1990 г. январь – февраль т. 45, вып.1 (271)
УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК



Этот файл воспроизводит содержимое статьи только частично и предназначен, главным образом, для индексации поисковыми машинами. Изрядное количество математического текста опущено, хотя третий параграф приводится без сокращений. Полный вариант статьи доступен в DjVu-формате (567 Kb). E.G.A.



С. РАМАНУДЖАН. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И БАЗИСНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ *
Р.   А с к и


СОДЕРЖАНИЕ
§1. Введение
§2. Гипергеометрические ряды и функции
§3. Вклад Рамануджана в исследование гипергеометрического ряда
§4. Базисный гипергеометрический ряд
Примечание переводчиков
Список литературы




§1. Введение

Рамануджан интенсивно изучал гипергеометрические ряды до отъезда в Англию, главы 12-я, 13-я и 15-я в Первой тетради [85] и главы 10-я и 11-я во Второй тетради [86] посвящены этим рядам. В Первой тетради много левых страниц, содержащих факты о гипергеометрических рядах, и гипергеометрические функции в различных неявных формах встречаются во многих местах в обеих записных книжках. Левые страницы в Первой тетради Рамануджан использовал для записи тех фактов, которые он пока ещё не мог включить в общую схему.

Харди [55] детально рассмотрел 12-ю и 13-ю главы Первой тетради, и, как он позже отметил, его анализ этой работы Рамануджана стимулировал появление ряда статей Бейли, Ватсона, Уиппла и других. Бейли [12] удалось собрать воедино разрозненные факты, относящиеся к этой теме, и в результате у идущих следом появилась возможность изучения предмета без необходимости начинать всё с начала и своими силами развивать его дальше, что в значительной степени пришлось делать Рамануджану.

Пытаясь понять влияние Рамануджана на математику, полезно вспомнить, что было известно в то время, когда он начинал работать, попытаться выяснить, что он знал, и затем – что он переоткрыл или привнёс в существовавшую математику.

Наконец, нам следует попытаться осознать, как изменился сам предмет, и выследить влияние работ Рамануджана. В некоторых областях это, вероятно, невозможно, но было бы интересно попытаться сделать это хотя бы в одной области. Именно это я попытаюсь сделать относительно гипергеометрического ряда и его обобщения – базисного гипергеометрического ряда. Я не буду приносить длинных извинений по поводу того, что не удалось достичь цели, поскольку очевидна невозможность достижения совершенства в решении этой задачи. Однако я надеюсь, что читатель найдёт этот тур по небольшой части математики интересным и убедится после его завершения, что вклад Рамануджана замечателен отнюдь не потому, что был сделан человеком, начавшим с таким скудным багажом знаний, какой был у него. Он замечателен безусловно.


§2. Гипергеометрические ряды и функции

Гипергеометрическим называется ряд Σcn, у которого отношение cn+1/cn является рациональной функцией n. Если ряд обрывается с одной стороны, что представляет наибольший интерес, то обычно предполагается, что он начинается с n=0 и содержит слагаемые с неотрицательными n. В этом случае стандартным является обозначение
 pFq   a1, ..., ap
b1, ..., bq
x    =    (a1)n ... (ap)n

(b1)n ... (bq)n

   xn

 n!

 ,
n=0
(2.1)

где
ì a(a+1)...(a+n–1),   n = 1, 2, ...,
 (a)n í
î 1, n = 0.
(2.2)

[Цитата из «Конкретной математики» Р. Грэхема, Д. Кнута и О. Паташника: "То, что пережив века, сохранило такую страшную форму записи, наверняка должно быть полезным". E.G.A.] Этот ряд сходится для всех x при pq, по крайней мере, если ни один из параметров знаменателя не равен нулю или отрицательному целому числу, что мы и будем предполагать в дальнейшем изложении. Он сходится для |x|<1  при  p=q+1 и сходится лишь для x=0  при  p>q+1, если только он не сводится к полиному.

Примером является биномиальный ряд
 1F    a
 —
x    =    (a)n

n!

 xn.
n=0
(2.3)

Этот ряд сходится только для |x|<1, но он может быть просуммирован с помощью биномиальной теоремы

 1F    a
 —
x    = (1 – x)a,
(2.4)

что позволяет аналитически продолжить 1F(a;—; x) на значения x, принадлежащие комплексной плоскости, разрезанной вдоль положительной оси от x=1 до x=∞.

Гипергеометрическая функция будет обозначать аналитическое продолжение гипергеометрического ряда. В основном будет обсуждаться аналитическое продолжение 2F, но в отдельных случаях будет возникать необходимость продолжения и других рядов. Методы построения таких аналитических продолжений будут приведены ниже.

Простым следствием (2.4) является удивительно часто встречающееся тождество. Умножим ряд (2.3) сам на себя и сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями x. В результате получим
 n
   (a)k (b)n–k

 k!(n–k)!

 =  (a+b)n

 n!

 .
k=0
(2.5)

Воспользовавшись

(b)n–k = (–1)k  (b)n

 (1 – bn)k

 .
(2.6)

перепишем (2.5) в виде

 2F   n, a
1 – nb
; 1    =  (a + b)n

(b)n

 .

Положив затем c=1–nb и используя (2.6), мы приходим к равенству

 2F   n, a
c
; 1    =  (ca)n

(c)n

 .
(2.7)

Чтобы понять смысл (2.5), перепишем его следующим образом:
 n
1

n + 1

    (a)k (k + 1)1–a 

k! 

   (b)n–k (n + 1 – k)1–b 

(n – k)! 

 ×
k=0
(2.8)
a–1 b–1
×  (  k + 1 

n + 1

) ( 1 –  k

 n + 1 

)  (a + b)n 

n! 

 (n + 1)1–ab.

Разбив сумму по k в (2.8) на три части: от 0 до [log n], от (n – [log n]) до n и по оставшимся значениям k, устремим n→∞. Для вычисления предела воспользуемся эйлеровым определением гамма-функции, которое может быть записано либо как

1

Γ(a)

 =   lim   (a)n

n!

 n1–a ,
n→∞
(2.9)

либо в эквивалентном виде
a
Γ(a+1) =    (  n

 n + a

)( 1 +  1

 n

)  .
n=1
(2.10)

В результате мы получим
 1
   ta–1 (1 – t)b–1 dt  Γ(a) Γ(b

Γ(a + b)

 ,   Re a > 0,   Re b > 0.
0
(2.11)

Таким образом, (2.5) или эквивалентная ей формула (2.7) является дискретным аналогом бета-интеграла Эйлера. Из (2.11) легко видеть, что
 ∞
   ta–1 et dt = Γ(a),   Re a > 0.
0
(2.12)

Одним из применений этих интегралов является возможность получения интегрального представления для гипергеометрического ряда. Биномиальная теорема и (2.11) приводят к эйлерову интегралу
 1
 2F   a, b
c
; x    =  Γ(c)

 Γ(b) Γ(cb

   (1 – xt)a tb–1 (1 – t)cb–1 dt.
0
(2.13)

Замена переменной  t→1–t  в (2.13) даёт
 1
 2F   a, b
c
; x    =  Γ(c)

 Γ(b) Γ(cb

   (1 – x + xt)a tcb–1 (1 – t)b–1 dt =
0
(2.14)
= (1 – x)a 2F   a, cb
c
x

x – 1

   .

Интеграл (2.13) осуществляет аналитическое продолжение 2F1 на то же самое множество, которое следовало из биномиальной теоремы для продолжения 1F, т.е. в комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной вещественной оси от x=1 до x=∞. При этом возникает ограничение на параметры b и c, поскольку интеграл (2.13) сходится лишь при Re b > 0, Re c > Re b. Ограничения на параметры в (2.14) могут быть сняты, поскольку (2.14) допускает аналитическое продолжение 2F1 в область Re x < 1/2, так как |x/(x–1)|<1 при Re x < 1/2. Можно также использовать в (2.13) интегралы по замкнутым контурам для изменения ограничений на b и c (см. [115, § 12.43]).

Эйлер показал, что y = 2F(a, b; c; x) удовлетворяет дифференциальному уравнению

x(1 – x) y'' + [c – (a + b + 1) x] y'aby = 0. (2.15)

Он также показал, что решением этого уравнения является и

(1 – x)c–a–b 2F    c – a, c – b
c
x    ,

и утверждал, что

 2F    a, b
c
x    = (1 – x)c–a–b 2F    c – a, c – b
c
x    .
(2.16)

Последнее соотношение может быть доказано путём итераций (2.14).

[· · ·]

Ряд

 p+1Fp   a0
  
a1, ..., ap
b1, ..., bp
x  

называется вполне уравновешенным (well poised), если параметры удовлетворяют условию a0 + 1 = a1 + b1 = ap + bp . Формула (2.65) даёт сумму вполне уравновешенного 2F1 при x=–1. Для получения конечных сумм для вполне уравновешенного 2F1 в (2.64) можно воспользоваться формулой удвоения

Γ(2c) Γ(½) = 22c–1 Γ(c) Γ(c + ½)

для Γ(b+1), чтобы избавиться от неоднозначности при отрицательных чётных целых b. Полагая затем, что b является отрицательным целым числом, мы приходим к (2.64).

Для следующего шага к вычислению вполне уравновешенного 3F2 потребовалось некоторое время. Вначале Диксон [35] показал, что
2n 3
   (–1)k (  2n
k
)  =  (–1)n(3n)!

(n)!3

 .
k=0
(2.66)

Это соотношение эквивалентно

 3F   –2n, –2n, –2n
1, 1
; 1    =  (–1)n(3n)!

(n)!3

 .
(2.67)

Через несколько лет благодаря ряду обобщений, полученных Морли, Диксон показал [36], что

 3F   a, b, c
a + 1 – b, a + 1 – c
; 1    =
(2.68)
 
 Γ(a + 1 – b) Γ(a + 1 – c) Γ(a/2 + 1) Γ(a/2 + 1 – bc

Γ(a/2 + 1 – b) Γ(a/2 + 1 – c) Γ(a + 1) Γ(a + 1 – bc)

 .

при Re (a – 2b – 2c) > –2.

Вскоре после этого Дугалл [37] показал, что

 5F   a, a/2 + 1, b, c, d
a/2, a + 1 – b, a + 1 – c, a + 1 – d
; 1    =
(2.69)
 
 Γ(a + 1 – b) Γ(a + 1 – c) Γ(a + 1 – d) Γ(a + 1 – bcd

Γ(a + 1) Γ(a + 1 – bc) Γ(a + 1 – bd) Γ(a + 1 – cd)

 .

при Re (a + 1 – bcd) > 0 и

 7F   a, a/2 + 1, b, c, d, e, –n
a/2, a + 1 – b, a + 1 – c, a + 1 – d, a + 1 – e, a + 1 + n
; 1    =
(2.70)
 
 (a + 1)n (a + 1 – bc)n (a + 1 – bd)n (a + 1 – cd)n 

(a + 1 – b)n (a + 1 – c)n (a + 1 – d)n (a + 1 – bcd)n

 ,   n = 0, 1, ...,

при  e = 2a + 1 + nbcd.

Оба ряда в (2.69) и (2.70) являются вполне уравновешенными, но они удовлетворяют ещё и дополнительному ограничению. Отношение двух параметров  a/2  и  a/2 + 1  даёт

 (a/2 + 1)k 

(a/2)k

 =   k + a/2 

a/2

 =   2k + a 

a

 .

Такие вполне уравновешенные ряды называются совершенно уравновешенными (very well poised). Ряд (2.70) удовлетворяет ещё одному ограничению. Условие e = 2a+1+nbcd эквивалентно требованию, что сумма параметров числителя плюс два должна равняться сумме параметров знаменателя. Такие ряды называются дважды сбалансированными в том случае, если они естественно обрываются (т.е. n является параметром числителя) и степенная переменная равна 1. Поэтому 7F6 в (2.70) представляет собой совершенно уравновешенный дважды сбалансированный ряд и его сумма особенно важна.

Ещё один шаг, приводящий к более глубокому пониманию всего этого, был сделан Уипплом [114]. Он показал, что

 7F   a, a/2 + 1, b, c, d, e, –n
a/2, a + 1 – b, a + 1 – c, a + 1 – d, a + 1 – e, a + 1 + n
; 1    =
(2.71)
 
 (a + 1)n (a + 1 – de)n 

(a + 1 – d)n (a + 1 – e)n

 4F   n, d, e, a + 1 – bc
a + 1 – b, a + 1 – c, d + ean
; 1    .

