А. Б. Сосинский. Как написать математическую статью по-английски. — М: Изд-во «Факториал Пресс», 2000. — 112 с. ISBN 5-88688-032-1 В пособии излагаются основные принципы перевода математических текстов на английский язык. Книга выдержала несколько изданий. Работа с ней позволяет достичь уровня владения английским языком, способного обеспечить практическое использование его в профессиональной деятельности. Для студентов и аспирантов математических специальностей университетов, институтов, а также всех изучающих язык самостоятельно.

Эта небольшая книга предназначена в первую очередь для русскоязычных математиков и отвечает на поставленный в её названии вопрос. Автор убеждён, что любой русскоязычный математик, проработавший её, сможет после этого написать английский текст своей очередной математической работы, пригодный для публикации в западном журнале или сборнике, даже если он до этого «совсем не знал» английского языка (например, изучал в школе немецкий). Я предполагаю, правда, что читатель владеет в какой-то мере терминологией в своей области и что ему приходилось разбирать (пусть со словарём) статьи на английском языке по своей специальности.

Другой важной предпосылкой успешного использования этой книги является готовность читателя творчески подойти к языковым вопросам, готовность пользоваться «математической частью» своих мозгов не только для доказательства теорем, но и для создания текста, описывающего эти доказательства. В этом отношении особенно трудно будет читателю, считающему, что он неплохо знает язык, легко понимающему статьи по специальности и книжки Агаты Кристи, получавшему пятёрки по английскому языку в школьные, студенческие и аспирантские годы.

Такому читателю будет очень трудно избавиться от ошибочных стереотипов псевдо-грамматического мышления, характерного для обучения Moscow English, которому он столько лет подвергался. «Ломке стереотипов» посвящена вся первая глава книги («Как не надо») и, в какой-то степени, вторая глава («Общие принципы»). Читатель тщетно будет искать среди общих принципов грамматические правила английского языка. Подчеркну, что книга никоим образом не является ни учебником английского языка, ни учебником английского математического языка, ни даже пособием по переводу математических текстов — она преследует узкую, практическую цель: научить писать математические статьи по-английски ¹ по придуманной мною методике. Основные идеи этой методики и изложены во второй главе.

Третья же глава содержит описание конкретных оборотов, используемых в тех или иных математических ситуациях. Книга завершается тремя приложениями справочного характера, позволяющими читателю в процессе написания статьи быстро найти нужный ему оборот или строение фразы. Есть и четвёртое приложение: образец математического текста, написанного по нашей методике.

Звёздочка после номера параграфа означает, что его можно опустить при первом чтении.

Хочу отметить, что предлагаемый здесь подход — крайне нетрадиционен и, по-видимому, противоречит всем представлениям читателя на сей счёт. Не лишним поэтому будет краткое описание истоков предлагаемой методики. Автор, выпускник Нью-Йоркского и Московского университетов, математик-исследователь по специальности, одинаково хорошо (или плохо) владеет английским и русским языками, вот уже 30 лет переводит математические книги и статьи с русского на английский (для западных издательств), а в настоящее время возглавляет службы переводчиков в серии русско-английских математических переводов под эгидой Американского Математического Общества. Описанный здесь подход разработан исходя из этого опыта, а также основан на работах автора по компьютерной лингвистике (машинному переводу).

Я благодарен В. Борщеву, инициатору идеи написания этой книги, Б. Комракову, постоянно подталкивавшему меня в работе над ней, Б. Амосову за ТеХредовскую работу, Н. Кульману за конструктивную критику, и особенно М. Виноградову за моральную и ТеХническую поддержку.

В течение тридцати лет жизни в Москве автора постоянно преследовали его коллеги, друзья и знакомые с просьбами о переводе их статей на английский (или, что ещё хуже, о редактировании переводов). Этим невольным вдохновителям и соавторам (особенно я им обязан за первую главу) и посвящается эта книга — with a vengence. Теперь, когда она выйдет, на новые просьбы о переводах у меня будет ответ: «Вот есть книга — купите её!»

В этой главе автор пытается помочь читателю освободиться от ошибочных стереотипов, связанных с изучением Moscow English, и объективно оценить свои познания в английском математическом языке.

Чаще всего автор статьи, имея за плечами малоуспешный, но зато многолетний опыт изучения английского языка (в школе, в вузе, в аспирантуре), часто читая литературу по своей специальности на английском, отваживается самостоятельно перевести свою статью. Перед ним русский текст статьи, общелексический русско-английский словарь, ручка и бумага. Вводная часть статьи даётся с трудом (приходится много смотреть в словарь), но затем начинается основной математический текст и дело спорится. Фраза за фразой, слово за словом рождается английский текст, удовлетворяющий автора.

Однако, как правило, результат катастрофически плох.

Вводная часть, в лучшем случае, вызовет у рецензента, англоязычного математика, ироническую улыбку, а основной текст он быстро перестаёт читать: какую-то часть неуклюжих конструкций ему удаётся понять, но в других местах смысл ускользает, местами он натыкается на чушь или очевидные математические ошибки, и только если он очень заинтересован (например, знает, что автор — математик высокого класса), рецензент дойдёт до расшифровки основных результатов.

Автор получает вежливый отказ: «Your paper seems to be interesting, but your English requires revision by a native English-speaking mathematician».

Чтобы не быть голословным, попробую привести конкретный пример. Представим себе, что статья содержит следующий кусок текста:

Назовём допустимым узлом PL-вложение  f : R¹ → R³, если образ  f (R¹) асимптотически стремится к прямой x=y=z при t→±∞, tÎR¹. В дальнейшем рассматриваются только допустимые узлы. Каждому (допустимому) узлу мы ставим в соответствие элемент I( f ) группы когомологий H¹(E) пространства E функций ограниченной вариации, которое определено ниже.

Наш среднестатистический автор переведёт этот текст примерно следующим образом:

Let us call the admissible knot a PL-embedding  f : R¹ → R³, if an image  f (R¹) asymptotically tends to a line x=y=z for t→±∞, tÎR¹. In the further text considered only are the admissible knots. To every (admissible) knot we put in correspondence the element I( f ) of a cohomology group H¹(E) of the space of the functions of bounded variation, which is defined below.

Упражнение 1. He заглядывая дальше, внимательно прочитайте этот перевод, отметьте ошибки, посчитайте их, укажите, как их надо исправить, и оцените уровень перевода.

Если перевод в целом вам показался «приличным», то ваш собственный уровень как переводчика ниже всякой критики: дело в том, что предложенный перевод как раз «катастрофически плох». В его трёх фразах я насчитал 20 ошибок, в том числе 3 грубые смысловые ошибки, 10 неправильно поставленных артиклей, 1 неправильно выбранный союз, 1 лишняя запятая, 3 несуществующих оборота и 1 стилистическая ошибка. Орфографических, грамматических и терминологических ошибок нет.

Разберём ошибки подробнее. Сначала смысловые. Первое предложение основано на кальке с русской конструкции назовём так-то что-то, если ..., не имеющей аналога в английском языке; в результате в английском тексте определяемое понятие — не admissible knot, a PL-embedding, в то время как по смыслу должно быть наоборот. Проще всего перевод исправить так: Let us call a PL-embedding  f : R¹ → R³ an admissible knot if ..., хотя на самом деле и этот оборот не очень хорош. О том, как лучше давать определения по-английски, сказано в § 21.

Вторая смысловая ошибка (менее существенная) относится ко второй фразе: в результате «не английского» порядка слов слово considered подчиняется слову text, а не слову knot (рассматривается текст, а не узлы). О порядке слов см. §§ 6 и 14.

Третья смысловая ошибка связана с «потерей управления» при переводе которое → which. В русском тексте которое (средний род) замещает существительное среднего рода пространство, в то время как по-английски which (не имеющее рода) можно отнести как к слову space, так и к словам group и element. О том, как бороться с ошибками, связанными с употреблением слова which, см. § 15.

Теперь об артиклях. Они все поставлены неверно. Всюду, где a — требуется the. Все the (кроме двух, стоящих перед словами functions и admissible, где артиклей вообще не нужно) следует заменить на a. Правильному употреблению артиклей в математических текстах на самом деле не так трудно обучиться, как многие думают. Этой теме посвящены §§ 9, 10 главы II.

О других ошибках. В первом предложении for нужно заменить на as, перед if убрать запятую. Во втором используется несуществующий оборот ² In the further text, а далее выбран неправильный порядок слов. Второе предложение можно перевести, например, так: In the sequel, only admissible knots are considered. В третьем предложении содержится то, что мы назвали «стилистической ошибкой» — четырёхкратное наслоение союза of (как бороться с многократными of, рассказано в § 17).

В этом же предложении есть ещё один неанглийский оборот we put in correspondence (можно, например, we assign; в § 25 рассказано, как описывать построение соответствий и отображений). Запятая перед which — лишняя (о запятых в английском математическом тексте сказано в § 11, а также в § 16*).

Теперь читатель может подвести итог и оценить свой уровень. Если вы нашли 17 или более из указанных 20 ошибок и сумели их (хорошо) исправить, то вам эта брошюра не очень нужна. Уровень от 11 до 17 ставит вас как переводчика несколько выше среднего русскоязычного математика; я советую внимательно пролистать эту книгу, останавливаясь лишь там, где вы это сочтёте нужным, а затем пользоваться ей как справочником. Если ваш уровень 10 и ниже, эта книга — для вас; советую подробно (с карандашом и бумагой, выполняя упражнения) проработать следующую главу.

В некотором смысле положение читателя, очень плохо справившегося с первым упражнением, здесь предпочтительно: он не отягощён ненужными представлениями о «грамматике английского языка» и другими вредными последствиями изучения Moscow English, ему легче будет принять предлагаемую нами методику написания статей. Как указано во введении, пользуясь этой книгой, хороший математик, совсем не знающий язык (но знакомый со специальной терминологией в своей области), сможет написать вполне приличный текст своей работы по-английски.

С другой стороны, наша цель только в этом и состоит: эта книга не ставит себе более общих целей, в частности, не является ни учебником английского языка, ни учебником английского математического языка, ни даже пособием для переводчиков математических текстов (хотя и может оказаться им полезной).

Иногда авторы математических текстов обращаются за помощью к местным «профессиональным переводчикам», выпускникам наших инязов и гуманитарных факультетов. Как правило, это люди, имеющие опыт перевода «в другую сторону» (англо-русский перевод технического текста, выполняемый на неплохом уровне), но не имеющие опыта работы (обратной связи) с западными англоязычными издательствами, и поэтому искренне заблуждающиеся в оценках своих возможностей в русско-английском переводе.

При этом результат обычно получается хуже среднего авторского — нарушена одна из основных аксиом перевода: переводчик не понимает смысла переводимого текста. Гуманитарный человек, естественно, не улавливает семантику исходной математической фразы и выполняет перевод «пословно», перемежая его английскими идиомами (часто невпопад) и сложными грамматическими оборотами, столь популярными в инязовском преподавании, но неуместными в математических текстах.

Приведу пример «из жизни»:

We see that an algebraic manifold V is the linearly connected compact. Call the primitive manifold V the solution set of the irreducible algebraic equation or system. (...) The right member rises to vertical action in the fibre space...

Можно, конечно, смириться с тем, что здесь имеются четыре терминологические ошибки (нужно variety вместо algebraic manifold, arcwise вместо linearly, compact set вместо compact, lifts вместо rises) — их может исправить автор. Но вряд ли автор исправит артикли в первом предложении (оба неверны!) и поэтому не заметит грубую математическую ошибку (ведь там сказано, по существу, что все алгебраические многообразия компактны!). И во второй фразе он скорее всего доверится переводчику и не поставит под вопрос несуществующую конструкцию (call the ... the ...); англоязычный же читатель не поймёт, какой термин определяется — primitive manifold или solution set? Что же касается третьей фразы, то автор вряд ли станет её править, а любой американец расхохочется в голос, читая её. Дело в том, что русская фраза Правая часть поднимается до вертикального действия в расслоении ... вполне безобидна, в то время как соответствующая английская калька совершенно неприлична, вследствие неудачного (но формально правильного) перевода часть → member и ошибочного перевода поднимается → rises.

Не все профессиональные переводы, конечно, столь неудачны. В больших математических центрах бывшего СССР имеются вполне квалифицированные переводчики математических текстов на английский язык, занимающиеся этим ремеслом достаточно успешно. Но их немного, и, главное, они, как правило, работают на западные издательства за западные гонорары, и потому их труд не по карману даже российским академикам.

Значительно более разумный подход к решению задачи математического перевода — самому перевести свою статью, а затем дать её редактировать человеку, «знающему английский язык». Это даёт удовлетворительный результат при условии, что редактор подобран удачно.

Категорически не следует обращаться для этой цели к выпускникам наших языковых вузов или факультетов: они хотя и могут где-то внести разумную стилистическую и грамматическую правку, но не заметят ваших смысловых ошибок и могут внести свои, новые. Естественные носители английского языка, не знающие математики, тоже плохо сделают эту работу.

Идеальный редактор — англоязычный коллега, специалист в вашей области. Если уровень вашего перевода достаточно высок, он сможет «подчистить» статью заочно, без вашей помощи, однако скорее всего ему потребуется обратная связь. Так или иначе, в наши дни, когда поездки «конвертируемых математиков» (выражение С. П. Новикова) стали обычным явлением, такой способ бывает доступен. Но всё же лучше создать хороший английский текст самому. Это не так трудно — читайте главы II и III.

