С. Берколайко


Интеграл
помогает доказать
неравенство Коши





[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. E.G.A.]


Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

 a1 + a2 + ... + an

n

  > n Ö

 a1 a2 ... an

 .
(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:

(Sn ) n > a1 a2 ... an . (2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ kn – 1,

a1a2 ≤ ... ≤ akSnak+1 ≤ ... ≤ an–1an. (3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство

 b
 ba

b

 <   dt

t

 = ln   b

 a

 <   ba

a

 ,
 a
(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

 ba

b

 = ln   b

 a

 =   ba

a

 .

Из (3) и (4)

 Sna1

Sn

 +   Sna2

Sn

 + ... +   Snak

Sn

 ≤ ln   Sn

a1

 + ln   Sn

a1

 + ... + ln   Sn

ak

 ,
(5)

или

 kSn – (a1 + a2 + ... + ak)

Sn

 ≤ ln   (Sn)k

a1 a2 ... ak

 .
(6)

Опять-таки из (3) и (4)

ln   ak+1

Sn

 + ln   ak+2

Sn

 + ... + ln   an

Sn

 ≤   ak+1Sn

Sn

 +   ak+2Sn

Sn

 + ... +   anSn

Sn

 ,
(7)

или

ln   ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

 ≤   (ak+1 + ... + an) – (n – k)Sn

Sn

 .
(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

ln   ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

 ≤ ln   (Sn)k

a1 a2 ... ak

 .
(9)

Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln   ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

 < ln   (Sn)k

a1 a2 ... ak

 ,

или

 ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

 <   (Sn)k

a1 a2 ... ak

 ,

откуда вытекает (2).

Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,

 a1 + a2 + ... + an

n

  = n Ö

 a1 a2 ... an

 .

Hosted by uCoz