Оглавление Предисловие переводчика 4 Предисловие автора 5 Математика с минимумом «сырого материала» 7 Из экзаменационных билетов по математике 27 Недоразумения, неосознанные предпосылки, вопиющие ошибки, опечатки и т.п. 32 Зоопарк 48 Баллистика 51 Дилемма теории вероятностей 56 От последней теоремы Ферма до отмены смерной казни 60 Математическое образование 69 Рецензия на собрание сочинений Рамануджана 88 Три рецензии 96 Ньютон и притяжение шара 100 Большие числа 105 Открытие Нептуна 122 Дело Адамса–Эри 134 Лев и человек 141

Предлагаемая читателю небольшая книга одного из крупнейших современных английских математиков Джона Иденсора Литлвуда (род. в 1885 г.) принадлежит к редкому жанру собрания математических очерков-миниатюр. Некоторые из составляющих её очерков были впервые опубликованы в других изданиях, остальные написаны автором специально для этого сборника. Само название книги (в английском оригинале – «Разные заметки одного математика») указывает на непринужденный характер подбора материала и его изложения.

Тематика очерков весьма разнообразна. Она включает математические анекдоты, моменты математической автобиографии, небольшие историко-математические исследования, интересные задачи, оригинальные и неожиданные доказательства, вопросы баллистики и небесной механики и т.д.

Профессору Литлвуду принадлежит много важных и глубоких результатов в теории функций, аналитической теории чисел и других областях математики. Он известен также как остроумный собеседник с широким кругом интересов, живо реагирующий на любой математический вопрос.

Стиль Литлвуда нельзя назвать лёгким, он всегда предъявляет высокие требования к логическому мышлению читателя и умеет лаконичный сам по себе английский язык конденсировать до предела.

При переводе я стремился сохранить свежесть и оригинальность стиля автора, и если это мне не всегда удавалось, то, во всяком случае, не из-за отсутствия желания воздать должное автору или недостатка старания. Большую помощь при редактировании перевода мне оказал М.А.Иглицкий.

Смесь – это коллекция без естественного упорядочивающего отношения. Я не делаю попытки добиться видимости единства введением какого-либо искусственного порядка. Я надеюсь, что этот недостаток компенсируется разнообразием рассмотренных вопросов, во всяком случае, с точки зрения тех, кто не принадлежит к числу непримиримых, требующих во что бы то ни стало внешнего единства и одинаковой глубины.

Каждый, кого привлекает мысль о популярной математической книге, которую можно было бы бегло просмотреть, будет в состоянии справиться с этой книжкой. К такому читателю я буду иногда обращаться, называя его «любителем». Я постоянно встречаю людей, сомневающихся, в большинстве случаев без достаточных оснований, в своих возможностях. Первым показателем является отношение, к школьному курсу геометрии: вызывал он интерес или нет? Отсутствие интереса к другим математическим предметам или плохие успехи при их изучении ещё не обязательно что-либо означают; прежде чем может возникнуть интерес к этим предметам, необходима скучная предварительная работа и утомительная тренировка, а плохое преподавание может сделать эти предметы непонятными даже для прирожденного математика. Если ваше образование закончилось изучением «Элементов математического анализа» или непосредственно перед этим, то вы можете считать себя стоящим высоко в классе любителей.

Книга содержит ряд вопросов, рассмотрение которых требует математической техники, и местами доступных только для специалиста-математика; эти вопросы были включены, чтобы дать полную картину того, что сегодня видит профессионал, однако при чтении их можно пропустить без ущерба для понимания остального текста, так как изложение остается связным и без них. Разделы, которые любитель, вероятно, пропустит (но он не должен отчаиваться слишком рано), выделяются звёздочками. В тексте, не выделенном этими звёздочками, я стремился вести изложение на уровне, приемлемом для любителя (и здесь уже математик-профессионал будет иногда пропускать страницы).