Здесь приводится список наиболее часто встречающихся ошибок при переводе математических текстов, основанный на моём печальном 30-летнем опыте чтения и редактирования таких опусов. Этот параграф читать сейчас не обязательно, если вы готовы обучаться по предложенной методике. Если же, прочитав § 1, вы всё ещё сомневаетесь в оценке уровня своего перевода, чтение настоящего § 4 очень рекомендуется. Возможно, при этом вам придется выполнять упражнения дважды (второй раз после проработки глав II и III).

Список мы даём в виде конкретных примеров, сразу на английском языке. Читатель легко восстановит русский оригинал каждой фразы (пословным обратным переводом). Сразу после примера мы поясняем, в чём состоит ошибка. (Закрывая эти пояснения подвижным листком бумаги, читатель может попробовать самостоятельно найти эти ошибки — это полезное, но не обязательное упражнение.)

1) Let G is an Abelian group. Не is, a be (позорная, но часто встречающаяся ошибка!).

2) Let B has the singularity in the point vÎV. Не has, a have; не the, а a; не in, а at.

3) Suppose that the sequence {a_n} tend to A when n→∞. Не tend, a tends; не when, а as.

4) Now we can to prove the Theorem 3.5. He нужно ни to (грубейшая ошибка!), ни the (это более тонкий вопрос).

5) То establish Lemma 2.1, we must to prove (2.5). Не нужно второго to!

6) We now prove the Lagrange's theorem. Так нельзя обращаться с 's; нужно либо the Lagrange theorem, либо Lagrange's theorem (без артикля).

7) There is a strong algebraic geometry school in the Moscow. Убрать этот кошмарный the перед именем собственным!

8) Now we use the singular homology theory of the space Λ^kX which will be constructed in section 3. Which — это что? Что будет constructed — теория или само пространство Λ^kX? Если по-русски было которая — значит, теория, и тогда вместо «which» можно написать «this theory».

9) Take any element xÎX, such that x>x₀. Запятая лишняя (грубая ошибка).

10) Suppose G is the group, that was considered in § 2. Опять лишняя запятая!

11) Therefore we must suppose that there is the necessity of generalization of the method of bifurcation diagrams of  V. I. Arnold. Нельзя так много оf 'ов и столько бессодержательных существительных! Нужно проще, например: Hence V. I. Arnold's bifurcation diagram method must be generalized. Заметим, что исходная русская фраза (которая лично мне очень не нравится) вполне характерна для наших математических текстов и у большинства читателей не вызовет раздражения: Таким образом, мы приходим к выводу о необходимости обобщения метода бифуркационных диаграмм В. И. Арнольда.

12) For  f  take the constructed previously function φ_2,1. Нелогичный (не английский) порядок слов. Нужно: For  f , take the function φ_2,1 constructed previously. Или: Take the function φ_2,1, constructed previously, for  f .

13) The set {a₁, ..., a_n} generates in the complex case the demanded subalgebra. He английский порядок слов («прямое дополнение должно идти сразу после глагола»), вместо demanded нужно required. Можно так: In the complex case, the set {a₁, ..., a_n} generates the required subalgebra.

14) There exists the unique xÎR such that  f (x) = y. Увы, здесь вместо the нужно a (хотя это может вам показаться нелогичным!).

15) Suppose x is a point in the Euclidean space. Опять the не нужен.

16) We remind that X is compact. Этот remind здесь ужасен! Нужно recall.

17) Glue the handle H to the boundary of W. Гораздо лучше не glue, а attach.

18) W₁ is the space of generalized functions. Англоязычные математики как правило не признают выражения generalized functions, которое встречается в основном в статьях, переведённых с русского. Нужно distributions.

19) Let a be a proper vector of the operator А. Никаких proper vectors по-английски не бывает, а бывают eigenvectors, а также eigenvalues.

20) A Mersenne number is a simple number of the form ... Нужно не simple, а prime. Но зато простая группа переводится simple group. Нужно знать терминологию!

21) Let K be a compact in Rⁿ. Слово compact — всегда прилагательное! Здесь нужно compact set или compact subset.

22) Тhe elder coefficient is nonzero. Вместо elder (буквальный перевод слова старший) нужно leading.

23) Let V be a variety of the finite dimension. The здесь недопустимо — в этом месте никакого артикля не нужно!

24) Consider the extension of  f  on X. Нужно не on, а to.

25) The space X is linearly connected. Такого термина нет: вместо linearly нужно arcwise.

26) In this paragraph we prove some auxilliary lemmas. Paragraph — это вовсе не параграф, а абзац. Здесь нужно section или subsection.

27) Let us introduce the following notations. Здесь нужно notation (в единственном числе), даже если вы будете вводить очень много разных обозначений.

28) This theorem is well-known. Здесь нужно well known (без дефиса), в отличие от фразы This well-known theorem is proved in [3], где well-known является прилагательным (характеристикой, см. § 8).

29) The definition of multiplication is correct. Слово correct означает правильно, а не корректно. Нужно The product is well defined.

30) We have to prove that F is compact. Намного лучше we must prove; have to prove означает что-то вроде мы вынуждены доказать.

31) Then n equals to 5. Можно n equals 5 или n is equal to 5, но ни в коем случае нельзя equals.

32) So A is linear; it means that ... Не it, а this. Слово it относится к объектам, а this к утверждениям («ссылкам», см. § 8).

В этой главе, минуя традиционную «грамматику английского языка», мы объясняем основные идеи, лежащие в основе предлагаемой книги.

Основная идея предлагаемой методики — не переводить русский текст статьи, а излагать свою работу непосредственно на английском языке, пользуясь только теми оборотами и конструкциями, в которых вы уверены.

Замечательное свойство математических текстов постбурбаковской эпохи состоит в том, что любая математическая теория излагается с помощью очень ограниченного набора стандартных оборотов.

Сколько нужно знать таких оборотов? Отвечаю по-английски: that depends. Например, начиная читать (по-английски) факультативный спецкурс в МИЭМе для студентов, от которых не требовалось знания английского языка, автор в течение первого получаса пользовался только тремя оборотами:

áтерминñ [.],

áтерминñ is а áтерминñ [.],

áтерминыñ are áтерминыñ [.],
четырьмя вводными словами (suppose, then, here, further), четырьмя разделительными выражениями (such that, if, and, where), одной присказкой (Is that clear?) и одним универсальным ответом на все вопросы (Never mind).

Начало лекции выглядело примерно так:

Definition. A manifold is a pair (M, A), where M is a topological space and A is an atlas; here an atlas A is a set A = { fα: Uα → Rn} such that   (i) Uα Ì M is an open set;  (ii)  fα is a homeomorphism; (iii)  U  Uα = M. αÎJ Examples: 1) M is Rn and A = {id: Rn → Rn}. 2) M is a sphere S n and A = {pi: S n – ni → Rin, i=1, 2}; here p1, p2 are stereographic projections. (Здесь на доске была нарисована соответствующая картинка.) Is that clear? Definitions. Suppose (M, A) is a manifold and α, β Î J; then  fα○ fβ–1 = tα,β is a transition function. Further, (M, A) is a smooth manifold, if " α, β Î J, tα,β Î C∞(Rn), where C∞(Rn) = { f : Rn → Rn |  f  is an infinitely differentiable map}. Suppose ...

Далее лекция продолжалась в том же духе. В конце первого получаса формулировалась (в пределах всё того же скудного языкового материала) теорема Уитни:

Theorem [Whitney, 1921]. Suppose M is a smooth manifold and dim M = n. Then there is a smooth embedding N→R²ⁿ⁺¹ such that M and N are diffeomorphic manifolds.

Конечно, пользуясь всего тремя оборотами (а, по существу, практически одним!), далеко не уедешь. В том спецкурсе, разумеется, репертуар используемых оборотов постепенно расширялся, но в первых трёх лекциях не превысил полутора десятков.

Чтобы написать приличный текст статьи, обычно можно обойтись 20–50 повторяющимися конструкциями, если их разбавлять достаточным (более 20) количеством вводных слов и выражений. Если ваш активный репертуар оборотов невелик, вам придётся затратить больше математических усилий, загоняя то, что вы хотите сказать, в рамки скудного запаса выразительных средств. Текст получится несколько однообразным, но зато понятным. (Кстати, в этой ситуации процесс его подготовки иногда способствует нахождению математических ошибок.)

Если ваш репертуар оборотов основателен, думать по существу придётся меньше, работа пойдёт быстрее, текст получится более разнообразным. Но здесь таится опасность — если оборотов очень много, теряется чёткая уверенность в их правильности, появляются несуществующие конструкции (обычно кальки с русского, которые, как вам ошибочно кажется, вы где-то видели по-английски).

Число необходимых (и достаточных) оборотов зависит также от характера излагаемого математического материала: если в основном проводятся вычисления и преобразования формул, то конструкций нужно совсем немного, в алгебре или теории категорий их нужно побольше, сложней приходится в геометрии, геометрической топологии и математической физике.

В этой книге приводится более 100 стандартных оборотов. Нет необходимости их все запоминать, достаточно освоить штук 20–30 основных и к ним добавлять «по вкусу» ещё столько же, выбирая их в зависимости от тематики вашей работы.

Прежде чем перейти к более формальному описанию того, что мы назвали стандартными оборотами, мы хотим подчеркнуть некоторые принципиальные различия между русским и английским языком.

Одно из главных различий между русским и английским языками — наличие падежей в первом и их отсутствие во втором. Другая важная особенность русского языка, отличающая его от английского, — это большая изменяемость слов (суффиксы, окончания, спряжение) по числу, роду, падежу и пр.

Это два обстоятельства придают русскому языку бóльшую гибкость, бóльшую свободу в управлении, позволяют разнообразить порядок слов и придаточных предложений. Напротив, в английском порядок слов (и частей фразы) значительно более жёсткий — чаще всего английское предложение в научном тексте строится по схеме:

К тому же английский язык более активный, он очень плохо переносит отглагольные существительные и бессодержательные слова-заполнители, конструкции вроде «появляется возможность рассмотрения», «настоятельная необходимость построения методов исследования» и т.п.

Эти языковые особенности приводят к тому, что при пословном переводе русского математического текста на английский (при полном соблюдении так называемых «правил грамматики английского языка») получается чрезвычайно тяжеловесный, в сущности нечитаемый, не английский текст. Более того, как мы видели выше, часто «теряется управление», и как следствие возникают серьёзные смысловые ошибки.

При желании оставаться как можно ближе к русскому тексту, в частности, соблюдать общую структуру фразы и, по возможности, порядок слов, приходится передавать функции падежных окончаний каким-то другим грамматическим механизмам, свойственным английскому языку. Основной используемый механизм — употребление словечек (предлогов), в частности of, in, on, at, for, under, from over.

Эти словечки должны появляться и при переводе русских предлогов (в, на, от, при, для, под, над). Трудность здесь состоит в том, что человек, не являющийся носителем английского языка, не знает, какие именно «словечки» нужны в той или иной ситуации. Почему-то по-английски говорится under the mapping, но as n→∞, в то время как по-русски здесь в обоих случаях при, группа преобразований переводится как transformation group, а вот система уравнений — как system of equations. Как постичь это нелёгкое искусство? Неужели для написания хорошего математического текста нужно держать в памяти тысячи и тысячи конкретных правильных конструкций с предлогами?

К счастью, без этого можно обойтись. В используемых нами оборотах мы избегаем, по возможности, конструкций с предлогами, обходясь более простыми построениями. Наиболее часто употребляемые обороты с привлечением предлогов (например, словосочетание ограничение на пространство) сведены в специальное дополнение (Приложение III). Кроме того, порядок слов в предлагаемых здесь оборотах — вполне английский, в них отсутствуют «управляющие связи» между различными частями предложений (см. по этому поводу § 15).

Итак, не перевод, а пересказ. А пересказ основывается на стандартных оборотах — штампах.

Математический штамп — это заготовка для создания однотипных математических высказываний; заготовка состоит из текста с пробелами для переменных слов (или словосочетаний); заполняя эти пробелы словами надлежащего типа, вы можете превращать штамп в конкретные математические высказывания.

Предъявляя штамп, мы будем указывать в угловых скобках тип переменных слов (словосочетаний), которые можно вставить в каждый пробел. Например, один из самых ходовых штампов

имеет два пробела, типа термин и характеристика, и порождает такие математические обороты как

The function  f  is continuous.

The manifold M is smooth.

Мы различаем всего три типа переменных слов (словосочетаний): кроме двух названных бывают ещё и ссылки. Тип ссылка появляется, например, в таком популярном штампе:

Он порождает, например, такие обороты:

Theorem 2.1 follows from Poincaré duality.

The last statement follows from Lemma 3.2.

Приведём ещё несколько часто встречающихся штампов, вместе с примерами их заполнения.

For any natural number there exists a successor.

For any projective space RPⁿ there exists a smooth embedding RPⁿ Ì R²ⁿ.

Целую серию штампов можно получить на основе бинарных отношений, таких как is, has, gives, is contained in, is isomorphic to, coincides with, generates, contains, spans и т.д.

Например,

The algebra sl(n) contains a primitive subalgebra.

The space X contains a dense ε-net.

В штампе может быть и более двух переменных слов, как, например, в популярном в алгебре штампе

The set of all integers is a group with respect to the sum operation.

The set of all square integrable functions is a Banach space with respect to the norm || f || = (∫ f ² dx)^1/2.

В роли переменного слова могут выступать математические символы или формулы, например,
For any xÎ(0, 1) there exists а y>x,  yÎ(0, 1).
(I) Þ (II)  follows from (2.7).