Левая часть является совершенно уравновешенной, а правая – сбалансированной. Вспомним, что на уровне 2F1 сбалансированный ряд возникает из (1–t)–α(1–t)–β=(1–t)–α–β, а вполне уравновешенный – из (1–t)–α(1+t)–α=(1–t2)–α. Тем самым, соотношение (2.71) непосредственно связывает эти два различных типа ряда и поэтому выглядит удивительным и, вероятно, важным. Так оно и есть.

[· · ·]


§3. Вклад Рамануджана в исследование гипергеометрического ряда

Вероятно, что Рамануджан ознакомился с гипергеометрическими рядами благодаря книге Kappa [26]. На самом деле в этой книге очень мало сведений о них в явном виде, но содержащаяся в ней информация должна была заинтересовать Рамануджана. В частности, в книге приводится непрерывная дробь Гаусса (2.31) (см. [26], пункты 291, 292, предельные и частные случаи 293, 294). Есть и некоторые другие специальные случаи, относящиеся, по сути дела, к гипергеометрическим рядам, хотя это и не подчёркивается. Примерами могут служить разложения в пунктах 1565–1569. Карр получил их с помощью лапласовой формы разложения Лагранжа. Именно этот подход Рамануджан своеобразно развил и получил ряд интересных результатов. (См. его квартальные отчеты, приведённые у Берндта [17].)

Мы не знаем, когда Рамануджан начал серьёзно изучать гипергеометрические ряды, но в архивах треста Мадрасского порта есть потрясающий документ, наводящий на мысль о том, что произошло это достаточно рано. Вот этот документ, в котором учтены некоторые исправления, сделанные от руки.

«Мистер С. Рамануджан родился в местечке Эрод (Erode) в декабре 1888 года (sic) и является коренным жителем Кумбаконама в округе Танжор. Он был старшим сыном родителей – браминов из секты Вайшнава. Считается, что его отец не был обучен английскому, а его мать, говорят, знала немного индусскую астрономию. Родители были очень бедны, два младших брата и три сестры умерли. Двум оставшимся братьям 14 и 6 лет. В 1900 году в двенадцатилетнем возрасте он начал самостоятельно изучать вопросы, выходящие за рамки того, чему обучал его учитель.

Арифметический и геометрический ряды. Тригонометрия (он конспектировал вторую часть книги Лоуни), ряды для синуса, косинуса, но не для их отношений. В 1902 году кто-то научил его решать кубические уравнения. Самостоятельно решил биквадратное уравнение, сведя его к произведению двух квадратичных сомножителей. В 1903 году предпринял попытку решить уравнение пятой степени, но безуспешно. Начиная с 1904 года стал исследовать ряд 1 + 1/2 + 1/3 + ... и вычислил постоянную Эйлера как в виде разложения в сходящийся ряд, так и с точностью в 15 десятичных знаков. Вычислил числа Бернулли, не догадываясь о том, что они уже известны. Разработал метод суммирования рядов и затем научился интегрированию и дифференцированию.

В декабре сдал приёмные экзамены в Мадрасский университет и завершил первый курс обучения в Кумбаконамском колледже этого университета. Проявил огромный интерес к математике, жертвуя при этом другими предметами. Не смог сдать экзаменов, необходимых для перехода на второй курс. Наступает временное психическое расстройство, длившееся шесть месяцев. Но в течение всего этого периода он всё же сохранял способность заниматься исключительно математикой. Большую часть этого времени он посвятил исследованию гипергеометрического ряда. В конце 1905 года и в течение всего 1906 года он исследовал различные соотношения между интегралами и рядами (Уолтер и др. места, 750 миль 1), часть из которых тесно связана с функциями, известными теперь как эллиптические. В 1906 году он поступил в Пачайяпа-колледж и за три месяца одолел годичный курс обучения, снова серьёзно заболел после этого и поэтому прекратил дальнейшую учёбу. В декабре 1907 года попытался экстерном сдать экзамены на учёную степень 2 и отличился тем, что провалился по всем предметам из-за психического расстройства, рецидивы которого нерегулярно повторялись вплоть до конца 1907 года. В 1906 году работал над непрерывными дробями и исследовал расходящиеся ряды.

(Родственники с материнской стороны были филологами, изучавшими санскрит. Получали подарки от королей.) Помолвка в 1908 году. Подвергся серьёзной хирургической операции в 1909 году. Находился в глубокой прострации почти целый год. В 1910 году получил соотношения между эллиптическими модулярными уравнениями. В 1911 году предпринимал попытки найти математиков, которые могли бы оценить его исследования, но был встречен без особого энтузиазма. Встречался почти со всеми известными математиками, с В. Рамасвами Айяром в том числе. Профессор Росс из Кристиан-колледжа 3, профессор Мидлмаст из Президенси-колледжа и Р. Рамачандра Рао, крупный чиновник из Неллора, проявили некоторый интерес. Последний оплачивал пансион Рамануджана в Мадрасе в течение почти целого года. В марте 1912 года был принят на работу в трест Мадрасского порта, в мае 1913 года получил стипендию».

Этот документ не подписан и не датирован. Судя по указанному в нём возрасту самого младшего брата Рамануджана, он, по-видимому, написан в 1913 году. Почти с уверенностью можно сказать, что его автором является С. Нарайяна Айер, главный бухгалтер треста Мадрасского порта. В верхней части первой страницы стоят инициалы, принадлежащие, скорее всего, сэру Френсису Спрингу. Исправления от руки носят грамматический характер и, вероятно, принадлежат Спрингу. 29 марта 1919 года в «Мадрас Мейл» появилась статья о Рамануджане. Она была написана архивариусом Мадрасского университета и рассказывала о стипендиях, полученных Рамануджаном. После того как Рамануджан был избран членом Королевского общества и вернулся в Индию, в газетах появилось несколько статей, утверждавших, что он получал «государственную стипендию». Так как стипендии Рамануджану выделялись Мадрасским университетом, то агенства печати, естественно, захотели получить точную информацию. Процитированное выше письмо также появилось в «Мадрас Таймс» 30 марта 1919 года, в связи с чем Френсис Спринг написал следующее (из архивов Мадрасского порта):

«Это не кажется мне достаточным для удовлетворения законного интереса общественности к человеку, чей математический гений может принести ещё столько пользы всему миру и уже получил полное признание со стороны высочайшего авторитета в данной области, выразившееся в его избрании членом Королевского общества.

Поэтому не будет ли любезен мистер С. Нарайяна Айер прислать мне документы, относящиеся к мистеру Рамануджану, с тем, чтобы, просмотрев их и выяснив, какая дополнительная информация мне необходима, я смог бы побеседовать с мистером Н. А. и написать более подробную статью для прессы».

(подписано Ф. С. 29/3)

Статья была опубликована 6 апреля 1919 года в «Мадрас Таймс». Она не подписана, но машинописный оригинал с инициалами Спринга, написанными его характерным почерком, хранится в архивах треста Мадрасского порта. На последней странице машинописного текста содержится написанная от руки записка Спринга. Она адресована Нарайяну Айеру и, среди прочих вещей, содержит следующее: «Храните отпечатанный экземпляр подшитым до тех пор, пока не появится возможность заменить его опубликованным». После инициалов Спринга идут буквы ГБ (означающие главный бухгалтер) и вписанные рукой инициалы СН (принадлежащие С. Нарайяну Айеру). Датировано 3/4 (или 3 апреля, как тогда писалось в Индии).

С. Нарайяна Айер был хорошим математиком, и во время пребывания Рамануджана в тресте порта они очень часто работали вместе. Вот несколько деталей, написанных Н. Сабнарайяном о своем отце С. Нарайяне Айере и Рамануджане [99, стр.112–115].

«Для того чтобы проиллюстрировать глубину его таланта, я могу привести один из случаев, происшедший во время пребывания Сринивасы Рамануджана у нас, когда мы жили в доме № 580 по Пикрофтс Роуд, Трипли-кейн. В течение этого периода Рамануджан и мой отец обычно каждый вечер занимались математикой, сидя на маленьких перилах второго этажа и используя большие грифельные доски. Обычно это продолжалось почти до половины двенадцатого ночи и создавало неудобства для других жителей дома, спящих в прилегающих комнатах. Я отчётливо помню шум грифелей, который обычно создавал фон для моих сновидений. Несколько раз я видел, как С. Рамануджан вставал в два часа ночи и что-то записывал на грифельной доске при тусклом свете фонаря «молнии». Когда мой отец спросил его, что он записывает, он ответил, что он во сне нашёл решение математической задачи и теперь записывает результат на доске, чтобы не забыть. Очевидно, что это говорит о его замечательной способности к подсознательной работе и быстрому восприятию интеллектуального багажа математики. Весьма характерно, что мой отец часто спрашивал о неясных местах в этих записях. Между двумя последовательными шагами в его рассуждениях обычно были большие пробелы. Мой отец, будучи сам достаточно хорошим математиком, не мог ухватить «логику» открытий Рамануджана. Он обычно говорил ему: «Если я не в состоянии понять ваши рассуждения, то непонятно, как другие критически настроенные математики будут воспринимать вашу одарённость. Вы должны спуститься до моего уровня понимания и приводить по крайней мере десять шагов между вашими двумя последовательными шагами». С. Рамануджан обычно отвечал: «Если это так просто и очевидно мне, почему я должен записывать промежуточные шаги?» Однако каким-то образом отцу постепенно удавалось переубедить его и уговорить написать несколько более подробно, хотя для него это являлось изнуряюще скучным занятием».

Далее в этой же статье Н. Сабнарайян пишет:

«Перед отъездом Рамануджана в Англию мой отец обратился к нему со странной просьбой. В качестве памятного подарка мой отец хотел обменяться с Рамануджаном грифельными досками, на что было дано согласие. Может быть, мой отец надеялся на то, что грифельная доска принесёт ему вдохновение в отсутствие Рамануджана. В то время он работал над эллиптическими функциями. Это я хорошо помню, поскольку в течение длительного времени он часто посылал меня в университетскую библиотеку за книгой "Эллиптические функции Якоби".»

Два других факта о Нарайяне Айере. Он утверждал, что первое письмо Рамануджана к Харди было продиктовано им. Это вполне правдоподобно, поскольку он регулярно ошибался в дате рождения Рамануджана и его возраст неправильно указан в этом письме. Кроме того, части этого письма свойственен нехарактерный для Рамануджана недостаток скромности. Обычно пишут, что Р. Рамачандра Рао обратился к сэру Френсису Спрингу, сообщая ему о способностях Рамануджана и предлагая принять его на работу в трест Мадрасского порта, и именно поэтому Рамануджан был принят Спрингом. Это неверно. Спринг услышал о Рамануджане уже несколько месяцев спустя после того, как он был принят на работу в трест порта. Оба эти утверждения содержатся в письме Нарайяна Айера к Спрингу от 10 марта 1921 года, которое также хранится в архивах треста Мадрасского порта.

С. Нарайяна Айер был, скорее всего, единственным служащим треста Мадрасского порта, имевшим достаточно прямых контактов с Рамануджаном, чтобы написать процитированные выше строки о ранних годах его жизни. Всё ли в них правильно? По крайней мере одно место, скорее всего, ошибочно. При сдаче экзаменов на учёную степень в 1907 году Рамануджан, скорее всего, успешно преодолел их математическую часть. С. Р. Ранганатан написал, что он просматривал экзаменационные листы Мадрасского университета, содержащие фамилии кандидатов на степень.

Рамануджан «на самом деле получил очень высокие оценки по математике. Он провалился лишь из-за плохих отметок по другим предметам» [88, гл. 5]. Поскольку Государственный колледж входит в состав Мадрасского университета, эти отметки могли бы относиться к первому экзамену, сданному Рамануджаном в 1904 году, но наиболее вероятно, что они отражают результаты второго экзамена в Мадрасе на учёную степень.