При отборе материала я руководствовался двумя требованиями. Первое из них – относительно малая известность, даже в кругу математиков. Поэтому некоторые вещи затрагиваются только вскользь, хотя они, быть может, заслуживают большего внимания. Они дополняют картину (подобно упомянутым выше вопросам, требующим математической техники), но не являются существенными для любителя (существенное рассматривается полностью). Любитель не должен ни в коем случае пугаться незнакомых ему мест (и я, как правило, указываю соответствующую литературу). Такое место есть в самом начале: п.1 §2 и следующий параграф. «Известность» означает здесь «известность в кругу математиков». Правда, опыт показывает, что некоторые любители знают доказательство Евклида ¹; если это так, то они должны также знать, что оно настолько распространено, что мне не следует его подробно рассматривать ²; с другой стороны, опыт показывает, что некоторые его не знают; это не должно их огорчать.

Другим требованием являлась доступность, хотя отдельные трудные места всё же имеются; моей целью является занимательность, а не повышение уровня знаний читателей. Забота об этом является уже их личным делом, но я буду считать, что потерпел неудачу там, где они найдут что-либо малоинтересное или тривиальное. Хорошая математическая шутка лучше дюжины посредственных работ; она также является лучшей математикой.

(Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, Edited by G.H.Hardy, P.V.Seshu Aiyar and В.М.Wilson. Pp.XXXVI + 355, 1927.)

Рамануджан родился в Индии в декабре 1887 г., приехал в Кембридж и начал работать в Тринити-колледже в апреле 1914 г., был болен с мая 1917 г., вернулся в Индию в феврале 1919 г. и умер в апреле 1920 г. Он был членом Тринити-колледжа и членом Королевского общества.

Рамануджан не имел университетского образования и работал в Индии без чьей бы то ни было помощи до 27-летнего возраста. Когда ему было 16 лет, он случайно познакомился с книгой Kappa Synopsis of Mathematics, и эта книга, получившая теперь широкую известность, о чём её автор не мог и мечтать, внезапно пробудила в Рамануджане все его дремлющие силы. Чтобы иметь представление о развитии Рамануджана, необходимо критически рассмотреть содержание этой книги. В ней можно найти весьма полное изложение формальной стороны интегрального исчисления, включая, например, такие вещи, как формула Парсеваля, интеграл Фурье и другие формулы обращения, а также ряд теорем, формулировка которых имеет понятную для специалиста схему: f (α) = f (β), если αβ = π². Мы находим в ней также раздел, посвящённый преобразованиям степенных рядов в непрерывные дроби. Кроме того, Рамануджан прекрасно знал формальную сторону теории эллиптических функций (которых нет в книге Карра). Неясно, откуда он почерпнул эти знания. Но они вместе с содержанием книги Карра и теми сведениями, которые можно найти, например, в Алгебре Кристалла, по-видимому, составляли всё его вооружение в анализе и теории чисел. Во всяком случае, несомненно, что он ничего не знал ни о существующих методах суммирования расходящихся рядов, ни о теории квадратичных вычетов, ни о современном ему состоянии вопроса о распределении простых чисел (формулу Эйлера Õ(1 – p^–s)^–1 = å n^–s он, возможно, знал, но о ζ-функции он заведомо не имел никакого представления). К тому же он пребывал в полном неведении относительно теоремы Коши и теории аналитических функций. (Это трудно понять, учитывая его хорошее знакомство с эллиптическими функциями; для объяснения достаточно и, как я думаю, необходимо предположить, что его учебником являлась весьма оригинальная и своеобразная книга Гринхилла Эллиптические функции.)

Работы, опубликованные им в течение индийского периода, не содержат его лучших идей, которые он, по-видимому, не был в состоянии удовлетворительно изложить. В начале 1914 г. в письме к Харди (тогда уже работавшему в Кембриджском Тринити-колледже) он доказал, однако, свою несомненную математическую силу и был приглашен в Тринити-колледж, где он смог активно работать в течение трёх лет до своей болезни. (Некоторые весьма характерные для него работы были написаны в период его двухлетней болезни.)