Имеются штампы, в которых некоторые пустые места обязательно должны заполняться символами, например,

Denote by x any element of X.

Denote by r any positive number.

Закончим этот краткий список штампов примером, часто используемым при формулировке определений. Мы видели, что определения — тонкое место, в котором русскоязычный автор чаще всего использует «лже-штампы» — придуманные им самим английские кальки русских конструкций, неловко звучащие или непонятные англоязычному читателю. Приведём пример «хорошего» штампа:

Any element xÎK₊ is called positive.

Any map  f ÎC^∞(Rⁿ, R^m) is called smooth.

В заключение этого параграфа — два замечания.

Первое. Часть приведённых штампов чаще всего появляется не самостоятельно, а как часть более сложных конструкций. Например, последние два штампа естественно продолжаются так:
Denote by G any group such that ...
Any map i: X → X is called involutive if ...

Мы не предлагаем в этой книге никаких длинных штампов; длинные фразы можно получить, комбинируя наши короткие штампы с помощью так называемых разделителей. Об этом рассказано в § 11.

Второе. Читатель, возможно, заметив артикли, появляющиеся в некоторых штампах, задавал себе вопрос — почему the, а не a (или наоборот)? Этот вопрос мы обсудим в §§ 9–10.

Как было сказано в предыдущем параграфе, в штампы вставляются переменные слова, разбитые нами на три типа. Эти типы (термин, характеристика, ссылка) — нечто вроде частей речи математического текста.

Характеристики — это слова или словосочетания, исполняющие роль прилагательного, уточняющие (сужающие, характеризующие) смысл математического понятия. Примеры: continuous, Jordan integrable, abelian, decreasing, associative, k-connected, admissible, hyperelliptic, Banach, stable in the sense of Lyapunov, arcwise connected, self-contradictory, asymptotically stable и т.п. ³

Термины — это главные действующие лица математической теории, исполняющие роль существительных. Например: set, function, smooth manifold, Banach space, foliation, linear differential equation of the second order, point, element of G, x-axis, zeta-function, small category, G-structure, K(π, n)-space, multiple integral, CW-complex, Chebysheff polynomial.

Термины обычно снабжаются артиклями, но этот важный вопрос обсуждается отдельно в § 9.

Ссылки появляются, когда мы комментируем математический текст, они обычно играют роль существительных, но обозначают не объекты теории, а её высказывания или куски высказываний; выражаясь высокопарно, можно сказать, что они относятся скорей к метаматематике, чем к математике. Примеры: the proposition, Theorem 2.1, the previous lemma, Hilbert's method, the WKB method, КAM theory, the paper [3] и т.п.

Одно и то же английское слово иногда можно отнести к двум (если не к трём) разным типам (в нашем смысле). Так, слово proposition может быть как термином (в математической логике), так и ссылкой (see Proposition 3.7), слово integral является и термином, и характеристикой.

Термины в математических текстах бывают двух сортов — понятия и объекты. В английских математических текстах понятия снабжаются артиклем a, а объекты — артиклем the. Вы будете правильно ставить артикли перед терминами, если научитесь различать объекты и понятия. А это совсем просто (для математика, понимающего создаваемый им текст).

Математический объект — это термин (слово или словосочетание), который был ранее зафиксирован или который однозначно определён контекстом.

Математическое понятие — это термин (слово или словосочетание), описывающий целый класс объектов, или представитель такого класса, фиксируемый в данный момент.

Так, в предложении «Группа Γ₀, рассмотренная в § 3, не проста» словосочетание группа Γ₀ — объект (ранее зафиксирован). В предложении же «(Z_n, +) является группой» слово группа — понятие (класс объектов). В предложении «Число P=max {a_i} положительно» словосочетание число P — объект (однозначно определён контекстом). А в предложении «Выберем такое число nÎN, что n>π» словосочетание число nÎN — понятие (выбираемый в данный момент представитель класса).

Поэтому при пересказе этих четырёх фраз артикли расставляются так:

The group Γ₀ considered in § 3 is not simple.

(Z_n, +) is a group.

The number P=max {a_i} is positive.

Choose a number nÎN such that n>π.

Упражнение 6. Определите, какие термины — объекты, какие — понятия, и перескажите следующие предложения по-английски.

1) Поле вычетов Z₅ не является алгебраически замкнутым.

2) Значение функции  f (z) = 1/(iz) при z=2 — чисто мнимое.

3) Степенной ряд вида ∑ a_nzⁿ может расходиться.

4) Функция w=1/z порождает инверсию.

 Ответ 

Вернёмся теперь к нашим штампам. Самый первый (см. § 7) можно теперь уточнить, записав его в виде

(Мы заменили áтерминñ на áобъектñ.) Четвёртый и пятый штампы из § 7 можно переписать так:

В последнем штампе мы оставили без изменений слово áтерминыñ: дело в том, что здесь (в множественном числе) артикля не требуется. В дальнейшем в наших штампах мы будем явно указывать, какие термины — объекты, какие — понятия.

Заметим, что в английском языке имеются вполне грамматически правильные видоизменения штампов с is — конструкции вида

однако мы не включаем их в наш список штампов, поскольку они — особенно второй — редко используются в математических текстах. Конечно, можно (пользуясь первым из них) сказать: A one-point subset of  R is a compact set, но эту мысль лучше выразить с помощью другого штампа: Any one-point subset of  R is a compact set.

Отметим ещё два часто используемых ⁴ штампа с артиклем a:

Может показаться, что артикль a во втором штампе не логичен (áпонятиеñ однозначно определено контекстом, поэтому хочется сказать the unique); однако, то обстоятельство, что áпонятиеñ в этом месте вводится (фиксируется, обозначается), превалирует над тем, что оно определено контекстом. Не в нашей власти менять живой английский язык — в этом контексте англоязычные математики всегда говорят a unique; запомнив этот особый случай, так же будем поступать и мы.

Вот ещё два штампа с артиклем a:

Первый, так же как штамп there exists а (которому он синонимичен), обычно используется с разделителем such that. А вот пример употребления второго штампа:

The equation has a nontrivial solution.

В заключение этого параграфа отметим один важный штамп с двумя артиклями the:

The number 17 is the smallest Gaussian integer.

Разумеется, всё сказанное про штампы с is переносится на штампы, в которых вместо is стоит другое бинарное отношение (см. § 7).

В заключение этого параграфа — одно замечание про модификацию an артикля aa. В Москве и в других российских городах студентов и школьников учат, что an ставится вместо a перед словом, начинающимся с гласной. Это неправда. Вот два контрпримера:

Let M be an n-dimensional manifold.

Suppose P has a y-coordinate greater than 1.

На самом же деле an ставится перед гласным звуком (звуком, а не буквой!). Названия некоторых согласных начинаются с гласного звука (например, n) и наоборот (например, y). Словом, нужно ориентироваться на произношение, а не на формальную принадлежность букв к фонетическим категориям.

В предыдущем параграфе мы видели, как выбираются артикли a и the при использовании штампов. Это оказалось делом нехитрым; автор уверен, однако, что продвинутый читатель испытывает определённое разочарование — ему хотелось знать, какой артикль ставить и в более сложных ситуациях, не ограничиваясь простыми штампами, отобранными мной для этой книги. Для такого читателя написан этот (необязательный) параграф.

Обещанные правила мы сформулируем в виде аксиом; но при этом нужно иметь в виду, что система аксиом не будет непротиворечивой: в некоторых ситуациях применимы сразу две аксиомы, дающие противоположные указания. В этом, однако, нет ничего страшного — в этих ситуациях любой выбор допустим; какой из них лучше (вопрос уже вкусовой), зависит от автора и от того нюанса, который он хотел подчеркнуть.

Упражнение 8. Возьмите препринт англо-саксонского автора по вашей специальности и для каждого артикля (в том числе нулевого) определите, в соответствии с какой из аксиом I–XIII он был поставлен.

Все штампы, которыми мы пользуемся, достаточно короткие и простые. Однако, комбинируя их, можно строить и более длинные составные предложения, пользуясь служебными словами-разделителями. Схематически это выглядит так:

или в более общем виде

Примеры:

[There exists a δ>0] ásuch thatñ [U contains  f (O_δ x)].

[Suppose x is a root of equation (2.1)] ásuch thatñ [(λx, x) is positive] á, whereñ [λ is the least eigenvalue of the operator A].

В качестве разделителей выступают следующие слова (словосочетания): if | , where | when | whenever | such that | and | or | but | although | unless | provided | , i.e., | whence.

Разделители обладают следующим замечательным грамматическим свойством: они семантически связывают синтаксически законченные части предложений, но не требуют никаких внутренних согласований отдельных слов (и их окончаний) внутри разных частей. Не все служебные слова обладают этим свойством: например, словечки that и which, а также местоимения, как правило, выполняют определённую грамматическую функцию внутри той части предложения, которую они открывают, и часто требуют некоторого синтаксического согласования с предыдущими частями.

Таким образом, при использовании разделителей (и их выборе) нужно следить за семантикой (математическим смыслом) предложения, но нет нужды думать о синтаксисе (грамматике). В наших составных предложениях отдельные штампы выстраиваются в ряд, а разделители играют роль маркеров, обозначая конец предыдущего штампа и начало последующего. Структура фразы поэтому получается линейной, сложноподчинённые придаточные предложения исключены.

Небольшое отступление о запятых. Заметим, что запятая сама может играть роль разделителя. Например,

[Suppose  f : M → N is a map] ásuch thatñ [ f (M) is compact] á,ñ [the closure  f (M) coincides with N], áandñ || f || < ∞.

Далее, перед разделителями where и i.e. обязательно ставится запятая (таким образом, разделителем являются не сами эти словечки, а конструкции á, whereñ и á, i.e.,ñ. Перед разделителем and запятая ставится только, если предшествующие два штампа разделены запятой-разделителем, т.е. при перечислениях утверждений или условий. Перед остальными разделителями запятая не ставится никогда. Особенно неуместна (но часто встречается в плохих переводах) «русская запятая» перед such that.

Вообще же, использование запятых в английском языке принципиально отличается от их использования по-русски. Основная цель расстановки знаков препинания в русском тексте — продемонстрировать читателю, что автор владеет правилами русской пунктуации. В английском языке правил пунктуации просто нет, и запятые ставятся для удобства читателя. Поэтому в хороших математических текстах запятые — редкие гости. Мысль развивается линейно, с неукоснительной логикой и без пауз. Запятые появляются разве что при перечислениях, или могут отделять вводные выражения (см. § 13) в начале фразы (если требуется смысловая пауза), наконец они играют роль «слабых скобок», выделяя разные дополнения или отступления от основной мысли (как запятые перед where в ситуации, описанной выше, или запятая перед which, отделяющая так называемую restrictive clause, см. § 16).

Русскоязычному читателю особенно трудно будет отделаться от «русской запятой» перед such that и that, он будет забывать про запятую перед союзом and, возвещающую о конце перечисления. Но со временем и здесь появится свой — уже англоязычный! — автоматизм. Возвращаясь к разделителям, отметим, что их выбор не должен вызывать затруднений, однако несколько замечаний могут здесь оказаться полезными. Во-первых: such that — цельная конструкция; such и that нельзя разводить так, как разводятся такой и что по-русски. Например, следующая калька с русского:

Consider such a number n that  f (n) > C.

недопустима. Здесь естественна следующая составная конструкция:

Let n be a number such that  f (n) > C.

Во-вторых, отметим явно (хотя математику это должно быть и так ясно), что разделитель áifñ (перед которым запятая не ставится) отвечает импликации Ü (а не импликации Þ, как в if ..., then конструкции). В-третьих, посоветуем пользоваться разделителем whenever; это словечко не имеет хорошего аналога на русском языке, оно означает если только, всегда когда и т.п. и хорошо звучит, например, в следующих предложениях:

The function  f_n is increasing whenever n is even.

The integral ∫_K f dσ is defined whenever K is compact.

Успешное выполнение этого трудного упражнения говорит о довольно высоком уровне читателя. Если вы с ним не справились, имейте в виду: писать «свой» текст намного легче, чем переводить трудный чужой.

Под рекурсивными конструкциями мы понимаем схемы построения фразы, в которых в качестве переменной появляется не слово (термин, характеристика, ссылка), а целый штамп. Вот пример, часто встречающийся в естественных текстах:

From Theorem 3.1 it follows that the function φ is upper semi-continuous.

From our definition it follows that M contains an irreducible manifold.

Полезна (часто используется) и такая рекурсивная конструкция:

Since  f  is unbounded, we see that the integral ∫ f dx is undefined.

Вариантами этой конструкции являются:

Since  f  is bounded, we have ∫ f (x) dx < ∞.
 

SINCE [штамп], WE OBTAIN á формула ссылка ñ

Since the expression in brackets is positive, we obtain the required inequality.

Отметим несколько распространённых искажений этих конструкций. После follows не следует опускать словечко that; не нужно это словечко вставлять после have перед формулой, и вообще we have that звучит неловко, лучше we see that. Недопустима и конструкция since [штамп], then [штамп], аналог русской конструкции так как [штамп], то [штамп] ⁵.

Заметим, что на самом деле в конструкциях настоящего параграфа вместо переменных штампов можно вставлять и составные предложения. Именно поэтому мы называем эти конструкции рекурсивными. В принципе можно даже рекурсивные конструкции подставлять в качестве переменных внутри самих себя, но это редко бывает полезным и в целом нежелательно.

Приведём ещё несколько достаточно сложных, но вполне приемлемых примеров.