Первоначально я с недоверием отнёсся к утверждению, что Рамануджан не знал, «что такое дифференцирование и интегрирование» до 1904 года и что он самостоятельно пришёл к определению чисел Бернулли в 1904 году. К этому времени он ознакомился с книгой Kappa [26], содержащей как числа Бернулли, так и дифференцирование и интегрирование. Тем не менее, эта точка зрения весьма правдоподобна. Первоначально книга [26] издавалась в двух томах и именно такой её вариант имеется в Государственном колледже Кумбаконама. Первый том заканчивается пунктом 1292, после которого систематически вводится дифференциальное исчисление. В первом томе есть раздел, в котором сформулированы правило дифференцирования полинома и разложение полинома в ряд Тейлора, без введения определения производной. Интегрирование рассматривается лишь во втором томе и там же вводятся числа Бернулли. Удивительно, что первый том содержит очень много такого материала о бесконечных рядах, который мы навряд ли включили бы до ознакомления с анализом; поэтому приведённое выше утверждение в принципе правдоподобно. Моё сомнение вызывает лишь 1904 год. Скорее всего, это был 1903 год. Обращаю ваше внимание на то обстоятельство, что приведённая выше информация предшествует предложению «В декабре сдал приёмные экзамены в Мадрасский университет и завершил первый курс обучения в Кумбаконамском колледже этого университета». Экзамены были в декабре 1903 года и Рамануджан приступил к занятиям в колледже в начале 1904 года. Вполне возможно, что Рамануджан не был знаком со вторым томом книги [26] или другим систематическим изложением анализа до тех пор, пока не получил прямого доступа в библиотеку Государственного колледжа, став студентом в 1904 году. Однако несомненно, что он достаточно глубоко изучал бесконечные ряды в 1903 году до поступления в колледж.

Большая часть остальных комментариев выглядит вполне правдоподобно. И если это действительно так, то Рамануджан начал изучать гипергеометрические ряды вскоре после неудачи на экзаменах за первый год обучения в конце 1904 года, и поэтому его исследование этих рядов было начато в 1905 году.

Какую часть материала раздела 2 он переоткрыл? Кратким ответом является «почти весь материал». Намного легче перечислить то, что он не сделал. Во-первых, отсутствовало систематическое изучение 2F1 подобное тому, которое было предпринято Гауссом, Куммером и Риманом. Рамануджан никогда не приводил всех соотношений смежности и не знал кубических преобразований, открытых Риманом. Он не догадывался о римановской точке зрения, что сингулярности функции могут иметь глобальные следствия. Он никогда не рассматривал ортогональные полиномы и поэтому не смог воспользоваться этим подходом для получения результатов, относящихся к гипергеометрическим рядам.

Он открыл большое число непрерывных дробей, как приведённые выше примеры Эйлера и Гаусса, так и многие другие. Некоторые из них теперь представляются нам как следствия общей теоремы Пинчерле [75] о непрерывных дробях, которую можно применить к трёхчленным рекуррентным соотношениям для определённых классов ортогональных полиномов (см. [68, 69, 69a]). Другие из полученных Рамануджаном примеров непрерывных дробей могут быть доказаны, но общая схема, естественно их объединяющая, всё ещё должна быть найдена. Мне до сих пор кажется, что замечательная непрерывная дробь Рамануджана

PQ

P + Q

 =  8αβγδε
  1{2(s4+1) – (s2–1)2 – 22} +  64(α2–1)(β2–1)(γ2–1)(δ2–1)(ε2–1)
  3{2(s4+1) – (s2–5)2 – 62} +  64(α2–22)(β2–22)(γ2–22)(δ2–22)(ε2–22)

5{2(s4+1) – (s2–13)2 – 142} + ...

(3.1)

с ненулевыми целыми α, β, γ, δ, ε и

s2 = α2 + β2 + γ2 + δ2 + ε2,
s4 = α4 + β4 + γ4 + δ4 + ε4

должна получаться из (2.70) и трёхчленных рекуррентных соотношений 4 для совершенно уравновешенных 7F6, хотя я не смог доказать это. Исмаил и Массон считают, что она должна вытекать из свойств совершенно уравновешенной дважды сбалансированной функции 9F8. Это даже более вероятно.

В формуле (3.1) P это  Γ(½(α±β±γ±δ±ε+1)), причём произведение содержит все возможные комбинации знаков плюс и минус при условии, что число знаков минус чётно, a Q – соответствующее произведение с нечётным числом знаков минус. Последовательность 1, 5, 13, ... задаётся формулой 2n2 + 2n + 1 при n = 0, 1, ... .

Доказательство (3.1) приведено у Ватсона [110].

Подход Рамануджана к гипергеометрическим рядам в основном содержится в его тетрадях. Результаты систематической работы входят в главы 12, 13 и 15 Первой тетради [85] и в главы 10 и 11 – Второй [86]. Харди [55] дал довольно-таки детальный анализ 12-й главы Первой тетради, а Берндт написал о главах 10 и 11 во втором томе своего изложения Второй тетради Рамануджана. (См. [15, 16, 18].) Рамануджан начинает своё рассмотрение гипергеометрических рядов с того места, где заканчивается предыдущий раздел с вычетом преобразования Уиппла и интегралов Барнса в полном объёме. По сути дела он начинает с формулы (2.70). Коснувшись некоторых частных и предельных случаев, он приводит результат, эквивалентный

 3F   a, b, c
a + 1 – b, a + 1 – c
; 1    =
 
 Γ(a + 1 – b) Γ(a + 1 – c) Γ(a/2 + 1) Γ(a/2 + 1 – bc

Γ(a/2 + 1 – b) Γ(a/2 + 1 – c) Γ(a + 1) Γ(a + 1 – bc)

 .

и отмечает его особую важность вследствие того, что отдельные линейные множители в a, a + 2, a + 4, ... исчезают.

Во Второй тетради Рамануджан вновь начинает с формулы (2.70). Его следующее утверждение представляет собой сумму Пфаффа для сбалансированной функции 3F2, т.е. (2.18). Эту формулу также можно получить из (2.70), заменив d на d+a, e на e+a и вычислив затем предел при a®.

Возникает естественный вопрос: как удалось Рамануджану так быстро прийти к открытию такого важного тождества, в то время как понадобилось более ста лет для того, чтобы преодолеть дистанцию от статьи Пфаффа [74] до статьи Дугалла [37]? Правильный ответ – Рамануджан был гениален – навряд ли удовлетворит нас, поскольку он мало что проясняет. Попытка разгадать как кто-то, намного сообразительнее тебя, продвигался в своей работе, всегда рискованна, но вот один из возможных путей, который очень рано мог привести Рамануджана к совершенно уравновешенным рядам в рамках его подхода к гипергеометрическим рядам.

Книга Карра содержала очень мало материала по гипергеометрическим рядам, но этого было достаточно для того, чтобы привлечь внимание Рамануджана. Наиболее необычной частью книги Карра является её предметный указатель. Типичная английская книга в лучшем случае содержит недостаточно полный указатель. Карр составил необыкновенно полный указатель. Он не только перечисляет большинство результатов, содержащихся в приведённых им около 5000 фактах, он упоминает также многие факты, не содержащиеся в книге. Он делает это, отсылая читателя к соответствующему журналу. Например, в перечне, относящемся к гипергеометрическому ряду, он приводит непрерывную дробь, которая рассматривается в книге, и упоминает также «возведение в квадрат». В качестве ссылки к «возведению в квадрат» даётся статья Клаузена [31], причём Карр приводит только название журнала и номер тома, опуская имя автора, название соответствующей статьи и страницы. У Рамануджана не было доступа к журналу Крелля (общепринятое название Journal für die reine und angewandte Mathematik, прим. перев.), но вот как он мог воспользоваться этой ссылкой для того, чтобы прийти к совершенно уравновешенному ряду в целом и, в частности, к формуле (2.70). Квадрат гипергеометрического ряда для Карра и, следовательно, для Рамануджана в тот момент, когда он изучал книгу Карра, имеет вид
n
      (a)n (b)n 

(c)n n!

 xn    2  =      xn     (a)k (b)k (a)n–k (b)n–k 

(c)k k! (c)n-k (n – k)!

 = 
n=0 n=0 k=0
n
 =      (a)n (b)n 

(c)n n!

 xn     (a)k (b)k (–n)k (1 – nc)k 

(1 – na)k (1 – nb)k (c)k k!

 .
n=0 k=0

Конечный ряд под знаком последней суммы является совершенно уравновешенным. При n = 2 конечный ряд под знаком суммы в первой строке равен

 2a(a + 1) b(b + 1) 

c(c + 1)·1·2

 +   a2 b2 

c2·12

 =   ab·[c(a + 1)(b + 1) + ab(c + 1)] 

c2 (c + 1)

 .

Запишем c(a + 1)(b + 1) + ab(c + 1) в виде

c·ab + c(a + b + 1) + ab(c + 1) = 
 = ab(2c + 1) + c(a + b + 1) = 2ab(c + ½) + c(a + b + 1).

Последнее выражение факторизуется при c=a+b и становится равным

(2ab + a + b + ½)(a + b + 1) = 2(a + ½)(b + ½)(a + b + 1).

Это могло подсказать Рамануджану рассмотреть

   2F   a, b
a + b + 1/2
; x        2

и отсюда ему было уже нетрудно догадаться, что

   2F   a, b
a + b + 1/2
; x        2  = 3F   2a, 2b, a + b
a + b + 1/2, 2a + 2b
; x    .

Это можно было бы доказать, если бы он смог показать, что

 4F   n, a, b, 1/2 – nab
1 – na, 1 – nb, a + b + 1/2
; 1    =   (2a)n (2b)n (a + b)n  

(a)n (b)n (2a + 2b)n

 .
(3.2)

Совершенно уравновешенный характер (3.2) очевиден и этот ряд – дважды сбалансированный. Для хорошего математика не представляло особого труда рассмотреть затем более общий случай совершенно уравновешенного дважды сбалансированного ряда, и для Рамануджана, с его способностью и тонким чутьём к формулам, открытие суммы для совершенно уравновешенной дважды сбалансированной функции 7F6 было бы детской игрой.

Харди [56, гл.7] пишет, что Рамануджан пришёл к формуле (2.70) в 1910 или в 1911 годах, и считает, что его доказательство, вероятно, было аналогичным доказательству Дугалла, которое он и приводит. Мне кажется, что Рамануджан обнаружил это тождество значительно раньше, вероятно, в 1905 году. Записывая это в своей Первой тетради [85, с.171], он отмечает, что «доказательство этой теоремы с очевидностью вытекает из самого результата». Единственный известный мне способ рассуждений, который позволяет сделать такое высказывание, – это знание метода Дугалла.

В конце 10-й главы [86] Рамануджан сформулировал результат, эквивалентный тому, что

 6F   a, a/2 + 1, b, c, d, e
a/2, a + 1 – b, a + 1 – c, a + 1 – d, a + 1 – e
; –1    =
(3.3)
 
 Γ(a + 1 – d) Γ(a + 1 – e)

Γ(a + 1) Γ(a + 1 – de)

 3F   d, e, a + 1 – bc
a + 1 – b, a + 1 – c
; 1    .

Как отметил Берндт [18, гл.10, (31.1)], при a=b=c=d это сводитcя к
   (–1)n (5n + 1)    ( 1/2 )n

n!

   5  =  1

Γ(3/2) Γ(1/2)

 3F   1/2, 1/2, 1/2
1, 1
; 1    ,
n=0

и правая часть может быть просуммирована с помощью (2.68). Харди [56] задавался вопросом, как Рамануджан просуммировал этот ряд. Сам Харди сделал это с помощью функций Лежандра, а Уиппл воспользовался своим преобразованием. Наиболее вероятно, что Рамануджан использовал формулу (3.3), т.e. найденный им предельный случай преобразования Уиппла.

Понадобилось почти двадцать лет для того, чтобы продвинуться от статьи Дугалла и формулы (2.70) к статье Уиппла [114] и его преобразованию (2.71). Это является ещё одним подтверждением того, что Рамануджан знал (2.70) значительно раньше 1910 года. Ясно, что Рамануджану удалось быстрее перейти от (2.70) к (3.3). Формулы, подобные (3.3), труднее найти, чем (2.70), если только не использовать правильную технику. В том случае, когда ряд естественно обрывается, убедиться в его суммируемости в виде отношения гамма-функций можно путём вычисления частных значений при n = 1, 2, 3, что очень часто позволяет догадаться, каким должен быть ответ. Но это становится намного менее вероятным, если ряд нельзя просуммировать, а можно лишь преобразовать. Эта возможность становится ещё менее вероятной тогда, когда двойные суммы преобразуются в другие ряды. Я думаю, что именно поэтому Рамануджан был верен рядам в виде однократных сумм, хотя есть примеры тождеств для двукратных рядов, которые понравились бы ему. Рамануджан вероятно переписал и переработал свою Первую тетрадь примерно в 1912 или в 1913 годах и поэтому предположение о том, что формула (2.70) была известна ему в 1910 или 1911 годах, очень близко к истине. Рамануджан определённо мог бы преодолеть дистанцию между формулами (2.70) и (3.3) за более короткий промежуток времени, занимайся он только этим, но он решал такое количество других задач, что ему пришлось потратить на это чуточку больше времени.

