории, если все необходимые параметры и зависимость силы от расстояния известны.

Все эти предварительные замечания следует иметь в виду при критическом рассмотрении различных аргументов, выдвигаемых в защиту предложений XI–XIII и следствия 1 из предложения XIII книги I «Начал».

II. Один из таких аргументов сводится к следующему. В предложениях XI–XIII содержится описание множества всех конических сечений как «допустимых орбит», возникающих при движении тела под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Дополнительная посылка [1] утверждает, что для каждого набора начальных условий (включающего в себя точку, касательную и кривизну) существует согласующееся с ним коническое сечение, т.е. «орбита, допустимая» при известном законе изменения центральной силы и заданных начальных условиях. Принцип единственности [3], по мнению сторонников этого аргумента, утверждает, что коническое сечение, согласующееся с начальными данными, есть единственная орбита.

Несколько видоизменённый вариант того же аргумента начинается по существу следующими словами: предложения XI–XIII показывают, что конические сечения «удовлетворяют» условиям, когда центральная сила изменяется по закону обратных квадратов.... А завершается выводом о том, что существует коническое, сечение, «удовлетворяющее» как закону изменения силы, так и начальным условиям; следовательно, в соответствии с принципом единственности [3] мы имеем единственную орбиту.

В обоих вариантах слова, заключённые мною в кавычки («допустимая орбита», «удовлетворяют», «удовлетворяющее»), затемняют то, что в действительности утверждается в предложениях XI–XIII, путая исходное предположение с заключением. Не следует упускать из виду, что предложения XI–XIII доказывают лишь, что если тело движется по коническому сечению под действием силы, направленной к фокусу, то величина силы должна изменяться обратно пропорционально квадрату расстояния от фокуса. Нигде в «Началах» не доказывается, что действительно существует закон изменения центральной силы, при котором тело должно двигаться по коническому сечению, фокус которого совпадает с притягивающим центром. Следовательно, обращение к принципу единственности [3] в любом из двух вариантов приведённого выше аргумента неправильно. Даже если бы было доказано, что вид орбиты (конического сечения) определяется законом обратных квадратов и заданными начальными условиями, то и тогда принцип единственности гарантировал бы нам отсутствие других орбит, но и только.

III. Аргумент, тесно связанный с предыдущим, гласит: тело под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра, не может двигаться по орбите, отличной от конического сечения (и имеющей в данной точке определённые касательную и кривизну), «поскольку отличная от конического сечения орбита не удовлетворяла бы условиям, когда сила изменяется по закону обратных квадратов». Это утверждение, приводимое без доказательства, по-видимому, означает, что если орбита отлична от конического сечения, то центральная сила не может изменяться обратно пропорционально квадрату расстояния. Так как по существу это и есть то самое утверждение, доказательство которого требуется найти, на первый взгляд кажется, что аргумент не следует принимать слишком серьёзно. Тем не менее исследуем его подробнее.

Выясним, может ли существовать семейство G кривых, не относящихся к коническим сечениям, имеющих общую точку U и для которых можно доказать, что: а) если под действием силы, направленной к точке U, тело движется по кривой, принадлежащей семейству G, как по орбите, то величина силы должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки U; б) для любых начальных условий (точка, касательная, кривизна) существует кривая из семейства G, которая им удовлетворяет. В «Началах» нигде не доказывается, что такое семейство G не существует. Как показано в п. I, принцип единственности [3] не исключает существования семейства G. Кроме того, принцип единственности не позволяет определить, будет ли под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, тело двигаться по орбите, совпадающей с одним из конических сечений или с одной из кривых семейства G (для которых начальные точка, касательная и кривизна являются одними и теми же). Аргумент, приведённый выше в начале п. I, исходит из бездоказательного предположения о том, что семейство G не может существовать.

[Мы, живущие после выхода в свет ньютоновских «Начал», уверены в том, что G не существует, так как основное эквивалентное утверждение (из закона обратных квадратов следует, что тела движутся по орбитам, имеющим вид конических сечений) было доказано в различное время многими авторами от Бернулли и Германна в 1710 г. до наших современников в 70-е годы XX в., но не Ньютоном — ни в «Началах», ни где-либо ещё.]

