В. Березин
Филлотаксис и
последовательность Фибоначчи



Рисунок на обложке можно рассматривать как упрощённое изображение соцветия подсолнуха, семечки в котором вылущены через одно, в шахматном порядке. Реальные соцветия подсолнуха (см. рисунок на этой странице) также содержат два семейства логарифмических спиралей (об этих спиралях читайте «Квант», 1977, № 4, с. 42). Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает «устройство листа»).

Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.

Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой

Fn = Fn–1 + Fn–2.

Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что α2 = 1 – α.

Выразим значения степеней α3, α4, α5, ... через 1 = α0 и α:

α3 = α·α2 = 2α – 1,
α4 = 2 – 3α,
α5 = 5α – 3, ...

Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F1? По-видимому, и для любого n можно записать формулу

αn = (–1)n (Fn–1 – Fnα),

где Fn–1 и Fn — члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:

αn+1 = αn·α  = (–1)n (Fn–1α – Fnα2) = (–1)n (Fn–1α – Fn(1 – α)) =
= (–1)n (–Fn + (Fn–1 + Fn)α) = (–1)n+1 (Fn – Fn+1α).

У уравнения α2 = 1 – α  два корня — положительный α = (√5 – 1)/2 и отрицательный α = –(√5 + 1)/2. Как мы убедились,

ì  (–1)n α1n = Fn–1 – Fnα1,
í
î  (–1)n α2n = Fn–1 – Fnα2.

Решая эту систему относительно Fn, получаем, что

 Fn =  1

 √5 

     (  1 + √5 

2

 ) n –  (  1 – √5 

2

 ) n    .

И этот результат довольно неожидан — последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы.

Следующую неожиданность получим, если вычислим

 
 lim 
 n → ∞ 
 Fn

Fn+1

  =   √5 – 1 

2

  .

Это знаменитое «золотое сечение» (о нём см., например, «Квант», 1973, № 8, с. 22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза.

Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:

 n  n
 Fn+2 = 1 + ∑ Fk,        F2n = ∑ F2k–1, 
k=1 k=1
 n 2n–1
 F2n+1 = 1 + ∑ F2k,        F2n–2 = –1 + ∑ (–1)k–1 Fk,
k=1 k=1
2n–1
 F 2
2n		  =  ∑ FkFk+1,        F2n–1 = F 2
n		  + F 2
n–1		  .
k=1

Попытайтесь их доказать.

О последовательности Фибоначчи вы можете прочесть в популярной и интересной книге Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи» (М., «Наука», 1978), а также в не менее интересной книге Р. Грэхема, Д. Кнута и О. Паташника «Конкретная математика» (М., «Мир», 1998) — E.G.A.. О филлотаксисе — в другой интересной книге: Г. С. М. Коксетер. «Введение в геометрию» (М., «Наука», 1966).


Выкладывание этой скромной по размеру статьи преследует несколько целей. Во-первых, «всякое может быть». Возможно, эту публикацию увидит школьник, впервые услышавший о числах Фибоначчи и желающий узнать о них побольше. Он сможет здесь найти названия книг для дальнейшего чтения. Во-вторых, данная статья упоминалась в другой, уже выложенной статье о сопряжённых числах, и я постарался (в меру сил), чтобы тем, кто добрался до тамошнего списка дополнительной литературы, не пришлось далеко ходить. :) И наконец, главное: этот файл содержит линк на видеоролик, в котором рассказывается и про подсолнух, и про прямоугольник, «приятный глазу», и про золотое сечение. В общем, почти видеоверсия данной статьи. А то, что закадровый комментарий на английском, так это и неплохо — лишний повод поупражняться в языке.



Hosted by uCoz