Часть результатов Рамануджана, относящихся к определённым значениям некоторых гипергеометрических рядов, игнорировалась десятилетиями. Это ряды, значения которых равны произведению π–1 на некоторые рациональные числа или вещественные квадратные корни. Они приводятся в разделах 13 и 14 в [77] и в [86, стр. 378]. Из семнадцати примеров, данных Рамануджаном, мы приведём лишь два:

27

 8π 

 = 4F3    17/15, 1/3, 1/2, 2/3
2/15, 1, 1
 ;   2 

27

   ,
(3.4)

9801

 2206π√2 

 = 4F3    27493/26390, 1/4, 1/2, 3/4
1103/26390, 1, 1
 ;  1

994

   .
(3.5)

В такой форме, вероятно, невозможно понять суть происходящего. Рамануджан сформулировал принципиальную схему вывода подобных тождеств, но только в последние два или три года появились работы, в которых ею воспользовались для получения новых результатов. На конференции, проведённой в Урбане, штат Иллинойс, в связи со столетием Рамануджана, были сделаны два доклада, посвящённые подобным суммам. Джонатан и Питер Борвайны [23] привели много других примеров. Ранее в своей книге [22] они также рассматривали ряды такого типа. Второй доклад был сделан Дэвидом и Грегори Чудновскими [30]. Они придали идее Рамануджана более общее очертание. Как и все остальные известные мне работы Чудновских, эта статья даётся с трудом, но время на её чтение не затрачивается впустую. Конечно, этот комментарий в равной степени применим и к работам Рамануджана. Поразительно, что содержащиеся в статье Рамануджана [77] математические выкладки были сделаны им ещё в Индии, до того, как появился реальный доступ в первоклассную библиотеку. Существенно новая идея в этой статье вытекает из эллиптических кривых с комплексным умножением, что приводит к интересным следствиям для гипергеометрических рядов. К сожалению, я должен порекомендовать читателю статью Чудновских [30], так как я недостаточно хорошо понимаю её для того, чтобы кратко изложить здесь.

Одним из вопросов, который Рамануджан часто рассматривал в своих тетрадях, является нахождение асимптотических значений определённых рядов. Следующая привлекательная задача привела к появлению нескольких статей. (См. [102, том 2, с. 151–152] и [18].)

Пусть
 en 

2 

 =      nk 

k! 

 +   nn 

n! 

 θ.
k=1

Покажите, что 1/3 < θ < 1/2. (См. [84, с. 323–324], где приведены работы Рамануджана по этой проблеме.)

Для классического 2F1 ряда Рамануджан нашёл ряд интересных асимптотических формул. Он рассмотрел

 2F   a, 1
c
 c 

 a 

 

при a®+∞ и c, принадлежащем ограниченному множеству положительных чисел, а также случаи, когда a=c+d®+∞, а d может как принадлежать ограниченному множеству положительных чисел, так и стремиться к бесконечности. Как и следовало ожидать, результат во всех трёх случаях различен.

Для гипергеометрического ряда p+1Fp, который расходится при z=1, легко определить первый член разложения при z®1. Рамануджан утверждал, что

 Γ(a) Γ(b) Γ(c

Γ(d) Γ(e)

 3F   a, b, c
d, e
; z    = – ln(1 – z) + L + O((1 – z)ln(1 – z))

при  z®1  и  a+b+c=d+e, Re (c) > 0, причём
 L = –2γ –   Γ' (a

Γ(a)

 –   Γ' (b

Γ(b)

 +      (dc)k (ec)k 

k (a)k (b)k

 .
k=1

Доказательство справедливости последнего соотношения можно найти у Эванса и Стэнтона [43], а ссылки и доказательства других результатов приведены у Берндта и Эванса [21] и у Эванса [42].

Рамануджан нашёл много модулярных соотношений, вероятно больше, чем кем-либо было их найдено к тому времени, когда он начал заниматься математикой. Они носят гипергеометрический характер, хотя основной интерес к ним связан с другим. Детали можно найти в выходящей скоро книге Берндта [19], а сводку результатов Рамануджана по модулярным уравнениям и ссылки на работы, содержащие доказательства некоторых из них, – в его обзорной статье [20].

Но есть и другие, как, например, следующий невероятный результат. Если

 2F1   1/2, 1/2
1
; 1 – k2    = √210 2F1   1/2, 1/2
1
k2    ,

то

k = (√2 – 1)2 (2 – √3)(√7 – √6)2 (8 – 3√7)(√10 – 3)2 (√15 – √14)(4 – √15)2 (6 – √35).

У Дж. Зукера [118] приводится более сложный результат этого типа. [Пару примеров такого рода я нашёл в своё время у Эрика Вайсстайна (Eric Weisstein). Ныне его сайт перекочевал под крылышко Wolfram Research. Вот эта парочка, в более привычной форме записи через полный эллиптический интеграл:

если K(√1 – k² ) = √330 K(k), то

k = (√2 – 1)2 (2 – √3)3 (√10 – 3)2 (4 – √15)(√33 – 4√2)2 (3√5 – 2√11)2 (√55 – 3√6)(10 – 3√11);

если K(√1 – k² ) = √462 K(k), то

k = (√3 – √2)4 (2 – √3)2 (2√2 – √7)2 (√22 – √21)(8 – 3√7)2 (3√11 – 7√2)2 (10 – 3√11)(76 – 5√231).

E.G.A.]

Даже это краткое перечисление ряда открытий Рамануджана в области гипергеометрических рядов показывает, что он слишком поздно появился на сцене для того, чтобы стать первооткрывателем большинства тождеств со многими свободными параметрами. Однако за очень короткий промежуток времени он получил большую часть результатов, на формулировку которых потребовалось более 110 лет от выхода книги Пфаффа [73] и статьи [74] до публикации статьи Дугалла [37]. Даже в этой достаточно хорошо разработанной области ему удалось получить довольно много важных и оригинальных результатов, часть из которых сохранила свою новизну вплоть до того момента, когда Берндт детально проанализировал главы 10 и 11 из [86]. Многие результаты, относящиеся к гипергеометрической функции и связанные с эллиптическими кривыми с комплексным умножением, производят на меня глубокое впечатление. Не менее впечатляющи непрерывные дроби Рамануджана. Однако наибольшее влияние его работ по гипергеометрическим рядам оказалось опосредованным. Харди [55] опубликовал относительно полный анализ основных результатов глав 12 и 13 из [85]. Эта публикация вызвала настоящий поток статей по гипергеометрическому ряду, сперва Уиппла, затем Бейли, достигнув кульминации в книге Бейли [12], которая позволила другим ознакомиться с этим аспектом гипергеометрических рядов, причём не было необходимости заново проделывать самим ту работу, которая была уже сделана Рамануджаном. [С выходом монографии Дж.Гаспера и М.Рахмана «Базисные гипергеометрические ряды» [47] "переходящее знамя" кульминации поменяло владельца. :-) Ричард Аски пишет в предисловии к этой книге: "На протяжении многих лет меня неоднократно просили назвать лучшую книгу по специальным функциям (видимо, имеется в виду по данной проблематике, а не вообще E.G.A.). Я обычно отвечал, что это – экземпляр книги Бейли, принадлежащий Джорджу Гасперу, поскольку он дополнен многими полезными формулами и замечаниями. Теперь и другие могут воспользоваться как информацией, содержащейся в замечаниях на полях этой книги, так и многими другими полезными результатами". E.G.A.] В конечном итоге Гаспер [45] использовал результаты впечатляющей работы Бурчналла и Ченди [25] для доказательства некоторых гипотез, которые, как мне казалось, должны были всё ещё оставаться гипотезами до конца этого столетия. Один из самых простых среди этих результатов оказался тем последним звеном, которое было необходимо де Бранджесу для доказательства гипотезы Бибербаха [34].

В другом направлении Рамануджан сыграл двойственную роль. Первой любовью Ф. Дайсона в математике была одна из работ Рамануджана (см. [40]). Поэтому, когда он будучи ещё студентом прочитал книгу Бейли [12] и наткнулся на сумму
 n
   (–1)k (  n
 k
) 3 ,
k=0

он смог распространить её на более общий случай с двумя свободными параметрами и предсказал значение важного многомерного интеграла. Этот интеграл и найденный ранее Сельбергом [98] многомерный бета-интеграл были очень существенными для некоторых важных работ по корневым системам. Частично этот вопрос затрагивается в статье Густафсона [53]. (См. также Милн [71] и Макдональд [66].) Все эти работы в конце концов были бы сделаны и не будь Рамануджана, поскольку они занимают центральное место и к ним достаточно легко приблизиться с разных сторон, поэтому они должны были быть найдены. Однако весьма вероятно, что их появление было ускорено работами Рамануджана. Но я сомневаюсь в том, что некоторые из его асимптотических формул и рядов для π стали бы нашим достоянием, по крайней мере, в ближайшее время.


§4. Базисный гипергеометрический ряд

Базисным гипергеометрическим рядом называется ряд Σcn, у которого отношение cn+1/cn является рациональной функцией qn для некоторого фиксированного параметра q. Почти весь материал § 2 может быть обобщён на случай базисного гипергеометрического ряда. Но в то время когда начинал Рамануджан, о базисных гипергеометрических рядах было известно намного меньше, чем о гипергеометрических рядах. Ещё в начале XIX века была известна q-биномиальная теорема
    (a; n)n 

(q; q)n

  xn  (ax; q) 

(x; q)

 ,     |x| < 1.
n=0
(4.1)

Как в этой, так и во всех последующих формулах предполагается, что |q|<1, если противное специально не оговорено. Общеприняты обозначения
 (a; q)  (1 – aqn)
n=0
(4.2)

и
n–1
 (a; q)n  (1 – aqk)  =   (a; q) 

(aqn; q)

 ,     n = 0, ±1, ±2, ... .
k=0
(4.3)

В качестве обобщения гипергеометрического ряда определим
 p+1φp+r    a0, ..., ap
b1, ..., bp+r 
q, x    =    (a0; q)n ... (ap; q)n

(b1; q)n ... (bp+r; q)n

  (–1)rn qn(n–1)/2

(q; q)n

 xn.
n=0
(4.4)

Используется также двусторонний ряд подобного сорта:
 pψp+r    a1, ..., ap
b1, ..., bp+r 
q, x    =    (a1; q)n ... (ap; q)n

(b1; q)n ... (bp+r; q)n

  (–1)rn qn(n–1)/2

(q; q)n

 xn.
–∞
(4.5)

Теперь q-биномиальную теорему можно представить в виде

 1φ0    a
q, x      (ax; q) 

(x; q)

 ,     |x|<1.
(4.6)

Рамануджан привёл доказательство (4.1) в [78]. Это была его первая статья, затрагивающая вопрос о базисных гипергеометрических рядах.

В XVIII веке Эйлером было показано, что
 1φ0    0
q, x    =     xn 

(q; q)n

 =  1 

(x; q)

n=0
(4.7)

и что
 1φ1    0
0
 ; q, x    =     (–1)n qn(n–1)/2 xn 

(q; q)n

 = (x; q).
n=0
(4.8)

Это следует из (4.1) при замене x на x/a и последующем предельном переходе a→∞. Эйлер также показал, что
   (–1)n q(3n²+n)/2 = (q; q).
–∞
(4.9)

В неопубликованной работе [51] Гаусс продвинул эту работу дальше. Среди прочих результатов он доказал, что
   (–1)n q(n²–n)/2 = (q; q)(x; q)(q/x; q).
–∞
(4.10)

Позже это соотношение было найдено Якоби [62] и по вполне понятной причине оно называется тройным произведением.

[· · ·]

Ряд для тета-функции
 ∞
 qn² xn
–∞

рассматривался во многих книгах по эллиптическим функциям. Вполне возможно, что Рамануждан прочитал о тета-функциях в какой-либо из этих книг, но совершенно ясно, что он разработал свой собственный подход к их изучению. Я не знаю, видел ли Рамануджан q-биномиальную теорему или нет. Предполагаю, что не видел, хотя на самом деле это совершенно несущественно, поскольку сделанное им настолько превосходит сделанное до него, что это обстоятельство навряд ли может повлиять на нашу оценку его достижений.