For all functions  f  of class C^∞ such that the inequality || f || < C is satisfied, where the constant C is independent of  t, we have ∫_M f dx < ∞.

FOR ANY áпонятиеñ SUCH THAT [штамп 1], IT FOLLOWS THAT [штамп 2]

For any random variable X such that X·Y₀ is measurable with respect to A, it follows that the mixing coefficient is bounded.

В последнем примере мы комбинируем две из предыдущих конструкций.

Since [ f  is unbounded] we see that [ for any áconstant Cñ such that [1/C < ε] it follows that [áthe integral ∫_K Cf dx < ∞ñ is ádivergentñ]].

Вводные выражения в математических текстах — это стандартные слова или словосочетания, появляющиеся в начале фразы и выполняющие определённые семантические функции, но не влияющие на дальнейший синтаксис предложения. В отличие от штампов, они не являются синтаксически замкнутыми и поэтому требуют продолжения. Для иллюстрации рассмотрим следующий текст:

Suppose  f (a) and  f (b) have opposite signs. Then, since  f  is continuous, it follows that there exists a point cÎ[a, b] such that  f (c) = 0. Without loss of generality, we can assume that  f (a) < 0 and  f (b) > 0.

Здесь мы выделили жирным шрифтом три вводных выражения. Их функции понятны — они могут определять контекст следующей за ними фразы, связывать её с предыдущей, нести определённую смысловую нагрузку. Часто вводные выражения употребляются как комментарий к последующему тексту, могут оживлять и украшать его, не требуя при этом установления внутренних грамматических связей (синтаксических изменений) в последующем тексте.

Вводные выражения появляются очень часто (в начале абзаца — почти всегда); типичная фраза математического текста имеет вид

А вот пример с тремя штампами:

áNow we can suppose thatñ [there exists a free group F] ásuch thatñ [G is isomorphic to FÅK] á, whereñ [K is finite].

Мы приведём здесь список наиболее ходовых вводных выражений, сгруппированный по близости смысла. Более полный список приводится в Приложении II. Наш список возглавляют два наиболее употребительных однословных вводных выражения suppose и then.

О них хочется сказать особо. Suppose (= пусть) — универсальное слово, наряду со словом let (см. § 18), открывающее почти все математические рассуждения или «подрассуждения». Then (= тогда) — универсальное слово, открывающее почти все фразы, продолжающие уже начатое рассуждение. Я очень советую пользоваться конструкцией

как можно чаще, избегая соблазна загнать присутствующую здесь импликацию ([штамп 1] Þ [штамп 2]) в единую фразу без точки с запятой. Особенно это полезно, когда перед вами уже написанный по-русски текст, состоящий из громоздких фраз, содержащих импликации явно или неявно (в виде следования или последования); как вас учили в школе, громоздкую фразу вы логически разбиваете на условие («что дано») [штамп 1] и заключение («что требуется доказать») [штамп 2] и используете suppose ...; then ... конструкцию. Это очень просто, снимает необходимость маневрировать с придаточными предложениями, хитрыми временами глаголов и прочей грамматикой и приводит к прозрачному тексту.

А вот и список основных вводных выражений. Более полный список приводится в Приложении II.

Suppose | Assume that | Now suppose that | Further assume that

Then | Further, | Finally | Moreover | Now

Therefore | Hence | It follows that | Thus

Similarly | In the same way | As above,

For example | In particular | In this case,

Let us prove that | Let us show that | We now prove that

Note that | Let us remark that

Prove that | Show that

It is clear that | It is obvious that | It is evident that | It is easily proved that

But | However | Nevertheless,

By assumption | By the inductive assumption | By definition | By construction,

Without loss of generality it can be assumed that

To be definite | For the sake of being definite

It remains to check that | Now we must only prove that

This means that | In other words,

Continuing in the same way, we see that

In addition, suppose that | Furthermore, assume that

Выше мы уже говорили о том, что английский язык очень плохо переносит характерные для русского языка нагромождения отглагольных существительных (в разных падежах), отмечали, что конструкция

значительно лучше звучит по-английски, чем те или иные «грамматически правильные» кальки с русского. В этом параграфе мы покажем, как пересказывать по-английски те сложные пассивные конструкции, которые вам подсказывает ваше русскоязычное сознание ⁶.

Мы не будем, однако, строить теорию по поводу этой деятельности, а ограничимся списком примеров, состоящих из предложений русского языка с их пересказом на английский, в надежде на то, что читатель самостоятельно научится осуществлять такой пересказ по этим образцам.

1. Целесообразность создания такой теории тем более должна быть подчеркнута, что предшествующие работы характеризуются громоздкостью конструирования соответствующих аддитивных резольвент.
   This theory will be useful, since previous work involves constructing very complicated additive resolvents.
2. Цель настоящей статьи состоит в нахождении путей решения некоторых задач архитектуры и анализа параллельных программ для мультипроцессорных систем.
   In this paper we consider certain problems related to the architecture and analysis of parallel programs for multiprocessor systems.
3. Наличие малого параметра в задачах оптимизации регулярных структур, появляющихся на поверхности стохастизированных ферромагнитных сред, делает целесообразным применение методов работы [2] для поиска решений стационарных уравнений типа Гинзбурга–Ландау.
   Optimization problems for regular structures appearing on the surface of stochastic ferromagnetic media involve a small parameter; therefore, the methods from [2] for solving stationary equations of Ginzburg–Landau type should be used here.

Читателю должна быть ясна стратегия такого пересказа:

· заменять отглагольные существительные активными глаголами;

· не бояться разбивать одно длинное предложение на несколько коротких;

· беспощадно искоренять неинформативные слова-заполнители, вроде «целесообразность нахождения путей решения задач ...».

Но лучше всего: не пересказывайте подобных текстов, сначала поймите, что именно вы хотите сказать, скажите это просто и ясно (про себя по-русски), а потом уже перескажите (ещё проще и яснее) по-английски.

Заметим, что нагромождение отглагольных существительных, как правило, естественно возникает только в комментариях к теории, а не в самой теории, т.е. в первую очередь во вводных абзацах к статьям. Автор не берётся быстро научить не знающего английского языка математика писать изысканные введения к своим статьям. Поэтому — увы! — для вас выход один: писать максимально упрощённые введения. Кроме общетеоретических указаний этого параграфа, вам в этом отношении помогут (конкретными оборотами) §§ 28, 29 из следующей главы.

Выше (см. § 6) мы видели, какие серьёзные ошибки из-за потери управления могут возникнуть при употреблении «связывающего словечка» which как перевода местоимений который (которая, которые, которое) и что. В этом параграфе мы предлагаем разные рецепты для пересказа предложений, содержащих эти местоимения.

Основной принцип предельно прост: пользоваться словечками which, it, whose и that просто не следует. «Но как тогда быть?» — спросит читатель. Как перевести, скажем, фразу:

Всякая группа G, которая содержит свободное прямое слагаемое F, эпиморфно отображается на циклическую группу?

А очень просто. Например,

Suppose that the group G possesses a free direct summand F; then there exists an epimorphism of G onto a cyclic group.

Идея пересказа здесь (и во многих других случаях) состоит в том, чтобы разбить фразу на две, заменив местоимение which на разделитель then, соединяющий две синтаксически не связанные части; грамматическую роль местоимения играет сам символ G во второй фразе.

Вот другой пример:

Рассмотрим теперь счётное подмножество AÌX, замыкание которого совпадает с X.

Предлагаемый перевод:

Now suppose A is a countable subset of X such that the closure of A coincides with X.

Или более лаконично:

Now suppose AÌX is countable and A = X.

Заметим, что в этом простом случае почти пословный перевод

Consider now a countable subset AÌX whose closure coincides with X.

вполне допустим, но мы предлагаем просто забыть про слово whose для избежания ошибок в более сложных ситуациях.

Заодно следует забыть и про коварные it, which и that.

Употребление местоимения it, впрочем, часто приводит к ошибкам другого рода. А именно, русскоязычные авторы обычно используют it вместо this как пословный перевод словечка это, например,

If  f  has an extremum at c, then  f (c) = 0. It is only true for differentiable functions.

The integral 3.1 is calculated by special substitutions. It can be done as follows.

В обоих случаях случаях вторая фраза должна начинаться со слова This (а не It). Вообще можно запомнить, что it обычно замещает конкретный объект, в то время как this (когда оно — местоимение) замещает ссылки и описания процессов или конструкций.

Впрочем, всё это довольно хитро, и проще придерживаться принципа, указанного в заголовке этого параграфа.

Этот параграф — для продвинутого читателя, который, понимая опасность использования which и that, хочет знать, каким из этих словечек нужно пользоваться в тех или иных (безопасных) случаях. Ответ на этот вопрос легко формулируется по-английски:

that introduces a restrictive clause;

which introduces a nonrestrictive clause.

По-русски это можно пояснить так: если придаточное предложение, начинающееся с местоимения, сужает (ограничивает) класс объектов, описанных тем существительным, которое замещает это местоимение, то этим местоимением должно быть that; иначе (т.е. когда придаточное предложение только даёт дополнительное описание существительного, не сужая класс его денотатов) употребляется which; во втором случае (в отличие от первого) придаточное предложение отделяется запятыми. Предыдущее объяснение вряд ли легко понять, поэтому мы приведём несколько примеров:

Decimal fractions that are periodic correspond to rational numbers.

Decimal fractions, which will be discussed in more detail in § 5, correspond to rational and irrational numbers.

Any open set that contains the point x is called a neighborhood of  x.

Any open set, which may be empty, has a closed complement.

The ring Z_p that satisfies 1<p<4 is a field.

The ring Z_m, which is always commutative, is not always a field.

Носители английского языка иногда (в нарушение описанного выше правила) пишут which вместо that, однако автоматически ставят правильно (ключевые!) запятые, выделяющие nonrestrictive clauses. Русскоязычному же автору придётся специально об этом думать.

При пословном переводе русских математических текстов часто возникает цепочка союзов of, крайне неблагозвучная на английском языке. Например, фразу

G есть группа преобразований пространства Фреше функций ограниченной вариации.

вы, наверное, захотите перевести так:

G is the group of transformations of the space of Fréchet of functions of bounded variation.,

что, конечно, недопустимо (пять of подряд!). Как избегать таких казусов? В этом параграфе мы предлагаем для этого пять разных приёмов.

· Первый способ: перестановка. Большинство английских существительных (даже имена собственные) превращаются в прилагательные, если их поставить перед другим существительным. В нашем примере это естественно сделать со словосочетаниями group of transformations и space of Frechet] тогда получится более приемлемая фраза:

G is the transformation group of the Fréchet space of functions of bounded variation.

· Второй способ: глаголы и ing-овое окончание. Отглагольные существительные в цепочках с of можно заменять на глаголы в инфинитиве или в ing-овой форме, убивая тем самым один of. Например, предложение

Воспользуемся (1.2) для построения группы преобразований пространства X.

можно перевести так:

Let us use (1.2) for constructing the transformation group of the space X.

или так:

Let us use (1.2) to construct the transformation group of X.

· Третий способ: замена of на for. Очень часто один из of в «цепочке» можно заменить на for. (Как правило, это можно сделать в тех случаях, когда по-русски в этом месте можно поставить словечко для.) Пример: начало предложения

The theory of differential equations of shallow waves of second order of the form ...

можно выразить лучше, применив сразу первый и третий способы:

The theory of second order differential equations for shallow waves of the form ...

· Четвёртый способ: использование генитива ('s). Когда союз of означает принадлежность, то его можно устранить: для этого нужно переставить местами разделенные им слова и добавить 's к слову, поставленному первым. Например, вместо theorem of Cauchy написать Cauchy's theorem, вместо roots of the equation — the equation's roots.

· Пятый способ: перестройка фразы. Иногда целесообразно решительно изменить фразу, например, заменив одно из существительных активным глаголом или разбив предложение на два. Так, при пословном переводе фразы

Вычислим эйлерову характеристику множества нулей квадратичного отображения пространства функций класса C^∞.

получится цепочка из шести (!) of, однако следующий пересказ:

Suppose F is the space of C^∞ functions and Z is the zero set of the quadratic map q: F → R; let us compute the Euler characteristic of Z.

устраняет целых три of и не только проще для понимания, чем пословный перевод, но и чем русский оригинал.

У читателя, изучавшего английский язык, наверняка остались смутные, но мучительные воспоминания о грамматике спряжения глаголов, о сложных временах вроде Past Perfect Continuous, столь близких сердцам вузовских преподавательниц английского языка, К счастью, эта огромная и сложная информация совершенно не нужна для написания математических текстов: в них почти всегда используется одно единственное время — настоящее.

В этом параграфе мы обсуждаем исключения из этого общего правила.

Прежде всего, это часто используемая конструкция let ... be ..., в которой инфинитив be никак нельзя заменить на активную форму глагола. Этот штамп обычно появляется, когда вводятся обозначения (в начале изложения теории или доказательства), и о нем сказано отдельно в § 22. Здесь мы подчеркиваем только то, что let не совместим с is или любым другим глаголом в настоящем времени.

Далее, во введениях к статьям и комментариях иногда используется прошедшее время. Вот типичные примеры:

In [2], G. Margulis proved that ...

It was shown in [AV] that ...

In the paper [3], appropriate bifurcation diagrams were constructed ...

При желании можно пользоваться подобными конструкциями, но в них нет необходимости: замены proved → proves, was → is, were → are превращают прошедшее время в настоящее в этих примерах, при этом текст звучит вполне нормально. В подобных ситуациях настоящее время всегда годится.