Я не имею намерения подробно обсуждать здесь те работы Рамануджана, которые он написал самостоятельно (очень интересная оценка этих работ дана профессором Харди в вводной статье, стр.XXXIV). Если мы пока опустим его знаменитую работу, которую он написал совместно с Харди, то его основной вклад в математику, каким бы существенным и оригинальным он ни был с точки зрения общего интереса, должен, как мне кажется, уступить первое место романтике его жизни и математической карьере, его необычайной психологии и, прежде всего, исключительно интересной проблеме, сколь крупным математиком он мог бы стать при более счастливых обстоятельствах. Говоря это, я, конечно, предъявляю к математическим работам самые высокие требования. Но ведь никакие другие применительно к нему неуместны.

Огромный талант Рамануджана был чисто формальным. Он жил «в мире формул». Чтобы яснее выразить, что я имею в виду, приведу два примера (выбор второго, быть может, является случайным; первый же обладает неописуемой красотой):

где р(n) является числом представлений n в виде суммы положительных слагаемых;

Но времена формул, по-видимому, прошли. Если предъявлять самые высокие требования, то я думаю, что никто уже не будет в состоянии открыть радикально новый тип формул, хотя Рамануджан в своих работах, связанных с р(n), был очень близок к этому. Нет смысла умножать число формул Рамануджана из круга идей теоремы Коши, теории эллиптических функций и других областей математики, так как в каждой из этих областей в той или иной мере господствует какая-либо общая теория. Лет 100 назад его силы имели бы значительно больший простор. Открытия изменяют общую математическую атмосферу и имеют очень далеко идущие последствия, так что мы не склонны придавать большого значения переоткрытиям, сколь бы независимо они ни были сделаны. Как оценить самостоятельное открытие уже известных математических фактов? Сколь крупным математиком был бы Рамануджан, если бы он жил 100 или 150 лет назад? Что мог бы он свершить, если бы он своевременно познакомился с работами Эйлера? Насколько важна недостаточность математического образования? Состояла ли главная сила Рамануджана в выводе формул, или он развивался в этом направлении только благодаря книге Карра (нельзя забывать о том, что он впоследствии научился хорошо делать и другие вещи, и притом в возрасте, достаточно зрелом для индийца)? Такие вопросы возникают в связи с именем Рамануджана; в распоряжении каждого имеется теперь достаточный материал, чтобы судить о них.

Наиболее ценными свидетельствами, которыми мы располагаем, являются письма и списки результатов, сообщенных им без доказательств, имеющиеся в собрании его сочинений. Эти свидетельства заставляют предполагать, что его записные книжки дали бы ещё более определенную картину сущности его математического гения, и следует очень пожелать, чтобы проект их полного опубликования был в конце концов претворён в жизнь ⁴.

Совершенно очевидно, что книга Карра дала Рамануджану и общее направление, и зачатки многих дальнейших глубоких его работ. Но даже учитывая это, нельзя не удивляться глубине, разнообразию и силе его таланта. Вряд ли существует область формул, за исключением формул классической теории чисел, которую бы он не обогатил, и в которой он не открыл бы новые, совершенно не подозревавшиеся ранее возможности. Красота его результатов, единственных в своем роде, совершенно поразительна. Не являются ли они даже более необычайными, чем специально подобранная коллекция уникумов? Мораль, по-видимому, такова, что наша фантазия недостаточна; во всяком случае, читатель Рамануджана постоянно переживает радостное изумление, и если он пожелает доказать какой-либо наугад взятый недоказанный результат, то – если он вообще будет в состоянии его доказать – он обнаружит по меньшей мере некоторую «изюминку», какой-то новый и неожиданный поворот. Профессор Ватсон и г-н Прийс взялись за героический труд доказать все недоказанные утверждения Рамануджана; некоторые из их решений были недавно опубликованы в журнале Лондонского математического общества, и эти работы с несомненностью подтверждают то мнение, что полный анализ записных книжек Рамануджана оказался бы чрезвычайно плодотворным.