Работа Рамануджана над базисными гипергеометрическими рядами делится на три периода. Первый относится ко времени его пребывания в Индии. По тому, как расположены его результаты в Первой тетради, можно почти уверенно сказать, что он добрался до этого материала скорее всего к концу этого этапа. В опубликованном её варианте первые 267 страниц распадаются на две группы. Страницы с нечётными номерами (или правые страницы) разбиты на главы и содержат пронумерованные формулы. Чётные (или левые страницы) включают в себя разнообразный материал. Все тождества Рамануджана для базисных гипергеометрических рядов и связанных с ними непрерывных дробей расположены на левых страницах. Две главы полностью посвящены гипергеометрическим рядам и имеется очень много результатов по гипергеометрическим рядам в других главах. Это наводит на мысль, что если Рамануджан и видел q-биномиальную теорему, то не в начале своей деятельности. Она не появляется в Первой тетради, но в главе 16 Второй тетради она полностью занимает второй раздел, куда входят определение и четыре простых следствия из этого определения.

В Первой тетради на чётных страницах от 126 до 136 содержатся следующие результаты. Я буду использовать стандартные обозначения, которыми не пользовался Рамануджан, и заменю рамануджановскую x на q. Я пронумеровал их для того, чтобы можно было ссылаться на них. [А я их не включил :-) — влом набирать две страницы многоэтажных формул. Гляньте DjVu-вариант — там всё есть. E.G.A.]

[· · ·]

Можем ли мы правдоподобно воспроизвести ту логику рассуждений Рамануджана, которая привела его к открытию этих результатов? Можно догадаться, как он пришёл к рассмотрению непрерывной дроби в (4.37). К изучению непрерывных дробей естественно приступить с наиболее простого примера:

l 1
  1 +  1
  1 + ... 

Формально l = 1/(1 + l), поэтому l2 + l – 1 = 0. Следовательно, l = ½(√5 – 1), поскольку l > 0. Чуточку больше необходимо для доказательства сходимости этой непрерывной дроби, но есть основания полагать, что Рамануджан не только знал приведённые выше соображения, но и пытался их обобщить. Наиболее очевидным обобщением является

l(q) =  1  
  1 +  q  
  1 +  q2

1 + ... 

 .

Он знал на примере гипергеометрических непрерывных дробей, увиденных им в книге Карра [26] (и ранее полученных им самим), что легче всего работать с непрерывными дробями, обладающими дополнительными параметрами. Поэтому непрерывная дробь в (4.37) является совершенно естественным объектом для изучения.

Пусть

H(a) =  1  
  1 +  aq  
  1 +  aq2

1 + ... 

 .

Тогда

H(a) =  1

 1 + aqH(aq


или

1

 H(a

 = 1 + aqH(aq). 
(4.43)

Для того чтобы преобразовать это нелинейное уравнение в линейное, положим

H(a) =  F(aq)

 F(a

 .

Тогда (4.43) принимает вид

F(a) = F(aq) + aqF(aq2). (4.44)

Если
F(a) =    cn an ,
n=0

то, подставляя это разложение в (4.44) и приравнивая коэффициенты перед an+1, получаем

(1 – qn+1)cn+1 = q2n+1 cn . (4.45)

Итерирование (4.45) даёт

cn qn²

 (q; q)n 

 c0 ,

т.е. мы, по крайней мере формально, получили (4.37).

При  a = 1  и  q → 1  это тождество должно перейти в тождество
 √5 – 1 

2

 =  1  ,
  1 +  1

1 + ... 


и для Рамануджана было бы совершенно естественно попытаться увидеть, как возникает этот предел. Поэтому было бы естественно рассмотреть ряды в (4.39) и (4.40) каждый в отдельности. Так как можно быть почти уверенным в том, что Рамануджан знал к тому времени тройное произведение (4.10), то у него были основания для того, чтобы попытаться представить ряды в в (4.39) и (4.40) в виде произведений. Он легко бы догадался до (4.39') и (4.40'), что позволило бы ему с помощью тройного произведения получить (4.39) и (4.40).

Рамануджан не знал, как доказать (4.39) и (4.40), и поэтому есть основания полагать, что он нашёл обобщения (4.33) и (4.36) в попытках сформулировать более общие результаты, которыми он мог бы воспользоваться для доказательства (4.39) и (4.40).

Нам известно, что Рамануджан не знал как доказать эти два тождества, в первую очередь благодаря рассказанной Харди истории о том, как Рамануджан обнаружил статьи Роджерса, содержащие это доказательство, и затем сформулировал своё собственное. (См. [56, с. 90–99].) Теперь в нашем распоряжении имеется также одна страница из рукописей Рамануджана, содержащая четыре довода в пользу справедливости (4.39). (См. [87, с. 358].) Эта страница была написана после отъезда в Англию, а первым доводом является то обстоятельство, что мистер Мак-Магон показал, что коэффициенты разложения в ряд правильны до q55. К тому времени, когда была написана книга Мак-Магона [67], эти вычисления были подтверждены до q89. Другой довод связан с асимптотическим поведением обеих частей при q → 1–. Очевидно, что Рамануджан смог бы описать асимптотическое поведение l(q) при q → 1–, если бы ему удалось показать, что логарифм ряда в (4.39) при q → 1– ведёт себя как π2/(15(1–q)). Однако он по-прежнему хотел доказать (4.39) и (4.40) и вплоть до 1915 года не знал как это сделать. Ирония состоит в в том, что воспользуйся он некоторыми из приведённых выше тождеств, а именно (4.27) и (4.31), он смог бы доказать (4.39) и (4.40).

[· · ·]

Я приношу извинения за приводимые здесь детали, но очень уж заманчиво обнаружить, что Рамануджан мог упустить в своей работе нечто столь простое. Я до сих пор не понимаю, как он мог не заметить это. Единственное, что подсказывает мне интуиция, – объяснение кроется именно в том, какой смысл он придавал используемой им переменной x (заменённой мною на q). Я представляю себе q как фиксированный параметр, а другие параметры могут изменяться. Если бы я представлял себе q переменной величиной, то я бы тоже использовал x вместо q. Математики, чей интерес в этой области связан в основном с базисными гипергеометрическими рядами, представляют себе q как параметр. Это относится к аналитикам, комбинаторикам и многим алгебраистам (для которых q часто является степенью простого числа). Те, кого в основном интересуют модулярные аспекты, рассматривают эти ряды как функции q. Многие, хотя и не все, специалисты в области теории чисел придерживаются этой точки зрения. В частности, я спрашивал аналитика Л. Эренпрайса, комбинаторика с теоретико-числовым уклоном Г. Эндрюса и знатока теории чисел Б. Гордона о том, что они думают по этому поводу. Гордон оказался единственным, кто представляет себе q переменной величиной. Рамануджан должен был чувствовать точно так же.

Всякий раз, когда кто-нибудь пишет о Рамануджане, возникает естественная тенденция считать образ мышления пишущего «правильным», и поэтому этот образ приписывается и Рамануджану. В прошлом и я был грешен в этом, вероятно, преувеличивая значение Рамануджана как аналитика и преуменьшая его как знатока теории чисел.

[· · ·]

Многолетний опыт предшествующей работы подсказывает нам, что стоит записывать все произведения единообразно. Намного проще понять, какова существенная структура (4.30), чем разобраться в том, что на самом деле происходит в (4.55). Однако Рамануджан лишь начинал разрабатывать этот предмет и ему казалось, что симметрия ряда или интеграла играет первостепенную роль. Кроме того, он не любил использовать дроби в тех случаях, когда этого можно было избежать. Всё это привело его к своим обозначениям и к способу записи как ряда (4.55), так и остальных рядов.

Пункт 16 (т.е. формула (4.36)) был первоначально записан Рамануджаном неправильно, затем исправлен и на полях с правой стороны был поставлен знак вопроса.

В части, касающейся тета-функций, Рамануджан начинает с тройного произведения (4.10) (конечно, в своих обозначениях) и затем приводит модулярное преобразование. Адига, Берндт, Бхаргава и Ватсон [1] тщательно проанализировали эту главу, и поэтому я не буду касаться результатов, изложенных Рамануджаном в оставшейся части этой главы и в последующих главах. Для деятельности Рамануджана в этом направлении намного более характерен интерес к модулярному аспекту тета-функций, чем к их связям с базисными гипергеометрическими рядами. Рамануджан всё же включает (4.39) и (4.40) в конец главы 16. Меня удивляет, что единственным новым базисным гипергеометрическим тождеством, добавленным Рамануджаном, является q-биномиальная теорема. Я думаю, что это объясняется его поглощённостью модулярными аспектами тета-функций. В этой области он получил так много замечательных результатов, что вряд ли заслуживает упрёка в том, что он именно так распорядился своим временем. Однако это означало, что он не знал доказательства (4.39) и (4.40) до тех пор, пока не прочитал статью Роджерса [92], содержавшую доказательство. Рамануджану достаточно было намёка на то, что именно (4.47) является тем тождеством, которого ему не хватало. Это тождество содержалось в статье Роджерса и после этого Рамануджану, нашедшему недостающее звено, было нетрудно сформулировать прямое доказательство. Оно приведено в [81].

Эти два тождества называются тождествами Роджерса–Рамануджана. Они были переоткрыты Шуром [95], приведшим два доказательства, и Бакстером [14]. Бакстер натолкнулся на них при изучении рекуррентного соотношения, приводящего к непрерывной дроби (4.37), и он нашёл доказательство. Хорошо аргументированная версия этого доказательства приведена в [5]. Мне трудно поверить, что Рамануджан не нашёл бы доказательства, если бы рассматривал q как фиксированный параметр, и поэтому я прихожу к выводу, что для него она была переменной величиной. Это неизбежно приводит к модулярному аспекту некоторых из этих функций.

Среди опубликованных работ первый результат, относящийся к базисным гипергеометрическим функциям, появился в [78]. В начале Рамануджан формулирует (4.52), заменив n на n–1. У меня есть подозрение, что эта замена была предложена Харди, помогавшим в подготовке к печати ранних статей Рамануджана, написанных в Англии. Харди был бы более заинтересован в том, чтобы найти ограничения, упрощающие формулировку условий сходимости, чем в том, чтобы сохранить симметричность формы. Здесь не было приведено доказательство, но Харди дал громоздкое (messy) доказательство с помощью теоремы Коши в последующей статье [54]. Харди была необходима q-биномиальная теорема, и поэтому Рамануджан включил доказательство в свою статью. В [79] Рамануджан изучал
24  ∞ 
q(q; q)   τ(n)qn.
n=1

Эта функция заинтересовала его в связи с модулярными функциями, и прошло много лет, прежде чем было понято, что она в некоторой степени связана и с базисными гипергеометрическими рядами. Для этого понадобились кратные ряды и те тождества, которые были получены Дайсоном (не опубликовано, но см. [39] и работу Макдональда [65]). Наиболее просто это достигается с помощью аффинных корневых систем. (См. статью Густафсона [53] для более общих базисных гипергеометрических тождеств в рамках этого подхода и работу Стэнтона [100], где приведены доказательства бесконечных семейств тождеств, которые были бы понятны Рамануджану.)

В следующий раз Рамануджан опубликовал результат по базисным гипергеометрическим функциям в [81], где он доказывает (4.39) и (4.40). В опубликованных им работах рассмотрены два других вопроса, связанные в некоторой степени с базисными гипергеометрическими рядами. Первый относится к свойствам конгруэнтности функции p(n), определённой равенством
∞ 
 1

 (q; q) 

 =   p(n)qn,
n=1

Величина p(n) представляет собой число разбиений числа n и поэтому имеет важное комбинаторное значение. Рамануджан заметил [80], что

p(5n + 4)0 (mod 5),
p(7n + 5)0 (mod 7),
p(11n + 6)0 (mod 11),
p(25n + 24)0 (mod 25),

и высказал более общую гипотезу, включающую в качестве модуля все степени чисел 5, 7 и 11. Поскольку на самом деле у него не было достаточного количества данных, то гипотеза о степенях 7 оказалась ошибочной. Модификация последней гипотезы приведена Чоула в [28], и в настоящее время эти гипотезы доказаны. (См. [11, 113].) Если для общего случая, по-видимому, необходима техника модулярных функций, то для некоторых низших степеней 5, 7 и 11 достаточно воспользоваться базисными гипергеометрическими тождествами [2]. Дайсон начал работать над тем, что сейчас называется тождествами Макдональда, после появления статьи Уинквиста [117]. Она была написана для приведения простого доказательства рамануджановского типа для p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11), подобного доказательству самого Рамануджана для первых двух свойств конгруэнтности, приведённых выше. Доказательства Рамануджана содержатся в [80], см. также его доказательства в [83] и очень интересную работу [87].