Обойтись настоящим временем труднее в тех случаях, когда автор даёт обещание о будущем, например,

This will be discussed in a further paper.

In the next section, we shall prove that ...

The proof will be given in § 10.

хотя в последних двух примерах можно говорить и в настоящем времени (заменив shall prove на prove, will be на is).

Обратим ещё внимание на полезную конструкцию

использование которой вместо we shall show that не только экономит два печатных знака, но (по моему мнению) и звучит лучше, да к тому же устраняет по существу не нужное здесь будущее время.

Наконец, отметим, что естественное желание использовать условное наклонение в фразах вроде

If we could prove that ... it would then be possible to ...

Were the function φ continuous, we could ...

в большинстве случаев можно подавить без ущерба для смысла (например, первую фразу можно начать так: If we prove that ... then it is possible to ...)

Среди наших штампов лишь два или три содержат глаголы в прошедшем времени (например, ряд штампов в § 28).

Тема этого параграфа выходит, строго говоря, за рамки предлагаемой книги, но автор не смог удержаться от небольшого комментария.

Наиболее популярная стратегия подготовки к выступлению на международной конференции или школе состоит в том, чтобы написать русский текст статьи, перевести его на «английский», выучить перевод наизусть, потренироваться на друзьях и родственниках и бойко оттараторить свой доклад. Результат однозначен: после первых двух минут все перестают слушать: «Another Russian — can't understand anything».

Однако математик, овладевший материалом этой книги, сможет успешно выступить по-английски (даже если местами его произношение вызовет улыбки у англо-саксонских слушателей), если будет следовать приведённым здесь советам.

1. Не пишите текст выступления.
2. Пользуйтесь небольшим набором тех простейших математических оборотов (штампов), в которых вы совершенно уверены.
3. Тренируйтесь (можно про себя, в трамвае) излагать математические теории по теме доклада с помощью этих штампов.
4. Пишите больше, говорите меньше! Пользуйтесь без пояснений общепринятыми международными математическими сокращениями (типа Rⁿ, Þ, Th., ", C^∞).
5. Ни в коем случае не читайте формулы, просто напишите их. Впрочем и писать их не надо, если вы заранее заготовите прозрачки (transparencies) для диапроектора (я очень это рекомендую аналитикам, работающим с громоздкими формулами ⁷).
6. Не говорите длинных, ненужных глупостей (вместо In order to prove this theorem, we shall need the next lemma, напишите L1 и скажите Lemma).
7. He готовьте обстоятельных, глубоких, остроумных, язвительных, благодарственных, литературных, иронических вступлений к лекциям и докладам. Максимум одна-две фразы. Например: I will talk about generalized KAM theory (пишите аббревиатуру KAM). This is new unpublished joint work with Shubin (пишите М. I. Shubin). Дальше: Main theorem. Let ... и т.д.
8. He бойтесь вопросов. На них не обязательно отвечать в течение доклада (особенно когда вы не поняли вопроса), можно ограничиться «универсальным ответом» вроде Never mind или, лучше, Let's discuss this later, а после доклада подойти к задавшему вопрос и честно сказать: I didn't really understand your question.
9. He надейтесь, что все всё поймут (сколько из прослушанных вами по-русски докладов вы на самом деле поняли?), но постарайтесь, чтобы основные формулировки были сказаны медленно, просто, хорошо зафиксированы на доске. Доказательства не только могут, но и наверное должны остаться непонятными (иначе уважать не будут), достаточно, чтобы чётко прозвучали ключевые слова.
10. Пишите на доске все упомянутые вами фамилии (иначе при вашем произношении не поймут, о ком речь).
11. Для оживления доклада придумайте себе несколько простых, но нетривиальных присказок, в которых проявляется ваша индивидуальность. Например, The proof is very very very trivial, Actually ..., In this situation ..., Optimistic conjecture ..., Well of course ..., This guy here ..., That complicated thing ... Прослушав несколько докладов своих коллег, методом избирательного плагиата вы можете пополнить свой репертуар словечек и присказок.
12. Если это отвечает вашему темпераменту, некоторую добавочную информацию и эмоции можно довести до слушателей жестикуляцией или мимикой.
13. Если вы не И. М. Гельфанд, не рассказывайте анекдотов.
14. В конце доклада не благодарите слушателей за внимание. Скажите что-то вроде Well, that's all или разведите руками и скажите Му time is up, so I'm finished.

Если вы не только пролистали, но и проработали первые две главы этой книги, вы можете начать писать свою статью по-английски. Конечно, лучше сначала ещё прочитать и последнюю, третью главу книги, а затем взяться за перо. Однако можно осваивать и использовать материал третьей главы по мере того, как вы пишете свой первый опус.

Исходя из такой стратегии и написана третья глава — её параграфы выполняют определённые функции (указанные в их названии), к ним можно обращаться по мере надобности. Например, если вы собираетесь в своей статье дать определение — обратитесь к § 21 («Как дать определение»), если при доказательстве вы описываете вычисления — смотрите § 24 («Как комментировать вычисления») и т.п.

В настоящем параграфе мы хотим подвести итог и перечислить общие принципы, изложенные в главах I и II:

• пословный перевод приводит к нечитаемому тексту и к смысловым ошибкам;
• грамматикой мы не пользуемся;
• нужен не перевод, а пересказ, основанный на стандартных оборотах (математических штампах);
• из простых синтаксически замкнутых кусков (штампов) можно создавать более сложные фразы, открывая их стандартными вводными выражениями и расставляя между штампами подходящие разделители (не требующие никаких грамматических согласований между разными кусками);
• структура фраз остаётся линейной, без придаточных предложений, без местоимений, без пассивных конструкций с нагромождением отглагольных существительных, без глаголов в сложных временах;
• если вы сами знаете, что вы хотите математически сказать, то по-английски это можно сказать очень просто и прозрачно, пользуясь небольшим набором оборотов (штампов), освоенных при работе с этой книгой.

Последнее напутствие перед работой: будучи профессиональным математиком-исследователем, вы — обладатель высокотренированного мозга, и если вы этот мозг будете использовать при создании английского текста с тем же творческим педантизмом, что при математической работе, успех обеспечен.

В этой главе, как явствует из её названия, собраны необходимые для написания математической статьи обороты, вместе с соответствующими пояснениями. Обороты сгруппированы по тематическому признаку и легко находятся по названиям параграфов. Однако эта глава — не только справочного характера; в ней, кроме примеров, переводов на русский и пояснений, содержатся указания о стратегии написания статьи, в частности, относительно выбора того или иного штампа. Более компактный список всех штампов (без пояснений и указаний) содержится в Приложении I.

Мы уже отмечали (см. § 1), что пословный перевод на английский наиболее употребительной русской конструкции для формулировки определений («назовём так-то то-то») никуда не годится.

Простейший (и очень употребительный) способ дать определение по-английски — это конструкции с глаголом is; эти конструкции используются как для определения характеристик (прилагательных, см. § 7), так и для определения объектов и понятий (существительных, см. § 9). Приведём несколько примеров:

1. A group G is abelian if g*h=h*g for all g, h Î G.
   
2. A relation > is a partial order on S if > is reflexive and transitive.
   
3. A reflexive and transitive relation is a partial order.
   
4. The set of all limit points of AÌT is the closure of A.
   
5. The closure A of a subset AÌT is the set of all limit points of A.

Обратите внимание на то, что определяемое слово выделено; я настоятельно рекомендую всегда выделять курсивом слова, вводимые при определениях, особенно при определении терминов (иначе может оказаться неясным, какой термин вводится: тот, что перед is или тот, что после). Если вы хотите придать определению дополнительную торжественность, перед ним можно поставить слово Definition (и даже снабдить номером, если вы часто даёте торжественные определения). Если же вы хотите намекнуть на вашу причастность к даваемому определению, перед штампом-определением с глаголом is можно поставить вводное выражение

или в виде отдельной фразы поставить перед определением одну из следующих идиом:

При определениях близкими к конструкциям с is (и также часто употребляемыми) являются конструкции с is called. Эти конструкции, в отличие от конструкции с is, не симметричны: в них определяемое слово обязательно ставится после is called. Примеры:

6. A group is called abelian if ...
   
7. A relation > is called a partial order if ...
   
8. The set of all limit points of AÌT is called the closure of A in T.

Читатель, внимательно проработавший § 9 (об артиклях), понимает, почему в примерах 2), 3), 7) и 4), 5), 8) стоят артикли a и the соответственно: пользуясь делением терминов на «объекты» и «понятия» (§ 9), эти примеры можно представить как реализации штампов

Здесь всюду артикль a ставится перед понятиями, a the — перед объектами. В определениях особенно легко отличать объекты от понятий: объекты определены однозначно, а понятий много. Так, у подмножества AÌT топологического пространства T имеется единственное замыкание, поэтому в примерах 4), 5) сказано the closure. Напротив, частичных порядков на множестве много, поэтому в 7) говорится a partial order.

Отметим ещё, что перед конструкцией is called при желании можно поставить заголовок Definition, но нельзя, разумеется, ставить вводное выражение We say that.

Чтобы избежать назойливого повторения, конструкцию с is called можно иногда заменять на is said to be, как, например, в штампе

В случае, когда определяемые предметы находятся в множественном числе, в предшествующих штампах следует заменить is на are. Например:

The vectors a₁, ..., a_n are linearly independent if ...

The points x, y are called dual singular points ⁸ of the surface M if ...

Подведём промежуточный итог для читателя, который желает освоить минимальный набор штампов.

Чтобы дать определение, проще всего воспользоваться конструкцией с is called; для характеристик (прилагательных) она задаётся штампом

а для терминов (существительных) — штампом

притом перед термином ставится артикль the, если этот термин однозначно фиксируется определением, и артикль a, если определяемый термин представляет собой понятие (целый класс объектов).

Предлагаемые штампы годятся для сравнительно коротких определений. Но как быть с очень сложными, с теми, что не умещаются в одну фразу после if (даже с привлечением дополнительных разделителей, например, such that)! Мы предлагаем два способа.

Первый основан на использовании штампов

в конце которых под номерами (i), (ii), ... перечисляются условия, определяющие вводимый термин (характеристику). Здесь вопрос выбора артиклей решается так же просто, как выше.

Второй способ состоит в том, чтобы сначала описать контекст определения в виде нескольких штампов, начинающихся со слова suppose ⁹ и разделённых точками с запятой (и/или «разделителями», см. § 11), а затем воспользоваться штампами

При этом слово áтерминñ в начале этих штампов, разумеется, не требует артикля (так как перед ним стоит this), и это слово должно было появиться в описании контекста (до then). Вопрос об артикле перед вторым термином в первом из этих двух штампов решается так же, как и выше.

Если вы даёте много определений и не хотите всё время повторять одну и ту же конструкцию, вы можете, во-первых, чередовать is и is called, во-вторых, вместо is called писать is said to be и, наконец, пользоваться is-конструкцией с вводным выражением we (shall) say that.

Если при определении фиксируется стандартное обозначение вводимого объекта, полезен следующий штамп:

Например, можно сказать

The set of all limit points of AÌT is called the closure of A and is denoted by A.

Очень часто этот штамп предваряется suppose ..., then конструкцией.

Если вы хотите разнообразия и в этой ситуации, есть другой равносильный штамп:

Читатель, конечно, понимает, как выбрать здесь артикли перед терминами. Заметим, что вместо определяемого термина здесь можно поставить и определяемую характеристику.

В заключение этого параграфа — несколько слов о конструкциях, в которых is и is called принципиально не годятся. Это бывает, в частности, в ситуациях, когда по-русски ключевой глагол в определении — не называется, является, есть, а глагол вроде имеет или обладает.

Например, как определить по-английски наличие неподвижной точки у отображения или сингулярности у поверхности? Здесь уместен следующий штамп:

Например ¹⁰,

We say that the map  f : X → X has a fixed point x₀, if  f (x₀) = x₀.

Нельзя пользоваться конструкцией is called и в случае, когда определяемый объект вводится в виде символа — формулой. Тогда я предлагаю такой штамп:

Например,

By definition, put

Подведём итог параграфа: с небольшим числом исключений определения удобнее всего давать с помощью основной конструкции is called, которая используется как в чистом виде, так и с прибавлением if ... с последующим перечислением или предваряется конструкцией suppose ..., then.

В первую очередь этот параграф посвящён наиболее употребительному штампу в английских математических текстах

LET á символ термин ñ BE áтерминñ

Этот оборот появляется как в формулировках теорем, так и в их доказательствах, особенно в начале (или в начале изложения теории), когда фиксируются рассматриваемые объекты и вводятся основные обозначения. Рассмотрим несколько примеров.

9. Let  f : X → Y be a continuous map.
10. Let the domain D be bounded.
11. Let γ be a smooth curve and let the following condition be satisfied: for any ε > 0 ...
12. Let the number m be the least upper bound of the function  f  on the interval (0, 1).

Наиболее часто встречаются примеры, аналогичные 9); пользуясь терминологией §§ 8–9, их можно объединить в виде штампа

Достаточно часто используются и следующие штампы:

Например,

Let d be the degree of  f.

Например,

Let n be even.

Например,

Let the origin be a critical point of  f.

Например,

Let the map  f _*: H₁(X) → H₁(Y) be the homomorphism induced by  f : X → Y.

Читатель, проработавший §§ 7–9 (и понимающий соответствующую математику!), здесь без труда поймёт, когда нужно ставить артикли the и a и почему. Например, в самом последнем примере любой математик, хоть чуть-чуть знакомый с топологией, понимает, что в данном контексте (при фиксированном отображении  f : X → Y) имеется однозначно определённое индуцированное отображение  f _* групп гомологий и поэтому дважды требуется артикль the.