Не подлежит сомнению, однако, что наиболее удивительные и оригинальные результаты и наиболее глубокое проникновение в существо вопроса обнаруживаются в работах Рамануджана по распределению простых чисел (см. стр.XXII-XXV, XXVII, 351, 352). Задачи, рассмотренные им в этих работах, по своему существу совсем не формальны; они связаны с приближёнными формулами для таких функций, как число простых чисел, меньших данного числа, или число целых чисел, представимых в виде суммы двух квадратов и меньших данного числа; определение порядка остаточных членов составляет в этих задачах главную часть теории. Все эти вопросы имеют очень тонкую теоретико-функциональную основу, и Рамануджан неизбежно должен был здесь потерпеть неудачу, так как его методы не могли не увести его в неверном направлении; он выводит приближённые формулы, но его утверждения относительно порядка остаточных членов очень далеки от истины. Эти проблемы напрягали до предела все ресурсы анализа и для своего решения потребовали более ста лет; они вообще не были решены до 1890 г. Для Рамануджана полный успех был здесь заведомо недостижим. Он понял только, что за решение этих проблем можно приняться с формальной стороны, и продвинулся настолько, что смог угадать основные результаты. Соответствующие формулы являются очень глубокими, и его достижение в целом должно оцениваться как совершенно исключительное.

Если книга Карра дала ему определенное направление в работе, то уж во всяком случае она не имела ничего общего с его методами, наиболее важные из которых абсолютно оригинальны. Его интуиция опиралась на аналогии, часто весьма отдалённые, и, в необычайной мере, на эмпирическую индукцию, основанную на числовых примерах. Не имея в своем распоряжении теоремы Коши, он, естественно, много работал с преобразованиями двойных интегралов и обращениями порядка интегрирования в них. Но его наиболее важным орудием, по-видимому, являлась высоко развитая техника преобразований расходящихся рядов и интегралов. (Хотя такие методы хорошо известны, не подлежит сомнению, что он открыл их совершенно самостоятельно.) Он не располагал строгими доказательствами законности своих операций. Он не интересовался строгостью, которая, кстати, в анализе за пределами студенческих работ не имеет первостепенного значения и может быть при наличии настоящей идеи всегда внесена любым компетентным профессионалом. Возможно, что Рамануджан вообще не имел чёткого представления о том, что сейчас в математике понимается под доказательством. Если существенное, хотя бы и небольшое, рассуждение в сочетании с эмпирическими данными и интуитивными догадками давало ему субъективную уверенность в правильности результата, то больше он ничем не интересовался. Одним из второстепенных признаков его гения является тот факт, что он никогда не ощущал необходимости в чём-либо аналогичном теореме Коши. С её помощью он дошел бы до некоторых своих результатов гораздо быстрее и проще. Но его собственные методы позволяли ему обозревать весь круг вопросов с такой же полнотой и с такой же уверенностью.

В заключение я должен кое-что сказать о его работе по представлению функции р(n), написанной им совместно с Харди (стр.276-309). Число р(n) очень быстро возрастает с ростом n. Так, например,

Авторы показывают, что р(n) является ближайшим целым числом к

v 1 2√2   ∑  √q Aq(n)ψq(n),  q=1

(1)

где

Aq(n) =	∑	ωp,q e–2πinp/q,
	p

причём сумма распространяется на все р, взаимно простые с q и меньшие q, а ω_p,q – некоторый корень 24q-й степени из 1; v имеет порядок √n и, наконец,

ψq(n) =	d dn	exp	(	π q	Ö	2 3	(	n –	1 24	)	)	.