Ко второму направлению относится система тождеств, содержащих произведения в тождествах Роджерса–Рамануджана (4.39) и (4.40). Если положить

 G(q) = 1

 (q; q5)(q4; q5) 

,      H(q) = 1

 (q2; q5)(q3; q5) 

,

то Рамануджан утверждал [82], что

H(q)G11(q) – q2 G(q)H11(q) = 1 + 11qG6(q)H6(q)

и

H(q)G(q11) – q2 G(q)H(q11) = 1.

Более того, он отметил, что каждое из этих соотношений является простейшим внутри большого класса. Это опять, в первую очередь, является частью модулярного аспекта, но у Брессо [24] есть доказательства для более широкого класса тождеств, не использующие технику модулярных функций.

До 1976 года мы знали лишь о существовании ещё одной малоизвестной работы Рамануджана, частично связанной с базисными гипергеометрическими рядами. Это была очень поздняя работа по вырожденным (mock) тета-функциям, известная лишь по некоторым завуалированным высказываниям в письме к Харди [56, 84]. Ватсон [111, 112] исследовал эти функции и доказал часть утверждений Рамануджана для вырожденных тета-функций третьего и пятого порядков. Сельбергом [97] было начато глубокое изучение вырожденных тета-функций седьмого порядка. Однако не было чёткого представления о том, что же было найдено Рамануджаном и к какой области уже известной нам математики относятся эти функции. В 1976 году Эндрюс обнаружил около 130 страниц математических рукописей Рамануджана, причём все они посвящены результатам по вырожденным тета-функциям. На этих страницах не появляются слова «вырожденные тета-функции», и поэтому почти любой читающий их математик вряд ли осознает, что это очень поздняя работа Рамануджана – на самом деле это та работа (или часть её), которая была выполнена в последний год его жизни. До сих пор невозможно определить чёткое место этого направления среди других разделов математики, но уже появились определённые соображения на этот счёт, и, скорее всего, в конце концов это окажется самой важной работой Рамануджана. (См. Эндрюса, Дайсона, Хикерсона [6], Коэна [32], Эндрюса [3], Хикерсона [60], Дайсона [40], Гарвана [44] и Эндрюса, Гарвана [7].) Эта тетрадь полна жемчужинами математики. В последние годы Рамануджан осознал, что базисные гипергеометрические функции являются функциями от обоих параметров ai, bi, переменной разложения в степенной ряд и базы q. В результате ему удалось открыть новые области, которые едва ли будут полностью исследованы в ближайшие 50 лет. Это удивительное наследство оставлено нам человеком, казавшимся крайне старомодным в годы своей жизни. Мне остаётся только посоветовать познакомиться с этим материалом, изложенным в [87]. Есть много и других жемчужин в этой книге.

Если вы ещё не готовы к восприятию позднего Рамануджана, то можно последовать совету Дайсона. Он пишет [40]: «Всякий раз, когда я раздражён или подавлен, я достаю с полки сборник статей и отправляюсь в неторопливую прогулку по саду Рамануджана. Я рекомендую эту терапию всем, кто страдает от головных болей или расстроенных нервов. И статьи Рамануджана не только прекрасное лечение от головных болей. Они полны также прекрасными идеями, которые могут помочь вам в ваших увлекательных занятиях математикой». Берндт проанализировал Вторую опубликованную тетрадь [86], доказав все (или почти все) тождества в каждой главе и охватив почти все пронумерованные главы. Появились две книги [17] и [18], и, по-видимому, будут опубликованы ещё две. После того как получены доказательства, можно использовать эти результаты в других областях математики и, конечно, пытаться обобщить их на другие интересные случаи. Если всё это оказывается пока ещё затруднительным, то имеются два новых введения к некоторым работам Рамануджана. В [108] излагается подход к эллиптическим функциям, разработанный Рамануджаном. Он заслуживает дальнейшего изучения. И, наконец, есть введение к некоторым работам Рамануджана, которое рекомендуется способным студентам [105]. Поделитесь этой или другими жемчужинами Рамануджана с самыми лучшими вашими учениками. Навряд ли кто-нибудь из них будет столь же сообразителен, как Рамануджан, но некоторые из самых лучших могли бы, подобно Дайсону и Сельбергу, рано приобщиться к математике с помощью сборника статей Рамануджана [84]. Наиболее талантливые, по-видимому, рано начинают отдавать должное Рамануджану. Остальным же из нас необходимо сперва ознакомиться с некоторыми из его работ для того, чтобы действительно оценить их достоинство.


Благодарности

Прежде всего я хотел бы поблагодарить современное сообщество индийских математиков за гостеприимство, проявленное ими по отношению к зарубежным учёным, присоединившимся к ним для празднования столетия великого человека и великого математика. Мой визит позволил мне чуточку глубже понять ту среду, в которой происходило становление Рамануджана, и поэтому мне стало легче воспринимать имеющийся материал о его жизни. Кроме того, я хочу поблагодарить П. К. Сринивасана за собрание писем, составленное им. Часть из этого материала никогда бы не стала доступной для нас, если бы не его настойчивые усилия. Работники треста Мадрасского порта внесли бесценный вклад, оказывая помощь Рамануджану с 1912 по 1914 годы и сумев затем сберечь связанные с ним материалы. Оригиналы в настоящее время хранятся в Индийских национальных архивах (Нью-Дели). Я хотел бы поблагодарить аппарат премьер-министра Раджива Ганди за то, что математическому сообществу был предоставлен доступ к этим материалам.


Примечание переводчиков к статье Р. Аски

Статья принадлежит перу профессора математики Висконсинского университета (Мэдисон, США), широко известного своими работами в области классических специальных функций (сам о себе он говорит, что давно «заболел q-болезнью» [125]). Она была написана к столетию со дня рождения гениального индийского математика Сринивасы Рамануджана (22.12.188726.04.1920) и приоткрывает некоторые яркие страницы его творчества. Среди других работ, посвящённых Рамануджану и вышедших на русском языке, хотелось бы назвать [126129]. Библиография работ на английском языке приведена автором; можно добавить к ней юбилейный сборник [130], выпущенный Индийской академией наук; работы [119165] относятся к примечаниям переводчиков.

Цель автора – рассказать о той грани творчества Рамануджана, которая тесно связана с теорией гипергеометрических функций и их обобщений – базисных гипергеометрических рядов. За последнее время эта классическая область, ведущая свое начало от работ Эйлера (исторический обзор дан во втором и четвертом §§ данной статьи), получила дальнейшее развитие сразу в нескольких направлениях. Прежде всего необходимо отметить цикл работ [131141], содержащий обобщение на многомерный случай. В духе идей классического направления существенный вклад был внесен автором настоящей публикации: совместно с Вильсоном [142144] им были открыты новые семейства ортогональных полиномов от одной переменной (гипергеометрического типа), которые являются наиболее широкими обобщениями классических ортогональных полиномов (Якоби, Лагерра и Эрмита). Удивительно, что эти 4F3- и 4φ3-полиномы оказались пропущенными на всех предыдущих этапах исследований. Теперь в этом направлении выполнено уже довольно много работ (см., например, статьи [145151] и книгу [120]; соответствующие аналоги гипергеометрических функций изучаются в [152157]), причём развиваемые сейчас квантовые алгебры [158161] позволяют выявить своеобразный теоретико-групповой смысл возникающих базисных гипергеометрических рядов. Дальнейшее продвижение в этой области всё чётче проясняет подлинное значение и глубину работ Рамануджана.

Возвращаясь к статье Аски, отметим, что уже после её появления автору удалось заметить (см. [162, 163]) аналогию между полученными новыми результатами и некоторыми замечательными рядами и интегралами, открытыми Рамануджаном 5. Всё это говорит о том, что читателю предоставляется возможность из «первых уст» услышать квалифицированный рассказ о творчестве Рамануджана, содержащий в ряде мест интересную попытку понять логику его рассуждений.

Хотя часть результатов из уникальной коллекции Рамануджана стала доступной в нашей стране, это, по-видимому, не снижает актуальности полного переиздания его оригинальных трудов [8487]. При переводе были исправлены замеченные опечатки. Мы благодарны автору за разъяснение ряда мест оригинального текста.

Н. М. Атакишиев, С. К. Суслов


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Литературные ссылки, начиная с номера [119], относятся к примечаниям переводчиков

[1]

C. Adigа, B.C. Вerndt, S. Bhargava and G.N. Watsоn, Chapter 16 of Ramanujan's second notebook; Theta functions and q-series, Memoirs Amer. Math. Soc. 315 (1985), 85 pp. назад к тексту

[2]

G.E. Andrews, Applications of basic hypergeometric functions, SIAM Review 16 (1974) 441–484. назад к тексту

[3]

G.E. Andrews, The fifth and seventh order mock theta functions, Trans. Amer. Math. Soc. 293 (1986) 113–134. назад к тексту

[4]

G.E. Andrews  et al, Ramanujan Revisited. Academic Press, Boston, 1988. назад к тексту

[5]

G.E. Andrews and R.J. Baxter, A motivated proof of the Rogers–Ramanujan identities, Amer. Math. Monthly, 96 (1989) 401–409. назад к тексту

[6]

G.E. Andrews, F.J. Dyson and D.R. Hickerson, Partitions and indefinite quadratic forms, Invent. Math. 91 (1988) 391–407. назад к тексту

[7]

G.E. Andrews and F.G. Garvan, Dyson's crank of a partition, Bull. Amer. Math. Soc., 18 (new series) (1988) 167–171. назад к тексту

[8]

G.E. Andrews and F.G. Garvan, Ramanujan's «lost» notebook: VI. The mock theta conjectures, Adv. in Math. 73 (1989) 242–255. назад к тексту

[9]

K. Aomoto, Special values of the hypergeometric function 3F2 and connection formulae among asymptotic expansions, J. Indian Math. Soc. 51 (1987) 161–221. назад к тексту

[10]

P. Appel and E. Lacour, Principes de la theorie des fonctions elliptiques et applications. Gautheir-Villars, Paris, 1897. назад к тексту

[11]

A.O.L. Atkin, Proof of a conjecture of Ramanujan, Glasgow Math. J., 8 (1967) 14–32. назад к тексту

[12]

W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, Cambridge Math. Tract No. 32, Cambridge Univ. Press, 1935; переиздано: Hafner, New York, 1964. назад к тексту

[13]

E.W. Barnes, A new development of the theory of hypergeometric functions, Proc. London Math. Soc. (2) 6 (1908) 141–177. назад к тексту

[14]

R.J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press, London, 1982; имеется перевод: Р. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1985. назад к тексту

[15]

B. Berndt, Chapter 10 of Ramanujan's second notebook, J. Indian Math. Soc. 46 (1982) 31–76. назад к тексту

[16]

B. Berndt, Chapter 11 of Ramanujan's second notebook, Bull. London Math. Soc, 15 (1983) 273–320. назад к тексту

[17]

B. Berndt, Ramanujan's Notebooks (vol.1). Springer, New York, 1985. назад к тексту

[18]

B. Berndt, Ramanujan's Notebooks (vol.2). Springer, New York, 1989. назад к тексту

[19]

B. Berndt, Ramanujan's Notebooks (vol.3). Springer, New York, в печати. назад к тексту

[20]

B. Berndt, Ramanujan's modular equations, см. [4], 313–333. назад к тексту

[21]

B. Berndt and R.J. Evans, Chapter 13 of Ramanujan's second notebook: Integrals and asymptotic expansions, Expo. Math. 2 (1984), 289–347. назад к тексту

[22]

J.M. Borwein and P.B. Borwein. Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley, New York, Toronto, 1986. назад к тексту

[23]

J.M. Borwein and P.B. Borwein, More Ramanujan-type series for 1/π. см. [4], 359–374. назад к тексту

[24]

D.M. Bressoud, Some identities involving Rogers–Ramanujan-type functions, J. London Math. Soc. (2) 16 (1977) 9–18. назад к тексту

[25]

J.L. Burchnall and T.W. Chaundy, Expansions of Appell's double hypergeometric function (II), Quart. J. Math. (Oxford), 12 (1941) 112–128. назад к тексту

[26]

G.S. Carr, Formulas and Theorems in Pure Mathematics. F.Hodgson, London, 1886; переиздано: Chelsea, New York. назад к тексту

[27]

A. Cayley, An Elementary Treatise on Elliptic Functions. George Bell and Sons, London, second edition, 1895. назад к тексту

[28]

S. Chowla, Congruence properties of partitions, J. London Math. Soc., 9 (1934), 247. назад к тексту

[29]