IV. Аргумент в поддержку «Начал», значительно более тонкий, чем любой из двух предыдущих, сводится к следующему.

Тело p, на которое действует сила, направленная к неподвижной точке S и обратно пропорциональная квадрату расстояния от этой точки, имеет в точке A заданную (начальную) скорость. Следуя утверждению [1], построим коническое сечение C с фокусом в точке S, проходящее через точку A, в которой оно касается вектора начальной скорости тела p и имеет кривизну, соответствующую скорости тела p в точке A, если действующая на тело p сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от S. Пусть второе тело q, имеющее в точке A такую же (по величине и направлению) скорость, как и тело p, движется по орбите C (имеющей форму конического сечения) под действием центральной силы, направленной к S. Тогда из предложений XI–XIII следует, что при таком движении на тело q должна была бы действовать сила, направленная к точке S и изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния от S. Из принципа единственности [3] мы заключаем, что тело p должно двигаться по той же самой орбите, по которой движется тело q, поскольку оба тела движутся из одной и той же начальной точки, имеют одну и ту же начальную скорость и подвержены действию силы, изменяющейся по одному и тому же закону. Следовательно, если сила обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра, то под действием этой силы тела движутся по орбитам, имеющим вид конических сечений с фокусом, совпадающим с силовым центром.

В предыдущих рассуждениях имеется существенный изъян. В них используется недоказанное предположение о том, что для любого конического сечения существует направленная к одному из фокусов сила, определённым образом зависящая от расстояния, под действием которой тело обязательно будет двигаться по этому коническому сечению как по орбите. Принятое без доказательства утверждение (о том, что тело q, имеющее в точке A ту же скорость, что и тело p, под действием силы, направленной к точке S, можно заставить двигаться по орбите С) может оказаться верным; но доказать его ничуть не легче, чем доказать то, что якобы обосновывает аргумент IV, использующий приведённое выше утверждение в качестве недоказываемого предположения. Это утверждение в «Началах» не доказано. Тщетно стали бы мы искать какие-нибудь указания на то, что оно может придать доказательный характер рассуждениям в предложениях XI–XIII и следствии 1 к предложению XIII.

V. Следующий аргумент по существу является не обоснованием утверждений, содержащихся в предложениях XI–XIII и следствии 1 (хотя и выдвигался в качестве такового), а их более поздней редакцией, использующей отдельные элементы предложений XI– XIII и следствия 1. Наиболее прозрачный из известных мне вариантов этого аргумента сводится к следующему.

Существует какое-то уравнение F = ma, которому должно удовлетворять орбитальное движение тела. Входящий в него вектор F описывает закон изменения силы, а ma (для данной массы m) по существу представляет кинематику движения, т.е. орбиту вместе с «расписанием» движения тела по ней. Из принципа однозначности [3] известно, что при подходящих начальных условиях уравнение движения допускает единственное решение. Следовательно, заключаем мы, если некая комбинация «орбита + расписание движения», будучи представленной ускорением a, удовлетворяет уравнению F = ma при заданном законе изменения силы, то (поскольку никакие другие комбинации «орбита + расписание движения», помеченные теми же начальными условиями, не могут удовлетворять уравнению движения) заданный закон изменения силы F требует, чтобы тело, удовлетворяющее заданным начальным условиям, двигалось по орбите, определяемой выбором удачной комбинации «орбита + закон движения».

По мнению тех, кто отстаивает рассматриваемый здесь аргумент, «предложения XI–XIII в итоге позволяют вычислить ma для любого конического сечения, по которому как по орбите движется тело под действием центральной силы, направленной к одному фокусу, и установить, что сила F обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра. Это эквивалентно нахождению «удачной комбинации», удовлетворяющей уравнению F = ma, причём F обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра. Следовательно, закон обратных квадратов, по которому изменяется величина центральной силы, требует, чтобы тело двигалось по коническому сечению с фокусом в силовом центре».

Это интересный аргумент, но он не укладывается в схему, образуемую предложениями XI–XIII и следствием 1. Как было установлено в аргументе IV, в этой схеме отсутствует один важный пункт, на который косвенно опирается подход, использующий уравнение движения: существование закона изменения величины центральной силы, вынуждающего тело (при подходящих начальных условиях) двигаться по данному коническому сечению (с силовым центром в одном из фокусов). Однако при любом толковании результата, к которому приводят предложения XI–XIII, не следует упускать из виду, что он основан на предполагаемом движении тела по коническому сечению под действием силы, направленной к одному фокусу, т.е. на совместной гипотезе трёх предложений. Теперь мы располагаем другим подходом, основанным на использовании теории дифференциальных уравнений, которым можно воспользоваться для обоснования такого предположения. Но сколько бы мы ни искали, нам не удалось бы обнаружить в «Началах» какие-либо следы применения такого подхода. Более того, как отмечалось в аргументе IV, нам не удалось бы обнаружить никаких намеков и на то, что предполагаемый факт можно было бы сколько-нибудь убедительно использовать в схеме предложений XI–XIII и следствия 1. В лучшем случае приведённый выше аргумент, основанный на использовании дифференциальных уравнений, можно рассматривать как ещё один пункт в списке появившихся, после того как «Начала» были опубликованы, доказательств того, что если центральная сила изменяется по закону обратных квадратов, то под действием её тело движется по коническому сечению с фокусом в силовом центре.