Мы можем принять v = 4, когда n = 100. Для n = 200 можно взять v = 5; 5 членов ряда (1) дают точное значение р(200). Всегда можно положить v = a√n (точнее, целой части a√n), где a – любая положительная постоянная, если только n превышает некоторое число n₀(a), зависящее только от a.

Вряд ли стоит убеждать читателя во всей необычности этой теоремы; с готовностью поверит он в то, что методы, при помощи которых она была установлена, содержат новый и важный принцип, оказавшийся чрезвычайно плодотворным и в других областях. История этой теоремы в высшей степени интересна (чтобы воздать ей должное, мне придётся несколько нарушить правила соавторства, и поэтому я добавлю, что профессор Харди разрешает мне рассказать о следующих фактах относительно его совместной работы с Рамануджаном). Одна из гипотез Рамануджана, относящаяся ещё к индийскому периоду его жизни, состояла в том, что первый член в формуле (1) является очень хорошим приближением к р(n); это было установлено без большого труда. На этом этапе вместо n – 1/24 фигурировало просто n, но это было пока несущественно. Отсюда начался настоящий штурм задачи. Следующим шагом вперед, не очень большим, было рассмотрение разложения (1) как асимптотического ряда, из которого следовало брать фиксированное число членов (например, 4), причём ошибка имела порядок следующего члена. Начиная с этого момента до самого конца работы, Рамануджан упорно настаивал на том, что в действительности верно гораздо больше, чем было доказано; он утверждал, что «должна существовать формула с ошибкой О(1)». Эта гипотеза была его важнейшим вкладом, одновременно и чрезвычайно существенным и в высшей степени поразительным. Была сделана точнейшая численная проверка, которая выявила удивительные факты относительно p(100) и p(200).

Тогда v было сделано зависящим от n; это было очень большим шагом вперёд и потребовало новых глубоких теоретико-функциональных методов, которые Рамануджан, несомненно, не мог бы открыть сам. Теперь, наконец, стала вырисовываться вся теорема. Однако преодоление самой последней трудности было бы, вероятно, невозможно без ещё одного вклада Рамануджана, на этот раз очень характерного для него. Мало того, что аналитические трудности этой теоремы были громадными, – подступы к ней оказались ещё забаррикадированными почти непреодолимыми чисто формальными препятствиями. Вид функции ψ_q(n) ни на йоту не может быть изменён. Среди многих асимптотически эквивалентных выражений необходимо выбрать одно единственно правильное. Если бы это не было сделано с самого начала (а –1/24, не говоря уже о d/dn, могла появиться в ψ_q только в результате исключительно блестящего прозрения формального гения), то эта теорема вообще никогда не могла бы возникнуть. Всё это представляется загадочным. Если бы мы знали, что существует формула с ошибкой О(1), то мы постепенно пришли бы в конце концов к правильному виду для ψ_q(n). Но почему Рамануджан был так уверен, что подобная формула существует? Трудно поверить, что это объясняется просто необычайной глубиной проникновения его умственного взора. С другой стороны, трудно представить себе, какие численные примеры могли быть в распоряжении Рамануджана, чтобы он мог привычным для него процессом интуитивной индукции прийти к заключению о справедливости столь сильного результата. В то же время, если вид ψ_q(n) не был известен ему заранее, то никакие численные данные не могли ничего ему подсказать. Так что, по-видимому, единственный возможный вывод состоит в том, что открытие им правильных формул было результатом взлета гения. Эта теорема возникла в результате исключительно удачного сотрудничества двух математиков совершенно разнородных способностей, в котором каждый из них проявил самые сильные, самые характерные стороны своего таланта. В этой совместной работе с Харди гений Рамануджана нашёл возможность развернуться в полной мере.