G. Chrystal, Algebra (part 2). Adam and Charles Black, second edition, 1900; переиздано: Dover Publ., New York. назад к тексту

[30]

D.V. Chudnovsky and G.V. Chudnovsky, Approximations and complex multiplication according to Ramanujan, см. [4], 375–472. назад к тексту

[31]

T. Clausen, Über die Fälle, wenn die Reihe von der Form y = 2F1(α,β; γ; x) ein Quadrat von der Form z = 3F2'''; γ''; x) hat, J. reine angew. Math. 3 (1828) 89–91. назад к тексту

[32]

H. Cohen, q-identities for Maass waveforms, Invent. Math. 91 (1988) 409–422. назад к тексту

[33]

D. A. Cox, The arithmetic-geometric mean of Gauss, l'Enseignement mathematique, 30 (1984) 275–330. назад к тексту

[34]

L. de Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Math. 154 (1985) 137-152. назад к тексту

[35]

A. C. Dixon, On the sum of the cubes of the coeffecients in a certain expansion by the binomial theorem, Mess. Math. 20 (1891) 79–80. назад к тексту

[36]

A. C. Dixon, Summation of a certain series, Proc. London Math. Soc. (1) 35 (1903) 285–289. назад к тексту

[37]

J. Dougall, On Vandermonde's theorem and some more general expansions, Proc. Edinburgh Math. Soc. 25 (1907) 114–132. назад к тексту

[38]

F. J. Dyson, Statistical theory of the energy levels of complex systems, I, J. Math. Phys. 3 (1962) 140–156. назад к тексту

[39]

F. J. Dyson, Missed opportunities, Bull. Math. Soc. 78 (1972) 635–652; имеется перевод: Ф. Дж. Дайсон, Упущенные возможности, УМН, 1980, т.35, вып.1, с.171–191. назад к тексту

[40]

F. J. Dyson, A walk through Ramanujan's garden, см. [4], 7–28. назад к тексту

[41]

A. Enneper, Elliptische Functionen, second edition, Nebert, Halle, 1890. назад к тексту

[42]

R. J. Evans, Ramanujan's second notebook: Asymptotic expansion for hypergeometric series and related functions, см. [4], 537–560. назад к тексту

[43]

R. Evans and D. Stanton, Asymptotic formulas for zero-balanced hypergeometric series, SIAM J. Math. Anal. 15 (1984) 1010–1020. назад к тексту

[44]

F. G. Garvan, Combinatorial interpretations of Ramanujan's partition congruences, см. [4], 29–45. назад к тексту

[45]

G. Gasper, Positive sums of the classical orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal. 8 (1977) 423–447. назад к тексту

[46]

G. Gasper, q-extensions of Clausen's formula and of inequalities used by de Branges in his proof of the Bieberbach, Robertson and Milin conjecture, в печати. назад к тексту

[46a]

G. Gasper, Bibasic summations, transformation and expansion formulas, q-analogues of Clausen's formula and nonnegative basic hypergeometric series, Workshop on q-series and Partitions, ed. D. Stanton, Springer, New York, в печати. назад к тексту

[47]

G. Gasper and M. Rahman, Basic Hypergeometric Series, Cambridge Univ. Press, 1990; имеется перевод: Дж. Гаспер, М. Рахман, Базисные гипергеометрические ряды. М., Мир, 1993. назад к тексту

[48]

G. Gasper and M. Rahman, A nonterminating q-Clausen formula and some related product formulas, в печати. назад к тексту

[49]

C. F. Gauss, Disquisitiones generales circa seriem infinitam 2F1(α,β; γ; x) pars prior, Comm. soc. regiae sci. Göttingensis rec. 2 (1812); переиздано: Werke, 3 (1866) 123–162. назад к тексту

[50]

C. F. Gauss, Determinatio seriei nostrae per aequationen differentialem secundi ordinis, Nachlass, Werke, 3 (1866) 207–229. назад к тексту

[51]

C. F. Gauss, Hundert Theoreme über die neuen Transscendenten, Werke, vol.3, Göttingen, 1866, 461–469. назад к тексту

[52]

E. Goursat, Memoire sur les fonctions hypergeometriques d'order superieur, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. ser. 2; 12 (1883) 261–285 and 395–430. назад к тексту

[53]

R. Gustafson, The Macdonald identities for affine root systems of classical type and hypergeometric series very-well-poised on semisimple Lie algebras, in: «Ramanujan International Symposium on Analysis», ed. N. K. Thakare, Pune, 1989. назад к тексту

[54]

G. H. Hardy, Proof of a formula of Mr. Ramanujan, Messenger of Math. 44 (1915) 18–21. назад к тексту

[55]

G. H. Hardy, A chapter from Ramanujan's notebook, Proc. Camb. Phil. Soc., 21 (1923) 492–503. назад к тексту

[56]

G. H. Hardy, Ramanujan, Cambridge Univ. Press, 1940; переиздано: Chelsea, New York, 1959. назад к тексту

[57]

E. Heine, Über die Reihe 2φ1(qα, qβ; qγ; q, –x), J. reine angew. Math. 32 (1846) 210–212. назад к тексту

[58]

E. Heine, Untersuchungen über die Reihe 2φ1(qα, qβ; qγ; q, x), J. reine angew. Math. 34 (1847) 285–328. назад к тексту

[59]

E. Heine, Theorie der Kugelfunctionen und der verwandten Funktionen, vol.1. Reimer, Berlin, 1878. назад к тексту

[60]

D. Hickerson, A proof of the mock theta conjectures, Invent. Math., в печати. назад к тексту

[61]

F. H. Jackson, Transformations of q-series, Messenger of Math. 39 (1910) 145-153. назад к тексту

[62]

C. G. J. Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Regiomontis, fratrum Borntraeger, 1829; переиздано в Gesammette Werke, vol.1, Reimer, Berlin, 1881; переиздано: Chelsea, New York, 1969, 49–239. назад к тексту

[63]

F. Klein, Lectures in the Icosahedron (translated by G. G. Morrice). London, 1888. назад к тексту

[64]

E. E. Kummer, Über die hypergeometrische Reihe 2F1(α, β; γ; x), J. reine angew. Math. 15 (1836) 39–83, 127–172; перепечатано в Collected Papers, vol.2, 75–166, Springer, Berlin, 1975. назад к тексту

[65]

I. G. Macdonald, Affine root systems and Dedekind's η-function, Invent. Math. 15 (1972) 91–143. назад к тексту

[66]

I. G. Macdonald, Some conjectures for root systems, SIAM J. Math. Anal. 13 (1982) 988–1007. назад к тексту

[67]

P. A. MacMahon, Combinatory Analysis, vol.2. Cambridge Univ. Press, 1916; переиздано: Chelsea, New York, 1960. назад к тексту

[68]

D. Masson, Difference equations, continued fractions, Jacobi matrices and orthogonal polynomials, в печати. назад к тексту

[69]

D. Masson, Some continued fractions of Ramanujan and Meixner–Pollaczek polynomials, Canadian Math. Bull., в печати. назад к тексту

[69a]

D. Masson, Wilson polynomials and some continued fractions of Ramanujan, Rocky Mountain J. Math., в печати. назад к тексту

[70]

J. Meixner, Orthogonale Polynomsysteme mit einem besonderen Gestalt der erzeugenden Funktion, J. London Math. Soc. 9 (1934) 6–13. назад к тексту

[71]

S. Milne, Multiple q-series and U(n) generalizations of Ramanujan's 1ψ1 sum, см. [4], 473-524. назад к тексту

[72]

R. Murphy, On the inverse method of definite integrals, with physical applications, Trans. Camb. Phil. Soc. 4 (1833) 353–408; 5 (1835) 113–148, 315–393. назад к тексту

[73]

J. F. Pfaff, Disquisitiones Analyticae. Helmstadii, 1797. назад к тексту

[74]

J. F. Pfaff, Observationes analyticae ad L. Euler Institutiones calculi integralis, Nova Acta Acad. Sci. Petropolitanae 11 (1797) 38–57. назад к тексту

[75]

S. Pincherle, Delle funzioni ipergeometriche e di varie questioni ad esse attinenti, Giorn. Mat. Battaglini, 32 (1894) 209–291. назад к тексту

[76]

F. Pollaczek, Sur une généralisation des polynômes de Legendre, C. R. Acad. Sci., Paris, 228 (1949) 1363–1365. назад к тексту

[77]

S. Ramanujan, Modular equations and approximations to π, Quart. J. Math. 45 (1914) 350–372; перепечатано в [84], 23–39. назад к тексту

[78]

S. Ramanujan, Some definite integrals, Messenger of Math. 44 (1915) 10–18; перепечатано в [84], 53–58. назад к тексту

[79]

S. Ramanujan, On certain arithmetical functions, Trans. Camb. Phil. Soc. 22 (1916) 159–184; перепечатано в [84], 136–162. назад к тексту

[80]

S. Ramanujan, Some properties of p(n), the number of partitions of n, Proc, Camb. Phil. Soc. 19 (1919) 207–210; перепечатано в [84], 210–213. назад к тексту

[81]

S. Ramanujan, Proof of certain identities in combinatory analysis, Proc. Cambr. Phil. Soc. 19 (1919) 214–216; перепечатано в [84], 214–215. назад к тексту

[82]

S. Ramanujan, Algebraic relations between' certain infinite products, Proc. London Math. Soc. (2) 18 (1920), Records for 13 March 1919; перепечатано в [84], 231. назад к тексту

[83]

S. Ramanujan, Congruence properties of partitions, Math. Zeit. 9 (1921) 147–153; перепечатано в [84], 232–238. назад к тексту

[84]

S. Ramanujan, Collected Papers, Cambridge Univ. Press, 1927; перепечатано Chelsea, New York, 1962. назад к тексту

[85]

S. Ramanujan, Notebooks of Srinivasa Ramanujan (vol.1). Tata Inst. Fund Research, Bombay, 1957; переиздано: Narosa, New Delhi, 1984. назад к тексту

[86]

S. Ramanujan, Notebooks of Srinivasa Ramanujan (vol.2). Tata Inst. Fund Research, Bombay, 1957; переиздано: Narosa, New Delhi, 1984. назад к тексту

[87]

S. Ramanujan, The Lost Notebook and Other Unpublished Papers, Narosa, New Delhi, 1988. назад к тексту

[88]

S. R. Ranganathan, Ramanujan: The Man and the Mathematician, Asia Publ. House, Bombay, 1967. назад к тексту

[89]

B. Riemann, Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F(α, β γ; x) darstellbaren Functionen, Abhand. Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol.17, 1857; перепечатано в Gesammette Werke, second edition 1892, 67–83. назад к тексту

[90]

L. J. Rogers, On a three-fold symmetry in the elements of Heine's series, Proc. London Math. Soc. 24 (1893) 171–179. назад к тексту

[91]

L. J. Rogers, On the expansion of some infinite products, Proc. London Math. Soc. 24 (1893) 337–352. назад к тексту

[92]

L. J. Rogers, Second memoir on the expansion of certain infinite products, Proc. London Math. Soc. 25 (1894) 318–343. назад к тексту

[93]

L. J. Rogers, Third memoir on the expansion of certain infinite products, Proc. London Math. Soc. 26 (1895) 15–32. назад к тексту

[94]

K. H. Schellbach, Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Theta-Functionen. Reimer, Berlin, 1864. назад к тексту

[95]

I. J. Schur, Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche, S.-B. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. K1. (1917), 302–321; перепечатано в Gesammelte Abhand. vol.3, 117–136, Springer, Berlin, 1973. назад к тексту

[96]

H. A. Schwarz, Über die jenigen Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt, J. reine und angew. Math. 75 (1872) 2S2–335; перепечатано в Gesammelte Math. Abhand. vol.2, Berlin, 1890. назад к тексту

[97]

A. Selberg, Über die Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung, Archiv. for Math. og Natur. 41 (1938) 3–15. назад к тексту

[98]

A. Selberg, Bemerkninger om et multipelt Integral, Norsk Mat. Tidsskr., 26 (1944) 71–78. назад к тексту

[99]

P. K. Srinivasan, Ramanujan: Letter and Reminiscences (vol.1). The Muthialpet High School, Number Friends Society, Old Boys' Committee, Madras, 1868. назад к тексту

[100]

D. Stanton, An elementary approach to the Macdonald identities, Workshop on q-series and Partitions, ed. D. Stanton. Springer, New York, в печати. назад к тексту

[101]

G. Szegö, On certain special sets of orthogonal polynomials, Proc. Amer. Math. Soc. 1 (1950) 731–737; перепечатано в [102], vol.3, 225–231. назад к тексту