VI. Ради полноты изложения упомяну, не вдаваясь в подробности, аргумент, на который я ссылался в основном тексте данной статьи, где мы обсуждали, следует ли из общеутвердительного суждения «все Q суть P» (содержания предложений XI–XIII) частноутвердительное суждение, что «некоторые (по крайней мере) Q суть P», если не доказано, что множество всех P не является пустым. Так же, как в аргументах IV и V, неявное допущение (о непустоте множества всех P) состоит в том, что для каждого конического сечения существует такой закон изменения направленной к фокусу силы, при котором тело, двигаясь под действием этой силы, при соответствующих начальных условиях описывает именно это коническое сечение.

VII. Успешное опровержение пяти контраргументов, разумеется, ещё не означает доказательства правильности собственного аргумента. Обвинение против наброска доказательства в «Началах» покоится на более прочном основании, чем все аргументы, приведённые до сих пор в данном приложении. По сути дела оно исходит из того непреложного факта, что в предложениях XI–XIII и следствии 1 не содержится логической цепочки, ведущей от Q (сила, направленная к фокусу и обратно пропорциональная квадрату расстояния от него) к P (орбита — коническое сечение, описываемое телом под действием силы, направленной к фокусу). (Под «логической цепочкой», ведущей от Q к P, я понимаю конечную последовательность условных суждений вида «если Q, то A», «если A, то B», «если B, ..., то M», «если M, то N», «если N, то P». Из существования такой цепочки мы можем заключить, что «если Q, то P».)

Ниже приводится со всеми подробностями простой аргумент, схема которого была намечена в основном тексте статьи. Цель столь скрупулёзного изложения — исключить всякое сомнение (если таковое ещё осталось) в единственном факте, послужившем поводом к написанию этой статьи, а именно в том, что в «Началах» отсутствует (даже в самых общих чертах) вывод условного суждения «если Q, то P».

Таким образом, мы приходим к следующему выводу:

а) Из предложений XI–XIII следует «если P, то Q».

б) Вывести из условного суждения «если P, то Q» другое условное суждение, содержащее P не в посылке, а в заключении, возможно только в том случае, если в логической цепочке встречается звено «если ..., то P».

в) Поэтому мы ищем такое утверждение в том, что предлагают нам «Начала», т.е. во второй [1] и третьей [3] фразах следствия 1 из предложения XIII. Но утверждение [1] отнюдь не гарантирует, что тело (под действием центральной силы, изменяющейся по любому закону) действительно будет двигаться по построенному коническому сечению, т.е. из [1] не следует P. Как мы уже объясняли в данном приложении (см. аргумент I), фраза [3] также не гарантирует того, что построенное коническое сечение является орбитой, т.е. из [3] также не следует P. (Что касается фразы [2], то она выражает лишь эквивалентность двух способов описания начальных условий.)

г) Ни в одном другом месте «Начал» мне также не удалось найти условное суждение, в котором из любой посылки следовало бы заключение о том, что под действием силы, направленной к неподвижной точке, тело должно двигаться по коническому сечению, фокус которого совпадает с силовым центром. Иначе говоря, мне не удалось найти ничего такого, из чего бы следовало «если ..., то P».

д) Из сказанного следует непреложный вывод о том, что предложения XI–XIII «Начал» не могут помочь в попытке доказать, что «если Q, то P».

И в остальном тексте «Начал» (в частности, в двух заключительных фразах следствия 1 из предложения XIII) отсутствует какое-либо условное суждение, которое бы начиналось словами «если Q, то ...», и нет ни одного условного суждения, которое заканчивалось бы словами «..., то P»; короче говоря, нет ничего такого, откуда можно было бы вывести условное суждение «если Q, то P».

БЛАГОДАРНОСТИ

Выражаю признательность Э. Митчеллу и П. Сэндерсу из Кларендонской лаборатории Оксфордского университета, пригласивших меня выступить с докладом по материалам этой статьи перед физическим сообществом Оксфорда на Чтениях в Кларендоне в летний семестр 1981 г. Я хотел бы также поблагодарить многих сотрудников отделения теоретической физики в Оксфорде за их традиционное гостеприимство и интерес к моей работе который они неоднократно высказывали в различное время с января по июль 1981 г. во время моего пребывания в Оксфорде.

ПРИМЕЧАНИЯ

Статья слишком решительно меняет привычный порядок вещей, которому нас учили с детства, поэтому и оппонентов у вышеизложенной точки зрения предостаточно. В любой научной дискуссии следует выслушать аргументы обеих сторон. Вейнсток высказался, послушаем доводы Арнольда. См. также совсем свежую статью (на момент написания этих строк — июль 2009 года): Maris van Haandel and Gert Heckman. "Teaching the Kepler Laws for Freshmen", которая была опубликована в «Mathematical Intelligencer», 2009, v. 31, N 2 и выложена в свободный доступ на сайте издательства Шпрингера. — E.G.A.