Книга содержит биографию, написанную Сешу Айяром, и некролог, составленный профессором Харди. Биография и некролог дают нам живую картину интересной и привлекательной личности Рамануджана. Математики, подготовившие это издание, превосходно справились со своей задачей. Труд их почти незаметен: читателю сообщается то, что он хочет знать, и как раз в нужный момент; это потребовало от них бóльших усилий и большего объема библиографических исследований, чем читатель склонен предполагать.

[Здесь приведены отрывки из первой и пятой глав книги, относящиеся непосредственно к функции p(n). – E.G.A.]

В этой книге детально изучается фундаментальная операция аддитивного разложения – представление натуральных чисел суммами других натуральных чисел.

Определение 1.1. Разбиением натурального числа n называется всякая конечная невозрастающая последовательность натуральных чисел λ₁, λ₂, ..., λ_r, для которой

r
å	lk = n.
k=1

Числа l_k называются частями разбиения.

Часто разбиение (l₁, l₂, ..., l_r) будем обозначать просто через l и писать l |¾ n, как аналог того, что l есть разбиение n. Иногда полезно явно указывать число вхождений каждого слагаемого в разбиение: так, если l = (l₁, l₂, ..., l_r) |¾ n, то запись l = (1^a 2^b 3^c ...) означает, что в разбиении l имеется ровно a единиц, b двоек и т.д. Заметим, что a + 2b + 3c + ... = n.

В этой книге представлен широкий круг задач о разбиениях, однако наиболее важным и фундаментальным остаётся вопрос о перечислении разбиений различных типов.

Определение 1.2. Функция разбиений p(n) определяется как число всех разбиений числа n.

Замечание. Ясно, что p(n) = 0, если n отрицательно. Считая, что пустая последовательность образует разбиение нуля, полагаем p(0) = 1. В следующем списке представлены шесть первых значений функции p(n) и сами разбиения:

p(1) = 1	:	1 = (1);
p(2) = 2	:	2 = (2),   1 + 1 = (12);
p(3) = 3	:	3 = (3),   2 + 1 = (1 2),   1 + 1 + 1 = (13);
p(4) = 5	:	4 = (4),   3 + 1 = (1 3),   2 + 2 = (22), 2 + 1 + 1 = (12 2),   1 + 1 + 1 + 1 = (14);
p(5) = 7	:	5 = (5),   4 + 1 = (1 4),   3 + 2 = (2 3), 3 + 1 + 1 = (12 3),   2 + 2 + 1 = (1 22), 2 + 1 + 1 + 1 = (13 2)   1 + 1 + 1 + 1 + 1 = (15);
p(6) = 11	:	6 = (6),   5 + 1 = (1 5),   4 + 2 = (2 4), 4 + 1 + 1 = (12 4),   3 + 3 = (32),   3 + 2 + 1 = (1 2 3), 3 + 1 + 1 + 1 = (13 3)   2 + 2 + 2 = (23), 2 + 2 + 1 + 1 = (12 22),   2 + 1 + 1 + 1 + 1 = (14 2), 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = (16).

Значения p(n) растут очень быстро с ростом n; например, p(10) = 42, p(20) = 627, p(50) = 204 226, p(100) = 190 569 292, p(200) = 3 972 999 029 388.

Теорема (Эйлер): Если n > 0, то

где p(M) = 0 для всех отрицательных M.

[· · ·]

Ознакомившись со многими элементарными свойствами разбиений и композиций, мы переходим теперь к одному из высших достижений теории разбиений – к точной формуле для p(n) – результату Харди и Рамануджана, усовершенствованному Радемахером.

История сотрудничества Харди и Рамануджана по этой формуле весьма примечательна и, по-видимому, наилучшим образом изложена Литлвудом в его очаровательной рецензии на книгу «Collected papers of Srinivasa Ramanujan», опубликованной в Mathematical Gazette, 1929, 14.

[· · ·]

Формула, которую мы будем здесь доказывать, в этой окончательной форме получена Радемахером.

Теорема.