[102]

G. Szegö, Collected Papers (vol.1,2,3). Birkhäuser, Boston, 1982. назад к тексту

[103]

П.Л. Чебышёв, Полное собрание сочинений (в 5и т.). M.: Изд-во АН СССР, 1947–1951; т.2: Об одном новом ряде, с.236–238. назад к тексту

[104]

П.Л. Чебышёв, Полное собрание сочинений (в 5и т.). M.: Изд-во АН СССР, 1947–1951; т.3: Об интерполировании величин равноотстоящих, с.66–87. назад к тексту

[105]

V.R. Thiruvenkatachar and K. Venkatachaliengar, Ramanujan at Elementary Levels, Glimpses, неопубл. назад к тексту

[106]

J. Thomae, Beiträge zur Theorie der durch die Heinesche Reihe; 1 + ((1–qα)(1–qβ)/(1–q)(1–qγ))x + ... darstellbaren Functionen, J. reine angew. Math. 70 (1869) 258–281. назад к тексту

[107]

J. Thomae, Über die Functionen, welche durch Reihen von der Form dargestellt werden 3F2(p, p', p''; q', q''; 1), J. reine angew. Math. 87 (1879) 26-73. назад к тексту

[108]

K. Venkatachaliengar, Development of Elliptic Functions according to Ramanujan, Madurai Kamaraj Univ., Technical Report 2 (1988). назад к тексту

[109]

G.N. Watson, A new proof of the Rogers–Ramanujan identities, J. London Math. Soc. 4 (1929) 4–9. назад к тексту

[110]

G.N. Watson, Ramanujan's continued fraction, Proc. Camb. Phil. Soc. 31 (1935) 7–17. назад к тексту

[111]

G.N. Watson, The final problem: an account of the mock theta functions, J. London Math. Soc. 11 (1936), 55–80. назад к тексту

[112]

G.N. Watson, The mock theta functions (2), Proc. London Math. Soc. (2) 42 (1937) 274–304. назад к тексту

[113]

G.N. Watson, Ramanujan Vermutung über Zerfällungsanzahlen, J. reine angew. Math. 179 (1938) 97–128. назад к тексту

[114]

J.W. Whipple, On well-poised series, generalized hypergeometric series having parameters in pairs, each pair with the same sum, Proc. London Math, Soc. (2) 24 (1926) 247–263. назад к тексту

[115]

E.T. Whittaker and G.N. Watson, A Course of Modern Analysis, fourth edition, Cambridge Univ. Press, 1952; имеется перевод: Э.Т. Уиттекер и Дж.Н. Ватсон, Курс современного анализа (в 2х т.). М.: Физматгиз, 1963. назад к тексту

[116]

J. Wilson, Some hypergeometric orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal. 11 (1980) 690–701. назад к тексту

[117]

L. Winquist, An elementary proof of p(11n+6)≡0(mod 11), J. Combinatorial Theory, 6 (1969) 56–59. назад к тексту

[118]

J. Zucker, Beautiful formulae and rounding off Ramanujan: an essay plus a tidbit, Bull. Inst. Math. and Appl. 19 (1983) 106–109. назад к тексту

[119]

Г. Бейтман, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции (в 3х т.). М.: Наука, 1973. назад к тексту

[120]

А.Ф. Никифоров, С.К.Суслов, В.Б.Уваров, Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. М.: Наука, 1985. назад к тексту

[121]

S. Karlin, J.L. McGregor, The Hahn polynomials, formulas and application, Scr. Math. 26 (1961) 33–46. назад к тексту

[122]

С.К. Суслов, К теории разностных аналогов гипергеометрических функций на равномерных сетках, Препринт ИАЭ № 4445/1, 1987. назад к тексту

[123]

N.М. Atakishiyev, S.К. Suslov, The Hahn and Meixner polynomials of an imaginary argument and some of their applications, J. Phys. A: Math. Gen. 18 (1985) 1583-1596. назад к тексту

[124]

R. Askey, Continuous Hahn polynomials, J. Phys. A: Math. Gen. 19 (1985) L1017–L1019. назад к тексту

[125]

R. Askey, Ramanujan's extensions of the gamma and beta functions, Amer. Math. Month. 87 (1980) 346–359. назад к тексту

[126]

Дж. Литлвуд, Математическая смесь. М.: Наука, 1978, с.88–95. назад к тексту

[127]

С.Г. Гиндикин, Загадка Рамануджана, Квант, 1987, № 10, с.4–20, 41. назад к тексту

[128]

В.С. Шевелев, Три формулы Рамануджана, Квант, 1988, № 6, с.52–55. назад к тексту

[129]

Д.М. Борвейн, П.Б. Борвейн, Рамануджан и число π, В мире науки, 1988, № 4, с.58–66. назад к тексту

[130]

Ramanujan Birth Centenary Volume, Proc. Indian Acad. Sci., Mathematical Science, 97 (December, 1987). назад к тексту

[131]

И.М. Гельфанд, Общая теория гипергеометрических функций, ДАН СССР, 1986, т.288, № 1, с.14–18. назад к тексту

[132]

И.М. Гельфанд, С.И. Гельфанд, Обобщенные гипергеометрические уравнения, ДАН СССР, 1986, т.288, № 2, с.279–283. назад к тексту

[133]

И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Теорема двойственности для общих гипергеометрических функций, ДАН СССР, 1986, т.289, № 1, с.19–23. назад к тексту

[134]

И.М. Гельфанд, А.В. 3елевинский, Алгебраические и комбинаторные аспекты общей теории гипергеометрических функций, Функцион. анализ и его прил., 1986, т.20, вып.3, с.17–34. назад к тексту

[135]

В.А. Васильев, И.М. Гельфанд, А.В. 3елевинский, Поведение общих гипергеометрических функций в комплексной области, ДАН СССР, 1986, т.290, № 2, с.277–281. назад к тексту

[136]

В.А. Васильев, И.М. Гельфанд, А.В. 3елевинский, Общие гипергеометрические функции на комплексных грассманианах, Функцион. анализ и его прил., 1987, т.21, вып.1, с.23–38. назад к тексту

[137]

И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Гипергеометрические функции, связанные с грассманианом G3,6 , ДАН СССР, 1987, т.293, № 2, с.288–293. назад к тексту

[138]

И.М. Гельфанд, М.И. Граев, А.В. 3елевинский, Голономные системы уравнений и ряды гипергеометрического типа, ДАН СССР, 1987, т.295, № 1, с.14–19. назад к тексту

[139]

И.М. Гельфанд, В.С. Ретах, В.В. Серганова, Обобщенные функции Эйри, клетки Шуберта и жордановы группы, ДАН СССР, 1987, т.298, № 1, с.17–21. назад к тексту

[140]

И.М. Гельфанд, А.В. 3елевинский, М.М. Капранов, Уравнения гипергеометрического типа и многогранники Ньютона, ДАН СССР, 1988, т.300, № 3, с.529-534. назад к тексту

[141]

И.М. Гельфанд, А.В. 3елевинский, М.М. Капранов, Гипергеометрические функции и торические многообразия, Функцион. анализ и его прил., 1989, т.23, вып.2, с.12–26. назад к тексту

[142]

R. Askey, J.A. Wilson, A set of orthogonal polynomials that generalize the Racah coefficients or 6j-symbols, SIAM J. Math. Anal. 10 (1979) 1008–1016. назад к тексту

[143]

J.A. Wilson, Some hypergeometric orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal. 11 (1980) 690–701. назад к тексту

[144]

R. Askey, J.A. Wilson, Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials, Memoirs Amer. Math. Soc. 319 (1985). назад к тексту

[145]

G. Andrews, R. Askey, Classical orthogonal polynomials, Lect. notes math. (Berlin: Springer-Verlag) 1171 (1985) 36–62. назад к тексту

[146]

E.G. Kalnins, W. Miller, Symmetry techniques for q-series: Askey–Wilson polynomials, Rocky Mountain J. Math. 19 (1989) 1–8. назад к тексту

[147]

W. Miller, A note on Wilson polynomials, SIAM J. Math. Anal. 18 (1987) 1221–1226. назад к тексту

[148]

A. Magnus, Associated Askey–Wilson polynomials as Laguerre–Hahn orthogonal polynomials, Lect. notes math. (Berlin: Springer-Verlag) 1329 (1988) 261–278. назад к тексту

[149]

A.F. Nikiforov, S.K. Suslov, Classical orthogonal polynomials of a discrete variable on nonuniform lattices, Lett. Math. Phys. 11 (1986) 27–34. назад к тексту

[150]

N.M. Atakishiyev, S.K. Suslov, On the moments of classical and related polynomials, Revista Mexicana de Física, 34 (1988) 147–151. назад к тексту

[151]

N.M. Atakishiyev, S.K. Suslov, Continuous orthogonality property for some classical polynomials of a discrete variable, Revista Mexicana de Física, 34 (1988) 541–563. назад к тексту

[152]

В. Nassrallah, M. Rahman, Projection formulas, a reproducing kernel and a generating function for q-Wilson polynomials, SIAM J. Math. Anal. 16 (1985) 186–197. назад к тексту

[153]

M. Rahman, An integral representation of 10Φ9 and continuous bi-orthogonal 10Φ9 rational functions, Can. J. Math. 38 (1986) 605–618. назад к тексту

[154]

N.M. Atakishiyev, S.K. Suslov, About one class of special functions, Revista Mexicana de Física, 34 (1988) 152–167. назад к тексту

[155]

С.К. Суслов, К теории разностных аналогов специальных функций, УМН, 1989, т.44, вып.2, с.185–226. назад к тексту

[156]

Н.М. Атакишиев, С.К. Суслов, Разностные гипергеометрические функции, Препринт № 319, Институт физики АН АзССР, Баку, 1989. назад к тексту

[157]

Н.М. Атакишиев, С.К. Суслов, Построение решений разностного уравнения гипергеометрического типа на неравномерных сетках, Препринт № 323, Институт физики АН АзССР, Баку, 1989. назад к тексту

[158]

V.G. Drinfеl'd, Quantum Groups, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berkeley, California, USA, 1986), Amer. Math. Soc. (1987) 798–820. назад к тексту

[159]

S.L. Wоrоnоwiсz, Compact matrix pseudogroups, Comm. Math. Phys. 111 (1987) 613–665. назад к тексту

[160]

Л.Л. Ваксман, Я.С. Сойбельман, Алгебра функций на квантовой группе SU(2), Функцион. анализ и его прил., 1988, т.22, вып.3, с.1–14. назад к тексту

[161]

А.N. Кirillоv, N.Yu. Reshetikhin, Representations of the algebra Uq(sl(2)). q-orthogonal polynomials and invariants of links, Preprint E-9-88, LOMI, Leningrad, 1988. назад к тексту

[162]

R. Askey, Beta integrals and q-extensions, в печати. назад к тексту

[163]

R. Askey, Beta integrals and the associated orthogonal polynomials, в печати. назад к тексту

[164]

M.E.H. Ismail, J. Letessier, G. Valent, J. Wimp, The families of associated Wilson polynomials, Preprint 89–019 ICM, Tampa, 1989. назад к тексту

[165]

M.E.H. Ismail, M. Rahman, The associated Askey–Wilson polynomials, Preprint 89–015 ICM, Tampa, 1989. назад к тексту



ПРИМЕЧАНИЯ

Richard Askey. Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series, Ramanujan International Symposium on Analysis / ed. N. K. Thakare. – Pune, 1989. – Перевод с английского Н. М. Атакишиева и С. К. Суслова. назад к тексту

Уолтер – небольшой городок на северо-востоке от Мадраса. Смысл приводимой в скобках детали, по-видимому, состоит в том, что Рамануджан часто совершал поездки в Уолтер и другие места в радиусе 750 миль в поисках людей, столь необходимых ему для общения. (Прим. авт.) назад к тексту

Имеется в виду First Arts degree – начальная степень, которая присуждалась в колледжах после завершения первой половины четырехлетнего курса обучения. Во времена Рамануджана, когда незначительное число людей заканчивало колледжи, эта степень высоко ценилась. (Прим. авт.) назад к тексту

В оригинале – Xian College, где X является стандартным сокращением слова Christ (Христос). (Прим. авт.) назад к тексту

Такого рода соотношения смежности были недавно получены в [164, 165] (см. также [154, 155]). (Прим. перев.) назад к тексту

Развитие теории разностных гипергеометрических функций [154157] также приводит к простой интерпретации ряда формул, обсуждаемых Аски. назад к тексту

Hosted by uCoz