Довольно часто в начале доказательств приходится фиксировать много обозначений. В этом случае можно итерировать конструкцию let ... be ... , например, можно написать

Let X be an arbitrary topological space, let H^*(X) be its singular cohomology, and let n be the largest integer such that Hⁿ(X) ≠ 0.

Однако, я не очень рекомендую подобные длинные перечисления — они звучат, по-моему, слишком однообразно — и советую конструкцию suppose ... is.

Suppose X is an arbitrary topological space, H^*(X) is its singular cohomology, and n is the largest integer such that Hⁿ(X) ≠ 0.

Другой вариант перечисления с let состоит в том, чтобы пропускать все be (и все let) после первого.

Let X be an arbitrary topological space, H^*(X) its singular cohomology, and n the largest integer such that Hⁿ(X) ≠ 0.

Обратите внимание на отличие английской пунктуации в этой фразе от русской: нет тире после H^*(X) и n (эти тире по-английски недопустимы, и скорей всего будут прочитаны англоязычными математиками как знаки минус), а запятая перед and — обязательна (здесь перечисление: см. § 11).

Другой широко распространённый способ вводить обозначения основан на следующем штампе:

Например,

By H^*(X) denote the cohomology of X.

By g denote an arbitrary element of G.

Очень часто этот штамп участвует в составной конструкции (§ 11) с разделителями such that, where и др., например,

By g denote an arbitrary element of G, where the group G satisfies the assumptions of Theorem 2.3.

By В denote a nondegenerate form on C ^∞(M) such that áA, Bñ = 0.

Можно, конечно, предварить введение обозначений необходимыми сведениями, пользуясь конструкцией suppose ...; then ... , например,

Suppose I is a directed set, π_ij: Y_i → Y_j are epimorphisms and the sets Y_i are finite; then by Y = lim Y_i we denote the projective limit of the family {Y_i, π_ij; i, j Î I}.

Обратите внимание на we перед denote — это местоимение можно ставить перед denote и в предыдущих примерах. В последнем же примере (и вообще после suppose ...; then ...) это we желательно (повелительное наклонение denote — без we — не очень хорошо звучит после условного if ... , then ...).

В начале доказательств часто встречается штамп

тоже используемый для введения рассматриваемых понятий и их обозначений.

Пример:

Consider a subgroup H of G such that g₀ Î H.

И, наконец, — менее универсальная конструкция, без которой, однако, бывает трудно обойтись:

чаще всего используемая в более частном виде:

Например,

Suppose the space X satisfies (1.2) and (1.3).

Suppose the dynamical system E satisfies the conditions of Theorem 2.3.

По ходу доказательства или в изложении теории часто бывает необходимо сформулировать не установленное ещё утверждение, а затем его тут же доказать. Тогда очень удобно пользоваться замечательным словом claim (это и существительное, и глагол), которое не имеет адекватного перевода на русский. (В устной речи неплохим переводом we claim that ... будет «теперь я утверждаю, что».) Вот один из штампов с этим словом:

Например,

We claim that φ is an isomorphism. Indeed, this follows from Theorem A and five-lemma.

Наконец, довольно специальная, однако используемая во всех разделах математики конструкция:

Например,

The value of the pairing áh,cñ is uniquely determined by the homology class of c.

The constant C is uniquely determined by the initial condition.

В этом параграфе мы обсуждаем формулировки теорем, лемм, предложений, следствий и просто утверждений, встречающихся в изложении теорий или в доказательствах. В отличие от определений, где хватает, в сущности, одного штампа, здесь можно использовать почти всё разнообразие предлагаемых нами конструкций. И всё же некоторые общие указания в этом случае уместны.

Начну с того, что наиболее распространённые конструкции is, is a, is the, о которых уже говорилось в §§ 7, 9, 21, тоже используются при формулировке теорем. На них я останавливаться здесь не буду (считаю, что они уже освоены читателем), и ограничусь одним примером.

Proposition 4.1. The injective map j: Y → Ω_k is an embedding.

Далее замечу, что бóльшая часть теорем с точки зрения логики имеют вид A Þ B или A Þ (B Þ C), и поэтому короткие теоремы хорошо укладываются в конструкцию

Lemma 8.1. If  d: X × X → R is the function defined above on X, then d(a, b) = d(b, a) for all pairs x, y Î X.

В более длинных теоремах используются штампы

Примеры.

Theorem 6.6. Suppose the regular Fréchet space F satisfies the second axiom of countability; then there exists an embedding of F into the Hilbert cube I^N.

Proposition 11. Suppose the extension E is totally ramified over K. Let П be an element of order 1 at B; then П satisfies the Eisenstein equation

Принципиально другое логическое строение теорем — разного рода формулировки необходимых и достаточных условий: А Û В. Вот наиболее экономный штамп:

Lemma 1. M is parallelizable iff ω₂(τ) = 0.

Более торжественно необходимые условия формулируются так:

Theorem 2. For the homomorphism ψ to be a monomorphism it is necessary and sufficient to have ψ^–1(e) = e.

Theorem 3. A necessary and sufficient condition for dF to be a local homeomorphism is that the Jacobian J_F be nonzero.

Другой логический тип часто встречающихся теорем характеризуется формулой

словами такую теорему можно высказать так:

Отметим теперь полезный оборот, с которого начинаются многие формулировки:

Lemma 3. Under the conditions of Lemma 1, we have w_*(e) = φ(τ).

В этом штампе выражение we have можно опустить, оставив лишь запятую, особенно если [  ] состоит из выделенной формулы.

Приведём ещё одну более сложную логическую схему для теорем:

Подобную теорему можно выразить так:

По этому образцу (и предыдущим) читатель, при желании, может построить ещё более логически изощрённые формулировки. Однако текст будет более понятным, если при этом не будут возникать слишком длинные предложения.

По-видимому, с языковой точки зрения комментарии к вычислениям (скажем, в работах по дифференциальным и интегральным уравнениям, или вообще по анализу) — наиболее простой раздел английского математического языка. Всё же и здесь полезно владеть наиболее употребляемыми штампами и уметь обходить имеющиеся подводные камни.

Обычно подобные тексты начинаются с введения обозначений. Лексически здесь нет ничего нового по сравнению с § 22, разве что формулы более громоздки и чаще выносятся на отдельные строки.

Непосредственно в комментариях вычислений наиболее употребительны следующие обороты:

Вводное выражение Therefore в этих штампах можно заменить на Hence, Whence или (в конце рассуждения) на Thus. Для разнообразия, we have можно разбавлять словечками clearly, obviously и т.п., например,

В самом процессе вычислений вместо we have чаще используются

но обычно этим штампам предшествует пояснение о том, как именно эта формула получается. Приведём конкретные примеры наиболее популярных пояснений.

Using á(2.7)ñ, we get áформулаñ.

If we combine this with áLemma 1ñ, we get áформулаñ.

Combining á(11), (17) and (7)ñ, we obtain áформулаñ.

Substituting á2xñ for áuñ in á(3.2)ñ, we get áформулаñ.

If we replace áuñ by á2xñ in á(3.2)ñ, we obtain áформулаñ.

Since [утверждение], it follows that áформулаñ.

Adding á3Δ²ñ to both sides, we get áформулаñ.

Multiplying both sides by áT(x)ñ, we obtain áформулаñ.

Summing á(2.1), (2.5), and (2.7)ñ, we get áформулаñ.

Subtracting á(1.7)ñ from á(1.2)ñ, we get áформулаñ.

Вот ещё несколько более специальных примеров:

Integrating á(3.1)ñ in áxñ, we obtain áформулаñ.

By áLemma 3ñ, áформулаñ, so that áформулаñ.

áThe integral (3.2)ñ is majorized by áформулаñ.

Now if we recall á(1.3) and (2.7)ñ, we get áформулаñ.

It now follows that áформулаñ.

Now, by áProperty (5)ñ, áформулаñ.

The application of áTheorem 5ñ yields ...

Ближе к концу вычислений уместны следующие обороты:

Finally, we obtain áформулаñ.

The result is áформулаñ.

Thus we have áформулаñ.

To conclude the proof, it remains to note that áформулаñ.

Заключительным аккордом данного вычисления может прозвучать стандартная фраза

This completes the proof of  áTheorem 3ñ.

Алгебраические тексты писать, как правило, очень просто, и обычно хватает тех штампов, что были описаны в §§ 7, 20–23. Здесь мы ограничимся несколькими специфическими оборотами, связанными с введением бинарных операций.

Let Z_m be the group of integers modulo m with respect to the sum operation.

Let Mat(n) be the algebra of square n×n matrices with respect to the ordinary multiplication of matrices.

На самом деле «хвост» with respect to (с последующим описанием алгебраической операции, или другой структуры) часто используется не только в статьях по алгебре. Приведём два примера:

W is a Banach space with respect to the norm || · ||.

The sequence { f_n} has a finite limit with respect to the weak topology.

Для более конкретного описания бинарной операции полезен следующий штамп:

Define the convolution of two functions  f , g Î W as the integral ∫ Kf ·g dx.

Define the product of two equivalence classes {a}, {b} mod p as {a}·{b} = {a·b} mod p.

В алгебраических построениях часто приходится иметь дело с классами эквивалентностей, а затем доказывать корректность определений и конструкций. Здесь можно пользоваться таким оборотом:

снабжая его подходящим вводным выражением, например,

It is easy to prove that the product {a}·{b} is well defined.

Obviously, the scalar product is well defined.

(Имейте ввиду, что слово correct означает «правильно», а вовсе не корректно).

Приведём один стандартный оборот, часто используемый в гомологической и категорной алгебре:

за которым, разумеется, следует обещанная диаграмма; при необходимости слово commutative можно опустить, а вместо consider сказать we have или we get.

Как и в случае определений (ср. § 21), наиболее популярный способ устанавливать соответствия (на русском языке): тому-то поставим в соответствие то-то при дословном переводе на английский звучит несуразно (и, скорее всего, будет непонятным англоязычному читателю).

Если мы желаем сохранить естественный порядок «прообраз, затем образ», можно пользоваться конструкцией

То each point x assign the point y = x².

но по-английски более часто встречается обратный порядок:

The point y = x² corresponds to the point x.

The point y = x² is assigned to x.

Разумеется, слова assign и correspond можно заменять стрелками, как например в конструкции

Let the map  f  be given by x →  f (x) = x².

Более подробное описание отображения (с указанием области определения и множества значений) даётся так:

Let  f  be the map of  R to R such that  f (x) = x² for all x Î R.

Если отображение не всюду определено, предлог of нужно заменить на from, как, например, в предложении

Let √   be the map from  R to R such that (√ x)² = x and x ≥ 0.

Но, пожалуй, наиболее популярная конструкция для построения отображений — следующая:

Здесь первый пробел заполняется названием отображения (функции), а последующие — прообразом (аргументом) и образом (значением функции), например,

Let the function  f  take each point x to x².

Let the homomorphism φ_n take each element g Î G to the conjugate element φ_n(g) = h^–1gh.

Let the projection p₃ take each point (x, y, z) to (x, y, 0).

Если мы хотим подчеркнуть, что здесь даётся обозначение для вводимого отображения, можно пользоваться следующими вариантами предыдущего оборота:

Let p₃ be the projection that takes each point (x, y, z) to (x, y, 0).

Denote by p₃ the projection that takes each point (x, y, z) to (x, y, 0).

Заметим, что последнее определение лучше выражается с помощью одного из общих штампов для определений (§ 21), например:

By p₃: R³ → R² denote the projection along the z-axis.

Если же мы описываем действие отображения (например, введённое раньше или вводимое по ходу дела), то удобна следующая конструкция:

Например,

The projection along the z-axis takes the plane x = y to the main diagonal of the xy-plane.

The canonical homomorphism φ: G → G/H takes each element g Î G to the corresponding coset gH Î G/H.

Обратите внимание, что глагольная форма takes (а также take) применяется не только к отдельным точкам, но и к множествам.

Заметим отдельно, что выражение при отображении переводится как under the map, так что говорят, например,

The image of X under the map p₃ is p₃(X).

The inverse image of an element of G/H under the canonical homomorphism G → G/H is a coset.

Два других важных выражения с предлогами — это extention to и restriction to. Вот пример их использования:

By  f |_A denote the restriction of  f  to the subset A Ì X.

Let  f  be the extension of  f  to Y É X by the identity on the set Y\X.

Обратите здесь внимание на использование предлогов of и by.

Это, наверное, труднее всего. Разумеется, я не берусь обучить вас писать на том образном, но ясном языке, которым пользуются такие авторы, как Милнор, Берже или Кокстер. Читателю придётся сдерживать своё стремление к наглядным описаниям и писать формально и сухо. Начнём с описания конструкций, встречающихся в геометрии и геометрической топологии.

С этой целью мы перечислим ряд глаголов, описывающих те или иные геометрические действия, помещая в скобках подходящие к ним предлоги ¹²:

move, shift, bend, push (to, along, into, away from);

project (on, along);

embed (in, into, by);

map (to, onto, into);

restrict (to);

identify (with);

attach, glue, paste (to, along, together);

collapse (to, onto);

join (with, to);

remove (from);

put in general position (with respect to);

extend (to, by).

Эти глаголы можно использовать в повелительном наклонении (в начале фразы или после слов let us), а также в ing-овой форме (в начале фразы, с последующим переходом к продолжению за счёт оборота типа we obtain или we can assume that). Вот несколько примеров:

Move the variety V away from C along the trajectories of the vector field X.