¥   p(n) =  1 pÖ2 å ÖkAk(n)   d dn sh ((p/k)Ö2/3 (n – 1/24)) Ön – 1/24   ,   k=1

(*)

где

Ak(n) =	å	wh,k e–2pinh/k
	h mod k (h, k) = 1

и w_h,k – корень 24k-й степени, определяемый ниже.

Это необычайное тождество, в котором левой частью служит простая арифметическая функция p(n), а правой – бесконечный ряд, включающий в себя p, квадратные корни, комплексные корни из единицы и производные гиперболических функций, являет собой не только чисто теоретическую формулу для p(n), но формулу, обеспечивающую действительно быстрое вычисление.

Например, p(200) = 3 972 999 029 388, тогда как, если вычислить первые восемь членов ряда (*), получим

что и дает истинное значение p(200) с точностью 0,004. Весьма просто выявить ошибку, когда бесконечный ряд усечён: значит, можно с уверенностью определять значения p(n) прямо из (*).

Для малых значений n можно, конечно, пользоваться рекуррентностью из теоремы Эйлера.

Кроме того, довольно просто показать, что каждый член бесконечного ряда в (*) есть O(еxр{(π/k)√2n/3}). Следовательно, первый член k = 1 даёт нам асимптотическую формулу для p(n); замечая, что A₁(n) = 1, без особых трудностей получаем, что при n → ∞

p(n) ~

1 4nÖ3

exp

(

p

Ö

2n 3

)

.

Справедливость (*) тесно связана с тем фактом, что выражение

	¥		epit/12
h(t) = epit/12	Õ	[1 – e2pimt] =
	m=1		¥   å  p(n) e2pint n=0

есть в действительности модулярная форма. При доказательстве (*) мы должны использовать весьма фундаментальные свойства функции h(t), в частности, её поведение под действием модулярной группы: t ® (at + b)/(ct + d), ad – bc = 1.

Для исчерпывающе полного доказательства (*) понадобились бы по крайней мере две дополнительные главы: одна – посвящённая модулярной группе и её основным свойствам, а другая – содержащая формулы фундаментальных преобразований для h(t) [на русском языке море литературы что по первому, что по второму вопросу. – E.G.A.]. Такое изложение увело бы нас далеко от разбиений, и поэтому мы просто приведём необходимую нам в дальнейшем формулу преобразований.

Вместо преобразования для h(t) мы привлекаем некоторый эквивалентный результат, более подходящий нашим целям. Именно, пусть

	¥		¥
P(q) =	å	p(n)qn =	Õ	(1 – qn)–1.
	n=0		n=1

Тогда

P ( exp { 2pi(h + iz) k })  = wh,kÖz exp { p(1/z – z) 12k } P ( exp { 2pi(h' + i/z) k }) ,

(**)

где Re z > 0, выбирается главная ветвь √z, h' есть решение сравнения hh' ≡ –1 (mod k), а ω_h,k – корень 24k-степени из единицы:

и (a/b) – символ Лежандра–Якоби. Доказательство (**) можно найти в Курсе арифметики Серра (М., Мир, 1972) или в Арифметических функциях Чандрасекхарана (М., Наука, 1975); имеется доказательство (**), принадлежащее Берндту, кратко обрисованное в задачах 6–17 в конце этой главы.

Отметим, кстати, изящное представление Радемахера для ω_h,k:   ω_h,k = exp{πis(h,k)}, где s(h,k) – сумма Дедекинда:

k–1

s(h, k) =

å

(

m k

–

[

m k

]

– 2

)

(

hm k

–

[

hm k

]

– 2

)

.

m=1

Теперь мы переходим к поистине замечательному способу подсчёта p(n), осуществлённому Харди и Рамануджаном, а я вынужден на этом остановиться и посоветовать тем, кто хочет изучить это 9-страничное доказательство, отыскать книгу Дж.Эндрюса. – E.G.A.