Let us attach the handle D^k × D^n–k to the manifold W along the base S^k–1 × D^n–k Ì ∂W.

Putting M in general position with respect to F, we can assume that dim (M Ç F) = 0.

Gluing together the neighborhoods U_i, we obtain the manifold M.

Значительную часть геометрических текстов составляет обсуждение различных отображений, но для этого хватает оборотов, приведённых в § 24 (см. также приложение I, пункт (G)).

Некоторой экономии места при описании отображений можно достичь, добавляя деепричастия к глаголу map (или глаголам, перечисленным в начале этого параграфа). Вот несколько таких деепричастий: continuously, diffeomorphically, smoothly, isometrically, analytically, birationally.

Примеры:

Extend the map Φ smoothly to all of  Rⁿ.

The projection p maps M diffeomorphically onto N.

Я не рекомендую начинающим авторам пытаться вложить глубокий или тонкий смысл в комментарии, а советую ограничиваться для безопасности стандартными оборотами.

Для начала, вот несколько способов обойти доказательство за счёт комментария:

The proof is omitted.

The proof is trivial.

The proof is given in § 5.

The proof is found in [2].

This lemma was proved by Smale (see [2]).

This was proved by Postnikov in [5].

This lemma can be proved by standard methods of KAM theory.

This theorem can be proved by direct calculations.

Если вы всё же решились привести доказательство, но начинаете со вспомогательных утверждений, можно сказать так:

То prove Theorem 2, we need several lemmas.

To prove this statement, we need some notation.

Если вы будете доказывать от противного, то можно сказать:

The proof is by reductio ad absurdum.

Но это несколько старомодно, и лучше начать так:

Закончить тогда можно стандартной фразой

This contradiction proves the theorem,

или комбинацией из двух фраз, которую мы сразу проиллюстрируем примером:

This contradicts Lemma 2.1. The theorem is proved.

Если вы доказываете что-то по индукции, то можно начать так:

Вместо on в последние годы многие математики говорят over.

The proof is by induction on n.

The proof is by induction over the dimension of V.

Продолжить можно (иногда) штампом

For n = 1, there is nothing to prove.

Этот штамп бывает полезен и в других контекстах, например,

For the case M = CP², there is nothing to prove.

В процессе индукции часто используются штампы

By the induction hypothesis, a_n–1 is divisible by b.

By the inductive assumption, φ_n–1 is injective.

Если вы доказываете разбором случаев или поэтапно, полезны следующие штампы:

В обоих случаях пробелы á  ñ заменяются числом.

Часто в математических текстах подчёркивается полезность чего-либо для дальнейшего, и хотя без подобных комментариев прекрасно можно обойтись, мы приведём одну такую конструкцию:

The following lemmas are needed for the sequel.

Иногда нужно указывать на сравнительную силу тех или иных утверждений; здесь работают такие штампы:

Theorem 2.1 is stronger than Theorem A in [3].

The following condition is weaker than (2.5).

This assumption is stronger than condition (i).

В описанных здесь комментариях уже появились ссылки на литературу, в частности в наиболее стандартном виде, именно

Приведём несколько более сложных примеров ссылок:

In his paper [3], Rokhlin proved that П₃ = 0.

The case n = 2 was considered by Mostow in [5].

Morse theory for sheaves was developed by Hirsch in his book [2].

Разумеется, мы ограничились здесь очень небольшим спектром штампов-комментариев. Расширять этот спектр можно, пользуясь конструкциями, найденными у англо-саксонских математиков, но начинающим авторам (а также самоуверенным маститым) я настойчиво советую сводить комментарии к минимуму.

Здесь, как и во многих других разделах, мои рекомендации — скорее негативного свойства: пишите очень короткие введения, ограничиваясь, например, одной фразой:

Ещё лучше, напишите в виде заголовка слово

кратко сформулируйте основные (новые) определения и результаты, попутно сошлитесь на близкие работы:

опишите план статьи (если она не очень короткая):

и, наконец, поблагодарите научного руководителя:

и /или коллегу:

В современных работах благодарности часто выражаются под заголовком

и включают стандартную фразу

где вместо многоточий стоит что-то вроде an AMS fSU grant. Полезен и такой оборот: This research was carried out while the author was visiting at (...) или I would like to express my gratutude to professor (...) for his hospitality.

Но всем этим не стоит увлекаться. Пусть чётко изложенное математическое содержание вашей статьи говорит само за себя!

Для тех читателей, которые обратились к этому приложению, не прочитав основные разделы книги (§§ 5–9, 11), отмечу, что, как правило, предложения английского математического языка можно строить, комбинируя штампы с помощью так называемых разделителей (таких словечек, как where, such that и т.п.). Поэтому я советую хотя бы просмотреть §§ 7–9 (где объясняется смысл слов термин, характеристика, ссылка и поясняется, как обращаться с артиклями) и § 11 (разделители), прежде чем строить предложения по нижеследующим спискам штампов.

Начинающему читателю я настоятельно рекомендую твёрдо усвоить основные штампы (их всего 12), по своему усмотрению выписать и освоить ещё штук 10–20 и, пролистав пару статей по своей специальности ¹³, отобрать из них ещё штук 10. С полученным списком из 30–40 штампов стоит немного поупражняться (покомбинировать их с помощью разделителей, как в § 11) и добавить выбранный по вкусу список вводных выражений (см. § 13 и Приложение II). После этого можно начинать писать текст своей статьи на этой основе. При этом надо не переводить, а пересказывать русский текст, а ещё лучше сразу писать по-английски из головы или по черновым формульным записям.

Эти штампы используются постоянно во всех математических текстах. В обычных англоязычных статьях они составляют от 60 до 70% оборотов. Комбинируя их, можно в принципе выразить практически любую математическую семантику. Поучительно, что почти все основные штампы пословно не переводятся, или плохо переводятся на русский — это чисто английские идиомы. Для читателей, освоивших различие между «объектами» и «понятиями» (§§ 9, 10), отметим, что в штампах из этого списка среди терминов мы не различаем объекты и понятия, и поэтому не указываем артикли; читателя, не владеющего этим искусством, мы отсылаем к §§ 9, 10. Впрочем, правильно расставить артикли помогают приведённые после каждого штампа примеры применения этих штампов.

1. áтерминñ IS áхарактеристикаñ.

The function  f  is continuous.

Функция  f  — непрерывна.

2. áтерминñ IS áтерминñ.

The set R is a ring.

Множество R является кольцом.

3. CONSIDER áтерминñ.

Consider the point (1,1) Î R².

Рассмотрим точку (1,1) Î R².

4. WE HAVE áвыделенная формулаñ.

We have

Имеем

5. LET áсимвол или терминñ BE áтерминñ.

Let V be a vector space.

Пусть V — векторное пространство.

6. FOR ANY áсимвол или терминñ THERE EXISTS áтерминñ.

For any continuous map  f : I → I  there exists a fixed point c Î I.

Для любого отображения  f : I → I  существует неподвижная точка c Î I.

7. BY áсимволñ DENOTE áтерминñ.

By R denote the set of real numbers.

Обозначим через R множество действительных чисел.

8. IT FOLLOWS FROM áссылкаñ THAT [утверждение].

It follows from Lemma 2 that α is injective.

Из Леммы 2 следует, что α инъективно.

9. áтерминñ IS CALLED áопределяемое понятиеñ IF [утверждение].

A manifold is called acyclic if Hⁱ(M) = 0 (i > 0).

Многообразие называется ацикличным, если Hⁱ(M) = 0 (i > 0).

The map s: B → E is called a section of  ξ  if  ξ ○ s = id.

Отображение s: B → E называется сечением расслоения ξ, если ξ ○ s = id.

10. IF [утверждение], THEN [утверждение].

If D( f ) is compact, then  f  is bounded.

Если D( f ) — компактно, то  f  — ограничена.

11. [утверждение] IF AND ONLY IF ¹⁴ [утверждение].

A closed 3-manifold M is S ³ if and only if  π₁M = 0.

Замкнутое трёхмерное многообразие M является сферой S ³ тогда и только тогда, когда π₁M = 0.

12. áтерминñ HAS THE FORM áформула или ссылкаñ.

The simplest parabola has the form x² = y.

Простейшая парабола имеет вид x² = y.

Здесь собраны видоизменения основных штампов (связанные, например, с множественным числом); они обозначены теми же номерами, только со штрихами.

1′. áтерминыñ ARE áхарактеристикаñ.

The numbers 5 and 17 are prime.

Числа 5 и 17 — простые.

2′. áтерминыñ ARE áтерминыñ.

Z and Q are abelian groups.

Z и Q — абелевы группы.

Обратите внимание на букву s, указывающую на множественное число в конце примера 2′, и на её отсутствие в примере 1′: по-английски прилагательные неизменяемы по числу.

Добавляя слово not после is или are, мы получаем логические отрицания штампов 1, 2, 1′, 2′.

3′. TAKE áтерминñ.

Take a point x Î X.

Возьмём точку x Î X.

Этот оборот синонимичен штампу 3, им следует пользоваться, чтобы разнообразить речь. Аналогичную (стилистическую) роль играют обороты 4′ и 4″ по отношению к 4:

4′. WE GET áвыделенная формулаñ.

4″. WE OBTAIN áвыделенная формулаñ.

5′. LET áтерминыñ BE áтерминыñ.

Let x, y, z be the coordinates in R³.

Пусть x, y, z — координаты в R³.

5″. LET áтермин или символñ BE áтерминñ, áтермин или символñ BE áтерминñ, ...

Let M be a manifold, X be a vector field on M, and x₀ Î M be the initial point.

Пусть M — многообразие, X — векторное поле и x₀ Î M — начальная точка.

По-английски категорически нельзя заменять повторяемый глагол на тире, а слово be лучше повторять; обратите внимание на запятую перед and (ср. с § 11).

В штампе 6 можно опустить начальные  for any.

6′. THERE EXISTS áтерминñ.

There exists a nontrivial smooth solution of  the Bellman equation.

Существует нетривиальное гладкое решение уравнения Беллмана.

Множественное число получается так:

6″. THERE EXIST áтерминñ.

There exist two maximums of the function  f.

У функции  f  существуют два максимума.

Добавляя слово unique после exists, получаем следующие важные штампы.

6′′′. FOR ANY áтермин или символñ there exists a unique áтерминñ.

For any bounded sequence there exists a unique least upper bound.

Для любой ограниченной последовательности существует единственная точная верхняя грань.

6′′′′. THERE EXISTS A UNIQUE áтерминñ.

There exists a unique nontrivial subgroup of  G.

Существует единственная нетривиальная подгруппа группы G.

7′. LET áсимволñ DENOTE áтерминñ.

Let p₀ denote the largest prime.

Обозначим через p₀ наибольшее простое число.

8′. BY áссылкаñ, IT FOLLOWS THAT [утверждение].

By Lemma 1, it follows that V is semialgebraic.

Из леммы 1 следует, что V — полуалгебраическое множество.

8″. USING áссылкаñ, WE GET [утверждение].

Using (5.3), (5.7), and (6.2), we get

Пользуясь (5.3), (5.7) и (6.2), мы получаем

9′. áтерминñ IS CALLED áопределяемое понятиеñ.

The number Δ = b² – 4ac is called the discriminant of equation (1).

Число Δ = b² – 4ac называется дискриминантом уравнения (1).

9″. áтерминыñ ARE CALLED áопределяемые понятияñ.

Solutions of the equation |A – λE| = 0 are called eigenvalues of  A.

Решения уравнения |A – λE| = 0 называются собственными значениями оператора A.

Если утверждения в штампе 10 достаточно длинные, можно разбить фразу на две следующим образом:

10′. SUPPOSE [утверждение]; THEN [утверждение].

Под этим заголовком можно было бы поместить штампы 7, 7′, 9, 9′ и 9″, но они попали в «основные». Здесь приводятся менее ходовые.

13. áтерминñ IS SAID TO BE áназваниеñ IF [утверждение].

A group G is said to be commutative if "g′, g″ Î G,   g′ * g″ = g″ * g′.

Говорят, что группа G коммутативна, если "g′, g″ Î G,   g′ * g″ = g″ * g′.

A set with operations Å, · is said to be an idempotent semiring if the operations satisfy conditions (1) ...

Говорят, что множество с операциями Å, · есть идемпотентное полукольцо, если эти операции удовлетворяют условиям (1) ...

14. ... ; THEN THIS áтерминñ IS CALLED áназваниеñ.

... ; then this group is called abelian.

... ; тогда эта группа называется абелевой.

... ; then this set is called the convex hull of A.

... ; тогда это множество называется выпуклой оболочкой множества A.

15. WE SAY THAT áтерминñ HAS áназваниеñ IF [утверждение].

We say that the polynomial p(x) = a_nxⁿ + ... + a₀ has degree n, if  a_n ¹ 0.

Говорят, что полином p(x) = a_nxⁿ + ... + a₀ имеет степень n, если a_n ¹ 0.

16. áтерминñ IS CALLED áназваниеñ IF THE FOLLOWING CONDITIONS HOLD: (i) [утверждение]; (ii) [утверждение]; ...

A set with operations Å, · is called an idempotent semiring if the following conditions hold:
(i) a · (b Å c) = (a · b) Å (a · c); (ii) ...

Множество с операциями Å, · называется идемпотентным полукольцом, если выполнены следующие условия:
(i) a · (b Å c) = (a · b) Å (a · c); (ii) ...

17. WE SAY THAT áтерминñ IS áназваниеñ AND WRITE áсимволñ.

We say that the set {xÎE : xÏA} is the complement of  A and write A = E\A.

Говорят, что множество {xÎE : xÏA} является дополнением к A, его обозначают A = E\A.

18. BY DEFINITION, PUT áформулаñ.

By definition, put

По определению полагаем

При описании вычислений чаще всего используется штамп 4:

или конструкции, в которых формула непосредственно следует за вводным выражением:

Вводные выражения можно варьировать; кроме двух указанных выше рекомендуется использовать now, but, whence, so, it follows that, however.

Кроме штампа 4 (WE HAVE), наиболее часто используются его варианты; в простейшем виде:

19. WE GET áформулаñ.

20. WE OBTAIN áформулаñ.

Или в более сложных вариантах:

21. USING áссылкаñ, WE GET áформулаñ.

Using Theorem 2.3, we get W(x) = A^–1 ○ B(x) ○ A.

Используя теорему 2.3, мы получаем W(x) = A^–1 ○ B(x) ○ A.

Using (2.1), (8.3), and (8.4), we get X = ...

Воспользовавшись (2.1), (8.3) и (8.4), получаем X = ...

Когда этот штамп приедается, можно пользоваться следующим.

22. TAKING INTO ACCOUNT áссылкаñ, WE OBTAIN áформулаñ.

Taking into account Theorem 2.3, we obtain W(x) = A^–1 ○ B(x) ○ A.

Используя теорему 2.3, мы получаем W(x) = A^–1 ○ B(x) ○ A.

23. COMBINING áсписок ссылокñ, WE GET áформулаñ.

Combining (12), (13), and (24), we get ...

Комбинируя (12), (13) и (24), получаем ...

24. COMBINING THIS WITH áссылкаñ, WE GET ...

Combining this with (21), we get Lemma 2.1.

Сопоставив это с уравнением (21), мы получаем лемму 2.1.

25. SUBSTITUTING á  ñ FOR á  ñ IN á  ñ, WE OBTAIN ...

Substituting 2x for u in (25), we get ...

Заменяя u на 2x в формуле (25), получаем ...

26. ADDING á  ñ ТО BOTH SIDES, WE GET ...

Adding 3Δ² to both sides, we get ...

Добавляя 3Δ² к обеим частям, получаем ...

27. SUBTRACTING á  ñ FROM á  ñ, WE GET ...

Subtracting this integral from (2.1), we obtain ...

Вычитая этот интеграл из (2.1), получим ...

28. MULTIPLYING BOTH SIDES BY á  ñ, WE GET ...

Multiplying both sides by T(y), we get ...

Умножив обе части на T(y), получим ...

29. SUMMING á  ñ, WE OBTAIN ...

Summing (21), and (73), we obtain ...

Складывая равенства (21) и (73), получаем ...

30. INTEGRATING á  ñ W.R.T. ¹⁵ á  ñ, WE GET ...

Integrating (3.1) with respect to x, we get ...

Differentiating (3.1) w.r.t. x, we get ...

Интегрируя (дифференцируя) (3.1) по x, получаем ...

31. INTEGRATING á  ñ OVER á  ñ, WE GET ...

Integrating this expression over M, we get ...

Интегрируя это выражение по области M, получаем ...

32. FROM á  ñ, WE GET THE FOLLOWING á  ñ: ...

From Lemma 3, we get the following estimate: ...

Из леммы 3 получается следующая оценка: ...

Здесь мало специфических штампов.

33. á  ñ IS ISOMORPHIC ТО á  ñ.

The tensor product A Ä B is isomorphic to W.

Тензорное произведение A Ä B изоморфно W.

34. LET á  ñ BE á  ñ WITH RESPECT TO á  ñ.

Let GL(n) be the algebra of n×n-matrices w.r.t. matrix multiplication.

Пусть GL(n) — алгебра матриц размера n×n относительно матричного умножения.

35. LET á  ñ BE á  ñ OVER á  ñ.

Let V be a finite-dimensional vector space over C.

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем C.

36. DEFINE THE á  ñ OF TWO á  ñ AS á  ñ.

Define the sum of  two residues mod m as the residue mod m of their ordinary sum.

Определим сумму двух вычетов по модулю m как остаток по модулю m их обычной суммы.

37. THIS á  ñ IS WELL DEFINED.

This residue is well defined.

Этот вычет определён корректно.

38. á  ñ FORM A á  ñ UNDER á  ñ.

Unitary matrices form a group under multiplication.

Унитарные матрицы образуют группу по умножению.

39. DEFINE á  ñ BY THE RULE á  ñ.

Define the map α: GL(n) → R^n² by the rule ||a_ij|| → (a₁₁, ... , a_nn).

Определим отображение α по правилу ||a_ij|| → (a₁₁, ... , a_nn).

40. LET á  ñ BE GIVEN BY á  ñ.

Let the mapping  f : C → R  be given by  f : z → 2|z|².

Пусть отображение  f : C → R задано следующим образом:  f : z → 2|z|².

41. LET THE á  ñ TAKE EACH á  ñ TO á  ñ.

Let the map y take each z to √ z, arg √ z ≤ π.

Пусть отображение y переводит каждое число z в число √ z, arg √ z ≤ π.

42. LET á  ñ BE THE á  ñ FROM á  ñ TO á  ñ TAKING á  ñ TO á  ñ.

Let φ be the map from A to X ² taking a Î A to (j(a), 0) Î X ².

Пусть φ — отображение из A в X ², переводящее a Î A в (j(a), 0) Î X ².

43. DENOTE BY á  ñ THE á  ñ THAT TAKES EACH á  ñ TO á  ñ.

Denote by i_* the isomorphism that takes each {c} to the class {i(c)}.

Обозначим через i_* изоморфизм, переводящий каждый класс {c} в класс {i(c)}.

44. THE á  ñ TAKES á  ñ ТО á  ñ.

The operator d/dx takes the function  f (x) to  f ′(x).

Оператор d/dx переводит функцию  f (x) в  f ′(x).

45. á  ñ UNDER THE á  ñ IS á  ñ.

The preimage of  1 under the map z → zⁿ is the set e^2πik/n, k = 0, ... , n–1.

Полный прообраз числа 1 при отображении z → zⁿ состоит из точек e^2πik/n, k = 0, ... , n–1.

46. DENOTE BY á  ñ THE RESTRICTION OF á  ñ TO á  ñ.

Denote by  f |_A the restriction of  f  to A Ì X.

Обозначим через  f |_A ограничение  f  на A Ì X.

47. DENOTE BY á  ñ THE EXTENSION OF á  ñ TO á  ñ BY á  ñ.

Denote by α the extension of α to the entire space Rⁿ by the identity on Rⁿ\X.

Обозначим через α продолжение отображения α на всё пространство Rⁿ посредством тождественного отображения на Rⁿ\X.

48. LET á  ñ BE GIVEN BY á  ñ ON á  ñ AND BY á  ñ ON á  ñ.

Let the map  f : A È B → X be given by  f (a) = φ(a) on A and by  f (b) = ψ(b) on B.

Пусть отображение  f : A È B → X задано формулой  f (a) = φ(a) на A и формулой  f (b) = ψ(b) на B.

Специфические конструкции, используемые в топологии, очень разнообразны. Я советую:

1. прочитать § 27;
2. прочитать и сделать выписки из статьи хорошего геометра или тополога по вашей специальности.

Здесь я привожу лишь несколько образцов и замечаний.

49. ATTACH á  ñ ТО á  ñ BY á  ñ.

Attach the cell C_ζ to X_n by the map ζ: Dⁿ⁺¹ → X_n.

Приклеим клетку C_ζ к «остову» X_n посредством отображения ζ: Dⁿ⁺¹ → X_n.

50. CUT OUT á  ñ AND ATTACH á  ñ ALONG á  ñ.

Cut out the disk D² from M and attach a handle H² along an orientation-preserving homeomorphism h: δD² → δH.

Вырежем диск D² из M и приклеим ручку H² по сохраняющему ориентацию гомеоморфизму h: δD² → δH.

51. PUT á  ñ IN GENERAL POSITION WITH RESPECT TO á  ñ.

Put the smooth map φ in general position w.r.t. the submanifold M^k Ì Rⁿ.

Приведём гладкое отображение φ в общее положение относительно подмногообразия M^k Ì Rⁿ.

52. á  ñ BOUNDS á  ñ IN á  ñ.

The sphere S^n–1 bounds a disk Dⁿ in the space Rⁿ.

Сфера S^n–1 ограничивает диск Dⁿ в пространстве Rⁿ.

Заметим (в связи с примером 52), что слово boundary по-английски означает как «границу», так и «край» (омонимия!); слово же edge означает «ребро» (графа или полиэдра) и в смысле «край» (многообразия) никогда в математических текстах не используется. В этой же связи обратим внимание читателя на слово span (существительное и глагол), не имеющее аналога в русском языке и означающее (в глагольной форме) что-то вроде «натянуть на». Вот примеры его употребления.

53. á  ñ SPANS á  ñ.

The disk Δ spans the curve γ.

Диск Δ натянут на кривую γ.

54. LET á  ñ BE á  ñ THAT SPANS á  ñ.

Let Δ be a singular disk that spans the curve γ.

Пусть Δ — сингулярный диск, натянутый на кривую γ.

Let L be the linear subspace that spans the vectors e₁, ... , e_n.

Пусть L — линейное подпространство, натянутое на вектора e₁, ... , e_n.

В заключение, три полезных штампа для топологов.

55. LET á  ñ BE á  ñ JOINING á  ñ ТО á  ñ.

Let α: [0, 1] → X be a path joining a to b.

Пусть α: [0, 1] → X — путь, соединяющий a и b.

Let F_t be a homotopy joining a to b.

Пусть F_t — гомотопия, соединяющая отображения a и b.

56. BY APPROPRIATELY MODIFYING á  ñ, WE CAN ASSUME THAT [  ].

By appropriately modifying the map  f , we can assume that all singularities of  f  are canonical.

Модифицируя отображение  f  соответствующим образом, мы можем считать каноническими все его сингулярности.

Последний штамп — для тех, кому проще нарисовать, чем объяснить словами:

57. THE CONSTRUCTION áof the map  f ñ IS SHOWN IN [Fig. 5].

Вводные выражения (или слова), подробно описанные в § 13, кратко можно определить как группы слов, которые ставятся в начале предложения, синтаксически не связаны с ним, но влияют на его семантику. Чаще всего используются suppose и then, которые обычно появляются последовательно (подряд в двух фразах). Приводимый ниже список организован в 26 групп семантически близких выражений.

Further, | Moreover, | Besides, | On the other hand, | Furthermore, | In addition, | Finally, | Also,

However | But | Nevertheless | At the same time | Now | On the other hand, | Still

Obviously, | Clearly, | Evidently, | Trivially, | It is obvious that | It is clear that | It is readily seen that

It is easy to prove that | It can be proved that | It is easily shown that | We see that | It follows easily that | It can easily be checked that | It is not hard to prove that

That is | In other words, | Equivalently, | This means that | In these terms, | In this notation, | In other notation,

Therefore | Hence | Whence | Thus | It follows that | This implies that | This yields that | Consequently ¹⁶

In the converse case, | Otherwise | Conversely, | Assuming the converse,

Similarly, | In the same way, | For the same reason, | By the same argument, | As before, | As above, | Likewise,

Let us prove that | Let us show that | We claim that | Let us check that | We shall prove that | We shall see that | We shall show that

By assumption, | By the inductive hypothesis, | By the inductive assumption, | Suppose inductively that, | By the previous statement,

By definition, | By construction, | By the above

We may assume that | It can be assumed that | Without loss of generality it can be assumed that | To be definite, assume that | For the sake of being definite, suppose | We can assume without loss of generality that | To be precise,

For example, | In particular, | Specifically, | As an example, | For instance,

Note that | Notice that | Let us remark that | Note also that | We stress that

First | Secondly | Thirdly | First we shall show that | Now we show that | Finally we shall show that

First note that | Now note that | Further note that | Finally note that

First let us prove that | Now let us prove that | Finally let us prove that

It can be shown in the usual way that | It follows in the standard way that | We already know that

In general, | Generally, | In the general case,

Here | In this case, | In our case,

Indeed, | In fact, | Namely | Actually

Recall that | Let us remember that

We have proved that | This proves that | This shows that | This argument shows that

The reader will easily prove that | The reader will have no difficulty in showing that

In this paper we prove that | In this section we show that

Arguing as above, we see that | Continuing this line of reasoning, we see that

В предыдущем списке приводятся слова и выражения, не образующие грамматически замкнутые конструкции: они нуждаются в продолжении. Нижеследующий же список состоит из замкнутых идиом, которые используются как цельные фразы без изменений и добавлений.

The proof is trivial.

The proof is omitted.

The proof is left to the reader.

The proof is straightforward.

The proof is by direct calculation.

The proof is by reductio ad absurdum.

Assume the converse.

The aim of this paper is to prove the following result.

Our main result is the following.

These results can be summarized as follows.

This paper is organized as follows.

We begin with definitions.

We begin with some notation.

First let us introduce some notation.

Now we introduce the following concept.

This completes the proof.

This concludes the proof.

This contradition concludes the proof.

This will be discussed elsewhere.

This will be the object of another paper.

Начнём со списка наиболее ходовых таких конструкций:

at the point x:   в точке x,

replace x by y:   заменить x на y,

substitute y for x:   заменить x на y,

change x to y:   заменить x на y,

x belongs to X:   x принадлежит X,